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用换元法求函数值域
【自我诊断】
1. 函数f (x )＝1 x ＋1＋1
的值域为_________． 【答案】(0，1]．
2．函数f (x )＝2x －3＋4x －13的值域为_________．
【答案】[72，＋∞)． 【解析】方法一、2x －3，4x －13在定义域[134
，＋∞)上都是增函数，所以f (x )≥f (2)．
方法二、f (x )的定义域是[134，＋∞)，
令4x －13＝t ，x ∈[134，＋∞)，则x ＝14(t 2＋13)，t ∈[0，＋∞)，
则y ＝2×14(t 2＋13)－3＋t ＝12(t ＋1)2＋3，在t ∈[0，＋∞)单调递增， y ∈[72，＋∞)，所以函数f (x )＝2x －3＋4x －13的值域为[72
，＋∞)． 3．函数f (x )＝2x －3－4x －13的值域为_________．
【答案】[3，＋∞)．
【解析】f (x )的定义域是[134
，＋∞)，
令4x －13＝t ，x ∈[134，＋∞)，则x ＝14(t 2＋13)，t ∈[0，＋∞)，
则y ＝2×14(t 2＋13)－3－t ＝12(t －1)2＋3，在[0，1]单调递减，在[1，＋∞)单调递增， y ∈[3，＋∞)，所以函数f (x )＝2x －3－4x －13的值域为[3，＋∞)．
4.函数y ＝e x
3＋e x
的值域为___________． 【答案】(0，1)．
【解析】f (x )的定义域是R ，
令3＋e x ＝t ，x ∈R ，则e x ＝t －3，t ∈(3，＋∞)，
则y ＝t －3t ＝1－3t ， 由t ∈(3，＋∞)，得3t ∈(0，1)，－3t ∈(－1，0)，1－3t
∈(0，1)． 函数y ＝e x
3＋e x
的值域为(0，1)． 5. 函数y ＝ln e x
3＋e x
的值域为___________． 【答案】(－∞，0)．
6.函数y ＝(x 2－2x －1)2＋3x 2－6x －13的值域是___________．
2 【答案】[－494
，＋∞)． 【解析】令t ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，x ∈R ，则t ∈[－2，＋∞)，
y ＝t 2＋3t －10＝(t ＋32)2－494，t ∈[－2，＋∞)，在[－2，－32]单调减，在[－32
，＋∞)单调增，当t ＝－32，y ＝－494
． 函数y ＝(x 2－2x －1)2＋3x 2－6x －13的值域是[－494，＋∞)．
【跟踪训练】
1．（1）y ＝x ＋x －1的值域是________；
（2）y ＝x －x －1的值域是________．
【答案】（1）[1，＋∞)；（2）[3
4，＋∞)．
2．函数y ＝2e x
3＋e x 的值域为___________．
【答案】(0，2)．
三角函数最值问题的几种常见类型 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现。其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）。题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型。掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。 1．y=asinx+bcosx 型的函数 特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转 化为只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可：φ)，其中tan b a φ= 例1已知函数f (x )=2cos x sin(x +3 π)－3sin 2x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值； (3)若当x ∈［ 12π，12 7π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值. 解：(1)f (x )=2cos x sin(x +3 π)－3sin 2x +sin x cos x =2cos x (sin x cos 3π+cos x sin 3 π)－3sin 2x +sin x cos x =2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3 π) ∴f (x )的最小正周期T =π (2)当2x +3π=2k π－2 π，即x =k π－125π (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2. (3)令2sin(2x +3 π)=1，又x ∈［27,2ππ］, ∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3 π=65π，则 x =4π，故f -－1(1)= 4π. 2．y=asin 2x+bsinxcosx+cos 2x 型的函数。 特点是含有sinx, cosx 的二次式，处理方式是降幂，再化为型1的形式来解。 例2．求y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最小值，并求出y 取最小值时的x 的集合。
函数求值域方法之值域换元法 求值域的方法有很多，在众多的方法中，换元法是比较常用且非常有效的求解值域的办法，这里，给大家总结五种常见的换元方法，欢迎大家补充。 五种常见换元办法：①一般换元法；②三角换元法（难度较大）；③三角换常值换元法；④双换元法；⑤整体换元法 类型一：一般换元法 形如：y=ax+b 士: cx - d 方法：本形式下，部分函数在取值区间内，单调性确定，所以可以直接使用单调性判断，单调性无法确定的时候，本题可使用一般换元的思路，令t= cx d， 用t表示x，带入原函数得到一个关于t的二次函数，求解值域即可。 例1:求函数f （x）二x - x -1的值域 分析：本题x?[1,=），在取值区间内，x单调增，..x-1单调增，两个单调增的 函数相减无法直接判断单调性，所以单调性无法确认，考虑使用一般换元。 解：另t = Jx _1 （20），则x=t?+1, 代入 f （x）得f （x）二t2-t 1 （t - 0） 本题实求二次函数在指定区间内的范围 3 3 当t -0，f（x）_ 4 所以f （x）[彳,二） 变式：求函数f（X）二X ? X -1的值域
分析：本题X?[1「：：），在取值区间内，x单调增，??X-1单调增，两个单调增的 函数相加，所以整个函数在取值区间上单调递增所以f(x)_ f(1)即可 由于一般换元法相对来说比较简单，这里就不赘述，留一道练习 练习：求f (x^2x . 3x 1的值域 类型二：三角换元 记住一句话：三角换元一个大原则，三个常用公式 A、一个大原则：x有界，换成sin ncosr x无界，换成tann B、三个常用公式：①遇到x2，且前面系数为-1，常用sin J cos^ -1 1 ②遇到x2，且前面系数为1，常用——2 1 tan2二 cos日 2tan — ③巧用万能公式：sin^ = ---------- -- 1 tan 2 - 2 2 6 1 - tan 2 - 2 COS) 1 tan 2 - 2 三角换元时，尤其注意确定好二的取值范围，下面用具体的例题跟大家说明 例2:求f(x) =x 1 -x2的值域 分析：本题若使用一般换元法，则只能得到x2与t2之间的关系，操作起来比较麻烦，换元法本身的目的就是要使得题目变得更为简单便捷，所以一般换元法失灵，考虑使用三 解：令x =s in V，1-x2—o，- X [-1,1]，- si n 厂[-1,1]
三角函数的值域-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
如何求三角函数的值域 濮阳外国语学校 王艳敏 电话： 摘要：三角函数的最值是中学数学的一个重要内容，归纳这一内容，有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识，沟通三角、代数、几何的联系，培养学生的思维能力。 关键词：函数最值 三角函数 三角函数最值问题是高中数学的重点内容之一,也是高考命题的热点,由于三角函数和代数、几何等知识联系紧密,故求解这类问题的方法灵活多变,能力要求高,具有一定的综合性.本文介绍三角函数值域问题的一些常见类型和解题方法。 一． 基本型： 或 cos y a x b =+ 解决策略：利用sinx 和cosx 的有界性,即sin 1x ≤和cos 1x ≤ 解：x R ∈ 2sin(3 y x π =+ ） []sin()113x π ∴+∈- ，∴函数的值域为分析：引入辅助角，再利用正弦函数的有界性 sin y a x b =+1≤分析：利用 sinx 的有界性 1sin 1x -≤≤解： 12sin 13x ∴-≤+≤ [] 2sin 113y x ∴ =+- 函数的值域为，2sin 1y x =+例1.求 值域。 sin cos y a x b x c =++), tan b x c a ??=++= y 其中二、形如 引入辅助角转化为基本型 解决策略： 例2、求函数 sin y x x =+[]22-，
三、形如22 sin sin cos cos y a x b x x x =++ 型的函数 解决策略：通过降幂再转化为sin()y A x ω?=+ 来求解 例3.求 22 sin 2sin cos 3cos y x x x x =++ 的值域 解： 2 12sin cos 2cos y x x x =++ sin 2cos 22)24 x x x π=++=++ 1sin(2)14 x π -≤+≤ 所以所求函数的值域为2?-? 四、反比例型：形如 sin sin a x b y c x d +=+ 或cos cos a x b y c x d +=+ 解决策略：用反表示法，再利用有界性或数形结合。 例4、求函数1sin 2cos x y x -= -的值域 方法一 解：由1sin 2cos x y x -= - 得 2cos 1sin y y x x -=- sin cos 12x y x y ∴-=- )12tan x y y ??-=-=其中 sin()x ?∴-= sin()1x ?-≤ 1≤ 22(12)1y y ∴-≤+ 24340 03 y y y -≤∴≤≤ 方法二 解：此函数看做过定点A （2，1）和动点B （cosx,sinx ）的直线的斜率。如图所示 因为点B 的轨迹是单位圆 当直线和圆相切时斜率取最值 设直线方程为1(2)y k x -=- 即1 kx y -+-由于直线与圆相切 1= 解得 k=0或k=43 所以函数1sin 2cos x y x -= -的值域为40,3?????? 五、二次型，形如 2sin sin y a x b x c =++ 解决策略：转化为二次函数在有限闭区间上的值域问题
求三角函数的值域(或最值)的方法 三角函数y＝sinx及y＝cosx是有界函数，即当自变量x在R内取一定的值时，因变量y有最大值y max＝1和最小值y min＝－1，这是三角函数y＝sinx及y＝cosx的基本性质之一，利用三角函数的这一基本性质，我们可以使一些比较复杂的三角函数求最值的问题得以简化．虽然这部分内容在教材中出现不多，但是，在我们的日常练习和历年高考试题中却频频出现，学生也往往对这样的问题颇感棘手．笔者根据日常的教学积累，对三角函数求值域或最值的方法，加以归纳总结如下． 1 配方分析法 如果所给的函数是同名不同次或可化为同名不同次及其他能够进行配方的形式，可采用此方法． 例1求函数y＝2cos2x＋5sinx－4的值域． 解原函数可化为 当sinx＝1时，y max＝1； 当sinx＝－1时，y min＝－9， ∴原函数的值域是y∈[－9，1]． 注：此种方法在求三角函数的值域或最值问题中较为常见．但在最后讨论值域时，往往容易忽略自变量(例1中以sinx为自变量)的取值范围而出现错误应该引起注意． “cosx”，再求已知函数的最值 例2求下列函数的最值，并求出相应的x值．
y＝asinx＋bcosx或可转化为此种形式的函数，其最大值和最小值分别为y max＝ 3 求反函数法 如果函数的表达式中仅含有某一个三角函数名，我们可考虑此种方法，用因变量y表示出该函数，再利用该函数的值域求对应的原函数的值域．
∴原函数的值域是 4 应用函数的有界性 上面的求反函数法实际上就是在应用函数的有界性求最值，在此只不过是为了更加突出一下． 解由原式可得 (3y－1)sinx＋(2y－2)cosx＝3－y， 则上式即为 利用函数的有界性有 ∴原函数的值域是
第 7 讲 换元法（高中版） （第课时） 换元法? ??? ??? ???? ??? ???? ?? ??????? ????三角代换均值代换 整体代换策略化超越式为代数式化无理式为有理式化分式为整式降次复杂问题简单化非标准问题标准化 用途 重点：1．；2．；3．。 难点：1．；2．；3．；。 我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子。换元的关键是构造元和设元。 换元的实质是转化，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式。换元后要注意新变量的取值范围，它既不能缩小也不能扩大。 换元法在因式分解、化简求值、恒等式证明、条件等式证明、方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何等问题中有广泛的应用。 换元的常用策略有：整体代换（有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换、复变量代换）、三角代换、均值代换等。 整体代换：在条件或者结论中，某个代数式反复出现，那么我们可以用一个字母来代替它， 当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x ＋2x －2≥0，先变形为设2x ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角代换：如果把代数式换成三角式更容易求解时，可以利用代数式中与三角知识的联系进
行换元。例如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现x ∈[0,1]，设x ＝sin 2 α ，α∈[0, π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。又如变量x 、y 适合条件x 2 ＋y 2 ＝r 2 （r>0）时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。 均值代换：对两个类似的式子，可令其算术平均值为t 进行换元；如果遇到形如 S y x =+ 或 S y x =+2 2 这样的对称结构，可设 x ＝S 2＋t ，y ＝S 2－t 或 t S x +=22 ，t S y +=2 2等等。 1．换元法在方程中的应用 我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方程来解。然而利用这些常规的变形方法解题，有时会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果。对于某些方程，我们可以用新的变量来替换原有的变量，把原方程化成一个易解的方程。 例.（高二）如果关于x 的方程 0sin cos 22 2 4 =++θθx x 有相异的四实根，求θ的范围。 分析：此题已知条件的形式比较陌生，我们先看看能不能把它转化为我们所熟悉的形式。 令 t x =2 ，则原方程化为： 0sin cos 22 2=++θθt t ⑴ 使原方程有相异的四实根等价于使方程⑴有两不等正根。 由此得 ?? ? ? ?>>->-=?)4(0sin )3(0cos ) 2(0sin 4cos 4222θθθθ 即 ?? ? ??≠<>0sin 0cos 02cos θθθ 解之得 4 52432ππθππ+<<+ k k 且 )()12(J k k ∈+≠πθ 2．换元法在不等式中的应用 例.（高二）设对所于有实数x ，不等式x 2 log 241()a a +＋2x log 221a a +＋log 2()a a +142 2 >0 恒成立，求a 的取值范围。 分析：不等式中，log 241()a a +、 log 221a a +、log 2()a a +142 2 三项有何联系？对它们进 行变形后再实施换元法。 解： 设 log 2 21 a a +＝t ，则 log 241()a a +＝log 2812()a a +＝3＋log 2a a +12＝3－log 221 a a +＝3－t ， log 2()a a +142 2 ＝2log 2 a a +12＝－2t ， 代入后原不等式简化为 （3－t ）x 2 ＋2tx －2t>0 ，它对一切实数x 恒成立，
函数求值域方法之值域换元法 求值域的方法有很多，在众多的方法中，换元法是比较常用且非常有效的求解值域的办法，这里，给大家总结五种常见的换元方法，欢迎大家补充。 五种常见换元办法：①一般换元法；②三角换元法（难度较大）；③三角换常值换元法；④双换元法；⑤整体换元法 类型一：一般换元法 形如：y=ax+b ±d cx + 方法：本形式下，部分函数在取值区间内，单调性确定，所以可以直接使用单调性判断，单调性无法确定的时候，本题可使用一般换元的思路，令t=d cx +，用t 表示x ，带入原函数得到一个关于t 的二次函数，求解值域即可。 例1：求函数1)(--=x x x f 的值域 分析：本题),1[+∞∈x ，在取值区间内，x 单调增，1-x 单调增，两个单调增的函数相减无法直接判断单调性，所以单调性无法确认，考虑使用一般换元。 解：另1-=x t （0≥t ），则12+=t x ， 代入)(x f 得1)(2+-=t t x f （0≥t ）
本题实求二次函数在指定区间内的范围 当0≥t ，4 3)(≥ x f 所以),4 3 [)(+∞∈x f 变式：求函数1)(-+=x x x f 的值域 分析：本题),1[+∞∈x ，在取值区间内，x 单调增，1-x 单调增，两个单调增的函数相加，所以整个函数在取值区间上单调递增所以)1()(f x f ≥即可 答案：),1[)(+∞∈x f 由于一般换元法相对来说比较简单，这里就不赘述，留一道练习 练习：求1332)(+-+=x x x f 的值域 类型二：三角换元 记住一句话：三角换元 一个大原则，三个常用公式 A 、一个大原则：x 有界，换成θθcos ,sin x 无界，换成θtan B 、三个常用公式：①遇到2x ，且前面系数为1-，常用1 cos sin 22=+θθ
高中数学解题基本方法——换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通 过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉 的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x ＝sin2α，α∈[0,π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中 主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。 均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S 2 ＋t，y＝ S 2 －t等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例 中的t>0和α∈[0,π 2 ]。 Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。 2.设f(x2＋1)＝log a (4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{a n }中，a 1 ＝－1，a n+1 ·a n ＝a n+1 －a n ，则数列通项a n ＝___________。 4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。 5.方程13 13 + + -x x ＝3的解是_______________。 6.不等式log 2(2x－1) ·log 2 (2x+1－2)〈2的解集是_______________。
三角函数求值域方法小结 冯樊 （襄阳市第二十四中学） 在高中数学中，三角函数的值域或最值问题是非常重要的内容之一，也是近几年来高考的一个热点问题，所以本文就其求值域的方法归纳如下： 一、转化为利用正、余弦函数的有界性求解的最值问题。 例1. 求函数2sin 1 sin 2 x y x += -的值域。 解一：2sin 1sin 2x y x +=-=2 +5 sin 2 x - ∵1sin 1x -≤≤∴55 5sin 23 x -≤ ≤-- ∴1 33 y -≤≤ 解二：由2sin 1sin 2x y x += -得21 sin 2 y x y +=- ∵|sin |1x ≤ ∴21 | |12 y y +≤- ∴133y -≤≤ ∴函数的值域为[3-，1 3 ] 例2. 求函数y = 的值域。 解：由2sin x y x = +得sin 2y x x y =- )2(x y ??+=-为辅助角） ∴ sin()x ?+= ∵1sin()1x ?-≤+≤得 11-≤≤由此解得11y -≤≤ ∴函数的值域为[1,1-] 例3. 已知函数2()2sin sin cos f x a x x x a b =-++定义域是[0,]2π ，值域 是[5-，1]，求,a b 的值。
分析：本例为求参数的逆向问题，需先用倍角公式降次再利用利用正、余弦函数的有界性求解。 解：2()2sin sin cos f x a x x x a b =-++=1cos 22sin 22 x a x a b -? -++ sin 2cos22x a x a b =-++2sin(2)26 a x a b π =-+++ ∵02x π≤≤ ∴1sin(2)126 x π -≤+≤ ∴当0a >时， ()3b f x a b ≤≤+ ∴5b =-，31a b += 此时2a =，5b =-； 当0a <时 ，3()a b f x b +≤≤ ∴35a b +=-，1b = 此时2a =-，1b =。 二、转化为求二次函数2y at bt c =++在闭区间[1,1]-上的最值问题。 例4. 已知2223sin 2sin 2sin αβα+=，求22sin sin y αβ=+的值域。 解： ∵2223sin 2sin 2sin αβα+= ∴223sin sin sin 02βαα=-≥ ∴2 0sin 3 α≤≤ ∴22sin sin y αβ=+=22231 sin sin sin sin sin 22 ααααα+-=-+ =211 (sin 1)22 α--+ 由图象可知，2 [0,]3 是单调递增区间 ∴当sin 0α=时，min 0y = 当2sin 3α=时，max 4 9 y = ∴所求函数的值域为4 [0,]9 。 例5. 求函数(sin )(cos )y x a x a =++的最值。(0a <≤ 分析：本题中sin cos x x +与sin cos x x ?同时出现，所以需要换元。 解： (sin )(cos )y x a x a =++2sin cos (sin cos )x x a x x a =?+++ 令sin cos x x t +=，则[t ∈ ∴21 sin cos 2t x x -?= 故22 11()22 a y t a -=++
换元法
运用换元法解题时，要引入什么样的“新元”和怎样引入“新元”，不同的问题有不同的方法和技巧。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。换元的种类有：等参量换元、非等量换元。 局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如：解不等式：4x +2x －2≥0，先变形为设2x =t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式：2t +t-2≥0求解得：t ≥1,t ≤-2指数函数的单调性求解2x ≥1, 2x ≤-2的问题。 x ≥0,x ≤ 1 4 三角换元:应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=21x -的值域时，若x ∈[-1,1]，设x=sin α ，sin α∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。如变量x 、y 适合条件222x y r +=时(r>0)，则可作三角代换x=rcos θ、y=rsin θ化为三角问题。 均值换元:如遇到x+y=2S 形式时，设x= S+t ，y= S －t 等等。 例1. 分解因式 分析：从式子的特征来看，可把各看作一个整体使问题简化，事实上，本题解法较多，下面提供三种方法，供同学们学习参考。 解：法一：对和换元，用换元法解 设 则原式 法二：用换元法来解
设，则 原式 法三：将原式整理成关于x的二次三项式 原式 在函数中的应用 1、求函数的定义域 例2、设函数y=f(x)的定义域是[2,3],求函数y=f(x2)的定义域。 解：设x2=t,则y=f(t)的定义域上[2，3]，即2≦t≦3,因此2≦x2≦3,所以 -√3≦x≦-√2或√2≦x≦√3,所求定义域是[-√3,-√2]∪[√2,√3] 2、求函数的解析式 例3、已知f(x+1)=x2-2x,求f(x)的解析式 解：设x+1=t,则x=t-1, 所以 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t -4t-1，即f(x)=x2-4x-1。 例4、已知f(x+1/x)=x2+1/x2, 求f(x)的解析式 解：设x+1/x =t，则x2+1/x2=(x+1/x)2-2，即x2+1/x2=t2-2 故f(t)=t2-2, 因此f(x)=x2-2 化简求值：
含根式函数值域的几何求法 函数值域和最大值、最小值问题是高中数学中重要的问题，其求解的方法很多，常见的解法有：观察法、配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调函数法、图解法等。其中，利用数形结合来求函数的值域，尤其是含根式函数的值域，具有其独特的效果，它能够把满足题意的几何图形画出来，生动形象的直观图，提示和启发我们的解题思路，有时，图形式直接提供了我们寻求的答案，因此，几何法既可以使题意更加明确，又可以使运算得到简化。 例1 求函数312+-+=x x y 的最小值. 解：由03≥+x 得：3-≥x . 令???≥+=-≥+=) 0(3)5(12v x v u x u ，消去x 得：)0,5()5(212≥-≥+=v u u v 则点()v u ,在)5(2 12+=u v 的抛物线段上，又在直线y u v -=上，如图1，易知，当直线与抛物线相切时，－y 取最大值，取y 最小值。 联立方程组?????-=+=y u v u v )5(212， 消去u 整理得： 0522=---y v v ，由△=0， 即：0)5(24)1(2=--??--y 解得：=y 8 41-. ∴ 原函数的最小值为841- . 评注：本题可以利用代数换元法，将含根式函数的值域问题转化为二次型函数在某区间上的值域问题，其解题过程中运算量并不大，而且不难接受理解。因此，本题利用构造直线与抛物线进行求解，并没有真正体现出几何解法的优越性。 图1
例2 求函数131-++-=x x y 的值域. 分析：本题不能用换元法进行求解，因此，我们也来尝试利用几何解法。 解：由???≥+≥-0301x x 解得：13≤≤-x . 令???≤≤+=≤≤-=)20(3)20(1v x v u x u ，消去x 得：)20,20(422≤≤≤≤=+v u v u 则点()v u ,在422=+v u 的园弧上，又在直线1++-=y u v 上， 如图2，显然OB y OA ≤+≤1 又 ∵ 22,2==OB OA ∴ 1221-≤≤y 即为原函数所求的值域。 例3 求函数106422+-++=x x x y 的最小值. 分析：当我们把106422+-++=x x x y 化为： y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x 时，容易联想到两点间距离。 解： 106422+-++=x x x y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x 设P （x , 0），A （0, 2），B （3, 1），则问题转化 为在x 轴上找一点P ，使得P 到A 、B 两点的 距离之和最小。如图3，易求得点A 关于x 轴 的对称点A / 的坐标为（0, －2），则： B A BP P A BP AP //=+=+即为最小. ∴ 32)12()30(22/min =--+-==B A y . 评注：本题可用判别式法以及构造复数由模的重 要不等式进行求解，但是判别式法计算量很大，不易 图2 图3
三角函数值域的求法 第二课时 【教学目标】 1．会根据正、余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域； 2．运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值。 3．通过对最值问题的探索与解决，提高运算能力，增强分析问题和解决问题能力。体现数学化归、转换、类比等重要的思想方法在解决三角最值问题中的作用。 【教学重点】求三角函数的最值与值域 【教学难点】灵活选取不同的方法来求三角函数的最值和值域 知识回顾 求下列函数的值域 1 2 3 问题：求函数的值域 例1 ? 方法1（利用函数的有界性） sin cos y x x = +22cos cos y x x x =+22[,] x ππ ∈-[0,] x π ∈2sin 2cos sin cos 22y )22sin()sin()11 y x y x x y x x y x x ψψψ-= --=-+=-+= +≤≤≤≤?? 解：可化为 又2-sin 2+sin x x y = 2-sin 2+cos x x y =
方法2（运用模型、数形结合） 2 求下列函数的值域 2413830k 334433k k +≤-+≤≤≤ ?+??? 解析：函数的值域可看作求过点P(2,2)的单位圆切线的斜率k 的最大、最小值设切线PA 的方程为：y-2=k(x-2)即：kx-y-2k+2=0 设原点到切线的距离d,则d=1 即：即解得：故所求函数的值域为： ，22 222:cos sin 3 cos sin sin sin 115(sin )24 3 sin x 5y 45 ,] 44y x x x y x x y x x x x π π =+≤ =+=-++=--+ ≤ ∴≤≤≤≤ 例且解：可化为 又 故原函数的值域为[222sin 2cos y=1cos 1-cos x 0 cos x 1sin 2cos 1cos 2sin cos = 1cos 2cos (1cos )1cos 2cos (1 cos ) 11 2(cos ) 22 -1cos x<1 1 4 2 1 ,4] 2 x x x x x x x x x x x x x x x y -≠∴≠- --= -=+=+- ≤∴-≤≤-例3：解：又 又 故原函数的值域为[2 222sin cos =) 4 sin cos =1+2sin x cos x=t 1sin cos 2 1()(2 1 (1) 12 21x x t x t x x t t x x t f t t t t t y π ++≤≤+-=-=+≤=+--≤≤∴-≤≤例4: y=sinx+cosx+sinxcosx 解：设即 又可化为即原函数可化为 又 12 1 ] 2 原函数的值域为
已经投寄（2005-10-14） 换元法的常见形式 在数学解题过程中，根据已知条件的特征，引入新的变量，对题目进行转化，形成一个用新变量表达的问题，通过解决新问题，来达到解决原问题的目的，这种解题方法叫做换元法。换元法的形式很多，但它们有一个共同特点，改变问题的结构形成新问题，为解决问题提供可能性，它是数学中转化和化归思想的一个重要体现。下面举例说明换元法的常见形式的应用。 一、三角换元 例1 已知224a b +=，229x y +=，求ax by +的最大值。 解 由224a b +=，可设2cos ,2sin a b αα==； 由229x y +=，可设3cos ,3sin x y ββ==. 于是6cos cos 6sin sin 6cos()6ax by αβαβαβ+=+=-≤ 又当2()k k Z αβπ-=∈时，上式中等号成立。即ax by +的最大值是6. 一般地，题目中若有条件222(0)a b r r +=≥，常设cos ,sin a r b r αα==进行三角换元，将问题改变成一个三角函数有关的问题，再利用三角函数知识、方法进行解答，此方法称为三角换元。事实上，对于任意两个实数,x y ，在坐标平面上总有惟一的对应点A(,)x y 与之对应，设此点到原点的距离为r ，射线Ox 逆时针方向旋转到射线OA 时，所转过的最小正角为θ，则cos ,sin x r y θθ==。 例2 实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，求S 的最大值和最小值。 解 设cos ,sin x r y θθ==，则2245cos sin 5r r θθ-=，2545cos sin r θθ =- 所以222 51045cos sin 85sin 2S x y r θθθ =+===-- 所以当sin 21θ=时，max 103S =；当sin 21θ=-时，min 1013S =. 二、增量换元 若题目的已知中有形如a b >的条件，则可考虑设,0a b t t =+>，将问题进行转化。此法称为增量换元，也叫设差换元。它的作用是将不等条件转化为相等条件，使得式子方便地进行运算变形。 例3 已知)1,0(,,∈z y x ，且2=++z y x . 1xy yz xz ++>求证
换元法求函数值域 Prepared on 24 November 2020
换元法求函数值域 某些函数可以利用代数或三角代换将其化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。形如y ax b cx d =+±+ (a 、b 、c 、d 均为常数，且a ≠0)，可以令t cx d + ≥0),则有2 t cx d =+ ∴2t d x c -= ∴2t d y a b t c -=?+± ； 从而就把原函数化成了关于t 的二次函数，求出这个函数值域就是原函数的值域，值得一提的是要注意参数t 的取值范围。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥着重要的作用。 例1、求函数313y x x =+- 分析：函数313y x x =-形如y ax b cx d =++ (a 、b 、c 、d 均为常数，且a ≠0)，因此，可以考虑用换元法。 解：令13(0)t x t =-≥，则213t x =- ∴2 13 t x -= ∴原函数可化为2133t y t -=?+=21t t -++=215()24 t --+ ∴ 其函数图像如图1所示 ∴当12t = 时，即14 x =时 y 取得最大值max y =54,无最小值。 ∴函数313y x x =-的值域为（- ∞，54 ]。 例2、求函数4123y x x =-+- 解：[换元法] 令23t x =- (0)t ≥，则232 t x += ∴原函数可化为222313941252()248 t y t t t t +=?-+=++=++
∵0t ≥ ∴当0t =时，即32 x =时，y 取得最小值min y =5，无最大值。 ∴函数4123y x x =--的值域为[5 ，+∞）。 例3、求函数21y x x =-[4] 分析：函数 21y x x =-的定义域为[-1，1] ，我们注意到1sin 1t -≤≤ ()22t π π -≤≤,因此,对于定义域为[-1，1]的函数,我们可以考虑用sin ()22x t t π π=-≤≤进行三角换元。 解：函数 21y x x =-的定义域为[-1，1]， 设sin ()22x t t π π =-≤≤， 则原函数21y x x =-可化为sin cos y t t =+2)4 t π+ ∵22t ππ-≤≤ ∴3444t πππ-≤+≤ 看图像（图2）可知2sin()124 t π-≤+≤ ∴12)24 t π-≤+≤∴12y -≤≤即原函数的值域为[-12]。
1. 角的有关概念 (1)角的概念：角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。射线的端点叫做角的顶点;旋转开始时的射线叫做角的始边;旋转终止时的射线叫做角的终边。 (2)正角、负角和零角 按逆时针方向旋转而成的角叫做正角； 按顺时针方向旋转而成的角叫做负角； 当一条射线没有作任何旋转时而成的角叫做零角. (3)象限角 在平面直角坐标系下,使角的顶点与坐标原点重合,角 的始边与x 轴的正半轴重合,角的终边落在第几象限,就把这个角称做第几象限角,若角的终边落在坐标轴上,称为轴线角,这个角不属于任何象限. (4)各个象限的半角范围可以用下图记忆，图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 分别指第一、二、三、四象限角的半角范围； (5)终边相同的角 与α角终边相同的角所组成的集合:S={2,}k k z ββαπ=+∈ 2. 角度制与弧度制 设扇形的弧长为l ，圆心角为a （rad ）,半径为R ，面积为S 角a 的弧度数公式 2π×(a /360°) 角度与弧度的换算 ①360°=2π rad ②1°=π/180rad ③1rad=180°/π=57°18′≈57.3° 弧长公式 R a l = 扇形的面积公式 lR S 2 1= 3. 任意角的三角函数 三角函数（6个）表示：a 为任意角，角a 的终边上任意点P 的坐标为),(y x ，它与原点的距离为 22 0r x y =+>（r ＞0,当点P 在单位圆上时，r=1） 那么角a 的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是： r y a =sin ，r x a =cos ，x y a =tan ，y x a =cot ，x r a =sec ，y r a =csc . 4. 同角三角函数关系式 ③ 倒数关系： 1cot tan =a a ②商数关系：a a a cos sin tan =， a a a sin cos cot = ③平方关系：1cos sin 2 2 =+a a
不同函数类型值域求解方法归纳 题型一：二次函数的值域: 配方法(图象对称轴) 例1． 求 6a )(2+-=x x x f 的值域 解答：配方法：4a 64a 62a 6a )(222 2 -≥- +??? ? ?-=+-=x x x x f 所以值域为?? ????∞+-，4a 62 例2． 求 6)(2+-=x x x f 在[]11， -上的值域 解答：函数图像法：423216)(2 2+??? ? ?-=+-=x x x x f 画出函数的图像可知，6)(2 +-=x x x f 在21=x 时取到最小值423，而在 1-=x 时取到最大值8，可得值域为?? ? ???8423，。 例3． 求 6a )(2+-=x x x f 在[]11， -上的值域 解答：由函数的图像可知，函数的最值跟a 的取值有关，所以进行分类讨论： ① 当2a -≤时，对称轴在1-=x 的左侧，所以根据图像可知， a 7)1(max -==f f ，a 7)1(min +=-=f f , 此时值域为[]a 7a 7-+，. ② 当0a 2≤≤-时，对称轴在1-=x 与y 轴之间，所以根据图像可知， a 7)1(max -==f f ，4a 6)2a (2 min -==f f ,此时值域为?? ????--a 74a 62，. ③ 当2a 0 ≤≤时，对称轴在y 轴与1=x 之间，所以根据图像可知， a 7)1(max +=-=f f ，4 a 6)2a (2 min -==f f , 所以此时值域为?? ? ???+-a 74a 62，
④ 当a 2≤时，对称轴在1=x 的右侧，所以根据图像可知， a 7)1(max +==f f ，a 7)1(min -=-=f f 所以此时的值域为 []a 7a 7+-， 题型二：指数、对数函数的值域: 采用换元法 例4． 求 () 62log )(22+-=x x x f 的值域 解答：复合形式用换元：令622+-=x x t ，则由例1可知，[)+∞∈,5t 根据单调性，可求出t 2log 的值域为[)+∞,5log 2 例5． 求 624)(1++=+x x x f 的值域 解答：因为()2 2 4 x x =，所以，采用换元法，令x t 2 =，则()+∞∈ ,0t 则原函数变为622 ++t t ，可以根据二次函数值域的求法得到值域为()+∞,6 题型三：分式函数的值域 分式函数的值域方法：(1) 分离变量(常数)法;(2) 反函数法(中间变量有界 法);(3) 数形结合(解析几何法：求斜率);(4) 判别式法（定义域无限制为R ）; 例6． 求函数1 3 2)(++= x x x f 的值域 解法一：分离变量法。将分式中分子部分的变量分离出去。则可以换元，令 1+=x t ，原函数变为t t t 1 212+=+，由反比例函数的性质可知，值域为()()+∞∞-,22, 解法二：反函数法。利用原函数的值域就是反函数的定义域，来求值域。令 1 3 2)(++= =x x x f y ，则32+=+x y yx ，得到23--=y y x ，可知2≠y 例7． 求函数1 3 2)(++= x x x f 在[]10， 的值域 解法一：分离变量之后采用函数图像法。令1+=x t ，[]2,1∈t ，原函数变为
1 用换元法求函数值域 【自我诊断】 1. 函数f (x )＝1 x ＋1＋1 的值域为_________． 【答案】(0，1]． 2．函数f (x )＝2x －3＋4x －13的值域为_________． 【答案】[72，＋∞)． 【解析】方法一、2x －3，4x －13在定义域[134 ，＋∞)上都是增函数，所以f (x )≥f (2)． 方法二、f (x )的定义域是[134，＋∞)， 令4x －13＝t ，x ∈[134，＋∞)，则x ＝14(t 2＋13)，t ∈[0，＋∞)， 则y ＝2×14(t 2＋13)－3＋t ＝12(t ＋1)2＋3，在t ∈[0，＋∞)单调递增， y ∈[72，＋∞)，所以函数f (x )＝2x －3＋4x －13的值域为[72 ，＋∞)． 3．函数f (x )＝2x －3－4x －13的值域为_________． 【答案】[3，＋∞)． 【解析】f (x )的定义域是[134 ，＋∞)， 令4x －13＝t ，x ∈[134，＋∞)，则x ＝14(t 2＋13)，t ∈[0，＋∞)， 则y ＝2×14(t 2＋13)－3－t ＝12(t －1)2＋3，在[0，1]单调递减，在[1，＋∞)单调递增， y ∈[3，＋∞)，所以函数f (x )＝2x －3－4x －13的值域为[3，＋∞)． 4.函数y ＝e x 3＋e x 的值域为___________． 【答案】(0，1)． 【解析】f (x )的定义域是R ， 令3＋e x ＝t ，x ∈R ，则e x ＝t －3，t ∈(3，＋∞)， 则y ＝t －3t ＝1－3t ， 由t ∈(3，＋∞)，得3t ∈(0，1)，－3t ∈(－1，0)，1－3t ∈(0，1)． 函数y ＝e x 3＋e x 的值域为(0，1)． 5. 函数y ＝ln e x 3＋e x 的值域为___________． 【答案】(－∞，0)． 6.函数y ＝(x 2－2x －1)2＋3x 2－6x －13的值域是___________．
例谈三角函数值域(最值)的几种求法 南县一中 肖胜军 有关三角函数的值域（最值）的问题是各级各类考试考察的热点之一，这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想，采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等重常用方法。掌握这类问题的解法，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。 一、合理转化，利用有界性求值域 例1、求下列函数的值域： （1）1sin cos y x x =+ （2）cos 3 cos 3 x y x -= + （3）2 2 sin 2sin cos 3cos y x x x x =++ （4）3sin()4cos()44 y x x π π =+ ++解析： （1）根据11sin cos sin 222x x x ≤ ≤可知：13 22 y ≤≤ （2）将原函数的解析式化为：3(1)cos 1y x y += -，由cos 1x ≤可得：1 22 y -≤≤- (3) 原函数解析式可化为：2 1sin 22cos 2sin 2cos 22)4 y x x x x x π =++=++=++ 可得： 22y ≤≤+ （4）根据sin cos )a x b x x φ?+=+∈?可得：55y -≤≤ 二、单调性开路，定义回归 例2、求下列函数的值域： （1）y = （2）y = （3）2cos ,63y x x x ππ?? ??=+∈ ?? ????? （4）y 1sin 02x ≤≤≤解析：（1）由-1知： 1sin 1,cos1cos sin 1 2 2 x x π π ≤-≤≤≤ ≤≤≤≤（2）由- 有（）125sin()663366 x x x ππππππ +≤≤≤+≤≤≤（3）y=2由知：由正弦函数的单调性：1y 2 [](4)0,2y == 三、抓住结构特征，巧用均值不等式