对数函数及其性质
【要点梳理】
要点一、对数函数的概念
1．函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是
()0,+∞，值域为R ．
2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为1；
（2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x ． 要点诠释： （1）只有形如y=log a x(a>0，a ≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数．
（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论．
要点二、对数函数的图象与性质
关于对数式log a N 的符号问题，既受a 的制约又受N 的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.
以1为分界点，当a ，N 同侧时，log a N>0；当a ，N 异侧时，log a N<0. 要点三、底数对对数函数图象的影响
1．底数制约着图象的升降． 如图 要点诠释：
由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．
2．底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0 一般地有a N N c c a log log log = ，其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1，这个公式称为对 数的换底公式． 要点四、反函数 1．反函数的定义 设,A B 分别为函数()y f x =的定义域和值域，如果由函数()y f x =所解得的()x y ?=也是一个函数（即对任意的一个y B ∈，都有唯一的x A ∈与之对应），那么就称函数()x y ?=是函数()y f x =的反函数，记作 1()x f y -=，在1()x f y -=中，y 是自变量，x 是y 的函数，习惯上改写成1()y f x -=（,x B y A ∈∈）的 形式．函数1 ()x f y -=（,y B x A ∈∈）与函数1()y f x -=（,x B y A ∈∈）为同一函数，因为自变量的取值 范围即定义域都是B ，对应法则都为1 f -． 由定义可以看出，函数()y f x =的定义域A 正好是它的反函数1 ()y f x -=的值域；函数()y f x =的值域 B 正好是它的反函数1 ()y f x -=的定义域． 要点诠释： 并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如2 y x =．一般说来，单调函数有反函数． 2．反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称． （2）若函数()y f x =图象上有一点(),a b ，则(),b a 必在其反函数图象上，反之，若(),b a 在反函数图象 上，则 (),a b 必在原函数图象上． 【典型例题】 类型一、函数的定义域 求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用. 例1. 求下列函数的定义域： (1)2 log a y x =； (2)log (4-)(01)a y x a a =>≠且. 【答案】（1）{|0}x x ≠；（2）{|4}x x <． 【解析】由对数函数的定义知：2 0x >，40x ->，解出不等式就可求出定义域. (1)因为2 0x >，即0x ≠，所以函数2log {|0}a y x x x =≠的定义域为； (2)因为40x ->，即4x <，所以函数log (4-){|4}a y x x x =<的定义域为. 【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于log ()a y f x =的定义域时，应首先保证()0f x >． 举一反三： 【变式1】求下列函数的定义域. (1) y= 1 )1(log 1 2 13 3---x x (2) ln(2)x x y a k =-g （0a >且1,a k R ≠∈）. 【答案】（1）(1， 23)Y (2 3 ，2)；（2）略 【解析】(1)因为????? ?? ?? ≠->->-1)1(log 0)1(log 0 12 1 21x x x ， 所以101132x x x ??>?<- 所以函数的定义域为(1，23)Y (2 3 ，2). （2）因为 20x x a k ->g ， 所以2x a k ??> ??? . ①当0k ≤时，定义域为R ； ②当0k >时， (i)若2a >，则函数定义域为(2 log a k ，+∞)； (ii)若02a <<，且1a ≠，则函数定义域为(-∞，2 log a k )； (iii)若2a =，则当01k <<时，函数定义域为R ；当1k ≥时，此时不能构成函数，否则定义域为?. 【变式2】函数(2)x y f =的定义域为[-1，2]，求2(log )y f x =的定义域. 【答案】[2，16]. 【答案】由12x -≤ ≤，可得()y f x =的定义域为[21，4]，再由21 log 42 x ≤≤得2(log )y f x =的定义 域为[2，16]. 类型二、对数函数的单调性及其应用 利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念. 例2. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)33log 3.6,log 8.9； (2)0.20.2log 1.9,log 3.5； (3)2log 5与7log 5； (4) 3log 5与6log 4． (5)log 4.2,log 4.8a a （01a a >≠且）． 【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。 【答案】(1)< ；(2) <；(3) >；(4) >；(5) 略． 【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成. (1)解法1：画出对数函数3log y x =的图象，横坐标为的点在横坐标为的点的下方，所以， 33log 3.6log 8.9<； 解法2：由函数3log y x =在R + 上是单调增函数，且<，所以33log 3.6log 8.9<； (2)与第(1)小题类似，0.2log y x =在R + 上是单调减函数，且<，所以0.20.2log 1.9log 3.5>； (3)函数2log y x =和7log y x =的图象如图所示．当1x >时，2log y x =的图象在 7log y x =的图象上方，这里5x =，27log 5log 5∴>． (4) 3366log 5log 31log 6log 4,>==>Q (5) 注：底数是常数，但要分类讨论a 的范围，再由函数单调性判断大小. 解法1：当1a >时，log a y x =在(0，+∞)上是增函数，且<，所以， log 4.2log 4.8a a < 当01a <<时，y=log a x 在(0，+∞)上是减函数，且<，所以，log 4.2log 4.8a a > 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小， 令1log 4.2a b =，则1b a =4.2，令2log 4.8a b =，则2 4.8b a =， 当1a >时，x y a =在R 上是增函数，且<， 所以，b 1 当时01a <<，x y a =在R 上是减函数，且< 所以，b 1>b 2，即a a log 4.2>log 4.8. 【总结升华】比较两个对数值的大小的基本方法是： （1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性． （2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小． （3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小． 例3．比较11 log ,log ,log ,log a b a b b a b a 其中01的大小. 【答案】11 log log log log a b b a b a a b <<< 【解析】由01，得1a b >，1 b a > ∴1log log 1a a a b >=，1 log log 1b b b a <= ∴11 log log b a a b --<，即log log b a a b -<- 【总结升华】若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小，中间变量常常用“0”和“1”．用“0”和“1”把所给的数先分两组，然后组内再比较大小． 举一反三： 【变式1】已知324log 0.3 log 3.4log 3.6 15,5,,5a b c ??=== ? ?? 则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．c a b >> 【答案】C 【解析】另2log 3.4m =，4log 3.6n =，3 10 log 3 l =，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得m l n >> 又∵5x y =为单调递增函数， ∴ a c b >> 故选C . 【变式2】比较323log ,log log a b c π=== 【答案】c b a << 【解析】3 3233log log log 1log 3log π<<= 例4．求函数2 12 log (21)y x x =-++的值域和单调区间. 【思路点拨】先解不等式2 210x x -++>，保证原式有意义，然后再在定义域范围内求内函数 221t x x =-++的单调区间，然后根据复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”来求解． 【答案】[-1，+∞)；增区间为1,1?? ；减区间为() 1． 【解析】设221t x x =-++，则2 (1)2t x =--+.∵ y=12 log t 为减函数，且02t <≤， ∴ 12 log 21y ≥=-，即函数的值域为[-1，+∞).再由：函数2 12 log (21)x x -++的定义域为 2210x x -++>，即11x << ∴ 2 21t x x =-++在)1上递增而在1,1??上递减，而y=12 log t 为减函数. ∴ 函数 212 log (21)y x x =-++的增区间为1,1?+?，减区间为( ) 1. 【总结升华】对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即log ()a y f x =型；另一类是内函数为对数函数，即(log )a y f x =型．对于log ()a y f x =型的函数的单调性，有以下结论：函数 log ()a y f x =的单调性与函数()u f x =[]()0f x >的单调性，当1a >时相同，当01a <<时相反． 研究(log )a y f x =型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”． 研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则． 举一反三： 【变式1】求函数()22log 4y x =+的值域和单调区间． 【答案】 [)2,+∞；减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞． 【解析】设2 4t x =+，则2 44t x =+≥，∵ y=2log t 为增函数，2 222log log (4)log 42t x ∴=+≥= ()22log 4y x ∴=+的值域为[)2,+∞． 再由：2 2log (4)y x =+的定义域为R 24t x ∴=+在()0,+∞上是递增而在(),0-∞上递减，而y=2log t 为增函数 ∴ 函数y=2 2log (4)x +的减区间为 (),0-∞，增区间为()0,+∞. 【变式2】求函数log ()x a y a a =-的单调区间 【答案】减区间是： (),1-∞和()1,+∞ 【解析】①若1,a >则log a y t =递增，且x t a a =-递减，而0x a a ->，即,1x a a x <∴<， log ()x a y a a ∴=-在 (),1-∞上递减． ② 若01a <<，则log a y t =递减，且x t a a =-递增，而0x a a ->，即,1x a a x <∴>， log ()x a y a a ∴=-在()1,+∞上递减． 综上所述，函数log ()x a y a a =-的单调递减区间是：(),1-∞和()1,+∞． 类型三、函数的奇偶性 例5. 判断下列函数的奇偶性. (1) 2-()ln ;2x f x x =+ (2)())f x x =. 【思路点拨】判断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。（2）求()f x -，如果()()f x f x -=，则函数是偶函数，如果 ()()f x f x -=-，则函数是奇函数。 【答案】（1）奇函数；（2）奇函数． 【解析】首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行. (1)由 2-0-222x x x ><<+可得 所以函数的定义域为：(-2，2)关于原点对称 又 1222()ln ln()-ln (),()()222x x x f x f x f x f x x x x -+---====--=--++即 所以函数2-()ln 2x f x x =+是奇函数； 【总结升华】此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形. (2)0x x R >∈可得 所以函数的定义域为R 关于原点对称 又 (-)))-()f x x x f x ===== 即f(-x)=-f(x)；所以函数 ())f x x =是奇函数. 【总结升华】此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握. 类型四、反函数 例6．求出下列函数的反函数 （1）16 log y x =；（2）1x y e ?? = ???。 【答案】（1）16x y ?? = ???；（2）1log e y x = 【解析】（1）对数函数16 log y x =，它的底数为16，所以它的反函数是指数函数16x y ?? = ???； （2）指数函数1x y e ?? = ???的反函数是对数函数1log e y x =． 【总结升华】 反函数的定义域都由原函数的值域来确定的，特别是当反函数的定义域与由反函数解析式有意义所确定的自变量的取值范围不一致时，一定要注明反函数的定义域． 举一反三： 【高清课堂：对数函数369070 例5】 【变式1】 若函数()y f x =是函数(0,x y a a =>且a ≠1)的反函数，且(2)1f =，则()f x =（ ） (A)x 2 log (B) x 21 (C)x 2 1log (D)22 -x 【答案】 A 【解析】解法1：Q 函数()y f x =是函数(0,x y a a =>且a ≠1)的反函数 ()log a f x x ∴=，又(2)1 f = log 21 a ∴=，2a ∴=， 故选A ． 解法2：Q 函数()y f x =是函数(0,x y a a =>且a ≠1)的反函数，且(2)1f = ∴点（1，2）在函数x y a =的图象上，∴2a = 故选A ． 类型五、利用函数图象解不等式 例7．若不等式2log 0x a x -<，当10, 2x ?? ∈ ??? 时恒成立，求实数a 的取值范围． 【思路点拨】画出函数2x y =的图象与函数log a y x =的图象，然后借助图象去求借。 【答案】2112a ??≤< ??? 【答案】要使不等式2log 0x a x -<在10, 2x ??∈ ???时恒成立，即函数log a y x =的图在10,2?? ??? 内恒在函数 2x y =图象的上方，而2x y =图象过点1,22?? ??? ．由右图可知，1log 22a ≥，显然这 里0＜a ＜1，∴函数log a y x =递减．又21 log 2log 2 a a a ≥=，∴2 12 a ≥ ，即212a ??≥ ? ?? ．∴所求的a 的取值范围为2112a ??≤< ??? ． 【总结升华】“数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能简化思维过程，降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合．本例中，利用图形的形象直观快速地得到答案，简化了解题过程．正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题． 在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数()f x 与()g x ，则()f x =()g x 的实数解等价于两个函数()y f x =与()y g x =的图象的交点的横坐标；而()f x <()g x 的的解等价于函数()y f x =的图象在 ()y g x =的图象下方的点的横坐标的取值范围．利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，而且 分散了问题解决的难度、简化了思维过程．因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式的问题． 举一反三： 【变式1】 当x ∈（1，2）时，不等式2 (1)log a x x -<恒成立，求a 的取值范围． 【答案】1＜a ≤2 【答案】设2 1()(1)f x x =-，2()log a f x x =，要使当x ∈（1，2）时，不等式2 (1)log a x x -<恒成立，只需2 1()(1)f x x =-在（1，2）上的图象在2()log a f x x =的下方即可．当0＜a ＜1时，由图象知显然不成立．当a ＞1时，如图2-2-5所示，要使在（1，2）上，2 1()(1)f x x =-的图象在2()log a f x x =的下方， 只需12(2)(2)f f ≤， 即2 (21)log 2a -≤，log 21a ≥，∴1＜a ≤2． 类型六、对数函数性质的综合应用 例8．（1）已知函数2 lg(2)y x x a =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）已知函数2 lg(2)y x x a =++的值域为R ，求实数a 的取值范围； （3）2 2()log (log )a a f x x x =-+的定义域为1 (0, )2 ，求实数a 的取值范围． 【思路点拨】与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.()f x 的定义域为R ，即关于x 的不等式2 20x x a ++>的解集为R ，这是不等式中的常规问题. ()f x 的值域为R 与22x x a ++恒为正值是不等价的，因为这里要求()f x 取遍一切实数，即要求 22u x x a =++取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u 能取遍一切正数的条件是0?≥. 【答案】（1）1a >；（2）1a ≤；（3）1 32 ． 【解析】 （1）Q 2 lg(2)y x x a =++的定义域为R ， ∴220x x a ++>恒成立，∴440a ?=-<，∴1a >． （2）Q 2 lg(2)y x x a =++的值域为R ， ∴22x x a ++取遍一切正数，∴440a ?=-≥，∴1a ≤． （3）由题意，问题可等价转化为不等式2 2log 0a x x -<的解集为10, 2?? ?? ?，记2122:,:log ,a C y x C y x ==作图形12C C 与，如图所示，只需2C 过点1124?? ??? ，， ∴021a <<，即满足102a <<，且2211log ()22 a =即可，解得1 32a =． 【总结升华】如果函数()f x 的定义域为某个区间D ，则函数()f x 在这个区间D 的任何子集内部都有意义；如果函数()f x 在区间E 上有意义，而()f x 的定义域为D ，则必有E D ?． 【巩固练习】 1．若2 log 15a <，则a 的取值范围是（ ） A.205a << B.23a <或1a > C.215a << D.2 05 a <<或1a > 2．函数12 log (21)y x =-的定义域为（ ） A. 1,2??+∞ ??? B. [)1,+∞ C.1,12?? ??? D. (),1-∞ 3．函数 ()22()log (1)f x x x x R =++∈的图象关于（ ） A.x 轴对称 B.y 轴对称 C.原点对称 D.直线y x =对称 4．函数2log |||| x y x x = 的大致图象是（ ） 5.设5log 4a =，()2 5log 3b =，4log 5c =，则（ ）． A. a c b << B.b c a << C.a b c << D.b a c << 6．图中曲线是对数函数y=log a x 的图象，已知a 值取10 1 ,53,34,3，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( ) A.10153343，，， B.53101343，，， C.10153334，，， D.5 3101334，，， 7.函数2()log (31)x f x =+的值域为( ) A. ()0,+∞ B. [)0,+∞ C. ()1,+∞ D. [)1,+∞ 8.下列函数中，在 ()0,2上为增函数的是( ) A.12 log (1)y x =+ B.22 log 1y x =- C.2 1log y x = D.2 2 log (45)y x x =-+ 9．函数 ()log 23a y x =++的图象过定点 。 10．已知log 7log 70m n <<，则m 、n 、0、1间的大小关系是 。 11.已知函数1 ()2x f x +=，则1 (4)f -= . 12.函数 ( ) 2()lg 1f x x x =+-是 (奇、偶)函数. 13.已知函数1010()1010x x x x f x ---=+，判断()f x 的奇偶性和单调性. 【答案与解析】 1. 【答案】D 【解析】由2log 1log 5a a a <=，当1a >时，log a y x =为增函数，所以2 5 a >，得1a >；当01a <<时，log a y x =为减函数，所以25a <，得2 05 a <<，故选D 。 2. 【答案】C 【解析】要使函数有意义，则()12 210,log 210,x x ->?? ?-≥??解得112x <≤，故选C 。 3. 【答案】C 【解析】22()()log (log (f x f x x x -+=-+Q =2222log (1)log 10x x +-==， ∴()f x 为奇函数，故其图象关于原点对称。 4. 【答案】D 【解析】易知()f x 为奇函数，又0x >时，2()log f x x =，所以选D 。 5. 【答案】D 【解析】因为44log 5log 41c c =>==，550log 41,0log 31a a <=<<=<，所以 ()2 5555log 3log 3log 4log 4b a =<<=g ，所以b a c <<，故选Ｄ． 6. 【答案】A 【解析】在第一象限内，1a >，从顺时针方向看图象，a 4 3 > ；在第四象限内，01a <<，从顺时针方向看图象，a 逐渐增大，31510>；所以相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为431 3510 ，，，.选A. 7. 【答案】A 【解析】因为3 11x +>，所以2()log (31)x f x =+=2log 10=，故选A 。 8. 【答案】A 【解析】复合函数的单调性是由内函数、外函数的单调性决定的，两个函数的单调性“同增异减”，即内外函数的单调性相同，复合函数单调增；内外函数的单调性相反，复合函数单调减。 9．【答案】 ()1,3- 【解析】Q 函数log a y x =的图象过定点()1,0，∴函数()log 23a y x =++的图象过定点（-1,3）。 10．【答案】01n m <<< 【解析】 log 7log 70m n < 01n m ∴<<<。 11．【答案】1 【解析】由1 2()242x f x +===得1x =，1(4)1f -∴=。 12. 【答案】奇 【解析】)(),()1lg(11lg )1lg()(222 x f x f x x x x x x x f R x ∴-=-+-=-+=++=-∈且Θ为奇 函数. 13. 【答案】奇函数 增函数 【解析】(1)221010101(),1010101x x x x x x f x x R ----= =∈++，221010101 ()(),1010101 x x x x x x f x f x x R -----==-=-∈++ ∴()f x 是奇函数 (2)2122101 (),.,(,)101 x x f x x R x x -=∈∈-∞+∞+设，且12x x <， 则1212121222221222221011012(1010)()()0101101(101)(101) x x x x x x x x f x f x ----=-=<++++，1222(10 10)x x>。又7log y x =在（0,1）内递增且函数值小于0，