随机信号分析习题

随机信号分析习题一

1. 设函数???≤>-=-0 ,

0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。并求下列

概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。 2. 设),(Y X 的联合密度函数为

(), 0, 0

(,)0 , other

x y XY e x y f x y -+?≥≥=?

?， 求{}10,10<<<

3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ??

????++-=

)52(21ex p 1

),(22y xy x y x f XY π 求：（1）边沿密度)(x f X ，)(y f Y

（2）条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y

4. 设离散型随机变量X 的可能取值为{}2,1,0,1-，取每个值的概率都为4/1，又设随机变量3

()Y g X X X ==-。 （1）求Y 的可能取值

（2）确定Y 的分布。 （3）求][Y E 。

5. 设两个离散随机变量X ，Y 的联合概率密度为：

)()(3

1

)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ

试求：（1）X 与Y 不相关时的所有A 值。 （2）X 与Y 统计独立时所有A 值。 6. 二维随机变量（X ，Y ）满足：

?

?

sin cos ==Y X

?为在[0，2π]上均匀分布的随机变量，讨论X ，Y 的独立性与相关性。

7. 已知随机变量X 的概率密度为)(x f ，求2

bX Y =的概率密度)(y f 。

8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度

()Y f y

\

10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数

22

2

W X Y Z X

?=+?=? 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。求随机变量W 和Z 的联合概率密度函数。 11. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数

2()

W X Y

Z X Y =+??

=+? 已知(,)XY f x y ，求联合概率密度函数(,)WZ f z ω。

12. 设随机变量X 为均匀分布，其概率密度1

,()0X a x b f x b a ?≤≤?

=-???，

其它

（1）求X 的特征函数,()X ?ω。 （2）由()X ?ω，求[]E X 。

13. 用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量1X 和2X 之和的概率密度。

14. 证明若n X 依均方收敛，即 l.i.m n n X X →∞

=，则n X 必依概率收敛于X 。

15. 设{}n X 和{}n Y (1,2,)n =L 为两个二阶矩实随机变量序列，X 和Y 为两个二阶矩实随机变量。若l.i.m n n X X →∞

=，l.i.m n n Y Y →∞

=，求证lim {}{}m n m n E X X E XY →∞→∞

=。

随机信号分析习题二

1. 设正弦波随机过程为

0()cos X t A w t =

其中0w 为常数；A 为均匀分布在[0,1]内的随机变量，即

1,01

()0,others

A a f a ≤≤?=?

? (1) 试求000

30,

,

,44t w w w π

ππ=时，()X t 的一维概率密度；

(2) 试求0

2t w π

=

时，()X t 的一维概率密度。

2. 若随机过程()X t 为

(),X t At t =-∞<<+∞

式中，A 为在区间[0,1]上均匀分布的随机变量，求[()]E X t 及12(,)X R t t 。 3. 设随机振幅信号为

0()sin X t V w t =

其中0w 为常数；V 是标准正态随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。

4. 设随机相位信号

0()cos()X t a w t φ=+

式中a 、0w 皆为常数，φ为均匀分布在[0,2]π上的随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。

5. 设()sin(),X t A wt t θ=+-∞<<+∞，()sin(),Y t B wt t θφ=++-∞<<+∞，其中

A ，

B ，w ，φ为实常数，~[0,2]U θπ，试求(,)XY R s t 。

6. 数学期望为()5sin X m t t =、相关函数为2

210.5()12(,)3t t X R t t e

--=的随机信号()X t 输入

微分电路，该电路输出随机信号()()Y t X t =g

。求()Y t 的均值和相关函数。

7. 设随机信号3()cos 2t

X t Ve t =，其中V 是均值为5、方差为1的随机变量。现设新的

随机信号0

()()t

Y t X d λλ=

?

。试求()Y t 的均值、相关函数、协方差函数和方差。

8. 利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程

cos ,()2,

t X t t π?=?

?出现正面

出现反面 设“出现正面”和“出现反面”的概率都为1/2。 (1) 求()X t 的一维分布函数(,1/2)X F x 和(,1)X F x ； (2) 求()X t 的二维分布函数12(,;1/2,1)X F x x 。

9. 给定一个随机过程()X t 和任一实数x ，定义另一个随机过程

1,()()0,()X t x

Y t X t x

≤?=?

>? 证明()Y t 的均值函数和自相关函数分别为()X t 的一维和二维分布函数。 10. 定义随机过程

1,()1,n X t n ?=?

-?

第次投掷均匀硬币出现正面

第次投掷均匀硬币出现反面 0,1,2,,(1)n n S t nS =±±-<

令()()Y t X t ξ=-，试求(,)X R s t 与(,)Y R s t 。

11. 考虑一维随机游动过程n Y ，0,1,2,n =L ，其中00Y =，1

n

n i

i Y X

==

∑，i X 为一取值1-

和1+的随机变量，已知(1)i P X q =-=，(1)i P X p =+=，0,1p q ≤≤，1p q +=，且i X ，

1,2,i =L 相互独立，试求：

1) ()n P Y m =;

2)

n EY 和n DY 。

12. 考虑随机过程()X t ，其样本函数是周期性锯齿波。两个典型的样本函数如图所示。每 个样本函数都具有相同的形状，将0t =时刻以后出现的第一个零值时刻记为0T ，假设0T 是一个均匀分布的随机变量

01,0()0,others

T T t T

p t ≤≤?=?

?

求()X t 的一维概率密度()X p x

13. 将上题中的锯齿波过程作一点改动，使每个脉冲的幅度A 为服从麦克斯韦(Maxwell)分 布的随机变量

222,0()20,0A a a p a b a ???

-≥ ?=??

其中0T 的定义和上题相同。假设不同脉冲的幅度A 之间统计独立，并均与0T 统计独立，求

()Y t 的一维概率密度()Y p y 。

14. 考虑一个正弦振荡器，由于器件的热噪声和分布参数的影响，振荡器的输出正弦波可视 为一个随机过程

()sin()X t A t =Ω+Θ

其中振幅A 、角频率Ω和相位Θ是相互独立的随机变量，并且已知：

202,0()0,others A a

a A A p a ?≤≤?=???

1

,250350()100

0,

others w p w Ω?≤≤?

=???

1

,02()20,others

p θπ

θπ

Θ?≤≤?=??? 求()X t 的一维概率密度。

随机信号分析习题三

1. 设有零均值的平稳过程{}()0X t t ≥，，其相关函数为()X R τ，令

()()t

Y t X s ds =? 0t ≥

求{}()0Y t t ≥，的方差函数和协方差函数。

2. 设{}()X t t -∞<<+∞，是平稳过程，且()1EX t =，2()1X R e

τ

τ-=+，求随机变量

1

()S X t dt =?

的数学期望和方差。 3. 设随机过程

()()()Z t VX t Y t = t -∞<<+∞

其中平稳过程()X t 和()Y t 及随机变量V 三者相互独立，且0X Y m m ==，()X t 的相关函数为2()2cos X R e

τ

τπτ-=，()Y t 的相关函数为3()9Y R e ττ-=+，又2EV =，9DV =。

求()Z t 的数学期望，方差和相关函数。

4. 设平稳过程{}()X t t -∞<<+∞，，其相关函数为()X R τ，且()(0)X X R T R =，0T >是常数。证明：

(1) (()())1P X t T X t +== (2) ()()X X R T R ττ+=

5. 设()cos X t A wt =，t -∞<<+∞，其中w 是常数，A 是随机变量，具有概率密度函数

1 01

()0 others A x f x ≤≤?=?

?

讨论{}()X t t -∞<<+∞，的严平稳性。

6. 设A 是任意的随机变量，Θ是与A 相互独立的，且在[0,2]π上服从均匀分布的随机变

量，令()sin()X t A wt =+Θ，t -∞<<+∞，0w >是常数，证明{}()X t t -∞<<+∞，是严平稳过程。

7. 设{}()X t t -∞<<+∞，是一个零均值的平稳过程，而且不恒等于一个随机变量，令

()()(0)Y t X t X =+，t -∞<<+∞。判断{}()Y t t -∞<<+∞，是否为平稳过程。

8. 设()cos sin Z t Y t X t =+，t -∞<<+∞，其中X 和Y 是相互独立的随机变量，且

2(1)(1)3P X P Y =-==-=

，1

(2)(2)3

P X P Y ====。 (1) 求{}()Z t t -∞<<+∞，的均值函数和相关函数；

(2) 证明{}()Z t t -∞<<+∞，是宽平稳过程，但不是严平稳过程。

9.(上节习题课的例题12)考虑随机过程()X t ，其样本函数是周期性锯齿波。两个典型的样本函数如图所示。每个样本函数都具有相同的形状，将0t =时刻以后出现的第一个零值时刻记为0T ，假设0T 是一个均匀分布的随机变量

01,0()0,others

T T t T

p t ≤≤?=?

? 判断()X t 平稳性。

10. (上节习题课的例题14)考虑一个正弦振荡器，由于器件的热噪声和分布参数的影响，振荡器的输出正弦波可视为一个随机过程

()()sin X t A t =Ω+Θ

其中振幅A 、角频率Ω和相位Θ是相互独立的随机变量，并且已知

202 0()0 A a

a A A p a others ?≤≤?=???

1

250350()100

0 w p w others Ω?≤≤?

=??? 1

02()20 p others

θπ

θπ

Θ?≤≤?=??? (1)求()X t 的一维概率密度； (2) ()X t 是一阶平稳过程吗？ 11. 设

{}()X t t -∞<<+∞，

是平稳过程，其协方差()X C τ是绝对可积，即

()X C d ττ+∞

-∞

<+∞?

。证明{}()X t t -∞<<+∞，的均值具有各态历经性。

12. 设随机过程()()Z t X t Y =+，其中()X t 是一平稳过程，Y 是与()X t 无关的随机变量，讨论过程()Z t 的遍历性。

13. 设()()cos X t A wt =+Φ，t -∞<<+∞，其中0w >是常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且[0,2]U πΦ:，研究{}()X t t -∞<<+∞，的各态历经性。

14. 随机过程()X t X =，t -∞<<+∞，其中X 是具有一、二阶矩的随机变量，但不服从单点或两点分布()1P X a =±=，0a >，讨论它的各态历经性。

随机信号分析习题四

1. 已知平稳过程()X t 的相关函数如下，试求它的功率谱密度

(1) 0()cos ,0a X R e

w a τ

ττ-=>

(2) 0

001,()0,X T T R T τ

τττ?-≤?=??>?

2. 设()X t 为一个随机电报波过程，它的一个样本函数如图所示。已知在任一时刻波形取

A +和A -的概率相同，在时间间隔τ内波形变号的次数n 服从参数为λ的泊松分布

()(,)!

n P n e n λτ

λττ-=

(1) 求()X t 的自相关函数； (2) 求()X t 的功率谱密度函数。

3. 已知平稳过程()X t 和()Y t 的功率谱密度为

2424

()109X w S

w w w +=++

2

42

()32

Y w S w w w =++

求()X t 和()Y t 的自相关函数和均方值。

4. 若()X t 是平稳随机过程，如图所示证明过程()Y t 的功率谱密度为

()2()(1cos )Y X S w S w wT =+

5. 设()S w 是一个平稳过程的功率谱密度函数，证明2

2

()d S w dw 不可能是平稳过程的功

率谱密度函数。

6. 设随机过程()cos()X t a t =Ω+Θ，其中a 为常量，Ω和Θ为相互独立的随机变量，

且Θ均匀分布于(0,2)π，Ω的一维概率密度为偶函数，即()()a a f w f w =-，求证()X t 的功率谱密度为

2()()X a S w a f w π=

7. 设()X t 和()Y t 是联合平稳的。试证明

{}{}Re ()Re ()XY YX S w S w = {}{}Im ()Im ()XY YX S w S w =-

8. 给定一个随机过程

0()cos()X t A w t =+Θ

式中，A 和0w 为常数，Θ为均匀分布于(0,2)π的随机变量 （1） 求()X t 的平均功率； （2） 求()X t 的功率谱密度。

9. 若平稳过程()X t 的功率谱密度为()X S w ，又有

0()()cos Y t aX t w t =

式中，a 为常数，求功率谱密度()Y S w 。

10. 设()X t 和()Y t 是两个相互独立的平稳过程，均值函数X m 和Y m 都不为零，已知X m 和

Y m ，以及()X t 和()Y t 的功率谱密度()X S w 和()Y S w ，令()()()Z t X t Y t =+，试计算()XY S w 和()XZ S w 。

11. 已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为

222

11(,)exp exp()()()222XY x y p x y g x g y πππ??+=-+- ?

??

其中

cos ,()0,x x g x x ππ?

=?≥??

(1) 求边缘分布()X p x 和()Y p y ； (2) 证明X 和Y 不相关，但不统计独立。

12. 一个零均值高斯过程，其协方差为

(,)s t

C t s e

--=

求在时刻10t =，21t =，32t =抽样的三维概率密度。

13. 设随机过程

()cos sin X t U wt V wt =+

其中w 为常数，U 和V 是两个相互独立的高斯随机变量，已知

()()0E U E V == 222()()E U E V σ==

求()X t 的一维概率密度函数。

14. 设()X t 为平稳高斯过程，其均值为零，自相关函数为()R e

τ

τ-=，求随机变量

1

()Y X t dt =?的概率密度函数()Y p y 。

15. 设()X t 为一个零均值高斯过程，其功率谱密度()X S f 如图所示，若每

1

2W

秒对()X t 取样一次，得到样本集合1

(0),(

),2X X W

L ，求前N 个样本的联合概率密度。

随机信号分析习题五

1. 非周期平稳过程()X t 的自相关函数为

2()X R a be τ

τ-=+

式中，a 和b 是正实常数，系统的冲激响应为

()()t h t e U t -Ω=

其中Ω为正实常数，求该系统输出过程的均值。 2. 假设低通滤波器的传输函数与冲激响应如下

1()1H w jwRC =+，1

1()RC

h t e RC

-=

输入为白噪声，其功率谱密度为0()2X G w N =，求 (1) 滤波器输出功率谱密度；

(2) 滤波器输出自相关函数； (3) 证明

322131321()()

(),(0)

Y Y Y Y R t t R t t R t t t t t R ---=

>>

3. 设有冲激响应为()h t 的线性系统，系统输入()X t 为零均值、平稳过程，该过程的自相

关函数为

()()X R τδτ=

问：()h t 具备什么条件，可使输入过程()X t 与输出过程()Y t 在时刻1t t =的随机变量不相关。

4. 设n X 是纯随机序列，且在1+与1-间均匀分布，试利用下列滤波方程求出n W ，n Z 与n

Y 的自相关函数与功率谱密度。

1n n n W X X -=- 122n n n n Z X X X --=++

11

2

n n n Y Y X -=-+

5. 线性系统()H j ω的输入为平稳过程()x t ，其功率谱为()x S ω，设()y t 为输出。

(1) 求误差过程()()()e t y t x t =-的功率谱密度函数()e S ω； (2) 考虑RC 电路，设输入为一个二元波过程，求()e S ω。

6. 一个平均电路如下图所示

(1) 证明系统的冲激响应函数为

1,0()0,

t T

h t others ≤≤?=?

? (2) 设输入过程()X t 的功率谱密度为()X S ω，求输出过程()Y t 的功率谱密度。

7. 设输入为白噪声过程()X t ，其自相关函数为0()()X R S τδτ=。求

(1) 系统的冲激响应函数；

()X t

()Y t

C

(2) 输出过程()Y t 的均方值。

8. 证明均值为零、自相关函数为2

()()X R τσδτ=的白噪声()X t 通过一个理想积分器后输

出方程0

()()t

Y t X u du =

?

的均方值为2t σ。

9. 在习题5所示的RC 电路中，设输入过程()X t 的自相关函数为

2()X R e

βτ

τσ-=，0β>

求输出过程()Y t 的功率谱密度函数()Y S ω，自相关函数()Y R τ和均方值2

Y ψ。

10. 假设某线性系统如图所示，试用频域分析方法求出：

(1) 系统的传输函数；

(2) 当输入是谱密度为0S 的白噪声时。输出()Z t 的均方值。

(提示：利用积分

220

sin 2

ax dx a x π

∞

=?

)

11. 随机过程()Y t 满足微分方程

()3()2()()Y t Y t Y t X t '''++=

其中对于任意t ，()X t 都为白噪声，其自相关函数()()X R K τδτ=。证明()Y t 的自相关函数()Y R τ满足方程

()3()2()0Y

Y Y R R R τττ'''++=，0τ> 其中，初始条件为(0)12Y R K =，(0)0Y

R '=。 12. 如下图所示系统中输入()X t 同时作用于两个系统

)

()X t

()Y t

1/8 F

1/6 F

(1) 求输出1()Y t 和2()Y t 的互谱密度12()Y Y S ω；

(2) 设()X t 是零均值的具有单位谱高的白噪声，若要使1()Y t 和2()Y t 为不相关过程，

1()h τ和2()h τ应满足什么条件？

13. 如下图所示系统中，若已知

1()()at h t e U t -=，0a >

并已知输入()W t 是均值为零，谱密度为02N 的高斯白噪声，求输出过程()Y t 的一维概率密度()Y p y 。

随机信号分析习题六

1. 分别求下列信号的希尔伯特变换

(1) 10()sin s t t ω=。 (2) 20()cos s t t ω=。

2. 试求下列信号的解析信号及复数包络：

(1) 指数衰落正弦波

0()cos[()]at X t Ae t t ωψ-=+

(2) 调幅波

00()(1cos )cos ,X t A t t ωωωω=+=

(3) 线性调制波

(X t 1()Y t

2()Y t

200()cos ,2b X t A t t b ωω?

?=+ ??

?=

3. 设低频信号()a t 的频谱为

(),2

()0,A A others ωωωω?

?

证明当02ωω>?时，有

0000[()cos ]()sin [()sin ]()cos H a t t a t t H a t t a t t

ωωωω==-

4. 试证：

(1) 偶函数的希尔伯特变换为奇函数； (2) 奇函数的希尔伯特变换为偶函数。 5. 试证：

(1) 00[]j t

j t H e

je ωω=-；

(2) 1[()]H t t

δπ=

； 6. 设?()x

t 为()x t 的希尔伯特变换，证明： (1) ()x t 和?()x

t 在范围t -∞<<+∞内的功率相等，即 221

1?lim

()lim

()22T

T

T

T

T T x t dt x

t dt T T

--→∞→∞=?

?

(2) 在范围t -∞<<+∞内，()x t 和?()x

t 是正交的，即 1

?lim

()()02T

T

T x t x

t dt T -→∞=?

。 7. 证明下式成立，其中()X t 为平稳随机过程，()X

t %为()X t 的解析信号： (1) ?()2[()()]x x x

R R jR τττ=+%； (2) [()()]0E X

t X t τ+=%% 8. 一个线性系统输入为()X t 时，相应的输出为()Y t 。证明若该系统的输入为()X t 的希

尔伯特变换?()X

t ，则相应的输出()Y t 的希尔伯特变换为?()Y t 。 9. 证明若加到系统()2()H j U ωω=的输入为()X t ，则相应的输出为对应于()X t 的解析

信号，即

?()()()Z t X t jX

t =+ 10. 设谱密度为

2

N 的零均值高斯白噪声通过一个理想带通滤波器，此滤波器的增益为1，中心频率为c f ，带宽为2B 。试求滤波器输出端的窄带过程()X t 及其同相和正交分量的自相关函数()X R τ、()c R τ、()s R τ。

11. 设窄带过程()X t 的功率谱()X S ω如图所示，试求：

(1) ()X t 的同相和正交分量的功率谱密度。 (2) 互谱密度()sc S ω。

12. 设如图所示系统的输入是谱密度为

2

N 的零均值高斯白噪声()X t ，Θ在(0,2)π上服从均匀分布，且与()X t 统计独立。其中两个滤波器的通带分别为(,)B B -和

0000(,2),(2,)f f B f B f +---。

(1) 求输出过程()Y t 的功率谱密度()Y S f 。 (2) 求()Y t 的方差。

13. 零均值平稳窄带噪声()Y t 具有对称功率谱，其相关函数为0()()cos Y R A

ττωτ=，求正

交和同相分量的相关函数()c R τ、()s R τ和方差2

c σ、2

s σ，并求互相关函数()sc R τ、

()cs R τ。

14. 对于零均值，方差为2

σ的窄带平稳高斯过程

000()()cos[()]

()cos ()sin c s Z t B t t t A t t A t t

ωφωω=+=-

求证：包络在任意时刻所给出的随机变量t B 其数学期望值与方差分别为

2[],[]22

t t E B D B πσ?

?=

=- ??

?

。 15. 试证：均值为零、方差为1的窄带平稳高斯过程，其任意时刻的包络平方的数学期望为

2，方差为4。

随机信号分析习题七

1. 设{(),-}X t t

∞<<∞是均值为零的实正态平稳过程，相关函数为()X R τ，

1 ()0

()sgn () 1 ()0X t Y t X t X t ≥?==?-

(1) 证明()Y t 是平稳过程. (2) 求相关系数()Y r τ 2. 设{(),-}X t t

∞<<∞是均值为零的实正态平稳过程，相关函数为()

X R τ，

()()

Y t X t =，求()Y t 的均值和自相关函数.

3. 设{(),-}X t t

∞<<∞是均值为零的实正态平稳过程，相关函数为()X R τ，功率谱密度为()X S ω，2()

()Y t X t =,

(1) 求()Y t 的一维概率密度分布. (2) 求()Y t 的二维概率密度分布. (3) 证明2()

()Y t X t =也是一个平稳过程.

(4) 求()Y t 的功率谱密度.

4. 系统输入()X t 是均值为零的实正态平稳随机信号，通过系统输出()Z t 功率谱密度为

2222()2() 01()(1)

z S πδωβωβωβωω=

+>+++

试求()X t 、()Y t 各自的自相关函数

.

5. 信号和噪声()()()X t S t N t =+同时作用于平方律检波器2

()y f x bx ==，信号

0()cos()S t a t ωθ=+，其中a 和0ω为常数，θ为[0 2]π均匀分布的随机变量，噪声

为零均值的高斯随机过程，相关函数为()N R τ，信号和噪声是不相关的，求输出信号的均值、方差、自相关函数和功率谱. 6. 设一非线性系统的传输特性为

0x y a a β=>

其输入()X t 为零均值的平稳高斯噪声，方差为2

X σ，相关函数为()X R τ，用多项式变换的矩函数法求输出的自相关函数(多项式展开只取前3项).

7. 系统输入()X t 是均值为零，方差为1的高斯白噪声，用特征函数法求非线性系统输出

端的自相关函数函数.

8. 系统输入()X t 是均值为零，方差为1的高斯白噪声，通过一线性检波器

()0 0bx x y f x x ≥?==?

用特征函数法求系统输出()Y t 的自相关函数.

9. 窄带正态随机过程()cos t t X t A =Φ，通过平方律检波器

2()y f x bx ==

求检波器输出端的均值和方差.

随机信号分析习题八

1.设有三个状态{0,

1,2}的马氏链，其一步转移概率矩阵为

12

033210

33110

2

2P ????????=??????????

求

000000010101(1),(2),(3),(1),(2),(3)f f f f f f .

2. 设有三个状态{1,

2,3}的马氏链，其一步转移概率矩阵为 00

0p

q

P p q p

q ??

??=??????

01,1p p q <<+= 对1,2,3n =，求12()f n 和13()f n .

3.设有三个状态{1,

2,3}的马氏链，其一步转移概率矩阵为 1

112441113331114

2

4P ???????

?=??????????

求(1)何时此链具有遍历性

(2)极限分布的各个概率

4. 设有三个状态{1,

2,3}的马氏链，其一步转移概率矩阵为 01

00

01

0P q p ??

??=??????

判断此链是否具有遍历性.

5. 设有两个状态{1,

2}的马氏链，其一步转移概率矩阵为 1001P I ??

==??

??

讨论此链的遍历性和平稳分布. 6.已知独立随机变量序列

12,,,n X X X L ，序列中的各个随机变量分别具有概率密度函数

11()

X f x ，

22()

X f x ，

L

，

()

n X n f x ，设

1121212,,,n n Y X Y X X Y X X X ==+=+++L L ，于是构成了一个新的随机

变量序列12,,,n Y Y Y L

，证明序列是一个马尔可夫序列.

7.一积分器的输入为()N t ，输出为()X t ，

()()t X t N t dt =?

若()N t 是零均值的平稳正态白噪声，功率谱密度为0/2N ，证明()X t 为一维纳过程.

8.设{(),0}X t t ≥为一个独立增量过程，且(0)0X =，若用()F t 表示()X t 的方差函

数

2(){[(){()}]}F t E X t E X t =-

(1) 证明

()X t 的协方差函数(,)C t s 满足

(,){[(){()}][(){()}]}[min(,)]C t s E X t E X t X s E X s F s t =--=

(2) 对应于泊松过程和维纳过程分别求相应的()F t 和(,)C t s .

随机信号分析习题

随机信号分析习题一 1. 设函数???≤>-=-0 , 0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。并求下列 概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。 2. 设),(Y X 的联合密度函数为 (), 0, 0 (,)0 , other x y XY e x y f x y -+?≥≥=? ?， 求{}10,10<<<

8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度 ()Y f y \ 10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 22 2 W X Y Z X ?=+?=? 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。求随机变量W 和Z 的联合概率密度函数。 11. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 2() W X Y Z X Y =+?? =+? 已知(,)XY f x y ，求联合概率密度函数(,)WZ f z ω。 12. 设随机变量X 为均匀分布，其概率密度1 ,()0X a x b f x b a ?≤≤? =-???， 其它 （1）求X 的特征函数,()X ?ω。 （2）由()X ?ω，求[]E X 。 13. 用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量1X 和2X 之和的概率密度。 14. 证明若n X 依均方收敛，即 l.i.m n n X X →∞ =，则n X 必依概率收敛于X 。 15. 设{}n X 和{}n Y (1,2,)n = 为两个二阶矩实随机变量序列，X 和Y 为两个二阶矩实随机变量。若l.i.m n n X X →∞ =，l.i.m n n Y Y →∞ =，求证lim {}{}m n m n E X X E XY →∞→∞ =。

电子科大随机信号分析随机期末试题答案

电子科技大学2014-2015学年第 2 学期期 末 考试 A 卷 一、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=， 其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀 分布的随机变量。（ 共10分） 1．画出该过程两条样本函数。(2分) 2．确定02t πω=，134t πω=时随机信号()X t 的 一维概率密度函数，并画出其图形。(5 分) 3．随机信号()X t 是否广义平稳和严格平 稳？(3分) 解：1.随机信号()X t 的任意两条样本函 数如题解图(a)所示： 2.当02t πω=时，()02X πω=，()012P X πω??==????， 此时概率密度函数为：(;)()2X f x x πδω =

当34t πω=时， 3()42X πω=-，随机过程的一维 概率密度函数为： 3. ()[]1cos cos 2E X t E V t t ωω==???? 均值不平稳， 所以()X t 非广义平稳，非严格平稳。 二、设随机信号()()sin 2X n n πφ=+与 ()()cos 2Y n n πφ=+，其中φ为0~π上均 匀分布随机变量。（ 共10分） 1．求两个随机信号的互相关函数 12(,)XY R n n 。(2分) 2．讨论两个随机信号的正交性、互不 相关性与统计独立性。(4分) 3．两个随机信号联合平稳吗？(4分) 解：1.两个随机信号的互相关函数 其中()12sin 2220E n n ππφ++=???? 2. 对任意的n 1、n 2 ,都有12(,)0XY R n n =， 故两个随机信号正交。

又 故两个随机信号互不相关， 又因为 故两个随机信号不独立。 3. 两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。 三、()W t 为独立二进制传输信号，时隙长度T 。在时隙内的任一点 ()30.3P W t =+=????和 ()30.7P W t =-=????，试求（ 共10分） 1．()W t 的一维概率密度函数。(3分) 2．()W t 的二维概率密度函数。(4分) 3．()W t 是否严格平稳？(3分)

数字信号处理期末实验 语音信号分析与处理

山东建筑大学信电学院课程设计说明书 语音信号分析与处理 摘要 用MATLAB对语音信号进行分析与处理，采集语音信号后，在MATLAB软件平台进行频谱分析;并对所采集的语音信号加入干扰噪声，对加入噪声的信号进行频谱分析，设计合适的滤波器滤除噪声，恢复原信号。 数字滤波器是数字信号处理的基础，用来对信号进行过滤、检测和参数估计等处理。IIR数字滤波器最大的优点是给定一组指标时，它的阶数要比相同组的FIR 滤波器的低的多。信号处理中和频谱分析最为密切的理论基础是傅立叶变换（FT）。离散傅立叶变换（DFT）和数字滤波是数字信号处理的最基本内容。 关键词：MATLAB;语音信号；加入噪声；滤波器；滤波 1. 设计目的与要求 （1）待处理的语音信号是一个在20Hz~20kHz频段的低频信号。 （2）要求MATLAB对语音信号进行分析和处理，采集语音信号后，在MATLAB平台进行频谱分析；并对所采集的语音信号加入干扰噪声，对加入噪声的信号进行频谱分析，设计合适的滤波器进行滤除噪声，恢复原信号。 1 山东建筑大学信电学院课程设计说明书

2. 设计步骤 （1）选择一个语音信号或者自己录制一段语音文件作为分析对象； （2）对语音信号进行采样，并对语音信号进行FFT频谱分析，画出信号的时域波形图和频谱图； （3）利用MATLAB自带的随机函数产生噪声加入到语音信号中，对语音信号进行回放，对其进行FFT频谱分析； （4）设计合适滤波器，对带有噪声的语音信号进行滤波，画出滤波前后的时域波形图和频谱图，比较加噪前后的语音信号，分析发生的变化； （5）对语音信号进行回放，感觉声音变化。 3. 设计原理及内容 3.1 理论依据 （1）采样频率：采样频率（也称采样速度或者采样率）定义了每秒从连续信号中提取并组成离散信号的采样个数，它用赫兹（Hz）来表示。采样频率只能用 于周期性采样的采样器，对于非周期采样的采样器没有规则限制。通俗的讲，采样频率是指计算机每秒钟采集多少个声音样本，是描述声音文件的音质、音调，衡量声卡、声音文件的质量标准。采样频率越高，即采样的间隔时间越短，则在单位之间内计算机得到的声音样本数据就越多，对声音波形的表示也越精确。（2）采样位数：即采样值或取样值，用来衡量声音波动变化的参数。 （3）采样定理：在进行模拟/数字信号的的转换过程中，当采样频率f大于信s.max 号中，最高频率f的2倍时，即：f>=2f，则采样之后的数字信号完整的maxmaxs.max 保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的 5~10倍；采样频率又称乃奎斯特定理。 （4）时域信号的FFT分析：信号的频谱分析就是计算信号的傅立叶变换。连续信号与系统的傅立叶分析显然不便于直接用计算机进行计算，使其应用受到限制。而FFT是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值计算，成为用计算机分析 离2 山东建筑大学信电学院课程设计说明书 散信号和系统的的有力工具。对连续信号和系统，可以通过时域采样，应用DFT 进行近似谱分析。

随机信号分析课后习题答案

1 第一次作业：练习一之1、2、3题 1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。 解：875.087 813812411210)(][4 1 ==?+?+?+?===∑=i i i x X P x X E 81 )873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224 1 22?-+?-+?-+?-=-=∑=i i i P X E x X D 109.164 71 == 1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为 ? ????≥<≤-+<=21 201)](2π Αsin[0.500 )(x x x x x F 求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<--= a a x u x u a x x F （4）0)()()(>--- =a a x u a x a x u a x x F

北京理工大学2011级随机信号分析期末试题B卷

北京理工大学2011级随机信号分析期末试题B卷 1（15分）、考虑随机过程X t=2Nt2，其中N为标准正态随机变量。计算X(t)在t为0秒，1秒，2秒时的一维概率密度函数fx x;0，fx x;1，fx x;2 2（15分）、考虑随机过程X t=a2cos2(ω0t+?)，其中a，ω0为常数，?为在[0,2π) 上均匀分布的随机变量。 （1）、X(t)是否为宽平稳随机过程？为什么？ （2）、X(t)是否为宽遍历随机过程？为什么？ （3）、求X(t)的功率谱密度及平均功率。 3（15分）、考虑下述随机过程 Y(t)=X k dk t t?2T 式中，X(t)为宽平稳随机过程。 （1）、试找出一线性时不变系统，使得系统输入为X(t)时其输出为Y(t)，写出该系统的单位冲激响应； （2）、假定X(t)的自相关函数为R XX(τ)，计算Y(t)的自相关函数； （3）、假定X(t)的功率谱密度为S XX(ω)，计算Y(t)的功率谱密度。 4（15分）、已知某宽平稳高斯随机过程的功率谱密度如下 S XXω=10 22 将其通过一微分网络，输出为Y(t)。 （1）、求Y(t)的功率谱密度S Yω； （2）、求Y(t)的平均功率； （2）、求Y2(t)的平均功率。 5（40分）、已知X t=A t cos(ω t?θ)?A t sin?(ω0t?θ) 其中A(t)为宽平稳实随机过程，功率谱密度如图1所示，且ω0?W，θ服从(0,2π)上均匀分布的随机变量。 分别定义X(t) 和同相分量和正交分量为： X I t=X t cosω0t+X t sinω0t X Q t=X t cosω0t?X t sinω0t 式中，X t表示X(t)的希尔伯特变换。 （1）、计算X(t)及X t的平均功率，分别画出X(t)，X(t)的复解析过程，X(t)的复包络，以及X(t)的正交分量和同相分量的功率谱密度； （2）、若A(t)为零均值的随机过程，X(t)通过如图2的系统，求Y(t)的均值和方

随机信号处理考试试题

《随机信号分析与处理》期末自我测评试题（一） 一、填空题（共10小题，每小题1分，共10分） 1、假设连续型随机变量的概率分布函数为F(x)，则F(-∞)=0，F(+∞)= 1。 2、如果一零均值随机过程的功率谱在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声，该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关。 3、窄带正态噪声加正弦信号在信噪比远小于1的情况下的包络趋向瑞利分布，而相位则趋向均匀分布。 4、平稳随机信号通非线性系统的分析常用的方法是直接法和变换法与级数展开法。 5、对随机过程X(t)，如果，则我们称X(t1)和X(t2)是不相关。如果，则我们称X(t1)和X(t2)是正交。如果 ，则称随机过程在和时刻的状态是独立。 6、平稳正态随机过程的任意维概率密度只由均值、协方差阵来确定。 7、典型的独立增量过程有泊松过程与维纳过程_。 8、对于随机参量，如果有效估计存在，则其有效估计就是最大后验概率估计。

9、对于无偏估计而言，均方误差总是大于等于某个量,这个量称为克拉美-罗(Cramer-Rao)下限，达到这个量的估计称为有效估计。 10、纽曼-皮尔逊准则是：约束虚警概率恒定的情况下使漏警概率最小。 二、选择题（共5小题，每小题2分，共10分） 1、是均值为方差为的平稳随机过程，下列表达式正确的有：（b、d） （A）（B） （C）（D） 2、白噪声通过理想低通线性系统，下列性质正确的是：（a、c） ?输出随机信号的相关时间与系统的带宽成反比 ?输出随机信号的相关时间与系统的带宽成正比 ?系统带宽越窄，输出随机过程随时间变化越缓慢 ?系统带宽越窄，输出随机过程随时间变化越剧烈 3、设平稳随机序列通过一个冲击响应为的线性系统，其输出用 表示，那么，下列正确的有：（a、d） （A）（B） （C）（D） 4、为的希尔伯特变换，下列表达正确的有：（a、c、d） （A）与的功率谱相等（B）

信号分析与处理试题

河南科技学院2006-2007学年第二学期期终考试 信号分析与处理试题 适用班级： 注意事项：1 在试卷的标封处填写院（系）、专业、班级、姓名和准考证号。 2 考试时间共100分。 一、单项选择题（本大题共10小题，每题2分，共20分） 1．下列单元属于动态系统的是（ ） A. 电容器 B.电阻器 C.数乘器 D.加法器 2．单位阶跃函数()u t 和单位冲激函数()t δ的关系是（ ） A.()/()d t dt u t δ= B.()/()du t dt t δ= C.()()u t t δ= D.()2()u t t δ= 3．()()f t t dt δ∞-∞=?（ ） A.()f t B.()t δ C.(0)f D.(0)δ 4．单位冲激函数()t δ的()F j ω=（ ） A .0 B.-1 C.1 D.2 5．设()f t 的频谱为()F j ω，则利用傅里叶变换的频移性质，0()j t f t e ω的频谱为（ ） A.0()F j ω B.()F j ω C.0[()]F j ωω+ D.0[()]F j ωω- 6．设1()f t 的频谱为1()F j ω，2()f t 的频谱为2()F j ω，利用傅里叶变换卷积定理，12()()f t f t *的频谱为（ ） A.1()F j ω B.2()F j ω C.11()()F j F j ωω* D.11()()F j F j ωω 7．序列()n m δ-的Z 变换为（ ） A.m z B.m z - C.m D.m - 8．单边指数序列()n a u n ，当（ ）时序列收敛 A.1a < B.1a ≤ C.1a > D.1a ≥ 9．取样函数()/Sa t sint t =，则(0)Sa =（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 10．设实函数()f t 的频谱()()()F j R jX ωωω=+，下列叙述正确的是（ ）

随机信号分析期末总复习提纲重点知识点归

第 一 章 1.1不考 条件部分不考 △雅柯比变换 （随机变量函数的变换 P34） △随机变量之间的“不相关、正交、独立” P51 （各自定义、相关系数定义 相互关系：两个随机变量相互独立必定互不相关，反之不一定成立 正交与不相关、独立没有明显关系 结合高斯情况） △随机变量的特征函数及基本性质 （一维的 P53 n 维的 P58） △ 多维高斯随机变量的概率密度和特征函数的矩阵形式、三点性质 P61 ( )()() () ( ) ()()2 2 1 () 2112 2 22 11 ,,exp 2 2exp ,,exp 22T T x m X X X X X n n X T T jU X X X X X n X M X M f x f x x U U u Q u j m Q u u E e jM U σπσμ---?? --??= = -????? ? ?? ?? ?? ??=-==- ?? ??? ????? ?? C C C u u r u u r u u r u u r u u r u u r L u r u r u u r u r L 另外一些性质： []()20XY XY X Y X C R m m D X E X m ??=-=-≥??

第二章 随机过程的时域分析 1、随机过程的定义 从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ?→→∞的推广 2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？ 3、随机过程的概率密度P7 4、特征函数P81。（连续、离散） 一维概率密度、一维特征函数 二元函数 4、随机过程的期望、方差、自相关函数。（连续、离散） 5、严平稳、宽平稳的定义 P83 6、平稳随机过程自相关函数的性质： 0点值，偶函数，周期函数（周期分量），均值 7、自相关系数、相关时间的定义 P88 2 2 2() ()()()()(0)()X X X X X X X X X X C R m R R R R τττρτσ σ--∞= = -∞= 非周期 相关时间用此定义（00()d τρττ∞ =?） 8、两个随机过程之间的“正交”、“不相关”、“独立”。 （P92 同一时刻、不同时刻） 9、两个随机过程联合平稳的要求、性质。P92

数字信号处理期末试卷及答案

A 一、选择题（每题3分，共5题） 1、 )6 3()(π-=n j e n x ，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期6 π = N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、 序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。 A.a Z < B.a Z ≤ C.a Z > D.a Z ≥ 3、 对)70() (≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20 点 DFT ，得 )(k X 和)(k Y ， 19,1,0),()()( =?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ， n 在 范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。 A.70≤≤n B.197≤≤n C.1912≤≤n D.190≤≤n 4、 )()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16

随机信号分析题目及答案

1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数： （1） 122X X X =+ （2）12536X X X =++ 解：（1） ()121222()jv X X jvX jv X jvX X v E e E e E e e φ+??????===??????? （2） ()1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++????==?????? 2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问： （1） 信号的均值函数()E X t ????； （2） 信号的自相关函数(),X R t t τ+； （3） 信号的一维概率密度函数();X f x t 。 解：（1）()10.410.60.2E X t =-?+?=???? (2) 当,t t τ+在同一个时隙时： 当,t t τ+不在同一个时隙时：

（3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++ 3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0 ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。 （1） 试判断()X t 和()Y t 在同一时刻和不同时刻的独立性、相关性及正交性； （2） 试判断()X t 和()Y t 是否联合广义平稳。 解： （1） 由于X (t )和Y(t )包含同一随机变量θ， 因此非独立。 根据题意有12f ()θπ=。 []001sin()02E[X(t )]E t sin(w t )d π πωθθπ -=+Θ= +=?， 由于0XY XY R (t,t )C (t,t )==，X (t )和Y(t )在同一时刻正交、线性无关。 除()012w t t k π-=±外的其他不同时刻12120XY XY R (t ,t )C (t ,t )=≠，所以1X (t )和2Y(t )非正交且线性相关。

2013随机信号分析试题(终稿)

《随机信号分析》试题 考试时间 120 分钟 1.考试形式：闭卷； 2.考试日期：2013年11月27日； 3.本试卷共7大题，满分100分。 班级 学号 姓名 任课教师 一．填空与简答题（共30分，每小题3分） 1．随机过程3()t X t Ve =，其中V 是均值为5的随机变量，设0 ()()t Y t X d λλ= ? ，则 []()E Y t = 。 2．平稳随机过程()X t 的自相关函数为9()8181cos981X R e τ ττ-=++，则 []()E X t = ，[]()D X t = 。 3．十字路口的车流是一个泊松过程，设1分钟没有车辆通过的概率为0.1，已知 ln 0.1 2.3=-，则2分钟内有多于1辆车通过的概率为 。 4．设随机过程0()cos()X t a t ω?=+，其中a 和0ω均是实常数，?是服从(0,)2 π 上均 匀分布的随机变量，则()X t 的平均功率Q = 。 5．设平稳随机过程()X t 的自相关函数为()X R τ，则其导数过程()X t ? 的自相关函数 ()X R τ?= 。 6．拟构造一个稳定的线性系统，使其在具有单位谱的白噪声激励下输出谱为 242 2549 ()109 Y S ωωωω+=++，则其传输函数()H s = 。 7．低通滤波器1 ()1H j ωω = +的等效噪声带宽e ω?= 。 8．全波线性检波器()()Z t X t =的输入为零均值平稳正态随机过程，其方差为2 σ，则

f z t 。 输出的一维概率密度函数(,) Z 9．确定性信号分析中，使用傅里叶变换来获得信号的频谱，进而进行频域分析。而在随机信号分析中，为什么要定义功率谱密度？ 10．对于待估计参数a，设其估计值为?a。在什么条件下称?a为a的无偏估计？如何全面的表示估计质量？

信号分析与处理模拟试卷

1．具有跳变的信号在其跳变处的导数是一个 a 。 a ）强度等于跳变幅度的冲激函数 b) 幅度为无限大的冲激函数 c) 强度为无限大的冲号 d) 理想阶跃信号 2．设 x (n ) 是一个绝对可求和的信号，其有理 z 变换为 X ( z ) 。若已知 X ( z ) 在 z =0.5有一个极点，则 x (n ) 是 c 。 a ）有限长信号 b ）左边信号 c ）右边信号 d ）区间信号 3. z (t ) = 4t 2δ (2t ? 4) = b 。 a ）8δ (t ? 2) b ）16δ (t ? 2) c ）8 d ）16 4. 设两个有限长序列 x (n ) 和 h (n ) 的卷积为 y (n ) = x (n ) ? h (n ) ， y (n ) 的长度 L y 与 x (n ) 的长度L x 和 h (n ) 的长度 L h 的关系是 b 。 a ） L y = L x + L h + 1 b ） L y = L x + L h ? 1 c ） L y = L x ? L h + 1 d ） L y = L x ? L h ? 1 5. 已知 x (n ) 的 Z 变换 X ( z ) =?2.5z /(z 2 ? 1.5z ? 1), 则 X ( z ) 可能存在的收敛域是 a a )|Z|<0.5, 0.5<|Z|< 2, |Z|> 2 b) |Z|<0.5, 0.5<|Z|< 2 c) 0.5<|Z|< 2, |Z|> 2 d) |Z|> 2 二．填空题（20分，每空1分） （1）按照信号幅度和时间取值方式的不同，信号可以分为以下几种类型：连续时间信号、离散时间信号、数字信号。 （2）若一个离散时间系统满足__线性__和__时不变性则称为线性时不变系统，线性移不变系统具有因果性的充分必 要条件是系统的单位抽样响应满足下式：__h(n)=0 (当n<0时)___。 （3）快速傅里叶变换（FFT ）并不是一种新的变换形式，但它应用了系数kn N W 的_对称性__周期性__可约性__，不断地将长序列的DFT 分解成几个短序列的DFT,并减少DFT 的运算次数。其运算量是DFT 的__N 2 /[(N/2)log 2N]__倍。 （4）求积分 dt )t ()t (212-+? ∞ ∞ -δ的值为 5 。 (5)线性系统是同时具有 齐次性 和 叠加性 的系统。 (6)系统的完全响应也可以分为暂态响应和稳态响应。随着时间t 的增大而衰减为零的部分 称为系统的暂态响应 ，其余部分为系统的 稳态响应 。 （7）周期信号频谱3个典型特点：离散性、谐波性、收敛性. (8)模拟滤波器设计IIR 数字滤波器的方法有 冲激响应不变法 和 双线性变换法 。 一、判断下列说法的正误，正确请在括号里打“√”，错误请打“×”。（10分，每小题2分） 1.单位冲激函数总是满足)()(t t -=δδ （ √ ） 2.满足绝对可积条件 ∞

随机信号分析-题目及答案

1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数： （1） 122X X X =+ （2）12536X X X =++ 解：（1）() 121222()jv X X jvX jv X jvX X v E e E e E e e φ+???? ??===?????? ? 12 21212()(2)jvX jv X X X E e E e v v φφ????=????和独立 （2）() 1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++???? ==????? ? 12536 12jv X jv X jv X X E e E e E e ?????? ??????和独立 6 12(5)(3)jv e v v φφ= 2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问： （1） 信号的均值函数()E X t ????； （2） 信号的自相关函数(),X R t t τ+； （3） 信号的一维概率密度函数();X f x t 。 解：（1）()10.410.60.2E X t =-?+?=???? (2) 当,t t τ+在同一个时隙时： []222(,)()()[()]10.6(1)0.41X R t t E X t X t E X t ττ+=+==?+-?= 当,t t τ+不在同一个时隙时： [][][](,)()()()()0.20.20.04 X R t t E X t X t E X t E X t τττ+=+=+=?= （3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++ 3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0 ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。

电子科大随机信号分析随机期末试题答案

电子科技大学2014- 2015学年第2学期期末考试 A 卷 一、设有正弦随机信号X t Vcos t , 其中0 t，为常数，V是［0,1）均匀分布的随机变 量。（共10分） 1.画出该过程两条样本函数。（2分） 3 2.确定t。— , t1—时随机信号x（t）的一维概率密度函数，并画出其图形。（5 分） 3.随机信号x（t）是否广义平稳和严格平 稳？（3分） 解: 1.随机信号x t的任意两条样本函数如题解图（a）所示： 2.当t0 厂时，x（—）0, P x（—）0 1, 此时概率密

度函数为：f x（X；厂）（X）

当t时，X（右）乎V,随机过程的一维概率密度函数为： 1 3. E X t EV cos t 2cos t 均值不平稳，所以X（t）非广义平稳，非严格平稳。 二、设随机信号X n sin 2 n 与 Y n cos 2 n ，其中为0~上均 匀分布随机变量。（共10分） 1.求两个随机信号的互相关函数 （n!, n2）o （2 分） R KY 2.讨论两个随机信号的正交性、互不 相关性与统计独立性。（4分） 3 .两个随机信号联合平稳吗？（4分）解: 1.两个随机信号的互相关函数 其中E sin 2 口2迈2 0 2.对任意的厲、n2,都有R XY^M） 0, 故两个

随机信号正交。 又 故两个随机信号互不相关， 又因为 故两个随机信号不独立。 3. 两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。 三、W t为独立二进制传输信号，时隙长度T。在时隙内的任一点 P W t 3 0.3和P W t 3 0.7 ，试求 （共10 分） 1．W t的一维概率密度函数。（3 分）

2020年整理信号分析与处理期末试卷A.doc

学年第二学期期末考试 信号分析与处理试卷(A) 使用班级答题时间120分钟 一、判断题（本大题共10小题，每题2分，共20分） 1、单位冲激函数总是满足)t ( )t(- =δ δ。（） 2、满足绝对可积条件∞ < ?∞∞-dt)t(f的信号一定存在傅立叶变换，不满足这一条件的信号一定不存在傅立叶变换。（） 3、非周期信号的脉冲宽度越小，其频带宽度越宽。（） 4、所有周期信号的频谱都是离散谱，并且随频率的增高，幅度谱总是渐小的。（） 5、离散时间信号的频谱都是周期的。（） 6、信号()()2 7/ 8 cos+ =n n xπ是周期信号。（） 7、信号0 )4 (2= - ?∞∞-dt t δ。（） 8、因果系统时指系统在 t时刻的响应只与 t t=时刻的输入有关（） 9、线性系统是指系统同时满足叠加性和齐次性（） 10、过渡带即为通带与阻带之间的频率范围。（） 二、填空题（本大题共9小题10个空，每空2分，共20分） 1、我们把声、光、电等运载消息的物理量称为。 2、幅度有限的周期信号是信号。 3、已知}1 ,3,2{ ) ( 1 - = k f，}2,0,0,1,3{ ) ( 2 = k f，则卷积和f1(k)*f2(k)= 。 4、若信号f(t)的最高频率是2kHz，则t) f(2的乃奎斯特抽样频率为。 5、若一个离散时间系统满足_____________和____________,则称为线性时不变系统。 6、实现滤波功能的系统称为_____________。 7、 () 12 1 4 t dt δ - -= ? 8、 sin 22 t t ππ δ ???? -*+= ? ? ???? 9、周期信号频谱3个典型特点：离散性、谐波性、。 三、选择题（本大题共10小题，每题2分，共20分）

随机信号分析答案(赵淑清版)2

第二次作业：练习一之4、5、6、7题 1.4 随机变量X 在[α，β]上均匀分布，求它的数学期望和方差。 解：因X 在[α，β]上均匀分布 ??? ??β≤≤αα -β=其他 下0 1)(x f ?? β α ∞ ∞ β+α= α -β= = 2d d )(]E[-x x x x xf X )2(3 1d d )(]E[2 2 2 -2 2 β+β+α= α -β= = ?? β α ∞ ∞ x x x x f x X 2 2 2 -2 )(12 1]) X [E (]X [E d )(])X [E (]D[α-β= -=-= ?∞ ∞ x x f x X 1.5 设随机变量X 的概率密度为 ?? ?<≤=其他 1 01 )(x x f X ，求Y =5X +1的概率密度函 数。 解：反函数X = h (y ) = (Y -1)/5 h ′(y ) = 1/5 1≤y ≤6 f Y (y ) = f X (h (y ))｜h ′(y )∣= 1 ×1/5 = 1/5 于是有 ?? ?≤≤=其他 615 /1)(y y f Y 1.6 设随机变量]b ,a [,,,21在n X X X ???上均匀分布，且互相独立。若∑== n 1 i i X Y ,求 （1）n=2时，随机变量Y 的概率密度。 （2）n=3时，随机变量Y 的概率密度。 解：n i b x a a b x f i i ,,2,101)(???=??? ? ?? ?≤≤-=其它 n=2时，)()()(2 1 y f y f y f X X Y *= 111)()()(21dx x y f x f y f X X Y ? ∞ ∞ --= ?-? -= b a dx a b a b 111 a b -= 1

电子科技大学随机信号分析期末考试题

………密………封………线………以………内………答………题………无………效…… 电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____分钟 课程成绩构成：平时 10 %， 期中 10 %， 实验 %， 期末 80 % 本试卷试题由___2__部分构成，共_____页。 一、填空题（共20分，共 10题，每题2 分） 1. 设随机过程0()cos(),X t A t t ω=+Φ-∞<<∞，其中0ω为常数，A Φ和是相互独立的随机变量， []01A ∈，且均匀分布，Φ在[]02π，上均匀分布，则()X t 的数学期望为： 0 2. 已知平稳随机信号()X t 的自相关函数为2()2X R e ττ-=，请写出()X t 和(2)X t +的协方差12-e 3. 若随机过程()X t 的相关时间为1τ，()Y t 的相关时间为2τ，12ττ>，则()X t 比()Y t 的相关性要__大___,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小___。 4. 高斯随机过程的严平稳与___宽平稳_____等价。 5. 窄带高斯过程的包络服从___瑞利___分布，相位服从___均匀___分布，且在同一时刻其包络和相位是___互相独立___的随机变量。 6. 实平稳随机过程的自相关函数是___偶____（奇、偶、非奇非偶）函数。 7. 设)(t Y 是一均值为零的窄带平稳随机过程，其单边功率谱密度为)(ωY F ，且0()Y F ωω-为一偶函数，则低频过程)()(t A t A s c 和是___正交___。

随机信号分析(常建平-李海林版)课后习题答案.docx

由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。给大家造成的不便，敬请谅解 随机信号分析 第三章习题答案 、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求 （1）证明X(t)是平稳过程。 （2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。 （1） （2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232 ()(16) X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？ 解 [][]()[]2 ()cos 2 11 ,cos 5cos 22 X E X t E A E t B A B R t t EA τττ =++=????+=+=+与相互独立 ()()()2 1521()lim 2T T T E X t X t X t X t dt A T -→∞??=<∞ ???==?是平稳过程

()()[]()()41122 11222222 2 4 2' 4(1)24()()444(0)4 1132 (1)2244144 14(2)121tan 132 24X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x τ τωωωωω ππωωπωωπ ω π ωω∞ ----∞∞ -∞-∞∞--∞∞ ?????==?=???+?? ====+==??+ ?==??= ++?? = ? ????P P P P 方法一() 方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功) 2 d ω =

电子科大随机信号分析随机信号分析试题A卷答案

电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____ 分钟 课程成绩构成：平时 %， 期中 %， 实验 %， 期末 % 本试卷试题由_____部分构成，共_____页。 计算、简答、论述、证明、写作等试题模板如下 一、若信号00()cos()X t X t ω=++Θ输入到如下图所示的RC 电路网络上， 其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Θ为[0,2]π上均匀分布的随机变量，并且0X 与 Θ彼此独立，Y (t )为网络的输出。（ 共10分） （1）求Y (t )的均值函数。(3分) （2）求Y (t )的功率谱密度和自相关函数。(4分) （3）求Y (t )的平均功率。(3分) 图 RC 电路网路 （1）RC 电路的传输函数为()1(1)H j j RC ωω=+ ()X t 的均值函数为 ∴ Y (t )的均值函数为 （2） ∴()X t 是广义平稳的。 ∴()X t 的功率谱为： 功率谱传递函数：22 1 |()|H j RC ωω= 1+（） 根据系统输入与输出信号功率谱的关系可得： 求()Y S ω的傅立叶反变换，可得：

（3）2222 011 (0)328Y Y P R f R C ==++π 二、若自相关函数为()5()X R τδτ=的平稳白噪声X (t )作用于冲激响应为 ()e ()bt h t u t -=的系统，得到输出信号Y (t )。（ 共10分） （1）求X (t )和Y (t )的互功率谱()YX S ω和()XY S ω。(5分) （2）求Y (t )的矩形等效带宽。(5分) （1）1 ()() ()bt h t e u t H j b j ωω -=?= + （2） 2 2222 552() ()()2Y X b S S H j b b b ωωωωω=?= =?++，25(0)Y S b = 求()Y S ω的傅里叶反变换，得到()Y t 的自相关函数为： 5()2b Y R e b τ τ-= ，5(0)2Y R b = ∴ ()()()()20015/2202025/4 Y eq Y Y Y R b b B S d S S b ωωπ∞= ===?? 三、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布 的随机变量。（共10分） （1）确定4t π ω= 时随机变量()X t 的概率密度函数，并画出其图形；（4分） （2）当2t π ω =时，求()X t 的概率密度函数。（3分） （3）该信号是否严格平稳？（3分） 解：（1）随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图(a)所示： 随机过程在不同时刻是不同的随机变量，一般具有不同的概率密度函数： 当4t πω= 时，()4X πω= ，0(;)240,X x f x others πω<< =?? （2分） 在,4i t ππωω =各时刻，随机变量()i X t 的概率密度函数图形如题解图(b) 所示： 1 10 3π π0 - 1 （2分）

信号分析及处理期末考试Word版

2014-2015学年第一学期期末考试 《信号分析与处理中的数学方法》 学号： 姓名： 注意事项： 1.严禁相互抄袭，如有雷同，直接按照不及格处理； 2.试卷开卷； 3.本考试提交时间为2014年12月31日24时，逾期邮件无效； 4.考试答案以PDF 和word 形式发送到sp_exam@https://www.doczj.com/doc/3a10638760.html, 。 1、叙述卡享南—洛厄维变换，为什么该变换被称为最佳变换，何为其实用时的困难所在，举例说明其应用。 解：形为λφ(s ) = ∫C(t,s)φ(t)dt T (1-1) 的方程称为齐次佛莱德霍姆积分方程，其中φ（t ）为未知函数，λ是参数，C （t,s ）为已知的“核函数”，它定义在[0，T]×[0，T]上，我们假定它是连续的，且是对称的： (t,s)=s (s,t) (1-2) 使积分方程(1-1)有解的参数λ称为该方程的特征值，相应的解φ(t)称为该方程的特征函数。 又核函数可表示为： C(t,s)=∑λn φn (t)φn (s)∞ n=1 （1-3） 固定一个变量（例如t ），则式（1-3）表示以s 为变量的函数C(t,s)关于正交系{φn (s)} 的傅里叶级数展开，而傅里叶级数正好是λn φn (t)。 设x （t ）为一随机信号，则其协方差函数 s（t,s ）=s {[x(t)-E{x(t)}][x(s)-E{x(s)}]}是一个非随机

对称函数，而且是非负定的。为了能方便地应用式(1-3)，假定C(t,s)是正定的，在多数情况下，这是符合实际的。当然，还假定C(t,s)在[0，T]×[0，T]上连续。 现在用特征函数系{φn (t)}作为基来表示x （t ）： x(t)=∑αn φn (t)∞ n=1 (1-4) 其中 αn =∫x （t ）φn （t ）dt T 因为{φn （t ）}是归一化正交系，所以展开式（1-4）类似于傅里叶级数展开。但是因 为x （t ）是随机的，从而系数x n 也是随机的，因此这个展开式实际上并不是通常的傅里叶展开。 式(1-4)称为随机信号的卡享南-洛厄维展开。因为这种变换能使变换后的分量互不相关，而且这种展开的截断既能使均方差误差最小，又能使统计影响最小，故具有最优性。 卡享南-洛厄维变换没有固定的变换矩阵，它依赖于给定的随机向量的协方差阵。正是这种变换的特点，也是它在实际使用时的困难所在，因为它需要依照不固定的矩阵求特征值和特征向量。 卡享南-洛厄维变换应用在数据压缩技术中。按照最优化原则的数据压缩技术可以解决通讯和数据传输系统的信道容量不足和计算机存储容量不足的问题。通过对信号作正交变换，根据失真最小的原则在变换域进行压缩。卡享南-洛厄维变换被选用并不是偶然的，因为这种变换消除了原始信号x 的诸分量间的相关性，从而使数据压缩能遵循均方误差最小的准则实施。 2、最小二乘法的三种表现形式是什么？以傅里叶级数展开为例说明其各自的优缺点。 解：希尔伯特空间中线性逼近问题的求解方法称为最小二乘法。通常它有三种不同的表现形式：投影法、求导法和配方法。我们以傅里叶级数展开为例来说明。 投影法： 设X 为希尔伯特空间，{e 1,e 2,e 3……}为X 中的一组归一化正交元素，x 为X 中的某一元素。在子空间M=span{e1,e2,e3……}中求一元素m ，使得 ‖x-m0‖=min‖x?m‖m∈M (2-1) 由于M 中的元素可表示为e 1,e 2,e 3……的线性组合，那么问题就转化为求系数 α 1 ,α2……使得 ‖x-∑a k e k ‖∞ k=1=min 2-2 投影定理指出了最优系数α1,α2……应满足