正交试验设计表
第十章正交试验设计对于单因素或两因素试验，因其因素少，试验的设计、实施与分析都比较简单。但在实际工作中，常常需要同时考察 3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。正交试验设计就是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。 1.1 正交试验设计的基本概念正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优的水平组合。例如，要考察增稠剂用量、pH值和杀菌温度对豆奶稳定性的影响。每个因素设置3个水平进行试验。 A因素是增稠剂用量，设A1、A2、A3 3个水平;B因素是pH值，设B1、B2、B3 3个水平;C因素为杀菌温度，设C1、C2、C3 3个水平。这是一个3因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能组合有27种。全面试验:可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，在有些情况下无法完成。若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表来设计安排试验。正交试验设计的基本特点是:用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。正因为正交试验是用部分试验来代替全面试验的，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析;当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。虽然正交试验设计有上述不足，但它能通过部分试验找到最优水平组合，因而很受实际工作者青睐。如对于上述3因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9 34 安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。 1.2 正交试验设计的基本原理在试验安排中，每个因素在研究的范
围内选几个水平，就好比在选优区内打上网格，如果网上的每个点都做试验，就
是全面试验。如上例中，3个因素的选优区可以用一个立方体表示(图10-1)，3个
因素各取 3个水平，把立方体划分成27个格点，反映在图10-1上就是立方体内
的27个“.”。若27个网格点都试验，就是全面试验，其试验方案如表10-1所示。 3 因素 3 水平的全面试验水平组合数为33 27，4 因素3水平的全面
试验水平组合数为34 81 ，5因素3水平的全面试验水平组合数为35 243，这在
科学试验中是有可能做不到的。正交设计就是从选优区全面试验点(水平组合)中
挑选出有代表性的部分试验点(水平组合)来进行试验。图10-1中标有试验号的九
个“ ?? ”，就是利用正交表L9 34 从27个试验点中挑选出来的9个试验点。即: 1 A1B1C1 2 A2B1C2 3 A3B1C3 4 A1B2C2
5 A2B2C3
6 A3B2C1
7 A1B3C3
8 A2B3C1
9 A3B3C2 上述选择，保证了A因素
的每个水平与B因素、C因素的各个水平在试验中各搭配一次。对于A、B、C 3
个因素来说，是在27个全面试验点中选择9个试验点，仅是全面试验的三分之一。从图10-1中可以看到，9个试验点在选优区中分布是均衡的，在立方体
的每个平面上，都恰是3个试验点;在立方体的每条线上也恰有一个试验点。
9个试验点均衡地分布于整个立方体内，有很强的代表性，能够比较全面
地反映选优区内的基本情况。 1.3 正交表及其基本性质正交表由于正交设计安
排试验和分析试验结果都要用正交表，因此，我们先对正交表作一介绍。表10-2
是一张正交表，记号为L8 27 ，其中“L”代表正交表;L右下角的数字“8”表示
有8行，用这张正交表安排试验包含8个处理水平组合 ;括号内的底数“2” 表示因素的水平数，括号内2的指数“7”表示有7列，用这张正交表最多可以安排
7个2水平因素。常用的正交表已由数学工作者制定出来，供进行正交设计时选用。2水平正交表除L8 27 外，还有L4 23 、L16 215 等;3水平正交表有L9
34 、L27 213 ……等(详见附表14及有关参考书)。
正交表的基本性质 .1 正交性 (1)任一列中，各水平都出现，且出现的次数相等
例如L8 27 中不同数字只有1和2，它们各出现4次;L9 34 中不同数字有1、2和3，它们各出现3次。 (2)任两列之间各种不同水平的所有可能组合都出现，且对出现的次数相等例如 L8 27 中 1, 1 , 1, 2 , 2, 1 , 2, 2 各出现两次;L9 34 中 1, 1 , 1, 2 ,
1, 3 , 2, 1 , 2, 2 , 2, 3 , 3, 1 , 3, 2 , 3, 3 各出现1次。即每个因
素的一个水平与另一因素的各个水平所有可能组合次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。
根据以上特性，我们用正交表安排的试验，具有均衡分散和整齐可比的特点。所谓均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部水平组合中的分布是均匀的。由图10-1可以看出，在立方体中，任一平面内都包含 3 个“ ?? ”，任一直线上都包含1个“ ?? ” ，因此，这些点代表性强，能够较好地反映全面试验的情况。
在这9个水平组合中，A因素各水平下包括了B、C因素的3个水平，虽然搭配方式不同，但B、C皆处于同等地位，当比较A因素不同水平时，B因素不同水平
的效应相互抵消，C因素不同水平的效应也相互抵消。所以A因素3个水平间具有综合可比性。同样，B、C因素3个水平间亦具有综合可比性。 1.4 正交表的类别1、等水平正交表各列水平数相同的正交表称为等水平正交表。如L4 23 、L8
27 、L12 211 等各列中的水平为2，称为2水平正交表;L9 34 、L27 313 等各列水平为3，称为3水平正交表。 2、混合水平正交表各列水平数不完全相同的正
交表称为混合水平正交表。如L8 4×24 表中有一列的水平数为4，有4列水平数为2。也就是说该表可以安排一个4水平因素和4个2水平因素。再如L16
44×23 ，L16 4×212 等都混合水平正交表。正交表的选择是正交试验设计的首
要问题。确定了因素及其水平后，根据因素、水平及需要考察的交互作用的多少来选择合适的正交表。正交表的选择原则是在能够安排下试验因素和交互作用的前提下，尽可能选用较小的正交表，以减少试验次数。一般情况下，试验因素的水平数应等于正交表中的水平数;因素个数(包括交互作用)应不大于正交表的列数;各因素及交互作用的自由度之和要小于所选正交表的总自由度，以便估计试验误差。若各因素及交互作用的自由度之和等于所选正交表总自由度，则可采用有重复正交试验来估计试验误差。此例有4个3水平因素，可以选用L9 34 或L27 313 ;因本试验仅考察四个因素对液化率的影响效果，不考察因素间的交互作用，故宜选用
L9(34)正交表。若要考察交互作用，则应选用L27 313 。把正交表中安排各因素的列(不包含欲考察的交互作用列)中的每个水平数字换成该因素的实际水平值，便形成了正交试验方案(表10-5)。 2.2 试验结果分析分清各因素及其交互作用的主次顺序，分清哪个是主要因素，哪个是次要因素; 判断因素对试验指标影响的显著程度; 找出试验因素的优水平和试验范围内的最优组合，即试验因素各取什么水平时，试验指标最好; 分析因素与试验指标之间的关系，即当因素变化时，试验指标是如何变化的。找出指标随因素变化的规律和趋势，为进一步试验指明方向; 了解各因素之间的交互作用情况; 估计试验误差的大小。在实际研究中，有时试验因素之间存在交互作用。对于既考察因素主效应又考察因素间交互作用的正交设计，除表头设计和结果分析与前面介绍略有不同外，其它基本相同。【例】某一种抗菌素的发酵培养基由A、B、C 三种成分组成，各有两个水平，除考察A、B、C 三个因素的主效外，还考察A与B、B与C的交互作用。试安排一个正交试验方案并进行结果分析。 ? 选用正交表，作表头设计由于本试验有3个两水平的因素和两个交互作用需要考察，各项自由度之和为:3× 2-1 +2× 2-1 × 2-1 5，因此可选用L8 27 来安排试验方案。正交表L8 27 中有基本列和交互列之分，基本列就是各因素所占的列，交互列则为两因素交互作用所占的列。可利用L8 27 二列间
交互作用列表来安排各因素和交互作用。如果将A因素放在第1列，B 因素放在第 2列，查表可知，第1列与第2列的交互作用列是第3列，于是将 A与B 的交互作用A×B放在第3列。这样第3列不能再安排其它因素，以免出现“混杂”。然后将C放在第4列，查表 12-30 可知，B×C应放在第6列，余下
列为空列，如此可得表头设计，见表10-15。 ? 列出试验方案根
据表头设计，将A、B、C各列对应的数字“1”、“2”换成各因素的具体水平，得出试验方
案列于表10-16。 ? 结果分析按表所列的试验方案进行试验，其结果分析与前面并无本
质区别，只是:应把互作当成因素处理进行分析; 应根据互作效应，选择优化组合。极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少便于推广普及。但这种方法不能将试验中由
于试验条件改变引起的数据波动同试验误差引起的数据波动区分开来，也就是说，不能区分
因素各水平间对应的试验结果的差异究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于试验误差引
起的，无法估计试验误差的大小。此外，各因素对试验结果的影响大小无法给以精确的数量
估计，不能提出一个标准来判断所考察因素作用是否显著。为了弥补极差分析的缺陷，可采
用方差分析。上述均属无重复正交试验结果的方差分析，其误差是由“空列”来估
计的。然而“空列”并不空，实际上是被未考察的交互作用所占据。这种误差既包含试验误
差，也包含交互作用，称为模型误差。若交互作用不存在，用模型误差估计试验误差是可行
的;若因素间存在交互作用，则模型误差会夸大试验误差，有可能掩盖考察因
素的显著性。
这时，试验误差应通过重复试验值来估计。所以，进行正交试验最好能有二次以上的重复。
正交试验的重复，可采用完全随机或随机单位组设计。下一张主页退出
上一张下一张主页退出上一张下一张主页退出上一张表10-15 下一张主页退出上一张表10-16 下一张主页退出上一张下一张主页退出上一张 *试验结果以对照为100计。 A2B1C1 优组合 C1 B1 A2 优水平A×B A C B B×C 主次顺序 7.25 2.75 2.25 10.25 49.75 3.25 26.75 极差R 79.50 84.50 82.00 78.00 108.00 81.50 96.50 k2 86.75 81.75 84.25 88.25 58.25
84.75 69.75 k1 318 338 328 312 432 326 386 K2 347 327 337 353 233 339 279 K1 61 2 1 1 2 1
2 2 8 79 1 2 2 1 1 2 2 7 124 1 2 1 2 2 1 2 6 122 2 1 2 1 2 1 2 5 89 1 1 2 2 2 2 1 4 97 2 2 1 1 2 2 1 3
38 2 2 2 2 1 1 1 2 55 1 1 1 1 1 1 1 1 试验结果空列B×C 空列 C A×B
B A 试验号表10-17 极差分析结果因素主次顺序为A×B A
C B B×C，表明
A×B交互作用、 A因素影响最大，
因素C影响次之，因素B影响最小。优组合为A2B1C1。二元表 70 123 A2 93 46.5 A1 B2 B1 例:p348 要生产每种食品添加剂，根据试验发现影响添加剂得率的因素有4个，每个因素
设置2水平。因素水平表见表10-18。试验中可考虑交互作用A×B、A×C、
B×C。 66.65 3:01 3 90 2 53.32 2:01 2 75 1 真空度C /kPa 配比C (两种原料) 时间B /h 温度A /? 水平试
验因素表10-18 某种食品添加剂得率试验因素水平表正交表的选择: 自由
度:dfT ?因
素+交互作用+空列,4*(2-1)+3*1+1,7+1,8 那么正交表的行数a? dfT +1,9 无
空
列时a ?8，选L8(27)即可。列:c?因素所占列+交互作用所占列+误差列(空列) 因
素列:各因素各占一列，共计4列(4个因素) 交互作用列:因试验因素为2水平
因素，
其1级交互作用分占1列，共计3列(3组交互作用)。误差列:0或1列
c?4+3+0,7，
因素水平为2，列为7的最小正交表即L8 27 。可以看出尚无空列估计试验误差，应做重复
试验或忽略某些交互作用。 A2B1C2D1或D2 优组合 D1或D2 C2 B1 A2 优水
平C A×B B A B×C、D A×C 主次顺序 1.5 1.5 0.5 5.5 5.0 3.0 2.0 极差R 91.3 91.3 90.8 93.3 93.0 89.0 89.5 k2 89.8 89.8 90.3 87.8 88.0 92.0 91.5 k1 365 365 363
373 372 356 358 K2 359 359 361 351 352 368 366 K1 88 2 1 1 2 1 2 2 8 83 1 2 2 1 1 2 2 7 96 1 2 1
2 2 1 2 6 91 2 1 2 1 2 1 2 5 94 1 1 2 2 2 2 1 4 91 2 2 1 1 2 2 1 3
95 2 2 2 2 1 1 1 2 86 1 1 1 1 1 1 1 1
试验结果D B×C A×C C A×B B A 试验号表10-19 食品添加剂得率试验结
果极差分析因
素主次顺序为C A×B B A B×C、D A×C ，表明C影响最大，A×B交互作用
影响其次，为
重要考察因素;A×C、B×C、D等影响小，为次要因素，A×C、B×C交互作用是由误差引
起的，可以忽略。表10-16 二元表 85.5 92.5 B2 93.5 90.5 B1 A2 A1 结论:优组合为A2B1C2D1
或A2B1C2D2 下一张主页退出上一张 3.2 正交试验结果的方差分析正交试验结果的方差分析方差分析基本思想是将数据的总变异分解成因素引起的变异和误差引起的变异两部分，构造F统计量，作F检验，即可判断因素作用是否显著。正交试验结果的方差分析思想、步骤同前～～总偏差平方和,各列因素偏差平方和+误差偏差平方和 (1)偏差平方和分解: (2)自由度分解: (3)方差: (4)构造F统计量: (5)列方差分析表，作F检验若计算出的F值F0 Fa，则拒绝原假设，认为该因素或交互作用对试验结果有显著影响;若F0?Fa，则认为该因素或交互作
用对试验结果无显著影响。 (6)正交试验方差分析说明由于进行F检验时，要用误差偏差平方和SSe及其自由度dfe，因此，为进行方差分析，所选正交表应留出一定空列。当无空列时，应进行重复试验，以估计试验误差。误差自由度一般不应小于2，dfe很小，F检验灵敏度很低，有时即使因素对试验指标有影响，用F
检验也判断不出来。为了增大dfe，提高F检验的灵敏度，在进行显著性检验之前，先将各因素和交互作用的方差与误差方差比较，若MS因(MS交) 2MSe，可将
这些因素或交互作用的偏差平方和、自由度并入误差的偏差平方和、自由度，这样
使误差的偏差平方和和自由度增大，提高了F检验的灵敏度。表10-20 L9 34 正交表 y9 1 2 3 3 9 y8 3 1 2 3 8 y7 2 3 1 3 7 y6 2 1 3 2 6 y5 1 3 2 2 5 y4 3 2 1 2 4 y3 3 3 3 1 3 y2 2 2 2 1 2 y1 1 1 1 1 1
试验结果yi 第4列第3列第2列第1列(A) 处理号分析第1列因素时，
其它列暂不考虑，将其看做条件因素。因素A第1水平3次重复测定值因素A第2水平3次重复测定值因素A第3水平3次重复测定值 y9 y8 y7 A3 y6 y5 y4
A2 y3 y2 y1 A1 重复3 重复2 重复1 因素单因素试验数据资料格式 K3
y7+y8+y9 K2 y4+y5+y6 K1 y1+y2+y3 和SSk … SS2 SS1 SSj Kmk2 … Km22 Km12 Kmj2 … … … … … K2k2 K222 K212 K2j2 K1k2 … K122 K112 K1j2 Kmk … Km2 Km1 Kmj … … … … … K2k … K22 K21 K2j K1k … K12 K11 K1j xn2 xn … … … m n … … … … … … … x22 x2 … … … 1 2 x12 x1 … … … 1 1 试验号xi2 xi k … 2 1 列号试验数据… … B A 表头设计表10-21 Ln(mk)正交表及计算表格总偏差平方和: 列偏差平方和: 试验总次数为n，每个因素水平数为m个，每个水平作r次重复
r,n/m。当m,2时，总自由度: 因素自由度: 不考虑交互作用等水平正交试验方差分析例:自溶酵母提取物是一种多用途食品配料。为探讨啤酒酵母的最适自溶条件，安排三因素三水平正交试验。试验指标为自溶液中蛋白质含量(,)。试验因素水平表见表10-22，试验方案及结果分析见表10-23。试对试验结果进行方差分析。 2.8 7.5 58 3 2.4 7.0 55 2 2.0 6.5 50 1 加酶量(,)C pH值 B 温度(?)A 水平试验因素表10-22 因素水平表 527.62 461.39 360.62 976.56 K3j2 478.30 460.10 458.39
344.84 K2j2 430.15 513.02 634.03 248.38 K1j2 22.97 21.48 18.99 31.25 K3j
21.87 21.45 21.41 18.57 K2j 20.74 22.65 25.18 15.76 K1j 8.95 1 2 3 3 9 10.9 3 1 2 3
8 11.4 2 3 1 3(58) 7 5.5 2 1 3 2 6 5.54 1 3 2 2 5 7.53 3 2 1 2(55) 4 4.54 3 3(2.8 3(7.5) 1 3 4.97 2 2(2.4) 2(7.0) 1 2 6.25 1 1(2.0) 1(6.5)
1(50) 1 试验结果yi 空列 C B A 处理号表10-23 试验方案及结果分析表 (1)计算计算各列各水平的K值计算各列各水平对应数据之和K1j、K2j、K3j及其平方K1j2、K2j2、K3j2。计算各列偏差平方和及自由度同理，SSB 6.49，SSC 0.31 SSe 0.83(空列) 自由度:dfA,dfB,dfC,dfe,3-1 2 计算方差 (2)显著性检验根据以上计算，进行显著性检验，列出方差分析表，结果见表10-24 F0.01 2,4 18.0 F0.05 2,4 6.94 Fa 53.03 总和 0.285 4 1.14 误差e? 0.41 2 0.83 误差e 0.16 2 0.31 C? * 11.4 3.24 2 6.49 B ** 79.6 22.70 2 45.40 A 显著水平 F值均
方自由度平方和变异来源表10-24 方差分析表因素A高度显著，因素B显著，因素C不显著。因素主次顺序A-B-C。 (3)优化工艺条件的确定本试验指标
越大越好。对因素A、B分析，确定优水平为A3、B1;因素C的水平改变对试验结
果几乎无影响，从经济角度考虑，选C1。优水平组合为A3B1C1。即温度为58?，pH值为6.5，加酶量为2.0%。考
虑交互作用正交试验方差分析例: 用石墨炉原子吸收分光光度法测定食品中
的铅，为了
提高测定灵敏度，希望吸光度越大越好，今欲研究影响吸光度的因素，确定最佳测定条件。
(1)计算计算各列各水平对应数据之和K1j、K2j及(K1j-K2j);计算各列偏差
平方
和及自由度。表10-25 试验方案及结果分析表 0.0036 0.0001 0.0091
0.0078 0.0055 0.235 0.021 SSj 0.17 0.03 0.27 0.25 0.21 -1.37 -0.41 K1j-K2j 10.02 10.09 9.97 9.98 10 10.79 10.31 K2j
10.19 10.12 10.24 10.23 10.21 9.42 9.9 K1j 2.76 2 1 1 2 1 2 2 8 2.79
1 2 2 1 1 2 2 7 2.4 1 2 1 2 2 1
2 6 2.36 2 1 2 1 2 1 2 5 2.58 1 1 2 2 2 2 1 4 2.66 2 2 1 1 2 2 1
3 2.2
4 2 2 2 2 1 1 1 2 2.42 1 1 1 1 1 1
1 1 吸光度空列B×C A×C C A×B B A 试验号 0.2818 总和 0.00308 3
0.0923 误差
e ? 0.004 1 0.0036 误差e 0.000 1 0.0001 B×C ? 2.96 0.009 1 0.0091 A×C 2.53
0.008 1 0.0078 C 0.006 1 0.0055 A×B? ** F0.01 1,3 34.12 76.19 0.235
1 0.2346 B F0.05 1,3 10.13 6.8
2 0.021 1 0.0210 A 显著水平临界值Fa F值均方自由度平方
和变异来源表10-26 方差分析表 (2)显著性检验因素B高度显著，因素A、C及交
互作用A×B、A×C、B×C均不显著。各因素对试验结果影响的主次顺序
为:B、A、A×C、
C、A×B、B×C。 (3)优化条件确定交互作用均不显著，确定因素的优水平时可以
不考虑交互作用的影响。对显著因素B，通过比较K1B和K2B的大小确定优水平为B2;同
理A取A2，C取C1或C2。优组合为A2B2C1或A2B2C2。方差分析可以分析出试验误差的
大小，从而知道试验精度;不仅可给出各因素及交互作用对试验指标影响的主次顺序，而且
可分析出哪些因素影响显著，哪些影响不显著。对于显著因素，选取优水平并在试验中加以
严格控制;对不显著因素，可视具体情况确定优水平。但极差分析不能对各因素的主要程度
给予精确的数量估计。混合型正交试验方差分析混合型正交试验方差分析与等水平正
交试验方差分析没有本质区别。 (1)计算二水平列: 46.24 K4j2 96.04 K3j2 108.16 116.64 161.29 132.25 20.25 K2j2 156.25 146.41 104.04 129.96 3.24 K1j2 6.8 K4j 9.8 K3j 10.4 10.8 12.7
11.5 4.5 K2j 12.5 12.1 10.2 11.4 1.8 K1j 3 2 1 1 2 4 8 3.8 1 2 2 1 4 7 4.7 1 2 1 2 3 6 5.1 2 1 2 1 3 5 3
1 1
2 2 2 4 1.5 2 2 1 1 2
3 0.8 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 试验指标
空列空列油炸时间s C 含水
量,B 油温?A 试验号表10-27 试验方案及结果分析 (2)显著性检验因素A显著，因
素C不显著，因素B对试验结果无影响，各因素作用的主次顺序为:A,C,B。
自由度计
算: 7 18.879 总和 0.254 3 0.764 误差e ? 0.381 2 0.763 误差e F0.05 1,3
10.13 F0.01 1,3 34.12 3.07 0.781 1 0.781 C 0.00125 1 0.00125 B? *
F0.05 3,3 9.28, F0.01 3,3 29.46 22.75 5.778 3 17.334 A 显著性临界值Fa F值均方自由度平方和
变异来源表10-28 方差分析表 (3)优化条件的确定通过比较因素A各水平K 值，可确
定其优水平为A3;因素B不显著，可根据情况确定优水平，因素C对试验结果无影响，为
缩短加工时间，应选C1。因此，优化工艺条件为A3B1C1或A3B2C1。下一张主页退
出上一张所谓表头设计，就是把试验因素和要考察的交互作用分别安排到正交表
的各列中去的过程。在不考察交互作用时，各因素可随机安排在各列上;若考察交
互作用，就应按所选正交表的交互作用列表安排各因素与交互作用，以防止设计“混杂” 。
此例不考察交互作用，可将加水量 A 、加酶量 B 和酶解温度 C 、酶解时间(D)依次安
排在L9 34 的第1、2、3、4列上，见表10-4所示。 (4) 表头设计 D C B A 因素 4 3 2 1 列
号表10-4 表头设计下一张主页退出上一张 (5)编制试验方案，按方案进
行试验，记录试验结果。 1 2 3 3 9 3 1 2 3 8 2 3 1 3 7 2 1 3 2 6 1 3 2 2 5 3 2 1 2 4 3 3 3 1 3 2 2 2 1
2 1 1 1 1 1 D C B A 因素试验号表10-5 试验方案及试验结果说明:试验号并非试验
顺序，为了排除误差干扰，试验中可随机进行; 安排试验方案时，部分因素的水
平可采用随机安排。 1(10) 2(50) 3(90) 2(4) 3(7) 1(1) 2(35) 1(20)
3(50) 3 3.5 2 2.5 1 1.5 42 18 1 28 47 12 24 17 0 试验结果 (液化率 %) 例10-2 鸭
肉保鲜天然复合剂的筛选。试验以茶多酚作为天然复合保鲜剂的主要成分，分别添加不同增
效剂、被膜剂和不同的浸泡时间，进行4因素4水平正交试验。试设计试验方案。(西南农业大学) 有机酸和盐处理对鸭肉保鲜有明显效果，但大部分属于合成的化学试剂，在卫生安全上得不到保证，并且不符合满足消费者纯天然、无污染的要求。 ? 明确目的，确定指标。本例的目的是通过试验，寻找一个最佳的鸭肉天然复合保鲜剂。 ? 选因素、定水平。根据专业知识和以前研究结果，选择4个因素，每个因素定4个水平，因素水平表见表10-6。 ? 选择正交表。此试验为4因素4水平试验，不考虑交互作用，4因素共占4列，选L16(45)最合适，并有1空列，可以作为试验误差以衡量试验的可靠性。表头设计。4因素任意放置。编制试验方案。试验方案见表10-7。 4 1.0,葡萄糖生姜汁 0.4 4 3 1.0,海藻酸钠0.2,β-CD 0.3 3 2 0.8,海藻酸钠 0.1,柠檬酸 0.2 2 1 0.5,海藻酸钠 0.5,维生素C 0.1 1 D浸泡时间/min C被膜剂种类 B增效剂种类 A茶多酚浓度/, 水平因素表10-6 天然复合保鲜剂筛选试验因素水平表 4 4 1 1 2 2 3 3 1 1 4 4 3 3 2 2 E 空列 32.80 3 4 4 4 16 34.02 2 2 2 3 15 35.62 4 4 2 2 14 38.02 1 2 4 1 13 34.54 4 2 1 4 12 32.87 1 4 3 3 11 30.90 3 2 3 2
10 38.79 2 4 1 1 9 32.64 2 3 3 4 8 32.37 3 1 1 3 7 35.02 1 3 1 2 6 31.77 4 1 3 1 5 29.32 1 1 2 4 4
30.09 4 3 4 3 3 31.54 2 1 4 2 2 36.20 3 3 2 1 1 结果 D浸泡时间/min C 被膜剂种类 B增效剂种类 A茶多酚浓度/, 试验号表10-7 天然复合保鲜剂筛选试验方案极差分析方差分析 Kjm，kjm 计算简便，直观，简单易懂，是正交试验结果分析最常用方法。以上例为实例来说明极差分析过程。 3 正交试验的结果分
析 3.1 直观分析法,极差分析法极差分析法,R法 1. 计算 2. 判断 Rj 因素主次优水平优组合 Kjm为第j列因素m水平所对应的试验指标和，kjm为Kjm平均值。由kjm大小可以判断第j列因素优水平和优组合。 Rj为第j列因素的极差，反映了第j列因素水平波动时，试验指标的变动幅度。Rj越大，说明该因素对试验指标的影响越大。根据Rj大小，可以判断因素的主次顺序。 (1) 确定试验因素的优水平和最优水平组合分析A因素各水平对试验指标的影响。由表3可以看出，A1的影响反映在第1、2、3号试验中，A2的影响反映在第4、5、6号试验中，A3的影响反映在第7、8、9号试验中。 A因素的1水平所对应的试验指标之和为KA1 y1+y2+y3 0+17+24 41，kA1 KA1/3 13.7; A因素的2水平所对应的试验指标之和为KA2 y4+y5+y6 12+47+28 87，kA2 KA2/3 29; A因素的3水平所对应的试验指标之和为KA3 y7+y8+y9 1+18+42 61，kA3 KA3/3 20.3。不考察交互作用的试验结果分析根据正交设计的特性，对A1、A2、A3来说，三组试验的试验条件是完全一样的(综合可比性)，可进行直接比较。如果因素A对试验指标无影响时，那么kA1、kA2、kA3应该相等，但由上面的计算可见，kA1、kA2、kA3实际上不相等。说明，A因素的水平变动对试验结果有影响。因此，根据kA1、kA2、kA3的大小可以判断A1、A2、A3对试验指标的影响大小。由于试验指标为液化率，而kA2 kA3 kA1，所以可断定A2为A因素的优水平。同理，可以计算并确定B3、C3、D1分别为B、C、D因素的优水平。四个因素的优水平组合A2B3C3D1为本试验的最优水平组合，即酶法液化生产山楂清汁的最优工艺条件为加水量50mL/100g，加酶量7mL/100g，酶解温度为50?,酶解时间为1.5h。根据极差Rj的大小，可以判断各因素对试验指标的影响主次。本例极差Rj计算结果见表10-8，比较各R值大小，可见RB RA RD RC,所以因素对试验指标影响的主?次顺序是BADC。即加酶量影响最大，其次是加水量和酶解时间，而酶解温度的影响较小。 (2) 确定因素的主次顺序以各因素水平为横坐标，试验指标的平均值(kjm)为纵坐标，绘制因素与指标趋
势图。由因素与指标趋势图可以更直观地看出试验指标随着因素水平的变化而变化的趋势，可为进一步试验指明方向。 (3) 绘制因素与指标趋势图以上即为正交试验极差分析的基本程序与方法表10-8 试验结果分析 A2B3C3D1 优组合 D1 C3 B3 A2 优水平 B A D C 主次顺序 14.3 8.7 27.0 15.3 极差R 18.0 24.0 31.3 20.3 k3 15.3 23.7 27.3 29.0
k2 29.7 15.3 4.3 13.7 k1 54 72 94 61 K3 46 71 82 87 K2 89 46 13 41
K1 42 1 2 3 3 9 18 3 1 2 3 8 1 2
3 1 3 7 28 2 1 3 2 6 47 1 3 2 2 5 12 3 2 1 2
4 24 3 3 3 1 3 17 2 2 2 1 2 0 1 1 1 1 1 D C B A 液化率,
因素试验号表10-8 试验结果分析 (2)计算各因素同一水平的平均值Ki。
K1 36.20，K2 33.27，K3 32.34，K4 31.83 例10-2试验结果极差分析 (1)计算
Ki值。Ki为同一水平之和。以第一列A因素为例:K1 36.20+31.77+38.79+38.02 144.78 K2 31.54+35.02+30.90+35.62
133.08 K3 30.09+32.37+32.87+34.02 129.35 K4 29.32+32.64+34.54+32.80 129.30 (3)计算各因素的极差R，R表示该因素在其取值范围内试验指标变化的幅度。 R (Ki)-min(Ki) (4)根据极差大小，判断因素的主次影响顺序。R越大，表示该因素的水平变化对试验指标的影响越大，因素越重要。由以上分析可见，因素影响主次顺序为A-C-B-D，A因素影响最大，为主要因素，D因素为不重要因素。(5)做因素与指标趋势图，直观分析出指标与各因素水平波动的关系。 (6)选优组合，即根据各因素各水平的平均值确定优水平，进而选出优组合。本例A、B、C 为主要因素，按照平均值大小选取优水平为A1B1C4，即茶多酚用量取0.1%水平;以0.5%维生素C作为增效剂;1.0%葡萄糖液为被膜剂为形成的鸭肉保鲜复合剂为优组合，而浸泡时间为次要因素，选取操作时间1-3min即可。表10-9 鸭肉保鲜天然复合剂筛选试验结果附1 : 多指标正交试验极差分析对于多指标试验，方案设
计和实施与单指标试验相同，不同在于每做一次试验，都需要对考察指标一一测试，分别记录。试验结果分析时，也要对考察指标一一分析，然后综合评衡，确定出优条件。油炸方便面生产中，主要原料质量和主要工艺参数对产品质量有影响。通过试验确定最佳生产条件。 (1)试验方案设计确定试验指标。本试验目的是探讨方便面生产的最佳工艺条件，以提高方便面的质量。试验以脂肪含量、水分含量和复水时间指标。脂肪含量越低越好，水分含量越高越好，复水时间越短越好。挑因素，选水平，列因素水平表。根据专业知识和实践经验，确定试验因素和水平见表10-10。表10-10 因素水平表选正交表、设计表头、编制试验方案。本试验为四因素三水平试验，不考虑交互作用，选L9(34)安排试验。表头设计和试验方案以及试验结果记录见表。 (2)试验结果分析计算各因素各水平下每种试验指标的数据和以及平均值，并计算极差R。根据极差大小列出各指标下的因素主次顺序。试验指标: 主次顺序脂肪含量(,):ACDB 水分含量(,):CDAB 复水时间(s):ADBC 表10-11 试验结果极差分析表初选优化工艺条件。根据各指标不同水平平均值确定各因素的优化水平组合。脂肪含量(,):A3B3C1D2 水分含量(,):A1B2C1D1 复水时间( s ):A2B2C2D3 综合平衡确定最优工艺条件。以上三指标单独分析出的优化条件不一致，必须根据因素的影响主次，综合考虑，确定最佳工艺条件。对于因素A，其对粗脂肪影响大小排第一位，此时取A3;其对复水时间影响也排第一位，取A2;而其对水分影响排次要第三位，为次要因素，因此A可取A2或A3，但取A2时，复水时间比取A3缩短了14%，而粗脂肪增加了11.3%，且由水分指标看，取A2比A3水分高，故A因素取A2。同理可分析B取B2，C取C1，D 取D3。优组合为A2B2C1D3. 附2 : 混合型正交表试验设计与极差分析试验设计与结果分析同前。某油炸膨化食品的体积与油温、物料含水量及油炸时间有关，为确保产品质量，现通过正交试验来寻求理想的工艺参数。表10-12 因素水平表表10-13 试验方案及结果分析结论:油炸温度对油炸食品的体积影响最大，其次
是油炸时间，而物料含水量影响最小。优化组合为A3B2C2或A3B1C2，即理想工艺参数为油炸温度230，油炸时间40s，物料含水量可取2%或4%。 r 为因素每个水平试验重复数 d 折算系数，与因素水平有关。表10-14 折算系数表 (1) 交互作用在多因素试验中，不仅因素对指标有影响，而且因素之间的联合搭配也对指标产生影响。因素间的联合搭配对试验指标产生的影响作用称为交互作用。因素之间的交互作用总是存在的，这是客观存在的普遍现象，只不过交互作用的程度不同而异。一般地，当交互作用很小时，就认为因素间不存在交互作用。对于交互作用，设计时应引起高度重视。在试验设计中，表示A、B间的交互作用记作A×B，称为1级交互作用;表示因素A、B、C之间的交互作用记作A×B×C，称为2级交互作用;依此类推，还有3级、4级交互作用等。
考察交互作用的试验设计与结果分析 (2)交互作用的处理原则试验设计中，交互作用一律当作因素看待，这是处理交互作用问题的总原则。作为因素，各级交互作用都可以安排在能考察交互作用的正交表的相应列上，它们对试验指标的影响情况都可以分析清楚，而且计算非常简单。但交互作用又与因素不同，表现在: ? 用于考察交互作用的列不影响试验方案及其实施; ? 一个交互作用并不一定只占正交表的一列，而是占有(m-1)p列。表头设计时，交互作用所占列数与因素的水平m 有关，与交互作用级数p有关。 2水平因素的各级交互作用均占1列;对于3水平因素，一级交互作用占两列，二级交互作用占四列，……，可见，m和p越大，交互作用所占列数越多。例如，对一个25因素试验，表头设计时，如果考虑所有各级交互作用，那么连同因素本身，总计应占列数为: C51 + C52 +C53 +C54
+C55 ,5+10+10+5+1,31，那么此试验必选L32(24)正交表进行设计。一般对于多因素试验，在满足试验要求的条件下，有选择地、合理地考察某些交互作用。综合考虑试验目的、专业知识、以往的经验及现有试验条件等多方面情况进行交互作用选择。一般原则是: ? 忽略高级交互作用 ? 有选择地考察一级交互作用。通常
只考察那些作用效果较明显的，或试验要求必须考察的。 ? 试验允许的条件下，试验因素尽量取2水平。 (3)有交互作用的试验表头设计表头设计时，各因素及其交互作用不能任意安排，必须严格按交互作用列表进行安排。这是有交互作用正交试验设计的一个重要特点，也是关键的一步。在表头设计中，为了避免混杂，那些主要因素，重点要考察的因素，涉及交互作用较多的因素，应该优先安排，次要因素，不涉及交互作用的因素后安排。所谓混杂，就是指在正交表的同列中，安排了两个或两个以上的因素或交互作用，这样，就无法区分同一列中这些不同因素或交互作用对试验指标的影响效果。下一张主页退出上一张 (4)有交互作用的正交设计与分析实例下一张主页退出上一张 * * 下一张主页退出上一张下一张主页退出上一张 1 正交试验设计的概念及原理下一张主页退出上一张下一张主页退出上一张表10-1 下一张主页退出上一张图10-1 下一张主页退出上一张下一张主页退出上一张下一张主页退出上一张下一张主页退出上一张表10-2 下一张主页退出上一张下一张主页退出上一张 .2 代表性一方面: (1)任一列的各水平都出现，使得部分试验中包括了所有因素的所有水平; (2)任两列的所有水平组合都出现，使任意两因素间的试验组合为全面试验。另一方面:由于正交表的正交性，正交试验的试验点必然均衡地分布在全面试验点中，具有很强的代表性。因此，部分试验寻找的最优条件与全面试验所找的最优条件，应有一致的趋势。 .3 综合可比性 (1)任一列的各水平出现的次数相等;(2)任两列间所有水平组合出现次数相等，使得任一因素各水平的试验条件相同。这就保证了在每列因素各水平的效果中，最大限度地排除了其他因素的干扰。从而可以综合比较该因素不同水平对试验指标的影响情况。下一张主页退出上一张整齐可比是指每一个因素的各水平间具有可比性。因为正交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着另外因素的各个水平，当比较某因素不同水平时，其它因素的效应都彼此抵消。如在A、B、C 3个因素
中，A因素的3个水平 A1、A2、A3 条件下各有 B 、C 的 3个不同水平，即: 下一张主页退出上一张正交表的三个基本性质中，正交性是核心，是基础，代表性和综合可比性是正交性的必然结果下一张主页退出上一张 2 正交试验设计的基本程序对于多因素试验，正交试验设计是简单常用的一种试验设计方法，其设计基本程序如图所示。正交试验设计的基本程序包括试验方案设计及试验结果分析两部分。试验目的与要求试验指标选因素、定水平因素、水平确定
选择合适正交表表头设计列试验方案试验方案设计: 试验结果分析进行试验，记录试验结果试验结果极差分析计算K值计算k值计算极差R 绘制因素指标趋势图优水平因素主次
顺序优组合结论试验结果分析: 试验结果方差分析列方差分析表，进行F 检验计算各列偏差平方和、自由度分析检验结果，写出结论 2.1 试验方案设计实例:为提高山楂原料的利用率，研究酶法液化工艺制造山楂原汁，拟通过正交试验来寻找酶法液化的最佳工艺条件。试验设计前必须明确试验目的，即本次试验要解决什么问题。试验目的确定后，对试验结果如何衡量，即需要确定出试验指标。试验指标可为定量指标，如强度、硬度、产量、出品率、成本等;也可为定性指标如颜色、口感、光泽等。一般为了便于试验结果的分析，定性指标可按相关的标准打分或模糊数学处理进行数量化，将定性指标定量化。 (1) 明确试验目的，确定试验指标对本试验而言，试验目的是为了提高山楂原料的利用率。所以可以以液化率液化率 [ 果肉重量-液化后残渣重量 /果肉重量]×100% 为试验指标，来评价液化工艺条件的好坏。液化率越高，山楂原料利用率就越高。下一张主
页退出上一张根据专业知识、以往的研究结论和经验，从影响试验指标的诸多因素中，通过因果分析筛选出需要考察的试验因素。一般确定试验因素时，应以对试验指标影响大的因素、尚未考察过的因素、尚未完全掌握其规律的因素为先。试验因素选定后，根据所掌握的信息资料和相关知识，确定每个因素的水平，一般以
正交实验设计 1．概述 任何生产部门，任何科学实验工作，为达到预期目的和效果都必须恰当地安排实验工作，力求通过次数不多的实验认识所研究课题的基本规律并取得满意的结果。例如为拟定一个正确而简便的分析方法，必然要研究影响这种分析方法效果的种种条件，诸如试剂浓度和用量、溶液酸度、反应时间以及共存组分的干扰等等。同时，对于影响分析效果的每一种条件，还应通过试验选择合理的范围。在这里，我们把受到条件影响的反系方法的准确度、精密度以及方法的效果等叫做指标；把试验中要研究的条件叫做因素；把每种条件在试验范围内的取值（或选取的试验点）叫做该条件的水平。这就是说我们常常遇到的问题可能包括多种因素，各种因素又有不同的水平，每种因素可能对分析结果产生各自的影响，也可能彼此交织在一起而产生综合的效果。 正交试验设计就是用于安排多因素实验并考察各因素影响大小的一种科学设计方法。它始于1942年，之后在各个领域里都得到很快的发展和广泛应用。这种科学设计方法是应用一套已规格化的表格——正交表来安排实验工作，其优点是适合于多种因素的实验设计，便于同时考查多种因素各种水平对指标的影响通过较少的实验次数，选出最佳的实验条件，即选出各因素的某一水平组成比较合适的条件，这样的条件就所考查的因素和水平而言，可视为最佳条件。另一方面，还可以帮助我们在错综复杂的因素中抓住主要因素，并判断那些因素只起单独的作用，那些因素除自身的单独作用外，它们之间还产生综合的效果。数理统计上的实验设计还能给出误差的估计。 2. 试验设计的基本方法 全面试验法 正交设计的方法，首先应根据实验的目的,确定影响实验结果的各种因素，选择这些影响因素的试验点，进而拟出实验方案，之后按所拟方案进行实验并对实验结果作出评估。必要时再拟出进一步的实验方案，使实验工作更趋完善，所得结果也更为可靠。 如在研究某一显色反应时，为选择合适的显色温度、酸度和显色完全的时间，可作如下的试验安排。 首先确定上述三因素的实验范围： 显色温度： 25——35℃ （温度以A表示） 酸浓度：——L （酸浓度以B表示）
选用正交表。根据提供的因素和水平进行正交表的选择, 选择的方法为试验的水平作为正 交表的水平, 试验的各个因素小于或等于正交表的列数,表格中没有数据的项空掉即可。 可以数据公式分析影响因子，也可以软件表征结果 (1) L 4（23） 任意两列间的交互作用为另外一列 (2) L 8(27) L 8(27)二列间的交互作用表 1 2 3 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 1 2 4 2 2 1 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 3 1 2 2 1 1 2 2 4 1 2 2 2 2 1 1 5 2 1 2 1 2 1 2 6 2 1 2 2 1 2 1 7 2 2 1 1 2 2 1 8 2 2 1 2 1 1 2 1 2 3 4 5 6 7 （1） 3 2 6 4 7 6 （2） 1 5 7 4 5 （3） 7 6 5 4 （4） 1 2 3 （5） 3 2 （6） 1 （7） 列 号 试 验 号 列 号 试 验 号 列 号 列 号
L 8(27)表头设计 1 2 3 4 5 6 7 3 A B A ×B C A ×C B ×C 4 A B A ×B C ×D C A ×C B ×D B ×C A ×D D 4 A B C ×D A ×B C B ×D A ×C D B ×C A ×D 5 A D ×E B C ×D A × B C ×E C B ×D A ×C B ×E D A × E B ×C E A ×D (3) L 8(4×24) L 8(4×24)表头设计 1 2 3 4 5 2 A B (A ×B)1 (A ×B)2 (A ×B)3 3 A B C 4 A B C D 5 A B C D E 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 3 2 1 1 2 2 4 2 2 2 1 1 5 3 1 2 1 2 6 3 2 1 2 1 7 4 1 2 2 1 8 4 2 1 1 2 列 号 因 子 数 列 号 试 验 号 列 号 因 子 数
L9（34） 序号 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 1 3 3 3 4 2 1 2 3 5 2 2 3 1 6 2 3 1 2 7 3 1 3 2 8 3 2 1 3 9 3 3 2 1 回首页 正交试验设计法 正交试验设计法的基本思想 正交表 正交表试验方案的设计 试验数据的直观分析 正交试验的方差分析 常用正交表 1．正交试验设计法的基本思想 正交试验设计法，就是使用已经造好了的表格--正交表--来安排试验并进行数据分析的一种方法。它简单易行，计算表格化，使用者能够迅速掌握。下边通过一个例子来说明正交试验设计法的基本想法。 [例1]为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A)，反应时间(B)，用碱量(C)，并确定了它们的试验范围： A：80-90℃ B：90-150分钟 C：5-7％ 试验目的是搞清楚因子A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。
试制定试验方案。 这里，对因子A，在试验范围内选了三个水平；因子B和C 也都取三个水平： A：Al＝80℃，A2＝85℃，A3=90℃ B：Bl＝90分，B2＝120分，B3=150分 C：Cl＝5％，C2＝6%，C3＝7% 当然，在正交试验设计中，因子可以是定量的，也可以是定性的。而定量因子各水平间的距离可以相等，也可以不相等。 这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法： (Ⅰ)取三因子所有水平之间的组合，即AlBlC1，A1BlC2，A1B2C1，……，A3B3C3，共有 33=27次 试验。用图表示就是图1 立方体的27个节点。这种试验法叫做全面试验法。 全面试验对各因子与指标间的关系剖析得比较清楚。但试验次数太多。特别是当因子数目多，每个因子的水平数目也多时。试验量大得惊人。如选六个因子，每个因子取五个水平时，如欲做全面试验，则需56＝15625次试验，这实际上是不可能实现的。如果应用正交实验法，只做25次试验就行了。而且在某种意义上讲，这25次试验代表了15625次试验。 图1 全面试验法取点.......... (Ⅱ)简单对比法，即变化一个因素而固定其他因素，如首先固定B、C于Bl、Cl，使A变化之： ↗A1 B1C1 →A2 ↘A3 (好结果) 如得出结果A3最好，则固定A于A3，C还是Cl，使B变化之： ↗B1 A3C1 →B2 (好结果) ↘B3 得出结果以B2为最好，则固定B于B2，A于A3，使C变化之： ↗C1 A3B2→C2 (好结果) ↘C3 试验结果以C2最好。于是就认为最好的工艺条件是A3B2C2。 这种方法一般也有一定的效果，但缺点很多。首先这种方法的选点代表性很差，如按上述方法进行试验，试验点完全分布在一个角上，而在一个很大的范围内没有选点。因此这种试验方法不全面，所选的工艺条件A3B2C2不一定是27个组合中最好的。其次，用这种方法比较条件好坏时，是把单个的试验数据拿来，进行数值上的简单比较，而试验数据中必然要包含着误差成分，所以单个数据的简单比较不能剔除误差的干扰，必然造成结论的不稳定。
正交试验设计法[17] 正交试验设计是利用“正交表”选择试验的条件，并利用正交表的特点进行数据分析，找出最好的或满意的试验条件，适用于多因素的设计问题。正交试验法的理论基础是正交拉丁方理论与群论。在工作中可用的多因素寻优工作方法，一类是从优选区某一点开始试验，一步一步到达较优点，这类实验方法叫序贯试验法，如因素轮换法、爬山法等；另一类是，在优选区内一次布置一批试验点，通过对这批试验结果的分析，逐步缩小优选范围从而达到较优点，如正交试验法等。科研中普遍采用正交试验法，因其具有如下优点： ①实用上按表格安排试验，使用方便； ②布点均衡、试验次数较少； ③在正交试验法中的最好点，虽然不一定是全面试验的最好点，但也往往是相当好的点。特别在只有一两个因素起主要作用时，正交试验法能保证主要因素的各种可能都不会漏掉。这点在探索性工作中很重要，其他试验方法难于作到； ④正交试验法提供一种分析结果（包括交互作用）的方法，结果直观易分析。且每个试验水平都重复相同次数，可以消除部分试验误差的干扰； ⑤因其具有正交性，易于分析出各因素的主效应。 名词解释： 1 试验因素：影响考核指标取值的量称为试验因素(因子)，一般记为：A，B，C等。有定量的因素，可控因素，定性的因素，不可控因素等。 2 因素的位级(水平)：指试验因素所处的状态。 4 考核指标：根据试验目的而选定的用来衡量试验效果的量值(指标)。 5 完全因素位级组合：指参与实验的全部因素与全部位级相互之间的全部组合次数，即全部的实验次数。
6 部分因素位级组合：⑴单因素转换法⑵正交试验法 7 正交表的符号：正交表是运用组合数学理论在正交拉丁名的基础上构造的一种规格化的表格。符号：Ln(ji) 其中： L--正交表的符号 n--正交表的行数(试验次数，试验方案数) j--正交表中的数码(因素的位级数) i--正交表的列数(试验因素的个数) N=ji--全部试验次数(完全因素位级组合数) 总之，利用正交试验法的设计方案，结合代数方法对数据进行分析，可达到使试验收敛速度加快、试验的效率非常高的效果。可利用试验结果获取更多信息，准确掌握效应的趋势规律，而且优选点可超越所选水平范围和精度，从而可大大减少试验次数。这种联用技术，对于可获得定量结果或结果容易定量化，以及试验代价高时，很有效。 正交实验设计 当析因设计要求的实验次数太多时，一个非常自然的想法就是从析因设计的水平组合中，选择一部分有代表性水平组合进行试验。因此就出现了分式析因设计(fractional factorial designs)，但是对于试验设计知识较少的实际工作者来说，选择适当的分式析因设计还是比较困难的。 正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分式析因设计的主要方法。是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行33=27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。若按L9(3)3正交表按排实验，只需作9次，按L18(3)7正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。 1．正交表
正交试验设计方法讲义及举例 第5章 正交试验设计方法 5．1 试验设计方法概述 试验设计是数理统计学的一个重要的分支。多数数理统计方法主要用于分析已经得到的数据，而试验设计却是用于决定数据收集的方法。试验设计方法主要讨论如何合理地安排试验以及试验所得的数据如何分析等。 例5-1 某化工厂想提高某化工产品的质量和产量，对工艺中三个主要因素各按三个水平进行试验（见表5-1）。试验的目的是为提高合格产品的产量，寻求最适宜的操作条件。 对此实例该如何进行试验方案的设计呢？ 很容易想到的是全面搭配法方案（如图5-1所示）： 此方案数据点分布的均匀性极好，因素和水平的搭配十分全面，唯一的缺点是实验次数多达33＝27次（指数3代表3个因素，底数3代表每因素有3个水平）。因素、水平数 愈多，则实验次数就愈多，例如，做一个6因素3水平的试验，就需36＝729次实验，显然难以做到。因此需要寻找一种合适的试验设计方法。 试验设计方法常用的术语定义如下。 试验指标：指作为试验研究过程的因变量，常为试验结果特征的量（如得率、纯度等）。例1的试验指标为合格产品的产量。 因素：指作试验研究过程的自变量，常常是造成试验指标按某种规律发生变化的那些原因。如例1的温度、压力、碱的用量。 水平：指试验中因素所处的具体状态或情况，又称为等级。如例1的温度有3个水平。温度用T 表示，下标1、2、3表示因素的不同水平，分别记为T 1、T 2、T 3。
常用的试验设计方法有：正交试验设计法、均匀试验设计法、单纯形优化法、双水平单纯形优化法、回归正交设计法、序贯试验设计法等。可供选择的试验方法很多，各种试验设计方法都有其一定的特点。所面对的任务与要解决的问题不同，选择的试验设计方法也应有所不同。由于篇幅的限制，我们只讨论正交试验设计方法。 5．2 正交试验设计方法的优点和特点 用正交表安排多因素试验的方法，称为正交试验设计法。其特点为：①完成试验要求所需的实验次数少。②数据点的分布很均匀。③可用相应的极差分析方法、方差分析方法、回归分析方法等对试验结果进行分析，引出许多有价值的结论。 从例1可看出，采用全面搭配法方案，需做27次实验。那么采用简单比较法方案又如何呢？ 先固定T 1和p 1，只改变m ，观察因素m 不同水平的影响，做了如图2-2（1）所示的三次实验，发现 m ＝m 2时的实验效果最好（好的用 □ 表示），合格产品的产量最高，因此认为在后面的实验中因素m 应取m 2水平。 固定T 1和m 2，改变p 的三次实验如图5-2（2）所示，发现p ＝p ３时的实验效果最好，因此认为因素p 应取p ３水平。 固定p ３和m 2，改变T 的三次实验如图5-2（3）所示，发现因素T 宜取T 2水平。 因此可以引出结论：为提高合格产品的产量，最适宜的操作条件为T 2p ３m 2。与全面搭配法方案相比，简单比较法方案的优点是实验的次数少，只需做9次实验。但必须指出，简单比较法方案的试验结果是不可靠的。因为，①在改变m 值（或p 值，或T 值）的三次实验中，说m 2（或p ３或T 2 ）水平最好是有条件的。在T ≠T １，p ≠p １时，m 2 水平不是最好的可能性是有的。②在改变m 的三次实验中，固定T ＝T ２，p ＝p ３ 应该说也是可以的，是随意的，故在此方案中数据点的分布的均匀性是毫无保障的。③用这种方法比较条件好坏时，只是对单个的试验数据进行数值上的简单比较，不能排除必然存在的试验数据误差的干扰。 运用正交试验设计方法，不仅兼有上述两个方案的优点，而且实验次数少，数据点分布均匀，结论的可靠性较好。 正交试验设计方法是用正交表来安排试验的。对于例1适用的正交表是L 9（34），其试验安排见表5-2。 所有的正交表与L 9（34）正交表一样，都具有以下两个特点： （1） 在每一列中，各个不同的数字出现的次数相同。在表L 9（34）中，每一列有三个水平，水平1、2、3都是各出现3次。 （2） 表中任意两列并列在一起形成若干个数字对， 不同数字对出现的次数也都相同。
所谓表头设计，就是确定试验所考虑的因素和交互作用，在正交表中该放在哪一列的问题。 1．有交互作用时，表头设计则必须严格地按规定办事。 例4-4乙酰胺苯磺化反应试验 试验目的：希望提高乙酰胺苯的收率 因素和水平：有四个二水平的因素（见表4-6） 表4-6例4-4因素和水平表 考虑到反应温度与反应时间可能会有交互作用，反应温度与硫酸浓度也可能有交互作用，两者可分别用代号A×B和A×C表示。试选择合适的正交表，并进行表头设计。 因为4个因素均为2水平，2个交互作用需占2列，为方差分析应至少留一个空白列作为误差列，所以可选择正交表L8（27）。 此处，表头设计的重点是搞清各个交互作用该放在哪一列。 方法之一：使用附录9正交表L8（27）后面的“L8（27）二列间交互作用表”(见表4-7)。
表4-7L8(2 7 ) 二列间交互作用表（动画） 因为考虑的交互作用是A×B和A×C，所以宜先考虑A、B、C及其交互作用的安排，暂不考虑D的安排。表4-8是本例题表头设计的结果。 其中方案1的思路为：①先将因素A、B分别放在第1、2列。②第1列和第2列的交互作用A×B该放在哪一列？在表4-7所示的L8（27）二列间交互作用表中，从最左边的列号“（1）”向右画水平线，从最上面的列号“2”向下画垂直线，所画两直线交点处的“3”就是交互作用A×B的列号。③将因素C放在第4列。④第1列和第4列的交互作用A×C该放在哪一列？由L8(27）二列间交互作用表知，A×C应放在第5列。⑤因素D该放在哪一列？因为无与D有关的交互作用，故放在第6或第7列均可。 方案2的思路为：①将A、B分别放在第7、6列。②由L8（27）二列间交互作用表知第6、7的交互作用A×B应放在第1列。③将C放在第5列。④将第5、7列的交互作用A×C放在第2列。⑤将D放在第4列或第3列均可。
正交实验设计法 正交实验设计法 1．正交试验设计法的基本思想 正交试验设计法，就是使用已经造好了的表格--正交表--来安排试验并进行数据分析的一种方法。它简单易行，计算表格化，使用者能够迅速掌握。下边通过一个例子来说明正交试验设计法的基本想法。 [例1]为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A)，反应时间(B)，用碱量(C)，并确定了它们的试验范围：A：80-90℃ B：90-150分钟 C：5-7％ 试验目的是搞清楚因子A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。试制定试验方案。 这里，对因子A，在试验范围内选了三个水平；因子B和C也都取三个水平：A：Al＝80℃，A2＝85℃，A3=90℃ B：Bl＝90分，B2＝120分，B3=150分 C：Cl＝5％，C2＝6%，C3＝7% 当然，在正交试验设计中，因子可以是定量的，也可以是定性的。而定量因子各水平间的距离可以相等，也可以不相等。 这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法： (Ⅰ)取三因子所有水平之间的组合，即AlBlC1，A1BlC2，A1B2C1，……，A3B3C3，共有 33=27次 试验。用图表示就是图1 立方体的27个节点。这种试验法叫做全面试验法。 全面试验对各因子与指标间的关系剖析得比较清楚。但试验次数太多。特别
是当因子数目多，每个因子的水平数目也多时。试验量大得惊人。如选六个因子，每个因子取五个水平时，如欲做全面试验，则需56＝15625次试验，这实际上是不可能实现的。如果应用正交实验法，只做25次试验就行了。而且在某种意义上讲，这25次试验代表了15625次试验。 (Ⅱ)简单对比法，即变化一个因素而固定其他因素，如首先固定B、C于Bl、Cl，使A变化之： ↗A1 B1C1 →A2 ↘A3 (好结果) 如得出结果A3最好，则固定A于A3，C还是Cl，使B变化之： ↗B1 A3C1 →B2 (好结果) ↘B3 得出结果以B2为最好，则固定B于B2，A于A3，使C变化之： ↗C1 A3B2→C2 (好结果) ↘C3 试验结果以C2最好。于是就认为最好的工艺条件是A3B2C2。 这种方法一般也有一定的效果，但缺点很多。首先这种方法的选点代表性很差，如按上述方法进行试验，试验点完全分布在一个角上，而在一个很大的范围内没有选点。因此这种试验方法不全面，所选的工艺条件A3B2C2不一定是27 个组合中最好的。其次，用这种方法比较条件好坏时，是把单个的试验数据拿来，进行数值上的简单比较，而试验数据中必然要包含着误差成分，所以单个数据的简单比较不能剔除误差的干扰，必然造成结论的不稳定。 简单对比法的最大优点就是试验次数少，例如六因子五水平试验，在不重复时，只用5+(6-1)×(5-1)＝5+5×4＝25次试验就可以了。 图1 全面试验法取点.......... 考虑兼顾这两种试验方法的优点，从全面试验的点中选择具有典型性、代表性的点，使试验点在试验范围内分布得很均匀，能反映全面情况。但我们又希望试验点尽量地少，为此还要具体考虑一些问题。
正交试验设计 1 正交试验设计的概念及原理 1.1 基本概念 利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。 特点：在试验因素的全部水平组合中，仅挑选部分有代表性的水平组合进行试验。 通过部分实施的试验结果，了解全面试验情况，从中找出较优的处理组合。 考察增稠剂用量、pH 值和杀菌温度对豆奶稳定性的影响。每个因素设置3个水平进行试验 。 全面试验：可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。 全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，在有些情况下无法完成 。 若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表来设计安排试验。 ● 正交试验是用部分试验来代替全面试验的，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析； ● 当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。 ● 虽然正交试验设计有上述不足，但它能通过部分试验找到最优水平组合，因而很受实际工作者青睐。 1.2 基本原理 在试验安排中，每个因素在研究的范围内选几个水平， 可以理解为在选优区内打上网格， 如果网上的每个点都做试验，就是全面试验。 3个因素的选优区可以用一个立方体表示。 3个因素各取3个水平，把立方体划分成27个格点。 若27个网格点都试验，就是全面试验。 A2 A3 A1B1C1 B3 B2 A 因素：增稠剂用量，A1、A2、A3 B 因素：pH ，B1、B2、B3 C 因素：杀菌温度，C1、C2、C3 3因素 3水平 33 ＝27
1.2 基本原理 正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。
A1B1C1 A1B2C2 A1B3C3 A2B1C2 A2B2C3 A3B1C3 A3B2C1 A3B3C2 A2B3C1 A1B1C3 A1B3C1 A2B1C1 A2B2C1 A2B3C3 A3B1C1 A3B2C3 9个组合
正交试验设计表 第十章正交试验设计对于单因素或两因素试验，因其因素少，试验的设计、实施与分析都比较简单。但在实际工作中，常常需要同时考察 3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。正交试验设计就是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。 1.1 正交试验设计的基本概念正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优的水平组合。例如，要考察增稠剂用量、pH值和杀菌温度对豆奶稳定性的影响。每个因素设置3个水平进行试验。 A因素是增稠剂用量，设A1、A2、A3 3个水平;B因素是pH值，设B1、B2、B3 3个水平;C因素为杀菌温度，设C1、C2、C3 3个水平。这是一个3因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能组合有27种。全面试验:可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，在有些情况下无法完成。若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表来设计安排试验。正交试验设计的基本特点是:用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。正因为正交试验是用部分试验来代替全面试验的，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析;当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。虽然正交试验设计有上述不足，但它能通过部分试验找到最优水平组合，因而很受实际工作者青睐。如对于上述3因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9 34 安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。 1.2 正交试验设计的基本原理在试验安排中，每个因素在研究的范
正交试验设计常用正交表 (1) L4（23） 任意两列间的交互作用为另外一列(2) L8(27) L8(27)二列间的交互作用表
L8(27)表头设计 (3) L8(4×24) 号 L8(4×24)表头设计
(4) L12 (211) (5) L16 (215)
L16(215)二列间的交互作用表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1) 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14 (2) 1 6 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13 (3) 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12 (4) 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11 (5) 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10 (6) 1 14 15 12 13 10 11 8 9 (7) 15 14 13 12 11 10 9 8 (8) 1 2 3 4 5 6 7 (9) 3 2 5 4 7 6 (10) 1 6 7 4 5 (11) 7 6 5 4 (12) 1 2 3 (13) 3 2 (14) 1 L16(215)表头设计 15 E C×E B×F C×E B×F A×G C×E B×F A×G D×H 14 A×E G G 13 B×E F F F 12 C×D C×D C×D A×F C×D A×F A×G C×D A×F A×G E×H 11 C×E E E E
(6) L16 (4×212)
L16 (4×212)表头设计
正交实验设计 当析因设计要求的实验次数太多时，一个非常自然的想法就是从析因设计的水平组合中，选择一部分有代表性水平组合进行试验。因此就出现了分式析因设计(fractional factorial designs)，但是对于试验设计知识较少的实际工作者来说，选择适当的分式析因设计还是比较困难的。 正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分式析因设计的主要方法。是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行33=27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。若按L9(3)3正交表按排实验，只需作9次，按L18(3)7正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。 1．正交表 正交表是一整套规则的设计表格，用。L为正交表的代号，n为试验的次数， t为水平数，c为列数，也就是可能安排最多的因素个数。例如L9(34)，(表11)，它表示需作9次实验，最多可观察4个因素，每个因素均为3水平。一个正交表中也可以各列的水平数不相等，我们称它为混合型正交表，如L8(4×24) (表12)，此表的5列中，有1列为4水平，4列为2水平。根据正交表的数据结构看出，正交表是一个n行c列的表，其中第j列由数码1，2，… S j组成，这些数码均各出现N/S次，例如表11中，第二列 的数码个数为3，S=3 ，即由1、2、3组成，各数码均出现次。
(1) L 4（23） 任意两列间的交互作用为另外一列。 (2) L 8(27) L 8(27)二列间的交互作用表 1 2 3 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 1 2 4 2 2 1 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 3 1 2 2 1 1 2 2 4 1 2 2 2 2 1 1 5 2 1 2 1 2 1 2 6 2 1 2 2 1 2 1 7 2 2 1 1 2 2 1 8 2 2 1 2 1 1 2 1 2 3 4 5 6 7 （1） 3 2 6 4 7 6 （2） 1 5 7 4 5 （3） 7 6 5 4 （4） 1 2 3 （5） 3 2 （6） 1 （7） 列 号 试 验 号 列 号 试 验 号 列 号 列 号
L 8(27)表头设计 1 2 3 4 5 6 7 3 A B A ×B C A ×C B ×C 4 A B A ×B C ×D C A ×C B ×D B ×C A ×D D 4 A B C ×D A ×B C B ×D A ×C D B ×C A ×D 5 A D ×E B C ×D A × B C ×E C B ×D A ×C B ×E D A × E B ×C E A ×D (3) L 8(4×24) L 8(4×24)表头设计 1 2 3 4 5 2 A B (A ×B)1 (A ×B)2 (A ×B)3 3 A B C 4 A B C D 5 A B C D E 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 3 2 1 1 2 2 4 2 2 2 1 1 5 3 1 2 1 2 6 3 2 1 2 1 7 4 1 2 2 1 8 4 2 1 1 2 列 号 因 子 数 列 号 试 验 号 列 号 因 子 数
正交试验设计 对于单因素或两因素试验，因其因素少，试验的设计、实施与分析都比较简单。但在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。正交试验设计就是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。 1 正交试验设计的概念及原理 1.1 正交试验设计的基本概念 正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优的水平组合。 例如：设计一个三因素、3水平的试验 A因素，设A1、A2、A33个水平；B因素，设B1、B2、B33个水平；C因素，设C1、C2、C3 3个水平，各因素的水平之间全部可能组合有27种。 全面试验：可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多（图示的27个节点），工作量大，在有些情况下无法完成。 若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表来设计安排试验。 全面试验法示意图
三因素、三水平全面试验方案 正交试验设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。 正因为正交试验是用部分试验来代替全面试验的，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。虽然正交试验设计有上述不足，但它能通过部分试验找到最优水平组合，因而很受实际工作者青睐。 如对于上述3因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包
正交试验设计法 1．正交试验设计法的基本思想 正交试验设计法，就是使用已经造好了的表格--正交表--来安排试验并进行数据分析的一种方法。它简单易行，计算表格化，使用者能够迅速掌握。下边通过一个例子来说明正交试验设计法的基本想法。[例1]为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A)，反应时间(B)，用碱量(C)，并确定了它们的试验范围： A：80-90℃ B：90-150分钟 C：5-7％ 试验目的是搞清楚因子A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。试制定试验方案。 这里，对因子A，在试验范围内选了三个水平；因子B和C也都取三个水平： A：Al＝80℃，A2＝85℃，A3=90℃ B：Bl＝90分，B2＝120分，B3=150分 C：Cl＝5％，C2＝6%，C3＝7% 当然，在正交试验设计中，因子可以是定量的，也可以是定性的。而
定量因子各水平间的距离可以相等，也可以不相等。 这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法： (Ⅰ)取三因子所有水平之间的组合，即 AlBlC1，A1BlC2，A1B2C1，……， A3B3C3，共有 33=27次 试验。用图表示就是图1 立方体的27 个节点。这种试验法叫做全面试验法。 全面试验对各因子与指标间的关系剖析得比较清楚。但试验次数太多。特别是当因子数目多，每个因子的水平数目也多时。试验量大得惊人。如选六个因子，每个因子取五个水平时，如欲做全面试验，则需56 ＝15625次试验，这实际上是不可能实现的。如果应用正交实验法，只做25次试验就行了。而且在某种意义上讲，这25次试验代表了15625次试。 (Ⅱ)简单对比法，即变化一个因素而固定其他因素，如首先固定B、C于Bl、Cl，使A变化之： ↗A1 B1C1 →A2 ↘A3 (好结果) 如得出结果A3最好，则固定A于A3，C还是Cl，使B变化之：
正交试验设计法 正交试验设计法的基本思想 正交表 正交表试验方案的设计 试验数据的直观分析 正交试验的方差分析 补充内容 1．正交试验设计法的基本思想 正交试验设计法，就是使用已经造好了的表格--正交表--来安排试验并进行数据分析的一种方法。它简单易行，计算表格化，使用者能够迅速掌握。下边通过一个例子来说明正交试验设计法的基本想法。 [例1]为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A)，反应时间(B)，用碱量(C)，并确定了它们的试验范围： A：80-90℃ B：90-150分钟 C：5-7％ 试验目的是搞清楚因子A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。试制定试验方案。 这里，对因子A，在试验范围内选了三个水平；因子B和C也都取三个水平：A：Al＝80℃，A2＝85℃，A3=90℃ B：Bl＝90分，B2＝120分，B3=150分 C：Cl＝5％，C2＝6%，C3＝7% 当然，在正交试验设计中，因子可以是定量的，也可以是定性的。而定量因子各水平间的距离可以相等，也可以不相等。 这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法： (Ⅰ)取三因子所有水平之间的组合，即 AlBlC1，A1BlC2，A1B2C1，……，A3B3C3， 共有 33=27次 试验。用图表示就是图1 立方体的27个节 点。这种试验法叫做全面试验法。
全面试验对各因子与指标间的关系剖析得比较清楚。但试验次数太多。特别是当因子数目多，每个因子的水平数目也多时。试验量大得惊人。如选六个因子，每个因子取五个水平时，如欲做全面试验，则需56＝15625次试验，这实际上是不可能实现的。如果应用正交实验法，只做25次试验就行了。而且在某种意义上讲，这25次试验代表了15625次试验。 图1 全面试验法取点.......... (Ⅱ)简单对比法，即变化一个因素而固定其他因素，如首先固定B、C于Bl、Cl，使A变化之： ↗A1 B1C1 →A2 ↘A3 (好结果) 如得出结果A3最好，则固定A于A3，C还是Cl，使B变化之： ↗B1 A3C1 →B2 (好结果) ↘B3 得出结果以B2为最好，则固定B于B2，A于A3，使C变化之： ↗C1 A3B2→C2 (好结果) ↘C3 试验结果以C2最好。于是就认为最好的工艺条件是A3B2C2。 这种方法一般也有一定的效果，但缺点很多。首先这种方法的选点代表性很差，如按上述方法进行试验，试验点完全分布在一个角上，而在一个很大的范围内没有选点。因此这种试验方法不全面，所选的工艺条件A3B2C2不一定是27个组合中最好的。其次，用这种方法比较条件好坏时，是把单个的试验数据拿来，进行数值上的简单比较，而试验数据中必然要包含着误差成分，所以单个数据的简单比较不能剔除误差的干扰，必然造成结论的不稳定。 简单对比法的最大优点就是试验次数少，例如六因子五水平试验，在不重复时，只用5+(6-1)×(5-1)＝5+5×4＝25次试验就可以了。 考虑兼顾这两种试验方法的优点，从全面 试验的点中选择具有典型性、代表性的 点，使试验点在试验范围内分布得很均 匀，能反映全面情况。但我们又希望试验 点尽量地少，为此还要具体考虑一些问 题。 如上例，对应于A有Al、A2、A3三个平 面，对应于B、C也各有三个平面，共九 个平面。则这九个平面上的试验点都应当 一样多，即对每个因子的每个水平都要同等看待。具体来说，每个平面上都有三行、三列，要求在每行、每列上的点一样多。这样，作出如图2所示的设计，试验点用⊙表示。我们看到，在9个平面中每个平面上都恰好有三个点而每个平面
1．正交试验设计法的基本思想 正交试验设计法，就是使用已经造好了的表格--正交表--来安排试验并进行数据分析的一种方法。它简单易行，计算表格化，使用者能够迅速掌握。下边通过一个例子来说明正交试验设计法的基本想法。 [例1]为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A)，反应时间(B)，用碱量(C)，并确定了它们的试验范围： A：80-90℃ B：90-150分钟 C：5-7％ 试验目的是搞清楚因子A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。试制定试验方案。 这里，对因子A，在试验范围内选了三个水平；因子B和C也都取三个水平：A：Al＝80℃，A2＝85℃，A3=90℃ B：Bl＝90分，B2＝120分，B3=150分 C：Cl＝5％，C2＝6%，C3＝7% 当然，在正交试验设计中，因子可以是定量的，也可以是定性的。而定量因子各水平间的距离可以相等，也可以不相等。 这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法： (Ⅰ)取三因子所有水平之间的组合，即AlBlC1，A1BlC2，A1B2C1，……，A3B3C3，共有 33=27次 试验。用图表示就是图1 立方体的27个节点。这种试验法叫做全面试验法。全面试验对各因子与指标间的关系剖析得比较清楚。但试验次数太多。特别是当因子数目多，每个因子的水平数目也多时。试验量大得惊人。如选六个因子，每个因子取五个水平时，如欲做全面试验，则需56＝15625次试验，这实际上是不可能实现的。如果应用正交实验法，只做25次试验就行了。而且在某种意义上讲，这25次试验代表了15625次试验。 图1 全面试验法取点..........
正交试验设计步骤 1 在SPSS中手动录入数据。请注意写入空白列。 2 点击数据→正交设计→生成，出现“生成正交设计”对话框。按因素水平表进行赋值， 空白列的赋值为1“1”，2“2”，3“3” 3 点击“数据”→“正交设计”→“显示”，
空白列的D可不加到右边的“因子”框中。 4 测量数据填入表8中的“STATUS_”列的相应单元格中 5单击“分析”→“一般线性模型”→“单变量” 注意不要选“空白列” 6 单击“对比”→选择“简单”
7 单击“模型”→选择“设定”→将“A”、“B”、“C”选入右边的“模型”中→单击“构建项”中的“主效应”， 8 单击“选项”→将“因子与因子交互”中的“A”、“B”、“C”选入“显示均值”中→勾选“比较主效应”， 9 结果分析 （1）方差分析结果 主体间因子 值标签N 硬脂酸钠溶液浓度 1 40 3
2 50 3 3 60 3 硫酸铝溶液浓度 1 40 3 2 50 3 3 60 3 浸渍时间 1 5 3 2 15 3 3 20 3 主体间效应的检验 因变量:STATUS_ 源III 型平方 和df 均方 F Sig. 校正模型733.073a 6 122.179 35.690 .028 截距10588.410 1 10588.410 3093.012 .000 A 423.487 2 211.743 61.853 .016 B 305.060 2 152.530 44.556 .022 C 4.527 2 2.263 .661 .602 误差 6.847 2 3.423 总计11328.330 9 校正的总计739.920 8 a. R 方 = .991（调整 R 方 = .963） 根据正交试验方差分析可知，硬脂酸钠溶液浓度和硫酸铝溶液浓度对试验指标的影响非常显著，而处理时间对试验指标的影响不显著。影响程度的大小也有差异，A＞B （2）单因素统计量分析 1. 硬脂酸钠溶液浓度 估计 因变量:STATUS_ 硬脂酸钠溶液浓度 均值标准误差 95% 置信区间下限上限 dimensio n140 25.600 1.068 21.004 30.196 50 34.933 1.068 30.337 39.530 60 42.367 1.068 37.770 46.963 成对比较 因变量:STATUS_
4.1.5 正交表的表头设计 所谓表头设计，就是确定试验所考虑的因素和交互作用，在正交表中该放在哪一列的问题。 1．有交互作用时，表头设计则必须严格地按规定办事。 例4-4乙酰胺苯磺化反应试验 试验目的：希望提高乙酰胺苯的收率 因素和水平：有四个二水平的因素（见表4-6） 表4-6例4-4因素和水平表 考虑到反应温度与反应时间可能会有交互作用，反应温度与硫酸浓度也可能有交互作用，两者可分别用代号A×B和A×C表示。试选择合适的正交表，并进行表头设计。 因为4个因素均为2水平，2个交互作用需占2列，为方差分析应至少留一个空白列作为误差列，所以可选择正交表L8（27）。
此处，表头设计的重点是搞清各个交互作用该放在哪一列。 方法之一：使用附录9正交表L8（27）后面的“L8（27）二列间交互作用表”(见表4-7)。 表4-7L8(2 7 ) 二列间交互作用表（动画） 因为考虑的交互作用是A×B和A×C，所以宜先考虑A、B、C及其交互作用的安排，暂不考虑D的安排。表4-8是本例题表头设计的结果。 其中方案1的思路为：①先将因素A、B分别放在第1、2列。②第1列和第2列的交互作用A×B该放在哪一列在表4-7所示的L8（27）二列间交互作用表中，从最左边的列号“（1）”向右画水平线，从最上面的
列号“2”向下画垂直线，所画两直线交点处的“3”就是交互作用A×B 的列号。③将因素C放在第4列。④第1列和第4列的交互作用A×C 该放在哪一列由L8(27）二列间交互作用表知，A×C应放在第5列。⑤因素D该放在哪一列因为无与D有关的交互作用，故放在第6或第7列均可。方案2的思路为：①将A、B分别放在第7、6列。②由L8（27）二列间交互作用表知第6、7的交互作用A×B应放在第1列。③将C放在第5列。④将第5、7列的交互作用A×C放在第2列。⑤将D放在第4列或第3列均可。 表4-8例4-4的表头设计结果 方法之二：采用附录9中所列的正交表L8（27）后面的“L8（27）表头设计”表（见表4-9）。 表4-9L8（27）表头设计