《运筹学》重要知识点解析和例题分析第六部分
一．图的基本概念 定义
一个图G 是指一个二元组(V(G),E(G)).即图是由点及点之间的联线所组成。其中: 1）图中的点称为图的顶点(vertex).记为：v
2）图中的连线称为图的边(edge).记为：,i j e v v ⎡⎤=⎣⎦.,i j v v 是边 e 的端点。 3）图中带箭头的连线称为图的弧(arc).记为：()
,i j a v v =.,i j v v 是弧 a 的端点。
—— 要研究某些对象间的二元关系时.就可以借助于图进行研究 分类
▪ 无向图：点集V 和边集E 构成的图称为无向图(undirected graph).记为： G(V.E)—— 若这
种二元关系是对称的.则可以用无向图进行研究
▪ 有向图：点集V 和弧集A 构成的图称为有向图(directed graph) .记为：D(V.A)—— 若这种
二元关系是非对称的.则可以用有向图进行研究
▪ 有限图: 若一个图的顶点集和边集都是有限集.则称为有限图.只有一个顶点的图称为平凡图.
其他的所有图都称为非平凡图.
图的特点：
1 图反映对象之间关系的一种工具.与几何图形不同。
2 图中任何两条边只可能在顶点交叉.在别的地方是立体交叉.不是图的顶点。
3 图的连线不用按比例画.线段不代表真正的长度.点和线的位置有任意性。
4 图的表示不唯一。如：以下两个图都可以描述“七桥问题”。
点(vertex)的概念
1 端点：若e =[u.v] ∈E.则称u.v 是 e 的端点。
2 点的次：以点 v 为端点的边的个数称为点 v 的次.记为：()d v 。
在无向图G 中.与顶点v 关联的边的数目(环算两次),称为顶点v 的度或次数.记为()d v 或 dG(v).
在有向图中.从顶点v 引出的边的数目称为顶点v 的出度.记为d+(v).从顶点v 引入的边的数目称为v 的入度.记为d -(v). 称()d v = d+(v)+d -(v)为顶点v 的度或次数． 3 奇点：次为奇数的点。 4 偶点：次为偶数的点。 5 孤立点：次为零的点。
6 悬挂点：次为1的点。 定理
()2.v V
d v ε∈=∑
推论 任何图中奇点的个数为偶数． 链(chain)的概念
1 链：一个点、边的交替的连续序列{}
1122,,,,,,i i i i ik ik v e v e v e 称为链.记为μ。
2 圈(cycle)：若链μ的
1i ik
v v =.即起点＝终点.则称为圈。
3 初等链（圈）：若链（圈）中各点均不同.则称为初等链（圈） 。
4 简单链（圈） ：若链（圈）中各边均不同.则称为间单链（圈） 。 圈一定是链.链不一定是圈 路PATH
路(path)：顶点和边均互不相同的一条途径。
若在有向图中的一个链μ中每条弧的方向一致.则称μ为路。（无向图中的路与链概念一致。） 回路(circuit)：若路的第一个点与最后一个点相同.则称为回路。 连通性:
点i 和j 点是连通的：G 中存在一条（i.j ）路 G 是连通的：G 中任意两点都是连通的
例 在右边的无向图中： 途径或链：
ugyexeyfxcw
迹或简单链：vbwcxdvaugy 路或路径：
uavdxcw
圈或回路：uavbwcxfygu
在右边的有向图中：
{}11233,,,,v e v e v μ= 链 不是路
{}12233,,,,v e v e v μ= 链 且是路 {}12211,,,,v e v e v μ= 链 是回路
连通图
简单图(simple graph)：一个无环、无多重边的图称为间单图。 多重图(multiple graph)：一个无环.但有多重边的图称为多重图。
连通图(connected graph)：若图中任何两点间至少有一条链.则称为连通图 。否则.为不连通图。 连通分图：非连通图的每个连通部分称为该图的连通分图。
基础图：去掉有向图中所有弧上的箭头.得到的图称为原有向图的基础图。 图G ＝(V, E)是多重图 图G ＝(V, E)为不连通图
但G’＝(V’, E’)是G 的连通分图
u g
y
w
f
v
4 e
v 3 2
3 e
4 e 1
其中：V’＝{v1, v2, v3, v4}
E’＝{e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}
二．树（tree ） 1、树的定义
树：一个无圈的连通图称为树。 2、树的性质
（1） 设图G ＝(V, E)是一个树.点数P(G) ≥ 2.则 G 中至少有两个悬挂点。 （2） 图G ＝(V.E)是一个树<==>G 不含圈.且恰有p-1条边（p 是点数）。 （3） 图G ＝(V.E)一个树<==> G 是连通图.且q(G)＝p(G)－1 （q 是边数）。 （4） 图G ＝(V.E)是树 <==> 任意两个顶点之间恰有一条链。 图的支撑树(spanning tree)
1 支撑子图：设图G ＝(V.E).图G’＝(V’.E’)的V’＝V. E’ ⊆ E.则称G’是G 的一个支撑子图。
—— 图G’＝(V’.E’)的点集与图G ＝(V.E)的点集相同.V’＝V.但图G’＝(V’.E’)的边集仅是图G ＝(V.E)的子集E’ ⊆ E 。
2 支 撑 树：设图T ＝(V.E’)是图G ＝(V.E)的支撑子图.如果T ＝(V.E’)是一个树.则称 T 是 G 的一个支撑树。
特点——边少、点不少。
最小树(minimum spanning tree)问题 （1） 最小树定义
如果T ＝(V.E’)是 G 的一个支撑树.称 T 中所有边的权之和为支撑树T 的权.记为W （T ）.即：
(,)()i j ij
v v T
w T w ∈=
∑
若支撑树T* 的权W （T*）是G 的所有支撑树的权中最小者. 则称T* 是G 的最小支撑树（最小树）. 即：W （T*）＝ min W(T)。
（2）求最小树的算法（minimum spanning tree algorithm ）
1） 破圈法：在图G 中任取一个圈.从圈中去掉权数最大的边.对余下的图重复这个 步骤. 直到G 中不含圈为止.即可得到 G 的一个最小树。
避圈法是一种选边的过程.其步骤如下：
1. 从网络D 中任选一点i v .找出与i v 相关联的权最小的边,i j v v ⎡⎤⎣⎦.得第二个顶点j v ；
2. 把顶点集V 分为互补的两部分11,V V .其中
v
2 3 e
3
5 6 v
7
11 V V ⎧⎪⎨
⎪⎩，与已选边相关联的点集，，不与已选边相关联的点集；
113. [,],,, i j i j v v v V v V ∈∈考虑所有这样的边其中挑选其中权最小的；
114. 3()V V =Φ重复，直至全部顶点属于即。
三．最短路问题
最短路问题是图论应用的基本问题.很多实际问题.如线路的布设、运输安排、运输网络最小费用流等问题,都可通过建立最短路问题模型来求解.
1) 求赋权图中从给定点到其余顶点的最短路. 2) 求赋权图中任意两点间的最短路.
定义 1) 若H 是赋权图G 的一个子图.则称H 的各边的权和
()
()()
e E H w H w e ∈=
∑
为H 的权. 类似地.若P(u,v)
是赋权图G 中从u 到v 的路,称()()()
e E P w P w e ∈=
∑
称为路P 的权．
2) 在赋权图G 中.从顶点u 到顶点v 的具有最小权的路P*(u,v).称为u 到v 的最短路．
3) 把赋权图G 中一条路的权称为它的长.把(u,v) 路的最小权称为u 和v 之间的距离.并记作 d(u,v).
给定一个赋权有向图D ＝ ( V.A ) ,对每一条弧()(),ij
i
j
a w v v =.相应地有权()ij
ij
w a w
=.又有两点
,s t v v V ∈,
设 p 是 D 中从
s
v 到
t
v 的一条路.路 p 的权是 p 中所有弧的权之和,记为
()
w p ．最短路问题就是求从
s
v 到
t
v 的路中一条权最小的路 p*:
()()min p
w p w p *=
最短路问题的算法
下面仅介绍在一个赋权有向图中寻求最短路的方法——双标号法（Dijkstra 算法）.它是在1959年提出来的。目前公认.在所有的权0ij w ≥时.这个算法是寻求最短路问题最好的算法。并且.这个算法实际上也给出了寻求从一个始定点s v 到任意一个点j v 的最短路。 方法：标号法（Dijkstra.1959） 给每点
j v 标号,j
i
d v ⎡
⎤⎣⎦。
其中
j d 为1v 至j v 的最短距.i v 为最短路上j v 的前一点。
标号法步骤：
{}11111117771. [0];
:2. :3. [,],,, min )4. 3[,]
i j i j i ij j i v v V V V v v v V v V v d c v v d v d ⎧⎪⎨
⎪⎩∈∈+给标号，已标号点集，
把顶点集分为互补的两部分未标号点集；
考虑所有这样的边其中挑选其中与距最短（的进行标号。重复，直至终点（本例即）标上号，则即最短距，反向追踪可求出最短路。 四． 最大流问题
流量问题在实际中是一种常见的问题。如公路系统中有车辆流量问题.供电系统中有电流量问题等等。最大流问题是在单位时间内安排一个运送方案.将发点的物质沿着弧的方向运送到收点.使总运输量最大。 网络——赋权图.记D=（V.E.C ）.其中i c 为边i e 上的权。 网络分析主要内容——最小部分树、最短路、最大流。 1. 问题 已知网络D=（V.A.C ）.其中V 为顶点
集.A 为弧集.{}
ij C c =为容量集.ij c 为弧(),i j v v 上的容量。现D 上要通过一个流{}ij f f =.其中ij f 为弧()
,i j v v 上的流量。问应如何安排流量ij f 可使D 上通过的总流量v 最大？
例如：
2. 数学模型
,,i j ij v v f 决策变量：各弧（）上的流量
() Maxv v f =目标函数：
()
()
0(), 0, ,(),ij ij
ij ji f c v f i s
f f i s t
v f i t ⎧≤≤⎪=⎪⎧⎨⎪
-=≠⎨⎪⎪⎪
-=⎩⎩
∑∑容量约束约束条件：平衡条件
满足容量约束和平衡条件的流称为可行流。
3. 基本概念与定理
v 4 v 2 v s v 1 v t
v 3 2 1 3 1 4 5 3
2 5
(1) 0ij ij ij ij ij f c f c f ⎧=⎪
<⎨⎪
=⎩饱和弧：弧按流量分为未饱和弧：零流弧：
2）可增值链（增广链）
s t D v v D f μμμμμμμμ+-+
-⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩：中的正向弧集
中由至的链，记，
：中的反向弧集中弧皆未饱若，则称为中关于可行流的中弧皆非零一条可增值链。
（3） 截集与截量
{}
11111111,, ,,s t i j i j V V V v V v V v v v V v V D V V ∈∈∈∈截集（割集）：将分为二非空互补集与，使。称弧集（）为的一个截集，记为（）。
截量：截集上的容量和.记为11C V V （，）
（4） 流量与截量的关系
111111,,,v f f V V f V V C V V =-≤（）（）（）（）
最大流最小割定理：
11,Maxv f MinC V V =（）（）
（5） 最大流的判别条件
f D f 可行流是最大流的充要条件是中不存在关于的可增值链。
4. 解法
截集上的流量和
相应于截 集的反向 弧上流量和
[,], j j i j i j v v v v θθ⎧⎪
⎪⎨⎪⎪⎩
标号的过程（找可增值链）：给每点标号其中为可增值上限，
分两大步为的前接点；
调整的过程（调可增值链）。
步骤：
{}{}11111[,];
:2;
:3,, , [,], min ,,, min , ,s s i j i j i j j j i i ij ij i j j i ij i j v v V V V v v v V v V v v v v c f v v f v v θθθθ∞⎧⎪⎨⎪⎩∈∈-=（）给标号已标号点集（）把顶点集分为未标号点集
（）考虑所有这样的弧（），其中或反之，若（）为流出未饱或流入非零弧，则给标其中
（）为流出未饱弧，
（）为流入⎧⎪
⎨⎪⎩；
非零弧
1111, 4, , ,V V f V V μμ*
⎧=Φ⎪
⎪⎪
≠Φ⎨⎪⎪⎪⎩说明存在可增值链，反向
追踪找出，转（），依此进行的结局但进行不下去，说明不存在
可增值链，当前流即同时得最小截集（）；
{}{},,4min ,,,,, 1
j ij i j j ij ij i j v ij i j ij f v v f f v v f v v f μ
θμθθθμμ+-∈⎧+∈⎪⎪
'==-∈⎨⎪∉⎪⎩
'（），
（）调整：取令（），
（），得新流后，转（）。 五．网络计划图
网络计划图的基本思想是：首先应用网络计划图来表示工程项目中计划要完成的各项工作.完成各项工作必然存在先后顺序及其相互依赖的逻辑关系；这些关系用节点、箭线来构成网络图。网络图是由左向右绘制.表示工作进程。并标注工作名称、代号和工作持续时间等必要信息。通过对网络计划图进行时间参数的计算.找出计划中的关键工作和关键线路；通过不断改进网络计划.寻求最优方案.以求在计划执行过程中对计划进行有效的控制与监督.保证合理地使用人力、物力和财力.以最小的消耗取得最大的经济效果。
网络计划图是在网络图上标注时标和时间参数的进度计划图.实质上是有时序的有向赋权图。表述关键路线法（CPM ）和计划评审技术（PERT ）的网络计划图没有本质的区别.它们的结构和术语是一样的。仅前者的时间参数是确定型的.而后者的时间参数是不确定型的。 工 序
在网络计划图中.用箭线表示工作.箭尾的节点表示工作的开始点.箭头的节点表示工作的完成点。用（i-j ）
如下图：
工序之间的关系
紧前工序：紧排在本工作之前的工作；且开始或完成后
.才能开始本工作。
紧后工序：紧排在本工作之后的工作；本工作开始或结束后.才能开始或结束的工作。
虚工序：不占用时间和不消耗人力.资金等的虚设的工作。虚工序只表示相邻工序之间的逻辑关系。 网络图的要求
相邻节点只能是一个工序的相关事项； 网络图中不能有缺口和回路 绘制工程网络图
1）顺序：按工序先后从左至右； 2）图中弧（箭线）：表示工序；
顶点（结点）：表示相邻工序的时间分界点.称事项.用表示。
相邻弧：表示工序前后衔接关系.称紧前（后）工序； 3）要求：图中不得有缺口、回路和多重边。 缺口：多个始点或多个终点的现象。 （应当只有一个始点和终点） 处理方法：增加虚工序。 回路：方向一致的闭合链。
多重边：两点间有多于一条的边。
处理方法：增加虚工序。 网络计划图的时间参数计算
网络图中工作的时间参数。它们是：
i
工作持续时间(D)； 工作最早开始时间（ES ）； 工作最早完成时间（EF ）； 工作最迟开始时间（LS ）； 工作最迟完成时间（LF ）； 工作总时差（TF ）； 工作自由时差（FF ）。
工作持续时间(D)——作业时间i j T -
⑴ 单时估计法（定额法）
每项工作只估计或规定一个确定的持续时间值的方法。一般具有工作的工作量.劳动定额资料以及投入
人力的多少等.计算各工作的持续时间；
工作持续时间：Q
D R S n
=
⋅⋅
Q — 工作的工作量。以时间单位表示,如小时;或以体积.重量.长度等单位表示； R — 可投入人力和设备的数量；
S — 每人或每台设备每工作班能完成的工作量； n — 每天正常工作班数。
或具有类似工作的持续时间的历史统计资料时.可以根据这些资料. 采用分析对比的方法确定所需工作的持续时间。 ⑵ 三时估计法
在不具备有关工作的持续时间的历史资料时.在较难估计出工作持续时间时.可对工作进行估计三个时间值.然后计算其平均值。这三个时间值是：
乐观时间。在一切都顺利时.完成工作需要的最少时间.记作a 。 最可能时间。在正常条件下.完成工作所需要时间。记作m 。
悲观时间。在不顺利条件下.完成工作需要最多时间.记作b 。
显然上述三种时间发生都具有一定的概率.根据经验.这些时间的概率分布认为是正态分布。一般情况下.通过专家估计法.给出三时估计的数据。可以认为：工作进行时出现最顺利和最不顺利的情况比较少。较多是
出现正常的情况。按平均意义可用以下公式计算工作持续时间值： 2
24;66a m b b a D σ++-⎛⎫
== ⎪⎝⎭
方差
工作最早开始时间ES 和工作最早完成时间EF 。
工作的最早开始时间ES 是紧前工序最早结束时间。ES=TE （i ）. EF=ES+ij t 。
工作最迟开始时间LS 与工作最迟完成时间LF 。
工作的最迟完成时间LF 是工作在不影响工期下最迟结束时间。 LF=TL （j ） LS=LF-TL(j)。
最后一项工作的最迟完成时间LF 等于其最早完成时间EF 。 网络时间的图示法
1. 节点时间（事件时间）
事件最早可能发生时间TE ：顺向求和取大()E T i
()()()()
10
E E E ij T T j Max T i t ==+
事件最迟必须发生时间TL ：反向求差取小()L T i
()()()()()
L E L L ij T n T n T i Min T i t ==+
3.工作时差：指工作有机动时间。 ⑴ 工作总时差TF （i-j ）
——在不影响工期的前提下.工作所具有的机动时间
ij d t a =--总时差
Ⅳ Ⅲ
工序
LS-ES=LF-EF
. .
（2）工作单时差EF （i-j ）
——在不影响其紧后工作最早开始的前提下.工序最早可能完工时间所具有机动时间
ij c t a =--单时差
（3）工作自由时差FF （i-j ）
——在不影响其紧后工作的最迟开始的前提下.工作所具有机动时间
ij d t b =--自由时差
六、工序时间不确定的工程计划网络问题 （计划评审技术PERT ）
1.CPM 与的区别仅在于：
2
()ij E t T T N T σ工序时间是随机变量，从而完工期也是随机的。但由中心极限定理，可近似认为服从于，。
2. ij t 确定平均工序时间的三时估计法：
,ij ij ij a b m 设工序最乐观时间为，最悲观时间为，最可能时间为
2
2
4 , 6
6ij ij ij
ij ij ij ij ij a m b b a t t σ++-⎛⎫
=
= ⎪⎝⎭
则的方差为 2
3. =E T σ=期望工期关键工序的平均工序时间之和；工期方差关键工序时间方差之和。
4.k T 求工程在天内完工的概率。
网络优化
时间优化——缩短工程工期问题
时间资源优化——工程的时间费用分析 缩短工程工期
保证工程质量.同时不增加人力物力的前提下.尽量缩短工期。 做法：
.
（1）确定关键路线明确关键工序.设法缩短关键工序的时间； （2）在非关键工序上挖掘潜力； （3）多采用平行作业和交叉作业； （4）注意关键路线的变化 七：例题分析
例1： 要在5个城市架设电话线.使城镇之间能够通话两镇直接连接.每两个城镇之间的架设电话线的造价如下图所示.各边上的数字为造价（ 单位：万元 ）。 问：应如何架线.可使总造价最小？
解： 1 破圈法：
2 避圈法：
总造价：W(T*)＝2＋2＋1＋1＋2＋2＝10 （万元）
例2： 用标号法求下面网络的最大流。
v 1 v 3 v 2 v 5 v 4 v 6
v 7 2 5 2
4 6 3 1 1 2
4 2
4 v 1 v 3 v 2 v
5 v 4 v
6 v 7
2 5 2 4 6
3 1 1
2 4 2 4
v 1 v 3 v 2 v 5 v 4 v 6 v 7
2 5 2 4 6
3 1 1
2 4 2 4
v v t s [,]v 2[1,]v 1[1,]v 3[1,]v
.
解：第一次标号及所得可增值链如图.调量θ=1.调后进行第二次标号如图。第二次标号未进行到底.得最大流如图.最大流量v=5.同时得最小截{}11213,,,s V V v v v v =（）（），（）。
例3：为筹建某餐馆.需制定计划。将工程分为14道工序.各工序需时及先后关系如下表。试求该工程完工期T 及关键路径。
. .
《运筹学》重要知识点解析和例题分析第六部分 一．图的基本概念 定义 一个图G 是指一个二元组(V(G),E(G)).即图是由点及点之间的联线所组成。其中: 1）图中的点称为图的顶点(vertex).记为：v 2）图中的连线称为图的边(edge).记为：,i j e v v ⎡⎤=⎣⎦.,i j v v 是边 e 的端点。 3）图中带箭头的连线称为图的弧(arc).记为：() ,i j a v v =.,i j v v 是弧 a 的端点。 —— 要研究某些对象间的二元关系时.就可以借助于图进行研究 分类 ▪ 无向图：点集V 和边集E 构成的图称为无向图(undirected graph).记为： G(V.E)—— 若这 种二元关系是对称的.则可以用无向图进行研究 ▪ 有向图：点集V 和弧集A 构成的图称为有向图(directed graph) .记为：D(V.A)—— 若这种 二元关系是非对称的.则可以用有向图进行研究 ▪ 有限图: 若一个图的顶点集和边集都是有限集.则称为有限图.只有一个顶点的图称为平凡图. 其他的所有图都称为非平凡图. 图的特点： 1 图反映对象之间关系的一种工具.与几何图形不同。 2 图中任何两条边只可能在顶点交叉.在别的地方是立体交叉.不是图的顶点。 3 图的连线不用按比例画.线段不代表真正的长度.点和线的位置有任意性。 4 图的表示不唯一。如：以下两个图都可以描述“七桥问题”。 点(vertex)的概念 1 端点：若e =[u.v] ∈E.则称u.v 是 e 的端点。 2 点的次：以点 v 为端点的边的个数称为点 v 的次.记为：()d v 。 在无向图G 中.与顶点v 关联的边的数目(环算两次),称为顶点v 的度或次数.记为()d v 或 dG(v). 在有向图中.从顶点v 引出的边的数目称为顶点v 的出度.记为d+(v).从顶点v 引入的边的数目称为v 的入度.记为d -(v). 称()d v = d+(v)+d -(v)为顶点v 的度或次数． 3 奇点：次为奇数的点。 4 偶点：次为偶数的点。 5 孤立点：次为零的点。
《运筹学》书上有关线性规划的作业题目 一、将给出的线性规划问题化为标准型和对偶型两种类型： Min Z = X 1 + 3X 2 + 2X 3 + 4X 4 2X 1 + 3X 2 - X 3 + X 4 = 10 S.t. 3X 1 - 2X 2 + 2X 3 - X 4 ≥ -5 X 1 - X 2 + X 3 - X 4 ≤ -3 X 1≥0 ， X 2≤ 0， X 3 ≥0 ，X 4符号不限 解：（1）令4 4 4x x x '''=-，其中440,0x x '''≥≥， 在第二个约束不等式左边加上松弛变量5x ， 在第三个约束不等式左边减去松弛变量6x ， 令 z z '=-，化m i n z 为max z '，则标准型为： 1234 4max 3244z x x x x x ''''=+++- 1234 41234451234461234 456231032215..30,0,,,,,0x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x '''+-+-=??'''-+-++=?? '''-+-+-=-??'''≥≤≥? （2）设对偶变量为 123,,y y y ，对偶问题模型为：
Max 1231053w y y y =-- 123123123123 123231323..224 0,0,0 y y y y y y s t y y y y y y y y y ++=??--≤??-++≤??--≤??≥≤≥? 二、已知某线性规划问题的约束条件为： 2X 1 + X 2 - X 3 = 30 -X 1 + 2X 2 + X 3 - X 4 = 5 5X 2 + X 3 - 2X 4 - X 5 = 60 X j ≥0 ， j = 1, 2, … ,5 判断下列各点是否为该线性规划问题可行域的顶点。 ① X = (5,20,0,20,0) ② X = (9,12,0,0,8) ③ X = (15,10,10,0,0) ④ X = (0,30,0,45,0) 解：该线性规划问题中 1215p ?? ?=- ? ??? 2120p ?? ?= ? ??? 3111p -?? ?= ? ??? 4012p ?? ?=- ? ?-?? 5001p ?? ? = ? ? -?? 分别将各点带入上述约束条件： ① 不满足约束条件，故不是可行域的顶点； ② 满足约束条件，为可行域的顶点；
六年级数学上册典型例题系列之 第八单元数学广角——数与形（解析版） 编者的话： 《六年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结和编辑而成的，其优点在于选题典型，考点丰富，变式多样。 本专题是第八单元数学广角——数与形。本部分内容主要是数、形规律的类题型，以数字、数列、图形、算式等形式为主，进行规律探索。考试多以填空、选择等题型为主，题目具有一定的探索性和抽象性，其中自主探索类题目难度稍大，综合性较强，建议作为重点部分进行讲解，共划分为十三个考点，欢迎使用。
【考点一】整数列规律。 【方法点拨】 数列中数字的规律一般要通过观察分析数的变化规律，得出数变大或变小的趋势，再分析这个数具体变化了多少，最后综合分析得出结论。 【典型例题】 根据规律在下面的括号里填上合适的数。 （1）1，3，5，7，（），（），13，15。 （2）2，5，8，11，（），（），20。 （3）50，44，38，（），（），20。 解析： （1）9；11 （2）14；17 （3）32；26 【对应练习1】 找规律： （1）1、4、7、10、13、16、19、（）； （2）1、2、4、7、11、16、22、29、（）； （3）2、3、5、8、13、21、34、55、（）； （4）5、5、7、10、9、15、11、20、（）、（）； （5）1、4、9、16、25、36、49、64、（）。 解析：这是非常基础的找规律问题 （1）是等差数列 （2）中后项与前项的差是等差数列 （3）的前两项之和等于第三项 （4）是每隔一个数呈现规律 （5）是完全平方数。 解： （1）1、4、7、10、13、16、19、（22）； （2）1、2、4、7、11、16、22、29、（ 37 ）；
四年级数学上册典型例题系列之 第六单元除数是两位数的除法计算题部分（解析 版） 编者的话： 《四年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结和编辑而成的，其优点在于选题典型，考点丰富，变式多样。 本专题是第六单元除数是两位数的除法计算题部分，后续内容为《第六单元除数是两位数的除法应用题部分》。本部分内容主要是以除法的竖式计算方法和与商有关的规律为基础出题，考试多以计算、填空、选择为主，难度较小，考题典型，共分为十个考点，欢迎使用。
【考点一】口算除法。 【方法点拨】 ①整十数除整十数或几百几十数的口算，可以想乘法算除法，也可以先去掉被除数和除数末尾相同个数的0，再计算。 例如：160÷20 想乘法算除法：20×8=160,所以160÷20=8。 ②把160和20末尾的0各去掉一个，相当于算16÷2=8，所以160÷20=8。【典型例题】 1.480里面有（）个80，所以480÷80=（）；320是40的（）倍，所以320÷40=（）。 2.在计算560÷20时，先把被除数和除数同时去掉( )个0，再计算 （）÷（）=（）。 解析： 1.6；6；8；8 2.1；56；2；28 【对应练习1】 口算。 150÷30= 720÷80= 560÷70= 630÷70= 560÷80= 270÷30= 240÷30= 420÷60= 解析： 5；9；8；9 7；9；8；7 【对应练习2】 360÷90= 180÷30= 420÷70= 560÷80= 720÷72= 140÷20= 240÷12= 450÷50= 解析：
4；6；6；7 10；7；20；9 【考点二】笔算除法。 【方法点拨】 1.除数是两位数的除法的计算方法： （1）从被除数的高位除起，先用除数试除被除数的前（）位； （2）如果它比除数小，再试被除数的前（）位； （3）除到被除数的哪一位，就把（）写在那一位上面，每次除后余下的 数必须比除数（），最后根据竖式补充完横式，注意要写余数。 2.笔算除法的验算方法： 用除数与商相（），如果有余数，再加上（），看是否等于被除 数。 【典型例题】 用竖式计算。 （验算）154÷70= 860÷43= 解析：2......14；20 【对应练习1】 用竖式计算。 452÷50= （验算）468÷18= 解析：9......2；26 【对应练习2】 用竖式计算。 989÷43= （验算）648÷16= 解析：23；40 (8) 【对应练习3】 用竖式计算。
2022-2023学年六年级数学上册典型例题系列之第五单元圆的周长基础篇（解析版） 编者的话： 《2022-2023学年六年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题、专项练习、分层试卷三大部分。 典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 分层试卷部分是根据试题难度和掌握水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 本专题是第五单元圆的周长基础篇。本部分内容考察圆及半圆的周长，题目偏向基础，难度不大，建议作为本章重点内容进行讲解，一共划分为八个考点，欢迎使用。
【考点一】圆的周长。 【方法点拨】 1.围成圆的曲线的长是圆的周长。 2.圆的周长÷直径=圆周率（π）≈ 3.14，是无限不循环小数，π =3.14159265…… 3.圆的周长=直径×圆周率或圆的周长=半径×2×圆周率，如果用C 表示圆的周长，用r 表示圆的半径，用d 表示圆的直径，那么圆的周长计算公式是C=πd 或C=2πr 。 4.半圆的周长指的是圆的周长的一半与1条直径或2条半径的长度和，半圆的周长计算公式是C 半圆= 2 1πd+d 或C 半圆=πr+2r 。 【典型例题】 一辆自行车的车轮半径是35.5厘米，车轮转动一周约行( )厘米。 解析：2×3.14×35.5＝222.94（厘米） 【对应练习1】 用圆规画一个直径为5厘米的圆，圆规两脚尖的距离应是( )厘米，这个圆的周长是( )厘米。（π取3.14） 解析：2.5；15.7 【对应练习2】 画一个直径是5厘米的圆，它的周长是( )。 解析： 15.7厘米 【对应练习2】 一个圆形花坛，半径是10米，它的周长是多少？
第一章线性规划与单纯形法 一、本章考情分析：常考题型：选择填空判断计算分值：必考知识点，30分以上,非常重要！ 二、本章基本内容：１）掌握线性规划的数学模型的标准型；２）掌握线性规划的图解法及几何意义；３）了解单纯形法原理；４）熟练掌握单纯形法的求解步骤；５）能运用大Ｍ法与两阶段法求解线性规划问题；６）熟练掌握线性规划几种解的性质及判定定理． 三、本章重难点： 重点：１）单纯形法求解线性规划问题；２）解的性质；３）线性规划问题建模． 难点：１）单纯形法原理的理解；２）线性规划问题建模． 四、本章要点精讲：·要点１化标准型·要点２图解法·要点３单纯形法的原理·要点４单纯形法的计算步骤·要点５单纯形法的进一步讨论 1）要点１化标准型 线性规划的数学模型：Z=CX （C：价值系数） Ax=b （a：工艺或技术系数 b：资源限制）复习思路提示：化标准型按“目标函数—资源限量—约束条件—决策变量”的顺序进行。2）要点２图解法 线性规划解的情况有：唯一最优解、无穷多最优解、无界解、无可行解； 3）要点３单纯形法原理 解的概念与关系:基：设A是约束方程组的m*n阶系数矩阵（设n>m），其秩为m，B是A 中的一个m*m阶的满秩子矩阵（B≠0的非奇异子矩阵），称 B是线性规划问题的一个基．设除基变量以外的变量称为非基变量。基解：在约束方程组中，令所有的非基变量=0，可以求出唯一解X。基可行解：变量非负约束条件的基解．可行基：基可行解的基．几个定理：１线性规划问题的可行解为基可行解的充要条件是Ｘ的正分量所对应的系数列向量是线性独立的．２线性规划问题的基可行解Ｘ对应线性规划问题可行域（凸集）的顶点．３若线性规划问题有最优解，一定存在一个基可行解是最优解．最优解唯一时，最优解也是基最优解；当最优解不唯一时，最优解不一定是基最优解．基最优解基可行解集解 最优解可行解 线性规划解的判别：①最优解：全部σｊ≤ 0，则X(0)为最优解．②唯一最优解：全部σｊ＜0，则X(0)为唯一最优解．③无穷多最优解：全部σｊ≤0，存在一个非基变量的σ＝0，则存在无穷多最优解．④无界解：若有一个非基变量的σ＞0，而其对应非基变量的所有系数ａ′≤0，则具有无界解。 复习思路提示：·几个解的概念及几何意义；·单纯形法迭代思路；·解的判别定理．4）要点４单纯形法的计算步骤：求初始基可行解，列出初始单纯形表、最优性检验、基变换（入基变量：maxσ，σ>0；出基变量：minb/a，a>0） 5）要点5 单纯形法的进一步讨论：大M法+两阶段法=人工变量法 两阶段法：一阶段：加入人工变量后，构造仅含人工变量的目标函数，并要求其实现最小化；二阶段：一阶段最终表除去人工变量，目标函数系数换成原问题的。 当一阶段的最优解中的基变量不含人工变量时，得到原线性规划问题的一个基可行解，二阶段就以此为基础对原目标函数求最优解；当一阶段的最优解不等于0时，说明还有不为0的人工变量是基变量，则原问题无可行解。 第二章对偶问题与灵敏度分析 一、本章考情分析：常考题型：选择填空判断计算分值：20—25分之间 二、本章基本内容：１）熟练掌握原问题与对偶问题的转化关系；２）熟练掌握单纯形法的矩阵描述；３）掌握对偶问题的几条基本性质；４）熟练掌握影子价格的经济意义；５）
六年级数学上册典型例题系列之 第六单元百分数的应用题其二：百分数与比应用题 的结合（解析版） 编者的话： 《六年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结和编辑而成的，其优点在于选题典型，考点丰富，变式多样。 本专题是第六单元百分数的应用题其二：百分数与比应用题的结合，先头内容为《第六单元百分数的应用题其一：百分数与分数乘除法应用题的结合》，后续内容为《第六单元百分数的应用题其三：百分率问题》和《第六单元百分数的应用题其四：浓度问题》。本部分内容主要是百分数与比应用题的结合问题，由于比的应用题主要体现在第四单元内容中，所以，本部分内容考点划分较为笼统，比的应用题详细内容请参考第四单元的典型例题系列。该部分内容多考察应用题型，综合性较强，题目难度稍大，建议结合比的应用题作为重点部分和复习内容进行讲解，共划分为六个考点，欢迎使用。
【考点一】百分数与比应用题的结合其一：和比问题。 【方法点拨】 根据按比例分配问题的方法，在和比问题中，前提条件是已知和与比，因此，题目中没有和或比的时候，要先求出和与比。 【典型例题】 王叔叔家的菜地共800 平方米，准备用40%的菜地种西红柿，剩下的再按2:1的面积比种黄瓜和茄子。三种蔬菜的面积分别是多少平方米？ 解析：西红柿：800×5 2=320（平方米） 每一份：（800-320）÷（2+1）=160（平方米） 黄瓜：160×2=320（平方米） 茄子：160×1=160（平方米） 答：略。 【对应练习】 小明家8月份共缴纳水费、电费、煤气费140元，其中电费占整个费用的60%，水费与煤气费的比是1:3，李惠家水费、电费、煤气费各付多少元？ 解析：电费：140×60%=84（元） 水费+煤气费：140-84=56（元） 水费：56×3 11 =14（元） 煤气费：56× 43=42（元） 答：略。 【考点二】百分数与比应用题的结合其二：化连比问题。 【方法点拨】 根据按比例分配问题的方法，先求出各部分量的比，再化连比，最后根据按比例分配应用题的方法先求出每份数，即和÷份数和=每份数，再分别求出各部
2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列之第六单元正比例和反比例的应用部分提高篇（解析 版） 编者的话： 《2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。 典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 本专题是第六单元正比例和反比例的应用部分提高篇。本部分内容主要考察正比例和反比例的实际应用问题，考点和题型难度较大，考点稍多，共划分为十个考点，考虑到题型难度，建议作为本章核心内容，根据学生掌握情况选择性进行讲解，欢迎使用。
【考点一】正比例与相遇问题一。 【方法点拨】 相遇问题通常同时出发，则相遇时所用时间相同，所以，当时间相同，路程与速度成正比例，即t 甲=t 乙时，有S 甲∶S 乙=V 甲∶V 乙。 【典型例题】 小黄车速度为60km/h ，小蓝车速度为50km/h 。 （1）求相同时间内两车的路程比。 （2）如果小黄车和小蓝车一共行驶了220km ，那么小黄车行驶了多远? 小蓝车呢? 解析：（1）路程比：6:5；（2）小黄车120千米，小蓝车100千米。 【对应练习1】 汽车与公交车的速度比为5∶3，两车分别从相距160千米的A 、B 两地同时出发相向而行，相遇时汽车行驶了多远?公交车呢? 解析：汽车100km ，公交车60km 【对应练习2】 A 、 B 两地距离600千米，甲乙两车分别从A 、B 两地同时出发相向而行，那么， （1）若甲车的速度是60干米/时，乙车的速度是40千米/时，相遇时距A 地（ ）千米。 （2）若甲车与乙车的速度比为8∶7，相遇时甲车走了全程的（ ），距A 地（ ）千米。 解析：（1）360；（2） 15 8；320 【对应练习3】 A 、 B 两地距离450干米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，若甲、乙的速度比为3∶7，则相遇时距B 地多少千米？ 解析：320
人教版数学六年级下册第四单元《比例》第二讲 知识点1：正、反比例的复杂应用 复习： 1.一台机床5小时抽水50立方米，照这个速度，9小时可 抽水 90 立方米. 2、一列火车从甲地到乙地，每小时行90千米，需4小时; 若每小时行80千米，则需 4.5小时. 知识点讲解： 思考：已知2千克苹果的价钱与3千克梨的价钱相等 分析1、重量、单价、总价之间的关系是:总价=单价x重量 2、苹果的重量与梨的重量之比是: 2:3; 3、总价一定，单价与重量成反比例关系: 4、苹果的单价与梨的单价之比是3:2 思考： 小明买回一本书，连续12天可以看完.但实际小明每天比计划多看了20%，小明实际少看了多少天? 小明原计划每天看书与实际看书之比是多少? 1：(1+20%)=5:6. 每天看书页数与天数成什么比例关系?（成反比例关系）. 原计划看书天数与实际天数之比是多少?(6:5) 实际少看了多少天? 12+6x(6-5)=2(天) 总结：利用反比例关系求出比
小练习 由于方法改进，施工队效率提升了10%，那么原来计划用22天完成的项目，现在少用多少天完成?(答案: 2天) 笔记部分： 正、反比例的复杂应用解题时，首先要找出题目中哪些量是相关联的量，“谁”是一定量，然后判断比例关系，解题. 例题1 (1)甲乙、丙三人进行100米赛跑(假设他们各自的速度保持不变)，甲到达终点时，乙离终点还有20米，丙离终点还有25米.那么当乙到达终点时，丙离终点还有多少米? (2)红星化工厂由于改进烧煤方法，每天的用煤量节约20%，那么原来24天的用煤量，现在可以多用多少天? 答案 (1)甲、乙、丙三人的路程比是20:16:15，乙到达终点时，丙离终点还有: 100-100+16x15=6.25(米); (2)改进烧煤方法后，现在每天用煤量:原来每天用煤量= (1-20%):1=4:5，现在可以用24x5÷4=30(天)，那么现在可以多用30-24=6(天) 练习1 1)小高走6小时的路程，小乐需要走7小时30分钟，若两人同
人教版数学六年级下册第四单元《比例》 知识点1：比例的基本概念 思考： 一位模型设计师刚接到一笔订单 身高:约170厘米; 裙子:约160厘米 制作Elsa模型 你想制作多高的Elsa呢?容我思考思考她的裙子又应该是多长呢? 思考： 身高:约170厘米 裙子:约160厘米 若制作34厘米高的Elsa，裙子长度就应该是32 厘米.实际上，Elsa的身高与裙子长度之比为170:160. 模型的身高与裙子长度之比是34:32. 它们的比值是相等的，将他们用“等号”连接 定义
像这样表示两个比值相等的式子叫做比例，比例中中间的两项叫做比例的内项;比例中，两端的两项叫做比例的外项 总结 比例的基本性质:在比例里，两个内项的积等于两个外项的积. 思考： Elsa高约为170厘米，小高自己制作了一个模型，模型 高与实际高度的比是1:5，那么Elsa的模型多高? 问题步骤 模型高与实际高度的比是不变的吗? 是. 若将模型的高设为x厘米 x:170=1:5 Elsa的模型多高可以利用比例的基本性质求解 得:x=34. 总结根据比值相等列出等式，根据比例的基本性质求解 小练习： 解比例：5 2：7 2 =1 7 :X X=1 5 笔记部分 比例的基本概念 比例的基本性质:在比例里，两个内项的积等于两个外项的积; 根据比值相等列等式，根据比例的基本性质求解.
例题1 应用比例的基本性质，判断下面哪组中的两个比可以组成比例 答案：2.3 练习1 应用比例的基本性质，判断下面哪组中的两个比可以组成比例 答案：2.3 例题2 (1)意大利的比萨斜塔高度约55米，墨莫去意大利旅游时买 回了一个比萨斜塔的模型，它的高度与原塔高度的比是1:250，那么这个模型高多少厘米? (2)把2、6、18再配上一个数组成比例，这个数可以是多 少? 答案 (1)22厘米;(2)54或6或2 3 练习2 (1)学校食堂给餐具消毒，要用100毫升的消毒液配成消毒水，如果消毒液与水的比是1:200，那么应该加入多少毫升的水? (2)把1 2、1 3 、1 6 再配上一个数组成比例，这个数可以是多少?
六年级数学下册典型例题系列之第一单元圆柱与圆锥提高篇（二）（解析版） 编者的话： 《六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。 典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 本专题是第一单元圆柱与圆锥提高篇（二）。本部分内容主要选取圆柱与圆锥单元较有难度的题型，也是期末考试常见的考点考题，建议把该部分作为本章核心内容进行讲解，一共划分为十一个考点，欢迎使用。
【考点一】圆柱与长方体、正方体的等积转化问题一。 【方法点拨】 等积转化问题，关键在于找到题目中的体积不变量，再根据体积不变解决问题。 【典型例题】 把一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铅块和一个棱长是5厘米的正方体铅块，铸成一个圆柱。这个圆柱的底面直径是20厘米，高是多少厘米？ 解析： （9×7×3＋5×5×5）÷[3.14×（20÷2）2] ＝（189＋125）÷[3.14×100] ＝314÷314 ＝1（厘米） 答：圆柱是高是1厘米。 【对应练习1】 把一个底面积为2 15cm ，高为6cm 的圆柱形铁块熔铸成一个长为5cm 、宽为4cm 的长方体铁块，铸成的长方体铁块高多少cm ？ 解析：()15654⨯÷⨯=10（cm ） 【对应练习2】 下图中的圆柱与长方体的体积相等。这个圆柱的高是多少分米？（单位：dm ） 解析： 15.763⨯⨯ 94.23=⨯ ()3282.6dm = 1226(dm)÷=
六年级数学下册典型例题系列之 第一单元圆柱与圆锥拓展篇（解析版） 编者的话： 《六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。 典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 本专题是第一单元圆柱与圆锥拓展篇。本部分内容主要选取圆柱与圆锥思维拓展类题型，题目难度较大，建议根据学生掌握情况选择性讲解，一共划分为十二个考点，欢迎使用。
【考点一】求长方体削成最大圆柱的体积。 【方法点拨】 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以中间长度的边作为圆柱底面圆的直径，再根据情况选择圆柱的高来计算圆柱的体积。 【典型例题】 在一个长、宽、高分别是2dm、2dm、5dm的长方体盒子中，正好能放下一个圆柱形物体（如图）。这个圆柱形物体的体积最大是多少立方分米？盒子中空余的空间是多少立方分米？ 解析： 3.14×（2÷2）2×5 ＝3.14×1×5 ＝15.7（立方分米） 2×2×5－15.7 ＝20－15.7 ＝4.3（立方分米） 答：这个圆柱形物体的体积最大是15.7立方分米，盒子空余的空间是4.3立方分米。 【对应练习1】 在长12厘米，宽10厘米，高8厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 解析：以10厘米为底面直径，高是8厘米 3.14×(10÷2)2 ×8 ＝3.14×25×8 ＝78.5×8
六年级数学下册典型例题系列之第一单元圆柱与圆锥基础篇（一）（解析版） 编者的话： 《六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。 典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 本专题是第一单元圆柱与圆锥基础篇（一）。本部分内容主要是圆柱的认识、侧面积以及表面积的基本计算和应用，内容相对简单，多偏向于公式的运用和简单的转化，建议作为必须掌握内容进行讲解，一共划分为十个考点，欢迎使用。
【考点一】圆柱的认识。 【方法点拨】 圆柱有三个部分组成，即底面、侧面、高： 【典型例题1】 下图中哪些是圆柱，在（）里打√，不是的打×。 ( )( )( )( )( )( ) 解析：×√××√× 【典型例题2】 标出下面圆柱的底面、侧面和高。 (1) (2)（3） 解析： (1) (2)
(3) 【典型例题3】 圆柱体有上下两个底面，它们是完全相同的两个（），两底面之间的距离叫做圆柱的（）。 解析：圆；高 【对应练习1】 下面各图中h表示的是圆柱的高吗？是的在括号里画“√”，不是的画“×”。 ( )( )( )( )( ) 解析：×；√；√；×；× 【对应练习2】 圆柱是由( )个面围成的。圆柱的上、下两个面叫做( )。圆柱周围的面（上、下底面除外）叫做( )。圆柱的两个底面之间的距离叫做( )，圆柱有( )条高。 解析：3；底面；侧面；高；无数 【对应练习3】 从一个圆柱的上面和前面进行观察，看到的形状分别如图。 （1）这个圆柱的底面半径是________厘米，高是________厘米。 （2）这个圆柱应是下面的图________。 解析：2.5；2.5； B
六年级数学上册典型例题系列之 第三单元分数除法应用题提高部分（解析版） 编者的话： 本试题是在《分数除法应用题基础部分》上进行编辑总结的，分数除法应用题提高部分，难度较大，题型主要分为两个大类，即量率对应类型题和单位“1”转化类型题，共计十五个考点，其中十五个考点全部是考试试卷出现过的类型考题，值得注意的是，解析版本编者全部采用算术方法解决问题，除此以外方程法亦可采用，根据学生掌握情况而定，欢迎使用。 【考点一】稍复杂的量率对应问题。
【方法点拨】 “量率对应”是使用算术方法解决分数除法应用题的核心思路，稍复杂的量率对应问题，关键在于明确分量和分率表示的意义是否一样，即是否一一对应。 【典型例题1】量率直接对应型 小华的妈妈开车到姥姥家，已经行驶了80km ，正好是剩下路程的5 4。小华家到姥姥家的距离是多少千米？ 解析：已行驶的路程正好是剩下路程的54，即80km 与5 4是直接对应的。 剩下路程：80÷5 4=100（km ） 全部路程：80+100=180（km ） 答：略。 【典型例题2】量率间接对应型 一辆汽车从甲地开往乙地先行全程的8 1，然后又行400千米正好到达，甲乙两地相距多少千米？ 解析：400km 表示的是后段路程，8 1表示的是前端路程的分率，所以用（1-8 1）表示后段路程分率。 400÷（1-81）=7 3200（km ） 答：略。 【对应练习1】
修路队要修一条公路，已经修了3600米，还剩下8 3没有修，这段公路全长有多少米？ 解析：3600÷（1-8 3）=5760（米） 答：略。 【对应练习2】 一本书，小丽上午看了全书的5 1，下午看了30页，一天正好看了这本书的一半，这本书有多少页？ 解析：30÷（21-5 1）=100（页） 答：略。 【对应练习3】 一筐苹果连筐重49kg ，卖出这筐苹果的3 2后，连筐重17kg 。这筐苹果原来有多少千克？ 解析：（49-17）÷3 2=18（千克） 答：略。 【对应练习4】 一堆煤，第一次运出31，第二次运出120吨，第三次运出这堆煤的4 1，正好运完，这堆煤共有多少吨？ 解析：120÷（1-31-4 1）=288（吨）