0349）《数学建模》复习思考题
一、名词解释
1．原型 2．模型
3．数学模型 4．机理分析 5．测试分析 6．理想方法 7．直觉 8．灵感
9．想象力 10．洞察力 11．类比法 12．思维模型
13．符号模型 14 ．直观模型 15．物理模型 16．计算机模拟 17．蛛网模型 18．群体决策
二、填空题
1．模型指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的（ 2．数学模型是由数字、 字母或其它数字符号组成的， 描述现实对象数量规律的 （ （ ）（ ）。 建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。
4．理想方法是从观察和经验中通过（ ）和（ ），把对象简 化、纯化，使其升华到理想状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。
5．计算机模拟是根据实际系统或过程的特性，按照一定的（
拟司机运行情况并依据大量模拟结构对系统或过程进行（
6．测试分析是将研究对象看作一个 （ ）系统， 通过对系统 （
）、（ ）
数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。
7．物理模型主要指科技工作者为一定的目的根据（ 以显示原型的外形或
某些特征，而且可以用来进行（ 规律。
）分析市场经济稳定性的图示法在经济学中
）（ ）（ ）
）描述受环境约束的所谓 “阻滞增长”
）描述随机因素的影响，建立比较简单的随机模
）的数学规划，称为混合整数规划。
）（ ）两个条件。
）两种。
）和（ ）两种基本方法。
三、判断题 。（正确的打 R ，错误的打 W ） 1．原型和直
观模型是一对对偶体。 （ ）
2．模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。 （ ）
3．一个原型只能建立一个模型（
） W
4．用建模法解决实际问题，首先是用数学语言表述问题，其次才用数学工具求解构成的模 型。（ ） R 5． 衡量一个数学模型的优劣在于它采用了什么样的数学方法。
（ ） W
）。
）
），
3．机理分析是根据对（
）的认识，找出反映内部机理的（
）用计算机程序语言模 ）。
）构造的模型，它不仅可 ），间接地研究原型的某些
8．用（
）和（
称为蛛网模型。
9．数学模型按建模目的有（
（ ）（ ）五种分类。
10． Logistic 规律就是用微分方程 （ 的规律。 11．如何用（
）（
型叫概率模型。
12．模型同时包含（ ）和（
13．从总体抽取样本，一般应满足（ 14． TSP
近似算法有（
）和（
15．序列无约束最小化方法有（
6．根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。（）R 7．寻求公平分配席位方法的关键是建立衡量公平程度的既合理有简明的数量指标。（）R 8．掌握建模这门艺术。培养想象力和洞察力只要学习、分析、评价、改造别人作过的模型就可以了。（）
W
9．做数学规划的模型中一般有先分析问题，找出目标函数以及约束条件，从而得出线性规划问题的数学符号及式子等步骤。（）W 10．传染病一般有模型1（微分方程）；模型2（SI）模型；模型3（SIS）模型；模型4（SIR）模型。这几种模型中模型1 和2 是可行的。（）W
四、问答题
1．数学建模的重要意义是什么？2．在国民经济和社会活动中那些方面，数学建模有具体的应用？3．数学建模的一般步骤是什么？
4．数学模型的特点是什么？5．数学模型按表现特性有几种分类？6．数学模型按建模目的有几种分类？7．层次分析法的基本步骤是什么？8．从层次分析法的原理、步骤、应用等方面的讨论来看，它有那些优点？9．数学模型是怎样得到数学结构的？10．简述数学建模与计算机技术的关系？11．现实对象与数学模型的关系是什么？12．掌握建模这门艺术。培养想象力和洞察力要做好哪两条？13．在做数学规划的模型中一般有哪些步骤？14．传染病一般有那几种模型？
15．在传染病几种模型中，为什么说模型3、4 是可行的？
16．设人口模型中人口密度函数为p（r,t）那么从时刻0 到时刻r m 的人口总数、平均年龄、平
均寿命是怎么定义的？
17．简述Volterra 模型的局限性？18．什么是Logistic 规律？19．什么叫2 倍周期收敛？20．层次分析法是一种怎样的分析法？21．所有层次结构模型的两个共同特点是什么？22．层次分析法中的一致性指标公式是什么？23．一般的n 个顶点的竞赛图有那些性质？24．合作对策分配应满足什么条件？25．马氏链的基本方程是什么？
26．最简泛函极值的必要条件是什么？27．什么叫灵敏度分析？28．整数线性规划问题的一般形式是什么样的？29．什么叫梯度？
30．关于步长的选择有几种不同的选法？31．梯度法的叠代步骤是什么？32．什么叫序列无约束最小化方法？33．序列无约束最小化方法有那两种基本方法？34．什么叫动态规划方法？35．动态规划法的递推方式有那两种形式？36．建立微分方程模型要对研究对象作具体分析的三种方法是什么？37．什么叫TSP 问题？
38．TSP 近似算法有那两种？39．在计算网络最大流量问题时，它的基本思想是什么？40．什么叫抽样？41．从总体抽取样本，一般应满足那两个条件？42．对容量n 的样本，常用的统计量有那些？43．引起等级结构变化的因素有那两种？44．马氏链的两种主要类型是什么？45．什么叫随机存储策略？
46．什么是随机模型？47．什么叫概率模型？48．在循环比赛中，什么叫双向连通？49．在用数学模型来解决实际问题时，一般有几个步骤？50．什么是混合整数规划？
五、建立数学模型
1．一盘标明180 分钟的录象带从头到尾，用时184 分钟，计数器读数从0000 到6061。在
某一次使用中录象带已经转过大半，计数器读数为4450，问盛下的一段能否下一小时的节目。（注意：录象带没有记时器）建立一个表述这个关系的模型。（注：录象带有两个轮盘一开始录象带缠满的那个称为左轮盘，另一个为右轮盘，计数器与右轮盘相连，其读数与右轮盘转动的圈数成正比，开始时，右轮盘空读数为0000，随着带子从左向右转，右轮盘半径增加，使转动越来越慢，计数器读数的增长也就越来越慢）
2．正常驾驶条件下车速每增加10 英里/小时，后面与前面一辆车的距离应增加一个车身的长度，实现这个规则的一种简便办法是“ 2 秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始默数2 秒钟后到达同一标志，而不管车速如何。建立一个模型来分析这个规则的合理性。
3．配件厂为装配线生产若干个部件，轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产量无关）同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付储存费。建立一个模型，使得每次产量为多少时，总费用最小。
4．汽车厂生产计划问题：一汽车厂生产小、中、大三种类型汽车，已知各类型车辆对钢材，劳动时间的需求，利润以及每月工厂钢材、劳动时的现有量如下表所示。试制定月计划，使工厂的利润最大。进一讨论：由于各种条件限制，如果生产某一类型汽车，至少要生产80 辆，那么最优的生产计划应作何改变。
5．汉诺塔问题：n个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩 A 上，大的在下，小的在上。
现在将此n 个盘移到空桩B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小盘在上。移动过程桩A 也可以利用。设移动n 个盘的次数为a1，试建立关于a n的差分方程。
6．设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，同时（即第三个月）开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。设第n 月末共有F n对兔子，试建立关于F n 差分方程。
7．在一个平面上有n 个圆两两相交,但任个圆无公共点。设此n 个圆将平面分为a n 个区域，试建立关于a n 的差分方程。
8．某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m 。
（1）现有一客户需要50根4m\20 根6m 和15根8m 的钢管.应如何下料最节省?
（2）建立一个模型，写出约束条件。
0349
一、名词解释
1．原型：原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。2．模型：指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
3．数学模型：是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。
4．机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。
5．测试分析：将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。
6．理想方法：是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。
7．直觉：直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。8．灵感：灵感是指在人有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。
9．想象力：指人们在原有知识基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工、处理，创造出新形象，是一种形象思维活动。
10．洞察力：指人们在充分占有资料的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用那些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。
11．类比法：类比法注意到研究对象与以熟悉的另一对象具有某些共性，比较二者相似之处以获得对研究对象的新认识。
12．思维模型：指人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接储存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。
13．符号模型：是在一定约束条件或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。14．直观模型：指那些供展览用的实物模型以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。
15．物理模型：主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。
16．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟司机运行情况并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。
17．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。
18．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。
二、填空题
1．模型指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的（）。
答案：原型替代物
2．数学模型是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的（）
（）（）。
答案：数学公式、图形、算法。
3．机理分析是根据对（）的认识，找出反映内部机理的（），建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。
答案：客观事物特性、数量规律
4．理想方法是从观察和经验中通过（）和（），把对象简化、纯化，使其升华到理想状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。
答案：想象和逻辑思维
5．计算机模拟是根据实际系统或过程的特性，按照一定的（）用计算机程序语言模
拟司机运行情况并依据大量模拟结构对系统或过程进行（）。
答案：数学规律、定量分析
6．测试分析是将研究对象看作一个（）系统，通过对系统（）、（）
数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。
答案：黑箱、输入、输出
7．物理模型主要指科技工作者为一定的目的根据（）构造的模型，它不仅可
以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行（），间接地研究原型的某些
规律。
答案：相似原理、模拟实验
8．用（）和（）分析市场经济稳定性的图示法在经济学中
称为蛛网模型。
答案：需求曲线、供应曲线
9．数学模型按建模目的有（）（）（）（）（）五种分类。
答案：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型
10．Logistic 规律就是用微分方程（）描述受环境约束的所谓“阻滞增长” 的规律。
答案：x(t) rx(1
11．如何用（）（）描述随机因素的影响，建立比较简单的随机模
型叫概率模型。答案：随机变
量、概率分布12．模型同时包含
（）和（）的数学规划，称为混合整数规划。
答案：连续变量、整数变量
13．从总体抽取样本，一般应满足（）（）两个条件。
答案：1）随机性；2）独立性。
14．TSP 近似算法有（）和（）两种。
答案：1）构造型算法；2）改进型算法。
15．序列无约束最小化方法有（）和（）两种基本方法。答案：1）SUMT 外点法；2）SUMT 内点法。
三、判断题。（正确的打R，错误的打W）1．原型和直观模型是一对对偶体。（）
2．模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。
3．一个原型只能建立一个模型（）W
4．用建模法解决实际问题，首先是用数学语言表述问题，其次才用数学工具求解构成的模型。（）R 5．衡量一个数学模型的优劣在于它采用了什么样的数学方法。（）W
6．根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。
（）R 7．寻求公平分配席位方法的关键是建立衡量公平程度的既合理有简明的数量指标。（）R
8．掌握建模这门艺术。培养想象力和洞察力只要学习、分析、评价、改造别人作过的模型就可以了。（）
W
9．做数学规划的模型中一般有先分析问题，找出目标函数以及约束条件，从而得出线性规划问题的数学符号及式子等步骤。（）W 10．传染病一般有模型1（微分方程）；模型2（SI）模型；模型3（SIS）模型；模型4（SIR）模型。这几种模型中模型1 和2 是可行的。（）W
四、问答题
1．数学建模的重要意义是什么？
答案：1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。2）在高新技术领域，数学
建模几乎是必不可少的工具。3）数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。
2．在国民经济和社会活动中那些方面，数学建模有具体的应用？答案：分析与决策、预报与决策、控制与优化、规划与管理。
3．数学建模的一般步骤是什么？答案：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。4．数学模型的特点是什么？答案：模型的逼真性和可行性、模型的渐进性、模型的强健性、模型的可转移性、模型的非预制性、模型的条理性、模型的技艺性、模型局限性
5．数学模型按表现特性有几种分类？答案：确定性模型和随机性模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型
6．数学模型按建模目的有几种分类？答案：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型。
7．层次分析法的基本步骤是什么？
答案：1）建立层次结构模型2）构造成对比较阵3）计算权向量并做一致性检验。4）计算组合权向量8．从层次分析法的原理、步骤、应用等方面的讨论来看，它有那些优点？答案：系统性、实用性、简洁性。9．数学模型是怎样得到数学结构的？答案：一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。
10．简述数学建模与计算机技术的关系？答案：数学建模与计算机技术有密不可分关系，一方面，新型飞机设计、石油勘探数据处理中数学模型的求解离不开巨型计算机，而微型电脑的普及更使数学建模逐步进入人们的
日常活动，另一方面，以数字话为特征的信息正以爆炸之势涌入计算机，去伪存真、归纳 整理、分析现象、显示结果等，计算机需要人们给它以思维的能力，这些当然要求求助于 数学模型。
11．现实对象与数学模型的关系是什么？ 答案：一方面，数学建模是将现象加以归纳、抽象的产物，它原于
现实，又高于现实， ；另 一方面，只有当数学建模的结果经受住现实对象的检验时，才可以用来知道实际，完成实 践——理论——实践这一循环。
12．掌握建模这门艺术。培养想象力和洞察力要做好哪两条？ 答案：第一，学习、分析、评价、改造别人作
过的模型。第二，要亲自动手，踏实地做几 个实际题目。
13．在做数学规划的模型中一般有哪些步骤？ 答案：先分析问题，决定决策变量、目标函数以及约束条件，
从而得出线性规划问题的数 学符号及式子。
14． 传染病一般有那几种模型？
答案：模型 1（微分方程） ；模型 2（SI ）模型；模型 3（ SIS ）模型；模型 4（SIR ）模型。 15．在传染病几种模型中，为什么说模型
3、 4 是可行的？
答案：因为它们比较全面的达到了建模的目的，即描述传播过程、分析感染人数的变化规 律，预测传染病高潮期到来时刻，度量传染病蔓延的程度并探索制止蔓延的手段。
16．设人口模型中人口密度函数为
p （r,t ）那么从时刻 0 到时刻 r m 的人口总数、平均年龄、平
均寿命是怎么定义的？ 答案：人口总数 N （ t ）：
平均寿命 S （ t ） S （t ）
17．简述 Volterra 模型的局
限性？ 答案：第一，多数食饵
——捕食者系统都观察不到 Volterra 模型显示的那种周期动荡，而是 趋向某种平衡状态。第二，自然界里生长期存在的周期变化的生态平衡系统应该是稳定的， 而 Volterra 模型描述的周期变化状态却不是稳定的。
18．什么是 Logistic 规律？
x
答案： Logistic 规律就是用微分方程 x （t ） rx （1 ） 描述受环境约束的所谓“阻滞增长” N 的规律。
19．什么叫 2 倍周期收敛？ 答案：在离散模型中，如果一个数列存在两个收敛子列就称为 2 倍周期收敛。 20．层次分析法是一种怎样的分析法？ 答案：层次分析法是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分
析法。 21．所有层次结构模型的两个共同特点是什么？ 答案：第一，模型所涉及的各因素可以组合为属性基本相同的若干层次，层次内部因素之 间不存在相互影响或支配作用，或者这种影响可以忽略；第二，层次之间存在自上而下、 逐层传递的支配关系，没有下层对上层的反馈作用，或层次间的循环影响。
22．层次分析法中的一致性指标公式是什么？
23．一般的 n 个顶点的竞赛图有那些性质？
答案： 1)竞赛图存在完全路径； 2)若存在唯一的完全路径，则由完全路径确定的顶点的 顺序，与得分多少排列的顺序相一致，这里一个顶点的得分指标由它按箭头方向引出的边 的数目。
24．合作对策分配应满足什么条件？
答案：
n
x i v(I ) i1
x i v(i ),i 1,2,3, ,n
25．马氏链的基本方程是什么？
k
r m 1 r m
N(t)
m
p(r,t)dr,平均年龄 R(t) m rp(r,t)dr 。
t
(r ,t)dr
e 0
d 。
答案： CI
n n1
a i(n 1) a j (n)p ji ,n 0,1,2,
答案：p ij
k
j1
0, i, j 1,2, ,k p ij 1,i 1,2, , k
j1
26．最简泛函极值的必要条件是什么？
F x
dt F
x
答案：或
F x F t x F xx x F xx x 0
27．什么叫灵敏度分析？
答案：系数的每个变化都会改变线性规划问题，随之也会影响原来求得的最优解。为制定一个应付各种偶然情况的全能方法，必须研究以求得的最优解是怎样随输入系数的变化而变化的。这叫灵敏性分析。
28．整数线性规划问题的一般形式是什么样的？
n
min z c j x j
j1
n
a ij x j
b j (i 1,2, ,m)
j1
x j为非负整数( j 1,2, , m)
29．什么叫梯度？
答案：设f(x )是定义在n维欧氏空间E n上的可微函数，则我们称
f (x) f ( x) f (x) T ( , , , )T为f(x)在点x 处的梯度。
x1 x 2 x n
30．关于步长的选择有几种不同的选法？
答案1)简单算法；2)一维搜索算法；3)可接受点算法。31．梯度法的叠代步骤是什么？
答案1)给定初始点X 0 E n ,允许误差0,令k 0 ；2)计算f(X k ) ；3)检验是否
满足收敛的判别法准则；4）令S k f （X k）,从X k出发，沿S k进行一维搜索，求得
,使得
min f（X k S k） f（X k k S k）；5）令X k 1 X k k S k,k k 1.返回2）。
32．什么叫序列无约束最小化方法？答案：罚函数基本思想是求通过构造函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题，进而用无约束最优化方法求解。这类方法称为序列无约束最小化方法。
33．序列无约束最小化方法有那两种基本方法？答案：1）SUMT 外点法；2）SUMT 内点法。
34．什么叫动态规划方法？答案：在多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前的状态，而又随即引起状态的转移，一个决策序列就是在状态的运动变化中产生的，因此，把处理它的方法称为动态规划方法。
35．动态规划法的递推方式有那两种形式？
答案：1）逆推法，当初始条件给定时用；2）顺推法，当终止状态给定时用。36．建立微分方程模型要对研究对象作具体分析的三种方法是什么？答案：1）根据规律建模；2）用微元法建模；3）用模拟近似法建模。
37．什么叫TSP 问题？答案：在加权图中寻求最佳推销员回路的问题可以转化为在一个完备加权图中寻求
最佳哈密顿圈的问题，称为TSP 问题。
38．TSP 近似算法有那两种？
答案：1）构造型算法；2）改进型算法。39．在计算网络最大流量问题时，它的基本思想是什么？答案：判别网络N 中当前给定的流f（初始时，f 为零流）是否存在增广链，若没有，职责该流vf 为最大流；否则，求出f 的改进流F，在进行判断和计算，直到找到最大流为止。40．什么叫抽样？答案：为了对总体X 的分布律进行各种所需的研究，就必须对总体进行抽样观察，根据抽样观察所得的结果来推断总体的性质。这种从总体X 中抽取若干个体来观察某中数量指标X 的取值过程称为抽样。
41．从总体抽取样本，一般应满足那两个条件？答案：1）随机性；2）独立性。
42．对容量n 的样本，常用的统计量有那些？
答案：1）平均值；2）标准差、方差和极差；3）偏度和峰度；4）k 阶原点矩；5）k 阶中心矩。43．引起等级结构变化的因素有那两种？
答案；1）系统内部等级间的转移，即提升或降级；2）系统内外的交流，即调入或退出。
44．马氏链的两种主要类型是什么？答案：正则链和吸收链。
45．什么叫随机存储策略？答案：商店在订购货物时采用的一种简单的策略，是制定一个下界s 和一个上界S，当周末存货不小于s时就不定货；当存货少于s 时就订货，且定货量使得下周初的存量达到S，这
种策略称为随机存储策略。
46．什么是随机模型？答案：如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应该建立随机性的数学模型，简称为随机模型。
47．什么叫概率模型？答案：如何用随机变量和概率分布描述随机因素的影响，建立比较简单的随机模型叫概率模型。
48．在循环比赛中，什么叫双向连通？答案：在循环比赛中，对于任意一队顶点，存在两种有向路径，使两个顶点可以相互连通，这种有向图称为双向连通。
49．在用数学模型来解决实际问题时，一般有几个步骤？
答案：1）决策变量；2）决策目标；3）约束条件；4）模型求解。50．什么是混合整数规划？答案：模型同时包含连续变量和整数变量的数学规划，称为混合整数规划。
五、建立数学模型
1．一盘标明180 分钟的录象带从头到尾，用时184 分钟，计数器读数从0000 到6061。在
某一次使用中录象带已经转过大半，计数器读数为4450，问盛下的一段能否下一小时的节目。（注意：录象带没有记时器）建立一个表述这个关系的模型。（注：录象带有两个轮盘一开始录象带缠满的那个称为左轮盘，另一个为右轮盘，计数器与右轮盘相连，其读数与右轮盘转动的圈数成正比，开始时，右轮盘空读数为0000，随着带子从左向右转，右轮盘半径增加，使转动越来越慢，计数器读数的增长也就越来越慢）
答案：模型假设：
1）录象带的线速度是常数v；
2）计数器读数n 与右轮盘的转数m 成正比，m=kn,k 为比例系数；
3）录象带的厚度（加上缠绕时两圈见间的缝隙）是常数w，空右轮盘半径为r；
4）初始时刻t=0 时n=0 ；
模型建立：
设当右轮盘转到地I 圈时其半径为r+wi ，周长为2 （r wi），m 圈的总长度恰好等于v 录
象带转过的长度vt ，即
m
2 （ r wi） vt （1）
i1
考虑到w 比r 小的多，并代入m=kn ，容易算出
wk 22 2 rk
t n n （2）
vv
这就是需要建立的数学模型。
2．正常驾驶条件下车速每增加10 英里/小时，后面与前面一辆车的距离应增加一个车身的长度，实现这个规则的一种简便办法是“ 2 秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始默数2 秒钟后到达同一标志，而不管车速如何。建立一个模型来分析这个规则的合理性。答案：模型假设：
1）刹车距离d 等于反应距离d1与制动距离d2之和。
2）反应距离d1与车速v 成正比，比例系数为反应时间t1 。
3）刹车时使用最大的制动力F，F作的功等于汽车动能的改变，且F 与车的质量m成正比。模型建立：
由假设2
d1 t1v （1）
由假设3，在F 的作用下行驶距离d2 作的功Fd 2 使车速从v变成0，能动的变化量为mv22 ,有Fd2 mv2 2 ,又F m ，按照牛顿第二定律可知，刹车时间的减速度a为常数，
于是
2
d2 kv （2）1
其中k 为比例系数，由假设1，刹车距离为
2a
2
d t1v kv （3）
（1）、（2）、（3）为所要建立的数学模型。
3．配件厂为装配线生产若干个部件，轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产量无关）同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付储存费。建立一个模型，使得每次产量为多少时，总费用最小。
答案：模型假设：
1）产品每天的需求量为常数r；
2）每次生产准备费为c1 ，每天每件产品储存费为c2 ；
3）生产能力为无限大（相对于需求量），当储存量降到0 时，Q 件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货。
模型建立：将储存量表示为时间t 的函数q（t）,t=0 生产Q 件，储存量q（0）=Q,q（t）以需求速率r 递减，直到q（T）=0 ，为止，显然有
Q rT （1）一个周期内的储存费是c2 q（t）dt ，其中积分为QT，因为一周期的准备费是c1，再由（1）式，得到一周期的总费用为
Cc c2QT
1c 2
c2rT
1
2
（2）
于是每天的平均费用是
C c1 c2r T C（T）1 2r
T T 2
3）
3）为这个优化模型的目标函数。
4．汽车厂生产计划问题：一汽车厂生产小、中、大三种类型汽车，已知各类型车辆对钢材，劳动时间的需求，利润以及每月工厂钢材、劳动时的现有量如下表所示。试制定月计划，使工厂的利润最大。进一讨论：由于各种条件限制，如果生产某一类型汽车，至少要生产80 辆，那么最优的生产计划应作何改变。
模型的建立：设每月生产小、中、大型的汽车数量分别为x1 , x2 , x3 ，工厂的月利润为z，在题目所
给的参数均不随生产数量变化的假设下，立即可得线性规划模型：
Maxz2x
1 3x
2 4x3
1.5x1 3x2 4x3 600
S. T.280x1 250x2 400x3 60000 x1,x2,x3
5．汉诺塔问题：n个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩 A 上，大的在下，小的在上。
现在将此n 个盘移到空桩B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小盘在上。移动过程桩A 也可以利用。设移动n 个盘的次数为a1，试建立关于
a n 的差分方程。
解：先将A 上的n-1 个盘按题设要求移到C上，这需要移动a n 1次，于是得差分方程：
2a n 1 1
a1 1
6．设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，同时（即第三个月）开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。设第n 月末共有F n对兔子，试建立
关于 F n 差分方程。
解：因第 n 月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的， 而由题设当月生的小兔数等于前月末的兔数，所以
F 1 F 2 1
F n 定义为 Fibonacci 数列。
7．在一个平面上有 n 个圆两两相交 ,但任个圆无公共点。设此 n 个圆将平面分为 a n 个区域， 试建立关于
a n 的差分方程。
解：前 n-1 个两两相交， 共 2(n -1)个不同交点， 这些点将第 n 个圆恰好分为 2(n-1)条弧， 而每条弧又将所在的原来的区域一分为二，故加入第 n 个圆后新增 2(n-1) 个区域。于是，差 分方程为
a n a n 1 2(n 1) a 1 2
8．某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到 的原料钢管都是 19m 。
(2) 现有一客户需要 50根 4m\20 根 6m 和 15根 8m 的钢管 .应如何下料最节省 ? (2) 建立一个模型，写
解：决策变量 用 i 表示第 i( )种模式切割的原料钢管的根数，它们应非
负。 决策目标 以切割后剩余的总量最小为目标，则由表可得
MinZ 1 3x 1 x 2 3x 3 x 5 x 6 3x 7
约束条件 为满足顾客的需求，按表应有
F
n 1
F n
4x 1 3x 2 2x 3 x 4 x 5 50
x2 2x4 x5 3x6 20 x3 x5 2x7 15
《数学建模》习题集_20091 1． 记时刻t 的人口为()x t ，已知0时刻的人口为0x ，假设人口增长率随着人口数量的增加 而线性下降，即从t 到t t +?人口的增量与t x t x t x m ?-)/)(1)((成正比。建立人口增长模型，求解并作出解的大致图形。(具体解答见书上P12) t x t x t x r t x t t x m ?-=-?+*)/)(1)((*)()( x x x e c rt x x x c rt x x x rdt dx x x x rdt dx x x x x x t x t x r dt t dx m c rt m m m m m m -= +=-+=--=-+=--=+ln )ln(ln )11() ()/)(1)((*/)( 解为()011m rt m x x t x e x -= ??+- ??? ，大致图形如下： 2． 试在matlab 中编程，用以下美国人口数据拟合人口增长模型：0()rt x t x e = ，确定其待 定参数0x 和r 。
Matlab 常用函数名称列表：interp1、polyfit 、polyval 、fzero 、fsolve 、fminbnd 、fminsearch 、fmincon 、lsqcurvefit 、ode45、limit 、diff 、int 。 解答： 1)先定义一个函数文件myfun.m ： function f=myfun(a,t) f=exp(a(1)*t+a(2)); 2)然后在命令行输入以下命令： x=1790:10:1990; y=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4]; a0=[0.001,1]; % 初值 a=lsqcurvefit('myfun',a0,x,y); 得到0x =exp(a(2))，r =a(1)。 3． P79习题2：建立不允许缺货的生产销售存贮模型。生产速率为常数k ，销售速率为常 数r ，r k >。在每个生产周期T 内，开始一段时间（00t T <<）一边生产一边销售，后来一段时间（0T t T <<）只销售不生产，画出贮存量()q t 的图形。每次生产准备费为1c , 每天每件产品贮存费为2c ；并以总费用最小为目标确定最优生产周期。讨论 k r 和k r ≈的情况。 解答： ()q t 的图形如右。 一个周期内的存贮费2c 乘于图中三角形的面积， 再加上生产准备费1c ，得到一周期的总费用为： 001212012 ()()222 ()2 QT Q T T C T c c QT c c k r T T c c -?? =++ ? ?? =+-=+ 而00()()k r T r T T -=-，既有0rT T k =，故上式为：2 12()()2r k r T C T c c k -=+。 故单位时间总费用为： 12()()2c c r k r T C T T k -= +。 利用微分法求T 使()C T 最小。使)(T c 达到最小值的最优周期为： t
《数学建模入门》练习题 练习题1：发现新大陆！ 发现新大陆！人人都能做到，可是最终哥伦布做到了。为什么哥伦布能做到呢？ 有兴趣、能想到、去做了、坚持到底。 练习题2：棋盘问题 有一种棋盘有64个方格，去掉对角的两个格后剩下62个格（如下图），给你31块骨牌，每块是两个格的大小。问能否用这些骨牌盖住这62个方格？ 不能，如图所示。 图中共有32个黄格,30个红格,而每张骨牌必定盖住一红一黄 两格,那么最后两个黄格用一个骨牌无论如何也盖不上. 练习题3：硬币游戏 如果你和你的对手准备依次轮流地将硬币放在一个长方形桌子上，使得这些硬币不重叠。最后放上硬币的人为胜者，在开始时你有权决定先放还是后放。为了能赢得这场比赛，你决定先放还是后放呢？ 答：决定先放。第一枚硬币放在桌子中心，随后自己放置的硬币总与对方上次放置的硬币成中心对称，如果对方能放得下，那么己方的硬币必然可以放下。所以己方放置的硬币必然为最后一枚。
练习题4：高速问题 一个人从A 地出发，以每小时30公里的速度到达B 地，问他从B 地回到A 地的速度要达到多少？才能使得往返路程的平均速度达到每小时60公里？ 解：设A,B两地距离为S，则有：2S/（t+T）=60.t为从A地到B地的时间，T为从B地到A地的时间。即有 ○12S/（t+T）=60 ○2S=30t 得出：T=0.即速度v=+∞ 但是这是不可能达到的速度。所以此题无解。 练习题5：登山问题 某人上午八点从山下的营地出发，沿着一条山间小路登山，下午五点到达山顶；次日上午八点又从山顶开始下山（沿同一条小路）返回，下午五点又到达了山下的营地。问：是否能找到一个地点来回时刻是相同的？ 答：可以看做在一天，两人同时于八点分别从山顶山脚出发，，在五点到达。看途中是否能遇到。 设f(t)为上山时的时间与位移表达式，g(t)为下山是的位移表达式，h(t)=f(t)-g(t) 为合位移，总位移为S，规定上山为正方向。 当h(t)=0，两人相遇。 以山脚为位移原点，则山脚处位移为0，山顶为S。 h(8）=f(8)-g(8)=-S<0 h(17)=f(17)-g(17)=S>0 在8= 数学建模习题指导 第一章 初等模型 讨论题1 大小包装问题 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。 （1）分析商品价格C 与商品重量w 的关系。 （2）给出单位重量价格c 与w 的关系，并解释其实际意义。 提示： 决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本。 单价随重量增加而减少 单价的减少随重量增加逐渐降低 思考题2 划艇比赛的成绩 赛艇是一种靠浆手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不同，但形状相似。T.A.McMahon 比较了各种赛艇1964—1970年四次2000m 比赛的最好成绩(包括1964年和1968年两次奥运会和两次世界锦标赛)，见下表。建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间的关系。 各种艇的比赛成绩与规格 第二章 线性代数模型 森林管理问题 森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案， γβα++=32w w C w w c γβα++=-3123431w w c γβ--='-3 29434w w c γβ+=''- 在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。 思考： 试解释为什么模型中求解得到的 为每周平均销售量会略小于模型假设中给出的1。 练习： 将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0或1时订购，使下周初的库存 达到3架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。 2.将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0时订购本周销售量加2架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。 第三章 优化模型 讨论题 1）最优下料问题 用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘。给出几种加工排列方法，比较出最优下料方案。 2）广告促销竞争问题 甲乙两公司通过广告竞争销售商品，广告费分别为 x 和 y 。设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中所占份额是它们的广告费在总广告费中所占份额的函数 又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费后即为公司的利润。试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大。 （1）令 （2）写出甲公司的利润表达式 对一定的 y ，使 p (x ) 最大的 x 的最优值应满足什么关系。用图解法确定这个最优值。 练习1 三个家具商店购买办公桌：A 需要30张，B 需要50张，C 需要45张。这些办公桌由两个工厂供应：工厂1生产70张，工厂2生产80张。下表给出了工厂和商店的距离（单位公里） ， A B 857.0=n R ) (),(y x y f y x x f ++的示意图。。画出则)()()(,t f t f t f y x x t 11=-++= 。 )(t p 第一部分课后习题 1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。 （3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。 （4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应 多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。 （0349）《数学建模》复习思考题答案 一、名词解释 1．原型：原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。 2．模型：指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。3．数学模型：是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。 4．机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。 5．测试分析：将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。 6．理想方法：是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。 7．直觉：直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。 8．灵感：灵感是指在人有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。 9．想象力：指人们在原有知识基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工、处理，创造出新形象，是一种形象思维活动。 10．洞察力：指人们在充分占有资料的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用那些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。 11．类比法：类比法注意到研究对象与以熟悉的另一对象具有某些共性，比较二者相似之处以获得对研究对象的新认识。 12．思维模型：指人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接储存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。 13．符号模型：是在一定约束条件或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。 14．直观模型：指那些供展览用的实物模型以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。 15．物理模型：主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。16．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟司机运行情况并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。 17．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。 18．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。 二、填空题 1．模型指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的（）。 答案：原型替代物 2．数学模型是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的（） （题号前有*的老师没给答案的） 一、简答题 6*10=60分 1. 什么是数学模型？ 数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构．简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律． *2. 什么是数学建模？ 数学建模就是构造数学模型的过程，即用数学的语言——公式、符号、图表等刻画和描述一个实际问题，然后精经过数学的处理——计算、迭代等得到定量的结果，以供人们作分析、预报、决策和控制。 3. 简述数学模型的分类？ 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等． 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等． 4. 请给出最小生成树的定义与Kruskal 算法的内容。 最小生成树： 在赋权图G 中，求一棵生成树，使其总权最小，称这棵生成树为图G 的最小生树.Kruskal 算法思想及步骤：Kruskal （1959）提出了求图的最小生成树的算法，其中心思想是每次添加权尽量小的边，使新的图无圈，直到生成一棵树为止，便得最小生成树，其算法步骤如下：（1）把赋权图G 中的所有边按照权的非减次序排列；（2）按（1）排列的次序检查G 中的每一条边，如果这条边与已得到的边不产生圈， 这一条边为解的一部分.（3）若已取到n-1条边，算法终止，此时以V 为顶点集，以取到的1 n 条边为边集的图即为最小生成树. 5. 适合于计算机仿真的问题有哪些？ 在下列情况中，计算机仿真能有效地解决问题：(1) 难以用数学表示的系统，或者没有求解数学模型的有效方法；(2) 虽然可以用解析的方法解决问题，但数学的分析与计算过于复杂，这时计算机仿真可能提供简单可行的求解方法；(3) 希望能在较短的时间内观察到系统发展的全过程，以估计某些参数对系统行为的影响；(4) 难以在时间环境中进行实验和观察时，计算机仿真是唯一可行的方法， 数学建模——函数模型及其应用 基础巩固组 1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是() A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 km B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80 km/h的速度行驶1小时,消耗10 L汽油 D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 2.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0 考试内容分布： 1、线性规划2题，有1题需编程； 2、非线性规划2题，有1题需编程； 3、微分方程1题，需编程； 4、差分方程2题，纯计算，不需编程； 5、插值2题，拟合1题，纯计算，不需编程；； 6、综合1题(4分)，纯计算，不需编程。 一、列出下面线性规划问题的求解模型，并给出matlab计算环境下的程序 1.某车间有甲、已两台机床，可用于加工三种工件，假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三 种工件的数量分别为400,600和500，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能即满足加工工件的要求，又使加工费用最低。（答案见课本P35, 例1） 2.有两个煤厂A,B，每月进煤分别不少于60t、100t，它们负责供应三个居民区的用煤任务，这三个居民 区每月需用煤分别为45t, 75t, 40t。A厂离这三个居民区分别为10km, 5km, 6km，B厂离这三个居民区分别为4km, 8km, 15km，问这两煤厂如何分配供煤，才能使总运输量最小？ (1)问题分析 设A煤场向这三个居民区供煤分别为x1,x2,x3;B煤场向这三个居民区供煤分别为x4,x5,x6，则min f=10*x1+5*x2+6*x3+4*x4+8*x5+15*x6，再根据题目约束条件来进行解题。 (2) 模型的求解 >> f=[10 5 6 4 8 15]; >> A=[-1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 -1]; >> b=[-60;-100;-45;-75;-40]; >> Aeq=[]; >> beq=[]; >> vlb=zeros(6,1); >> vub=[]; >> [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) Optimization terminated. 2014-2015-1《数学建模》期末复习 一、判断题：（对的打√,错的打×） (1) MATLAB 中变量的第一个字母必须是英文字母.-------- --( ) (2) ones( 3 )命令可以生成一个3阶全零矩阵. ----------------( ) (3) 命令[1,2,3]^2的执行结果是[1,4,9]. ----------------( ) (4) 一元线性回归既可以使用regress 也可以使用polyfit. --( ) (5)插值函数必定过已知的所有数据点. ---------------------------( ) (6) MATLAB 中变量名不区分大小写.----------------------------( ) (7) 命令[1,2,3].^2的执行结果是[1,4,9]. ----------------------( ) (8) 命令linspace(0,1,100)共产生100个等间隔的点. -------------------( ) (9) LINGO 程序中@Gin(x)表示x 取整数. -----------( ) (10) LINGO 集合语言数据段以“data:”开始“enddata”结尾------( ) 二、用MATLAB 命令完成如下矩阵操作： (1)创建矩阵A=??? ?????--252013132; (2)求A 的所有元素的最大值, 赋给x (3)取出A 的第2行所有元素和第3列所有元素,分别赋给B 和C; (4)求A 的逆矩阵, 赋给D. (5)创建一个矩阵B 为3阶全1矩阵; (6)修改B 的第2行第3列元素为2; (7)删除B 的第1列所有元素; (8)求B 的行列式,赋值给x. 三、（1）使用for 循环结构,编写MATLAB 程序,求∑=100 32n n . （2）使用for 、while 循环或prod 语句,编写MATLAB 程序,求10011n n n =+∏ （2）写出求解该模型的LINGO 程序。 2023高中数学数学建模与应用复习题集附答 案 2023高中数学数学建模与应用复习题集附答案 本文为高中数学数学建模与应用复习题集，涵盖了相关题目及其解答。以下是题目与解答的具体内容： 一、单选题 1. 已知函数$f(x)=\frac{1}{2}x^2+3x+2$，则$f(-3)=$ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解答： 将$x=-3$代入函数$f(x)$，得到： $$f(-3)=\frac{1}{2}(-3)^2+3(-3)+2=7$$ 因此，答案为D. 7。 2. 设数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n^2-3n+5$，则$a_5=$ A. 11 B. 14 D. 25 解答： 将$n=5$代入数列通项公式，得到： $$a_5=5^2-3\times5+5=11$$ 因此，答案为A. 11。 二、多选题 1. 函数$f(x)$在区间$(a,b)$上连续，则必定在该区间上必存在一点 $c$，使得$f(c)$等于下列哪些值？ A. $f(a)$ B. $f(b)$ C. $\frac{f(a)+f(b)}{2}$ D. $f(\frac{a+b}{2})$ 解答： 根据连续函数的性质，若函数$f(x)$在区间$(a,b)$上连续，则必定 在该区间上存在介于最大值和最小值之间的所有值。因此，答案为A、 B、C、D。 2. 以下哪些数对应的立方根是有理数？ A. 2 C. 8 D. 27 解答： 立方根是有理数的条件是原数是一个整数的立方。根据选项，只有8是另一个整数的立方，因此答案为C. 8。 三、填空题 1. 若正方形的面积为16平方米，则它的边长是\_\_\_米。 解答： 设该正方形的边长为$x$，根据题意可得： $$x^2=16$$ 解得$x=4$，因此答案为4米。 2. 已知函数$f(x)$的定义域为$[-1, 1]$，则$f(-1)=$\_\_\_。 解答： 将$x=-1$代入函数$f(x)$，得到： $$f(-1)=-1$$ 因此，答案为-1。 四、解答题 第三章 部分习题 1. 在3.1节存储模型的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优定货周期和定货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优定货周期和定货批量都比原来结果减小 3. 在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。 4. 在3.4节`最优价格模型中，如果考虑到成本q 随着产量x 的增加而降低，试做出合理的假设，重新求解模型。 7. 要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学，模型讨论是否跑都越快，淋雨量越少。 将人体简化成一个长方体，高m a 5.1=（颈部以下），宽m b 5.0=厚m c 2.0=，设跑步距离 ,1000m d =跑步最大速度s m v m /5=，雨速s m u /4= ，降雨量h cm w /2=，记跑步速度为v ，按以下步骤进行讨论； （1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量 （2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为θ，如图1建立总淋雨量与速度v 及参数θ,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算0 30,0==θθ时的总淋雨量。 （3））雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为∂，如图2建立总淋雨量与速度v 及参数∂,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算030=θ时的总淋雨量。 （4）以总淋雨量为纵轴，速度v 为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。 （5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。 20XX年复习资料 大 学 复 习 资 料 专业： 班级： 科目老师： 日期： 参考答案 一．填空题：（每题2分，共20XXXX 分） 1. 阻滞增长模型0.5(10.001)(0)100 dx x x dt x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩的解为 x(t)=20XXXX00/(1+9exp(-0.5t) )。 2. 用Matlab 做常微分方程数学实验，常用的命令有 ode45,ode23等等。 （写欧拉法等方法而非Matlab 命令的不给分）（本题着重考察数学实验有没有认真做！） 3. 整数m 关于模20XXXX 可逆的充要条件是：m 和20XXXX 没有质数公因子。 4. 根据Malthus 模型,如果自然增长率为2%，则人口数量增长为初值3倍所需时间为 (假设初值为正)50ln354.93≈ 5. 请补充判断矩阵缺失的元素1 31 219193121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 。 二．选择题：（每题2分，共20XXXX 分） 1.C ； 2. A; 3.B; 4.C. 5.C 三．判断题（每题2分，共20XXXX 分） 1.×; 2..√; 3.×; 4. ×; 5. ×（应考虑谱半径＝1的特殊情况） 四．应用题（共70分） 1）.中间关键步骤不能少，否则不给分！ 2）开头计算错误，但整体思路、算法正确适当给一些分。 1.（5分）解：设x1、x2分别为每个集装箱中甲乙两种货物的托运包数，f 为总利润，则该问题可以视为整数线性规划问题，其数学模型为： 12 12121212max 2010.. 5424 2513 ,0,,f x x s t x x x x x x x x Z =++≤+≤≥∈ 目标函数1分，每个约束条件各1分 常见错误：没有非负、整数约束，未写ILP 标准形式 2（20XXXX 分）解：问题的物理量有：波速v 与波长λ、水深d 、水的密度ρ和重力加速度g 。 令 (,,,,)0v d g ϕλρ=.取 g 1=λ，g 2=v ，g 3=d ，g 4=ρ，g 5=g 基本量纲为M ， L ， T ，各物理量的量纲为： [g 1]=L , [g 2]=LT -1，[g 3]=L , [g 4]= M -1L -3, [g 5]= LT -2 。 ―――――2分 量纲矩阵为：000101113101002 M A L T v d g λρ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥=- ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭ , r (A )=3, ―――――2分 0Ay =的一个基本解系为： 约束规划习题 1．某鸡场有1000只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养，每天每只鸡平均食混合饲料0.5kg，其中动物饲料所占比例不能少于20%。动物饲料每千克0.3元，谷物饲料每千克0.18元，饲料公司每周仅保证供应谷物饲料6000kg，问饲料怎样混合，才能使成本最低？ 2．某工厂用A1、A2两台机床加工B1、B2、B3三种不同零件。已知在一个生产周期内A1只能工作80机时；A2只能工作100机时。一个生产周期内计划加工B1为70件、B2为50件、B3为20件。两台机床加工每个零件的时间和加工每个零件的成本，分别如下列各表所示： 加工每个零件时间表（单位：机时/个） 加工每个零件成本表（单位：元/个） 问怎样安排两台机床一个周期的加工任务，才能使加工成本最低？ 3．某工厂利用两种原料甲、乙生产A1、A2、A3三种产品。如果每月可供应的原料数量（单位：t）。每万件产品所需各种原料的数量及每万件产品的价格如下表所示： 试制定每月和最优生产计划，是的总收益最大。 4．某医院负责人每日至少需要下列数量的护士： 每班的护士在值班开始时向病房报到，连续工作8小时。医院领导为满足每班所需要的护士数，最少需要雇佣多少护士？ 5．某工厂生产A1、A2两种型号的产品都必须经过零件装配和检验两道工序，如果每天可用于零件装配的工时只有100h， 可用于检验的工时只有120h，各型号产品每件需占用各工序时数和可获得利润如下表所示： 请写出此问题的数学模型，并求出最优化生产方案。 6．某工厂制造三种产品，生产这三种山品需要好三种资源：技术服务、劳动力和行政管理。下表列出了三种单位产品对每种资源的需要量： 现有100h的技术服务、600h的劳动力和300h的行政管理时间可使用，求最优产品品种规划。 （1）若产品Ⅲ值得生产的话，它的利润是多少？假使将产品Ⅲ的利润增加至25/3元，求获利最多的产品品种规划；（2）假定该工厂至少生产10件产品Ⅲ，试确定最优产品品种规划。 《数学建模课程》练习题一 一、填空题 1. 设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若人口增长率是常数r ，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为 ;)()0(,00rt e x t x x x rx dt dx =⇒== 。 2. 设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是 3600)1(35)(--=t p t G ，其中)(t p 为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是 80 。 3. 某服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 .2090,19**=≈Q T 。 4. 一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是 图中奇点个数为0或2. . 5.设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若允许的最大人口数为m x ，人口增长率由sx r x r -=)(表示，则人口增长问题的罗捷斯蒂克模型为 .)1(1)()0(),1(0 0rt m m m e x x x t x x x x x rx dt dx --+=⇒=-= . 6. 在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关： （1）参加展览会的人数n ； （2）气温T 超过C 10； （3）冰淇淋的售价p . 由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 ),10(,/)10(0 C T P T Kn N ≥-=K 是比例常数 . 7、若银行的年利率是x %，则需要 %)1ln(/2ln x + 时间，存入的钱才可翻番. 若每个小长方形街路的 8. 如图是一个邮路，邮递员从邮局A 出发走遍所有长方形街路后再返回邮局. 边长横向均为1km ，纵向均为2km ，则他至少要走 42 km.. A 9. 设某种新产品的社会需求量为无限，开始时的生产量为100件，且设产品生产的增长率控制在0.1，t 时刻产品量为)(t x ，则)(t x = 0.1()100;t x t e = . 专题三数学建模思想 如下优惠: 例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50 + 25X 20= 550元.若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45〜55次之间，则最省钱的方式为（） A.购买A类会员年卡 B.购买B类会员年卡 C.购买C类会员年卡 D.不购买会员年卡 2. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过45 m）,用80 m长的篱笆围一个矩形场地「，当AD= __m时, 矩形场地的面积最大. 3. （2016 -日照）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位 下降1米后，水面的宽度为_________ 米. 4. （2017・泰安）某水果商从批发市场用8 000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元•大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元. （1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？ (2)该水果商第二次仍用8 000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输 过程中小樱桃损耗了20%.若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%大樱桃 的售价最少应为多少？ 5. (2017 •德州)随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽.小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的 抛物线形水柱与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中 心3米. (1) 请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数表达式； (2) 求出水柱的最大高度是多少. 6. (2016 -潍坊)旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能 出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数.发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是 1 100元. (1) 优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注: 净收入=租车收入—管理费) (2) 当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？ 7. (2016 -绍兴)课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1, 上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果 制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35 m时，透光面积最大值约为 1.05 m2. 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2,材料总长仍为6 m利用图3, 解答下列问题： (1) 若AB为1 m，求此时窗户的透光面积； (2) 与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明. 1 某不动产商行能以5%的年利率借得贷款，它又把此款贷给顾客。若它能贷出的款额与它贷出的利润的平方成反比（利率太高无人借贷）。问以多大的年利率贷出能使商行获利润最大？ 解： 设贷出的年利率为x ，于是贷出的款额为K/ x 2，K 〉0为常数，商行可以获得利润 03000)-k(2000(0.1)L 0.10 x 010.0- 0(x)L 05.0)05.0( ''3 2'22<===+=-=⨯ -=又所以得由x k x k x k x k x k x L 故 x=0.1是个极大值点，且P （x ）仅有一个极值点。所以x=0.1时获利最大。 实际上， 当 x=0.08时， L=4.6875K x=0.10时， L=5K x=0.15时， L=4.44K 7 一个银行的统计资料表明，存放在银行中的总存款量正比于银行付给存户利率的平方. 现在假设银行可以用12%的利率再投资这笔钱. 问为得到最大利润, 银行所支付给存户的利率应定为多少? 解 假设银行支付给存户的年利率是r,(0 《数学建模》课程第一章自测练习及解答提示 一、填空题： 1．设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为 . 解：根据现值计算公式： 10)05.01(20)1(+=+=n R S Q 2783.12212010 11≈=（万元） 应该填写：12.2783万元． 2．设年利率为0.05，则20万元10年后的终值按照复利计算应为 . 解：根据终值计算公式： 10 )05.01(20)1(+=+=n R P S =5779.322021910 =（万元） 应该填写：32.5779 3．所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 . 解：应该填写：问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析． 4．设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是3600)1(35)(--=t p t G ，其中)(t p 为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是 . 解： 由商品的均衡价格公式： 8035 2536001200)(=++=++=c a d b t p 应该填写：80. 5．一家服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的批发手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 . 解：根据经济订购批量公式： 19110 01.020022*≈⨯⨯==R c c T s b 209701.011020022*≈⨯⨯== s b c R c Q 应该填写：.2097,19**=≈Q T 二、分析判断题 1. 从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决． 解：（1）要研究的问题：如何设置四部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益． 《数学建模》复习资料参考答案 一、不定项选择 1、建模能力包括 A、B、C、D 。 A、理解实际问题的能力 B、抽象分析问题的能力 C、运用工具知识的能力 D、试验调试的能力 2、按照模型的应用领域分的模型有 A、E 。 A、传染病模型 B、代数模型 C、几何模型 D、微分模型 E、生态模型 3、对黑箱系统一般采用的建模方法是 C 。 A、机理分析法 B、几何法 C、系统辩识法 D、代数法 4、一个理想的数学模型需满足 A、B 。 A、模型的适用性 B、模型的可靠性 C、模型的复杂性 D、模型的美观性 5、按照建立模型的数学方法分的模型有 B、C、D 。 A、传染病模型 B、代数模型 C、几何模型 D、微分模型 E、生态模型 6、下列说法正确的有 A、C 。 A、评价模型优劣的唯一标准是实践检验。 B、模型误差是可以避免的。 C、生态模型属于按模型的应用领域分的模型。 D、白箱模型意味着人们对原型的内在机理了解不清楚。 7、力学中把 A 的量纲作为基本量纲。 A、质量、长度、时间 B、密度、时间、长度 C、质量、密度 D、时间、长度 8、下列说法错误的有 B 。 A、评价模型优劣的唯一标准是实践检验。 B、模型误差是可以避免的。 C、生态模型属于按模型的应用领域分的模型。 D、白箱模型意味着人们对原型的内在机理了解清楚。 9、建立数学模型的方法和步骤有ABCDE。 A、模型假设。 B、模型求解。 C、模型构成。 D、模型建立。 E、模型分析。 10、模型按照替代原型的方式可以简单分为AB。 A、形象模型 B、抽象模型 C、生态模型 D、白箱模型 11、形象模型可以具体分为ABC。 A.直观模型B、物理模型C、分子结构模型等； 12、抽象模可以具体分为ABC。 A 思维模型B符号模型C数学模型D分子结构模型 13建模的一般原则为ABCD。 A目的性原则B简明性原则C真实性原则D全面性原则； 14 模型的结构大致分为ABC。 A、灰箱模型 B、白箱模型 C、黑箱模型 15 A、建立递阶层次结构模型； B、构造出各层次中的所有判断矩阵； C、层次单排序及一致性检验； D、层次总排序及一致性检验。 16、运用层次分析法建模,递阶层次的建立分为：ABC。 A、最高层目标层 B、中间层准则层 C、最底层措施层 D、最底层方案层xit数学建模习题指导i
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