圆的基本性质
考点1 对称性
圆既是________①_____对称图形，又是______②________对称图形。任何一条直径所在的直线都是它的____③_________。它的对称中心是_____④_______。同时圆又具有旋转不变性。
温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。
考点2 垂径定理
定理：垂直于弦的直径平分______⑤______并且平分弦所对的两条___⑥________。
常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于______⑦_______，并且平分弦所对的两条_____⑧___________。
温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。在这里总结一下：（1）垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形；（2）常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；（3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位置不确定，则要考虑优弧、劣弧的区别；（4）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧；
考点3 圆心角、弧、弦之间的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______⑨______，所对的弦也_____⑩________。
常用的还有：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角___○11____________，所对的弦_____○12___________。
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角____○13___________，所对的弧______○14 __________。
方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。
温馨提示：（1）上述定理中不能忽视“在同圆或等圆中”这个条件。否则，虽然圆心角相等，但是所对的弧、弦也不相等。以同心圆中的圆心角为例，相等的圆心角在同心圆中，所对的弧与弦都不相等。
（2）在由弦相等推出弧相等时，这里的弧要么是优弧，要么是劣弧，不能既是优弧又是劣弧。
考点4 圆周角定理及其推论
定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角______○15__________，都等于这条弧所对的圆心角的______○16________。
推论：半圆或直径所对的圆周角是_______○17________，90°的圆周角所对的弦是______○18__________。
方法点拨：定理中的推论应用十分广泛，一般情况下用它来构造直角三角形，若需要直角或证明垂直时，通常作出直径就能解决问题。
温馨提示：定理中的“同弧或等弧”不能改为是“同弦或等弦”。因为在圆中一条弦所对的圆周角有两个，这两个圆周角互补。
<<名题精解>>
例1：如图1，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧CD上不同于点C得到任意一点，则∠BPC 的度数是（）
A．45B．60C．75D．90
O中，AOB
∠的例2：如图，在
是ACB
m C
，上一点，D E
，是度数为
AB上与A B
，两点重
不同的两点（不
合），则D E
∠+∠的度数为（）
A．m B．180
2
m
-C．90
2
m
+D．
2
m
例3：高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA=（）
A．5B．7C．
37
5
D．
37
7
训练
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（09年南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°,⊙O的半径为cm
3，则弦CD的长为（）
A．
3
cm
2
B．3cm C．23cm D．9cm
2．（09年天津市）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的大小为（）
A．28°B．56°C．60°D．62°
O
P
D
C
B
A
例1图
A
C
D
E
O
例2图
第1题图第2题图第3题图第4题图
O
A B
C
例3图
3．（09南宁）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E,∠CDB ＝30°, ⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ）
A ．3cm 2
B ．3cm
C ．23cm
D ．9cm
4．（09年安徽）如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝22，BD ＝3，则AB 的长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5．（09年安徽）△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（ ） A ．120° B ．125° C ．135° D ．150°
6．（09年重庆）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径．若∠BOC ＝80°，则∠A 等于（ ）
A ．60°
B ．50°
C ．40°
D ．30°
7．（09年兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )
A ．5米
B ．8米
C ．7米
D ．53米
8．（09年山东青岛市）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）
A ．0.4米
B ．0.5米
C ．0.8米
D ．1米
9．（09山西省太原市）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于（ ）
A ．53
B ．5
C ．52
D ．6
10.( 09年云南省)如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝35°，则∠OAC 的度数是（ ）
A ．35°
B ．55°
C ．65°
D ．70°
二、填空题（每小题3分，共30分） 11．（09年长沙）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠BOC ＝44°，则∠A 的度数为．
12．（09年长春）如图，点C 在以AB 为直径的O ⊙上，1030AB A =∠=，°，则BC 的长为．
B C
D A 第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 第11`题图 第12题图 第13题图
13. （09年福州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上 ，OD ∥AC ，若BD ＝1，则BC 的长为
14．（09年北京市）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为BC 上一点，若∠CEA ＝28，则∠ABD ＝°.
D A B
C
E
15．（09年山东青岛市）如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，∠ACD ＝42°，则∠BAD ＝ __________°.
16．（09年新疆乌鲁木齐市）如图，点C 、D 在以AB 为直径的⊙O 上，且CD 平分ACB ∠，若AB ＝2,∠CBA ＝15°，则CD 的长为．
17．（09年广东省）已知⊙O 的直径AB ＝8cm ，C 为⊙O 上的一点，∠BAC ＝30则BC ＝______cm. 18．（09年山西省）如图所示，A 、B 、C 、D 是圆上的点，17040A ∠=∠=°，°，
则C ∠=—度． A
C D
O
19.( 09年上海市) 在⊙O 中，弦AB 的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA ＝．
20．(09成都)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，AD 为⊙O 的直径，AD ＝6，那么BD ＝_________．
三、解答题（共60分）
21．(本题6分)（09年广西钦州）已知：如图，⊙O 1与坐标轴交于A （1，0）、B （5，0）两点，点O 1的纵坐标为
5．求⊙O 1的半径． 22．(本题6分) (’09年四川省内江市)如图，四边形ABCD 内接于圆，对角线AC 与BD 相交于点E 、F 在AC 上，AB ＝AD ，∠BFC ＝∠BAD ＝2∠DFC.
求证：（1）CD ⊥DF ；（2）BC ＝2CD.
23．(本题6分)（09年甘肃庆阳）如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD 中，AC 是对角线，P 为边CD 的中点，
延长AP 交圆于点E ．
∠E ＝度；
25．(本题7分)（09年株洲市）如图，点A 、B 、C 是
O 上的三点，//AB OC . （1）求证：AC 平分OAB ∠.
（2）过点O 作OE AB ⊥于点E ，交AC 于点P .若2AB =，
第14题图 第15题图 第16题图 第17题图 第18题图 第20题图 第22题图 第22题图 B A O 图2 x y
A B O 1
O
第3章 圆的基本性质检测题 （本检测题满分：120分，时间：120分钟） 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1. （2012·湖北襄阳中考）△AB C 为⊙O 的内接三角形，若∠AOC ＝160°，则∠ABC 的度数是（ ） A.80° B.160° C.100° D.80°或100° 2. （2012· 浙江台州中考）如图所示，点A ，B ，C 是⊙O 上三点，∠AOC ＝130°，则∠ABC 等于（ ） A.50° B.60° C.65° D.70° 3. 下列四个命题中，正确的有（ ） ①圆的对称轴是直径； ②经过三个点一定可以作圆； ③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等； ④半径相等的两个半圆是等弧． A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4. （2012·江苏苏州中考）如图所示，已知BD 是⊙O 直径，点A ，C 在⊙O 上，弧AB =弧BC ，∠AOB =60°，则∠BDC 的度数是（ ） A.20° B.25° C.30° D.40° 5.如图，在⊙错误！未找到引用源。中，直径错误！未找到引用源。垂直弦错误！未找到引用源。于点错误！未找到引用源。，连接错误！未找到引用源。，已知⊙错误！未找到引用源。的半径为2，错误！未找到引用源。32,则∠错误！未找到引用源。的大小为( ) A.错误！未找到引用源。 B.错误！未找到引用源。 C. 错误！未找到引用源。 D.错误！未找到引用源。 6.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB =30°，⊙O 的半径为3，则弦CD 的长为（ ） A.2 3 B.3 C.32 D.9 7.如图，已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上到弦AB 所在直线的距离为2的点有( )
圆的基本性质练习 一、看准了再选 1．.如图，⊙O中，ABDC是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC的度数是（） A.110° B.70° C.55° D.125° 2．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G且EF⊥CD，若∠EOD=40°,则∠DCF等于（） A.80° B. 50° C.40° D. 20° 3.直线ａ上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线ａ与⊙O的位置关系是（） Ａ、相离Ｂ、相切Ｃ、相切或相交Ｄ、相交 4.在⊙O中，弦AB垂直并且平分一条半径，则劣弧AB的度数等于（） A.30° B.120° C.150° D.60° 5．如图，⊙O的半径OA=3，以点A为圆心，OA的长为半径画弧交⊙O于B，C?则BC=（）． A．32 B．33 C． 3 2 3 D ． 33 2 6．．如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（）． A．∠1>∠2>∠3 B．∠3>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠3 D．∠3>∠2>∠1 7．．如图，已知∠BAC=45°，一动点O在射线AB上运动（点O?与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的圆O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是（） A．0
A ．65° B ．115° C ．65°或115° D ．130°或50° 9如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，AC 是⊙O 的直径，连结AB 、BC 、OP ，则与∠PAB 相等 的角有（ ）个。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 10．边长分别为3，4，5的三角形的内切圆半径与外接圆的半径之比为（ ）． A ．1：5 B ．2：5 C ．3：5 D ．4：5 11．如图所示，圆弧形桥拱的跨度AB=12m ，拱高CD=4m ，则拱桥的直径为（ ）． A ．6.5m B ．9m C ．13m D ．15m 二．想好了再规范的写画 12．如图所示，线段AD 过圆心O 交⊙O 于D ，C 两点，∠EOD=78°，AE 交⊙O 于B ，? 且AB=OC ，求∠A 的度数． O E D C B A 13．如图AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AB 于O ，交AC 于D ，OD=2，∠A=30°,求CD 。 14．如图，已知在Rt △ABC 中，AC=12，BC=9，D 是AB 上一点，以O 为圆心，BD 为直径的⊙O 切AC 于E ，求AD 的长。 15．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AB=AC ， D ， E 在⊙O 上，说明BD=DE C E A D O B · B A C D O
浙教版九年级上第3章圆的基本性质自测题 一、填空题 1、已知圆O的半径为6㎝，弦AB=6㎝，则弦AB所对的圆心角是度。 2、内接于圆的平行四边形一定是形。 3、三角形ABC中，＜A: 8错误！未指定书签。?如图，方格纸中4个小正方形的边长均为 1, 则图中阴影部分三个小 扇形的面积和为 （结果保留n ） 中考数学 圆的基本性质和计算经典练习题 一、填空题 1错误！未指定书签。?如图，在O O 中，已知 OAC 20 ° , OA // CD ,则 AOD ? 圆心，C 是AB 上一点，0C 丄AB ，垂足为D , AB 300m, CD 50m,则这段弯路 的半径是 m 3错误！未指定书签。?如图，AB 为O O 的直径，点 C , D 在O O 上, BAC 50°，则 ADC 4错误！未指定书签。?如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为 1的O O 的圆 心O 在格点上，则/ AED 的正切值等于 5错误!未指定书签。. 若O 为ABC 的外 心 D C, I ■ ■ BOC 60 ,则 BAC 6错误！未指定书签。? 使吨AB, PC 切 C 如图，AB 为半圆 半圆O 于点C, O 的直径，延长AB 到点P, 点D 是 A C 上和点C 不重 合 的一点，贝y D 的度数为 7错误！未指定书签。 .如图, 在 Rt A ABC 中, BAC 90o , BC 6，点D 为BC 中点, 将厶ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转120° 得到△ ABD ，则点 D 在旋转过程中所经过 的路程为 ?（结果保留 ） 晶，点O 是这段弧的 第1题 2错误!未指定书签。 9错误！未指定书签。?矩形ABCD 勺边 AB=8, AD=6，现将矩形 ABCD 放在直线l 上且沿着I 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始 的 位置 A 1 B 1 C 1 D 1时（如图所示），则顶点A 所经过的路线长是 __________ . 二、选择题 10错误！未指定书签。?如图，O O 内切于 △ ABC ,切点分别为D , E , F .已 知 B 50° , C 60° ,连结 C,则AB 的长为 O 的位置关系是 为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目， 她打算剪去部分扇形纸片后， 利用剩下的 纸片制作成一个底面半径为 10cm 的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片 的圆心角为（ ）. A 9° B 、18° C 63° D 72 三、解答题 第10题 第11题 12题 第13题 11错误！未指定书签。 .如图，两个同心圆的半径分别为 3cm 和 5cm, 弦AB 与小圆相切于点 40cm Ax -A 1 1 x V 1 OE, OF , DE , DF ，那么 EDF 等于 ( ) A. 40° B. 55° C. 65 D. 70° A. 4cm .5cm C. 6cm .8cm 12错误！未指定书签。 ?如图，在直角坐标系中，O O 的半径为 1，则直线 A.相离 E.相交 C.相切 D. 以上三种情形都有 可能 13错误！未指定书签。 ?现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为 40cm 小红同学 的基本性质 考点1 对称性 圆既是________ ① ___ 对称图形，又是_____ ② ________ 对称图形。任何一条直径所在的直线都是它的— ③_________ O它的对称中心是一④°同时圆又具有旋转不变性。 温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条宜线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。 考点2 垂径定理 建理：垂直于弦的直径平分⑤并且平分弦所对的两条⑥。 常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于⑦，并且平分弦所对的两条____ ⑧____________ 0温馨提示：垂径立理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式岀现，一般分值都任3 分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。在这里总结一下：（1）垂径左理和勾股左理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形：（2）常用的辅助线：连接半径：过顶点作垂线；（3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位巻不确泄，则要考虑优弧、劣弧的区别；（4）为了更好理解垂径立理，一条直线只要满足：①过圆心：②垂直于弦；③平分弦：④平分弦所对的优弧：⑤平分弦所对的劣弧： 考点3 圆心角、弧、弦之间的关系 ￥ 泄理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_______ （9）_____ ,所对的弦也______ ⑩________ 。 常用的还有：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角—?______________ ,所对的（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角—?_______________ ，所对的弧_____ ? 方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、狐、弦之间的关系立理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地苴余各组量也都相等。 温馨提示：（1）上述怎理中不能忽视“在同圆或等圆中”这个条件。否则，虽然圆心角相等，但是所对的弧、弦也不相等。以同心圆中的圆心角为例，相等的圆心角在同心圆中，所对的狐与弦都不相等。 （2）在由弦相等推岀弧相等时，这里的弧要么是优弧，要么是劣弧，不能既是优弧又是劣弧。 考点4 圆周角泄理及其推论 圆的基本性质二 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） ． C D ． 102．（4 分）（2005?茂名）下列三个命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦； 103．（4分）（2006?湖州）如图，在⊙O 中，AB 是弦，OC ⊥AB ，垂足为 C ，若AB=16，OC=6，则⊙O 的半径OA 等于（ ） 104．（4分）（2006?南京）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，AO ∥BC ，∠OBC=40 °，则∠ACB 的度数是（ ） 105．（4分）如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 是直径，∠A=20 °，则∠B 的度数是（ ） ． cm cm C cm D ． cm 107．（4分）（2010?兰州）如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（ ） 108．（4分）（2005?茂名）如图，梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，AB为直径，DO平分∠ADC，则∠DAO的度数是（） 110．（4分）如图，正方形ABCD的边长为a，那么阴影部分的面积为（） ． πa2πa2C πa2 D． πa2 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 111．（5分）（2006?常德）在半径为10cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为6cm，则弦AB的长是_________ cm． 112．（5分）（2009?金华）如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是_________度． 113．（5分）（2006?南昌）若圆锥的母线长为3cm，底面半径为2cm，则圆锥的侧面展开图的面积_________cm2． 114．（5分）（2006?益阳）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心．OD⊥AB，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E，若DE=3，则BC=_________． 24.1 圆（第四课时 ） --------圆周角 一、选择题 1.如图，在⊙O 中，若C 是BD 的中点，则图中与∠BAC 相等的角有（ ） A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个 2.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A =40°，则∠BOC 的度数为（ ） A . 20° B . 40° C . 60° D.80° 3.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠A=40 o，则∠B 的度数为（ ） A ．80 o B ．60 o C ．50 o D ．40 o 4.如图，在△ABC 中，AB 为⊙O 的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C 的度数为（ ） A ．50° B ．60° C ．70° D ．80° C · B O A C B O 5.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC，若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（） A.40° B.50° C.60° D.70° 6.如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内⊙C 上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径为（） A．6 B．5 C．3 D．32 7、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP=23，则⊙O的半径为（）A．43B．63C．8 D．12 8、如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（） B．A F=BF C．O F=CF D．∠DBC=90° A.AD BD 二、填空题 1．如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°，则∠ABC的度数是． 2．如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB=度． 3.已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝60°，则∠DCE＝. 4.如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD＝50°，则∠ACD＝.. 5、如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC=70°，则∠OCB=． 圆的基本性质 考点1 对称性 圆既是________①_____对称图形，又是______②________对称图形。任何一条直径所在的直线都是它的____③_________。它的对称中心是_____④_______。同时圆又具有旋转不变性。 温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。 考点2 垂径定理 定理：垂直于弦的直径平分______⑤______并且平分弦所对的两条___⑥________。 常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于______⑦_______，并且平分弦所对的两条_____⑧___________。 温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。在这里总结一下：（1）垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形；（2）常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；（3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位置不确定，则要考虑优弧、劣弧的区别；（4）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧； 考点3 圆心角、弧、弦之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______⑨______，所对的弦也_____⑩________。 常用的还有：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角___○11____________，所对的弦_____○12___________。 （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角____○13___________，所对的弧______○14 __________。 方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。 温馨提示：（1）上述定理中不能忽视“在同圆或等圆中”这个条件。否则，虽然圆心角相等，但是所对的弧、弦也不相等。以同心圆中的圆心角为例，相等的圆心角在同心圆中，所对的弧与弦都不相等。 （2）在由弦相等推出弧相等时，这里的弧要么是优弧，要么是劣弧，不能既是优弧又是劣弧。 考点4 圆周角定理及其推论 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角______○15__________，都等于这条弧所对的圆心角的______○16________。 推论：半圆或直径所对的圆周角是_______○17________，90°的圆周角所对的弦是______○18__________。 圆的基本性质和函数综合 圆部分： 姓名 【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为 ． 变：1.已知⊙O 的弦 AB 所对的圆心角等于140O ，则弦AB 所对的圆周角的度数为__________. 2.已知⊙O 是?ABC 的外接圆，OD ⊥BC 且交BC 于点D ，∠BOC=40O ，则∠ 3.如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，AB=2，CO ⊥AB, 在图中画出弦AD ，使AD=1，并求∠CAD 的度数= 。 4.点p 到⊙O 的最大距离为6cm ，最小距离为2cm ，则⊙O 的半径.= 5.⊙O 的半径为5，已知平面上一点P 到圆周上的点的最短距离为3 6.已知半径为5cm 的⊙O 内有两条平行弦AB 、CD ，且AB=6cm ，CD=8cm ， 则AB 、CD 间的距离为= . 【例2】 如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC 于M ， 求证：AM=DC+CM ． 1．如图，直径为13的⊙O ′，经过原点O ，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，线段OA 、OB(OA>OB)的长分别是方程0602=++kx x 的两根．求线段OA 、OB 的长； 2. 如图平面直角坐标系中，半径为5的⊙O 过点D 、H ， 且DH ⊥x 轴，DH=8． （1）求点H 的坐标； (2)如图，点A 为⊙O 和x 轴负半轴的交点，P 为弧AH 上任意一点，连接PD 、PH ， AM ⊥PH 交HP 的延长线于M ，求 PM PH PD -的值； ⌒ 3．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在弧BC 的中点A ′上，若BC=5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为 ． 4.如图，已知⊙O 的半径为R ，C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为96°，BD 的度数为36°， 动点P 在AB 上，则CP+PD 的最小值为 ． 函数部分： 中考二次函数代数型综合题 题型一、抛物线与x 轴的两个交点分别位于某定点的两侧 例1．已知二次函数y ＝x 2＋(m －1)x ＋m －2的图象与x 轴相交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且x 1＜x 2． （1）若x 1x 2＜0，且m 为正整数，求该二次函数的表达式； （2）若x 1＜1，x 2＞1，求m 的取值范围； （3）是否存在实数m ，使得过A 、B 两点的圆与y 轴相切于点C （0，2），若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由； 题型二、抛物线与x 轴两交点之间的距离问题 例2 已知二次函数y= x 2 +mx+m-5， （1）求证：不论m 取何值时，抛物线总与x 轴有两个交点； （2）求当m 取何值时，抛物线与x 轴两交点之间的距离最短． 题型三、抛物线方程的整数解问题 例1． 已知抛物线()2212m x m x y ++-=与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且m ＜5， 则整数m 的值为_____________ 例2．已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋4m －8． （1）当x ≤2时，函数值y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围； （2）以抛物线y ＝x 2－2mx ＋4m －8的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正AMN ?（M ，N 两点在拋物线上）， 请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； （3）若抛物线y ＝x 2－2mx ＋4m －8与x 轴交点的横坐标均为整数， 求整数．．m 的最小值． 第三章 圆的基本性质单元测试A 一、选择题 1﹒下列条件中，能确定圆的是（ ） A.以已知点O 为圆心 B.以点O 为圆心，2cm 长为半径 C.以2cm 长为半径 D.经过已知点A ，且半径为2cm 2﹒下列说法错误的是（ ） A.圆既是轴对称图形，也是中心对称图形； B.半圆是弧，但弧不一定是半圆 C.直径是弦，并且是圆内最长的弦 D.长度相等的两条弧是等弧 3﹒已知⊙O 的半径是5，点A 到圆心O 的距离是7，则点A 与⊙O 的位置关系是（ ） A.点A 在⊙O 上 B.点A 在⊙O 内 C.点A 在⊙O 外 D.点A 与圆心O 重合 4. 如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到△ADE ， 若∠CAE ＝65°，∠E ＝70°，且AD ⊥BC ，则∠BAC 的度数 为（ ） A.60° B.75° C.85° D.90° 5﹒在⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为AB 长度的一半， 则弦AB 所对圆心角的大小为（ ） A.30° B. 45° C. 60° D. 90° 6﹒如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B ＝60°，⊙O 的半径为4，则AC 的长等于（ ） D.8 7﹒下列命题中的假命题是（ ） A.三点确定一个圆 B.三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等 C.同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 D.同圆中，相等的弧所对的弦相等 8﹒一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB ＝10，水面宽AB 是16，则截面水深CD 是（ ） 第6题图 A.3 B.4 C.5 D.6 第8题图第9题图第10题图第11题图 9﹒如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的周长为（） A.5πcm B.6πcm C.9πcm D.8πcm 10.如图，AB，CD是⊙O的直径，AE＝BD，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（） A.32° B.60° C.68° D.64° 11.如图，已知AB为⊙O的直径，∠DCB＝20°，则∠DBA的度数为（） A.50° B.20° C.60° D.70° 12.P是⊙O外一点，P A、PB分别交⊙O于C、D两点，已知AB、 CD所对的圆心角分别为90°、50°，则∠P的度数为（） A.45° B.40° C.25° D.20° 13.若一个三角形的外心在这个三角形的一边上，那么这个三角形是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 14.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝ 则此三角形的外接圆的半径为（） B.2 D.4 15.如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝2，BC＝6， 则⊙O的半径为（） 16.下列几种形状的瓷砖中，只用一种不能铺满地面的是（） 第12题图 初中数学试卷 鼎尚图文**整理制作 圆的基本性质知识点（一） 知识点一: 圆的定义 第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转_______，_______所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫做________，线段 OA 叫做_______。 第二种：圆心为 O ，半径为 r 的圆可以看成是所有到________的距离等于_______的点的集合。 知识点二: 圆的相关概念 1. 弦：连接圆上任意两点的______叫做弦，经过______的弦叫作直径。如图：____ 2. 弧：圆上_________的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆_________，每一条弧都叫做半圆。如图：____,____,_____, 3. 等圆：_____________的两个圆叫做等圆。 4. 等弧：在同圆或等圆中，____________的弧叫做等弧。 注： 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只 有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 5. 圆心角：顶点在_______, 两边_________的角叫做圆心角。如图：____ 6. 圆周角：顶点在_______且_________的角叫做圆周角。如图：_______ 知识点三： 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的____相等，所对的____也相等，所对的________相等,所对的________也相等,； 即：∵AOB ∠=∠DOE ∴_________ , ___________ , ____________ 2. 推论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的______相等、 所对的___相等, 所对的________也相等； 。 推论2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的________相等、所对的_____相等,所对的_____也分别相等。 3. 圆周角与圆心角的关系 （1）定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角______，都等于这条弧所对的圆心角的_________； 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴_________________ （2）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是_______，90度的圆周角所对的 弦是_______,弧是________； 即：在⊙O 中, ∵ AB 是直径 ∴_________ , 或∵90C ∠=? ∴___________ B A B A 内容： 满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．⊙O 中，直径AB ＝a ， 弦CD ＝b,,则a 与b 大小为（ ） A ．a ＞b B ．a ≥b C ．a ＜b D ． a ≤b 2.下列语句中不正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； ④半圆是弧。 A ．1个 Ｂ．2个 C ．3个 Ｄ．4个 3．已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上到弦AB 所在直线的距离为2的 点有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB=6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是（ ） A ． B ．3.5 C ． D ． 5．如图， ，已知AB 是⊙O 的直径，∠BOC=400，那么∠AOE=（ ） B. 600 C.800 6．如图，将圆沿AB 折叠后，圆弧恰好经过圆心，则 等于（ ） A ．60° B ．90° C ．120° D ．150° (第4题) (第5题) (第6题) 7．已知⊙O 的半径是5cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝6cm ，CD ＝8cm ，则AB 与CD 的距离是（ ） A ．1 cm B ．7 cm C.1 cm 或7 cm D.无法确定 8．如图，BD 是⊙O 的直径，圆周角∠A = 30，则∠CBD 的度数是（ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．80 9．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠BAC ＝30o，AD ＝CD ，则∠DAC 的度数是（ ） A ．30o B ．60o C ．45o D ．75o 10．如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ） A ．(45) cm B ．9 cm C ．45cm D ．62cm (第8题) (第9题) (第10题) 二、填空题（本大题共4小题，每小题３分，共12分） 11．如图，⊙O 的半径OA=10cm ，弦AB=16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 。 12．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝1，则弦AB 的长是 。 （11） （12） （13） （14） 13．如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，连接OA ，OB ，BD ，若∠AOB ＝100°，则∠ABD ＝ 度。 14．如图，点A 、B 是⊙O 上两点，AB=10，点P 是⊙O 上的动点（P 与A ，B 不重合）连结AP ，PB ，过点O 分别作OE ⊥AP 于点E ，OF ⊥PB 于点F ，则EF= 。 三、（本题共2小题，每小题5分，满分10分） 15．如图所示，AB 是⊙O 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F ，且AE=BF ，请你找出线段 OE 与OF 的数量关系，并给予证明。 16．如图是一块圆形砂轮破碎后的部分残片,试找出它的圆心, 并将它还原成一个圆．要求： １、尺规作图；２、保留作图痕迹。（可不写作法。） 四、（本题共2小题，每小题5分，满分10分） O P B A A D B C O _ O _E _ D _ C _ B _ A A B O M A E O F B P AmB O 30 D B C A O D C B A 圆的基本性质复习课教案 学习目标： 1．进一步理解圆的轴对称性和旋转不变性； 2．进一步掌握由这两个性质得到的垂径定理，以及圆心角定理、 圆周角定理. 3．通过例题的探究，进一步培养学生的探究能力、思维能力和解 决问题的能力。 学习重点：圆的对称性、垂径定理，以及圆心角定理、圆周角定理及推论。 学习难点：相关性质的应用 学习过程： 一基础过关 1、圆的对称性 （1）、圆是______图形,圆的对称轴是______________,它有_____条对称轴. （2）、圆是___________图形，它的对称中心是________. （3）、圆具有_____________. 垂直于弦的直径弦，并且弦所对的两条弧． 推论：平分弦(不是直径)的直径弦，并且平分弦所对的两条弧． 中考链接（2015遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm， OC⊥AB于点C，则OC=_______ 变式训练：一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径 OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是 （） A.16 B.10 C.8 D.4 3、圆心角、弧、弦之间的关系 (1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的相等． (2)推论：同圆或等圆中,两个_____、两条___、两条___中有一组量相等,它们所 对应的其余各组量也相等. 4、圆周角定理: 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对 的圆心角的． 推论：半圆(或直径)所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是． 中考链接： 1、（2015湖南娄底）如图4，在⊙O中，AB为直径，CD为 弦，已知∠ACD=40°，则∠BAD=__________度. 2、（2016湖南娄底）如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°， 则∠CAB的度数为（） A．20° B．40° C．50° D．70° 二典例精析 例1、如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径，且OD//AC。求证： CD=BD （学生以小组为单位，合作交流各自的想法，尽可能多角度、多途径来证明 这两条弦相等分组交流，派学生代表汇报成果。） 圆的基本性质检测题 班级：姓名：分数 一：选择题（每题5分，共30分） 1.下列语句中不正确的有（） ①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；④半圆是弧。 ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； A．1个Ｂ．2个C．3个Ｄ．4个 2.若⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的 点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如图，BD是⊙O的直径，圆周角∠A = 30?，则∠CBD的度数是（） A．30? B．45? C．60? D．80? 4 ．如图，，已知AB是⊙O的直径，∠BOC=400，那么∠AOE=（）A.400 B. 600 C.800 D.1200 5．如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在⊙O上，∠CAB=30°，D 为的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为（） Ａ．Ｂ Ｃ.1Ｄ.2 第4题) （第5题）（第6题）6.两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm2,则该半圆的半径为（） A．(4+ cm B．9 cm C．．cm 二：填空题（每题5分，共20分） 7.一条弦把圆分为2∶3的两部分，那么这条弦所对的圆周角度数为。 8.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，若∠AOB＝100°，则∠ABD＝。 9.点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合）连结AP， PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF= 。 10.如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，则弦 AB的长是。 （第8题）（第9题）（第10题） _O _E_D _C _B _A A D B C O P A B 圆的基本性质练习（含答案） 圆的基本性质 考点1 对称性 圆既是__________ ①______ 对称图形，又是 _________ ②____ 对称图形。任何一条直径所在的直线都是它的 _____ ③。它的对称中心是_ ④ _____________________ 。同时圆又具有旋转不变性。 温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。 考点2 垂径定理 定理：垂直于弦的直径平分_________ ⑤______ 并且平分弦 所对的两条__⑥ __________ 。 常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于__________ ⑦ _______ ，并且平分弦所对的两条 _______ ⑧ ___________ 。 温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基本上 都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题 目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。在这里总结一下：（1）垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形；（2）常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；（3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位置不确定，则要考虑优弧、劣弧的区别；（4）为了更好理解垂径定理，一 条直线只要满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④ 平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧； 考点3 圆心角、弧、弦之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧___________ ⑨ _____ ，所对的弦也______ ⑩_________ o 常用的还有：(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等， 那么它们所对的圆心角—a ______________ ，所对的弦 ____ J2 __________ o (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对 的圆心角 _______ 13 _____________ ，所对的弧 __________ 14 方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关 系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。 初中数学：圆的基本性质测试题（含答案） 一、选择题(每小题4分,共24分) 1．如图G －3－1,在⊙O 中,AB ︵＝AC ︵ ,∠AOB ＝40°,则∠ADC 的度数是( ) A ．40° B ．30° C ．20° D ．15° 2．在同圆或等圆中,下列说法错误的是( ) A ．相等的弦所对的弧相等 B ．相等的弦所对的圆心角相等 C ．相等的圆心角所对的弧相等 D ．相等的圆心角所对的弦相等 G －3－1 G －3－2 3．如图G －3－2,在两个同心圆中,大圆的半径OA ,OB ,OC ,OD 分别交小圆于点E ,F ,G ,H ,∠AOB ＝∠GOH ,则下列结论中,错误的是( ) A ．EF ＝GH B.EF ︵＝GH ︵ C ．∠AOC ＝∠BO D D.AB ︵＝GH ︵ 4．已知正六边形的边长为2,则它的外接圆的半径为( ) A．1 B. 3 C．2 D．2 3 5．在如图G－3－3所示的暗礁区,两灯塔A,B之间的距离恰好等于圆的半径,为了使航船(S)不进入暗礁区,那么S对两灯塔A,B的视角∠ASB必须( ) A．大于60° B．小于60° C．大于30° D．小于30° G－3－3 G－3－4 6．如图G－3－4,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的点,且OC∥BD,AD分别与BC,OC相交于点E,F,则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD； ④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED.其中一定成立的是( ) A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤ 二、填空题(每小题4分,共24分) 7．如图G－3－5,AB是⊙O的直径,AC＝BC,则∠A＝________°. G－3－5 圆的基本性质知识点（一） 知识点一: 圆的定义 第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转_______，_______所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫做________，线段 OA 叫做_______。 第二种：圆心为 O ，半径为 r 的圆可以看成是所有到________的距离等于_______的点的集合。 知识点二: 圆的相关概念 1. 弦：连接圆上任意两点的______叫做弦，经过______的弦叫作直径。如图：____ 2. 弧：圆上_________的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆_________，每一条弧都叫做半圆。如图：____,____,_____, 3. 等圆：_____________的两个圆叫做等圆。 4. 等弧：在同圆或等圆中，____________的弧叫做等弧。 注： 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只 有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 5. 圆心角：顶点在_______, 两边_________的角叫做圆心角。如图：____ 6. 圆周角：顶点在_______且_________的角叫做圆周角。如图：_______ 知识点三： 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的____相等，所对的____也相等，所对的________相等,所对的________也相等,； 即：∵AOB =∠DOE ∴_________ , ___________ , ____________ 2. 推论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的______相等、所对 的___相等, 所对的________也相等； 。 B A D B 圆的基本性质 基础知识回放 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ??BC BD =??AC AD = B 圆心角定理 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论： B A B A O 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对 的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB ∴△ABC 是直角三角形或∠C=90° 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜 边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 弦切角定理: 弦切角等于所夹弧所对的圆周角 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 即：∵MN 是切线，AB 是弦 ∴∠BAM=∠BCA 切线的性质与判定定理 （1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切 线中考数学-圆的基本性质和计算经典练习题
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