回归分析MATLAB 工具箱
一、多元线性回归
多元线性回归：p p x x y βββ+++=...110 1、确定回归系数的点估计值： 命令为：b=regress(Y , X ) ①b 表示????
??
????????=p b βββ?...??10
②Y 表示????????????=n Y Y Y Y (2)
1
③X 表示???
???
?????
???=np n n p p x x x x x x
x x x X ...1.........
.........1 (12)
1
22221
11211 2、求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型：
命令为：[b, bint,r,rint,stats]=regress(Y ,X,alpha) ①bint 表示回归系数的区间估计. ②r 表示残差.
③rint 表示置信区间.
④stats 表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：相关系数r 2、F 值、与F 对应的概率p.
说明：相关系数2
r 越接近1,说明回归方程越显著；)1,(1-->-k n k F F α时拒绝0H ,F 越大,说明回归方程越显著；与F 对应的概率p α<时拒绝H 0,回归模型成立. ⑤alpha 表示显著性水平(缺省时为0.05) 3、画出残差及其置信区间. 命令为：rcoplot(r,rint) 例1.如下程序. 解：(1)输入数据.
x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]'; X=[ones(16,1) x];
Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]'; (2)回归分析及检验.
[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y ,X) b,bint,stats
得结果：b = bint =
-16.0730 -33.7071 1.5612 0.7194 0.6047 0.8340 stats =
0.9282 180.9531 0.0000
即7194.0?,073.16?10=-=ββ；0?β的置信区间为[-33.7017,1.5612], 1
?β的置信区间为[0.6047,0.834]; r 2=0.9282, F=180.9531, p=0.0000,我们知道p<0.05就符合条件, 可知回归模型 y=-16.073+0.7194x 成立. (3)残差分析,作残差图. rcoplot(r,rint)
从残差图可以看出,除第二个数据外,其余数据的残差离零点均较近,且残差的置信区间均包含零点,这说明回归模型 y=-16.073+0.7194x 能较好的符合原始数据,而第二个数据可视为异常点.
(4)预测及作图.
z=b(1)+b(2)*x plot(x,Y,'k+',x,z,'r')
二、多项式回归 (一)一元多项式回归.
1、一元多项式回归：1121...+-++++=m m m m a x a x a x a y
(1)确定多项式系数的命令：[p,S]=polyfit(x,y,m)
说明：x=(x 1,x 2,…,x n ),y=(y 1,y 2,…,y n )；p=(a 1,a 2,…,a m+1)是多项式y=a 1x m +a 2x m-1+…+a m x+a m+1的系数；S 是一个矩阵,用来估计预测误差. (2)一元多项式回归命令：polytool(x,y,m) 2、预测和预测误差估计.
(1)Y=polyval(p,x)求polyfit 所得的回归多项式在x 处的预测值Y ；
(2)[Y,DELTA]=polyconf(p,x,S,alpha)求polyfit 所得的回归多项式在x 处的预测值Y 及预测值的显著性为1-alpha 的置信区间Y±DELTA ；alpha 缺省时为0.5.
例 1. 观测物体降落的距离s 与时间t 的关系,得到数据如下表,求s. (关于t 的回归方程
2
解法一：直接作二次多项式回归. t=1/30:1/30:14/30;
s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48]; [p,S]=polyfit(t,s,2) 得回归模型为：
1329.98896.652946.489?2++=t t s
解法二：化为多元线性回归. t=1/30:1/30:14/30;
s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48]; T=[ones(14,1) t' (t.^2)'];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(s',T); b,stats
得回归模型为：
22946.4898896.651329.9?t t s ++=
预测及作图： Y=polyconf(p,t,S) plot(t,s,'k+',t,Y,'r')
(二)多元二项式回归
多元二项式回归命令：rstool(x,y,’model’, alpha )
说明：x 表示n ?m 矩阵；Y 表示n 维列向量；alpha ：显著性水平(缺省时为0.05)；model 表示由下列4个模型中选择1个(用字符串输入,缺省时为线性模型)：
linear(线性)：m m x x y βββ+++= 110
purequadratic(纯二次)：∑=++++=n
j j jj
m m x x x y 1
2110β
βββ
interaction(交叉)：∑≤≠≤+
+++=m
k j k j jk
m m x x x x y 1110β
βββ
quadratic(完全二次)：∑≤≤+
+++=m
k j k j jk
m m x x x x y ,1110β
βββ
例1. 设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数据如下,建立回归模型,预测
平均收入为1000、价格为6时的商品需求量. 需求量 100 75
80 70 50 65 90
100 110 60 收入 1000 600 1200 500 300 400 1300
1100 1300 300
解法一：选择纯二次模型,即2
2
22211122110x x x x y βββββ++++=. 直接用多元二项式回归：
x1=[1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300]; x2=[5 7 6 6 8 7 5 4 3 9];
y=[100 75 80 70 50 65 90 100 110 60]'; x=[x1' x2'];
rstool(x,y,'purequadratic')
在左边图形下方的方框中输入1000,右边图形下方的方框中输入6，则画面左边的“Predicted Y”下方的数据变为88.47981,即预测出平均收入为1000、价格为6时的商品需求量为88.4791. 在画面左下方的下拉式菜单中选”all”, 则beta 、rmse 和residuals 都传送到Matlab 工作区中. 在Matlab 工作区中输入命令：beta, rmse 得结果：beta =
110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475 rmse =
4.5362
故回归模型为：2
221218475.10001.05709.261464.05313.110x x x x y +--+= 剩余标准差为4.5362, 说明此回归模型的显著性较好.
解法二：将2
2
22211122110x x x x y βββββ++++=化为多元线性回归： X=[ones(10,1) x1' x2' (x1.^2)' (x2.^2)']; [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X); b,stats
结果为: b =
110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475 stats =
0.9702 40.6656 0.0005
三、非线性回归
1、非线性回归：
(1)确定回归系数的命令：[beta,r,J]=nlinfit(x,y,’model’, beta0)
说明：beta 表示估计出的回归系数；r 表示残差；J 表示Jacobian 矩阵；x,y 表示输入数据x 、y 分别为矩阵和n 维列向量,对一元非线性回归,x 为n 维列向量；model 表示是事先用m-文件定义的非线性函数；beta0表示回归系数的初值. (2)非线性回归命令：nlintool(x,y,’model’, beta0,alpha) 2、预测和预测误差估计：
[Y,DELTA]=nlpredci(’model’, x ,beta,r,J)
表示nlinfit 或nlintool 所得的回归函数在x 处的预测值Y 及预测值的显著性为1-alpha 的置信区间Y±DELTA. 例1. 如下程序.
解：(1)对将要拟合的非线性模型y=a x b e /,建立m-文件volum.m 如下：
function yhat=volum(beta,x) yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x); (2)输入数据： x=2:16;
y=[6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76]; beta0=[8 2]'; (3)求回归系数：
[beta,r ,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)； beta (4)运行结果：
beta =
11.6036 -1.0641 即得回归模型为：
x
e
y 10641
.16036.11-
=
(5)预测及作图：
[YY ,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r ,J)； plot(x,y,'k+',x,YY ,'r')
四、逐步回归
1、逐步回归的命令：stepwise(x,y,inmodel,alpha)
说明：x 表示自变量数据,m n ?阶矩阵；y 表示因变量数据,1?n 阶矩阵；inmodel 表示矩阵的列数的指标,给出初始模型中包括的子集(缺省时设定为全部自变量)；alpha 表示显著性水平(缺省时为0.5).
2、运行stepwise 命令时产生三个图形窗口：Stepwise Plot,Stepwise Table,Stepwise History. 在Stepwise Plot 窗口,显示出各项的回归系数及其置信区间.
(1)Stepwise Table 窗口中列出了一个统计表,包括回归系数及其置信区间,以及模型的统计量剩余标准差(RMSE)、相关系数(R-square)、F 值、与F 对应的概率P.
例1. 水泥凝固时放出的热量y 与水泥中4种化学成分x1、x2、x3、 x4有关,今测得一组数据如下,试用逐步回归法确定一个线性模型.
解：(1)数据输入：
x1=[7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10]';
x2=[26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68]';
x3=[6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8]';
x4=[60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12]';
y=[78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4]'; x=[x1 x2 x3 x4];
(2)逐步回归.
①先在初始模型中取全部自变量：stepwise(x,y)
得图Stepwise Plot 和表Stepwise Table.
图Stepwise Plot中四条直线都是虚线,说明模型的显著性不好.
从表Stepwise Table中看出变量x3和x4的显著性最差.
②在图Stepwise Plot中点击直线3和直线4,移去变量x3和x4.
移去变量x3和x4后模型具有显著性
虽然剩余标准差(RMSE)没有太大的变化,但是统计量F的值明显增大,因此新的回归模型更
好.
(3)对变量y和x1、x2作线性回归.
X=[ones(13,1) x1 x2];
b=regress(y,X)
得结果：b =
52.5773
1.4683
0.6623
故最终模型为：y=52.5773+1.4683x1+0.6623x2
或这种方法
4元二次线性回归
clc;clear;
y=[1.84099 9.67 23.00 38.12 1.848794 6.22 12.22 19.72 1.848794 5.19 10.09 15.31 ];
X1=[60.36558 59.5376 58.89861 58.74706 60.59389 60.36558 59.2 58.2 60.36558 59.97068 59.41918 58. X2=[26.1636 26.35804 26.82438 26.91521 25.90346 25.9636 27.19256 27.42153 26.1636 26.07212 26.5872 X3=[0.991227 0.994944 0.981322 0.98374 1.011865 0.991227 1.074772 1.107678 0.991227 0.917904 1.06043 X4=[59.37436 58.54265 57.91729 57.69332 59.58203 59.37436 57.76722 57.42355 59.37436 59.05278 58.3587 format short g
X11=[ones(1,length(y));X1;X2;X3;X4]'
B1=regress(Y,X11)% 多元一次线性回归
[m,n]=size(X11)
X22=[];
for i=2:n
for j=2:n
if i<=j
X22=([X22,X11(:,i).*X11(:,j)]);
else
continue
end
end
end
X=[X11,X22];
B2=regress(Y,X)% 多元二次线性回归
[Y X*B2 Y-X*B2]
plot(Y,X11*B1,'o',Y,X*B2,'*')
hold on,line([min(y),max(y)],[min(y),max(y)]) axis([min(y) max(y) min(y) max(y)])
legend('一次线性回归','二次线性回归')
xlabel('实际值');ylabel('计算值')
运行结果：
Y =
1.841
9.67
23
38.12
1.8488
6.22
12.22
19.72
1.8488
5.19
10.09
15.31
1 60.366 26.164 0.99123 59.374
1 59.538 26.358 0.99494 58.543
1 58.899 26.824 0.9813
2 57.917
1 58.747 26.915 0.98374 57.693
1 60.594 25.903 1.0119 59.582
1 60.366 25.964 0.99123 59.374
1 59.
2 27.19
3 1.0748 57.767
1 58.
2 27.422 1.1077 57.424
1 60.366 26.164 0.99123 59.374
1 59.971 26.07
2 0.9179 59.053
1 59.419 26.587 1.0604 58.359
1 58.891 27.061 1.1239 57.767
B1 =
1488.9
-4.3582
-9.6345
-61.514
-15.359
m =
12
n =
5
B2 =
3120.4
-7129.2
-622.23
-362.71
-105.06
1388.1
120.25
199.25
379.58
170.48
-796.41
ans =
1.841 1.8449 -0.003902
9.67 9.67 1.0058e-009
23 23 1.397e-009
38.12 38.12 3.539e-010
1.8488 1.8488 1.6394e-009
6.22 6.22
7.2643e-010
12.22 12.22 2.6077e-010
19.72 19.72 -2.0489e-010
1.8488 1.8449 0.003902
5.19 5.19 1.4529e-009
10.09 10.09 1.0803e-009
15.31 15.31 4.0978e-010
由图形可以看出，多元二次线性回归效果非常好，即，相当于
Y=3120.4*X1 -7129.2 *X2 + 0*X3
+ 0*X4 -622.23*X1*X1 -362.71*X1*X2 -105.06*X1*X3 + 1388.1*X1*X4 +
120.25*X2*X2+ 199.25 *X2*X3+ 379.58*X2*X4 + 170.48*X3*X3+ 0*X3*X4 -796.4
云南大学数学与统计学实验教学中心 实验报告 一、实验目的 1.熟悉MATLAB的运行环境. 2.学会初步建立数学模型的方法 3.运用回归分析方法来解决问题 二、实验内容 实验一：某公司出口换回成本分析 对经营同一类产品出口业务的公司进行抽样调查,被调查的13家公司,其出口换汇成本与商品流转费用率资料如下表。试分析两个变量之间的关系,并估计某家公司商品流转费用率是6.5%的出口换汇成本. 实验二：某建筑材料公司的销售量因素分析 下表数据是某建筑材料公司去年20个地区的销售量（Y，千方），推销开支、实际帐目数、同类商品
竞争数和地区销售潜力分别是影响建筑材料销售量的因素。1）试建立回归模型，且分析哪些是主要的影响因素。2）建立最优回归模型。 提示：建立一个多元线性回归模型。
三、实验环境 Windows 操作系统; MATLAB 7.0. 四、实验过程 实验一：运用回归分析在MATLAB 里实现 输入：x=[4.20 5.30 7.10 3.70 6.20 3.50 4.80 5.50 4.10 5.00 4.00 3.40 6.90]'; X=[ones(13,1) x]; Y=[1.40 1.20 1.00 1.90 1.30 2.40 1.40 1.60 2.00 1.00 1.60 1.80 1.40]'; plot(x,Y,'*'); [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,0.05); 输出： b = 2.6597 -0.2288 bint = 1.8873 3.4322 -0.3820 -0.0757 stats = 0.4958 10.8168 0.0072 0.0903 即==1,0?6597.2?ββ，-0.2288,0?β的置信区间为[1.8873 3.4322],1,?β的置信区间为[-0.3820 -0.0757]； 2r =0.4958, F=10.8168, p=0.0072 因P<0.05, 可知回归模型 y=2.6597-0.2288x 成立. 1 1.5 2 2.5 散点图 估计某家公司商品流转费用率是6.5%的出口换汇成本。将x=6.5代入回归模型中，得到 >> x=6.5; >> y=2.6597-0.2288*x y = 1.1725
matlab建立多元线性回归模型并进行显着性检验及预测问题 例子; x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]'; X=[ones(16,1) x]; 增加一个常数项Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]'; [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) 得结果：b = bint = stats = 即对应于b的置信区间分别为[，]、[,]; r2=, F=, p= p<, 可知回归模型y=+ 成立. 这个是一元的，如果是多元就增加X的行数！ function [beta_hat,Y_hat,stats]=regress(X,Y,alpha) % 多元线性回归(Y=Xβ+ε)MATLAB代码 %？ % 参数说明 % X：自变量矩阵，列为自变量，行为观测值 % Y：应变量矩阵，同X % alpha：置信度，[0 1]之间的任意数据 % beta_hat：回归系数 % Y_beata：回归目标值，使用Y-Y_hat来观测回归效果 % stats：结构体，具有如下字段 % =[fV,fH]，F检验相关参数，检验线性回归方程是否显着 % fV：F分布值，越大越好，线性回归方程越显着 % fH：0或1，0不显着；1显着(好) % =[tH,tV,tW]，T检验相关参数和区间估计，检验回归系数β是否与Y有显着线性关系 % tV：T分布值，beta_hat(i)绝对值越大,表示Xi对Y显着的线性作用% tH：0或1，0不显着；1显着 % tW：区间估计拒绝域，如果beta(i)在对应拒绝区间内，那么否认Xi对Y显着的线性作用 % =[T,U,Q,R]，回归中使用的重要参数 % T：总离差平方和，且满足T=Q+U % U：回归离差平方和 % Q：残差平方和 % R∈[0 1]：复相关系数，表征回归离差占总离差的百分比，越大越好% 举例说明 % 比如要拟合y=a+b*log(x1)+c*exp(x2)+d*x1*x2，注意一定要将原来方程线化% x1=rand(10,1)*10; % x2=rand(10,1)*10; % Y=5+8*log(x1)+*exp(x2)+*x1.*x2+rand(10,1); % 以上随即生成一组测试数据 % X=[ones(10,1) log(x1) exp(x2) x1.*x2]; % 将原来的方表达式化成Y=Xβ，注意最前面的1不要丢了
本次教程的主要内容包含： 一、多元线性回归 2# 多元线性回归：regress 二、多项式回归 3# 一元多项式：polyfit或者polytool 多元二项式：rstool或者rsmdemo 三、非线性回归 4# 非线性回归：nlinfit 四、逐步回归 5# 逐步回归：stepwise 一、多元线性回归 多元线性回归： 1、b=regress(Y, X ) 确定回归系数的点估计值
2、[b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型 ①bint表示回归系数的区间估计. ②r表示残差 ③rint表示置信区间 ④stats表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：相关系数r2、F值、与F对应的概率p 说明：相关系数r2越接近1，说明回归方程越显著；时拒绝H0，F越大，说明回归方程越显著；与F对应的概率p<α时拒绝H0 ⑤alpha表示显著性水平(缺省时为0.05) 3、rcoplot(r,rint)画出残差及其置信区间 具体参见下面的实例演示 4、实例演示，函数使用说明 (1)输入数据 1.>>x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]'; 2.>>X=[ones(16,1) x]; 3.>>Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]'; 复制代码 (2)回归分析及检验 1. >> [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) 2. 3. b = 4. 5. -1 6.0730 6.0.7194 7. 8. 9.bint =
多元线性回归matlab中求解 源代码： y=data(:,1); >> x=data(:,2:3); >> [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x) 结果： b =1.6031 21.0280 bint =0.6449 2.5612 14.4526 27.6034 r =-16.2442 8.8754 17.5828 8.3155 7.6692 -20.7990 0.1578 9.1298 21.1145 -28.9567 rint =-54.5200 22.0316 -28.0267 45.7775 -15.2745 50.4401 -29.9540 46.5850 -30.7374 46.0758 -57.6551 16.0572 -40.7942 41.1098 -30.8252 49.0848 -15.2155 57.4446 -59.3228 1.4095 stats =1.0148 742.1191 0.0000 322.5068 分析结果： stats四个值说明：判决系数r^2，,F统计值，p值，误差方差 y=a1*x（1）+a2*x（2）;其中a1=1.6031,a2=21.0280, a1的置信区间【0.6449,2.5612】，a2的置信区间【14.45426，27.6043】，p小于0.05，说明显著效果很好，越小越好 在spss中求解：
线性规划matlab求解 例1：c=[2;3;1]; mix z=2*x1+3*x2+x3 >> a=[1 4 2;3 2 0]; s.t 1.x1+4*x2+2*x3>=8; >> b=[8;6]; 2.3*x1+2*x2>=6; >> [x,y]=linprog(c,-a,-b,[],[],zeros(3,1) ) 3.x1>=0,x2>=0,x3>=0结果：x =0.8066
回归分析MATLAB 工具箱 一、多元线性回归 多元线性回归：p p x x y βββ+++=...110 1、确定回归系数的点估计值： 命令为：b=regress(Y , X ) ①b 表示???? ?? ????????=p b βββ?...??10 ②Y 表示????????????=n Y Y Y Y (2) 1 ③X 表示??? ??? ????? ???=np n n p p x x x x x x x x x X ...1......... .........1 (12) 1 22221 11211 2、求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型： 命令为：[b, bint,r,rint,stats]=regress(Y ,X,alpha) ①bint 表示回归系数的区间估计. ②r 表示残差. ③rint 表示置信区间. ④stats 表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：相关系数r 2、F 值、与F 对应的概率p. 说明：相关系数2 r 越接近1,说明回归方程越显著；)1,(1-->-k n k F F α时拒绝0H ,F 越大,说明回归方程越显著；与F 对应的概率p α<时拒绝H 0,回归模型成立. ⑤alpha 表示显著性水平(缺省时为0.05) 3、画出残差及其置信区间. 命令为：rcoplot(r,rint) 例1.如下程序. 解：(1)输入数据. x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]'; X=[ones(16,1) x]; Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]'; (2)回归分析及检验. [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y ,X) b,bint,stats 得结果：b = bint =
matlab建立多元线性回归模型并进行显著性检 验及预测问题 例子; x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]'; X=[ones(16,1) x]; 增加一个常数项 Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]'; [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) 得结果：b = bint = stats = 即对应于b的置信区间分别为[，]、[,]; r2=, F=, p= p<, 可知回 归模型 y=+ 成立. 这个是一元的，如果是多元就增加X的行数！ function [beta_hat,Y_hat,stats]=regress(X,Y,alpha) % 多元线性回归(Y=Xβ+ε)MATLAB代码 % % 参数说明 % X：自变量矩阵，列为自变量，行为观测值 % Y：应变量矩阵，同X % alpha：置信度，[0 1]之间的任意数据 % beta_hat：回归系数 % Y_beata：回归目标值，使用Y-Y_hat来观测回归效果 % stats：结构体，具有如下字段 % =[fV,fH]，F检验相关参数，检验线性回归方程是否显著 % fV：F分布值，越大越好，线性回归方程 越显著 % fH：0或1，0不显著；1显著(好) % =[tH,tV,tW]，T检验相关参数和区间估计，检验回归系数β是 否与Y有显著线性关系 % tV：T分布值，beta_hat(i)绝对值越大, 表示Xi对Y显著的线性作用 % tH：0或1，0不显著；1显著 % tW：区间估计拒绝域，如果beta(i)在对 应拒绝区间内，那么否认Xi对Y显著的线性作用 % =[T,U,Q,R]，回归中使用的重要参数 % T：总离差平方和，且满足T=Q+U % U：回归离差平方和 % Q：残差平方和 % R∈[0 1]：复相关系数，表征回归离差占总 离差的百分比，越大越好 % 举例说明 % 比如要拟合 y=a+b*log(x1)+c*exp(x2)+d*x1*x2，注意一定要将原来方程 线化 % x1=rand(10,1)*10;
一Matlab作方差分析 方差分析是分析试验（或观测）数据的一种统计方法。在工农业生产和科学研究中，经常要分析各种因素及因素之间的交互作用对研究对象某些指标值的影响。在方差分析中，把试验数据的总波动（总变差或总方差）分解为由所考虑因素引起的波动（各因素的变差）和随机因素引起的波动（误差的变差），然后通过分析比较这些变差来推断哪些因素对所考察指标的影响是显著的，哪些是不显著的。 【例1】（单因素方差分析）一位教师想要检查3种不同的教学方法的效果，为此随机地选取水平相当的15位学生。把他们分为3组，每组5人，每一组用一种方法教学，一段时间以后，这位教师给15位学生进行统考，成绩见下表1。问这3种教学方法的效果有没有显著差异。 表1 学生统考成绩表 方法成绩 甲75 62 71 58 73 乙71 85 68 92 90 丙73 79 60 75 81 Matlab中可用函数anova1(…)函数进行单因子方差分析。 调用格式：p=anova1(X) 含义：比较样本m×n的矩阵X中两列或多列数据的均值。其中，每一列表示一个具有m 个相互独立测量的独立样本。 返回：它返回X中所有样本取自同一总体（或者取自均值相等的不同总体）的零假设成立的概率p。
解释：若p值接近0（接近程度有解释这自己设定），则认为零假设可疑并认为至少有一个样本均值与其它样本均值存在显著差异。 Matlab程序： Score=[75 62 71 58 73;81 85 68 92 90;73 79 60 75 81]’; P=anova1(Score) 输出结果：方差分析表和箱形图 ANOVA Table Source SS df MS F Prob>F Columns 604.9333 2 302.4667 4.2561 0.040088 Error 852.8 12 71.0667 Total 1457.7333 14 由于p值小于0.05，拒绝零假设，认为3种教学方法存在显著差异。 例2（双因素方差分析）为了考察4种不同燃料与3种不同型号的推进器对火箭射程（单位：海里）的影响，做了12次试验，得数据如表2所示。 表2 燃料-推进器-射程数据表 推进器1 推进器2 推进器3 燃料1 58.2 56.2 65.3 燃料2 49.1 54.1 51.6 燃料3 60.1 70.9 39.2 燃料4 75.8 58.2 48.7 在Matlab中利用函数anova2函数进行双因素方差分析。 调用格式：p=anova2(X,reps)
MATLAB---回归预测模型 Matlab统计工具箱用命令regress实现多元线性回归，用的方法是最小二乘法，用法是： b=regress(Y,X) [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) Y,X为提供的X和Y数组，alpha为显著性水平（缺省时设定为0.05），b,bint 为回归系数估计值和它们的置信区间，r,rint为残差（向量）及其置信区间，stats是用于检验回归模型的统计量，有四个数值，第一个是R2，第二个是F，第三个是与F对应的概率 p ，p <α拒绝 H0，回归模型成立，第四个是残差的方差 s2 。 残差及其置信区间可以用 rcoplot(r,rint)画图。 例1合金的强度y与其中的碳含量x有比较密切的关系，今从生产中收集了一批数据如下表 1。 先画出散点图如下： x=0.1:0.01:0.18; y=[42,41.5,45.0,45.5,45.0,47.5,49.0,55.0,50.0]; plot(x,y,'+') 可知 y 与 x 大致上为线性关系。
设回归模型为 y =β 0 +β 1 x 用regress 和rcoplot 编程如下： clc,clear x1=[0.1:0.01:0.18]'; y=[42,41.5,45.0,45.5,45.0,47.5,49.0,55.0,50.0]'; x=[ones(9,1),x1]; [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x); b,bint,stats,rcoplot(r,rint) 得到 b =27.4722 137.5000 bint =18.6851 36.2594 75.7755 199.2245 stats =0.7985 27.7469 0.0012 4.0883 即β 0=27.4722 β 1 =137.5000 β0的置信区间是[18.6851,36.2594]， β1的置信区间是[75.7755,199.2245]； R2= 0.7985 ， F = 27.7469 ， p = 0.0012 ， s2 =4.0883 。 可知模型（41）成立。 观察命令 rcoplot(r,rint)所画的残差分布，除第 8 个数据外其余残差的置信区间均包含零点第8个点应视为异常点，
1.研究科研人员的年工资与他的论文质量、工作年限、获得资助指标之间的关系.24位科研人员的调查数据(ex81.txt): 设误差ε~（0，σ 2 ）, 建立回归方程; 假定某位人员的观测值 , 预测年工资及置信度为 95%的置信区间. 程序为：A=load('ex81.txt') Y=A(:,1) X=A(1:24,2:4) xx=[ones(24,1) X] b = regress(Y,X) Y1=xx(:,1:4)*b x=[1 5.1 20 7.2] s=sum(x*b) 调出Y 和X 后，运行可得： b = 17.8469 1.1031 0.3215 1.2889 010203(,,)(5.1,20,7.2)x x x =
x = 1.0000 5.1000 20.0000 7.2000 s = 39.1837 所以，回归方程为：Y= 17.8469+1.1031X1+0.3215X2+1.2889X3+ε 当 时，Y=39.1837 2、 54位肝病人术前数据与术后生存时间(ex82.txt,指标依次为凝血值，预后指数，酵素化验值，肝功能化验值，生存时间）. (1) 若用线性回归模型拟合, 考察其各假设合理性; (2) 对生存是时间做对数变换，用线性回归模型拟合, 考察其各假设合理性; (3) 做变换 用线性回归模型拟合, 考察其各假设合理性; (4) 用变量的选择准则，选择最优回归方程 010203 (,,)(5.1,20,7.2)x x x =0.0710.07 Y Z -=
(5)用逐步回归法构建回归方程 程序为：A=load('ex82.txt') Y=A(:,5) X=A(1:54,1:4) xx=[ones(54,1) X] [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,xx) 运行结果为： b = -621.5976 33.1638 4.2719 4.1257 14.0916 bint = -751.8189 -491.3762 19.0621 47.2656 3.1397 5.4040 3.0985 5.1530 -11.0790 39.2622
4.13 表中是某软件公司月销售额数据，其中，x为总公司的月销售额（万元）；y为某分公司的月销售额（万元）。 （1）用普通最小二乘法建立x和y的回归方程。 （2）用残差图及DW检验诊断序列的自相关性。 （3）用迭代法处理序列相关，并建立回归方程。 （4）用一阶差分法处理数据，并建立回归方程。 （5）比较以上各方法所建回归方程的优良性。 序号x y 序号x y 1 127.3 20.96 11 148.3 24.54 2 130.0 21.40 12 146.4 24.28 3 132.7 21.96 13 150.2 25.00 4 129.4 21.52 14 153.1 25.64 5 135.0 22.39 15 157.3 26.46 6 137.1 22.76 16 160. 7 26.98 7 141.1 23.48 17 164.2 27.52 8 142.8 23.66 18 165.6 27.78 9 145.5 24.10 19 168.7 28.24 10 145.3 24.01 20 172.0 28.78 (1)aa_size=size(aa,1) >> x=[ones(aa_size,1),aa(:,1)]; >> y=aa(:,2); >> b_est=inv(x'*x)*x'*y; b_est b_est = -1.4348 0.1762 (2) y_est=x*b_est; >> b1=y-y_est; >> plot(b1,'ro') p01=sum(b1(1:(aa_size-1)).*b1(2:(aa_size))); >> p02=sqrt(sum(b1(1:(aa_size-1)).^2)*sum(b1(2:aa_size).^2)); >> p=p01/p02 DW=2*(1-p) DW = 0.6793
matlab 回归（多元拟合）教程 前言 1、学三条命令 polyfit(x,y,n)---拟合成一元幂函数（一元多次） regress(y,x)----可以多元， nlinfit(x,y,’fun ’,beta0) (可用于任何类型的函数，任意多元函数，应用范围最主，最万能的) 2、同一个问题，这三条命令都可以使用，但结果肯定是不同的，因为拟合的近似结果，没有唯一的标准的答案。相当于咨询多个专家。 3、回归的操作步骤： 根据图形（实际点），选配一条恰当的函数形式（类型）---需要数学理论与基础和经验。（并写出该函数表达式的一般形式，含待定系数）------选用某条回归命令求出所有的待定系数。所以可以说，回归就是求待定系数的过程（需确定函数的形式） 一、回归命令 一元多次拟合polyfit(x,y,n);一元回归polyfit;多元回归regress---nlinfit(非线性) 二、多元回归分析 对于多元线性回归模型(其实可以是非线性，它通用性极高)： e x x y p p ++ ++ = βββ 1 10 设变量12,,,p x x x y 的n 组观测值为12(,, ,)1,2, ,i i ip i x x x y i n = 记 ??????? ??=np n n p p x x x x x x x x x x 2 1 22221 1121111 1，?? ?? ? ?? ??=n y y y y 21，则?????? ? ??=p ββββ 10 的估计值为排列方式与线性代数中的线性方程组相同（），拟合成多元函数---regress 使用格式：左边用b=[b, bint, r, rint, stats]右边用=regress(y, x)或regress(y, x, alpha) ---命令中是先y 后x, ---须构造好矩阵x(x 中的每列与目标函数的一项对应) ---并且x 要在最前面额外添加全1列/对应于常数项
Matlab 实现多元回归实例 （一）一般多元回归 一般在生产实践和科学研究中，人们得到了参数(),,n x x x =???1和因变量y 的数据，需要求出关系式()y f x =，这时就可以用到回归分析的方法。如果只考虑 f 是线性函数的情形，当自变量只有一个时，即，(),,n x x x =???1中n =1时，称 为一元线性回归，当自变量有多个时，即，(),,n x x x =???1中n ≥2时，称为多元线性回归。 进行线性回归时，有4个基本假定： ① 因变量与自变量之间存在线性关系； ② 残差是独立的； ③ 残差满足方差奇性； ④ 残差满足正态分布。 在Matlab 软件包中有一个做一般多元回归分析的命令regeress ，调用格式如下： [b, bint, r, rint, stats] = regress(y,X,alpha) 或者 [b, bint, r, rint, stats] = regress(y,X) 此时，默认alpha ＝ 0.05. 这里，y 是一个1n ?的列向量，X 是一个()1n m ?+的矩阵，其中第一列是全1向量（这一点对于回归来说很重要，这一个全1列向量对应回归方程的常数项），一般情况下，需要人工造一个全1列向量。回归方程具有如下形式： 011m m y x x λλλε=++???++ 其中，ε是残差。 在返回项[b,bint,r,rint,stats]中， ①01m b λλλ=???是回归方程的系数； ②int b 是一个2m ?矩阵，它的第i 行表示i λ的(1-alpha)置信区间； ③r 是1n ?的残差列向量； ④int r 是2n ?矩阵，它的第i 行表示第i 个残差i r 的(1-alpha)置信区间； 注释：残差与残差区间杠杆图，最好在0点线附近比较均匀的分布，而不呈现一定的规律性，如果是这样，就说明回归分析做得比较理想。 ⑤ 一般的，stast 返回4个值：2R 值、F_检验值、阈值f ，与显著性概率相关的p 值（如果这个p 值不存在，则，只输出前3项）。注释：
利用MATLAB进行回归分析 一、实验目的： 1．了解回归分析的基本原理，掌握MATLAB实现的方法； 2. 练习用回归分析解决实际问题。 二、实验内容： 题目1 社会学家认为犯罪与收入低、失业及人口规模有关，对20个城市的犯罪率y（每10万人中犯罪的人数）与年收入低于5000美元家庭的百分比1x、失业率2x和人口总数3x（千人）进行了调查，结果如下表。 （1）若1x~3x中至多只许选择2个变量，最好的模型是什么？ （2）包含3个自变量的模型比上面的模型好吗？确定最终模型。 （3）对最终模型观察残差，有无异常点，若有，剔除后如何。 理论分析与程序设计： 为了能够有一个较直观的认识，我们可以先分别作出犯罪率y与年收入低于5000美元家庭的百分比1x、失业率2x和人口总数 x（千人）之间关系的散点图，根据大致分布粗略估计各因素造 3 成的影响大小，再通过逐步回归法确定应该选择哪几个自变量作为模型。
编写程序如下： clc; clear all; y=[11.2 13.4 40.7 5.3 24.8 12.7 20.9 35.7 8.7 9.6 14.5 26.9 15.7 36.2 18.1 28.9 14.9 25.8 21.7 25.7]; %犯罪率（人/十万人） x1=[16.5 20.5 26.3 16.5 19.2 16.5 20.2 21.3 17.2 14.3 18.1 23.1 19.1 24.7 18.6 24.9 17.9 22.4 20.2 16.9]; %低收入家庭百分比 x2=[6.2 6.4 9.3 5.3 7.3 5.9 6.4 7.6 4.9 6.4 6.0 7.4 5.8 8.6 6.5 8.3 6.7 8.6 8.4 6.7]; %失业率 x3=[587 643 635 692 1248 643 1964 1531 713 749 7895 762 2793 741 625 854 716 921 595 3353]; %总人口数（千人） figure(1),plot(x1,y,'*'); figure(2),plot(x2,y,'*'); figure(3),plot(x3,y,'*'); X1=[x1',x2',x3']; stepwise(X1,y) 运行结果与结论：
Matlab 线性回归（拟合） 对于多元线性回归模型： e x x y p p ++++=βββΛ110 设变量12,,,p x x x y L 的n 组观测值为 12(,,,)1,2,,i i ip i x x x y i n =L L ． 记 ??????? ??=np n n p p x x x x x x x x x x ΛΛΛΛΛΛΛΛ212222*********，??????? ??=n y y y y M 21，则?????? ? ??=p ββββM 10 的估计值为 y x x x b ')'(?1-==β (11.2) 在Matlab 中，用regress 函数进行多元线性回归分析，应用方法如下： 语法：b = regress(y, x) [b, bint, r, rint, stats] = regress(y, x) [b, bint, r, rint, stats] = regress(y, x, alpha) b = regress(y, x)，得到的1+p 维列向量b 即为(11.2)式给出的回归系数β的估计值． [b, bint, r, rint, stats]=regress(y, x) 给出回归系数β的估计值b ，β的95％置信区间（(1)2p +?向量）bint ，残差r 以及每个残差的95％置信区间（2?n 向量）rint ；向量stats 给出回归的R 2统计量和F 以及临界概率p 的值． 如果i β的置信区间（bint 的第1i +行）不包含0，则在显著水平为α时拒绝0i β=的假设，认为变量i x 是显著的． [b, bint, r, rint, stats]=regress(y, x, alpha) 给出了bint 和rint 的100(1-alpha)%的置信区间． 三次样条插值函数的MATLAB 程序 matlab 的spline x = 0:10; y = sin(x); %插值点 xx = 0:.25:10; %绘图点 yy = spline(x,y,xx); plot(x,y,'o',xx,yy)
利用Matlab进行线性回归分析 回归分析是处理两个及两个以上变量间线性依存关系的统计方法。可以通过软件Matlab实现。 1.利用Matlab软件实现 在Matlab中，可以直接调用命令实现回归分析， （1）[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)，其中b是回归方程中的参数估计值，bint是b的置信区间，r和rint分别表示残差及残差对应的置信区间。stats包含三个数字，分别是相关系数，F统计量及对应的概率p值。 （2）recplot(r,rint)作残差分析图。 （3）rstool(x,y)一种交互式方式的句柄命令。 以下通过具体的例子来说明。 例现有多个样本的因变量和自变量的数据，下面我们利用Matlab，通过回归分析建立两者之间的回归方程。 % 一元回归分析 x=[1097 1284 1502 1394 1303 1555 1917 2051 2111 2286 2311 2003 2435 2625 2948 3, 55 3372];%自变量序列数据 y=[698 872 988 807 738 1025 1316 1539 1561 1765 1762 1960 1902 2013 2446 2736 2825];%因变量序列数据 X=[ones(size(x')),x'],pause [b,bint,r,rint,stats]=regress(y',X,0.05),pause%调用一元回归分析函数 rcoplot(r,rint)%画出在置信度区间下误差分布。
% 多元回归分析 % 输入各种自变量数据 x1=[5.5 2.5 8 3 3 2.9 8 9 4 6.5 5.5 5 6 5 3.5 8 6 4 7.5 7]'; x2=[31 55 67 50 38 71 30 56 42 73 60 44 50 39 55 7040 50 62 59]'; x3=[10 8 12 7 8 12 12 5 8 5 11 12 6 10 10 6 11 11 9 9]'; x4=[8 6 9 16 15 17 8 10 4 16 7 12 6 4 4 14 6 8 13 11]'; %输入因变量数据 y=[79.3 200.1 163.1 200.1 146.0 177.7 30.9 291.9 160 339.4 159.6 86.3 237.5 107.2 155 201.4 100.2 135.8 223.3 195]'; X=[ones(size(x1)),x1,x2,x3,x4]; [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X)%回归分析 Q=r'*r sigma=Q/18 rcoplot(r,rint); %逐步回归 X1=[x1,x2,x3,x4]; stepwise(X1,y,[1,2,3])%逐步回归 % X2=[ones(size(x1)),x2,x3]; % X3=[ones(size(x1)),x1,x2,x3]; % X4=[ones(size(x1)),x2,x3,x4]; % [b1,b1int,r1,r1int,stats1]=regress(y,X2) % [b2,b2int,r2,r2int,stats2]=regress(y,X3); % [b3,b3int,r3,r3int,stats3]=regress(y,X4);
数据回归分析和拟合的Matlab实现 本次将教程的主要内容包含： 一、多元线性回归 2# 多元线性回归：regress 二、多项式回归 3# 一元多项式：polyfit或者polytool 多元二项式：rstool或者rsmdemo 三、非线性回归 4# 非线性回归：nlinfit 四、逐步回归 5# 逐步回归：stepwise 一、多元线性回归 多元线性回归： 1、b=regress(Y, X ) 确定回归系数的点估计值
2、[b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) 求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型 ①bint表示回归系数的区间估计. ②r表示残差 ③rint表示置信区间 ④stats表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：相关系数r2、F值、与F对应的概率p 说明：相关系数r2越接近1，说明回归方程越显著； 时拒绝H0，F越大，说明回归方程越显著；与F对应的概率p<α时拒绝H0 ⑤alpha表示显著性水平(缺省时为0.05) 3、rcoplot(r,rint) 画出残差及其置信区间具体参见下面的实例演示 4、实例演示，函数使用说明 (1)输入数据 复制内容到剪贴板 >>x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]'; >>X=[ones(16,1) x]; >>Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]'; (2)回归分析及检验 复制内容到剪贴板 >> [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) b = -16.0730
第八章 回归分析方法 当人们对研究对象的内在特性和各因素间的关系有比较充分的认识时，一般用机理分析方法建立数学模型。如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型，那么通常的办法是搜集大量数据，基于对数据的统计分析去建立模型。本章讨论其中用途非常广泛的一类模型——统计回归模型。回归模型常用来解决预测、控制、生产工艺优化等问题。 变量之间的关系可以分为两类：一类叫确定性关系，也叫函数关系，其特征是：一个变量随着其它变量的确定而确定。另一类关系叫相关关系，变量之间的关系很难用一种精确的方法表示出来。例如，通常人的年龄越大血压越高，但人的年龄和血压之间没有确定的数量关系，人的年龄和血压之间的关系就是相关关系。回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数学方法。其解决问题的大致方法、步骤如下： （1）收集一组包含因变量和自变量的数据； （2）选定因变量和自变量之间的模型，即一个数学式子，利用数据按照最小二乘准则计算模型中的系数； （3）利用统计分析方法对不同的模型进行比较，找出与数据拟合得最好的模型； （4）判断得到的模型是否适合于这组数据； （5）利用模型对因变量作出预测或解释。 应用统计分析特别是多元统计分析方法一般都要处理大量数据，工作量非常大，所以在计算机普及以前，这些方法大都是停留在理论研究上。运用一般计算语言编程也要占用大量时间，而对于经济管理及社会学等对高级编程语言了解不深的人来说要应用这些统计方法更是不可能。MA TLAB 等软件的开发和普及大大减少了对计算机编程的要求，使数据分析方法的广泛应用成为可能。MATLAB 统计工具箱几乎包括了数理统计方面主要的概念、理论、方法和算法。运用MA TLAB 统计工具箱，我们可以十分方便地在计算机上进行计算，从而进一步加深理解，同时，其强大的图形功能使得概念、过程和结果可以直观地展现在我们面前。本章内容通常先介绍有关回归分析的数学原理，主要说明建模过程中要做的工作及理由，如模型的假设检验、参数估计等，为了把主要精力集中在应用上，我们略去详细而繁杂的理论。在此基础上再介绍在建模过程中如何有效地使用MA TLAB 软件。没有学过这部分数学知识的读者可以不深究其数学原理，只要知道回归分析的目的，按照相应方法通过软件显示的图形或计算所得结果表示什么意思，那么，仍然可以学到用回归模型解决实际问题的基本方法。包括：一元线性回归、多元线性回归、非线性回归、逐步回归等方法以及如何利用MATLAB 软件建立初步的数学模型，如何透过输出结果对模型进行分析和改进，回归模型的应用等。 8.1 一元线性回归分析 回归模型可分为线性回归模型和非线性回归模型。非线性回归模型是回归函数关于未知参数具有非线性结构的回归模型。某些非线性回归模型可以化为线性回归模型处理；如果知道函数形式只是要确定其中的参数则是拟合问题，可以使用MATLAB 软件的curvefit 命令或nlinfit 命令拟合得到参数的估计并进行统计分析。本节主要考察线性回归模型。 8.1.1 一元线性回归模型的建立及其MATLAB 实现 01y x ββε=++ 2~(0,)N εσ 其中01ββ，是待定系数，对于不同的,x y 是相互独立的随机变量。
matlab多元线性回归模型
云南大学数学与统计学实验教学中心 实验报告 一、实验目的 1.熟悉MATLAB的运行环境. 2.学会初步建立数学模型的方法 3.运用回归分析方法来解决问题 二、实验内容 实验一：某公司出口换回成本分析 对经营同一类产品出口业务的公司进行抽样调查,被调查的13家公司,其出口换汇成本与商品流转费用率资料如下表。试分析两个变量之间的关系,并估计某家公司商品流转费用率是6.5%的出口换汇成本.
实验二：某建筑材料公司的销售量因素分析 下表数据是某建筑材料公司去年20个地区的销售量（Y，千方），推销开支、实际帐目数、同类商品竞争数和地区销售潜力分别是影响建筑材料销售量的因素。1）试建立回归模型，且分析哪些是主要的影响因素。2）建立最优回归模型。
提示：建立一个多元线性回归模型。 三、实验环境 Windows操作系统; MATLAB 7.0. 四、实验过程 实验一：运用回归分析在MATLAB里实现 输入：x=[4.20 5.30 7.10 3.70 6.20 3.50 4.80 5.50 4.10 5.00 4.00 3.40 6.90]'; X=[ones(13,1) x]; Y=[1.40 1.20 1.00 1.90 1.30 2.40 1.40 1.60 2.00 1.00 1.60 1.80 1.40]'; plot(x,Y,'*'); [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,0.05); 输出： b = 2.6597 -0.2288 bint = 1.8873 3.4322 -0.3820 -0.0757 stats = 0.4958 10.8168 0.0072
利用Matlab 进行线性回归分析 回归分析是处理两个及两个以上变量间线性依存关系的统计方法。可以通过软件Matlab 实现。 1.利用Matlab 软件实现 在Matlab 中，可以直接调用命令实现回归分析， (1)[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x),其中 b 是回归方程中的参数估计值，bint 是b的置信区间，r和rint分别表示残差及残差对应的置信区间。stats包含三个数字，分别是相关系数，F统计量及对应的概率p值。 (2)recplot(r,rint)作残差分析图。 (3)rstool(x,y)一种交互式方式的句柄命令。 以下通过具体的例子来说明。 例现有多个样本的因变量和自变量的数据，下面我们利用Matlab，通过回归分析建立两者之间的回归方程。 % 一元回归分析 x=[1097 1284 1502 1394 1303 1555 1917 2051 2111 2286 2311 2003 2435 2625 2948 3, 55 3372];%自变量序列数据 y=[698 872 988 807 738 1025 1316 1539 1561 1765 1762 1960 1902 2013 2446 2736 2825];%因变量序列数据 X=[ones(size(x')),x'],pause [b,bint,r,rint,stats]=regress(y',X,,pause% 调用一元回归分析函数 rcoplot(r,rint)% 画出在置信度区间下误差分布。
% 多元回归分析 % 输入各种自变量数据 x1=[ 8 3 3 8 9 4 5 6 5 8 6 4 7]'; x2=[31 55 67 50 38 71 30 56 42 73 60 44 50 39 55 70 40 50 62 59]'; x3=[10 8 12 7 8 12 12 5 8 5 11 12 6 10 10 6 11 11 9 9]'; x4=[8 6 9 16 15 17 8 10 4 16 7 12 6 4 4 14 6 8 13 11]'; %输入因变量数据y=[ 160 155 195]'; X=[ones(size(x1)),x1,x2,x3,x4]; [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X)% 回归分析 Q=r'*r sigma=Q/18 rcoplot(r,rint); %逐步回归 X1=[x1,x2,x3,x4]; stepwise(X1,y,[1,2,3])% 逐步回归 % X2=[ones(size(x1)),x2,x3]; % X3=[ones(size(x1)),x1,x2,x3]; % X4=[ones(size(x1)),x2,x3,x4]; % [b1,b1int,r1,r1int,stats1]=regress(y,X2) % [b2,b2int,r2,r2int,stats2]=regress(y,X3); % [b3,b3int,r3,r3int,stats3]=regress(y,X4);