与圆的基本性质有关的计算与证明 专题练习题
1．如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠BDC 的度数是( )
A ．60°
B ．45°
C ．35°
D ．30°
2．如图，已知AC 是⊙O 的直径，点B 在圆周上(不与A ，C 重合)，点D 在AC 的延长线上，连接BD 交⊙O 于点E ，若∠AOB＝3∠ADB ，则( )
A ．DE ＝E
B B.2DE ＝EB C.3DE ＝DO D ．DE ＝OB
3．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CAB ＝40°，则∠ABD 与∠AOD 分别等于( )
A ．40°，80°
B ．50°，100°
C ．50°，80°
D ．40°，100°
4．如图，C ，D 是以线段AB 为直径的⊙O 上两点，若CA ＝CD ，且∠ACD ＝40°，则∠CAB ＝( )
A ．10°
B ．20°
C ．30°
D ．40°
5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC 的大小为( )
A ．45°
B ．50°
C ．60°
D ．75°
6．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，
连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )
A．45° B．50° C．55° D．60°
7．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则∠BOC的度数是( )
A．120°B．135°C．150°D．165°
8．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为________．
9．如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝_______度．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接OD交BE于点M，且MD＝2，则BE长为_______．
11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是_________．12．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB＝26 m，OE⊥CD于点E.水位正常时测得OE∶CD＝5∶24.
(1)求CD的长；
(2)现汛期来临，水面要以每小时4 m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC三边于点G，E，F.
(1)求证：F是BC的中点；
(2)判定∠A与∠GEF的大小关系，并说明理由．
14．(1)如图①，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB，AC于D，E，求证：△ODE是等边三角形；
(2)如图②，若∠A＝60°，AB≠AC，则(1)中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
15.如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H.
(1)若∠BAC＝30°，求证：CD 平分OB ；
(2)若点E 为ADB ︵的中点，连接OE ，CE ，求证：CE 平分∠OCD；
(3)若⊙O 的半径为4，∠BAC ＝30°，则圆周上到直线AC 距离为3的点有多少个？请说明理由．
答案：
1---7 DDBBC BC
8. 23
9. 35
10. 8
11. AB ∥CD
12. 解：(1)∵直径AB ＝26(m )，∴OD ＝12AB ＝12×26＝13(m )，∵OE ⊥CD ，∴DE ＝12
CD ，∵OE ∶CD ＝5∶24，∴OE ∶ED ＝5∶12，∴设OE ＝5x ，ED ＝12x ，∴在Rt △ODE 中，(5x)2＋(12x)2＝132，解得x
＝1，∴CD ＝2DE ＝2×12×1＝24(m )
(2)由(1)得OE ＝1×5＝5(m )，延长OE 交圆O 于点F ，∴EF ＝OF －OE ＝13－5＝8(m )，∴84
＝2(小时)，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满
13. 解：(1)连接DF ，∵∠ACB ＝90°，∴△ACB 是直角三角形，又∵D 是AB 的中点，∴BD ＝CD ＝AD ，又∵CD 是⊙O 的直径，∴DF ⊥BC ，∴BF ＝CF ，即F 是BC 的中点
(2)∠A ＝∠GEF.理由：∵D ，F 是AB ，BC 的中点，∴DF ∥AC ，∴∠A ＝∠BDF ，又∵∠BDF ＝∠GEF ，∴∠A ＝∠GEF
14. (1) 解：∵△BAC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°.∵OD ＝OB ＝OE ＝OC ，∴△OBD 和△OEC 都是等边三角形，∴∠BOD ＝∠COE ＝60°，∴∠DOE ＝60°，∴△ODE 是等边三角形
(2) 解：结论(1)仍成立．证明：连接CD ，∵BC 是直径，∴∠BDC ＝90°.∴∠ADC ＝90°，∵∠A ＝60°，∴∠ACD ＝30°，∴∠DOE ＝2∠ACD ＝60°.∵OD ＝OE ，∴△ODE 是等边三角形
15. 解：(1)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠BAC ＝30°，∴∠B ＝60°，而OC ＝OB ，∴△OBC 为等边三角形，∵CD⊥OB ，∴CD 平分OB
(2)∵点E 为ADB ︵的中点，∴OE ⊥AB ，而CD⊥AB ，∴OE ∥CD ，∴∠OEC ＝∠ECD ，∵OC ＝OE ，∴
∠OEC ＝∠OCE ，∴∠OCE ＝∠ECD ，即CE 平分∠OCD
(3)圆周上到直线AC 距离为3的点有2个．理由如下：作OF⊥AC 于点F ，交⊙O 于点G ，∵OA
＝4，∠BAC ＝30°，∴OF ＝12
OA ＝2，∴GF ＝OG －OF ＝2，即在弧AC 上到AC 的最大距离为2，∴在弧AC 上没有一个点到AC 的距离为3，而在弧AEC 上到AC 的最大距离为6，∴在弧AEC 上有2个点
到AC的距离为3
专题六圆的有关证明与计算 圆的切线的判定与性质 【例1】(2016·临夏州)如图,在△ABC中，AB=ＡＣ，点D在BＣ上，ＢD=DC，过点Ｄ作DE⊥AC，垂足为Ｅ,⊙O经过A,B,D三点． （1)求证:AB是⊙O的直径; (２）判断DE与⊙O的位置关系,并加以证明； （３）若⊙O的半径为3,∠ＢAC＝６0°，求DE的长. 分析:(1）连接AＤ,证AD⊥BC可得;(２）连接OD，利用中位线定理得到ＯD与AC平行，可证∠ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出ＢＦ的长,由DE为三角形CＢF中位线，即可求出DE的长. 解:（1)连接ＡD,∵AB＝AC,BD＝DC，∴AD⊥BC,∴∠ＡDB=９0°,∴AB为圆O的直径 (2)DE与圆O相切，证明:连接OD,∵O,D分别为ＡＢ,BＣ的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴ＯD∥AC，∵DE⊥ＡC,∴DＥ⊥OＤ,∵ＯD为圆的半径,∴DＥ与圆O相切 (3)∵ＡB＝AC，∠BＡＣ＝60°,∴△ABC为等边三角形，∴AB=ＡC＝BＣ＝６，连接BF，∵AB为圆O的直径,∴∠ＡFB=∠DEＣ＝9０°,∴AF=CF=3，ＤE∥BＦ，∵Ｄ为BＣ的中点，∴E为CＦ的中点,即DE为△BCF中位线，在Rt△ABＦ中，AB=6,ＡF＝3，根据勾股定理得BF=错误!＝3错误!,则ＤE=错误!BF＝错误! 圆与相似 【例2】（201６·泸州)如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径,ＢD与AC相交于点H,ＡC的延长线与过点B的直线相交于点Ｅ,且∠Ａ=∠EBC. (1）求证:BＥ是⊙O的切线; (2)已知ＣG∥EB,且CG与BD，BA分别相交于点F，G,若ＢG·ＢA＝48,FG=２，DＦ＝2BF,求AＨ的值. 分析:(1）证∠ＥBD=9０°即可;(2)由△ＡBＣ∽△CＢG得错误!＝错误!，可求出BC,再由△BFＣ∽△ＢＣD得BC2=BF·BD,可求出ＢＦ，再求出CF,CG，ＧB,通过计算发现ＣG＝AG,可证CH=CB，即可求出AC. 解:(1)连接ＣD,∵ＢＤ是直径，∴∠BCＤ＝９0°，即∠D＋∠CBD=９０°,∵∠A＝∠D,∠A=∠ＥBC,∴∠CＢD+∠EＢC＝９０°，∴BＥ⊥ＢD，∴ＢE是⊙Ｏ切线 (2)∵CG∥EＢ，∴∠BCG=∠EBC，∴∠A=∠ＢＣＧ，又∵∠ＣＢG＝∠ABC,∴△AＢC∽△ CBG，∴BC BＧ =＼ｆ(ＡＢ,BC），即BＣ２=BＧ·BA=４8,∴ＢC＝4错误!,∵ＣG∥EB,∴CF⊥ＢD，∴△BFC∽△ＢＣＤ,∴ＢC2＝BF·BD,∵DF＝2ＢF,∴ＢF＝4，在Ｒt△BCF中，ＣF＝ ＼ｒ（BＣ2-FB2）＝42,∴CG＝CF+FG＝5错误!,在Rt△BFG中，ＢＧ=错误!＝3错误!，∵
半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直 例1 如图，在△ ABC中，AB=AC，以AB为直径的O O交BC于D，交AC于E, B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与O O相切. 例2 如图，AD是/ BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与O O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ?/ AD是/ BAC的平分线， ???/ DAB= / DAC. ?/ PA=PD , ???/ 2=Z 1+ / DAC. ???/ 2=Z B+ / DAB , ???/ 仁/ B. 又???/ B= / E, ???/ 仁/ E ?/ AE是O O的直径， ?AC 丄EC,/ E+ / EAC=90°. ???/ 1 + / EAC=90°. 即OA丄PA. ? PA与O O相切. 证明二：延长AD交O O于E,连结OA , OE. ?/ AD是/ BAC的平分线， ?BE=C1E, c ? OE 丄BC. ?/ E+/ BDE=900. ?/ OA=OE , ? / E=/ 1.
例5 如图，AB 是O O 的直径，CD 丄AB ，且 OA 2=OD ? OP. 求证：PC 是O O 的切线. 说明: 求证: ?/ PA=PD , ???/ PAD= / PDA. 又???/ PDA= / BDE, ???/ 1 + Z PAD=90 0 即OA 丄PA. ? PA 与O O 相切 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用 如图，AB=AC , AB 是O O 的直径，O O 交BC 于D , DM 与O O 相切. 例4 如图，已知：AB 是O O 的直径，点 C 在O O 上，且/ CAB=30°, BD=OB , D 在AB 的延长线上 求证：DC 是O O 的切线
圆中的证明与计算及圆与三角形、四边形 知识点圆中的重要知识点 【知识梳理】 1、圆中的重要概念 2、圆中的重要定理 3、易与圆结合的其他知识 【例题精讲一】垂径定理 例1.1、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D＝∠G＝30°。（1）求证：弧CF＝弧BC；（2）若CD＝6，分别求BE、GF的长。
（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝2 4，ON＝1，求⊙O的半径。 3、如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝13，AC＝5。 （1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是弧BC的中点，求PA的长。
【课堂练习】 1、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于F，连接BF。 （1）求证：BF平分∠DFE；（2）若EF＝DF，BE＝5，CH＝3，求⊙O半径。 2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF。 （1）求证：∠BAD＝∠F；（2）若EF＝25，AC＝4，求⊙O的半径。
【例题精讲二】圆周角定理 例2.1、如图，CD为⊙O的直径，AB、AC为弦，且∠ADC＝∠DAB＋∠ACD，AB交CD于E。 （1）求证：AB＝AC；（2）若DE＝2，CE＝10，求AC的长。 2、在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在AD上取一点E使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H。 （1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC＝45°，AC＝10，BD＝8，求CE的长。
精品 《圆的基本性质》单元复习题 (2014.10.26) 姓名： _________ 一、选择题 1、如图，正六边形 ABCDEF 的边长的上 a ，分别以 C 、F 为圆心， a 为半径画弧， 则图中阴影部分的面积是 （ ） （A ） 1 2 1 2 （ ） 2 2 （ D ） 4 2 6 a （B ） a C a a 3 3 3 2、如图， AB 是半圆 O 的直径，点 P 从点 O 出发，沿 OA ? BO 的路径运动一周．设 OP 为 s ， AB 运动时间为 t ，则下列图形能大致地刻画 s 与 t 之间关系的是（ ） P s s s s A B O t O O t O t O A ． B ． t C ． D ． 3、如图所示，长方形 ABCD 中，以 A 为圆心， AD 长为半径画弧，交 AB 于 E 点。取 BC 的中点为 F ，过 F 作一直线与 AB 平行，且交 DE 于 G 点。求 AGF= （ ） (A) 110 (B) 120 (C) 135 (D) 150 4、如图， C 为⊙ O 直径 AB 上一动点，过点 C 的直线交⊙ O 于 D 、E 两点，且∠ACD=45 °，DF ⊥AB 于点 F,EG ⊥AB 于点 G,当点 C 在 AB 上运动时，设 AF= x ，DE= y ，下列中图象中，能表示 y 与 x 的 函数关系式的图象大致是 ( ) D A O G B F C E A B C D 5、已知锐角△ ABC 的顶点 A 到垂心 H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠ A 的度数是 （ ）
中考专题复习——与圆有关的计算与证明 【中考要求及命题趋势】 1、理解圆的基本概念与性质。 2、求线段与角和弧的度数。 3、圆与相似三角形、全等三角形、三角函数的综合题。 4、直线和圆的位置关系。 5、圆的切线的性质和判定。 6、三角形内切圆以及三角形内心的概念。 7、圆和圆的五种位置关系。 8、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式。两圆相切、相交的性质。 9、掌握弧长、扇形面积计算公式。 10、理解圆柱、圆锥的侧面展开图。 11、掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积计算。 2010年中考将继续考查圆的有关性质，其中圆与三角形相似（全等）。三角函数的小综合题为考查重点；直线和圆的关系作为考查重点，其中直线和圆的位置关系的开放题、探究题是考查重点；继续考查圆与圆的位置五种关系。对弧长、扇形面积计算以及圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算是考查的重点。 【应试对策】 圆的综合题，除了考切线、弦切角必须的问题。一般圆主要和前面的相似三角形，和前面大的知识点接触。直线和圆以前的部分是重点内容，后面扇形的面积、圆锥、圆柱的侧面积，这些都是必考的，后面都是一些填空题和选择题，考查对扇形面积公式、圆锥、圆柱的侧面积的公式记忆。圆这一章重要的概念、定理先掌握、后应用，掌握之后，再掌握一些解题思路和解题方法。 第一：有三条常用辅助线，一是圆心距，二是直径圆周角，第三条是切线径。第二：有几个分析思路：弧、常与圆周角互相转换；那么怎么去应用，就根据题目条件而定。 【复习要点】 1、圆的有关概念： （1）圆上任意两点间的部分叫弧，______的弧叫优弧，________的弧称为劣弧。 （2）______________________的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。 （3）_________________的角叫做圆心角；顶点在圆上且两边____________的角叫做圆周角。 2、圆的对称性： （1）圆是轴对称图形，其对称轴是_____ ____；（2）圆是中心对称图形，其对称中心是_________。3、垂径定理及推论 垂径定理：垂直于弦的直径_________弦，并且平分____________________。 推论：平分弦（不是直径）的直径_____这条弦，并且平分__________________ 4、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。如图所示： AB,CD是⊙O的两条弦，OE,OF为AB,CD的弦心距，根据圆心角，弧，弦和弦心距 C
圆的基本性质练习 一、看准了再选 1．.如图，⊙O中，ABDC是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC的度数是（） A.110° B.70° C.55° D.125° 2．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G且EF⊥CD，若∠EOD=40°,则∠DCF等于（） A.80° B. 50° C.40° D. 20° 3.直线ａ上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线ａ与⊙O的位置关系是（） Ａ、相离Ｂ、相切Ｃ、相切或相交Ｄ、相交 4.在⊙O中，弦AB垂直并且平分一条半径，则劣弧AB的度数等于（） A.30° B.120° C.150° D.60° 5．如图，⊙O的半径OA=3，以点A为圆心，OA的长为半径画弧交⊙O于B，C?则BC=（）． A．32 B．33 C． 3 2 3 D ． 33 2 6．．如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（）． A．∠1>∠2>∠3 B．∠3>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠3 D．∠3>∠2>∠1 7．．如图，已知∠BAC=45°，一动点O在射线AB上运动（点O?与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的圆O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是（） A．0
A ．65° B ．115° C ．65°或115° D ．130°或50° 9如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，AC 是⊙O 的直径，连结AB 、BC 、OP ，则与∠PAB 相等 的角有（ ）个。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 10．边长分别为3，4，5的三角形的内切圆半径与外接圆的半径之比为（ ）． A ．1：5 B ．2：5 C ．3：5 D ．4：5 11．如图所示，圆弧形桥拱的跨度AB=12m ，拱高CD=4m ，则拱桥的直径为（ ）． A ．6.5m B ．9m C ．13m D ．15m 二．想好了再规范的写画 12．如图所示，线段AD 过圆心O 交⊙O 于D ，C 两点，∠EOD=78°，AE 交⊙O 于B ，? 且AB=OC ，求∠A 的度数． O E D C B A 13．如图AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AB 于O ，交AC 于D ，OD=2，∠A=30°,求CD 。 14．如图，已知在Rt △ABC 中，AC=12，BC=9，D 是AB 上一点，以O 为圆心，BD 为直径的⊙O 切AC 于E ，求AD 的长。 15．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AB=AC ， D ， E 在⊙O 上，说明BD=DE C E A D O B · B A C D O
A B 《圆的证明与计算》专题研究 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。 一、考点分析： 1.圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。 三、解题秘笈： 1、判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：（1）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：CD为⊙O的切线； （2）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是⊙O 的切线. （3）如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DE⊥AC于E（或E为CF中点），求证：DE是⊙O的切线. （4）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB 的延长线于点C，求证：CD是⊙O的切线. 2、与圆有关的计算： 计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：
8错误！未指定书签。?如图，方格纸中4个小正方形的边长均为 1, 则图中阴影部分三个小 扇形的面积和为 （结果保留n ） 中考数学 圆的基本性质和计算经典练习题 一、填空题 1错误！未指定书签。?如图，在O O 中，已知 OAC 20 ° , OA // CD ,则 AOD ? 圆心，C 是AB 上一点，0C 丄AB ，垂足为D , AB 300m, CD 50m,则这段弯路 的半径是 m 3错误！未指定书签。?如图，AB 为O O 的直径，点 C , D 在O O 上, BAC 50°，则 ADC 4错误！未指定书签。?如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为 1的O O 的圆 心O 在格点上，则/ AED 的正切值等于 5错误!未指定书签。. 若O 为ABC 的外 心 D C, I ■ ■ BOC 60 ,则 BAC 6错误！未指定书签。? 使吨AB, PC 切 C 如图，AB 为半圆 半圆O 于点C, O 的直径，延长AB 到点P, 点D 是 A C 上和点C 不重 合 的一点，贝y D 的度数为 7错误！未指定书签。 .如图, 在 Rt A ABC 中, BAC 90o , BC 6，点D 为BC 中点, 将厶ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转120° 得到△ ABD ，则点 D 在旋转过程中所经过 的路程为 ?（结果保留 ） 晶，点O 是这段弧的 第1题 2错误!未指定书签。
9错误！未指定书签。?矩形ABCD 勺边 AB=8, AD=6，现将矩形 ABCD 放在直线l 上且沿着I 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始 的 位置 A 1 B 1 C 1 D 1时（如图所示），则顶点A 所经过的路线长是 __________ . 二、选择题 10错误！未指定书签。?如图，O O 内切于 △ ABC ,切点分别为D , E , F .已 知 B 50° , C 60° ,连结 C,则AB 的长为 O 的位置关系是 为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目， 她打算剪去部分扇形纸片后， 利用剩下的 纸片制作成一个底面半径为 10cm 的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片 的圆心角为（ ）. A 9° B 、18° C 63° D 72 三、解答题 第10题 第11题 12题 第13题 11错误！未指定书签。 .如图，两个同心圆的半径分别为 3cm 和 5cm, 弦AB 与小圆相切于点 40cm Ax -A 1 1 x V 1 OE, OF , DE , DF ，那么 EDF 等于 ( ) A. 40° B. 55° C. 65 D. 70° A. 4cm .5cm C. 6cm .8cm 12错误！未指定书签。 ?如图，在直角坐标系中，O O 的半径为 1，则直线 A.相离 E.相交 C.相切 D. 以上三种情形都有 可能 13错误！未指定书签。 ?现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为 40cm 小红同学
与圆有关的证明与计算 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 、E 、F 分别在AC 、BC 、AB 的边上，以AF 为直径的⊙O 恰好经过点D 、E ，且DE ＝EF . (1)求证：BC 是⊙O 的切线； (2)若∠B ＝30°，求CE CD 的值． 第1题图 (1)证明：如解图，连接OD ，OE ，DF ， ∵AF 是⊙O 的直径， ∴∠ADF ＝90°， ∵∠C ＝90°， ∴DF ∥BC ， ∵DE ＝EF ， ∴DE ︵＝EF ︵， ∴OE ⊥DF ， ∴OE ⊥BC ， ∵OE 是⊙O 的半径， ∴BC 是⊙O 的切线； 第1题解图 (2)解：∵∠B ＝30°，且OE ⊥BC ， ∴∠BOE ＝60°， ∵OE ＝OF ， ∴△OEF 是等边三角形， ∴∠OEF ＝60°， 又∵DE ＝EF ，OE ⊥DF ， ∴∠OED ＝∠OEF ＝60°， ∴∠CED ＝30°， ∴∠CDE ＝60°， 在Rt △CDE 中， ∵tan ∠CDE ＝tan60°＝CE CD ＝3，
∴ CE CD ＝ 3. 2．如图，在Rt △BGF 中，∠F ＝90°，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BF 于点E ，交GF 于点D ，AE ⊥OD 于点C ，连接BD . (1)求证：GF 是⊙O 的切线； (2)若OC ＝2，AE ＝43，求∠DBF 的度数． 第2题图 (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°， 又∵∠F ＝90°， ∴∠AEB ＝∠F ，∴AE ∥GF ， ∵AE ⊥OD ，∴OD ⊥GF ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴GF 是⊙O 的切线； (2)解：∵OD ⊥AE ， ∴AC ＝CE ＝1 2AE ＝23， ∵OA ＝OB ， ∴OC 是△ABE 的中位线， ∴BE ＝2OC ＝4， ∴在Rt △AOC 中，OA ＝OC 2＋AC 2＝22＋（23）2＝4， ∵∠CEF ＝∠DCE ＝∠F ＝90°， ∴四边形CDFE 是矩形， ∴DF ＝CE ＝23，EF ＝CD ＝OD －OC ＝4－2＝2， ∴BF ＝BE ＋EF ＝4＋2＝6， ∴tan ∠DBF ＝DF BF ＝236＝3 3， ∴∠DBF ＝30°. 3．如图，点C 是⊙O 的直径AB 的延长线上一点，点D 在⊙O 上，且∠DAC ＝30°，∠BDC ＝1 2∠ABD . (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若OF ∥AD 分别交BD 、CD 于点E 、F ，BD ＝2，求OE 、CF 的长．
2015圆的有关证明及计算 1.如图，直线AB与O O相切于点A，弦CD // AB,E,F为圆上的两点，且/ CDE= / ADF .若 O 0的半径为2j2 , CD=4.求弦EF的长. 2.如图，直线I与半径为4的O 0相切于点A, P是O 0上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB丄I，垂足为B，连接PA.设PA=x, PB=y. 求(X- y)的最大值. 3.如图，已知AB为O 0的直径，AB=2, AD和BE是圆0的两条切线，A、B为切点，过 圆上一点C作O 0的切线CF,分别交AD、BE于点M、N, 求AM的长. 4.如图，O O的直径AB为10cm,弦BC为5cm, D、E分别是/ ACB的平分线与O 0, AB 的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE. (1)求AC、AD的长;
(2)试判断直线PC与O 0的位置关系，并说明理由. P
5.如图，点D在O O的直径AB的延长线上，点C在O O上，AC=CD , / ACD=120 ° (1)求证：CD是O O的切线; (2)若O O的半径为2,求图中阴影部分的面积. 6.如图，O O与RtA ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE , 已知/ B=30 ° O O的半径为12,弧DE的长度为4 n 求证：DE // BC; (2) 若AF=CE，求线段BC的长度. 7.如图，在RtA ABC中，/ ACB=90 °以AC为直径作O O交AB于点D，连接CD . (1)求证：/ A=/ BCD ; (2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与O O相切？并说明理由.
1、如图，AB是⊙O的直径，D为弧AC的中点，DE⊥AB于E，交AC于F，AC、BD交于点G。 （1）求证：①AC＝2DE；②OF∥BD；（2）若AB＝10，AC＝8，求AF的长。 【例题精讲一】切线的性质 例1.1、如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且AB⊥CD于E，F为弧AD上一点，BF交CD于G，FH切⊙O于点F，交CD的延长线于H。 （1）求证：FH＝GH；（2）若AB＝2FH，GF＝3 2，求AG的长。
2、如图，已知直线AB 与⊙O 相切于点A ，弦CD ∥AB 。 （1）如图1，求证：AC ＝AD ； （2）如图2，E 、F 为⊙O 上两点，且∠CDE ＝∠ADF 。若⊙O 的半径为 2 5 ，CD ＝4，求EF 的长。 3、如图，正方形ABCD ，以BC 为直径在正方形内作半圆O ，过D 作DE 与半圆O 相切于点E ，连OE 交AB 于F 。 （1）如图1，连OD 、DF ，求证：∠ODF ＝45°； （2）如图2，过B 作BM ∥DF 交OF 于G ，交⊙O 于点M 。若AD ＝6，求BM 的长。
【课堂练习】 1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC、AB分别相交于点E、F。 （1）求证：AD平分∠CAB；（2）若OH⊥AD于点H，∠B＝2∠AFH，⊙O的半径为5，求FH的长。 2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，点O在AB上，以OA为半径的圆，交AB于D，交AC于G，且点E在⊙O上，连接DE，BF切⊙O于点F。 （1）求证：BE＝BF；（2）若⊙O的半径为R，AG＝R＋1，CE＝R－1，求弦AG的长。
1、（2017黄冈）已知：如图，在⊙O 中，0 ,70OA BC AOB ⊥∠=，则A D C ∠的度数为（ ） A ． 30° B ． 35° C. 45° D ．70° 解：∵OA ⊥BC ∴⌒BC =⌒AC ∵∠AOB=70° ∴∠ADC=∠AOB=35° 故选：B ． 2、（2017毕节）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ACD=30°，则∠BAD 为（ ） A ．30° B ．50° C ．60° D ．70° 解：连接BD ， ∵∠ACD=30°， ∴∠ABD=30°， ∵AB 为直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠BAD=90°﹣∠ABD=60°． 故选C ．
3、如图，O 为原点，点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，4），⊙D 过A 、B 、O 三点，点C 为⌒ABO 上一点（不与O 、A 两点重合），则cosC 的值为（ ） A ．43 B ．53 C ．34 D ．54 如图，连接AB ， ∵∠AOB=90°，∴AB 为圆的直径， 由圆周角定理，得∠C=∠ABO ， 在Rt △ABO 中，OA=3，OB=4，由勾股定理，得AB=5， 5 4 ． 故选D ． 4、（2016南宁）如图，点A ，B ，C ，P 在⊙O 上，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE =40°，则∠P 的度数为（ ） A ．140° B．70° C．60° D．40° 解：∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE=40°， ∴∠DOE=180°﹣40°=140°， ∴∠P=∠DOE=70°．故选B ．
（2017浙江衢州第19题）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O 于点D 。连结OD ，作BE ⊥CD 于点E ，交半圆O 于点F 。已知CE=12，BE=9[来源:学#科#网Z#X#X#K] （1）求证：△COD ∽△CBE ； （2）求半圆O 的半径r 的长 ： 试题解析： （1）∵CD 切半圆O 于点D ， ∴CD ⊥OD ， ∴∠CDO=90°， ∵BE ⊥CD ， ∴∠E=90°=∠CDO ， 又∵∠C=∠C ， ∴△COD ∽△CBE ． （2）在Rt △BEC 中，CE=12，BE=9， ∴22CE BE +=15， ∵△COD ∽△CBE ． ∴OD OC BE BC =，即15915r r -=， 解得：r= 458． 考点：1. 切线的性质；2.相似三角形的判定与性质. 2.（2017山东德州第20题）如图，已知Rt ΔABC,∠C=90°，D 为BC 的中点.以AC 为直径的圆O 交AB 于点E. （1）求证：DE 是圆O 的切线. (2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE 的长.
(1)如图所示，连接OE，CE ∵AC是圆O的直径 ∴∠AEC=∠BEC=90° ∵D是BC的中点 ∴ED＝1 2 BC＝DC ∴∠1=∠2 ∵OE=OC ∴∠3=∠4 ∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∵∠ACD=90° ∴∠OED=90°,即OE⊥DE 又∵E是圆O上的一点 ∴DE是圆O的切线.
考点：圆切线判定定理及相似三角形 3.（2017甘肃庆阳第27题）如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C ． （1）若点A （0，6），N （0，2），∠ABN=30°，求点B 的坐标； （2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线． （1）∵A 的坐标为（0，6），N （0，2）， ∴AN=4， ∵∠ABN=30°，∠ANB=90°， ∴AB=2AN=8， ∴由勾股定理可知：223AB AN -=， ∴B （32）． （2）连接MC ，NC ∵AN 是⊙M 的直径， ∴∠ACN=90°， ∴∠NCB=90°，
24.1 圆（第四课时 ） --------圆周角 一、选择题 1.如图，在⊙O 中，若C 是BD 的中点，则图中与∠BAC 相等的角有（ ） A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个 2.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A =40°，则∠BOC 的度数为（ ） A . 20° B . 40° C . 60° D.80° 3.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠A=40 o，则∠B 的度数为（ ） A ．80 o B ．60 o C ．50 o D ．40 o 4.如图，在△ABC 中，AB 为⊙O 的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C 的度数为（ ） A ．50° B ．60° C ．70° D ．80° C · B O A C B O
5.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC，若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（） A.40° B.50° C.60° D.70° 6.如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内⊙C 上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径为（） A．6 B．5 C．3 D．32 7、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP=23，则⊙O的半径为（）A．43B．63C．8 D．12 8、如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）
B．A F=BF C．O F=CF D．∠DBC=90° A.AD BD 二、填空题 1．如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°，则∠ABC的度数是． 2．如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB=度． 3.已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝60°，则∠DCE＝. 4.如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD＝50°，则∠ACD＝.. 5、如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC=70°，则∠OCB=．
中考几何证明题 1、如图：A 是⊙O 外一点，B 是⊙O 上一点，AO 的延长线交⊙O 于C ，连结BC ，∠C ＝22.50，∠BAC ＝450。 第 1 题图 C 2. 如图，割线ABC 与⊙O 相交于B 、C 两点，D 为⊙O 上一点，E 为BC 的中点，OE 交BC 于F ，DE 交AC 于G ，∠ADG ＝∠AGD . ⑴求证：AD 是⊙O 的切线； ⑵如果AB =2，AD =4，EG =2，求⊙O 的半径． . 3．，正三角形ABC 的中心O 恰好为扇形ODE 的圆心，且点B 在扇形内．要使扇形ODE 绕点O 无论怎样转动，△ABC 与扇形重叠部分的面积总等于△ABC 的面积的3 1 ，扇形的圆心角应为多少度？说明你的结论。 4、如图：已知在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AC ＝13，AB ＝5，O 是AB 上的点，以O 为圆心，0B 为半径作⊙O 。 （1）当OB ＝2.5时，⊙O 交AC 于点D ，求CD 的长。 （2）当OB ＝2.4 时，AC 与⊙O 的位置关系如何？试证明你的结论。 第 4 题图 C B D E 第3 题图 第2题 ⌒
5、如图：已知A 、D 两点分别是正三角形DEF 、正三角形ABC 的中心，连结GH 、AD ，延长AD 交BC 于M ，延长DA 交EF 于N ，G 是FD 与AB 的交点，H 是ED 与AC 的交点。 （1）写出三个不同类型的、必须经过至少两步推理才能得到的正确结论（不要求写出证明过程）； （2）问FE 、GH 、BC 有何位置关系？试证明你的结论。 第 5 C M B D H G A E N F 6．如图（a ），已知直线AB 过圆心O ，交⊙O 于A 、B ，直线AF 交⊙O 于F （不与B 重合），直线l 交⊙O 于C 、D ，交AB 于E ，且与AF 垂直，垂足为G ，连结AC 、AD ． 求证：①∠BAD ＝∠CAG ；②AC ·AD ＝AE ·AF ． （2）在问题（1）中，当直线l 向上平行移动，与⊙O 相切时，其他条件不变． ①请你在图（b ）中画出变化后的图形，并对照图（a ），标记字母； ②问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 7． 如图，△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，⊙O 过点A ，且和BC 切于D ，和AB 、AC 分别交于E 、F 。 设EF 交AD 于G ，连结DF 。 （1） 求证：EF ∥BC ； （2） 已知：DF =2 ，AG =3 ，求 EB AE 的值。 8、 已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，且BC ＝a ，AB ＝c ，CD ＝h ，AD ＝q ，DB ＝p 。 求证：q p h ?=2 ，c p a ?=2 8 题 · B D C F E A G O 图(a) B O A F D C G E l · B O A 图(b) 第6题·
圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为△O 的切线； （2）若P A ＝4 5PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明：△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△
△△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明：△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△
△OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF △BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径．
圆的基本性质知识点（一） 知识点一: 圆的定义 第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转_______，_______所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫做________，线段 OA 叫做_______。 第二种：圆心为 O ，半径为 r 的圆可以看成是所有到________的距离等于_______的点的集合。 知识点二: 圆的相关概念 1. 弦：连接圆上任意两点的______叫做弦，经过______的弦叫作直径。如图：____ 2. 弧：圆上_________的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆_________，每一条弧都叫做半圆。如图：____,____,_____, 3. 等圆：_____________的两个圆叫做等圆。 4. 等弧：在同圆或等圆中，____________的弧叫做等弧。 注： 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只 有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 5. 圆心角：顶点在_______, 两边_________的角叫做圆心角。如图：____ 6. 圆周角：顶点在_______且_________的角叫做圆周角。如图：_______ 知识点三： 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的____相等，所对的____也相等，所对的________相等,所对的________也相等,； 即：∵AOB =∠DOE ∴_________ , ___________ , ____________ 2. 推论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的______相等、所对 的___相等, 所对的________也相等； 。 B A
题库:圆的证明与计算题 1.如图，AB是⊙O的直径，点D是?AE上的一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE 交于点F. (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点P，若P A＝AO，DE＝2，求PD的长． 第1题图 (1)证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EAB＋∠EBA＝90°， ∵∠BDE＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE， ∴∠EAB＝∠CBE， ∴∠ABE＋∠CBE＝90°， ∴CB⊥AB， ∵AB是⊙O的直径， ∴BC是⊙O的切线； (2)解：∵BD平分∠ABE， ∴∠ABD＝∠DBE， 如解图，连接DO，
第1题解图∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵∠EBD＝∠OBD， ∴∠EBD＝∠ODB， ∴OD∥BE， ∴PD PE ＝PO PB ， ∵P A＝AO， ∴P A＝AO＝OB， ∴PO PB ＝2 3 ， ∴PD PE ＝2 3 ， ∴ PD PD＋DE ＝2 3 ， ∵DE＝2， ∴PD＝4. 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.
(1)求证：DF是⊙O的切线； (2)若AE＝4，cos A ＝2 5 ，求DF的长． 第2题图 （1）证明：如解图，连接OD， 第2题解图∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B， 又∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴∠DFC＝90°， ∴∠ODF＝∠DFC＝90°， ∵OD是⊙O的半径， G
∴DF 是⊙O 的切线； (2)解：如解图，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为G ， ∴AG ＝1 2AE ＝2. ∵cos A ＝AG OA ＝2OA ＝2 5， ∴OA ＝5， ∴OG ＝OA 2－AG 2＝21， ∵∠ODF ＝∠DFG ＝∠OGF ＝90°， ∴四边形OGFD 为矩形， ∴DF ＝OG ＝21. 3如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于点E ，AM ⊥BC 于点M ，交CD 于点N ，连接AD . (1)求证：AD ＝AN ； (2)若AB ＝42，ON ＝1，求⊙O 的半径． 第3题图 (1)证明：∵∠BAD 与∠BCD 是同弧所对的圆周角， ∴∠BAD ＝∠BCD ， ∵AE ⊥CD ，AM ⊥BC ，
内容： 满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．⊙O 中，直径AB ＝a ， 弦CD ＝b,,则a 与b 大小为（ ） A ．a ＞b B ．a ≥b C ．a ＜b D ． a ≤b 2.下列语句中不正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； ④半圆是弧。 A ．1个 Ｂ．2个 C ．3个 Ｄ．4个 3．已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上到弦AB 所在直线的距离为2的 点有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB=6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是（ ） A ． B ．3.5 C ． D ． 5．如图， ，已知AB 是⊙O 的直径，∠BOC=400，那么∠AOE=（ ） B. 600 C.800 6．如图，将圆沿AB 折叠后，圆弧恰好经过圆心，则 等于（ ） A ．60° B ．90° C ．120° D ．150° (第4题) (第5题) (第6题) 7．已知⊙O 的半径是5cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝6cm ，CD ＝8cm ，则AB 与CD 的距离是（ ） A ．1 cm B ．7 cm C.1 cm 或7 cm D.无法确定 8．如图，BD 是⊙O 的直径，圆周角∠A = 30，则∠CBD 的度数是（ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．80 9．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠BAC ＝30o，AD ＝CD ，则∠DAC 的度数是（ ） A ．30o B ．60o C ．45o D ．75o 10．如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ） A ．(45) cm B ．9 cm C ．45cm D ．62cm (第8题) (第9题) (第10题) 二、填空题（本大题共4小题，每小题３分，共12分） 11．如图，⊙O 的半径OA=10cm ，弦AB=16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 。 12．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝1，则弦AB 的长是 。 （11） （12） （13） （14） 13．如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，连接OA ，OB ，BD ，若∠AOB ＝100°，则∠ABD ＝ 度。 14．如图，点A 、B 是⊙O 上两点，AB=10，点P 是⊙O 上的动点（P 与A ，B 不重合）连结AP ，PB ，过点O 分别作OE ⊥AP 于点E ，OF ⊥PB 于点F ，则EF= 。 三、（本题共2小题，每小题5分，满分10分） 15．如图所示，AB 是⊙O 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F ，且AE=BF ，请你找出线段 OE 与OF 的数量关系，并给予证明。 16．如图是一块圆形砂轮破碎后的部分残片,试找出它的圆心, 并将它还原成一个圆．要求： １、尺规作图；２、保留作图痕迹。（可不写作法。） 四、（本题共2小题，每小题5分，满分10分） O P B A A D B C O _ O _E _ D _ C _ B _ A A B O M A E O F B P AmB O 30 D B C A O D C B A