函数综合题分类复习
题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令
0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；
不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：
第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征
)()(x g x f >恒成立
0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立；参考例4；
例1.已知函数32
1()23
f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点．
（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，2
2()3
f x a ->恒成立，求a 的取值范围．
例2.已知函数b ax ax x x f +++=2
3)(的图象过点)2,0(P .
（1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2
2(),1
x f x x =
+()52(0)g x ax a a =+->。 （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域；
（2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数
32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 32
6()(1)3(0)2
t g x x x t x t -=+-++>
（Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；
（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。
例5.已知定义在R 上的函数
32()2f x ax ax b =-+）
（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围.
例6.已知函数
2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m
例7.已知函数23)(a
x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为
510
2，函数33)()(2
2
+-=a
bx x f x g ． （1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式；
（2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42
x g mb b
≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围．
答案： 1、解：（Ⅰ）
'2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点，
∴2x =是方程2
220x bx -+=的一个根，解得32
b =.
令'()0f x >，则2
320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞.
（Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时
'()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >，
∴
()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2
(2)3
f a =
+. 若当[1, 3]x ∈时，要使
22()3f x a ->
恒成立，只需22(2)3f a >+， 即2
2233
a a +>+，解得 01a <<. 2、解：（Ⅰ）a ax x x f ++='23)(2
． 由题意知?
??=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得 ???=-=23b a ．
∴ 233)(23+--=x x x x f ．
（Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ． ∵ 3>a ，∴ 01242>-=?a a ．
33
由0)(<'x f 解得3
33322a
a a x a a a -+-<<---． (10)
∴ )(x f 的单调增区间为：)33,(2a a a ----∞和),3
3(2+∞-+-a
a a ；
)(x f 的单调减区间为： )3
3,33(
22a
a a a a a -+----．……12分 3、解：(1)法一:(导数法)2222
4(1)224()0(1)(1)
x x x x x
f x x x +-+'==≥++ 在[0,1]x ∈上恒成立. ∴()f x 在[0,1]上增，∴()f x 值域[0,1]。
法二:220,022(),(0,1]111
x x f x x x x x
=???
=
=?∈+?+??, 复合函数求值域. 法三:2222(1)4(1)22
()2(1)4111
x x x f x x x x x +-++=
==++-+++用双勾函数求值域. (2)()f x 值域[0,1]，()52(0)g x ax a a =+->在[0,1]x ∈上的值域[52,5]a a --.
由条件,只须[0,1][52,5]a a ?--，∴5205
4512a a a -≤??≤≤?-≥?
.
特别说明：要深刻理解本题的题意及子区间的解题思路，联想2008年全国一卷第21题，那是单调区间的子区间问题；
4、解：（Ⅰ）/
2
()32f x x ax =+∴/(1)31f b a
?=-?=+?， 解得3
2a b =-??=-?
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减又min max (1)4,(0)0,{()}(2)4,{()}(4)16f f f x f f x f -=-===-== ∴()f x 的值域是[4,16]-
（Ⅲ）令2
()()()(1)3[1,4]2
t h x f x g x x t x x =-=-++-∈
∴要使()()f x g x ≤恒成立，只需()0h x ≤，即2
(2)26t x x x -≥-
（1）当[1,2)x ∈时2
26
,2x t x x
-≤- 解得1t ≤-； （2）当2x =时 t R ∈；
（3）当(2,4]x ∈时226
2x t x x
-≥-解得8t ≥；综上所述所求t 的范围是(,1][8,)-∞-+∞U
特别说明：分类与整合，千万别忘了整合即最后要写“综上可知”，分类一定要序号化；
5、解：（Ⅰ）32'2()2,()34(34)f x ax ax b f x ax ax ax x =-+∴=-=-Q
令'
()f x =0,得[]1240,2,13
x x ==
?-
因此
)0(f 必为最大值,∴50=）（f 因此5=b ， (2)165,(1)5,(1)(2)f a f a f f -=-+=-+∴>-Q ，
即11516)2(-=+-=-a f ，∴1=a ，∴ .52(23+-=x x x f ）
（Ⅱ）∵x x x f 43)(2
-='，∴0(≤+'tx x f ）等价于0432≤+-tx x x ， 令x x xt t g 43)(2-+=，则问题就
是0)(g ≤t 在]1,1[-∈t 上恒成立时，求实数x 的取值范围，为此只需???≤≤-0)10)1(（g g ，即???≤-≤-0
0532
2x x x x ，
解得10≤≤x ，所以所求实数x 的取值范围是[0，1].
6、11 （ 说明：通过此题旨在提醒同学们“导数等于零”的根不一定都是极值点，但极值点一定是“导数等于零”方程的根；）
7、解：∵
223)(x a x f ?=
'，∴由332
2=?x a
有a x ±=，即切点坐标为),(a a ，),(a a -- ∴切线方程为)(3a x a y -=-，或)(3a x a y +=+，整理得023=--a y x 或023=+-a y x
∴
5
102)1(3|22|2
2=
-+--a a ，解得1±=a ，∴3)(x x f =，∴33)(3+-=bx x x g 。（1）∵b x x g 33)(2
-='，)(x g 在1=x 处有极值，∴0)
1(='g ，即03132=-?b ，解得1=b ，∴33)(3+-=x x x g
（2）∵函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，∴033)(2
≥-='b x x g 在区间]1,1[-上恒成立，∴0≤b ，又∵
)(42x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上恒成立，∴)1(42g mb b ≥+-，即b mb b 3442-≥+-，∴3+≥b m 在]0,(-∞∈b 上恒成立，∴3≥m ∴m 的取值范围是[)+∞,3
题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x 轴即方程根的个数问题； （1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种： 第一种：转化为恒成立问题即
0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特
别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法； 第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；参考08年高考题；
第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；可参考第二次市统考试卷； 特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清楚两句话的区别；请参考资料《高考教练》83页第3题和清明节假期作业上的第20题（金考卷第5套）； （2）函数与x 轴即方程根的个数问题解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可；
例8．已知函数
232
)1(31)(x k x x f +-=
，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．
（1）求实数k 的取值范围；（2）若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．
例9.已知函数.313)(2
3a
x ax x f -+-=
（I ）讨论函数)(x f 的单调性。
（II ）若函数)(x f y =在A 、B 两点处取得极值，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值范围。
例10．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，其中a 为实数．
(Ⅰ)求导数f '(x )；(Ⅱ)若f '(－1)＝0，求f (x )在[－2，2]上的最大值和最小值；
(Ⅲ)若f (x )在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a 的取值范围
例11.已知：函数c bx ax x x f ++-=23)(
（I ）若函数)(x f 的图像上存在点P ，使点P 处的切线与x 轴平行，求实数b a , 的关系式；
（II ）若函数)(x f 在1-=x 和3=x 时取得极值且图像与x 轴有且只有3个交点，求实数c 的取值范围.
例12．设()y f x =为三次函数，且图像关于原点对称，当1
2
x =时，()f x 的极小值为1-．
（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：当),1(∞+∈x 时，函数()f x 图像上任意两点的连线的斜率恒大于0．
例13．在函数
)0()(3≠+=a bx ax x f 图像在点（1，f （1））处的切线与直线.076=++y x 平行，导函数)('x f 的最小
值为－12。（1）求a 、b 的值；（2）讨论方程m x f =)(解的情况（相同根算一根）。
例14．已知定义在R 上的函数),,()(3R c b a c bx ax x f ∈++=，当1-=x 时，)(x f 取得极大值3，1)0(=f . （Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）已知实数t 能使函数f (x)(t,t 3)+在区间上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的实
数t 组成的集合为M.请判断函数()
()()f x g x x M x
=∈的零点个数.
例15.已知函数)(,42)1(3)(2
23x f k x k kx x f 若+-+-=的单调减区间为（0，4） （I ）求k 的值；
（II ）若对任意的)(52],1,1[2
t f a x x x t =++-∈的方程关于总有实数解，求实数a 的取值范围。
例16.已知函数b a R x x bx ax x f ,,()(23∈-+=是常数)，且当1=x 和2=x 时，函数)(x f 取得极值.
（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；
（Ⅱ）若曲线)(x f y =与)02(3)(≤≤---=x m x x g 有两个不同的交点，求实数m 的取值范围.
例17.已知函数正项数列满足：00=a ，11=a ，点),(
11n
n n n n a a a a P -+在圆25
22=+y x 上，)(N n ∈)(+∈N n
（Ⅰ）求证：n n n a a a 2
5
11
=
+-+； （Ⅱ）若n n n a a b 21-=+)(+∈N n ，求证：}{n b 是等比数列； （Ⅲ）求和：n nb b b b ++++Λ32132
例18.函数
m x t x x f +-=233)(（,0,>∈t R x m 、t 为常数）是奇函数。
（Ⅰ）求实数m 的值和函数)(x f 的图像与x 轴交点坐标；（Ⅱ）设|)(|)(x f x g =，[]1,0∈x ，求)(x g 的最大值)(t F .
例19.已知f (x)＝x 3＋bx 2
＋cx ＋2．
⑴若f(x)在x ＝1时有极值－1，求b 、c 的值； ⑵若函数y ＝x 2
＋x －5的图象与函数y ＝x
k 2
-的图象恰有三个不同的交点，求实数k 的取值范围． 例20. 设函数
ax x x x f +-=
23
3
1)(，b x x g +=2)(，当21+=x 时，)(x f 取得极值. （1）求a 的值，并判断)21(+f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；
（2）当]4,3[-∈x 时，函数)(x f 与)(x g 的图象有两个公共点，求b 的取值范围.
例21.已知
5)(23-+-=x x kx x f 在R 上单调递增，记ABC ?的三内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，若
ac b c a +≥+222时，不等式[]
)4
33
2()cos(sin 2+<+++m f C A B m f 恒成立．
（Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）求角B cos 的取值范围；（Ⅲ）求实数m 的取值范围。
答案：
8解：（1）由题意
x k x x f )1()(2+-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数，
∴0)1()(2>+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立
即x k
<+1恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k
（2）设3
12)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ， )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h 令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，
①当1=k 时，0)1()(2
≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意…②当1 况如下表： x ),(k -∞ k )1,(k 1 ),1(+∞ )(x h ' + 0 — + 由于 02 <，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根，故需0312623>-+-k k ，即0)22)(1(2 <---k k k ∴???>--<0 2212k k k ，解得31- 9、解：（1） ,63)(2x ax x f -='a x x x f 200)(21= =='或得，当a>0时，),2 (,)2,0(,)0,(+∞-∞a a 递减递增递增； 当a<时，),0(,)0,2 (,)2,(+∞-∞递减递减a a 递减。 此时，极大值为.1)(,1)0(2a a a f a f -+-=-=极小值为 (7) 分 此时，极大值为.1)0(,1)(2a f a a a f -=-+-=极小值为因为线段AB 与x 轴有公共点所以,0) 1)(4)(3(0)2()0(3 ≤+--≤?a a a a a f f 即解得]4,3[)0,1[?-∈a 10、解：（Ⅰ）423)(2 --='ax x x f （Ⅱ）由43)(.242 1)(,210)1(2 23--='+--=∴==-'x x x f x x x x f a f 得，由0)(='x f 得34=x 或x =1-又 4509(),(1),(2)0,(2)0,3272 f f f f =--=-==()f x ∴在[-2，2]上最大值29，最小值2750 - （Ⅲ） 423)(2 --='ax x x f ， 由题意知(2)0,480,(2)0,840,2 2.266,22,6f a f a a a a ? ?'-≥+≥??? '≥?-≥?-≤≤????-≤≤? ?-≤≤? 11、解：（I ）设切点P ),(οοy x ∴0|23)(2 =+-='=οx x b ax x x f , ∴0232 =+-b ax x οο,因为存在极值点，所以 01242≥-=?b a ，即b a 32≥。（II ）因为1-=x ，3=x 是方程023)(2=+-='b ax x x f 的根， 所以9,3-==b a ，∴c x x x x f +--=93)(2 3。 ∴)3)(1(3963)(2 -+=--='x x x x x f ,∴1,3,0)(-<>>'x x x f ；∴31,0)(<<-<'x x f ∴)(x f 在1-=x 处取得极大值，在3=x 处取得极小值. Θ函数图像与x 轴有3个交点，∴0 )3(0)1(<>-?? ?f f ，∴)27,5(-∈c 导数压轴题题型 1. 高考命题回顾 例1已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷） (1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0. (1)解 f (x )＝e x －ln(x ＋m )?f ′(x )＝e x －1x ＋m ?f ′(0)＝e 0－1 0＋m ＝0?m ＝1， 定义域为{x |x >－1}，f ′(x )＝e x －1 x ＋m ＝ e x x ＋1－1 x ＋1 ， 显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． (2)证明 g (x )＝e x －ln(x ＋2)，则g ′(x )＝e x －1 x ＋2 (x >－2)． h (x )＝g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)?h ′(x )＝e x ＋1 x ＋22>0， 所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根， 又g ′(－12)＝1e －13 2 <0，g ′(0)＝1－1 2>0， 所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间??? ?－1 2，0内， 设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t －1 t ＋2＝0????－12 导数题型总结 1.导数的几何意义 2.导数四则运算构造新函数 3.利用导数研究函数单调性 4.利用导数研究函数极值和最值 5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数 6.函数极值点偏移问题 7.导函数零点不可求问题 8.双变量的处理策略 9.不等式恒成立求参数范围 10.不等式证明策略 11.双量词的处理策略 12.绝对值与导数结合问题 导数专题一导数几何意义 一.知识点睛 导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。 二.方法点拨： 1.求切线 ①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导 数求得函数y ＝f(x)在点x=x 0处的导数f ′(x 0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． ②点（x 0，y 0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x 1，y 1)； (2)根据切点写出切线方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1) (3)利用点（x 0，y 0）在切线上求出（x 1，y 1）； (4)把（x 1，y 1）代入切线方程求得切线。 2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f ′(x 0) ②切点在曲线上③切点在切线上 三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式 四．跟踪练习 1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是 2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a= A. 0 B.1 C.2 D.3 3.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b= 4.（2014江西）若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是 5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2 + x b （a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=2 1e x 上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为 A.1-ln2 B. 2（1-ln2） C.1+ln2 D.2(1+ln2) 7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3 和y=ax 2 + 4 15 x-9都相切，则a 等于 8.抛物线y=x 2 上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A. 2 B.8 27 C. 2 2 D. 1 a - a (- ),( , +∞) 单调递增， 在 (- （ 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 含参数的分类讨论 例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ，导函数为 f '( x) ， （1）求函数 f ( x ) 的单调区间； （2）若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1，3]上的最大值和最小值。 【答案】略 【解析】（I ） f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ，（下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ，到了分类讨论的时机，分 类标准是零） 当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减； 当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表： x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值 极小值 此时， f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减； a a （II ）由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由（I ）知， f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。 【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底 【思维点拨】分类讨论的难度是两个， 1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理， 由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不 重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。 题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 ， 若函数在[1,+∞) 上是单调增函数，求 a 的取值范围 导数压轴题型归类总结 目 录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布 （23） 三、不等式证明 （31） （一）作差证明不等式 （二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围 （51） （一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数 （三）恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用 （70） 六、导数应用题 （84） 七、导数结合三角函数 （85） 书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>. 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. （切线）设函数a x x f -=2)(. （1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值； （2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21. 解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得3 3 ±=x . 所以当33= x 时，)(x g 有最小值9 32)33(-=g . (2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ，得12 122x a x x +=，∴12 1 112 11222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1，∴ 021 21 <-x x a ，即12x x <. 又∵1122x a x ≠，∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. （2009天津理20，极值比较讨论） 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当2 3 a ≠ 时，求函数()f x 的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令 导数 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 （1）求a 、b 的值； （2）若对于任意的[03]x ∈， ，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值范围。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。 例7. 已知a 为实数，()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析：（1）()a x ax x x f 442 3 +--=，∴ ()423'2 --=ax x x f 。 （2）()04231'=-+=-a f ，2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或3 4 =x ， 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ，275034-=??? ??f 。所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ，最 小值为()2 9 1= -f 。 答案：（1）()423'2 --=ax x x f ；（2）最大值为275034- =?? ? ??f ，最小值为()2 91=-f 。 点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。 考点七：导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。高三导数压轴题题型归纳
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