二次函数
第1课时二次函数
一、阅读教科书第2—3页
二、学习目标：
1．知道二次函数的一般表达式；
2．会利用二次函数的概念分析解题；
3．列二次函数表达式解实际问题．
三、知识点：
一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________．
四、基本知识练习
1．观察：①y＝6x2；②y＝－3
2x
2＋30x；③y＝200x2＋400x
＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的_____________．
2．函数y＝(m－2)x2＋mx－3（m为常数）．
（1）当m__________时，该函数为二次函数；
（2）当m__________时，该函数为一次函数．
3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数．
（1）y＝1－3x2（2）y＝3x2＋2x （3）y＝x (x－5)＋2 （4）y＝3x3＋2x2（5）y＝x＋
1
x
五、课堂训练
1．y＝(m＋1)x m
m 2－3x＋1是二次函数，则m的值为_________________．
2．下列函数中是二次函数的是（）
A．y＝x＋
1
2B．y＝3 (x－1)
2C．y＝(x＋1)2－x2 D．y＝
1
x2－x
3．在一定条件下，若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为
s＝5t2＋2t，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为（）
A．28米B．48米C．68米D．88米
4．n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式
_______________________．
5．已知y与x2成正比例，并且当x＝－1时，y＝－3．求：（1）函数y与x的函数关系式；
（2）当x＝4时，y的值；
（3）当y＝－
1
3时，x的值．
6．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
六、目标检测
1．若函数y＝(a－1)x2＋2x＋a2－1是二次函数，则（）A．a＝1 B．a＝±1 C．a≠1
D．a≠－1
2．下列函数中，是二次函数的是（）
A．y＝x2－1 B．y＝x－1 C．y＝8 x
D．y＝8 x2
3．一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式．
4．已知二次函数y＝－x2＋bx＋3．当x＝2时，y＝3，求这个二次函数解析式．
第2课时二次函数y＝ax2的图象与性质（二课时）
一、阅读课本：P5—10
二、学习目标：
1．知道二次函数的图象是一条抛物线；
2．会画二次函数y＝ax2的图象；
3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．
三、探索新知：
画二次函数y＝x2的图象．
【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；
②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连
线（用平滑曲线）．】
x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝
x2
……
由图象可得二次函数y＝x2的性质：
1．二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2．二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的图象开口__________．
3．自变量x的取值范围是____________．
4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．
5．抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（，）叫做抛物线y＝x2的_________．因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________．
6．抛物线y＝x2有____________点（填“最高”或“最低”）．四、例题分析
例1 在同一直角坐标系中，画出函数y＝
1
2x
2，y＝x2，y＝
2x2的图象．
x …
－
4
－
3
－
2
－
1
0 1 2 3
4
…
y＝
1
2x
2……
y＝x2的图象刚画过，再把它画出来．
x …
－
2
－
1.5
－
1
－
0.5
0 0.5 1 1.5
2
…
y＝
2x2
……
归纳：抛物线y＝1
2x
2，y＝x2，y＝2x2的二次项系数
a_______0；顶点都是__________；对称轴是_________；顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”）．例2 请在例1的直角坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－
1
2x
2，y ＝－2x2的图象．
列表：
x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝
x2
……
x …
－
4
－
3
－
2
－
1
0 1 2 3
4
…
y=－
1
2x
2
……
x …
－
4
－
3
－
2
－
1
0 1 2 3
4
…
y＝
－
2x2
……
归纳：抛物线y＝－x2，y＝－
1
2x
2，y＝－2x2的二次项系数a______0，顶点都是________，对称轴是___________，顶点是抛物线的最________点（填“高”或“低”）．
五、理一理
12的性质
图象（草图）开
口
方
向
顶
点
对
称
轴
有最
高或
最低
点
最值
a＞0 当x＝____时，y有最_______值，是______．
a＜0 当x＝____时，y有最_______值，是______．
2．抛物线y＝x2与y＝－x2关于________对称，因此，抛物线y ＝ax2与y＝－ax2关于_______
对称，开口大小_______________．
3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________；
当a＜0时，｜a｜越大，抛物线的开口越_________；
因此，｜a｜越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜越小，抛物线的开口越________．六、课堂训练
1
开口
方向
顶点对称轴
有最
高或
最低
点
最值y＝
2
3
x2
当x＝____时，y
有最_______值，
是______．y＝－
8x2
2．若二次函数y＝ax2的图象过点（1，－2），则a的值是___________．
3．二次函数y＝(m－1)x2的图象开口向下，则m____________．4．如图，①y＝ax2
②y＝bx2
③y＝cx2
④y＝dx2
比较a、b、c、d的大小，用“＞”连接．
___________________________________
七、目标检测
1．函数y ＝3
7 x 2的图象开口向_______，顶点是__________，对
称轴是________，
当x ＝___________时，有最_________值是_________． 2．二次函数y ＝mx
2
2 m 有最低点，则m ＝___________．
3．二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示，则k 的取值 范围为___________．
4．写出一个过点（1，2）的函数表达式_________________．
第3课时 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质
一、阅读课本：
二、学习目标：
1．会画二次函数y＝ax2＋k的图象；
2．掌握二次函数y＝ax2＋k的性质，并会应用；
3．知道二次函数y＝ax2与y＝的ax2＋k的联系．
三、探索新知：
在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2＋1，y＝x2－1的图象．
解：先列表
x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝x2
＋1
……
y＝x2
－1
……
观察图象得：
1．
开口方
向
顶点
对称
轴
有最高
（低）点
最值
y＝x2
y＝x2
－1
y＝x2
＋1
2．可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向_______平移
______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．
3．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________．
四、理一理知识点
1．
y＝ax2y＝ax2＋k
开口方向
顶点
对称轴
到抛物线_______________；
把抛物线y＝ax2向下平移m（m＞0）个单位，就得到抛物
2．将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________．
3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y＝－
x2的方向相反，形状相同的抛
物线解析式____________________________．
4．抛物线y＝4x2＋1关于x轴对称的抛物线解析式为______________________．
六、目标检测
2．抛物线y＝－1
3x
2－2可由抛物线y＝－
1
3x
2＋3向
___________平移_________个单位得到的．
3．抛物线y＝－x2＋h的顶点坐标为（0，2），则h＝
_______________．
4．抛物线y＝4x2－1与y轴的交点坐标为_____________，与x轴的交点坐标为_________．
第4课时二次函数y＝a(x-h)2的图象与性质
一、阅读课本：
二、学习目标：
1．会画二次函数y＝a（x-h）2的图象；
2．掌握二次函数y ＝a （x -h ）2的性质，并要会灵活应用； 三、探索新知：
画出二次函数y ＝－12 (x ＋1)2，y －1
2 (x －1)2的图象，并考虑
它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性．
先列表：
x …
－4 －3 －2
－1
1
2
3 4 …
y ＝－1
2 (x ＋1)2 …
…
y ＝－1
2 (x －1)2 …
…
描点并画图．
12．请在图上把抛物线y ＝－1
2 x 2也画上去（草图）．
①抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ，y ＝－12 x 2，y ＝－1
2 (x －1)2的形
状大小____________．
②把抛物线y ＝－1
2
x 2向左平移_______个单位，就得到抛物线y
＝－1
2
(x ＋1)2 ；
把抛物线y ＝－1
2 x 2向右平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－
1
2
(x ＋1)2 ． 四、整理知识点
2．对于二次函数的图象，只要｜a ｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同． 五、课堂训练
2．抛物线y ＝4 (x －2)2与y 轴的交点坐标是___________，与x 轴的交点坐标为________．
3．把抛物线y ＝3x 2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．
把抛物线y ＝3x 2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．
4．将抛物线y ＝－1
3 (x －1)x 2向右平移2个单位后，得到的抛
物线解析式为____________．
5．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y ＝－2x 2都相同的二次函数解析式 ___________________________． 六、目标检测
1．抛物线y ＝2 (x ＋3)2的开口______________；顶点坐标为
__________________；对称轴是_________；当x ＞－3时，y______________；当x ＝－3时，y 有_______值是_________．
2．抛物线y ＝m (x ＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是
y ＝－4 (x －4)2，则
m ＝__________，n ＝___________．
3．若将抛物线y ＝2x 2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________．
4．若抛物线y ＝m (x ＋1)2过点（1，－4），则m ＝
_______________．
第5课时 二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质
一、阅读课本：第9页．
二、学习目标：
1．会画二次函数的顶点式y ＝a (x －h)2＋k 的图象； 2．掌握二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质；
3．会应用二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质解题． 三、探索新知：
画出函数y ＝－1
2 (x ＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对
称轴及顶点、最值、增减性．
x …
－4 －3
－2
－1
1
2
…
y ＝－12 (x
＋1)2－1 …
…
由图象归纳：
2．把抛物线y ＝－1
2 x 2向_______平移______个单位，再向
_______平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－1
2
(x ＋1)2－1．
2．抛物线y＝a (x－h)2＋k与y＝ax2形状___________，位置________________．
五、课堂练习
3．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝
1
2x
2相同的解析式为（）
A．y＝
1
2(x－2)
2＋3 B．y＝
1
2(x＋2)
2－3 C．y＝
1
2(x＋2)
2＋3 D．y＝－
1
2(x＋2)
2＋3
4．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值为__________________．
5．将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为
_______________________．
6．若抛物线y＝ax2＋k的顶点在直线y＝－2上，且x＝1时，y＝－3，求a、k的值．
7．若抛物线y＝a (x－1)2＋k上有一点A（3，5），则点A关于对称轴对称点A’的坐标为__________________．
六、目标检测
开口方向顶点对称轴y＝x2＋1
y＝2 (x－3)2
y＝－(x＋5)2
－4
2．抛物线y＝－3 (x＋4)2＋1中，当x＝_______时，y有最________值是________．
3．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，
这一过程可近似地用下列哪幅图表示（）
A B C
D
4．将抛物线y＝2 (x＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为
________________________．
5．一条抛物线的对称轴是x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为
____________________________．（任写一个）
第6课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性
质
一、阅读课本：
二、学习目标：
1．配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴；
2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式；
3．会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象．
三、探索新知：
1．求二次函数y＝1 2x
2－6x＋21的顶点坐标与对称轴．
解：将函数等号右边配方：y＝
1
2x
2－6x＋21
2．画二次函数y＝
1
2x
2－6x＋21的图象．
解：y＝
1
2x
2－6x＋21配成顶点式为
_______________________．
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
y＝
1
2x
2……
－6x＋21
3．用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点与对称轴．
四、理一理知识点：
y＝ax2
y＝ax2
＋k
y＝a(x
－h)2
y＝a(x－
h)2＋k
y＝ax2＋
bx＋c
开口方
向
五、课堂练习
1．用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标．
2．用两种方法求二次函数y＝3x2＋2x的顶点坐标．
3．二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b ＝________，c＝_________．
4．已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当___________时，y随
x的增大而增大；当x＝________时，y有_________值是
___________．
六、目标检测
1．用顶点坐标公式和配方法求二次函数y＝
1
2x
2－2－1的顶点坐标．
2．二次函数y＝－x2＋mx中，当x＝3时，函数值最大，求其最大值．
第7课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质
一、复习知识点：
二、学习目标：
1．懂得求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴、y轴的交点的方法；
2．知道二次函数中a，b，c以及△＝b2－4ac对图象的影响．三、基本知识练习
1．求二次函数y＝x2＋3x－4与y轴的交点坐标为_______________，与x轴的交点坐标____________．2．二次函数y＝x2＋3x－4的顶点坐标为______________，对称轴为______________．
3．一元二次方程x2＋3x－4＝0的根的判别式△＝______________．
4．二次函数y＝x2＋bx过点（1，4），则b＝________________．5．一元二次方程y＝ax2＋bx＋c（a≠0），△＞0时，一元二次方程有_______________，
△＝0时，一元二次方程有___________，△＜0时，一元二次方程_______________．
四、知识点应用
1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点（含y＝0时，则在函数值y＝0时，x的值是抛物
线与x轴交点的横坐标）．
例1 求y＝x2－2x－3与x轴交点坐标．
2．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与y轴交点（含x＝0时，则y
的值是抛物线与y轴交点的纵
坐标）．
例2 求抛物线y＝x2－2x－3与y轴交点坐标．
a、b、c以及△＝b2－4ac对图象的影响．
（1）a决定：开口方向、形状
（2）c决定与y轴的交点为（0，c）
（3）b 与－
b
2a共同决定b的正负性
（4）△＝b2－4ac
?
?
?
?
?
<
=
>
轴没有交点
与
轴有一个交点
与
轴有两个交点
与
x
x
x
例3 如图，由图可得：
a_______0
b_______0
c_______0
△______0
例4 已知二次函数y＝x2＋kx＋9．
①当k为何值时，对称轴为y轴；
②当k为何值时，抛物线与x轴有两个交点；
③当k为何值时，抛物线与x轴只有一个交点．五、课后练习
1．求抛物线y＝2x2－7x－15与x轴交点坐标__________，
与y轴的交点坐标为_______．
2．抛物线y＝4x2－2x＋m的顶点在x轴上，则m＝
__________．
3．如图：由图可得：
a_______0
b_______0
c_______0
△＝b2－4ac______0
六、目标检测
1．求抛物线y＝x2－2x＋1与y轴的交点坐标为
_______________．
2．若抛物线y＝mx2－x＋1与x轴有两个交点，求m的范围．
3．如图：
由图可得：a _________0
b_________0
c_________0
第8课时二次函数y＝ax2＋bx＋c解析式求法△＝b2－4ac_________0
一、阅读课本：
二、学习目标：
1．会用待定系数法求二次函数的解析式；
2．实际问题中求二次函数解析式．
三、课前基本练习
1．已知二次函数y＝x2＋x＋m的图象过点（1，2），则m的值为________________．
2．已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y＝4x2＋bx＋c上的两点，则这条抛物线的对称轴为
_____________________．
3．将抛物线y＝－(x－1)2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的
解析式为____________________．
4．抛物线的形状、开口方向都与抛物线y＝－1
2x
2相同，顶
点在（1，－2），则抛物线的解
析式为________________________________．
四、例题分析
例1 已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．
例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
例3 已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
五、归纳
用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：
1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c．
2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a(x－h)2＋k．3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），
设两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) ．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）
六、实际问题中求二次函数解析式
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在
湘教版二次函数的应用（2） 二次函数与一元二次方程的联系 教学目标： 知识与技能：掌握求二次函数图象与X 轴交点方法； 过程与方法：经历观察图象求二次函数图象与X 轴交点的过程，找出二次函数与一元二次方程的联系； 情感态度与价值观：培养学生观察，拓展的思维能力。 教学重难点： 重点：二次函数图象与X 轴交点方法； 难点：通过二次函数图象估算一元二次方程的值。 教学过程： 复习：建立二次函数要注意的问题。 新知：掷铅球时，铅球在空中经过的路线是抛物线. 已知某运动员掷铅球时，铅球在空中经过的抛物线的解析式为 其中x 是铅球离初始位置的水平距离，y 是铅球离地面的高度，你能求出铅球被扔出多远吗？ 学生交流讨论。 铅球的着地点A 的纵坐标y=0，横坐标x 就是铅球被扔出去的水平距离，由抛物线的解析式①，得 219=++1. 4020 y x x -①2190 = ++1. 4020x x -
即 ： x 2-18x-40=0. 通过十字相乘法解得： x 1=20，x 2=-2(不合题意，舍去). 所以，铅球被扔出去20m 远. 当铅球离地面高度为2m 时，它离初始位置的水平距离是多少(精确到0.01m)？ 因此，我们可以在直角坐标系中画出铅球所经过的路线图. 如图2-14所示. 从上面例子，求铅球被扔出去多远的解题过程中，你看到在求抛物线与x 轴的交点的横坐标时，需要做什么事情？ 需要令y=0，解所得的一元二次方程. 学生思考二次函数与一元二次方程的联系是什么？ 例2 求抛物线y=4x 2+12x+5与x 轴的交点的横坐标. 解 ： 4x 2+12x+5=0， （2x+5）（2x+1）=0 解得： 所以抛物线y=4x 2+12x+5与x 轴的交点的横坐标为21 -或2 5- 。 12 15= = .22 x x --,
【最新整理，下载后即可编辑】 【最新整理，下载后即可编辑】 第1课时 二次函数的概念 一、学习准备 1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。 2．一次函数的关系式为y= (其中k 、b 是常数，且k≠0)；正比例函数的关系式为y ＝ (其中k 是 的常数)；反比例函数的关系式为y= (k 是 的常数)。 二、解读教材——数学知识源于生活 3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子，如果果园橙子的总产量为y 个，那么y= 。 4．如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后,银 行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？ 。 5．能否根据刚才推导出的式子y=-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？ 一般地，形如y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。它 例1 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2 32 1x y +- = (2)112+= x y (3)x y 222 += (4)1t s +=(5)22)3(x x y -+= (6)210r s π= 即时练习(1)2x y = (2)212= x y (3)) 1(+=x x y (4)1132 --=）（x y (5)c ax y -=2 (6)12+=x s 三、挖掘教材 6．对二次函数定义的深刻理解及运用 例2 若函数1232 ++=+-kx x y k k 是二次函数，求k 的值。 分析：x 的最高次数等于2，即k 2-3k+2=2，求出k 的值即可。 解： 即时练习：若函数1)3(232 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数，则k 的值为 。 四、反思小结 1．我们通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。 2．定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。 3．二次函数y=ax2+bx+c(a，b ，c 是常数，a≠0)的几种不同表示形式： (1) y=ax2 (a≠0)； (2) y=ax2+c (a≠0且c≠0)； (3) y=ax2+bx (a≠0且b≠0)。 4．二次函数定义的核心是关键字“二”，即必须满足自变量最高次项的指数为_____，且______项系数不为_____的整式。 第2课时 二次函数y ＝ax 2的图象与性质 一、学习准备 1．正比例函数y=kx(k ≠0)是图像是 。 2．一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是 。 3．反比列函数y=k x (k ≠0)的图像是 。 4．当我们还不了解一种函数图像的形状时，只能用描点法研究，描点法的一般步骤 是： ， ， 。 二、解读教材 2值） （2）根据图像，进行小结：
1.5 二次函数的应用 知|识|目|标 1．通过回顾建立方程模型解决实际问题的基本方法，在探究“动脑筋”的基础上，理解通过建立二次函数模型解决实际问题的方法． 2．根据几何图形及其性质建立二次函数关系，并能解决有关面积的问题． 3．能够利用二次函数的最大(小)值解决实际问题中的最值问题． 目标一理解建立二次函数模型解决实际问题的方法 例1 教材“动脑筋”改编有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为20 m，拱顶距离水面4 m. (1)在如图1－5－1所示的平面直角坐标系中，求出该抛物线的函数表达式； (2)在正常水位的基础上，当水位上升h m时，桥下水面的宽为d m，求d关于h的函数表达式； (3)设正常水位时桥下的水深为2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18 m，求水深超过多少米时，就会影响过往船只在桥下的顺利航行． 图1－5－1 【归纳总结】利用二次函数解决拱桥类问题的“五步骤”： (1)恰当地建立平面直角坐标系； (2)将已知条件转化为点的坐标； (3)合理地设出所求函数表达式； (4)代入已知条件或点的坐标求出函数表达式； (5)利用函数表达式解决问题． 目标二能利用二次函数解决几何图形的面积问题 例2 高频考题如图1－5－2，把一张长15 cm、宽12 cm的矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，再折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．设剪去的小正方形的边长为x cm. (1)请用含x的代数式表示长方体盒子的底面积． (2)当剪去的小正方形的边长为多少时，其底面积是130 cm2? (3)试判断折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值，若有，请求出最大值和此时剪去的小正方形的边长；若没有，请说明理由．
二次函数 第1课时 审核人：雷昌秀 编写人：王利 时间：2014年7月3日 一、自选目标 1．能探索和表示实际问题中的二次函数关系； 2．知道什么是二次函数； 3．能根据实际问题确定自变量的取值范围． 二、自主预习（28-29页） 1.一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 2. 如果不考虑实际问题中的特殊情况，二次函数自变量的取值范围是__________. 3. 下列函数中哪些是二次函数，并指出其中的a ,b ,c 的值？ （1）v=10r 2 (2)s=3-2t 2 （3） y=(x+3)2-x 2 （4） y=(x-1)2-2 4.二次项系数a 为什么不等于0？ 答： 。 5.一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？ 答： . 三、自由探究 例题： 1．函数y ＝(m+2)x 2＋(m －2)x －3（m 为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数． 2．一块长工100m 、宽80m 的矩形草地，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x （m ）的小路， 这时草地面积为y(m 2 )，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围。 四、自我展示 1.谈谈你本节课的收获 2.完成教材29页练习1-2题，41页习题22.1第1-2题，并展示。 五、自我测评 1．观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-⑤31 2+- =x x y ；⑥()2 21y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。 （只填序号） 2.2 (1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________． 3.若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为252s t t =+，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。
二次函数复习导学案 一、课前热身 1、二次函数y=-(x-1)2 +3的图象的顶点坐标是（ ） A 、（-1，3） B 、（1，3） C 、（-1，-3） D 、（1，-3） 2、把二次函数y=x 2 -2x-1配方成顶点式为（ ） A 、y=（x-1）2 B 、y=（x-1）2 -2 C 、y=（x+1）2 +1 D 、y=（x+1）2 -2 3、二次函数y=x 2+bx+c 的图象上有两点（3，-8）和（-5，-8），此抛物线的对称轴是直线（ ） A 、x=4 B 、x=3 C 、x=-5 D 、x=-1 4、已知点A ()1,1y 、B () 2,2y -、C ()3,2y -在函数()2 1 122 - +=x y 上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）。 A 、321y y y >> B 、132y y y >> C 、213y y y >> D 、2y 5、二次函数2 y ax bx c =++的图象如下图, 则方程2 0ax bx c ++=当x 为 时，20ax bx c ++>;当x 为 时，2 0ax bx c ++<6.抛物线y=2x 2+6x+5的对称轴是直线x=________________. 7.将抛物线y=x 2 向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是___________。 典例解析 例题1：二次函数()02 ≠++=a c bx ax y ab 、ac 、c b a +-、ac b 42 -、b a +2中，值大于0的有（ A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 知识梳理1：a 、b 、c 符号的判别： x
2.3 二次函数的应用 目标与方法： 1、通过简单的实例，了解常量与变量的意义，能确定实际问题中的变量与常量； 2、初步掌握函数的概念，能判断两个变量之间的关系是不是函数关系，能分清函数关系中的自变量与函数（因变量）； 3、初步学会用变化的观点及思想去认识世界、解决问题。 重点与难点： 1、确定实际问题中的变量与常量；分清函数关系中的自变量与函数（因变量）； 2、判断两个变量之间的关系是不是函数关系。 教学过程： 一、引入 从甲地到乙地，座在匀速行驶 的列车上，小明、小丽、小亮和小华 谈论着车速、路程和时间，谈论着数 量的变化和位置的变化。你如果是 他们中的一员，请思考下列问题： 1、列车行驶这一过程中，哪些数量在改变，哪些数量没有变？（和小明、小丽、小亮和小华的答案作对比） 2、除了小明、小丽所说的那些不变的数量外，在这个问题中还有不变的数量吗？ 3、除了小亮、小华所说的那些变化的数量外，在这个问题中还有变化的数量吗？ 二、探索新知 在上面的过程中，列车行驶的速度，甲、乙两地的路程都始终保持同一数值；列车行驶的时间，列车与甲、乙两地间的路程不断变化。 ※在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量。 三、灵活应用 【例】(1)匀速直线运动中，速度是常量，时间与路程均为变量；(2)电影院里统计票房收入，对某一个场次和座位类别而言，票价是常量，而售票张数和收入均为变量；(3)某日或连续几日测量某同学的身高，可以近似地看做常量；… 四、函数的引入 1、工作人员将水库的水位变化与水库蓄水量变化情况列成下表： 水位/m 106 120 133 135 … 蓄水/m3 2.30×1077.09×107 1.18×108 1.23×108…
26.1二次函数 §26.1.1《二次函数》导学案 【学习目标】 1. 了解二次函数的有关概念. 2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。 3. 确定实际问题中二次函数的关系式。 【学法指导】 类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。 【学习过程】 【活动一】知识链接（5分钟） 1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。 2. 形如___________ y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数；形如 0)k ≠（的函数是反比例函数。 【活动二】自主交流 探究新知（25分钟） 1.用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。 分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = . 2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________. 3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。 4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？ 。 5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________. 【活动三】课内小结 (学生归纳总结) （3分钟） （1）二次项系数a 为什么不等于0？ 答： 。 （2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？ 答： . 【活动四】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组内互查2分钟.） 1.观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④ 32y x x =-；⑤213y x x =-+；⑥()2 21y x x =+-.这六个式子中二次函 数有 。（只填序号） 2.2 (1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________. 3.二次函数23y x bx =-++.当x ＝2时，y ＝3，则这个二次函数解析式 为 . 【活动五】拓展延伸（独立完成3分钟，班级展示2分钟） 1.二次函数2 ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）. （1）求a 、b 的值； （2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小. 2. 已知二次函数22y x =. （1）当1x =-时，求y 的值； （2）当8y =时，求x 的值. （3）若点C 的坐标为（0,8），过C 作x 轴的平行线，交二次函数的图象于A ，B 两点（A 在B 的左边），求AB 的长，并求出△ABC 的面积S △ABC .
22.1.4二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质（2） 【学习目标】 1.能根据已知条件选择合适的二次函数解析式； 2.会用待定系数法求二次函数的解析式。 【学习过程】 一、知识链接： 已知抛物线的顶点坐标为（-1，2），且经过点（0,4）求该函数的解析式. 解： 二、自主学习 1.一次函数b kx y +=经过点A(-1,2)和点B(2,5),求该一次函数的解析式。 分析：要求出函数解析式，需求出b k ,的值，因为有两个待定系数，所以需要知道两个点的坐标，列出关于b k ,的二元一次方程组即可。 解： 2. 已知一个二次函数的图象过（-1，10）、（1，4）、（2，7）三点，求这个二次函数的解析式。 分析：如何设函数解析式？顶点式还是一般式？答：；所设解析式中有个待定系数，它们分别是，所以一般需要个点的坐标；请你写出完整的解题过程。 解： 三、知识梳理 用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法：设顶点式 ()k h x a y +-=2 和一般式2y ax bx c =++。
1．已知抛物线过三点，通常设函数解析式为； 2．已知抛物线顶点坐标及其余一点，通常设函数解析为。 四、跟踪练习： 1.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－1），求这个二次函数的解析式． 2.已知二次函数m x x y ++=2的图象过点（1，2），则m 的值为________________． 3.一个二次函数的图象过（0，1）、（1,0）、（2，3）三点，求这个二次函数的解析式。 4. 已知双曲线x k y = 与抛物线2y ax bx c =++交于A(2,3)、B(m ,2)、c(－3, n )三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式; (2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C,并求出△ABC 的面积,
2.3二次函数的应用 【知识要点】 运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先用应当求出函数解析式和自变量的取值范围，求得的最大值或最小值对用的字变量的值必须在自变量的取值范围内. 课内同步精练 ●A 组 基础练习 1. 二次函数y=x 2-3x-4的顶点坐标是 , 对称轴是直线 ，与x 轴的交点是 ，当x= 时，y 有最 ，是 . 2. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a 的符号是 ，b 的符号 是 ，c 的符号是 .当x 时， y ＞0，当x 时，y=0, 当x 时，y < 0 . 3. 若二次函数y=mx 2-3x+2m-m 2的图象经过原点，则m 的值是（ ） A .1 B. 0 C. 2 D. 0或2 4. 下列各图中有可能是函数y=ax 2+c,(0,0)a y a c x =≠>的图象是（ ） ●B 组 提高训练 5. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满 足函数关系y=-0.1x 2+2.6x +43（0≤x ≤30）.y 值越大，表示接受能力越强． (l) x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐 步降低？ (2)某同学思考10分钟后提出概念，他的接受能力是多少？ (3)学生思考多少时间后再提出概念，其接受能力最强？ 课外拓展练习 ●A 组 基础练习 1. 抛物线y=ax 2+bx ，当a>0,b<0时，它的图象象经过第 象限 2. 抛物线y=2x 2+4x 与x 轴的交点坐标分别是A( ),B( ). 3. 已知二次函数y=-x 2+mx+2的最大值为94 ，则m= ． 4. 正方形边长为 2 ，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 与二的函数关系式 . 5. 二次函数y=4x 2 -x+1的图象与x 轴的交点个数是（ ） A. l 个 B.2个 C. l 个 D.无法确定
第1课时二次函数的概念 【学习目标:] 1 ?经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描 述变量之间的数量关系； 2?探索并归纳二次函数的定义； 3 ?能够表示简单变量之间的二次函数关系 【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。 【课时类型】概念课 【学习过程】 、学习准备 1 .函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量 x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个 y 值，那么我们 称 ________是_________ 的函数，其中 __________ 是自变量， _________ 是因变量。 2 ?一次函数的关系式为 y= （ 其中k 、b 是常数，且kN ）；正比例函数的关系式为 y = （ 其中 k 是 _________________ 的常数）；反比例函数的关系式为 y= （k 是 ________________________________________ 的常数）。 二、解读教材一一数学知识源于生活 3 ?某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结 600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树， 那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5个橙 如果果园橙子的总产量为 y 个，那么y= _________________________________ 。 4?如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是 x , —年到期后，银行将本金和利息自动按一年定 期储蓄转存。那么你能写岀两年后的本息和 y （元）的表达式（不考虑利息税）吗？ ________________________________________ 5 ?能否根据刚才推导出的式子 y=-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？ 一般地，形如 y = ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数, 理解并熟记几遍。 例1下列函数中，哪些是二次函数？ 即时练习：下列函数中，哪些是二次函数？ 2 1 2 （1） y x （2） y x 2 子。假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子, 1 2 1 (1) y — 3x (2) y 2 2 x ⑶ y 22 2x (4) s 1 t (5) y (x 3)2 x 2 (6) s 10 r ⑷ y 3( x 1)2 1 (5) 2 y ax c (6)
第1课时 26.1 二次函数 一、阅读教科书第4—6页上方 二、学习目标： 1．知道二次函数的一般表达式； 2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题． 三、知识点： 一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 四、基本知识练习 1．观察：①y ＝6x 2；②y ＝－3 2 x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中，虽 然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的_____________． 2．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数． 3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝3x 3＋2x 2 （5）y ＝x ＋1 x 五、课堂训练 1．y ＝(m ＋1)x m m 2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________． 2．下列函数中是二次函数的是（ ） A ．y ＝x ＋1 2 B ． y ＝3 (x －1)2 C ．y ＝(x ＋1)2－x 2 D ．y ＝1 x 2 －x 3．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为 s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ） A ．28米 B ．48米 C ．68米 D ．88米 4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 5．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3． 求：（1）函数y 与x 的函数关系式； （2）当x ＝4时，y 的值； （3）当y ＝－1 3 时，x 的值． 6．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． 六、目标检测
二次函数 课题： 22、二次函数小结与复习 序号： 学习目标： 知识和技能： 1.理解抛物线2ax y =、k ax y +=2、2)(h x a y -=与k h x a y +-=2)（之间的位置关系及性质； 2.能运用二次函数的知识解决简单的实际问题. 2、过程和方法： 1.通过对生活中实际问题的探究,体会数学建模思想. 2.通过观察，思考，交流，进一步提高分析问题、解决问题能力. 3、情感、态度、价值观：继续渗透体会数形结合思想，体会二次函数在实际生活中的应用。 学习重点：用配方法求二次函数的顶点、对称轴，由图象概括二次函数的性质。 学习难点：二次函数图象的平移。 导学方法： 课 时： 导学过程 一、课前预习： 阅读课本小结与复习解决<<导学案>>自主测评内容。 二、课堂导学： 1、情境导入：本节课我们共同小结二次函数这一章。 2、出示任务、自主学习： 1.理解抛物线2ax y =、k ax y +=2、2)(h x a y -=与k h x a y +-=2)（之间的位置关系及性质； 2.能运用二次函数的知识解决简单的实际问题. 3、合作探究： 1、二次函数的一般形式是什么？ 2、二次函数的图像是什么？ 3、二次函数图像的平移步骤和规律是什么？ 4、如何求二次函数的解析式？ 5、二次函数与一 元二次方程的关系是什么？ 6、通过本章的学习体会到那些数学思想方法？ 三、展示与反馈： 例1：根据下列条件，求出二次函数的解析式。 (1)抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 经过点(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点。 (2)抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)。 (3)已知二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象过(3，0)，(2，－3)两点，并且以x ＝1为对称轴。 (4)已知二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象经过一次函数y ＝－3/2x ＋3的图象与x 轴、y 轴的交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式。 例2：如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 过点A(－1，0)，且经过直线y ＝x －3与坐标轴的两个交点B 、C 。 (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标， (3)若点M 在第四象限内的抛物线上，且OM ⊥BC ，垂足为D ，求点M 的坐标。 学习小结： 同组同学相互说说二次函数有哪些性质 归纳二次函数三种解析式的实际应用。
30.1 二次函数 【学习目标】 了解二次函数的有关概念；会确定二次函数关系式中各项的系数；确定实际问题中二次函数的关系式。 【学习重点】二次函数的表达式. 【学习难点】二次函数的判断. 【读书思考】阅读课本第内容，思考:1.什么是二次函数，二次函数在课本上是从形式上定义的，特别要注意二次项系数不为0. 2.根据实际意义如何列出二次函数的表达式. 【学习过程】（类比一次函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。） 一、知识链接: 1、若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。 2、形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数。 二、自主学习： 1、如果改变正方体的棱长x ，那么正方体的表面积y 会随之改变，y 与x 的函数关系式为 。 2、二次函数关系式有哪些共同之处？它们与一次函数关系式有什么不同？ 3、归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 4、思考：二次函数y= ， （1）二次项系数a 为什么不等于 0？ 。
（2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？ 三、典题解析 例１.下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝3x 3＋2x 2 （5）y ＝x ＋1x 例２．已知y=(m －4)x m2-3m-2+2x －３是二次函数，求m 的值 四、巩固练习 1．观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-；⑤ 213y x x =-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。（只填序号） 2.2(1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________． 3.若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为252s t t =+，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。 4.二次函数23y x bx =-++．当x ＝2时，y ＝3，则这个二次函数解析式为 ． 5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
1.5 二次函数的应用 第1课时 利用二次函数解决实物抛物线问题、面积问题 基础题 知识点1 利用二次函数解决实物抛物线问题 1．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y ＝－1 25 x 2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4 m 时，这时水面宽度AB 为(C) A ．－20 m B ．10 m C ．20 m D ．－10 m 2．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3 m ，此时距喷水管的水平距离为1 2 m ，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是(C) A ．y ＝－(x －1 2)2＋3 B ．y ＝－3(x ＋12)2 ＋3 C ．y ＝－12(x －1 2)2＋3 D ．y ＝－12(x ＋1 2 )2＋3 3．某工厂大门是一抛物线水泥建筑物(如图)，大门地面宽AB ＝4 m ，顶部C 离地面高为4.4 m. (1)以AB 所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2)现有一辆载满货物的汽车欲通过大门，货物顶点距地面2.8 m ，装货宽度为2.4 m ，请通过计算，
判断这辆汽车能否顺利通过大门．
解：(1)如图，过AB 的中点作AB 的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点A ，B ，C 的坐标分别为 A(－2，0)，B(2，0)，C(0，4.4)． 设抛物线的表达式为y ＝a(x －2)(x ＋2)． 将点C(0，4.4)代入得 a(0－2)(0＋2)＝4.4，解得a ＝－1.1， ∴y＝－1.1(x －2)(x ＋2)＝－1.1x 2＋4.4. 故此抛物线的表达式为y ＝－1.1x 2＋4.4. (2)∵货物顶点距地面2.8 m ，装货宽度为2.4， ∴只要判断点(－1.2，2.8)或点(1.2，2.8)与抛物线的位置关系即可． 将x ＝1.2代入抛物线，得 y ＝2.816＞2.8， ∴点(－1.2，2.8)和点(1.2，2.8)都在抛物线内． ∴这辆汽车能够通过大门． 知识点2 利用二次函数解决面积问题 4．(教材P32习题T2变式)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是(C) A ．60 m 2 B ．63 m 2 C ．64 m 2 D ．66 m 2 5．某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m ，则池底的最大面积是(B) A ．600 m 2 B ．625 m 2 C ．650 m 2 D ．675 m 2 6．(教材P31练习T2变式)将一根长为20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是252 cm 2.
二次函数 第1课时二次函数 一、阅读教科书第2—3页 二、学习目标： 1．知道二次函数的一般表达式； 2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题． 三、知识点： 一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________． 四、基本知识练习 1．观察：①y＝6x2；②y＝－3 2x 2＋30x；③y＝200x2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的_____________． 2．函数y＝(m－2)x2＋mx－3（m为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数． 3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y＝1－3x2（2）y＝3x2＋2x （3）y＝x (x－5)＋2 （4）y＝3x3＋2x2（5）y＝x＋ 1 x 五、课堂训练 1．y＝(m＋1)x m m 2－3x＋1是二次函数，则m的值为_________________． 2．下列函数中是二次函数的是（） A．y＝x＋ 1 2B．y＝3 (x－1) 2C．y＝(x＋1)2－x2 D．y＝ 1 x2－x 3．在一定条件下，若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为 s＝5t2＋2t，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为（） A．28米B．48米C．68米D．88米 4．n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式 _______________________． 5．已知y与x2成正比例，并且当x＝－1时，y＝－3．求：（1）函数y与x的函数关系式； （2）当x＝4时，y的值； （3）当y＝－ 1 3时，x的值．
第1课时 二次函数的概念 【学习目标】 1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；2．探索并归纳二次函数的定义；3．能够表示简单变量之间的二次函数关系。 【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。 【课时类型】概念课 【学习过程】 一、学习准备 1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。 2．一次函数的关系式为y= (其中k 、b 是常数，且k≠0)；正比例函数的关系式为y ＝ (其中k 是 的常数)；反比例函数的关系式为y= (k 是 的常数)。 二、解读教材——数学知识源于生活 3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子，如果果园橙子的总产量为y 个，那么y= 。 4．如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？ 。 5．能否根据刚才推导出的式子y=-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？ 一般地，形如y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几遍。 例1 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2321x y +-= (2)112+=x y (3) x y 222+= (4)251t t s ++= (5)22)3(x x y -+= (6)210r s π= 即时练习：下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y = (2)252132+-=x x y (4) 1132--=）（x y (5)c ax y -=2 三、挖掘教材 6．对二次函数定义的深刻理解及运用
第二十二章二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 活动1知识准备 1.y＝3x－1是函数；y＝1 2x既是一次函数，又是函数. 2.对于函数y＝（m＋1）x m2－2，当m＝时，该函数是正比例函数. 活动2教材导学 二次函数的概念 （1）正方形的边长是x cm，面积是y cm2，则y关于x的函数关系式是 .因为x2是二次项，所以它（填“是”或“不是”）一次函数. （2）用一根长800 cm的木条做一个长方形的窗框，若其中一边长为x cm，则它的面积y cm2与x cm之间的函数关系式为，要使自变量x有现实意义，它的取值范围是. （3）以上两个函数有什么共同特点？ ?知识点一二次函数的定义 一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数.其中，x 是自变量， a，b，c分别是函数解析式的, 和. ?知识点二用二次函数表示变量之间的关系 在一般情况下，二次函数自变量的取值范围是. 在实际问题中，自变量的取值要使有意义. 探究问题一二次函数的判别 例1下列函数中，哪些是关于x的二次函数？ （1）y＝9x2－x；（2）y＝－1 3x 2；（3）y＝4－x＋x3；（4）y＝1 x2＋x 2； （5）y＝（x－1）2－（x＋1）（x－2）；（6）y＝ax2＋4x＋1. [归纳总结] 判断一个函数是否是二次函数，首先要把它化为，然后再判断含有自变量的代数式是否同时满足以下三个条件：（1）；（2）；（3）是自变量的二次式. 探究问题二用二次函数表示变量之间的关系 例2[教材问题1变式题]暑假期间，九（8）班n名同学约定每两个同学之间通电话一次. （1）写出互通电话的次数m与n之间的函数解析式，并指出m是n的什么函数； （2）当n＝10时，互通电话的次数是多少？
第2课时 二次函数与利润问题及几何问题 1．掌握如何将实际问题转化为数学问题，进一步理解二次函数在解决实际问题中的应用；(重点、难点) 2．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题及图形中最大面积问题. 一、情境导入 如图所示，要用长20m 的铁栏杆，围成一个一面靠墙的长方形花圃，怎么围才能使围成的花圃的面积最大？ 如果花圃垂直于墙的一边长为x m ，花圃的面积为y m 2，那么y ＝x (20－2x )．试问：x 为何值时，才能使y 的值最大？ 二、合作探究 探究点一：最大利润问题 某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y 1(元)与销售时间第x 月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y 2(元)与销售时间第x 月满足函数关系式y 2＝mx 2－8mx ＋n ，其变化趋势如图②所示． (1)求y 2的解析式； (2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)由题意可得，函数y 2的图象经过(3，6)，(7，7)两点，∴? ????9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得???m ＝18，n ＝638.∴y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12，x 取整数)；
(2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过(4，11)，(8，10)两点，∴?????4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得?????k ＝－14，b ＝12.∴y 1的解析式为y 1＝－14 x ＋12(1≤x ≤12，x 取整数)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2＋214 (1≤x ≤12，x 取整数)，∴当x ＝3时，w 取最大值214 ，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214 元/千克． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 探究点二：几何面积问题 用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x 米，面积为y 平方米． (1)求y 关于x 的函数关系式； (2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？ (3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由． 解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再根据矩形的面积公式列出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出y 的最大值，与70比较大小，即可作出判断． 解：(1)y ＝x (16－x )＝－x 2＋16x (0＜x ＜16)； (2)当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60，解得x 1＝10，x 2＝6.所以当x ＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米； (3)方法一：当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，整理得x 2－16x ＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场；方法二：y ＝－x 2＋16x ＝－(x －8)2＋64，当x ＝8时，y 有最大值64，即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米，所以不能围成70平方米的养鸡场． 方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程，再利用函数和方程的思想进行解答． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 三、板书设计
第13课时二次函数综合应用 一、复习二次函数的基本性质 二、学习目标： 灵活运用二次函数的性质解决综合性的问题． 三、课前训练 1．二次函数y＝kx2＋2x＋1（k＜0）的图象可能是（） 2．如图： （1）当x为何范围时，y1＞y2? （2）当x为何范围时，y1＝y2? （3）当x为何范围时，y1＜y2? 3．如图，是二次函数y＝ax2－x＋a2－1的 图象，则a＝____________．
4．若A （－134 ，y 1），B （－1，y 2），C （53 ，y 3）为二次函数y ＝－x 2－4x ＋5图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 3＜y 2＜y 1 C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 2＜y 1＜y 3 5．抛物线y ＝(x －2) (x ＋5)与坐标轴的交点分别为A 、B 、C ，则△ABC 的面积为__________． 6．如图，已知在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在x 轴上，点A 在原点， AB ＝3，AD ＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x 轴正方向做匀速运动，同时点P 从A 点出发以每秒1个单位长度沿A →B →C →D 的路线做匀速运动．当点P 运动到点D 时停止运动，矩形ABCD 也随之停止运动． （1）求点P 从点A 运动到点D 所需的时间． （2）设点P 运动时间为t （秒） ①当t ＝5时，求出点P 的坐标． ②若△OAP 的面积为S ，试求出S 与 t 之间的函数关系式（并写出相应 的自变量t 的取值范围）． 五、目标检测 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过A （－1，0），B （3，0）两交点，且交y 轴于 点C ． （1）求b 、c 的值； （2）过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D ，点M 为此抛物线的顶点，试确定△MCD 的形状．