导数压轴题题型归纳
1. 高考命题回顾
例1已知函数f(x)=e x -ln(x +m).(2013全国新课标Ⅱ卷)
(1)设x =0是f(x)的极值点,求m ,并讨论f(x)的单调性; (2)当m≤2时,证明f(x)>0.
例2已知函数f(x)=x 2+ax +b ,g(x)=e x (cx +d),若曲线y =f(x)和曲线y =g(x)都过点P(0,2),且在点P
处有相同的切线y =4x+2(2013全国新课标Ⅰ卷) (Ⅰ)求a ,b ,c ,d 的值
(Ⅱ)若x ≥-2时, ()()f x kg x ≤,求k 的取值范围。
例3已知函数)(x f 满足2
1
2
1)0()1(')(x x f e
f x f x +
-=-(2012全国新课标) (1)求)(x f 的解析式及单调区间; (2)若b ax x x f ++≥2
2
1)(,求b a )1(+的最大值。
例4已知函数ln ()1a x b
f x x x
=++,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。(2011全国新课标)
(Ⅰ)求a 、b 的值;
(Ⅱ)如果当0x >,且1x ≠时,ln ()1x k
f x x x
>+-,求k 的取值范围。
例5设函数2
()1x f x e x ax =---(2010全国新课标)
(1)若0a =,求()f x 的单调区间; (2)若当0x ≥时()0f x ≥,求a 的取值范围
例6已知函数f(x)=(x 3+3x 2+ax+b)e -
x . (2009宁夏、海南)
(1)若a =b =-3,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在(-∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β-α>6.
2. 在解题中常用的有关结论※
3. 题型归纳
①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用
例7(构造函数,最值定位)设函数()()2
1x
f x x e kx =--(其中k ∈R ).
(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ) 当1,12k ??
∈ ???
时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .
例8(分类讨论,区间划分)已知函数32
11()(0)32
f x x ax x b a =
+++≥,'()f x 为函数()f x 的导函数. (1)设函数f(x)的图象与x 轴交点为A,曲线y=f(x)在A 点处的切线方程是33y x =-,求,a b 的值; (2)若函数()'()ax
g x e f x -=?,求函数()g x 的单调区间.
例9(切线)设函数
a x x f -=2
)(. (1)当1=a 时,求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值;
(2)当0>a 时,曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ,l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证:
a x x >>21.
例10(极值比较)已知函数
22()(23)(),x
f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R
⑴当0a =时,求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率;
⑵当2
3a ≠
时,求函数()f x 的单调区间与极值.
例11(零点存在性定理应用)已知函数()ln ,().x
f x x
g x e ==
⑴若函数φ (x ) = f (x )-
1
1
x x +-,求函数φ (x )的单调区间; ⑵设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0,f (x 0))处的切线,证明:在区间(1,+∞)上存在唯一的x 0,使得直线l 与曲线y =g (x )相切.
例12(最值问题,两边分求)已知函数1()ln 1a
f x x ax x
-=-+
-()a ∈R . ⑴当1
2
a ≤
时,讨论()f x 的单调性; ⑵设2()2 4.g x x bx =-+当1
4
a =时,若对任意1(0,2)x ∈,存在[]21,2x ∈,使12()()f x g x ≥,
求实数b 取值范围.
例13(二阶导转换)已知函数x x f ln )(=
⑴若
)()()(R a x a
x f x F ∈+=
,求)(x F 的极大值;
⑵若
kx x f x G -=2
)]([)(在定义域内单调递减,求满足此条件的实数k 的取值范围.
例14(综合技巧)设函数1
()ln ().
f x x a x a R x =--∈
⑴讨论函数()f x 的单调性;
⑵若()f x 有两个极值点12,x x ,记过点
11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k ,问:是否存在a ,
使得2k a =-?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.
②交点与根的分布
例15(切线交点)已知函数()()3
2
3,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()
1,1f 处的切线方程为20y +=.
⑴求函数()f x 的解析式;
⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤,求实数c 的最小值;
⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线,求实数m 的取值范围.
例16(根的个数)已知函数x x f =)(,函数x x f x g sin )()(+=λ是区间[-1,1]上的减函数.
(I )求λ的最大值;
(II )若
]1,1[1)(2
-∈++ ex x x f x +-=2)(ln 2的根的个数. 例17(综合应用)已知函数 .23)32ln()(2 x x x f - += ⑴求f (x )在[0,1]上的极值; ⑵若对任意0 ]3)(ln[|ln |],31 ,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立,求实数a 的取值范围; ⑶若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b 的取值范围. ③不等式证明 例18(变形构造法)已知函数 1)(+= x a x ?,a 为正常数. ⑴若)(ln )(x x x f ?+=,且a 29 = ,求函数)(x f 的单调增区间; ⑵在⑴中当0=a 时,函数)(x f y =的图象上任意不同的两点()11,y x A ,()22,y x B ,线段AB 的中点 为),(00y x C ,记直线AB 的斜率为k ,试证明:)(0x f k ' >. ⑶若)(ln )(x x x g ?+=,且对任意的(]2,0,21∈x x ,21x x ≠,都有1 ) ()(1212-<--x x x g x g ,求a 的取值范 围. 例19(高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数)0)(ln()(2 >=a ax x x f . (1)若2 )('x x f ≤对任意的0>x 恒成立,求实数a 的取值范围; (2)当1=a 时,设函数x x f x g )()(= ,若1),1,1 (,2121<+∈x x e x x ,求证4 2121)(x x x x +< 例20(绝对值处理)已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点,且在1=x 处取得极大值. (I )求实数a 的取值范围; (II )若方程9 )32()(2 +-=a x f 恰好有两个不同的根,求)(x f 的解析式; (III )对于(II )中的函数)(x f ,对任意R ∈βα、,求证:81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f . 例21(等价变形)已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R . (Ⅰ)讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数; (Ⅱ)若函数)(x f 在1=x 处取得极值,对x ?∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立, 求实数b 的取值范围; (Ⅲ)当2 0e y x <<<且e x ≠时,试比较x y x y ln 1ln 1--与 的大小. 例22(前后问联系法证明不等式)已知 217 ()ln ,()(0)22f x x g x x mx m == ++<,直线l 与函数 (),()f x g x 的图像都相切,且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1。 (I )求直线l 的方程及m 的值; (II )若()(1)'()()h x f x g x =+-其中g'(x)是g(x)的导函数,求函数()h x 的最大值。 (III )当0b a <<时,求证: ()(2).2b a f a b f a a -+-< 例23(整体把握,贯穿全题)已知函数ln ()1x f x x = -. (1)试判断函数()f x 的单调性; (2)设0m >,求()f x 在[,2]m m 上的最大值; (3)试证明:对任意*n ∈N ,不等式11ln()e n n n n ++< 都成立(其中e 是自然对数的底数). 例24(化简为繁,统一变量)设a R ∈,函数()ln f x x ax =-. (Ⅰ)若2a =,求曲线()y f x =在()1,2P -处的切线方程; (Ⅱ)若()f x 无零点,求实数a 的取值范围; (Ⅲ)若()f x 有两个相异零点12,x x ,求证: 212x x e ?>. 例25(导数与常见不等式综合)已知函数2 11 ()()1(1)t f x t x x x = --++,其中为正常数. (Ⅰ)求函数()t f x 在(0,)+∞上的最大值; (Ⅱ)设数列{}n a 满足:15 3 a = ,132n n a a +=+, (1)求数列{}n a 的通项公式n a ; (2)证明:对任意的0x >, 231 ()(*)n n f x n N a ≥∈; (Ⅲ)证明:2 121111 n n a a a n ++???+> +. 例26(利用前几问结论证明立体不等式)已知函数f(x)=e x -ax(e 为自然对数的底数). (I )求函数f(x)的单调区间; (II)如果对任意],2[+∞∈x ,都有不等式f(x)> x + x 2成立,求实数a 的取值范围; (III)设*N n ∈,证明:n n )1(+n n )2(+n n )3(+…+n n n )(<1-e e 例27已知函数()2 1 (0)2 f x ax x c a =+ +≠.若函数()f x 满足下列条件: ①()10f -=;②对一切实数x ,不等式()211 22 f x x ≤+恒成立. (Ⅰ)求函数()f x 的表达式; (Ⅱ)若21f t at ≤-+2 ( x )对[]1,1x ?∈-,[]1,1a ?∈-恒成立,求实数t 的取值范围; (Ⅲ)求证:()()()*1112()122 n n N f f f n n ++???+>∈+. 例28(数学归纳法)已知函数()ln(1)f x x mx =++,当0x =时,函数()f x 取得极大值. (1)求实数m 的值; (2)已知结论:若函数()ln(1)f x x mx =++在区间(,)a b 内导数都存在,且1a >-,则存在 0(,)x a b ∈,使得0()() ()f b f a f x b a -'= -.试用这个结论证明:若121x x -<<,函数 121112 ()() ()()()f x f x g x x x f x x x -= -+-,则对任意12(,)x x x ∈,都有()()f x g x >; (3)已知正数12,,,n λλλL ,满足121n λλλ+++=L ,求证:当2n ≥,n N ∈时,对任意大于1-, 且 互 不 相 等 的 实 数 12,,,n x x x L ,都有 1122()n n f x x x λλλ+++>L 1122()()()n n f x f x f x λλλ+++L . ④恒成立、存在性问题求参数范围 例29(传统讨论参数取值范围)已知函数()(2)(1)2ln f x a x x =---,1()x g x xe -=(,a R e ∈为自然对 数的底数) (1)当1a =时,求()f x 的单调区间; (2)对任意的1(0,),()02 x f x ∈>恒成立,求a 的最小值; (3)若对任意给定的(](]00,,0,(1,2)i x e e x i ∈=在上总存在两个不同的, 使得0()()i f x g x =成立,求a 的取值范围。 例30已知函数.| |1)(x a x f - = (1)求证:函数),0()(+∞=在x f y 上是增函数. (2)若),1(2)(+∞<在x x f 上恒成立,求实数a 的取值范围. (3)若函数],[)(n m x f y 在=上的值域是)](,[n m n m ≠,求实数a 的取值范围. 例31已知函数3 2()ln(21)2()3 x f x ax x ax a R =++--∈. (1)若2x =为()f x 的极值点,求实数a 的值; (2)若()y f x =在[)3,+∞上为增函数,求实数a 的取值范围; (3)当12a =-时,方程()3 1(1)3x b f x x --=+有实根,求实数b 的最大值. 例32(分离变量)已知函数 x a x x f ln )(2 +=(a 为实常数). (1)若2-=a ,求证:函数)(x f 在(1,+∞)上是增函数; (2)求函数)(x f 在[1,e ]上的最小值及相应的x 值; (3)若存在],1[e x ∈,使得x a x f )2()(+≤成立,求实数a 的取值范围. 例33(多变量问题,分离变量)已知函数32()(63)x f x x x x t e =-++,t R ∈. (1)若函数()y f x =依次在,,()x a x b x c a b c ===<<处取到极值. ①求t 的取值范围;②若2 2a c b +=,求t 的值. (2)若存在实数 [] 0,2t ∈,使对任意的 [] 1,x m ∈,不等式 ()f x x ≤恒成立.求正整数m 的最大 值. 例34(分离变量综合应用)设函数2()ln f x a x bx =-. ⑴若函数()f x 在1x =处与直线1 2y =- 相切: ①求实数,a b 的值;②求函数()f x 在1 [,]e e 上的最大值; ⑵当0b =时,若不等式()f x ≥m x +对所有的2 3[0,],[1,]2 a x e ∈∈都成立,求实数m 的取值范围. 例35(先猜后证技巧)已知函数x x n x f ) 1(11)(++= (Ⅰ)求函数f (x )的定义域 (Ⅱ)确定函数f (x )在定义域上的单调性,并证明你的结论. (Ⅲ)若x >0时1 )(+>x k x f 恒成立,求正整数k 的最大值. 例36(创新题型)设函数f(x)=e x +sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)-g(x). (Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点,求a 的值; (Ⅱ)当 a=1时,设P(x 1,f(x 1)), Q(x 2, g(x 2))(x 1>0,x 2>0), 且PQ//x 轴,求P 、Q 两点间的最短距离; (Ⅲ)若x≥0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(-x)的图象上方,求实数a 的取值范围. 例37(创新题型)已知函数)(x f =)(1ln R a x ax ∈+-,x xe x g -=1)(. (Ⅰ)求函数)(x g 在区间],0(e 上的值域; (Ⅱ)是否存在实数a ,对任意给定的],0(0e x ∈,在区间],1[e 上都存在两个不同的 )2,1(=i x i , 使得)()(0x g x f i =成立.若存在,求出a 的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数)(F x y =图象上任意不同的两点),(),,(2211y x B y x A ,如果对于函数 ) (F x y =图象上的点 ),(00y x M (其中)2 2 10x x x += 总能使得 ))((F )(F )(F 21021x x x x x -'=-成立,则称函数具备性质“L ”,试判断函数)(x f 是不是具 备性质“L ”,并说明理由. 例38(图像分析,综合应用) 已知函数 )1,0(12)(2 <≠++-=b a b ax ax x g ,在区间[]3,2上有最大值4,最小值1,设() ()g x f x x = . (Ⅰ)求b a ,的值; (Ⅱ)不等式 02)2(≥?-x x k f 在]1,1[-∈x 上恒成立,求实数k 的范围; (Ⅲ)方程 0)3|12|2 ( |)12(|=--+-x x k f 有三个不同的实数解,求实数k 的范围. ⑤导数与数列 例39(创新型问题)设函数2()()()x f x x a x b e =-+,a b R ∈、,x a =是()f x 的一个极大值点. ⑴若0a =,求b 的取值范围; ⑵当a 是给定的实常数,设123x x x ,,是()f x 的3个极值点,问是否存在实数b ,可找到4x R ∈,使 得1234x x x x ,,,的某种排列1234,,,i i i i x x x x (其中{}1234i i i i ,,,={}1234, ,,)依次成等差数列?若存在,求所有的b 及相应的4x ;若不存在,说明理由. 例40(数列求和,导数结合)给定函数2 ()2(1) x f x x =- (1)试求函数()f x 的单调减区间; (2)已知各项均为负的数列{}n a 满足,1 4( )1n n S f a ?=求证:1111ln n n n a n a ++-<<-; (3)设1 n n b a =- ,n T 为数列{}n b 的前n 项和,求证:201220111ln 2012T T -<<. ⑥导数与曲线新题型 例41(形数转换)已知函数()ln f x x =, 2 1()2 g x ax bx = +(0)a ≠. (1)若2a =-, 函数()()()h x f x g x =- 在其定义域是增函数,求b 的取值范围; (2)在(1)的结论下,设函数??2x x (x)=e +be ,x ∈[0,ln2],求函数(x)的最小值; (3)设函数)(x f 的图象C 1与函数)(x g 的图象C 2交于点P 、Q,过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ,问是否存在点R,使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行?若存在,求出R 的横坐标;若不存在,请说明理由. 例42(全综合应用)已知函数()1ln (02)2x f x x x =+<<-. (1)是否存在点(,)M a b ,使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数 ()y f x =的图像上?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由; (2)定义21 1 1221()()()()n n i i n S f f f f n n n n -=-= =++???+∑ ,其中*n ∈N ,求2013S ; (3)在(2)的条件下,令12n n S a +=,若不等式2()1n a m n a ?>对* n ?∈N 且2n ≥恒成立,求实数m 的取值 范围. ⑦导数与三角函数综合 例43(换元替代,消除三角)设函数2 ()()f x x x a =--(x ∈R ),其中a ∈R . (Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程; (Ⅱ)当0a ≠时,求函数()f x 的极大值和极小值; (Ⅲ)当3a >, [] 10k ∈-,时,若不等式22 (cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立,求k 的值。 例44(新题型,第7次晚课练习)设函数()cos ,[0,]f x ax x x π=+∈. (1)讨论()f x 的单调性 (2)设()1sin f x x ≤+,求a 的取值范围. ⑧创新问题积累 例45已知函数2()ln 44 x x f x x -=+-. I 、求()f x 的极值. II 、求证()f x 的图象是中心对称图形. III 、设()f x 的定义域为D ,是否存在[],a b D ?.当[],x a b ∈时,()f x 的取值范围是,44 a b ?????? ?若存 在,求实数a 、b 的值;若不存在,说明理由 例46已知函数14)(2 34-+-=ax x x x f 在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减. (1)求a 的值; (2)设1)(2 -=bx x g ,若方程)()(x g x f =的解集恰好有3个元素,求b 的取值范围; (3)在(2)的条件下,是否存在实数对),(n m ,使)()(n x g m x f -+-为偶函数?如存在,求出n m ,如不存在,说明理由. 导数压轴题题型归纳 参考答案 例1 (1)解 f (x )=e x -ln(x +m )?f ′(x )=e x - 1x +m ?f ′(0)=e 0-1 0+m =0?m =1, 定义域为{x |x >-1}, f ′(x )=e x -1 x +m =e x (x +1)-1x +1 , 显然f (x )在(-1,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增. (2)证明 g (x )=e x -ln(x +2), 则g ′(x )=e x -1 x +2 (x >-2). h (x )=g ′(x )=e x -1x +2(x >-2)?h ′(x )=e x +1 (x +2)2>0, 所以h (x )是增函数,h (x )=0至多只有一个实数根, 又g ′(-12)=1e -13 2 <0,g ′(0)=1-1 2>0, 所以h (x )=g ′(x )=0的唯一实根在区间??? ?-1 2,0内, 设g ′(x )=0的根为t ,则有g ′(t )=e t -1t +2=0????-12 , 当x ∈(-2,t )时,g ′(x ) -ln(t +2)=1 t +2+t =(1+t )2t +2 >0, 当m ≤2时,有ln(x +m )≤ln(x +2), 所以f (x )=e x -ln(x +m )≥e x -ln(x +2)=g (x )≥g (x )min >0. 例2(Ⅰ)由已知得(0)2,(0)2,(0)4,(0)4f g f g ''====, 而()f x '=2x b +,()g x '=()x e cx d c ++,∴a =4,b =2,c =2,d =2;……4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,2 ()42f x x x =++,()2(1)x g x e x =+, 设函数()F x =()()kg x f x -=2 2(1)42x ke x x x +---(2x ≥-), ()F x '=2(2)24x ke x x +--=2(2)(1)x x ke +-, 有题设可得(0)F ≥0,即1k ≥, 令()F x '=0得,1x =ln k -,2x =-2,