初中数学：圆的基本性质测试题（含答案）
一、选择题(每小题4分,共24分)
1．如图G －3－1,在⊙O 中,AB ︵＝AC ︵
,∠AOB ＝40°,则∠ADC 的度数是( ) A ．40° B ．30° C ．20° D ．15°
2．在同圆或等圆中,下列说法错误的是( ) A ．相等的弦所对的弧相等 B ．相等的弦所对的圆心角相等 C ．相等的圆心角所对的弧相等 D ．相等的圆心角所对的弦相等
G －3－1
G －3－2
3．如图G －3－2,在两个同心圆中,大圆的半径OA ,OB ,OC ,OD 分别交小圆于点E ,F ,G ,H ,∠AOB ＝∠GOH ,则下列结论中,错误的是( )
A ．EF ＝GH B.EF ︵＝GH ︵
C ．∠AOC ＝∠BO
D D.AB ︵＝GH ︵
4．已知正六边形的边长为2,则它的外接圆的半径为( )
A．1 B. 3 C．2 D．2 3
5．在如图G－3－3所示的暗礁区,两灯塔A,B之间的距离恰好等于圆的半径,为了使航船(S)不进入暗礁区,那么S对两灯塔A,B的视角∠ASB必须( ) A．大于60° B．小于60°
C．大于30° D．小于30°
G－3－3
G－3－4
6．如图G－3－4,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的点,且OC∥BD,AD分别与BC,OC相交于点E,F,则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD；
④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED.其中一定成立的是( )
A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥
C．②③④⑥ D．①③④⑤
二、填空题(每小题4分,共24分)
7．如图G－3－5,AB是⊙O的直径,AC＝BC,则∠A＝________°.
G－3－5
G－3－6
8．如图G－3－6,在⊙O的内接四边形ABCD中,点E在DC的延长线上．若∠A ＝50°,则∠BCE＝________°.
9．如图G－3－7,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点．若BC＝6,AB＝10,OD ⊥BC于点D,则OD的长为________．
G－3－7
G－3－8
10．用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图G－3－8所示的正五边形ABCDE,其中∠BAC＝________°.
11．如图G－3－9,⊙O的半径为4,△ABC是⊙O的内接三角形,连结OB,OC.若∠BAC和∠BOC互补,则弦BC的长度为________．
G－3－9
图G－3－10
12．如图G－3－10,已知正六边形ABCDEF内接于半径为4的⊙O,则B,D两点间的距离为__________．
三、解答题(共52分)
13．(12分)如图G－3－11所示,⊙O的直径AB长为6,弦AC长为2,∠ACB 的平分线交⊙O于点D,求四边形ADBC的面积．
图G－3－11
14．(12分)如图G－3－12,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,∠ABC 的平分线交AD于点E,连结DB.
(1)求证：DE＝DB；
(2)若∠BAC＝90°,BD＝4,求△ABC的外接圆半径．
图G －3－12
15．(12分)作图与证明：如图G －3－13,已知⊙O 和⊙O 上的一点A ,请完成下列任务：
(1)作⊙O 的内接正六边形ABCDEF ；
(2)连结BF ,CE ,判断四边形BCEF 的形状,并加以证明．
图G －3－13
16．(16分)如图G －3－14,正方形ABCD 内接于⊙O ,E 为CD ︵
上任意一点,连结
DE ,AE .
(1)求∠AED的度数；
(2)如图②,过点B作BF∥DE交⊙O于点F,连结AF,AF＝1,AE＝4,求DE的长．
图G－3－14
详解详析
1．C 2.A 3.D 4.C 5.D
6．D [解析] ∵AB是⊙O的直径,∴∠D＝90°,即AD⊥BD,∴①正确；∵OC∥BD,∴∠C＝∠CBD.
又∵OB＝OC,∴∠C＝∠OBC,
∴∠OBC＝∠CBD,即BC平分∠ABD,
∴③正确；
∵∠D＝90°,OC∥BD,
∴∠CFD＝∠D＝90°,
即OC⊥AD,∴AF＝DF,∴④正确；
又∵AO＝BO,∴OF是△ABD的中位线,
∴OF＝1
2
BD,即BD＝2OF,∴⑤正确．故选D.
7．45 [解析] ∵AB是⊙O的直径, ∴∠C＝90°.
∵AC＝BC,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠A＝∠B＝1
2
(180°－∠C)＝45°.
8．50
9．4 [解析] ∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB＝90°.∵BC＝6,AB＝10,∴AC＝102－62＝8.
∵OD⊥BC于点D,∴DB＝DC.
又∵OA＝OB,∴OD＝1
2
AC＝4.
10．36
11．4 3 [解析] ∵∠BAC＋∠BOC＝180°, 2∠BAC＝∠BOC,
∴∠BOC＝120°,∠BAC＝60°.
过点O作OD⊥BC于点D,
则∠BOD＝1
2
∠BOC＝60°.
∵OB＝4,
∴OD＝2,
∴BD＝OB2－OD2＝42－22＝2 3,
∴BC＝2BD＝4 3.
12．4 3 [解析] 如图,连结OB,OC,OD,BD,BD交OC于点P,
∴∠BOC＝∠COD＝60°,
∴∠BOD ＝120°,BC ︵＝CD ︵
, ∴OC ⊥BD . ∵OB ＝OD , ∴∠OBD ＝30°. ∵OB ＝4,
∴PB ＝OB ·cos ∠OBD ＝
3
2
OB ＝2 3, ∴BD ＝2PB ＝4 3.
13．解：∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°. 在Rt △ABC 中,AB ＝6,AC ＝2, ∴BC ＝AB 2－AC 2＝62－22＝4 2. ∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D , ∴∠DCA ＝∠BCD , ∴AD ︵＝BD ︵, ∴AD ＝BD ,
∴在Rt △ABD 中,AD ＝BD ＝3 2,
∴四边形ADBC 的面积＝S △ABC ＋S △ABD ＝12AC ·BC ＋12AD ·BD ＝12×2×4 2＋1
2×3
2×3 2＝9＋4 2.
故四边形ADBC的面积是9＋4 2.
14．解：(1)证明：连结CD,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD＝∠CAD.
又∵∠CBD＝∠CAD,
∴∠BAD＝∠CBD.
∵BE平分∠ABC,
∴∠CBE＝∠ABE,
∴∠DBE＝∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.
又∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD,
∴∠DBE＝∠BED,
∴DE＝DB.
(2)∵∠BAC＝90°,
∴BC是圆的直径,
∴∠BDC＝90°.
∵AD平分∠BAC,BD＝4,
∴BD＝CD＝4,
∴BC＝BD2＋CD2＝4 2.
∴△ABC的外接圆半径为2 2.
15．解：(1)如图①,首先作直径AD,然后分别以A,D为圆心,OA长为半径画
弧,分别交⊙O 于点B ,F ,C ,E ,连结AB ,BC ,CD ,DE ,EF ,AF ,
则正六边形ABCDEF 即为所求．
(2)四边形BCEF 是矩形． 证明：如图②,连结OE , ∵六边形ABCDEF 是正六边形, ∴AB ＝AF ＝DE ＝DC ＝FE ＝BC , ∴AB ︵＝AF ︵＝DE ︵＝DC ︵, ∴BF ︵＝CE ︵, ∴BF ＝CE ,
∴四边形BCEF 是平行四边形． ∵六边形ABCDEF 是正六边形, ∴∠DEF ＝∠EDC ＝120°. ∵DE ＝DC ,
∴∠DEC ＝∠DCE ＝30°, ∴∠CEF ＝∠DEF －∠DEC ＝90°, ∴平行四边形BCEF 是矩形． 16．解：(1)如图①,连结OA ,OD .
∵四边形ABCD是正方形, ∴∠AOD＝90°,
∴∠AED＝1
2
∠AOD＝45°.
(2)如图②,连结CF,CE,CA,过点D作DH⊥AE于点H.
∵BF∥DE,AB∥CD,
∴∠ABF＝∠CDE.
∵∠CFA＝∠AEC＝90°,∠AED＝∠BFC＝45°,
∴∠DEC＝∠AFB＝135°.
又∵CD＝AB,∴△CDE≌△ABF,
∴AF＝CE＝1,
∴AC＝AE2＋CE2＝17,
∴AD＝
2
2
AC＝
34
2
.
∵∠DHE＝90°,
∴∠HDE＝∠HED＝45°,
∴DH＝EH,设DH＝EH＝x, 在Rt△ADH中,
∵AD2＝AH2＋DH2,
∴34
4
＝(4－x)2＋x2,
解得x＝3
2
或x＝
5
2
,
∴DE＝2DH＝3 2
2
或
5 2
2
.
一、基础知识 （一）圆的有关概念： 圆：在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合。其中，定点为圆心，定长为半径。弦：连接圆上任意两点的线段。经过圆心的弦是直径。 弧：圆上任意两点间的部分叫弧。圆上任一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧角做优弧，小于半圆的弧叫劣弧。 （二）圆的性质： 1.同圆或等圆中：半径、直径都相等。 2.圆有无数条弦，其中最长的弦为直径。 3.圆是轴对称图形，对称轴为直径所在的直线，有无数条。圆是中心对称图形，并且无论绕圆心旋转多少度，都可以和原图形重合。 二、重难点分析 本课教学重点：弦和弧的概念、弧的表示方法和点与圆的位置关系． 本课教学难点：点和圆的位置关系及判定。通过日常生活在生产中的实例引导学生对学习圆的兴趣。 三、典例精析： 例1：（2014?长春二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（） A．70°Ｂ．60°Ｃ．50°Ｄ．40°
∴∠DAO=∠AOC=70° 例2．如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC=OE，若∠C=20°，则∠EOB的度数是。 四、感悟中考
１、（2013?温州）在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C 作 BAC ，如图所示．若AB =4，AC =2，S 1-S 2=4 π，则S 3-S 4的值是（ ） Ａ．429π Ｂ．423π Ｃ．411π Ｄ．4 5π 2、如图，已知同心圆O ，大圆的半径AO 、BO 分别交小圆于C 、D ，试判断四边形ABDC 的形状．并说明理由．
圆的基本性质 一、选择题 1．（2019·嘉兴）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线PA 交OC 延长线于点P ，则PA 的长为（ ） A ．2 B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】连接OA ，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA 为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以 2.（2019·杭州）如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，若PA=3，则PB= （ ） A ．2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】因为P A 和PB 与⊙O 相切，根据切线长定理，可知： P A =PB =3，故选B ． 3．（2019·烟台）如图，AB 是 O 的直径，直线DE 与O 相切于点C ，过点A ，B 分别作AD DE ⊥， BE DE ⊥，垂足为点D ，E ，连接AC ，BC ．若AD =3CE =，则AC 的长为（ ）． A ． 3 B ．3 C ．2 D ．3 【答案】D 【解题过程】连接OC ， 因为AD DE ⊥，BE DE ⊥， 所以90ADC CEB ∠=∠=? 所以90DAC ACD ∠+∠=? 因为AB 是 O 的直径， O D E B A
所以90ACB ∠=?， 所以90BCE ACD ∠+∠=?， 所以BCE DAC ∠=∠， 在△ADC 与△CED , 因为90ADC CEB ∠=∠=?，BCE DAC ∠=∠ 所以△ADC ∽△CED , 所以 BC CE AC AD ===在Rt △ACB 中，sin BC BAC AC ∠== 所以60BAC ∠=?， 又因为OA OC =， 所以△AOC 是等边三角形， 所以60ACO ∠=?， 因为直线DE 与 O 相切于点C ， 所以OC DE ⊥， 因为AD DE ⊥，OC DE ⊥， 所以AD//OC ， 所以60DAC ACO ∠=∠=?， 所以9030ACD DAC ∠=?-∠=?， 所以2AC AD ==， 所以△AOC 是等边三角形， 所以OA AC ==，60AOC ∠=?， 所以AC =． 4．（2019·威海） 如图，⊙P 与x 轴交与点A （—5，0），B （1，0），与y 轴的正半轴交于点C ，若∠ACB ＝60°，则点C 的纵坐标为 A. B . C . D . 2 【答案】D 【解题过程】连接PA 、PB 、PC ,过点P 分别作PF ⊥AB ，PE ⊥OC ，垂足为F,E. 由题意可知：四边形PFOE 为矩形， ∴PE ＝OF ,PF ＝OE . ∵∠ACB ＝60°， ∴∠APB ＝120°. ∵P A ＝PB ， ∴∠P AB ＝∠PBA ＝30°. ∵PF ⊥AB ， ∴AF ＝BF ＝3.
中考数学50个知识点专练26 圆的基本性质 一、选择题 1．(2011·上海)矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3 5，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是( ) A. 点B、C均在圆P外 B. 点B在圆P外、点C在圆P内 C. 点B在圆P内、点C在圆P外 D．点B、C均在圆P内 2．(2011·凉山)如图，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB 的度数为( ) A．50° B．80°或50° C．130° D．50°或130° 3．(2011·重庆)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于( ) A．60° B．50° C．40° D．30° 4．(2011·绍兴)一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是( ) A．16 B．10 C．8 D．6 5．(2011·嘉兴)如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为( ) A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题 6．(2011·扬州)如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD＝50°，则∠ACD＝__________度．
7．(2011·安徽)如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB ＝CD ，已知CE ＝1，ED ＝3，则⊙O 的半径是________________． 8．(2011·杭州)如图，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，CD 的度数等于84°，CA 是∠OCD 的平分线，则∠ABD ＋∠CAO ＝________. 9．(2011·威海)如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE ＝5，BE ＝1，CD ＝4 2，则∠AED ＝___________. 三、解答题 11．(2011·上海)如图，点C 、D 分别在扇形AOB 的半径OA 、OB 的延长线上，且OA ＝3，AC ＝2，CD 平行于AB ，并与A B 相交于点M 、N. (1)求线段OD 的长； (2)若tan ∠C ＝1 2 ，求弦MN 的长． 12．(2011·江西)如图，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为2 3，点A 为弦BC 所对优
初中数学圆的基本性质定理知识点 初中数学圆的基本性质定理知识点 初中数学圆的基本性质定理知识点 2020-01-12 初中数学圆的基本性质定理知识点 各位热爱数学的初中同学们应该都知道，初中数学公式定理是丰富多样的，下面小编和大家分享的是初中数学圆的基本性质。更多更全的初中数学讯息尽在。 1 圆的基本性质 1 1圆的定义在平面内,和某一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆周,简称为圆;其中定点叫做圆的圆心,廉结圆心与圆上任意一点的线段叫做半径同圆的半径都相等连结圆上任意两点的线段叫做这个圆的弦,通过圆心的弦叫做直径圆上任意两点间的部分叫做弧圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的’弧叫做劣弧由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形两个圆全等的充要条件是两个圆的半径相等半径相等的圆叫做等圆,同圆或等圆的半径相等 1 2 不共线的三点确定一个圆经过一点可以作无数个圆经过两点也可以作无数个圆,且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上定理过不共线的三个点,可以作且只可以作一个圆推论三角形的三边垂直平分线相交于一点,这个点就是三角形的外心三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心 1. 3 垂径定理圆是中心对称图形;圆心是它的对称中心圆是周对称图形,任一条通过圆心的直线都是它的对称轴定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且评分弦所对的两条弧推论 1 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧推论 2 弦的垂直平分弦经过圆心,并且平分弦所对的两条弧推论3 平分弦所对的一条弧的直径,垂直评分弦,并且平分弦所对的另一条弧 1. 4 弧、弦和弦心距定理在同圆或等圆中,相等的弧所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等 2 圆与直线的位置关系 2.1圆与直线的位置关系如果一条直线和一个圆没有公共点,我们就说这条直线和这个圆相
?知识定位 圆在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识如圆与正多边形的关系，圆心角、三角形外接圆、弧、弦、弦心距间的关系，垂径立理是今后我们学习综合题目的重要基础。圆的基本性质以及应用，必须熟练掌握。本Yj我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中圆相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。 「知识梳理 1、圆的定义： （1）描述性泄义：在一个平而内，线段OA绕它固左的一个端点。旋转一周，另一个端点A 随之转所形成的图形叫做圆，其中固逹端点。叫做圆心，OA叫做半径. （2）集合性泄义：平而内到泄点的距离等于左长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径. （3）圆的表示方法：通常用符号。表示圆，泄义中以。为圆心，％为半径的圆记作“OO”, 读作“圆°"。 （4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆.注意：同圆或等圆的半径相等. 2、弦和弧： （1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. （2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍. （3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距. （4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以人B为端点的圆弧记作AB,读作 （5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. （6）半圆：圆的任意一条宜径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆? （7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧. （8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 3、垂径定理： （1）垂径泄理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论1： ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧： ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧： ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 推论2：圆的两条 平行弦所夹的弧相等.
初中数学：圆的基本性质测试题（含答案） 一、选择题(每小题4分,共24分) 1．如图G －3－1,在⊙O 中,AB ︵＝AC ︵ ,∠AOB ＝40°,则∠ADC 的度数是( ) A ．40° B ．30° C ．20° D ．15° 2．在同圆或等圆中,下列说法错误的是( ) A ．相等的弦所对的弧相等 B ．相等的弦所对的圆心角相等 C ．相等的圆心角所对的弧相等 D ．相等的圆心角所对的弦相等 G －3－1 G －3－2 3．如图G －3－2,在两个同心圆中,大圆的半径OA ,OB ,OC ,OD 分别交小圆于点E ,F ,G ,H ,∠AOB ＝∠GOH ,则下列结论中,错误的是( ) A ．EF ＝GH B.EF ︵＝GH ︵ C ．∠AOC ＝∠BO D D.AB ︵＝GH ︵ 4．已知正六边形的边长为2,则它的外接圆的半径为( )
A．1 B. 3 C．2 D．2 3 5．在如图G－3－3所示的暗礁区,两灯塔A,B之间的距离恰好等于圆的半径,为了使航船(S)不进入暗礁区,那么S对两灯塔A,B的视角∠ASB必须( ) A．大于60° B．小于60° C．大于30° D．小于30° G－3－3 G－3－4 6．如图G－3－4,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的点,且OC∥BD,AD分别与BC,OC相交于点E,F,则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD； ④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED.其中一定成立的是( ) A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤ 二、填空题(每小题4分,共24分) 7．如图G－3－5,AB是⊙O的直径,AC＝BC,则∠A＝________°. G－3－5
考点跟踪训练26 圆的基本性质 一、选择题 1．(2011·上海)矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3 5，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是( ) A. 点B、C均在圆P外 B. 点B在圆P外、点C在圆P内 C. 点B在圆P内、点C在圆P外 D．点B、C均在圆P内 答案 C 解析如图，AB＝8，BP＝3AP，得BP＝6，AP＝2.在Rt△APD中，PD＝ 3 52＋22＝7>BP，所以点B在圆P内；在Rt△BPC中，PC＝ 3 52＋62＝9>PD，所以点C在圆P外． 2．(2011·凉山)如图，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为( ) A．50° B．80°或50° C．130° D．50° 或130° 答案 D 解析当点C在优弧上，∠ACB＝1 2 ∠AOB＝50°； 当点C在劣弧上，∠ACB＝180°－50°＝130°.综上，∠ACB＝50°或130°.
3．(2011·重庆)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于( ) A．60° B．50° C．40° D．30° 答案 B 解析在△OBC中，OB＝OC，∠OCB＝40°， ∴∠BOC＝180°－2×40°＝100°. ∴∠A＝1 2 ∠BOC＝ 1 2 ×100°＝50°. 4．(2011·绍兴)一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是( ) A．16 B．10 C．8 D．6 答案 A 解析在Rt△OBC中，OB＝10，OC＝6， ∴BC＝102－62＝8. ∵OC⊥AB， ∴AC＝BC. ∴AB＝2BC＝2×8＝16.
、选择题 1. （2016甘肃兰州，7, 4分）如图，在O O中，点C是AB的中点，/ A=50°,则/ BOC=（） A. 40° B . 45° C. 50° D . 60° 【答案】A 【逐步提示】因为半径OA=OB，故可先根据等边对等角求得/ B的度数，再根据三角形内角和定理求得/ AOB 的度数，最后根据等弧所对圆心角相等求得/ BOC的度数. 【详细解答】解：因为OA=OB，所以/ B= / A=50 °，所以/ AOB=180 °—/ B-Z A=80°,在O O中，因为点 1 C 是AB 的中点，所以AC=CB，所以Z BOC= Z AOC，因为Z BOC + Z AOC= Z AOB，所以Z BOC= Z 2 AOB=40 °，故选择A . 【解后反思】圆中通常把圆周角和圆心角以及它们所对弧的度数进行转换，怎么转换需要根据题目的要求来确定； 同圆的半径相等，有时还需要连接半径，用它来构造等腰三角形，有了等腰三角形，再利用“等边对等角”及“三 线合一”来进行证明和计算. 【关键词】圆心角；等弧所对圆心角的关系；等腰三角形性质；三角形内角和定理 2. （2016甘肃兰州，10, 4分）10.如图，四边形ABCD内接于O O,四边形ABCO是平行四边形，则Z ADC= （） A. 45° B . 50° C. 60° D . 75° 【答案】C 【逐步提示】先找出同弧所对圆周角与圆心角的关系，再结合平行四边形对角相等得到Z B与Z ADC的倍数关系，最后根据“圆内接四边形对角互补”建立方程求出Z ADC的度数. 1 【详细解答】解：???圆周角Z ADC与圆心角Z AOC所对的弧都是ABC ,???/ ADC= Z AOC，即Z AOC=2 Z ADC , 2 ???四边形ABCO 是平行四边形，???/ AOC= Z B,???/ B=2 Z ADC ,v四边形ABCD内接于O O,「?Z B +Z ADC=180 °，即卩2Z ADC +Z ADC=180°，解得Z ADC =60°,故选择C. 【解后反思】看到求与圆有关的角，就想到：（1）同弧所对的圆周角相等；（2）同弧所对的圆周角等于它所对的 圆周角的一半；（3）圆的内接四边形的对角互补；（4 ）同圆的半径相等，等边对等角等? 【关键词】圆周角定理；圆内接四边形性质；平行四边形性质； 3. （2016广东茂名，9, 3分）如图，A、B、C是O C上的三点，且Z B=75 °，则Z AOC的度数是（）
初中数学试卷 灿若寒星整理制作 圆的基本性质知识点（一） 知识点一: 圆的定义 第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转_______，_______所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫做________，线段 OA 叫做_______。 第二种：圆心为 O ，半径为 r 的圆可以看成是所有到________的距离等于_______的点的集合。 知识点二: 圆的相关概念 1. 弦：连接圆上任意两点的______叫做弦，经过______的弦叫作直径。如图：____ 2. 弧：圆上_________的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆_________，每一条弧都叫做半圆。如图：____,____,_____, 3. 等圆：_____________的两个圆叫做等圆。 4. 等弧：在同圆或等圆中，____________的弧叫做等弧。 注： 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只 有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 5. 圆心角：顶点在_______, 两边_________的角叫做圆心角。如图：____ 6. 圆周角：顶点在_______且_________的角叫做圆周角。如图：_______ 知识点三： 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的____相等，所对的____也相等，所对的________相等,所对的________也相等,； 即：∵AOB ∠=∠DOE ∴_________ , ___________ , ____________ 2. 推论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的______相等、 所对的___相等, 所对的________也相等； 。 推论2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的________相等、所对的_____相等,所对的_____也分别相等。 3. 圆周角与圆心角的关系 （1）定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角______，都等于这条弧所对的圆心角的_________； 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴_________________ （2）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是_______，90度的圆周角所对的 弦是_______,弧是________； 即：在⊙O 中, ∵ AB 是直径 ∴_________ , 或∵90C ∠=? ∴___________ B A B A
专题：圆的基本性质（一） 一、知识要点 1．经历形成圆的概念的过程, 探索点与圆位置关系的过程 (1).圆上各点到圆心的距离都等于 。 (2).圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又是 对称图形， 是它的对称对称中心。 2、垂径定理及其应用: 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且并且平分 。 3、圆心角、弧、弦之间关系定理． 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中 有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 。 二、知识运用典型例题 例1、如图，Rt △ABC 的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB 上的高为CD ，若以C 为圆 心，分别以cm r cm r cm r 3,4.2,2321===为半径作圆，试判断D 点与这三个圆的位置 关系． 例2、设⊙O 的半径为2，点P 到圆心的距离m OP =，且m 使关于x 的方程 012222=-+-m x x 有实数根，试确定点P 的位置． 例3、由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A 市气象局测得沙尘暴中心在A 市正东方向400km 的B 处，正在向西北方向移动（如图3-1-5），距沙尘暴中心300km 的范围内将受到影响，问A 市是否会受到这次沙尘暴的影响？ 方法总结：
例4、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长． 例5、⊙O的直径为50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，求弦AB和CD之间的距离． 例6、如图，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D． （1）求证：AC=DB； （2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圆环的面积． 例7、如图，弦DC、FE的延长线交于⊙O外一点P，直线PAB经过圆心O，请你根据现有圆形，添加一个适当的条件：，使∠1=∠2． 例8、判断： (1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）
第六单元圆 第21讲圆的基本性质 知识点一：圆的有关概念关键点拨与对应举例 1.与圆有 关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成 的图形．如图所示的圆记做⊙O. （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过 圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦. （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的 弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个 交点的角叫做圆周角. （6）弦心距：圆心到弦的距离. （1）经过圆心的直线是该 圆的对称轴，故圆的对称轴 有无数条； （2）3点确定一个圆，经 过1点或2点的圆有无数 个. （3）任意三角形的三个顶 点确定一个圆，即该三角形 的外接圆. 知识点二：垂径定理及其推论 2.垂径定 理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 关于垂径定理的计算常与勾股 定理相结合，解题时往往需要添 加辅助线，一般过圆心作弦的垂 线，构造直角三角形. 推论 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 延伸 根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中： ①弧AC=弧BC; ②弧AD=弧BD； ③AE=BE; ④AB⊥CD;⑤CD是直径. 只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三. 知识点三：圆心角、弧、弦的关系 3.圆心角、 弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量 关系必须在同圆等式中才 成立. 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相 等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 知识点四：圆周角定理及其推论 4.圆周角 定理及 其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a, ∠A=1/2∠O. 图a 图b 图c ( 2 )推论： ①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C. ②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°. ③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ 在圆中求角度时，通常需要 通过一些圆的性质进行转 化.比如圆心角与圆周角间 的转化；同弧或等弧的圆周 角间的转化；连直径，得到 直角三角形，通过两锐角互 余进行转化等. 例：如图， AB是⊙O 的直径，C， D是⊙O上
章节测试题 1.【答题】⊙O的一条弦长AB=12cm，直径CD⊥AB于E，则AE的长为（） A. 12cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 【答案】B 【分析】根据垂径定理解答即可. 【解答】解：如图： ∵CD是直径，，AB=12cm， ∴AE=AB=6cm（垂径定理）． 选B. 2.【答题】如图，半径为5的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3，则弦AB的长是（）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【分析】根据垂径定理解答即可. 【解答】连接OA,如图所示： 由题意知：OC⊥AB 由垂径定理知：点C是AB的中点，AC=AB 由勾股定理知，AC=4，AB=8 选C.
3.【题文】如图，AB是半圆的直径，0是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC的中点，0D交弦AC于E，连接BE．若AC=8，DE=2，求BE的长度． 【答案】 【分析】连接BC，设OD＝OA＝x，在Rt△AEO中，根据求出x 的值，在Rt△ABC中求出BC的长度，再Rt△CBE中求BE的长度； 【解答】解：如图，连接BC D 是弧AC的中点 OD 垂直平分AC EA =EC= 设OD=OA=x，则OE=x-2， 即， 解得x=5 AB=2OA=10
答：BE的长度为. 4.【题文】已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD=30°， AE=2cm．求DB长． 【答案】DB=cm 【分析】由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理，可得CE=DE， ∠AEC=∠DEB=90°，然后由含30°角的直角三角形的性质，即可求得EC与DE的长，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B=30°，继而求得DB的长． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CE=DE，∠AEC=∠DEB=90°， ∵∠B=∠ACD=30°， 在Rt△ACE中，AC=2AE=4cm，
圆的基本性质 知识定位 圆在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识如圆与正多边形的关系，圆心角、三角形外接圆、弧、弦、弦心距间的关系，垂径定理是今后我们学习综合题目的重要基础。圆的基本性质以及应用，必须熟练掌握。本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中圆相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。 知识梳理 1、圆的定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 随之转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径． （2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径． ⊙”，（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O 读作“圆O”。 （4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：同圆或等圆的半径相等． 2、弦和弧： （1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． （2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． （3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 、为端点的圆弧记作AB，读作（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 弧AB． （5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． （6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 3、垂径定理： （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1： ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
第十八讲 圆的基本性质 到定点(圆心)等于定长(半径)的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印． 圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一中心对称图形．用圆的基本性质解题应注意： 1．熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明； 2．了解弧的特性及中介作用； 3．善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化． 熟悉如下基本图形、基本结论： 【例题求解】 【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为 ． 作出辅助线，解直角三角形，注意AB 与AC 有不同的位置关系． 注： 由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结 合起来． 圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性． 【例2】 如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( ) A ．2 B ． 25 C ．45 D ．16 17 5 思路点拨 所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，通过 设未知数求解．
【例3】 如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM=DC+CM ． 思路点拨 用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关 键是促使不同量的相互转换并突破它． 【例4】 如图甲，⊙O 的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦C E ⊥AB ，在CB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F ，M ． (1)求∠COA 和∠FDM 的度数； (2)求证：△FDM ∽△COM ； (3)如图乙，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在EB 上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线AB 于点F 、M ，试判断：此时是否有△FDM ∽△COM? 证明你的结论． 思路点拨 (1)在Rt △COG 中，利用OG= 21OA=2 1 OC ；(2)证明∠COM=∠FDM ，∠CMO= ∠FMD ；(3)利用图甲的启示思考． 注：善于促成同圆或等圆中不同名称的相互转化是解决圆的问题的重要技巧，此处，要努力把圆与直线形相合起来，认识到圆可为解与直线形问题提供新的解题思路，而在解与圆相关问题时常用到直线形的知识与方法(主要是指全等与相似)． 【例5】 已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，EF ：FD ＝4：3． (1)求证：AF ＝DF ； (2)求∠AED 的余弦值； (3)如果BD ＝10，求△ABC 的面积． 思路点拨 (1)证明∠ADE ＝∠DAE ；(2)作AN ⊥BE 于N ，cos ∠AED ＝ AE EN ，设FE=4x ，FD ＝3x ，利用有关知识把相关线段用x 的代数式表示；(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出x 的值． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
初中数学：圆的基本性质同步测试题（含答案） [测试范围：3.1～3.3 时间：40分钟 分值：100分] 一、选择题(每小题4分，共24分) 1．已知⊙O 的半径是4，OP ＝3，则点P 与⊙O 的位置关系是( ) A ．点P 在⊙O 内 B ．点P 在⊙O 上 C ．点P 在⊙O 外 D ．不能确定 2．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后能与原图形完全重合的是( ) 图G －2－1 图G －2－2 3．如图G －2－2，在⊙O 中，∠OAB ＝45°，圆心O 到弦AB 的距离OE ＝2 cm ，则弦AB 的长为( ) A ．2 cm B ．3 cm C ．4 2 cm D ．4 cm 4．平面直角坐标系内，过A (2，2)，B (6，2)，C (4，5)三点的圆的圆心坐标为( ) A.? ? ???4，176 B ．(4，3)
C.? ? ???5，176 D ．(5，3) 5．在直径为200 cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图G －2－3所示．若油面AB ＝160 cm ，则油的最大深度为( ) A ．40 cm B ．60 cm C ．80 cm D ．100 cm G －2－3 G －2－4 6．如图G －2－4，正方形OABC 绕着点O 逆时针旋转40°得到正方形ODEF ，连结AF ，则∠OFA 的度数是( ) A ．15° B ．20° C ．25° D ．30° 二、填空题(每小题4分，共24分) 7．平面上到点O 的距离为3 cm 的点的轨迹是____________________． 8．如图G －2－5，AB 是⊙O 的弦，AB 的长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与点A ，B 重合)，过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为________． G －2－5
内容 基本要求 略高要求 较高要求 圆的有关概念 理解圆及其有关概念 会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题 圆的性质 知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系 能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题 能运用圆的性质解决有关问题 圆周角 了解圆周角与圆心角的关系；了解直径所对的圆周角是直角 会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题 能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题 一、圆的基本概念 圆的定义 1． 描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所 形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径． 2． 集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径． 3． 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O 为圆心，OA 为半径的圆记作”O ⊙“，读作”圆O “． 4． 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆． 注意：同圆或等圆的半径相等． 弦和弧 1． 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． 2． 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 3． 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 4． 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ． 5． 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 6． 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 7． 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 8． 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 二、垂径定理 圆的对称性 圆的对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合． ⑴ 旋转对称性：无论绕圆心旋转多少度它都能与自身重合，对称中心为圆心． 圆的旋转对称性 弦、弧、弦心距，圆心角之间的关系： 知识点睛 中考要求 第一讲 圆的基本性质
《圆的基本性质》知识点总结 1.在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O” 2、与圆有关的概念 （1）弦和直径（连结圆上任意两点的线段BC叫做弦，经过圆心的弦AB叫做直径） （2）弧和半圆（圆上任意两点间的部分叫做弧，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆），大于半圆的弧叫优弧（优弧用⌒和三个字母表示）、小于半圆的弧叫劣弧（用⌒和两个字母表示）。 （3）等弧：能够互相重合的两段弧 （4）等圆（半径相等的两个圆叫做等圆） 3、点和圆的位置关系： 如果P是圆所在平面内的一点，d 表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，则： （1）d
1、明确旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）； 2、找出关键点； 3、找出关键点的对应点； 4、作出新图形； 5、写出结论。 7、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 注：用于计算时，一般先连结过弦的一个端点的半径或者作弦心距，构造Rt△，再结合勾股定理求解. 推论：圆中两平行弦所夹的弧相等 8、圆心角定理（顶点在圆心的角）：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 这段圆弧相应圆周的圆心角就是弧的度数 9、圆周角定理（顶点在圆上，两边都和圆相交的角）：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°圆周角所对的弦是直径。 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，两个弦心距中有一对量相等，那么他们所对应的其余各对量都相等。 10、圆内接正方形的对角互补。 圆内接四边形，任一外角等于它的内对角 11、正多边形的内角度数(n-2)×180°/n 外角为360°/n 中心角为360°/n. 经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫做圆内接正多边形，任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆。 正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形 会作圆内接正六边形，正方形
初中数学《圆的基本性质》好题集锦 一、圆的有关线段和角 1．如图所示，已知△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠BOC ＝120°，延长BO 交⊙O 于D 点． (1)试求∠BAD 的度数； (2)求证：△ABC 为等边三角形． 2．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于点E ，AM ⊥BC 于点M ，交CD 于点N ，连接AD ． (1)求证：AD ＝AN ； (2)若AB ＝24，ON ＝1，求⊙O 的半径． 3．已知,在⊙O 中,AB 是⊙O 的直径,点C ．、P 在AB 的两侧,AC =2 1 AB ,连接CP ,BP ． (Ⅰ)如图①,若CP 经过圆心,求∠P 的大小； (Ⅱ)如图②,点D 是PB 上一点,CD ⊥PB ,若CP ⊥AB ,求∠BCD 的大小．
4．如图，⊙P 的圆心的坐标为(2，0)，⊙P 经过点)2 5 ,4(B ． (1)求⊙P 的半径r ； (2)⊙P 与坐标轴的交点A ，E ，C ，F 的坐标； (3)点B 关于x 轴的对称点D 是否在⊙P 上，请说明理由． 5．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是BD 的中点，CE ⊥AB 于 E ，BD 交CE 于点F ． （1）求证：CF =BF ；（2）若CD =6，AC =8，求CE 的长． 6．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连结AD ． （1）求证：∠DAC ＝∠DBA ； （2）求证：P 是线段AF 的中点； （3）连接CD ，若CD ＝3，BD ＝4，求⊙O 的半径和DE 的长．
第1讲圆的基本性质 知识总结归纳 一．圆的定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径． （2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径． ⊙”，（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O 读作“圆O”。 （4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：同圆或等圆的半径相等． \ 二．弦和弧： （1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． （2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． （3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． （4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． （6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 、 （8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 三．垂径定理： （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且 平分弦所对的另一条弧． （3）推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 四．圆心角和圆周角 （1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1?的圆心角，我们也称这样的弧为1?的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． - （3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90?的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（4）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，