第24章《解直角三角形》检测题
一、选择题：（本大题共8小题，每题3分，共24分）在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．如图，△ABC顶点都是正方形网格中格点，则cos∠ABC等于（）
A. B. C. D.
2．已知，△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinA＝（）
A. B. C. D. 2
3．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O距离（）
A. 不变
B. 变小
C. 变大
D. 无法判断
4．点（﹣sin60°，cos60°）关于y轴对称点坐标是（）
A. （，）
B. （﹣，）
C. （﹣，﹣）
D. （﹣，﹣）5．如图，将一个Rt△ABC形状楔子从木桩底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm（如箭头所示），则木桩上升了（）
A. 6sin15°cm
B. 6cos15°cm
C. 6tan15°cm
D. cm
6．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
7．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业渔船在南偏西15°方向A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C北偏东60°方向上，则B、C之间距离为（）
A. 20海里
B. 10海里
C. 20海里
D. 30海里
8．如图，∠MON＝90°，边长为2等边三角形ABC顶点A、B分别在边OM，ON上当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形形状保持不变，运动过程中，点C到点O 最大距离为（）
A. 2.4
B.
C.
D.
二、填空题：（本大题共8小题，每题3分，共24分）
9.若a为锐角，且sina＝，则tana为．
10.若α是锐角，且sinα＝1﹣2m，则m取值范围是．
11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝6，cosA＝，那么AC＝．
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上中线，若BC＝6，AC＝8，则tan∠ACD 值为．
13.将sin37°、cos44°、sin41°、cos46°值按从小到大顺序排列是．
14．在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2＝0，那么∠C＝．15.如图是一把剪刀局部示意图，刀片内沿在AB、CD上，EF是刀片外沿．AB、CD相交于点N，EF、CD相交于点M，刀片宽MH＝1.5cm．小丽在使用这把剪刀时，∠ANC不超过30°．若想一刀剪断4cm宽纸带，则刀身AH长至少为cm．（结果精确到0.1cm，参
考数据：≈1.41，≈1.73）
16.如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，DE是AC垂直平分线，线段DE＝1cm，则BD长为．
三、解答题：（本大题共8个题，共72分）
17. （每小题5分，共10分）计算（1）2cos30°+tan60°﹣2tan45°•tan60°；
（2）．
18．（6分）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sinC值．
19.(8分)在一次数学活动课上，数学老师在同一平面内将一副直角三角板如图位置摆放，点C在FD延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD长．
20.（8分）如图，AB、CD交与点O，且BD＝BO，CA＝CO，E、F、M分别是OD、OA、BC 中点．求证：ME＝MF．
21．（8分）如图，小明从点A处出发，沿着坡角为α斜坡向上走了0.65千米到达点B，sinα
＝，然后又沿着坡度为i＝1：4斜坡向上走了1千米达到点C．问小明从A点到点C上升高度CD是多少千米（结果保留根号）？
22.（10分）如图，一台起重机，他机身高AC为21m，吊杆AB长为40m，吊杆与水平线夹角∠BAD可从30°升到80°．求这台起重机工作时，吊杆端点B离地面CE最大高度和离机身AC 最大水平距离（结果精确到0.1m）（参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan33°≈5.67）．
23.（10分）如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机欲测量一岛屿两端A、B距离，飞机在距海平面垂直高度为100米点C处测得端点A俯角为60°，然后沿着平行于AB方向水平飞行了500米，在点D测得端点B俯角为45°，求岛屿两端A、B距离（结果保留根号）．
24.（12分）问题情景：学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角大小与两条边长比值相互唯一确定，因此边长与角大小之间可以相互转化．
类似，可以在等腰三角形中建立边角之间联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰比叫做顶角正
对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A正对记作sadA，这时sad A＝．容易知道一个角大小与这个角正对值也是相互唯一确定．
根据上述对角正对定义，解下列问题：
自主探究：（1）sad60°值为（）A．B．1 C．D．2
（2）对于0°＜A＜180°，∠A正对值sadA取值范围是．
合作交流：（3）已知sinα＝，其中α为锐角，试求sadα值．
参考答案
一选择题
1.B．解：由格点可得∠ABC所在直角三角形两条直角边为2，4，
∴斜边为＝2．
∴cos∠ABC＝＝．
2.C．解：∵sin2A+cos2A＝1，即sin2A+（）2＝1，
∴sin2A＝，
∴sinA＝或﹣（舍去），
3.A．解：不变．连接OP，
在Rt△AOB中，OP是斜边AB上中线，
那么OP＝AB，
由于木棍长度不变，
所以不管木棍如何滑动，OP都是一个定值．
4.A．解：∵sin60°＝，cos60°＝，
∴（﹣sin60°，cos60°）＝（﹣，），
关于y轴对称点坐标是（，）．
5.C．解：∵tan15°＝．
∴木桩上升了6tan15°cm．
6.C．解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，cos60°＝＝，OP＝12，
∴OD＝6，
∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，
∴MD＝ND＝MN＝1，
∴OM＝OD﹣MD＝6﹣1＝5．
7.C．解：如图，∵∠ABE＝15°，∠DAB＝∠ABE，
∴∠DAB＝15°，
∴∠CAB＝∠CAD+∠DAB＝90°．
又∵∠FCB＝60°，∠CBE＝∠FCB，∠CBA+∠ABE＝∠CBE，∴∠CBA＝45°．
∴在直角△ABC中，sin∠ABC＝＝＝，
∴BC＝20海里．
8.C．解：如图，取AB中点D，连接CD．
∵△ABC是等边三角形，且边长是2，∴BC＝AB＝1，
∵点D是AB边中点，
∴BD＝AB＝1，
∴CD＝＝＝，即CD＝；
连接OD，OC，有OC≤OD+DC，
当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，
由（1）得，CD＝，
又∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB中点，
∴OD＝＝1，
∴OD+CD＝1+，即OC最大值为1+．
二、填空题
9.答案：．解：根据题意，∠a是锐角，且sinα＝，
则cosα＝＝，
则tana＝＝．
故tana为．
10.0＜m＜．解：∵α是锐角，
∴0＜sinα＜1．
∴0＜1﹣2m＜1，
解得0＜m＜．
11.4．解：如图所示，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosA＝，
∴cosA＝＝，
则AC＝AB＝×6＝4，
12.．解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上中线，
∴AD＝CD，
∴∠A ＝∠ACD ，
∴tan ∠ACD ＝tan ∠A ＝
＝＝．
13.sin37°＜sin41°＜cos46°＜cos44°．解：∵cos44°＝sin （90°﹣44°）＝sin46°、cos46°＝sin （90°﹣46°）＝sin44°，
∴根据当角是锐角时，正弦值随角度增大而增大得出sin37°＜sin41°＜cos46°＜cos44°，
14.75°．解：∵△ABC 中，|tanA ﹣1|+（cosB ﹣）2＝0
∴tanA ＝1，cosB ＝ ∴∠A ＝45°，∠B ＝60°， ∴∠C ＝75°．
15.6.6．解：在直角△MNH 中，∠MNH ＝∠ANC ＝30°，
则HN ＝
＝
＝1.5
（cm ），
则AH ＝HN+4＝1.5
+4≈6.6（cm ）．
16.4cm ．解：连接AD ，∵等腰△ABC ，∠BAC ＝120°， ∴∠B ＝∠C ＝30°， ∵DE 是AC 垂直平分线， ∴AD ＝CD ，
∴∠CAD ＝∠C ＝30°，
∴∠BAD ＝∠BAC ﹣∠CAD ＝120°﹣30°＝90°， 在Rt △CDE 中，CD ＝2DE ， 在Rt △ABD 中，BD ＝2AD ， ∴BD ＝4DE ， ∵DE ＝1cm ， ∴BD 长为4cm ．
三、解答题
17.答案：(1)0；(2) 3+2
．
解：（1）原式＝2cos30°+tan60°﹣2tan45°•tan60°＝2×+﹣2×＝0；
（2）原式＝＝＝＝3+2．
18.答案：．
解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD＝＝，
∴BD＝AD•tan∠BAD＝12×＝9，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5，
∴AC＝＝＝13，
∴sinC＝＝．
19.答案：15﹣5．
解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝AC tan60°＝10，
∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°．
∴BM＝BC•sin30°＝10×＝5，
CM＝BC•cos30°＝10×＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5．
20.答案：（见证明）
证明：连接BE、CF，
∵BD＝BO，E为DO中点，
∴BE⊥DO，
同理CF⊥AO，
∴△BEC为直角三角形，且M为BC中点，
∴ME＝BC，同理MF＝BC，
∴ME＝MF．
21.答案：（+）km．
解：如图所示：过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CD⊥AD于点D，由题意得：AB＝0.65千米，BC＝1千米，
∴sinα＝＝＝，
∴BF＝0.65×＝0.25（km），
∵斜坡BC坡度为：1：4，
∴CE：BE＝1：4，
设CE＝x，则BE＝4x，
由勾股定理得：x2+（4x）2＝12
解得：x＝，
∴CD＝CE+DE＝BF+CE＝+，
答：点C相对于起点A升高了（+）km．
22.答案：60.2 m，34.6m．
解：如图，当∠BAD＝30°时，吊杆端点B离机身AC水平距离最大；当∠B′AD＝80°时，吊杆端点B′离地面CE高度最大．
作BF⊥AD于F，B′G⊥CE于G，交AD于F′．
在Rt△BAF中，∵cos∠BAF＝，
∴AF＝AB•cos∠BAF＝40×cos30°≈34.6（m）．
在Rt△B′AF′中，sin∠B′AF′＝，
∴B′F′＝AB’•sin∠B′AF′＝40×sin80°≈39.2（m）．
∴B′G＝B′F′+F′G＝60.2（m）．
答：吊杆端点B离地面CE最大高度为60.2 m，离机身AC最大水平距离为34.6m．
23.答案：（600﹣）米．
解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFB＝∠ABF＝90°，
∴四边形ABFE为矩形．
∴AB＝EF，AE＝BF．
由题意可知：AE＝BF＝100米，CD＝500米．
在Rt△AEC中，∠C＝60°，AE＝100米．
∴CE＝＝＝（米）．
在Rt△BFD中，∠BDF＝45°，BF＝100米．
∴DF＝＝＝100（米）．
∴AB＝EF＝CD+DF﹣CE＝500+100﹣＝600﹣（米）．
答：岛屿两端A、B距离为（600﹣）米．
24.答案：（1）B；（2）0＜sadA＜2；（3）．
解：（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，
则sad60°＝＝1．
（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形底接近于腰二倍，故sadα接近2．于是sadA取值范围是0＜sadA＜2．
（3）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin∠A＝．
在AB上取点D，使AD＝AC，
作DH⊥AC，H为垂足，令BC＝3k，AB＝5k，
则AD＝AC＝＝4k，
又∵在△ADH中，∠AHD＝90°，sin∠A＝．
∴DH＝ADsin∠A＝k，AH＝＝k．
则在△CDH中，CH＝AC﹣AH＝k，CD＝＝k．
于是在△ACD中，AD＝AC＝4k，CD＝k．
由正对定义可得：sadA＝＝，即sadα＝．
数学九年级上册第24章解直角三角形 24.1 测量同步练习题 1．如图，一场暴风雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝2米，则树高为( ) A. 5 米 B. 3 米 C．(5＋1)米 D．3米 2. 如图，李光用长为 3.2m的竹竿DE为测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿顶端、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距(AE)8m，与旗杆相距(BE)22 m，则旗杆的高为() A．12 m B．10 m C．8 m D．7 m 3. 身高为1.5米的小华在打高尔夫球，她在阳光下的影长为2.1米，此时她身后一棵树的影长为10.5米，则这棵树高为() A．7.5米B．8米 C．14.7米 D．15.75米 4. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度为()
A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 5. 如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行______米． 6. 如图，B，C是河岸上两点，A是对岸岸边上一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米． 7. 如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2 m，长臂长为8 m，当短臂端点下降0.6 m时，长臂端点升高______m .(杆的粗细忽略不计) 8. 如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7米的亮区，已知亮区一边到窗口下的墙脚距离EC＝8.7 米，窗口高AB＝1.8米，那么窗口底边离地面的高BC＝ ________米． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝_______．
第24章《解直角三角形》检测题 一、选择题：（本大题共8小题，每题3分，共24分）在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．如图，△ABC顶点都是正方形网格中格点，则cos∠ABC等于（） A. B. C. D. 2．已知，△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinA＝（） A. B. C. D. 2 3．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O距离（） A. 不变 B. 变小 C. 变大 D. 无法判断 4．点（﹣sin60°，cos60°）关于y轴对称点坐标是（） A. （，） B. （﹣，） C. （﹣，﹣） D. （﹣，﹣）5．如图，将一个Rt△ABC形状楔子从木桩底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm（如箭头所示），则木桩上升了（） A. 6sin15°cm B. 6cos15°cm C. 6tan15°cm D. cm
6．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业渔船在南偏西15°方向A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C北偏东60°方向上，则B、C之间距离为（） A. 20海里 B. 10海里 C. 20海里 D. 30海里 8．如图，∠MON＝90°，边长为2等边三角形ABC顶点A、B分别在边OM，ON上当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形形状保持不变，运动过程中，点C到点O 最大距离为（） A. 2.4 B. C. D. 二、填空题：（本大题共8小题，每题3分，共24分） 9.若a为锐角，且sina＝，则tana为． 10.若α是锐角，且sinα＝1﹣2m，则m取值范围是． 11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝6，cosA＝，那么AC＝．
第24章知识升华 一、知识脉络： 二、典例分析： 例1 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，CD ⊥AB 于点D ，求∠BCD 的四个三角函数值． 【分析】求∠BCD 的四个三角函数值，关键要弄清其定义，由于∠BCD 是在Rt △BCD 中的一个内角，根据定义，仅一边BC 是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD 和CD ，二是把∠BCD 转化成∠A ，显然走第二条路较方便，因为在Rt △ABC 中，三边均可得出，利用三角函数定义即可求出答案． 【解】 在Rt △ABC 中，∵ ∠ACB ＝90°∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°，∵CD ⊥AB ，∴∠ACD ＋∠A ＝90°，∴∠BCD ＝∠A ．在Rt △ABC 中，由勾股定理得，AB ＝22AC BC ＝10，∴sin ∠ BCD =sinA =BC AB =45 ，cos ∠BCD =cosA =AC AB =3 5 ， tan ∠BCD =tanA =BC AC =43 ，cot ∠BCD =cotA =AC BC =3 4 ． 【说明】本题主要是要学生了解三角函数定义，把握其本质，应强调转化的思想，即本题中角的转换． 例2 如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离
电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪离AB为1.5米，求拉线CE的长．（结果保留根号） 【分析】求CE的长，此时就要借助于另一个直角三角形，故过点A作AG⊥CD，垂足为G，在Rt△ACG中，可求出CG，从而求得CD，在Rt△CED中，即可求出CE的长． 【解】过点A作AG⊥CD，垂足为点G，在Rt△ACG中，∵∠CAG＝30°，BD＝6，∴tan30° =CG AG ，∴CG=6× 3 3 =2 3 ，∴CD=2 3 +1.5，在Rt△CED中，sin60°= CD EC ，∴EC= CD sin60°= 23+1.5 3 =4+ 3 ． 答：拉线CE的长为4+ 3 米． 【说明】在直角三角形的实际应用中，利用两个直角三角形的公共边或边长之间的关系，往往是解决这类问题的关键，在复习过程中应加以引导和总结． 例3 如图，某县为了加固长90米，高5米，坝顶宽为4米的迎水坡和背水坡，它们是坡度均为1∶0.5，橫断面是梯形的防洪大坝，现要使大坝顺势加高1米，求⑴坡角的度数；⑵完成该大坝的加固工作需要多少立方米的土？ 【分析】大坝需要的土方＝橫断面面积×坝长；所以问题就转化为求梯形ADNM的面积，在此问题中，主要抓住坡度不变，即MA与AB的坡度均为1∶0.5． 【解】⑴∵i=tanB，即tanB= 1 0.5 =2，∴∠B=63.43°． ⑵过点M、N分别作ME⊥AD，NF⊥AD，垂足分别为E、F．由题意可知：ME＝NF＝5，∴ ME AE ＝1 0.5 ，∴AE＝DF＝2.5，∵AD=4，∴MN=EF=1.5，∴S梯形ADNM＝ 1 2 (1.5+4)×1＝2.75．∴需要土方为2.75×90=247.5 (m3) ．
九年级数学上册《第二十四章 解直角三角形》单元测试卷及答案-华东师大版 班级 姓名 学号 一、选择题 1．如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度.已知标杆BE 高1.2m ，AB ：AC=1：9，则建筑物CD 的高是 （ ） A ．9.6m B ．10.8m C ．12m D ．14m 2．如图，在矩形ABCD 中，已知AE BD ⊥于E ，∠BDC=60°，BE=1，则AB 的长为（ ） A ．3 B ．2 C ．3 D 3 3．已知3 3 tanA = ，A ∠是锐角，则A ∠的度数为（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒ 4．用计算器求 sin 2437︒' 的值，以下按键顺序正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒和1 3 cosA = ，则tanB 的值为（ ）
A ．2 B ．3 C 32 D 2 6．如图，利用标杆B E 测量建筑物的高度，已知标杆BE 高2m ，测得3m 6m AB BC ==，.则建筑 物CD 的高是（ ） A ．4m B ．9m C ．8m D ．6m 7．边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（ ）. A ．90° B ．150° C ．135° D ．120° 8．如图，在Rt ABC 中，∠BAC=90°，若AB=6，AC=8，点D 是AC 上一点，且 1 3 CD AD =，则sin DBC ∠的值为（ ）. A ． 25 B ． 210 C ． 26 D ． 15 9．如图，某超市电梯的截面图中，AB 的长为15米，AB 与AC 的夹角为α，则高BC 是（ ） A ．15αsin 米 B ．15αcos 米 C ． 15 α sin 米 D ． 15 α cos 米 10．如图，在一笔直的沿湖道路l 上有A 、B 两个游船码头，观光岛屿C 在码头A 北偏东60︒的方 向，在码头B 北偏西45︒的方向4km AC =游客小张准备从观光岛屿C 乘船沿CA 回到码头A 或沿 CB 回到码头B ，设开往码头A 、B 的游船速度分别为1v 、2v ，若回到A 、B 所用时间相等，则 12v v =：（ ）
华东师大版九上数学24章《解直角三角形》单元测试题（含 答案） 解直角三角形测试题 一. 选择题：（每小题2分，共20分） 1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（） A.43 B. 34 C. 53 D. 35 2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（） A. 2 1 B. 33 C. 1 D. 3 3. 在△ABC 中，若22cos =A ，3tan =B ，则这个三角形一定是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误的是（） A.EG EF G =sin B. EF EH G =sin C. FG GH G =sin D. FG FH G =sin 5. sin65°与cos26°之间的关系为（） A. sin65°
米2 A. 150 B.375 C. 9 D. 7 9. 如图19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i= 2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（） A. 7米 B. 9米 C. 12米 D. 15米 10. 如图20，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（） A. αsin 1 B. α cos 1 C. αsin D. 1 二. 填空题：（每小题2分，共10分） 11. 已知0°<α<90°，当α=__________时，21sin = α，当α =__________时，Cota=3. 12. 若，则锐角α=__________。 13. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，5 3sin =A ，36=++c b a ，则a=__________，b=__________，c=__________，cotA=__________。 14. 若一个等腰三角形的两边长分别为2cm 和6cm ，则底边上的高为__________cm ，底角的余弦值为__________。 15. 酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯宽2米，其侧面如图21所示，则购买地毯至少需要__________元。 三. 解答题：（16、17每小题5分，其余每小题6分共70分） 16. 计算)30cos 30cot 1)(60sin 60tan 1( +--+
华师大版九年级上册数学第24章解直 角三角形含答案 一、单选题(共15题，共计45分) 1、已知△ABC的边长分别为a，b，c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（） A.2a B.﹣2 C.2a+3 D.2b﹣2c 2、小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（） A.45米 B.40米 C.90米 D.80米 3、已知，则锐角A的度数是（） A.30° B.45° C.60° D.75° 4、已知等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为9cm，则它的周长为（） A.13cm B.17cm C.22cm D.17cm或22cm 5、平行四边形的一条边长是10cm，那么它的两条对角线的长可能是（） A.6cm和8cm B.10cm和20cm C.8cm和12cm D.12cm和32cm 6、据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”译文如下：如图，今有山位于树的西面.山高为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺.人站在离树3里的地方，观察到树梢C恰好与山峰A处在同
一条直线上，人眼离地7尺.则山高的长为（结果保留到整数，1丈=10尺）( ) A.162丈 B.163丈 C.164丈 D.165丈 7、如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（） A.7，24，25 B.3²，4²，5² C.6，8，10 D. 8、将一副直角三角板如图放置，使两直角重合的度数为（） A. B. C. D. 9、在△ABC中，BC＝a，AB＝c，CA＝b．且a，b，c满足：a2﹣6a＝﹣9，b2﹣8b＝﹣16，c2﹣10c＝﹣25．则2sinA+sinB＝（） A.1 B. C.2 D.
24.4 解直角三角形 ◆随堂检测 1、如图，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC=75°，BC边上的高AD=3，则BC=______． 1题图 2题图 3题图 2、如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC∥OP交OA于点C．若∠AOB=60°，OC=4，则点P到OA的距离PD等于________． 3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，sinB=2 3 ，那么AB的长是（） A．4 B．9 C．35 D．25 4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=6，AB=9，则AD的长是（）A．6 B．5 C．4 D．3 4题图 5题图 5、如图，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高24m，斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度i=1：2，则坝底AD的长为（） A．42m B．（3m C．78m D．（3）m ◆典例分析 如图，甲、乙两幢高楼的水平距离BD为90米，从甲楼顶部C点测得乙楼顶部A点的仰角α为30°，测得乙楼底部B点的仰角β为60°，求甲，乙两幢高楼各有多高？（计算过程和结果不取近似值） 解：作CE⊥AB于点E． ∵CE∥DB，CD∥AB，且∠CDB=90°，
∴四边形BECD是矩形，∴CD=BE，CE=BD．在Rt△BCE中，β=60°，CE=BD=90米． ∵tan=BE CE ， ∴BE=CE·tanβ=90×tan60°=903（米）．∴CD=DE=903（米）． 在Rt△ACE中，α=30°，CE=90米， ∵tanα=AE CE ， ∴AE=CE·tanα=90×tna30°=90× 3 3 =303（米）． ∴AB=AE+BE=303+903=1203（米）． 答：甲楼高为903米，乙楼高为1203米. 点评：解直角三角形得应用是中考命题的热点之一，问题解决的关键是构造直角三角形模型，利用解直角三角形的知识建立未知的边、角与已知的边、角之间的关系. ◆课下作业 ●拓展提高 1、已知等腰梯形两底的差为3，腰长为1，则这个梯形的一个锐角为______°． 2、在菱形ABCD中，AE⊥BC于E点，CE=2，sinB= 5 13 ，求菱形ABCD的面积． 3、在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=5，DA=32，∠DAB=45°，∠ABC=60°，求梯形的面积． 4、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB=42，AD=5，∠B=45°，∠C=30°，求梯形ABCD 的面积．
第24章解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-华师大版(含答案) 一、单选题(共15题，共计45分) 1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，则下列结论正确的是（） A.AE＝3CE B.AE＝2CE C.AE＝BD D.BC＝2CE 2、如图，线段是⊙的直径，弦，垂足为，点是上任意一点，,则的值为（） A. B. C. D. 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=2AC，则sinA 的值是（） A. B. C. D. 4、如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为（）
A. B. C. D. 5、已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为（） A.45° B.75° C.45°或15°或75° D.60° 6、以下列各组线段为边，能组成三角形的是（） A.4cm，5cm，6cm B.8cm，2cm，5cm C.12cm，5cm， 6cm D.3cm，6cm，3cm 7、如图，，是角平分线上一点，，垂足为，点是的中点，且，如果点是射线上一个动点，则的最小值是（） A.1 B. C.2 D. 8、如图，已知∠ACB=60°，PC=12，点M，N在边CB上，PM=PN．若MN=3，则CM的长为（）
A.3 B. C.4 D. 9、定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角的正对记作，即底边:腰.如图，在中，，.则 （） A. B. C.1 D.2 10、等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，则此三角形的周长是（） A.25cm B.20cm C.15cm D.20cm或25cm 11、如图，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且OM:OP=4:5，则cosα的值等于( ) A. B. C. D. 12、已知：如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，则下列等式成立的是（） A. B. C. D. 13、如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）
华师大新版数学九年级上学期《24.2直角三角形的性质》同步练 习 一．选择题（共12小题） 1．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分 线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠ BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③∠EBC=∠C；④AG⊥EF．正 确结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．下列判断：①有两个内角分别为55°和25°的三角形一定是钝角三角形；②直角三角形中两锐角之和为90°；③三角形的三个内角中至少有两个锐角；④三条高不相交的三角形一定是钝角三角形，其中正确的有（）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上 的高，∠ABC的平分线BE分别交CD、CA于点F、E， 则下列结论正确的有（） ①∠CFE=∠CEF；②∠FCB=∠FBC，③∠A=∠DCB；④ ∠CFE与∠CBF互余． A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③4．在一个直角三角形中，有一个锐角等于45°，则另一个锐角的度数是（）A．75°B．60°C．45°D．30° 5．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，则∠A=（） A．45°B．55°C．65°D．75° 6．如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB，与∠1互余 的角有（） A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD 7．直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个锐角的度数是（）A．18°B．36°C．54°D．72° 8．直角三角形两个锐角平分线相交所成角的度数为（）
A．90°B．135°C．120°D．45°或135°9．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，则∠B=（） A．30°B．40°C．50°D．60° 10．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列结论错误 的是（） A．∠A=∠2 B．∠1和∠B都是∠A的余角 C．∠1=∠2 D．图中有3个直角三角形 11．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=61°，则∠B=（） A．61°B．39°C．29°D．19° 12．如图，在△ABC中，∠ACB=105°，∠B=30°，∠ACB的平分线CD 交AB于点D，则AD：BD=（） A．B．C．1：2 D． 二．填空题（共10小题） 13．如图，已知∠AON=40°，OA=6，点P是射线ON上一动 点，当△AOP为直角三角形时，∠A=°． 14．在一个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个锐角的 度数是°． 15．如图，在直角三角形ABC中，两锐角平分线AM、BN所 夹的钝角∠AOB=度． 16．如图△ABC中，点M是BC的中点，∠ACB=90°，AC=5， BC=12，AN平分∠BAC，AN⊥CN，则MN=． 17．如图示在△ABC中∠B=． 18．直角△ABC中，∠A∠B=20°，则∠C的度数是． 19．直角三角形ABC中有一个角是另一角的2倍小60°，则直角三角形中最小的角的度数为． 20．在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=23°，则∠B=°，与∠B相邻的外角为°． 21．一块直角三角板放在两平行直线上，如图，
华师大版数学九年级上册第24章解直角三角形24.2直角三角形的性质同步练 习 一、选择题 1、将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（） A、140° B、160° C、170° D、150° 2、Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，则∠A=（） A、44° B、34° C、54° D、64° 3、若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（） A、等腰三角形 B、等边三角形 C、等腰直角三角形 D、直角三角形 4、在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（） A、120° B、90° C、60° D、30° 5、直角三角形的一个锐角是23°，则另一个锐角等于（） A、23° B、63° C、67° D、77° 6、在直角三角形中，其中一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是（）
C、60° D、90° 7、满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（） A、∠C=∠A+∠B B、a：b：c=3：4：5 C、∠C=∠A-∠B D、∠A：∠B：∠C=3：4：5 8、在直角三角形中，两个锐角的度数比为2：3，则较小锐角的度数为（） A、20° B、32° C、36° D、72° 9、已知△ABC是直角三角形，且∠C=Rt∠，若∠A=34°，则∠B=（） A、66° B、56° C、46° D、146° 10、若直角三角形中的两个锐角之差为16°，则较大的一个锐角的度数是（） A、37° B、53° C、26° D、63° 11、如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（） A、9° B、18° C、27° D、36° 12、△ABC中，∠C=90°，∠A：∠B=2：3，则∠A的度数为（） A、18° B、36° C、54° D、72° 13、若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是（） A、24° B、34°
九年级数学上册《第二十四章 解直角三角形》 单元测试卷及答案-华东师大 版 （考试时间：60分钟 总分：100分） 一、选择题 1．如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB 在地面上的影子长DE ＝1.8m ，窗户下沿到地面 的距离BC ＝1m ，EC ＝1.2m ，那么窗户的高AB 为（ ） A ．1.5m B ．1.6m C ．1.86m D ．2.16m 2．若某三角形的三边长分别为3，4，m ，则m 的值可以是（ ） A ．1 B ．5 C ．7 D ．9 3．如图，某段河流的两岸互相平行，为测量此段的河宽AB （AB 与河岸垂直），测得AC 两点的距 离为m 米θACB ∠=，则河宽AB 的长为（ ） A ．θm tan ⋅ B ．θm sin ⋅ C ．θm cos ⋅ D ． θ m tan 4．在△ABC 中，△C ＝90°，sinB ＝ 4 5，则tanA ＝（ ） A ． 43 B ．34 C ．35 D ． 4 5 5．数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD 的高度，如 图，点P 处放一水平的平面镜．光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD 的顶端C 处，已知AB BD ⊥，CD BD ⊥且测得1AB =米， 1.5BP =米，48PD =米，那么该大厦的高度约为（ ） A ．32米 B ．28米 C ．24米 D ．16米 6．已知等腰三角形周长为13cm ，其中一边长为3cm ，则该等腰三角形的腰长为( )
A ．7cm B ．3cm C ．5cm 或3cm D ．5cm 7．如图2，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为边BC 的中点，连结OE ．若 68AC BD ==，，则OE =（ ） A ．2 B ． 52 C ．3 D ．4 8．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角 三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则 θsin =（ ） A ． 45 B ． 35 C ．25 D ．15 9．如图，点A 在双曲线(0)k y x x =-<上，连接OA ，作OB OA ⊥，交双曲线9 (0)y x x =>于点B 连接AB ．若4 sin 5 B =，则k 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ． 94 D ．16 10．如图所示，有一天桥高AB 为5米，BC 是通向天桥的斜坡45ACB ∠=︒市政部门启动“陡改缓” 工程，决定将斜坡的底端C 延伸到D 处，使30D ∠=︒则CD 的长度约为（参考数据：2 1.4143 1.732≈≈，） （ ）
2022-2023学年华东师大版九年级数学上册《24.4解直角三角形》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共12小题，满分36分） 1．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠ABC的值为（） A．B．C．D． 2．如图所示是一个左右两侧不等长的跷跷板，跷板AB长为4米，支柱OH垂直地面．如图①，当AB的一端A接触地面时，AB与地面的夹角的正弦值为；如图②，当AB的另一端B接触地面时，AB与地面的夹角的正弦值为，则支柱OH的长为（） A．0.5米B．0.6米C．0.8米D．米 3．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cos B＝，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（） A．B．C．D．3 4．如图中的每个小正方形的边长均相等，则sin∠BAC的值为（） A．1B．C．D．
5．北京2022年冬奥会计划于2月4日开幕，2月20闭幕．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米．则赛道AB的长度为（） A．50sin40°米B．50cos40°米C．米D．米6．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：．坝高BC为4m，则AB的长度为（） A．4m B．8m C．8m D．16m 7．如图，AB为停车场入口处的栏杆，长臂OA＝3m．将短臂端点B下降，当∠A′OA＝α时，长臂端点A升高（） A．m B．3sinαm C．m D．3cosαm 8．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值为（） A．B．C．D． 9．某斜坡的坡度i＝1：，则该斜坡的坡角为（） A．75°B．60°C．45°D．30°
2020-2021学年华东师大新版九年级上册数学《第24章解直角 三角形》单元测试题 一．选择题（共10小题） 1．若一个直角三角形的两个锐角度数分别是x、y，则x与y的关系是（）A．x+y＝180B．x﹣y＝180C．x+y＝90D．无关系 2．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，若AC＝6，则BD等于（）A．6B．3C．9D．12 3．如图，已知45°＜∠A＜90°，则下列各式成立的是（） A．sin A＝cos A B．sin A＞cos A C．sin A＞tan A D．sin A＜cos A 4．已知∠A+∠B＝90°，则下列各式中正确的是（） A．sin A＝sin B B．cos A＝cos B C．tan A＝cot B D．tan A＝tan B 5．已知α为锐角，且cos（90°﹣α）＝，则tanα等于（） A．1B．C．D．3 6．如图，AB为斜坡，D是斜坡AB上一点，斜坡AB的坡度为i，坡角为α，AC⊥BM于点C，下列式子：①i＝AC：AB；②i＝（AC﹣DE）：EC；③i＝tanα＝；④AC＝i•BC，其中正确的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 7．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于sin A 的是（）
A．B．C．D． 8．下列各式正确的是（） A．sin20°+sin20°＝sin40° B．cot31°＝tan（90°﹣59°） C．sin2A+cos2（90°﹣A）＝1 D．sin＝cos（其中A+B+C＝180°） 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝6，则BC的长为（）A．6B．3C．3D．12 10．如图，两建筑物水平距离为32米，从点A测得对点C的俯角为30°，对点D的俯角为45°，则建筑物CD的高约为（） A．14米B．17米C．20米D．22米 二．填空题（共10小题） 11．Rt△ABC中，∠C＝90°，b：a＝1：，则cos B＝，cot A＝．12．如图，B、C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60 m，则点A到对岸BC的距离是m． 13．将sin20°、cos20°、cos40°、cos80°的值由小到大的顺序排列． 14．计算：sin45°cos60°﹣tan30°＝． 15．利用计算器求值（结果精确到0.001）：sin55°≈；tan45°23′≈．16．李小同叔叔下岗后想自主创业搞大棚蔬菜种植，需要修一个如下图的育苗棚，棚宽a＝
华师大版九年级数学上册期末专题：第24章解直角三角形单元检测试卷 一、单选题（共10题；共30分） 1.在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值是（） A. B. C. D. 2.一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为整数，这样的三角形周长最大的值为（） A. 15 B. 16 C. 18 D. 19 3.为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（） A. 120m B. 67.5m C. 40m D. 30m 4.等腰三角形的周长为20cm，腰长为x cm，底边长为y cm，则底边长与腰长之间的函数关系式为（） A. y=20﹣x（0＜x＜10） B. y=20﹣x（10＜x＜20） C. y=20﹣2x（10＜x＜20） D. y=20﹣2x（5＜x＜10） 5.一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡度为i=1：，坝高BC=6m，则坡面AB的长度（） A. 12m B. 18m C. 6 D. 12 6.汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°（如图）则A，B两个村庄间的距离是（）米． A. 300 B. 900 C. 300 D. 300 7.如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即CE=3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是（） A. 4.5米 B. 6米 C. 7.2米 D. 8米 8.一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为（）