一、尺规作图 1. 作一个角等于已知角的方法 已知：∠AOB ，求作：∠A ′O ′B ′=∠AOB. 作法： 1.以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ； 2.画一条射线O ′A ′，以点O ′为圆心，OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′； 3.以点C ′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D ′； 4.过点D ′画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′=∠AOB. 2. 先任意画出一个△ABC.再画一个△A ′B ′C ′，使 A ′ B ′=AB , B ′C ′=BC ，C ′A ′ =CA. O A B C D O′ A′ B′ C′ D′
作法： 画一个△A′B′C′，使A′B′=AB, A′C′=AC，B′C′=BC ： （1）画B′C′=BC； （2)分别以点B′,C′为圆心，线段AB，AC长为半径 画弧，两弧相交于点A′; (3)连接线段A′B′，A′C′. 二、角的平分线 导入： 小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P 点建成两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连. 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2: 新修建的两条管道的长有什么关系，画来看一看. 角的平分线的画法 图12.3-1是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线,你能说明它的道理吗？
作已知角的平分线的方法. 已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 作法：（1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N. (2)分别以点M ，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C. (3)画射线OC.射线OC 即为所求（如图). 理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法：“SSS ”． 拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四等分线． 注意： “大于 MN 的长为半径画弧”是因为若以小或等于 MN 的长为半径画弧时，画出的两弧不能相交． 如图所示，已知∠AOB ，求作：∠AOM ＝ ∠AOB. 1 2 12 12 14
4．角平分线（一） 一、学生知识状况分析 本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基础上，进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已经经历了构造一个命题的逆命题的过程，因此比较容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题。 二、教学任务分析 学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，并构造其命题，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质．本节课的教学目标为： 1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理． 2.进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力． 3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。 教学难点： 正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探究新知；第三环节：巩固练习；第四环节：随堂练习；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业 1：情境引入 我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下： 从折纸过程中，我们可以得出CD=CE， 即角平分线上的点到角两边的距离相等． 你能证明它吗? 2：探究新知 （1）引导学生证明性质定理 请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在 全班进行交流． 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P 2 1 E D C P O B A
在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E． 求证：PD=PE． 证明：∵∠1=∠2，OP=OP， ∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)． (教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导) 我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理。(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．（2）你能写出这个定理的逆命题吗? 我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题． 引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题： 在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上． 它是真命题吗? 你能证明它吗? 没有加“在角的内部”时，是假命题． (由学生自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导) 证明如下： 已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在么AOB的角平分线上． 证明：PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠ PEO=90°． 在Rt△ODP和Rt△OEP中 OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)． ∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)． 逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。 3.巩固练习 综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题。进一步发展
九年级先修课题：§1.4.1角平分线（2） 教学目标：1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理。 2、进一步发展学生的推理证明意识和能力。 重点：证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理 难点：证尺规作图 一、前置准备： 三角形角平分线性质定理和判定定理的内容是什么？ 二、讲授新课： 自主学习： 如图：设△ABC的角平分线BM、CN交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上 定理：。引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=。 对应练习： 1、已知：△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为。 2、到三角形三边距离相等的点是（） A、三条中线的交点； B、三条高的交点； C、三条角平分线的交点； D、不能确定 三、合作交流； 例：△ABC中，AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E。 （1）已知：CD=4cm,求AC长 （2）求证：AB=AC+CD
三、应用深化 四、当堂训练： 1、到一个角的两边距离相等的点在 。 2、△ABC 中，∠C=900, ∠A 的平分线交BC 于D,BC=21cm,BD:DC=4:3,则D 到AB 的距离为 . 3、如下左图Rt △ABC 中，AB=AC,BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 于E ，AB=8cm ，则DE+DC= cm 。 4、如上右图△ABC 中，∠ABC 和∠BCA 的平分线交于O,则∠BAO 和∠CAO 的大小关系为 。 5 、Rt △ABC 中，∠C=900，BD 平分∠ABC ，CD=n ，AB=m ，则△ABD 的面积是 。 课后训练： 1、已知：如图，∠C=900，∠B=300，AD 是Rt △ABC 的角平分线。求证：BD=2CD 。 2、已知：OP 是∠MON 内的一条射线，AC ⊥OM,AD ⊥ON,BE ⊥OM,BF ⊥ON,垂足分别为C 、D 、E 、F ，且AC=AD ，求证：BE=BF 3、已知：如图，△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F 。 求证：点F 在∠DAE 的平分线上。 4、已知，如图，P 是∠AOB 的平分线上的一点，PC ⊥OA,PD ⊥OB ，垂足分别为C ，D 。 求证：（1）OC=OD （2）OP 是CD 的垂直平分线。 D A B C F D E A C O P D
1 B A O E P D B D C A （第3题） （第2题） 角的平分线的性质及其练习题 1、尺规作图画角平分线 （1）、以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N 。 （2）、分别以M 、N 为圆心，大于1/2MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C 。 （3）、画射线OC 。射线OC 即为所求。 2、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 图形表示：若CD 平分∠ADB,点P 是CD 上一点PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ， 则PE=PF 。 3、角的平分线的性质推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 图形表示：若PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE=PF ，则PD 平分∠ADB 4、证明命题的步骤： （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 角平分线的性质（1） 一、选择题 1．用尺规作已知角的平分线的理论依据是（ ） A ．SAS B ．AAS C ．SSS D ．ASA 2．如图，OP 平分∠AOB ， PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A ．PD ＝PE B ．OD ＝OE C ．∠DPO ＝∠EPO D ．PD ＝OD 二、填空题 3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝5㎝，BD ＝3㎝，则点D 到AB 的距离为______㎝． 三、解答题 4．已知：如图，AM 是∠BAC 的平分线，O 是AM 上一点，过点O 分别作AB ，AC 的垂线，垂足为F ，D ，
数学教案-角的平分线 八年级数学教案 3.9角的平分线 教学目标 1.掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用. 2.理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题. 3.渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。 教学重点和难点 角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点. 性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点. 教学过程设计 一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明 1,复习引入课题. (1)提问关于直角三角形全等的判定定理.
(2)让学生用量角器画出图3-86中的/ AOB的角
平分线oc. 2.画图探索角平分线的性质并证明之. (1)在图3- 86中，让学生在角平分线OC上任取一 点P,并分别作出表示P点到/ AOB两边的距离的线段 PD, PE (2)这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理. (3)引导学生叙述角平分线的性质定理(定理1),分析定理的条件、结论，并根据相应图形写出表达式. 3.逆向思维探求角平分线的判定定理. (1)让学生将定理1的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？请一位同学叙述证明过程，得出定理2――角平分线的判定定理. (2)教师随后强调定理1与定理2的区别：已知角平分线用性质为定理1,由所给条件判定出角平分线是定理2. (3)教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程. 4.理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合.
(1)角平分线上任意一点(运动显示)到角的两边的距离都相等(渗透集合的纯粹性). (2)在角的内部，至U角的两边距离相等的点(运动显示)都在这个角的平分线上(而不在其它位置，渗透集合的完备性). 由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合. 二、应用举例、变式练习 练习1填空：如图3-86 (1) v OC平分/AOB,点P在射线0C上， PD丄OA于D PE丄OB于E.「. ----- (角平分线的性质定理). (2) v PD丄OA, PEL OB, -------- 二0P平分/AOB ( --------- ) 例1已知：如图3-87 (a), ABC的角平分线BD和CE交于F. (1)求证：F到AB, BC和AC边的距离相等； (2)求证：AF平分/ BAC; (3)求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等； (4)怎样找△ ABC内到三边距离相等的点?
角平分线导学案 一、探索性质 （一）自主学习 要求：先独立完成，后小组交流，采用一帮一互助作用，让全组提升 1、利用尺规作出∠AOB 的角平分线，分条理，清楚说明作图步骤。 2、为你的作图方法寻找理论支撑，并分析出正确的理由。 3、借助你的作图，探索出角平分线的性质，并证明该性质定理的正确性，分别用文字语言和几何语言表示该性质。 4、试写出角平分性性质定理的逆定理，并证明，用几何语言表示该性质。 （二）小组展示 要求：全员参与，分工明确，讲解清楚，提升到位 （三）自主学习检测(口答 ) 1、 AD ， AE 分别是 △ABC 中∠ BAC 的内角平分线和外角 平分线 ,它们有什么 位置关系 ? C E D B A 2、下列推理步骤是否正确 A E P O B F ∵OP 平分∠ AOB ∴PE=PF 3、已知： OP 平分∠ AOB PE⊥ OA,PF ⊥ OB, PE=3 求： PF A E P O B F 4、已知： AO 平分∠ BAC ， OD⊥ BC ， OE⊥AB ，垂足分别为D， E，且 OD=OE 。 求证： CO 平分∠ ACB 。 A E O B C D 小结：在运用角平分线性质和判定的过程中，两个条件缺一不可（*学生提升） 二、性质运用（巩固练习） 1、△ ABC 中，∠ B=90 °， AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D,BC=10cm,CD=6cm, 则点 D 到 AC 的距离是。 2、点 P 在∠ AOB 的角平分线上，PE⊥ OA,PF ⊥ OB,且 PE+PF=8 ，则 PF=. 3、在 Rt △ABC 中，∠ C =90 °， AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D, BC=32,BD:CD=9:7, 则则点 D 到 AB 的距离是。 4、已知：在△ABC 中， AD 是∠ BAC 的平分线， BD=CD ， DE ⊥AB ， DF ⊥ AC ，垂足分别为点E， F。求证： EB=FC A E F B C D
第2课时 角平分线的判定 一、选择题 1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点 2．如图，AD ⊥OB ，BC ⊥OA ，垂足分别为D 、C ，AD 与BC 相交于点P ，若PA=PB ， 第2题图 第3题图 第4题图 3. 如图，在Rt △ABC 的斜边BC 上截取CD=CA ，过点D 作DE ⊥BC ，交AB 于E ， 线交于点 第5题图 第6题图 第7题图 M F E D C B A
6．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A 、1处 B 、2处 C 、3处 D 、4处 7．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是（ ） （A ）DE ＝DF ． （B ）ME ＝M F ． （C ）AE ＝AF ． （D ）BD ＝DC ． 8. 如图，△ABC ，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，有下列四个结论： ①DA平分∠EDF ； ②AE=AF； ③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等； ④到AE ，AF 距离相等的点到DE 、DF 的距离也相等． 第8题图 第10题图 第11题图 二、填空题 9. 在角的内部到角的两边距离相等的点的轨 迹是这个 角的 ． 10.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA 于C ，QD⊥OB 于D ，若QC=QD ，则∠AOQ= °． °． 12.如图，已知PA ⊥ON 于A ，PB ⊥OM 于B ，且PA=PB ，∠MON=50°， ∠OPC=30°，则∠PCA= °． 第12题图 第13题图 13.如图，△ABC 的∠ABC 的外角平分线BD 与∠ACB 的外角平分线CE 相
角平分线的性质定理教案 慧光中学：王晓艳 教学目标：（1）掌握角平分线的性质定理； （2）能够运用性质定理证明两条线段相等； 教学重点：角平分线的性质定理及它的应用。 教学难点：角平分线定理的应用； 教学方法：引导学生发现、探索、研究问题，归纳结论的方法 教学过程： 一，新课引入： 1．通过复习线段垂直平分线的性质定理引出角平分线上的点具有什么样的特点 操作：（1）画一个角的平分线； （2）在这条平分线上任取一点P，画出P点到角两边的距离。 （3）说出这两段距离的关系并思考如何证明。 2．定理的获得： A、学生用文字语言叙述出命题的内容，写出已知，求证并给予证明， 得出此命题是真命题，从而得到定理，并写出相应的符号语言。 B、分析此定理的作用:证明两条线段相等； 应用定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂直距离。 3．定理的应用 二．例题讲解： 例1：已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。 求证：PE=PF （此题已知中有垂直，缺乏角平分线这个条件）
例2：已知：如图，⊙O与∠MAN的边AM交于点B、C，与边AN交于点 E、F， 圆心O在∠MAN的角平分线AQ上。 求证：BC=EF （此题已知中有角平分线，缺乏垂直这个条件） 三：课堂小结： ①应用角平分线的性质定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂 直距离; ②若图中有角平分线,,可尝试添加辅助线的方法:向角的两边引垂线段.四：巩固练习 1．已知：如图，△ABC中，D是BC上一点，BD=CD，∠1=∠2求证：AB=AC 分析：此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（∠1= ∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD ≌△ACD，所以必须添加一些线帮助解题。
《角平分线的性质》导学案 教学目标 ：1． 掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用。 2． 理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题． 3． 渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。 教学重点和难点 ：角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点． 性质定理和判定定理的区 别和灵活运用是难点． } 如图，AB ＝AD ，BC ＝DC ， 沿着AC 画一条射线AE ，AE 就是∠BAD 的角平分线， 你知道 为什么吗 用直尺和圆规作角的平分线 已知：∠AOB 求作：射线OC 使∠AOC =∠BOC ] 做法： 探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察 两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论 (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E 、 求证: PD=PE 几何书写 在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，则： ⑴图中相等的线段有哪些相等的角呢 ⑵哪条线段与DE 相等为什么 - ⑶若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6， 求BE ，AE 的长和△AED 的周长。 P A O 》 B C E D 1 |
在△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，AB ＝7㎝，AC ＝3㎝，求BE 的长。 | 如图：在△ABC 中，∠C=90° AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ； 求证：CF=EB 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢 已知：如图,QD ⊥OA ，QE ⊥OB ， （ 点D 、E 为垂足，QD ＝QE ． 求证：点Q 在∠AOB 的平分线上． D ） B A C D ~ E B F
一. 教学内容： 1. 角平分线的作法． 2. 角平分线的性质及判定． 3. 角平分线的性质及判定的应用． 二. 知识要点： 1. 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点； ②分别以C 、D 为圆心，大于1 2 CD 长为半径画弧，两弧交于点P ； ③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求． O A B ① ② ③ 2. 角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ①推导 已知：OC 平分∠MON ，P 是OC 上任意一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， 垂足分别为点A 、点B ． 求证：PA ＝PB ． O P A B M N 12 C 证明：∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90° ∵OC 平分∠MON ∴∠1＝∠2 在△PAO 和△PBO 中，???? ?∠PAO ＝∠PBO ∠1＝∠2 OP=OP ∴△PAO ≌△PBO ∴PA ＝PB ②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
O P A B M N 12 如图所示，∵OP 平分∠MON （∠1＝∠2），PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， ∴PA ＝PB ． （2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导 已知：点P 是∠MON 内一点，PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA ＝PB ． 求证：点P 在∠MON 的平分线上． O A B M N P 证明：连结OP 在R t △PAO 和R t △PBO 中，? ????PA ＝PB OP ＝OP ∴R t △PAO ≌R t △PBO （HL ） ∴∠1＝∠2 ∴OP 平分∠MON 即点P 在∠MON 的平分线上． ②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．） O P A B M N 1 2 C 如图所示，∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB ∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ） 3. 角平分线性质及判定的应用 ①为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ②实际生活中的应用．
c 第十二章 全等三角形 12.3 角平分线的性质 一.学习目标 1.学会角平分线的画法；会用角平分线的性质和判定解决相关问题。 2.在学习过程中，培养动手能力和推理归纳能力 3.在自主学习过程中，体验获取知识的成就感和正反看问题的辩证思想。 二.学习重难点 角平分线的性质、判断及应用。 三.学习过程 第一课时 角平分线的画法及性质 （一）构建新知 1.阅读教材48～49页 （1）如图，已知∠AOB ，求作∠AOB 的平分线。 （2）在角平分线上任取一点P ，作AO 和BO 的 垂线PE 和PF ，交AO 和BO 于E ，F 。 （3）我们发现角平分线上的点到角两边的________相等。 （二）合作学习 1.如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到铁路和公路的距离相等，并离铁路和公路的交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（在图上标出其位置，比例尺1:20000）？ （三）课堂检查
1.如图，线a，b，c是三条公路，现要建一个货物中转站，要 求到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）处。 A．1 B．2 C．3 D．4 2. 已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD=10，则PE的长度为___________。 3. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的 一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为________。 4. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是 射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最 小值为_______。 5. 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥ AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4， 则AC长是（）。 A．3 B．4 C．6 D．5 6. 已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF。 （四）学习评价 （五）课后作业 1.学习指要23～24页 2.教材43～44页 1题，2题,4题，5题
1 B A O E P D B D C A （第3题） （第2题） 角的平分线的性质及其练习题 1、尺规作图画角平分线 （1）、以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N 。 （2）、分别以M 、N 为圆心，大于1/2MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C 。 （3） 、画射线OC 。射线OC 即为所求。 2、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 图形表示：若CD 平分∠ADB,点P 是CD 上一点PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ， 则PE=PF 。 3、角的平分线的性质推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 图形表示：若PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE=PF ，则PD 平分∠ADB 4、证明命题的步骤： （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 角平分线的性质（1） 一、选择题 1．用尺规作已知角的平分线的理论依据是（ ） A ．SAS B ．AAS C ．SSS D ．ASA 2．如图，OP 平分∠AOB ， PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A ．PD ＝PE B ．OD ＝OE C ．∠DPO ＝∠EPO D ．PD ＝OD 二、填空题 3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝5㎝，BD ＝3㎝，则点D 到AB 的距离为______㎝． 三、解答题 4．已知：如图，AM 是∠BAC 的平分线，O 是AM 上一点，过点O 分别作AB ， AC 的垂线，垂足为F ，D ，且
a 角平分线导学案 一、探索性质 （一）自主学习 要求：先独立完成，后小组交流，采用一帮一互助作用，让全组提升 1、利用尺规作出∠AOB的角平分线，分条理，清楚说明作图步骤。 2、为你的作图方法寻找理论支撑，并分析出正确的理由。 3、借助你的作图，探索出角平分线的性质，并证明该性质定理的正确性，分别用文字语言和几何语言表示该性质。 4、试写出角平分性性质定理的逆定理，并证明，用几何语言表示该性质。 （二）小组展示 要求：全员参与，分工明确，讲解清楚，提升到位 （三）自主学习检测(口答) 1、AD，AE分别是 2、下列推理步骤是否正确 3、已知：OP平分∠AOB △ABC中∠BAC的 PE⊥OA,PF⊥OB, PE=3内角平分线和外角 平分线,它们有什么 位置关系 ∵OP平分∠AOB ∴PE=PF 4、已知：AO平分∠BAC，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D，E，且OD=OE。 求证：CO平分∠ACB。 小结：在运用角平分线性质和判定的过程中，两个条件缺一不可（*学生提升） 二、性质运用（巩固练习） 1、△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于点D,BC=10cm,CD=6cm,则点D到AC 的距离是。 2、点P在∠AOB的角平分线上，PE⊥OA,PF⊥OB,且PE+PF=8，则PF= . 3、在Rt△ABC中，∠C =90°，AD平分∠BAC交BC于点D, BC=32,BD:CD=9:7,则则点D到AB的距离是。 4、已知：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BD=CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为点E，F。求证：EB=FC
5、．已知：∠C=90°，∠B=30°，AD是Rt△ABC的角平分线。求证：BD=2CD。 第5题 6、若∠1=∠2，则S△ABD︰S△CAD= 7、如图：∠BOC=∠AOC,OA=OB,PE⊥AC,PF⊥ 8、已知:P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C,D。求证：（1）OC=OD（2）OP是CD的垂直平分线。 组内解决1-5题，全班解决6-8，第6题要注意与相似比的区别，7、8注意训练学生从问题入手的推理能力 三、小结 1、本节课，主要学习的内容有什么？ 2、在运用角平分线性质及运用时，应该注意到什么问题？ 3、解决几何问题时，分析思路是什么？ 4、你还有哪些疑惑？ 四、课堂检测 在△ABC中，∠C=90°,AB=BC,AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB， 垂足分别为点E。 （1）如果CD=4，求AC （2）求证：AB=AC+CD
初二数学知识点归纳：角平分线的定义 初二数学知识点归纳：角平分线的定义 角平分线的性质一、本节学习指导角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。二、知识要点 1、角平 分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。如下图：OC平分∠AOB ∵OC平分∠AOB ∴∠AOC=∠BOC 2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】如第一个图：∵OC平分 ∠AOB(或∠1=∠2)，PE⊥OA,PD⊥OB ∴PD=PE,此时我们知道 △OPE≌△OPD(直角三角形斜边是OP即公共边，直角边斜边) 3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。如第一个图：∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE ∴OC平分∠AOB(或∠1=∠2)一、本节学习指导角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关 题型。其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。 二、知识要点 1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。 OC平分∠AOB ∵OC平分 ∠AOB ∴∠AOC=∠BOC 2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】∵OC平分∠AOB(或∠1=∠2)，PE⊥OA,PD⊥OB ∴PD=PE,此时我们知道△OPE≌△OPD(直角三角形斜边是OP即公共边，直角边斜边) 3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平 分线上。∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE ∴OC平分∠AOB(或∠1=∠2) 4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线 段的中点。∵C是AB的中点∴AC=BC 5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。如图：【重点】∵AB⊥CD ∴∠AOC=∠AOD=∠BOC =∠BOD=90° 或∵∠AOC=90° ∴AB⊥CD 注意：要判断两条直线垂直，只要知道这两条相交直线所 形成的四个角中的一个角是直角就可以了。反过来，两条直线互相 垂直，它们的四个交角都是直角。 6、全等三角形的性质：全等三角
角的平分线的性质 教学目标 知识与技能： 1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法； 2、理解角的平分线的性质并能初步运用。 过程与方法： 通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。 情感态度与价值观： 培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。 教学重点： 掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。 教学难点： 1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解； 2、对于性质定理的运用。 教学过程： 一、创设情景 生活中有很多数学问题： 小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P 点，要从P 点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连。 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看。 二、探究体验 要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线，工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线。出示仪器模型，介绍仪器特点（有两对边相等），将A 点放在角的顶点处，AB 和AD 沿角的两边放下，过AC 画一条射线
A F C B E AE ，AE 即为∠BAD 的平分线。 学生口述，用三角形全等的方法证明AE 是∠BAD 的平分线。 多媒体展示实验过程。 把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边相等，从几何作图角度怎么画？BC =DC ，从几何作图角度怎么画？ 让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕。 问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？ 问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？ 如图：按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条折痕．让学生分组讨论、交流，再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质．（角的平分线上的点到角两边的距离相等） 结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程．教师归纳，强调定理的条件和作用． 三、合作交流 判断正误，并说明理由： （1）如图1，P 在射线OC 上，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，则PE =PF ． （2）如图2，P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点，E 、F 分别在OA 、OB 上，则 PE =PF ． （3）如图3，在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ，若P 到OA 的距离为3cm ，则P 到OB 的距离边为3cm ． 让学生运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题： 问题：引例中两条管道的长度有什么关系？理由是什么？ 四、例题讲解 例1 如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD =CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ．求证：EB =FC ． E O B A O B P E F 图2 图3 A O B P E A O B P E F 图1
《角平分线的判定》课堂实录 【教学目标】： 1.知识与技能 ●掌握关于角平分线的两个重要结论。 2.过程与方法 ●让学生通过自主探索、实验领会和感悟关于角平分线判定的重要定理，并体 会感性认知与理性认识之间的联系与区别。 3.情感、态度与价值观 ●通过认识的升华。使学生进一步理解数学，也使数学进一步走向学生，使学 生关注数学，热爱数学。 【教学重难点】 ●重点：理解并会证明角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 ●难点：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上这一结论的证明以及关 于角平分线的两个重要结论的应用。 【教学用具】 三角尺课件导学案 【教学设计思路】 1．本节课采用“成功教育＋先学后交（教）当堂测评”的课堂模式，指导学生归纳和总结解决几何问题的一般规律和方法。 2.本节课主要是证明角平分线的判定定理，并熟练运用角平分线的性质和判定 综合来解决几何问题。 【教学过程】 一．复习导入，引入新知： 师：上课！ 生：老师好！ 师：同学们好，上一课，我们学习了角平分线的性质，让我们先复习一下。请同学们告诉我“角平分线的性质”是怎样的？ 生：（全班同学齐刷刷举起手。） 师：请李某回答。 生: 角平分线上的点到角的两边的距离相等。 师：回答得非常准确。那么它用数学符号语言怎样表示呢？ （出示课件中角平分线的性质所构造的图形） 生：（学生积极举手） 师: 请张某回答。 生：因为OP平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,所以PE＝PF （教师立即在黑板上板书过程） 师：请问各位同学，张某的叙述有问题吗？ 生：没有。（学生异口同声地回答） 师: 在这个叙述中，应格外注意条件部分要满足角平分线，垂直，结论部分才会有两条垂线段相等。 【点评】：通过复习，帮助学生回顾角平分线性质，为本节学习角平分线的判定做好铺垫，并从学生已有的数学经验出发，建立新旧知识之间的联系， 培养学生梳理知识体系的习惯。
角平分线的性质定理和判定 第一部分：知识点回顾 1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线； 2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离； 3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上 第二部分：例题剖析 例1.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB 于点E，AB=15cm， （1）求证：BD+DE=AC． （2）求△DBE的周长． 例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB． 例3. 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是多少
第三部分：典型例题 例1、已知：如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交 于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC． 【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC，求证：∠PCB+∠BAP=180o 例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD请你证明你的结论； （2）线段DM与AM有怎样的位置关系请说明理由． 2 1 N P F C B A
（3）CD、AB、AD间直接写出结果 【变式练习】如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上． 例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积． 【变式练习】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．
初中数学之三角形中线、高线、角平分线知识点 我们在学习三角形的时候，学到好多“线”，比如：中线、角平分线、垂线、高线等等。它们都是三角形里面比较重要的东西，也是比较重要的知识点。 如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为多少？ 这道题题目比较简单，很容易得出答案是2。 三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。 三角形中线性质定理：1、三角形的三条中线都在三角形内。 2、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4. 三角形的角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。（这是三角形的角平分线与角平分线的区别） 角平分线线定理：定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC注：定理2的逆命题也成立。三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。 三角形的高线
从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。线段的垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明 垂直平分线的性质：1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。 2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
作已知角的平分线 一、教材分析 1、教材所处的地位和前后联系： “作已知角的平分线”是华东师大版数学八年级上册第十三章《全等三角形》中第四节尺规作图的内容。七年级时学生已经学习过尺规作图的前两种基本作图：“作一条线段等于已知线段”和“作一个角等于已知角”，本节的第一课时和第二课时带领学生做了回顾，所以严格地说这节课是本学期尺规作图部分真正的新课——第三种基本作图，位于全等三角形之后学习，给本节课提供了充分的理论依据，同时它也是下节课“经过一已知点作已知直线的垂线”的基础。 2、教学目标： 根据大纲要求和教材的特点，结合八年级学生的实际水平，本节课我确定了如下教学目标： (1)知识与技能目标：通过真正的实践操作，掌握作已知角的平分线的方法及步骤， 了解作图的语言，能说明作图的道理。 (2)过程与方法目标：经历动手操作和推理论证活动，发展学生的逻辑思维能力，积 累数学活动的经验，在动手实践中学会与人合作、彼此交流。 (3)情感与态度目标：培养学生的作图能力及动手能力，获得动手的乐趣和成就感， 体会数学作图语言和图形的和谐统一。 3、教学重点： 规范使用尺规，掌握作已知角的平分线的方法及步骤。 4、教学难点： 能用恰当的数学语言表述作图过程。 二、教法分析 本节课主要采用教师直观演示，学生实验操作的教学方法，让学生亲身经历知识的形成过程，有利于学生更好地理解与应用数学，更能获得动手的乐趣和成就感，增强学习数学的兴趣和信心。因此在教法上，尽可能地组织学生自主动手、参与实践的数学活动，并且自己进行推理论证操作的正确性，培养学生的逻辑思维能力。教学中充分发挥学生“爱动”的年龄特点，调动学习数学的积极性，促使学生进入最佳的学习状态。 教学准备：白板，投影仪，尺规。 三、学法指导 根据初二学生的认知特点，以学生原有知识经验为基础，从直观动手出发，以观察、操作、感受、推理论证的学习方法为主，动手实践与合作交流是学生本节课的主要学习方
初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 初中数学 / 八年级数学教案 编订：XX文讯教育机构
角的平分线(教学设计) 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 知识结构 重点与难点分析： 本节内容的重点是角平分线的性质定理，逆定理及它们的应用。性质定理和它的逆定理为证线段相等、角相等，开辟了新的途径，简化了证明过程。 本节内容的难点是：a、角平分线定理和逆定理的应用；b、这两个定理的区别；c、写命题的逆命题。学生对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理。对于原命题和逆命题，学生对条件和结论容易混淆，特别是没有明显的提示语言时，更易找不准条件和结论，这就成了教学的难点。 教法建议： 整堂课围绕“以复习为基础，以过程为主线，以思维为中心，以训练为手段”开展教学。注重学生的参与度，通过提问、板演、讨论等多种形式，让学生直接参加课堂活动，将教与
学融为一体。具体说明如下： （1）做好铺垫 新课引入前，作一个具体画图的练习：已知角画出它的角平分线；然后在平分线上任取一点，作出这一点到角两边的距离。这样做一是复习了角平分线的定义和点到直线距离的定义；二是为本节课的学习奠定了图形基础。 （2）主动获取 利用上面的图形，观察这两个距离的关系，并证明自己的结论。对基础条件比较好的同学会很容易得出结论并能用文字叙述出来。对基础稍差一些的同学生得出结论并不难但让他们用文字叙述出来可能不是很准确，此时教师要做指导。这一环节的教学注意让学生通过观察、分析、推理等活动，主动提出此定理。 （3）激荡思维 在上面定理的基础上，让学找出此定理的条件与结论，并交换条件与结论得到一个新的命题，然后验证此命题的正确性如何?学生通过推理证明不难得到是一个真命题。此时顺理成章地引出教材中的定理2。最后注意强调：两个定理的区别与联系；原命题与逆命题、原定理与逆定理的关系及写出一个命题的逆命题的方法步骤。这一环节完全是由学生给出定理的文字表述及证明过程。