第三章 空间力系
一、空间汇交力系
（一）空间汇交力系的合成 1．空间力在坐标轴上的投影 （1）一次投影法
如图3-1所示,若已知力F 与三个坐标轴x,y,z 间的夹角分别为θ、β和γ，则
力F 在三个坐标轴上的投影分别为
??
?
??
===γβθcos cos cos z y x F F F （3.1）
图3-1
相应的，若已知力F 的三个投影，可以求出力F 的大小和方向，即大小为 222z y x F F F F ++=
（3.2）
方向 ??
???
????
===
F F
F F F F z y
x γβθcos cos cos
（3.3）
（2）二次投影法
如图3-2所示,若已知力F 与坐标轴Oxy 的仰角γ以及力F 在Oxy 平面上的
投影xy F 与x 轴间的夹角?，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为
γ?λ?γsin sin in cos in F F Fs F Fs F z y x ===，，
图3-2
2．合力投影定理 合力在某轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。即
∑=+++=xi
xn x x Rx F
F F F F 21 同理 ∑∑==zi
Rz yi Ry
F F F F ，
3．空间共点力系的合成
空间共点力系可以合成为一个合力，该合力的作用线通过力系的公共作用
点，合力的大小和方向为
()()()
2
2
2
∑∑∑++=
z
y
x
R F F F F （3.4）
()()()?
?
?
?
?
????===∑∑∑R z R R y
R
R x
R
F F F F F F k F j F i F ,cos ,cos ,cos
（3.5）
（二）空间汇交力系的平衡 1．空间汇交力系的平衡条件
空间汇交力系平衡的充要条件是合力等于零，即
()()()
02
2
2
=++=
∑∑
∑z
y
x
R F F F F
2．空间汇交力系的平衡方程
根据平衡条件，得到空间汇交力系的平衡方程为
???
????===∑∑∑000y x z
F
F
F
（3.6）
利用上述三个方程，可以求解3个未知量。
二、空间力偶系
（一）空间力偶理论
空间力偶等效条件：作用在同一平面内或平行平面内的两个力偶，若它们的
力偶矩的大小相等，且力偶的转向相同，则这两个力偶彼此等效。 力偶对刚体作用的三要素：力偶矩的大小、力偶作用面的方位和力偶的转向。
可用力偶矩矢矢量来表示力偶对刚体作用的三要素。矢量的模表示力偶矩的
大小，矢量的方位与力偶作用面的法线方位相同，矢量的指向与力偶的转向关系服从右手螺旋规则。
力偶矩矢是一个自由矢量。 （二） 空间力偶系的合成与平衡 1．空间力偶系的合成
空间力偶系的合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即
∑=+++=i n M M M M M 21
（3.7）
合力偶矩矢在某一坐标轴上的投影等于各分力偶矩矢在同一坐标轴上投影
的代数和，即 ∑=+++=xi xn x x x M M M M M 21 ∑=+++=yi yn y y y M M M M M 21
∑=+++=zi zn z z z M M M M M 21
合力偶矩矢的大小和方向为
()()()
2
2
2
∑∑∑++=
z
y
x
M M M M （3.8）
()()()?????
????===
∑∑∑R z R y R x
F F F F F F
k j i ,cos ,cos ,cos M M M
（3.9）
2．空间力偶系的平衡
空间力偶系平衡的充要条件是合力偶矩矢等于零，即 0==
∑=n
i i
1
M
M
（3.10）
空间力偶系的平衡方程为
??
???===∑∑∑000z
y x M
M M （3.11）
利用上述三个方程，可以求解3个未知量。
三、空间任意力系
（一）空间力对点之矩和对轴之矩 1．空间力对点之矩
在空间情况下，力对点O 之矩是一矢量，可表示为
()z
y
x
O F F F z y x
k j i
F r F M =?=
（3.12）
式中r 是矩心O 到力F 作用点的矢径，x 、y 和z 是力F 作用点的三个坐标，x F 、
y F 和z F 是力F 在三个坐标轴上的投影。 2．空间力对轴之矩
空间力对轴之矩是一代数量，其正负号按右手螺旋规则来确定，其绝对值等
于力在垂直于该轴的平面上的投影对此平面与该轴的交点的矩，即
()()()()()()??
?
??
===yz O x xz O y xy O z M M M M M M F F F F F F
（3.13）
空间力对轴之矩还可以用以下方法来计算：
（1）若已知力F 在坐标轴上的投影x F 、y F 和z F 及该力的作用点的坐标x 、
y 和z ，则力对各坐标轴的矩可表示为
??
?
??
===x y z z x y y z x yF xF M xF zF M zF yF M -)(-)(-)(F F F （3.14）
上式为力对轴之矩的解析式。
（2）根据力对点之矩和力对轴之矩的关系，即力对某轴之矩等于力对该轴
上任一点O 的矩矢在这轴上的投影，有
()()[]()()[]()()[]??
?
??
===z O z y O y x O x M M M F M F F M F F M F （3.15）
3．根据力对轴之矩来计算力对点之矩
若已经计算出力对各坐标轴之矩()F x M 、()F y M 和()F z M ，且当x 、y 和z
互为正交时，则力对点O 之矩的大小为
()()[]()[]()[]222F F F F M z y x O M M M ++=
（3.16）
方向为
()[]()()()[]()()()[]()()??
???
????
=
==
F M F k F M F M F j F M F M F i F M O O O z O y O x O M M M ,cos ,cos ,cos
（3.17）
（二）空间任意力系的简化、合成与平衡 1．空间任意力系的简化、力系的主矢与主矩
空间任意力系向任一点O （简化中心）简化后，一般可得作用于O 点的一个
力和一个力偶。这个力的矢量称为该力系的主矢，它等于力系中各力的矢量和，即
∑==+++=n
i i n R 121F F F F F
（3.18）
主矢的大小和方向与简化中心O 的位置无关。这个力偶的矩矢称为力系对简化中心的主矩，它等于力系中各力对简化中心O 的矩的矢量和，即
()()()()∑==+++=n
i O O O O O 121F M F M F M F M M n
（3.19）
主矩的大小和转向一般随简化中心位置的变化而变化。 2．空间任意力系的合成结果
空间任意力系的最后合成结果有以下四种情形： （1）平衡的情形
主矢F R =0，主矩M O =0，即该空间力系平衡。 （2）简化为一合力偶的情形
主矢F R =0，主矩M O ≠0，这时得一力偶。该力偶与原力系等效，即空间力系合成为一力偶，力偶矩矢等于原力系对简化中心的主矩。在这种情况下，主矩与简化中心的位置无关。
（3）简化为一合力的情形
主矢F R ≠0, 主矩M O =0，这时得一力。 这力与原力系等效，即空间力系合成为一合力，合力的作用线通过简化中心O ，合力矢等于原力系的主矢。
（4）简化为力螺旋的情形
主矢F R ≠0, 主矩M O ≠0，但F R ∥M O ，这种结果称为力螺旋，如图3-3所示。所谓力螺旋，就是由一力和一力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面。
图3-3
3．空间任意力系的平衡
空间任意力系平衡的充要条件是力系的主矢以及对任一点O 的主矩都等于
零，即
?
??
==00O R M F
（3.20）
由此可以得到空间任意力系的平衡方程
?
?
?
?
?
?
?
????======∑∑∑∑∑∑0)(0)(0)(00
z F F F M
M M F F F y x z y x
（3.21）
这是平面任意平衡方程的基本形式，还有四矩矢、五矩式和六矩式，但它们对投影轴和力矩轴有一定的限制条件。 四、重心
（一）重心坐标公式
在工程实际中，确定物体重心的位置具有比较重要的意义，船舶、车辆、飞机、航空器等的运动稳定性都与它们的重心位置有关。再如，为了使塔式起重机在不同情况下都不致倾覆，必须加上合适的配重使起重机的重心处于恰当的位置。
确定物体的重心位置，属于空间平行力系的合成问题。根据合力矩定理，得到物体重心的坐标公式为
P P x x i i C ∑=
，P
P y y i i C ∑=，P P
z z i i C ∑=
对于匀质物体，各微小部分的力 P i 与其体积V i 成正比，总重量 P 与总体积 i V V ∑=也按同一比例成正比，则有
V V x x i i C ∑=
， V V y y i i C ∑=，V
V
z z i i C ∑= 此时，物体重心的位置完全取决于物体的几何形状，而与重量无关。由上式确定的几何点，称为物体的形心。由此可见，对于匀质物体其重心与形心是相重合的。
若取图形所在的平面作为坐标平面Oxy ，则平面图形形心的坐标为
A A x x i i C ∑=
，A
A
y y i i C ∑= 式中A i 是图形微小部分的面积，A = ΣA i 是图形的总面积。平面图形的形心可理解为图形厚度趋向无限小的匀质平板的重心，也可称为面积重心。 （二） 用组合法求重心
求组合体的重心有两种方法，即分割法和负面积法。
分割法就是将组合体分割成几个重心已知的简单形体，则整个物体的重心即可用前面的公式求出。对于在物体内切去一部分（如有空洞等）的物体，其重心仍可应用与分割法相同的公式计算，只是切去部分的面积取为负值。该方法称为负面积法或负体积法。
（三） 用实验的方法测定重心的位置
对于一些外形复杂或质量分布不均匀的物体，则很难用上述计算方法来求其重心。此时可用实验的方法来测定其重心位置。常用的方法有悬挂法和称重法。 五、难题解析
【例1】如图3-4（a ）所示，长宽为a 的均质正方形板ABCD 重P=20kN ，用球铰链A 和碟铰链B 支承在墙上，并用杆CE 维持在水平位置，且?=∠60AEC ，试求杆CE 所受的压力及碟铰链B 的约束力。
图3-4
解：取板ABCD 为研究对象，受力如图3-4（b ）所示。由空间一般力系平衡
方程，有
()，
，030sin 2
0=???-?
=∑a F a
P M C y F 得 N P F C k 20== 又 ()∑=0F z M
即 0=Bx F 考虑 ()030sin 2
0=???+?
-?=∑a F a
P a F M C Bz x ，F 得到 0=Bz F
【例2】试求图3-5所示振动器用的偏心块的形心位置。已知R=100mm ，r 1=30mm ，r 2=17mm 。
图3-5
解：取坐标系Oxy 如图3-5所示。偏心块可看作由三部分组成：半径为R 的半圆A 1，半径为r 1的半圆A 2，挖去半径为r 2的圆A 3。
大半圆的面积和形心C 1的坐标为
小半圆的面积和形心C 2的坐标为
小圆的面积和形心C 3的坐标为
由此可得偏心块的形心坐标为
课时授课计划 第23次课 【教学课题】：第三章空间力系 【教学目的】：理解空间力系的平衡条件 【教学重点及处理方法】：空间力系平衡问题的平面解法 处理方法：详细讲解 【教学难点及处理方法】：空间力系的平衡空间力系的定义，空间力系的计算及平衡问题。 处理方法：结合例题分析讲解 【教学方法】: 讲授法 【教具】：三角板 【时间分配】：引入新课 5min 新课 80 min 小结、作业 5min
第二十三次课 【提示启发引出新课】 力系中各力的作用线不在同一平面内，该力系称为空间力系。根据力的作用线的关系可以分为空间汇交力系、空间平行力系、空间任意力系。本次课讨论空间力系的平衡问题。 【新课内容】 第三章空间力系 空间力系——各力的作用线不在同一平面内的力系。 3.1 力的投影和力对轴之矩 3.1.1力在空间直角坐标轴上的投影 1.一次投影法 设空间直角坐标系的三个坐标轴如图所示，已知力F与三个坐标轴所夹的锐角分别为α、β、γ,则力F在三个轴上的投影等于力的大小乘以该夹角的余弦，即
2.二次投影法 有些时候，需要求某力在坐标轴上的投影，但没有直接给出这个力与坐标轴的夹角，而必须改用二次投影法。 如图所示，若已知力F与z轴的夹角为，力F和z轴所确定的平面与x轴的夹角为，可先将力F在oxy平面上投影，然后再向x、y轴进行投影。则力在三个坐标轴上的投影分别为 反过来，若已知力在三个坐标轴上的投影Fx、Fy、Fz，也可求出力的大小和方向，即
例3-1 斜齿圆柱齿轮上A点受到啮合力Fn的作用，Fn沿齿廓在接触处的法线方向，如图所示。n 为压力角，β为斜齿轮的螺旋角。试计算圆周力Ft、径向力Fr、轴向力Fa的大小。 解建立图示直角坐标系Axyz,先将法向力Fn向平面Axy投影得Fxy，其大小为 Fxy=Fncos n 向z轴投影得径向力 Fr=Fnsin n 然后再将Fxy向x、y轴上投影，如图所示。因 =β，得 圆周力Ft=Fxycosβ=Fncos ncosβ 轴向力 Fa=Fxysinβ=Fncos nsinβ 3.1.2力对轴之矩
第五章 空间任意力系 5.1解：cos 45sin 60 1.22x F F K N == c o s 45c o s 60 0.7 y F F K N == sin 45 1.4z F F K N == 6084.85x z M F m m K N m m ==? 5070.71y z M F m m K N m m ==? 6050108.84z x y M F m m F m m K N m m =+=? 5.2 解：21sin cos sin x F F F αβα=- 1c o s c o s y F F βα=- 12sin cos z F F F βα=+12sin cos x z M F a aF aF βα==+ 1sin y M aF β= 121cos cos sin cos sin z y x M F a F a aF aF aF βααβα=-=--- 5.3解：两力F 、F ′能形成力矩1M 1M Fa m ==? 11cos 45x M M = 10y M = 11sin 45z M M = 1c o s 4550x M M K N m == ? 11sin 4550100z z M M M M K N m =+=+=? C M m ==?63.4α= 90β= 26.56γ= 5.4 如图所示，置于水平面上的网格，每格边长a = 1m ，力系如图所示，选O 点为简化中心，坐标如图所示。已知：F 1 = 5 N ，F 2 = 4 N ，F 3 = 3 N ；M 1 = 4 N·m ，M 2 = 2 N·m ，求力系向O 点简化所得的主矢'R F 和主矩M O 。 题5.4图 解：' 1236R F F F F N =+-=
理论力学（机械工业出版社）第三章 空间力系习题解答 习题3-1 在边长为a的正六面体上作用有三个力，如图3-26所示，已知：F1=6kN，F2=2kN，F3=4kN。试求各力在三个坐标轴上的投影。图3-26 F1x?0F1y?0F1z?F1?6kN F2y?Fcos45??2kNF2z?0 F2x??F2cos45???2kNF3x?F3343?kN33F3 y??F3343??kN33F3z?F3343?kN 33 3-2 如图3-27所示，已知六面体尺寸为400 mm×300 mm×300mm，正面有力F1=100N，中间有力F2=200N，顶面有力偶M=20N·m作用。试求各力及力偶对z轴之矩的和。图3-27 ?Mz??F1cos45???F2434?? 20 ??202?24034?20???m 3-3如图3-28所示，水平轮上A点作用一力F=1kN，方向与轮面成a=60°的角，
且在过A点与轮缘相切的铅垂面内，而点A与轮心O?的连线与通过O?点平行于y轴的直线成b=45°角，h=r=1m。试求力F在三个坐标轴上的投影和对三个坐标轴之矩。图3-28 Fx?Fcos?sin??1000?cos60??sin45??2502 N?354N Fy??Fcos?cos???1000?cos60??sin45???25 02N??354N 1 Mx(F)?|Fy|?h?|Fz|?rcos??354?1?866?1?co s45???258N?m My(F)?|Fx|?h?|Fz|?rsin??354?1?866?1?sin 45??966N?m Mz(F)??Fcos??r??1000?cos60??1??500N? m Fz??Fsin???1000?sin60???5003??866N 3-4 曲拐手柄如图3-29所示，已知作用于手柄上的力F=100N，AB=100mm，BC=400mm，CD=200mm，a=30°。试求力F对x、y、z轴之矩。图 3-29 ?Fsin?sin??100?sin230??25N
本讲主要内容 1、空间任意力系向一点的简化及结果分析 2、空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束 3、重心的计算
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
(1) 空间任意力系向一点简化·主矢和主矩 F 1 F 2 F n 1 F ￠ 2F ￠ n F ￠ 1M 2 M n M 空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系. ) (i O i i i F M M F F ==￠及结果分析
主矢 汇交力系的合力 主矢大小方向作用点: 一般令其作用于简化中心上 2 2 2 R )()()(???++=￠iz iy ix F F F F R R ),cos(F F iz ￠= ￠?k F 1F ￠ 2F ￠n F ￠ 1 M 2 M n M k j i F F ????++==￠z y x i R F F F R F ￠R R ),cos(F F ix ￠= ￠?j F R R ),cos(F F ix ￠ = ￠?i F (与简化中心无关)
主矩 空间力偶系的合力偶矩 主矩大小方向作用位置: 刚体上任意位置 1 M 2 M n M ) (??==i O i O F M M M R F ￠O ),cos(M M x O ?= i M O M 由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有 k j i M )()()(???++=i z i y i x O F M F M F M 2 2 2 ) ()()(???++=z y x O M M M M O ),cos(M M y O ?= j M O ),cos(M M z O ?= k M (一般与简化中心有关)
课时授课计戈I 」 第三章空间力系与重心 掌握力在空间直角坐标系上的投影的计算 掌握力对轴的矩的计算 掌握空间力系的平衡条件 掌握重心的概念 空间力系的平衡条件 力对轴的矩的计算 第三章 空间力系与重心 第一节力在空间直角坐标系上的投影 第二节力对轴的矩 第三节 空间力系的平衡条件 第四节物体的重心 课本 教学方法 课堂教学 授课日期 2011.10.22 1044-3 目 的 要 求
教学过程： 复习：1、复习约束与约束反力概念。 2、复习物体受力图的绘制。 课: 第三章 空间力系与重心 第一节力在空间直角坐标系上的投影 1. 力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解 若已知力F 与正交坐标系Oxyz 三轴间的夹角分别为a 、p 、丫， 如图4-1 所示，则力在三个轴上的投影等于力F 的大小乘以与各轴夹角的余弦, 即 X=F cos a Y=W cos p Z=F cos 丫 当力F 与坐标轴Ox Oy 间的夹角不易确定时，可把力 F 先投影到坐 标平面Oxy 上，得到力F 砂，然后再把这个力投影到x 、y 轴上。在图4-2 中, 已知角丫和卩，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为 (4-1) O 图4一 1 書
Z jr 乙Z
X=F sin 丫 COS 0 Y=F sin 丫 sin W Z=F cos 丫 若以人、人、人表示力F 沿直角坐标轴X 、y 、z 的正交分量，以i 、 j 、k 分别表示沿X 、y 、z 坐标轴方向的单位矢量，如图4-3所示，则 图4-2 戸=人+尸$+巧=为+Y +Zk 由此，力F 在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢 量间的关系可表示为 人=X ，人=Y ，人=zk (4-4) 如果己知力F 在正交轴系Oxyz 的三个投影，则力F 的大小和方向余弦为 F =J 护+尸+0 ￡ cos( F , i)= F (4-5) 例：图4-4所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力 E 的作用。已知斜齿 轮的齿倾角(螺旋角)P 和压力角a ，试求力E 沿x 、y 和z 轴的分力。 (4-2) (4-3)
第三章 空间力系 一、空间汇交力系 （一）空间汇交力系的合成 1．空间力在坐标轴上的投影 （1）一次投影法 如图3-1所示,若已知力F 与三个坐标轴x,y,z 间的夹角分别为θ、β和γ，则 力F 在三个坐标轴上的投影分别为 ?? ? ?? ===γβθcos cos cos z y x F F F （3.1） 图3-1 相应的，若已知力F 的三个投影，可以求出力F 的大小和方向，即大小为 222z y x F F F F ++= （3.2） 方向 ?? ??? ???? === F F F F F F z y x γβθcos cos cos （3.3） （2）二次投影法
如图3-2所示,若已知力F 与坐标轴Oxy 的仰角γ以及力F 在Oxy 平面上的 投影xy F 与x 轴间的夹角?，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为 γ?λ?γsin sin in cos in F F Fs F Fs F z y x ===，， 图3-2 2．合力投影定理 合力在某轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。即 ∑=+++=xi xn x x Rx F F F F F 21 同理 ∑∑==zi Rz yi Ry F F F F ， 3．空间共点力系的合成 空间共点力系可以合成为一个合力，该合力的作用线通过力系的公共作用 点，合力的大小和方向为 ()()() 2 2 2 ∑∑∑++= z y x R F F F F （3.4） ()()()? ? ? ? ? ????===∑∑∑R z R R y R R x R F F F F F F k F j F i F ,cos ,cos ,cos （3.5） （二）空间汇交力系的平衡 1．空间汇交力系的平衡条件 空间汇交力系平衡的充要条件是合力等于零，即 ()()() 02 2 2 =++= ∑∑ ∑z y x R F F F F
第6章力系的平衡——思考题——解答 6-1 空间一般力系向三个相互相交的坐标平面投影，得到三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，这样力系就有九个平衡方程，那么能否求解九个未知量为什么 6-1 解答： (1) 空间一般平衡力系，有六个独立的平衡方程，能求解六个未知量。 (2) 空间一般力系向三个相互相交的坐标平面投影，得到三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，这样力系就有九个平衡方程，但并非独立，因为三个相互相交的坐标平面满足一定的几何关系（每一个坐标平面之间的夹角是确定的，共有三个确定的夹角），这样得到的三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，力系就有九个平衡方程，其实独立的还是六个平衡方程，能求解六个未知量。
6-2 试问在下述情况下，空间平衡力系最多能有几个独立的平衡方程为什么 （1）各力的作用线均与某直线垂直； （2）各力的作用线均与某直线相交； （3）各力的作用线均与某直线垂直且相交； （4）各力的作用线均与某一固定平面平行； （5）各力的作用线分别位于两个平行的平面内； （6）各力的作用线分别汇交于两个固定点； （7）各力的作用线分别通过不共线的三个点； （8）各力的作用线均平行于某一固定平面，且分别汇交于两个固定点； （9）各力的作用线均与某一直线相交，且分别汇交于此直线外的两个固定点； （10）由一组力螺旋构成，且各力螺旋的中心轴共面； （11）由一个平面任意力系与一个平行于此平面任意力系所在平面的空间平行力系组成； （12）由一个平面任意力系与一个力偶矩均平行于此平面任意力系所在平面的空间力偶系组成。 6-2 解答： 空间的一般平衡力系共有六个独立的平衡方程 0=∑x F ，0=∑y F ，0=∑z F ，0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M (1) 各力的作用线均与某直线垂直 —— 最多有五个独立平衡方程。 假设各力的作用线均与z 轴垂直，则0=∑z F 自动满足，独立的平衡方程有5个。 (2) 各力的作用线均与某直线相交 —— 最多有五个独立平衡方程。
第3章 平面任意力系习题 1.是非题（对画√，错画×) 3－1.平面任意力系的主矢0∑='=n 1i i R F F =时，则力系一定简化一个力偶。 （ ) 3－2.平面任意力系中只要主矢0∑≠'=n 1 i i R F F =,力系总可以简化为一个力。( ) ３-3.平面任意力系中主矢的大小与简化中心的位置有关。( ） 3－4.平面任意力系中主矩的大小与简化中心的位置无关。（ ） ３-5．作用在刚体上的力可以任意移动，不需要附加任何条件。( ) 3-6.作用在刚体上任意力系若力的多边形自行封闭,则该力系一定平衡。（ ） ３-7.平面任意力系向任意点简化的结果相同，则该力系一定平衡。（ ） ３-８．求平面任意力系的平衡时,每选一次研究对象,平衡方程的数目不受限制。( ） 3-9.桁架中的杆是二力杆。（ ） 3－1０.静滑动摩擦力F 应是一个范围值。（ ) 2.填空题(把正确的答案写在横线上) 3－1１.平面平行力系的平衡方程0)(0 )(i i ==∑∑==F F n 1 i B n 1i A M M , 其限制条件。 3-1２.题３-１2图平面力系，已知：Ｆ１=F ２=F 3=F ４=Ｆ,M=Fa ,ａ为三角形边长,如以A 为简化中心，则最后的结果其大小，方向。 3-１3.平面任意力系向任意点简化除了简化中心以外,力系向简化其主矩不变。 ３-１4．平面任意力系三种形式的平衡方程:、 、。 3-15.判断桁架的零力杆。题３-1３a 图、题3-13b 图 。 3 F 4 题3-12图
题3-13图 (a) (b) 3 ．简答题 3-１６．平面汇交力系向汇交点以外一点简化，其结果如何?(可能是一个力?可能是一个力偶?或者是一个力和一个力偶?） ３-17．平面力系向任意点简化的结果相同，则此力系的最终结果是什么? 题3-21图 ' 题3-22图 (2) (1) C 5KN
第三章 空间力系 3-1 在正方体的顶角A 和B 处，分别作用力1F 和2F ，如图所示。求此两力在x ，y ，z 轴上的投影和对x ，y ，z 轴的矩。试将图中的力1F 和2F 向点O 简化，并用解析式计算其大小和方向。 3-2 图示正方体上A 点作用一个力F ，沿棱方向，问： （1）能否在B 点加一个不为零的力，使力系向A 点简化的主矩为零？ （2）能否在B 点加一个不为零的力，使力系向B 点简化的主矩为零？ （3）能否在B ，C 两处各加一个不为零的力，使力系平衡？ （4）能否在B 处加一个力螺旋，使力系平衡？ （5）能否在B ，C 两处各加一个力偶，使力系平衡？ （6）能否在B 处加一个力，在C 处加一个力偶，使力系平衡？
3-3 图示为一边长为a的正方体，已知某力系向B点简化得到一合力，向C?点简化也得一合力。问： （1）力系向A点和'A点简化所得主矩是否相等？ （2）力系向A点和'O点简化所得主矩是否相等？ 3-4 在上题图中，已知空间力系向'B点简化得一主矢（其大小为F）及一主矩（大小、方向均未知），又已知该力系向A点简化为一合力，合力方向指向O点试： （1）用矢量的解析表达式给出力系向'B点简化的主矩； （2）用矢量的解析表达式给出力系向C点简化的主矢和主矩。
3-5 （1）空间力系中各力的作用线平行于某一固定平面；（2）空间力系中各力的作用线分别汇交于两个固定点。试分析这两种力系最多能有几个独立的平衡方程。 3-6 传动轴用两个止推轴承支持，每个轴承有三个未知力，共6个未知量。而空间任意力系的平衡方程恰好有6个，是否为静定问题？ 3-7 空间任意力系总可以由两个力来平衡，为什么？ 3-8 某一空间力系对不共线的三点主矩都为零，问此力系是否一定平衡？ 3-9 空间任意力系向两个不同的点简化，试问下述情况是否可能？ （1）主矢相等，主矩相等。 （2）主矢不相等，主矩相等。 （3）主矢相等，主矩不相等。 （4）主矢、主矩都不相等。 3-10 一均质等截面直杆的重心在哪里？若把它弯成半圆形，重心位置是否改变？
第五章 空间任意力系 解：cos 45sin 60 1.22x F F KN ==o o cos45cos600.7y F F KN ==o o sin 45 1.4z F F KN ==o 6084.85x z M F mm KN mm ==? 5070.71y z M F mm KN mm ==? 6050108.84z x y M F mm F mm KN mm =+=? 解：21sin cos sin x F F F αβα=- 1cos cos y F F βα=- 12sin cos z F F F βα=+12sin cos x z M F a aF aF βα==+ 1sin y M aF β= 121cos cos sin cos sin z y x M F a F a aF aF aF βααβα=-=--- 解：两力F 、F ′能形成力矩1M 1502M Fa KN m ==? 11cos 45x M M =o 10y M = 11sin 45z M M =o 1cos 4550x M M KN m ==?o 11sin 4550100z z M M M M KN m =+=+=?o 22505C z x M M M KN m =+=?63.4α=o 90β=o 26.56γ=o 如图所示，置于水平面上的网格，每格边长a = 1m ，力系如图所示，选O 点为简化中心，坐标如图所示。已知：F 1 = 5 N ，F 2 = 4 N ，F 3 = 3 N ；M 1 = 4 N·m，M 2 = 2 N·m，求力系向 O 点简化所得的主矢'R F 和主矩M O 。 题图
第四章 空间力系 4-5 轴AB 与铅直线成α角，悬臂CD 与轴垂直地固定在轴上，其长为a ，并与铅直面zAB 成θ角，如图所示。如在点D 作用铅直向下的力F ，求此力对轴AB 的矩。 解：将力F 分解为F 1、F 2两个力，F 1垂直于AB 而与CE 平行，F 2平行于AB 如图（a ）。这两个分力分别为： αs i n 1F F =，αcos 2F F = )()()(21F M F M F M AB AB AB +=0s i n 1+?=θa F θαs i n s i n Fa = 4-3 图示空间构架由三根无重直杆组成，在D 端用球铰链连接，如图所示。A 、B 和C 端则用球铰链固定在水平地板上。如果挂在D 端的物重W =10 kN ，试求铰链A 、B 和C 的反力。 解：取节点D 为研究对象，假设各杆都为拉力、受力如图（a ）。平衡方程为： =∑x F ，045cos 45cos =?-?A B T T （1） 0=∑y F ，015cos 30cos 45sin 30cos 45sin =?-??-??-C B A T T T （2）
0=∑z F ，015sin 30sin 45sin 30sin 45sin =-?-??-??-T T T T C B A （3） 把T=W =10 kN 代入式（3） 解出：kN 4.26-==B A T T （压力）kN 5.33=C T （拉力） 4-11 图示三圆盘A 、B 和C 的半径分别为150 mm 、100 mm 和50 mm 。三轴OA 、OB 和OC 在同一平面内，AOB ∠为直角。在这三圆盘上分别作用力偶，组成各力偶的力作用在轮缘上，它们的大小分别等于10 N 、20 N 和F 。如这三圆盘所构成的物系是自由的，不计物系重量，求能使此物系平衡的力F 的大小和角α。 解：画出三个力偶的力偶矩矢如图（a ），由力偶矩矢三角形图（b ）可见： mm N 5000400030002222?=+=+=B A C M M M 由图（a ）100?=F M C ，N 50100== C M F 由图（b ）可知：43tan ==B A M M β，'523687.36?=?=β '08143180?=-?=βα
习 题 3-1 在边长为a 的正六面体上作用有三个力，如图3-26所示，已知：F 1=6kN ，F 2=2kN ，F 3=4kN 。试求各力在三个坐标轴上的投影。 图3-26 kN 60 1111====F F F F z y x 0kN 245cos kN 245cos 2222== ?=-=?-=z y x F F F F F kN 3 3 433kN 3 3 433kN 3 34333 33 33 3==-=-===F F F F F F z y x 3-2 如图3-27所示，已知六面体尺寸为400 mm ×300 mm ×300mm ，正面有力F 1=100N ，中间有力F 2=200N ，顶面有力偶M =20N ·m 作用。试求各力及力偶对z 轴之矩的和。 图3-27 203.034 44.045cos 2 1-?+??-=∑F F M z m N 125.72034 240220?-=-+ -= 3-3如图3-28所示，水平轮上A 点作用一力F =1kN ，方向与轮面成a=60°的角，且在过A 点与轮缘相切的铅垂面内，而点A 与轮心O '的连线与通过O '点平行于y 轴的直线成b=45°角， h =r=1m 。试求力F 在三个坐标轴上的投影和对三个坐标轴之矩。 图3-28 N 354N 225045sin 60cos 1000sin cos ==????==βαF F x N 354N 225045sin 60cos 1000cos cos -=-=????-=-=βαF F y
N 866350060sin 1000sin -=-=??-=-=αF F z m N 25845cos 18661354cos ||||)(?-=???-?=?-?=βr F h F M z y x F m N 96645sin 18661354sin ||||)(?=???+?=?+?=βr F h F M z x y F m N 500160cos 1000cos )(?-=???-=?-=r F M z αF 3-4 曲拐手柄如图3-29所示，已知作用于手柄上的力 F =100N ，AB =100mm ，BC =400mm ，CD =200mm ，a=30°。试求力F 对 x 、y 、z 轴之矩。 图3-29 N 2530sin 100sin sin 2=??==ααF F x N 3.43N 32530cos 30sin 100cos sin -=-=????-=-=ααF F y N 6.8635030cos 10030cos -=-=??-=?-=F F z 3 .03504.0325)(||||)(?-?-=+?-?-=CD AB F BC F M z y x F m N 3.43325?-=-= m N 104.025||)(?-=?-=?-=BC F M x y F m N 5.73.025)(||)(?-=?-=+?-=CD AB F M x z F 3-5 长方体的顶角A 和B 分别作用力F 1和F 2，如图3-30所示，已知：F 1=500N ，F 2=700N 。试求该力系向O 点简化的主矢和主矩。 图3-30 N 4.82114100520014 25 221R -=--=? -?-='F F F x N 2.561141501432R -=-=?-='F F y N 7.4101450510014 15 1 21R =+=? +?='F F F z N 3.10767.410)2.561()4.821(222R =+-+-='F
第六章空间力系重心习题概念题： 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 计算题：
4.2 4.3 4.4
4.5 4.6 4.7
4.8 课后习题 6-1已知力P大小和方向如图所示，求里P对z轴的矩。（题6-1图a中的P位于其过轮缘上作用点的切平面内，且与轮平面成α=60度角；图b中的力P位于轮平面内与轮的法线成β=60度角）。 6-2作用于手柄端的力F=600KN，试求计算力在x,y,z轴上的投影及对x,y,z 轴之矩。 6-3图示三脚架的三只角AD，BD，CD各与水平面成60度角，且AB=BC=AC，绳索绕过D处的滑轮由卷扬机E牵引将重物G吊起，卷扬机位于∠ACB的等分线上，且DE与水平线成60度角。当G=30KN时 被等速地提升时，求各角所受的力。 6-4重物Q=10KN，由撑杆AD及链条BD和CD所支持。杆的A端以铰链固定，又A，B和C三点在同一铅垂墙上。尺寸如图所示，求撑杆AD和链条BD，CD 所受的力（注：OD垂直于墙面，OD=20cm）。 6-5固结在AB轴上的三个圆轮，半径各为r1,r2,r3；水平和铅垂作用力大大小F1=F1’,F2=F2’为已知，求平衡时F3和F3’两力的大小。
6-6平行力系由5个力组成，各力方向如图所示。已知：P1=150N，P2=100N，P3=200N，P4=150N，P5=100N。图中坐标的单位为cm。求平行力系的合力。 6-7有一齿轮传动轴如图所示，大齿轮的节圆直径D=100mm，小齿轮的节圆直径d=50mm。如两齿轮都是直齿，压力角均为α=20度，已知作用在大齿轮上的圆周力P1=1950N，试求转动轴作匀速转动时， 小齿轮所受的圆周力P2的大小及两轴承的反力。
第2章 平面简单力系习题 1.是非题（对画√，错画×） 2-1.汇交力系平衡的几何条件是力的多边形自行封闭。（ ） 2-2.两个力F 1、F 2在同一轴上的投影相等，则这两个力大小一定相等。（ ） 2-3.力F 在某一轴上的投影等于零，则该力一定为零。（ ） 2-4.合力总是大于分力。（ ） 2-5.平面汇交力系求合力时，作图的力序可以不同，其合力不变。（ ） 2-6.力偶使刚体只能转动，而不能移动。（ ） 2-7.任意两个力都可以合成为一个合力。（ ） 2-8.力偶中的两个力在其作用面内任意直线段上的投影的代数和恒为零。（ ） 2-9.平面力偶矩的大小与矩心点的位置有关。（ ） 2-10.力沿其作用线任意滑动不改变它对同一点的矩。（ ） 2.填空题（把正确的答案写在横线上） 2-11.作用在刚体上的三个力使刚体处于平衡状态，其中两个力汇交于一点，则第三个力的作用线 。 2-12.力的多边形自行封闭是平面汇交力系平衡的 。 2-13.不计重量的直杆AB 与折杆CD 在B 处用光滑铰链连接如图所示，若结构受力F 作用，则支座C 处的约束力大小 ，方向 。 2-14.不计重量的直杆AB 与折杆CD 在B 处用光滑铰链连接如图所示，若结构受力F 作用，则支座C 处的约束力大小 ，方向 。 2-15.用解析法求汇交力系合力时，若采用的坐标系不同，则所求的合力 。（ ） 2-16.力偶是由 、 、 的两个力组成。 2-17.同平面的两个力偶，只要 相同，则这两个力偶等效。 2-18.平面系统受力偶矩M =10kN.m 的作用，如图所示，杆AC 、B C 自重不计，A 支座 题2-13图 题2-14图
5-1 5-2．在图示正方体的表面ABFE内作用一力偶，其矩M=50KN·m，转向如图；又沿GA，BH作用两力、',R=R'=502KN；α=1m。试求该力系向C点简化结果。 解：主矢： ' R=ΣF i=0 主矩：M c=M+m（R，R'） 又由M cx=－m（R，R'）·cos45°=－50KN·m M cY=0 M cz=M－m（R，R'）·sin45°=0 ∴M c的大小为 Mc=（M cx2+M cY2+M cz2）1/2 =50KN·m M c方向： Cos（M c，i）=cosα=M cx/Mc=－1，α=180°Cos（c，）=cosβ=M cY/Mc=0，β=90°Cos（c，）=cosγ=M cZ/Mc=0，γ=90°即c沿X轴负向
5-3．一个力系如图示，已知：F 1=F 2=F 3，M=F ·a ，OA=OD=OE=a ，OB=OC=2a 。试求此力系的简化结果。 解：向O 点简化，主矢'投影 Rx '=－F · 21 R Y '=－F ·2 1 R Z '=F ·2 '=－F ·21－F ·21+F ·2 主矩o 的投影： M ox =2 13Fa ，M oY =0，M oz =0 M o '=2 13Fa i R '·M o =－2 13aF 2≠0，R '不垂直M o 所以简化后的结果为力螺旋。 5-4曲杆OABCD 的OB 段与Y 轴重合，BC 段与X 轴平行，CD 段与Z 轴平行，已知：P 1=50N ，P 2=50N ；P 3=100N ，P 4=100N ，L 1=100mm ，L 2=75mm 。试求以B 点为简化中心将此四个力简化成最简单的形式，并确定其位置。
3-1 在边长为a 的正六面体上作用有三个力，如图 3-26所 示，已知：F i =6kN, F 2=2kN, F 3=4kN 。试求各力在三个坐标轴上的 投影。 图 3-26 所示，已知六面体尺寸为 400 mmx 300 mmx 300mm 正面有力F i =100N,中间有力F 2=200N,顶面 有力偶 M=20N ?m 作用。试求各力及力偶对 z 轴之矩的和。 图 3-27 4 M z F 1 COS 45 0.4 0.3 20 J 34 20^2 -240 20 7.125 N m 3-3如图3-28所示，水平轮上 A 点作用一力F =1kN,方向与 轮面成a=60°的角，且在过A 点与轮缘相切的铅垂面内，而点 A 与轮心0的连线与通过0点平行于y 轴的直线成 b=45°角， 图 3-28 F COS sin 1000 COS 60 sin 45 250^2 N 354 N F COS COS 1000 COS 60 sin 45 250 (0 N 354 N F 1x 0 F 1y F 2x F 2 COS 45 讨仃 4 J 3 F iz 72 kN F , 6 kN F 3X F ^y — kN F ay F 2y F COS 45 73 4巧 F^ — — kN 3 3 F 2 —3 3 kN 3-2 如图 3-27 h =r=1m 。 试求力F 在三个坐标轴上的投影和对三个坐标轴之矩。 F x F y
F z F sin 1000 sin 60 500 866 N M x (F) |F y | h |F z | 1 r cos 354 1 866 1 cos 45 258 N m M y (F) |F x | h |F z | r sin 354 1 866 1 sin 45 966 N m M z (F) F cos r 1000 cos60 1 500 N m 主矩。 图 3-30 F R x F 1 “ 2 屁 200^5 100(14 821 .4N F R y F 2乐 150714 561 .2N F RZ F 1 亦 F ? L 100V 5 50^14 410.7N V 14 F R J ( 821.4)2 ( 2 561.2) 2 410.7 1076.3N 3-4 曲拐手柄如图 3-29所示，已知作用于手柄上的力 F =100N, AB=100mm BC=400mrm CC =200mrm a=30°。试求力 F 对 X 、y 、z 轴之矩。 图 3-29 F x 2 F sin sin 100 sin 30 25 N F y F sin cos 100 sin30 cos30 25^3 N 43.3N F z F cos30 10 cos 30 50^3 86.6 N 4x(F) |F y | BC | F z | (AB CD) 2573 0.4 50J3 0.3 25^3 43.3N m M y (F) | F x | BC 25 0.4 10 N m M z (F) |F x | (AB CD) 25 0.3 7.5 N m 3-5 长方体的顶角 A 和B 分别作用力 F 1 和 F 2， 如图 3-30 所 示，已知: F i =500N, F 2=700N O 试求该力系向 O 点简化的主矢和
3、空间一般力系 3.1内容提要 3.1.1力在轴上的投影 力在轴上的投影祥见表3-1 表3-1 力在轴上的投影 3.1.2力对点的矩和力对轴的矩 有关力矩的概念祥见表3-2 3.1.3空间一般力系的简化 1、空间任意力系向任一点简化 空间一般力系向简化中心简化，可得主矢和主矩，其结果见表3-3。 2、空间一般力系简化的最后结果
空间一般力系简化的最后结果见表3-4 3.1.4空间一般力系的平衡 空间一般力系是力系的最一般形式，其平衡的充要条件是，力系的主矢和对任一点O 的主矩都等于零，即 0='R F ，00=M 空间力系的平衡方程见表3-5。 3.2解题要点 1、 空间一般力系的题型可分为空间力系的简化问题和平衡问题两大类。 物体在空间力系作用下的平衡问题的解题方法和步骤与平面问题基本相同。但求解空间问题时，要有清晰的空间概念，熟练掌握力在轴上的投影和力对轴之矩。 3、为了简化计算，在选取投影抽与力拒轴时，投影轴要与尽可能多的未知力或其所 在的平面相垂直，力矩轴应与尽可能多的未知力相交或平行．投影轴不一定要彼此垂直， 也不一定要与力矩轴相重合。在列平衡方程时，可用适当的力矩方程取代投影方程，即 可采用四矩式、五矩式或六矩式的平衡方程，只要所建立的平衡方程是彼此独立的，就能 解出全部未知量。 4.解空间力系平衡问题时，有时采用将该力系向三个相互垂直的坐标平面投影的方 法，将空间力系化为三个平面力系分别求解。采用此法时，必须注意各力在投影面上投 影的大小、方向及作用点的位置。
3.3范例分析 例3-1 图3-1(a)为直角三棱柱。其上作用力系：:F 1=200 N,22F F '==100N ，试求该力系在各轴上的投影及对轴之矩。 图3-1 解 解题思路： F 1在轴上的投影可按直接投影法计算，对轴之矩可用力对轴之矩的解析式计算；22F F '与组成一个空间力偶矩矢M 1=F 2×0.2=20N ·m ，如图（b ）所示，对轴之矩直接投影即可。 )N ( 28.7429 22004 .03.02.02.02 2 2 1 =? =++=F F x )N ( 56.1482942002941 =?==F F y )N ( 41.11129 320029 31 -=?-=-=F F z )m N ( 56.44041.1114.0)(?-=-?-=-=y z x zF yF M )m N ( 28.341241.1112.053 )(1?=+?=+ -=M xF zF M z x y 154 )(M yF xF M x y z +-= )m N ( 161628.44.056.1482.0?=+?-?=7 例3-2均质矩形板ABCD 重P=200 N ，作用在其对角线交点上，矩形板用球形铰链A 和蝶 形铰链B 固定在墙上，并用绳子CE 维持在水平位置如图3-2（a ）所示，若α=30°，试求绳子的拉力以及铰链A,B 的反力。
第六章 空间力系及重心 一、内容提要 1、空间力对点之矩和对轴之矩 1）空间力对点之矩是矢量，且F r F m o ?=)( 2）空间力对轴之矩是一代数量，其正负号按右手螺旋规则确定，大小有两种计算方法： （a ）先将力投影到垂直于轴的平面上，然后按平面上力对点之矩计算，即 )()(yz o Z F m F m = (b)若已知力在坐标轴上的投影F x 、F y 和F Z 及该力的作用点的坐标x 、y 、z ，则力对各坐标轴的矩可表示为 =)(F m x yF z -zF y =)(F m y zF x -xF z =)(F m z xF y -yF x 3) 力对点之矩和力对轴之矩的关系（力矩关系定理）： x o x F m F m )]([)(= y o y F m F m )]([)(= z o z F m F m )]([)(= 4）特殊情况 当力与轴平行或相交（即力与轴共面）时，力对轴之矩等于零。 2、空间任意力系的简化、合成 1）空间任意力系的简化、力系的主矢与主矩 主矢R /=∑F i , 主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。 主矩M o =∑m o (F), 主矩的大小和转向一般与简化中心的位置有关。 2）空间任意力系的合成结果
空间任意力系的平衡方程的基本形式为 0=∑x F ，0=∑y F ，0=∑Z F 0)(=∑F m x ，0)(=∑F m y ，0)(=∑F m Z 2）几种特殊力系的平衡方程 （a ）空间汇交力系的平衡方程的基本形式为 0=∑x F ，0=∑y F ，0=∑Z F （b ）空间平行力系，若力系中各力与轴平行，则0≡∑x F ，0≡∑y F ， 0)(≡∑F m Z ，其平衡方程的基本形式为： 0=∑Z F ，0)(=∑F m x ，0)(=∑F m y （c ）空间力偶系的平衡方程的基本形式为 0)(=∑F m x ，0)(=∑F m y ，0)(=∑F m Z 4、本章根据合力矩定理推导了重心坐标公式。对于简单形状的均质物体，其重心可用积分形式的重心坐标公式确定，或直接查表。至于复杂形状的均质物体的重心，可采用分割法或负面积（负体积）法求得。
平面力系合成与平衡习题 1、判断题： （1）无论平面汇交力系所含汇交力的数目是多小，都可用力多边形法则求其合力。（）（2）应用力多边形法则求合力时，所得合矢量与几何相加时所取分矢量的次序有关。（）（3）若两个力在同一轴上的投影相等，则这两个力的大小必定相等。（） （4）两个大小相等式、作用线不重合的反向平行力之间的距离称为力臂。（） （5）平面力偶系合成的结果为一合力偶，此合力与各分力偶的代数和相等。（） （6）平面任意力系向作用内任一点简化的主矢，与原力系中所有各力的矢量和相等。（）（7）一平面任意力系向作用面内任一点简化后，得到一个力和一个力偶，但这一结果还不是简化的最终结果。（） （8）平面任意力系向作用面内任一点简化，得到的主矩大小都与简化中心位置的选择有关。（） （9）只要平面任意力系简化的结果主矩不为零，一定可以再化为一个合力（）。 （10）在求解平面任意力系的平衡问题时，写出的力矩方程的矩心一定要取在两投影轴的交点处。（） （11）平面任意力系平衡方程的基本形式，是基本直角坐标系而导出来的，但是在解题写投影方程时，可以任意取两个不相平行的轴作为投影轴，也就是不一定要使所取的两个投影轴互相垂直。（） 2、填空题： （1）在平面力系中，若各力的作用线全部，则称为平面汇交力系。 （2）平面汇交力系平衡的几何条件为：力系中各力组成的力多边形。 （3）若平面汇交力系的力矢所构成的力多边形自行封闭，则表示该力系的等于零。（4）合力在任一轴上的投影，等于各分力在轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。 （5）平面任意力系向作用面内任一点简化结果，是主矢不为零，而主矩为零，说明力系与通过简化中心的一个______等效。 （6）平面任意力系向作用面内的一点简化后，得到一个力和一个力偶，若将其再进一步合成，则可得到一个_____。 （7）平面任意力系向作用面内任一点简化后，若主矢_____，主矩_____,则原力系必然是平衡力系。 （8）平面任意力系只要不平衡，则它就可以简化为一个______或者简化为一个合力。（9）建立平面任意力系的二力矩式平衡方程应是：任取两点A、B为矩心列两个力矩方程，取一轴X轴为投影列一个投影方程，但A、B两点的连线应_____于X轴。 （10）平面任意力系的平衡方程可以表示成不同的形式，但不论哪种形式的独立方程应为______个。 （11）平面平行力系的平衡方程，也可以是任取A、B两点为矩心而建成两个力矩方程，但
第四章 空间力系 4-1 力系中，F 1=100 N 、F 2=300 N 、F 3=200 N ，各力作用线的位置如图所示。试将力系向原点O 简化。 解：由题意得 N 3455 2200132300R -=? -?-=x F N 25013 3300R =? =y F N 6.105 1200100R =?-=z F m N 8.513.05 12001.013 3300?-=?? -?? -=x M m N 6.361.0132 20020.0100?-=?? +?-=y M m N 6.1033.05 22002.0133300?=??+??=z M 主矢 N 4262R 2R 2R R =++= x y z F F F F ，N )6.10250345(R k j i ++-=F 主矩 m N 122222?=++= z y x O M M M M ，m N )1046.368.51(?+--=k j i O M 4-3 图示力系的三力分别为N 3501=F 、N 4002=F 和N 6003=F ，其作用线的位置如图所示。试将此力系向原点O 简化。 解：由题意得 N 1442 1 60018100 60350'R -=? -?=x F N 1010866 .0600707.040018100 80350'R =?+?+?=y F N 517707.040018100 90350'R -=?--? =z F 主矢 N 114 42'R 2'R 2'R R =++= z y x F F F 'F ， N )5171011144(R k j i F -+-='； m N 48mm N 48000120707.0400601810090 350?-=?-=??-?? -=x M m N 07.21mm N 21070901810090 350?=?=?? =y M 6021 60090866.06006018100 60350901810080350??+??-??-?? =z M m N 4.19mm N 19400?-=?-= 主矩 m N 55.9mm N 55900222?=?=++= z y x O M M M M m N )4.191.2148(?-+-=k j i M O