3.1导数概念单元教学设计
一、教案头
二、教学设计
例4求 f (x ) = sin x 的导函数 (),(+∞-∞∈x ). 解：x x f x x f x y x f x x ?????)()(lim lim )(00-+=='→?→ x x x x x ?-?+=→?sin )sin(lim 0x x x x x ????? ?? ?+=→?2sin 2cos 2lim 0 x x x x x x cos 2 2sin 2cos lim 0=???? ? ???+=→?， 即： x.cos (sin x)'= 类似可得：sin x. - x)'(cos = 定义 如果x x f x x f x ???) ()(lim 000-+-→存在，则称此极限值为f (x ) 在点 x 0 处的左导数，记作 f’ (x 0)；同样，如果x x f x x f x ???) ()(lim 000 -++→存在，则称此极限值为 f (x ) 在点 x 0 处的右导数，记作 f’ +(x 0) . 显然，f (x ) 在 x 0 处可导的充要条件是 f’ -(x 0) 及 f ‘ +(x 0) 存在且相等 . 定义 如果函数 f (x ) 在区间 I 上每一点可导，则称 f (x ) 在区间 I 上可导. 如果 I 是闭区间[a , b ]，则端点处可导是指 f’+(a )、 f’-(b ) 存在 . 六、可导与连续的关系 定理 如果函数 y = f (x ) 在点 x 0 处可导, 则 f (x ) 在点 x 0 处连续，其逆不真.。 D.课堂小结 一、导数的定义 二、导数的几何意义 三、可导与连续的关系 E.布置作业
【090101】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z y x y x y =++arctan 122 ，求该函数的定义域。 【试题答案及评分标准】x ≠0为该函数的定义域。 10分 【090102】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】求函数u x y z =+?? ? ? ??arcsin 22的定义域。 【试题答案及评分标准】-≤+≤1122 x y z 10分 【090103】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z xf y x =()，其中x ≠0，如果当 x =1时，z y =+12，试确定f x ()及z 。 【试题答案及评分标准】 x =1时，z f y y ==+()12，所以f x x ()=+12 5分 z x y x x x x y =+?? ???= +12 22 10分 【090104】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z x y f x y =++-()，已知y =0时， z x =2，求f x ()和z 。 【试题答案及评分标准】y =0时，z x =2，得x f x x +=()2 所以f x x x ()=-2 5分
所以z x y x y x y x y y =++---=-+()()()222 10分 【090105】【计算题】【中等0.5】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z y f x =+-()1，其中x y ≥≥00,，如果y =1时z x =，试确定函数f x ()和z 。 【试题答案及评分标准】 y =1时，z f x x =+-=11() 所以f x x ()-=-11 3 分 令x t x t -==+112,()所以 f t t t t f x x x ()(),()=+-=+=+1122222 7分 所以()z y x x y x x y =+-+-=+-≥≥()(),1211002 10分 【090106】【计算题】【较易0.3】【多元函数的极限】【极限的计算】 【试题内容】求极限lim sin x y y x xy →→+-0 211 。 【试题答案及评分标准】 解：lim sin x y y x xy →→+-0 211 =?++→→lim sin () x y y x xy xy 00 211 6分 = 4 10分 【090107】【计算题】【较易0.3】【多元函数的极限】【极限的计算】
1. 偏导数求解方法： 例题：求22z=3x xy y ++在(1,2)处的偏导数. 解：把y 看作常量，得 23z x y x ?=+? 把x 看作常量，得 32z x y y ?=+? 将（1,2）带入上述结果，就得 1 2|21328x y z x ==?=?+?=? 1 2|31227x y z y ==?=?+?=? 2. 高阶偏导数求解方法. 设函数z (x,y)f =在区域D 内具有偏导数 (x,y)x z f x ?=? (x,y)y z f y ?=? 按照对变量求导次序不同有下列四个二阶偏导数： 22()(x,y)xx z z f x x x ???==???, 2()(x,y)xy z z f y x x y ???==???? 2()(x,y)yx z z f x y y x ???==????, 22()(x,y)yy z z f y y y ???==???
3. 全微分.(求偏导数后加上,dx dy ) 函数(x,y)z f =的全微分： z z dz dx dy x y ??= +??. 例题：计算函数xy z e =在点(2,1)处的全微分. 解： ,x y x y z z ye xe x y ??==?? 222211 |,|2x x y y z z e e x y ====??==?? 所以 222dz e dx e dy =+ 4. 多元复合函数求导法则(先求偏导数，再对复合函数求偏导数). 例题1：设z uv sin t =+，而t u e =，cos v t =，求全导数dy dt 。 解：sin cos t dz z du z dv z ve u t t dt u dt v dt t ???=++=-+??? cos sin cos (cos sin )cos t t t e t e t t e t t t =-+=-+ 例题2：求2 2 (xy ,x y)z f =的22z x ??（其中f 具有二阶连续偏导数）. 解： 22'' 122'2'1 222'''''2''2''1112221224''3''22''111222 ()(2)2() (y 2)2(2) y 44z z y f f yx x x x x f y y f x x x y f xyf y f xy f x yf f xy f x y f ????==+??????=+??=++++=++ 5. 隐函数求导公式.
授课单元7教案 课题1 偏导数 一、复习 x处的导数，y=f(x)的导数 一元函数y=f(x)在 二、偏导数的概念、 我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率。
例如，一定量的理想气体P ，体积V ，热力学温度T 的关系式为常数）R V RT P (,= （1）当温度不变时（等温过程），压强P 关于体积V 的变化率为2T V RT )(-=为常数dV dP （2）当体积V 不变时（等容过程），压强P 关于温度T 的变化率为 V R dT dP V = =常数)( . 这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。 1、z=f(x,y)在),(00y x 处的偏导数 （1） z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量?x 时, 相应地函数有增量 f (x 0+?x , y 0)-f (x 0, y 0). 如果极限 x y x f y x x f x ?-?+→?) ,(),(lim 00000 存在, 则称此极限为函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作 ),(00y x x z ??, ) ,(00y x x f ??, ) ,(00y x x z ' , 或),(00y x f x '. 即 x y x f y x x f y x f x x ?-?+=' →?) ,(),(lim ),(00000 00 （2）z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数 ) ,(00y x y z ??= ) ,(00y x y f ??=) ,(00y x y z ' =),(00y x f y '=y y x f y y x f y ?-?+→?) ,(),(lim 00000 2、偏导函数（简称偏导数） (1)z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数 如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数, 记作 x z ??= x f ??= 'x z =),(y x f x 'x y x f y x x f x ?-?+=→?),(),(lim 0. (2) z =f (x , y )对y 的偏导函数 y z ??=y f ??= 'y z =),(y x f y '=y y x f y y x f y ?-?+→?),(),(lim 0 说明 （1）由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法求 x z ??时，把y 视为常数
导数的概念 在学习到数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。例：设一质点沿x 轴运动时，其位置x是时间t的函数， ，求质点在t 0的瞬时速度？我们知道时间从t 有增量△t时，质点的位置有增量 ，这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为： .若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在 t 0时的瞬时速度。我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t 时的瞬时速度，即：质点在t 时的瞬时速度= 为此就产生了导数的定义，如下：导数的定义：设函数 在点x 0的某一邻域内有定义，当自变量x在x 处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函 数有增量 ，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为 在x 处的导数。记为： 还可记为： ， 函数
处存在导数简称函数 在点x 在点x 处可导，否则不可导。若函数 在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数 在区间(a,b)内可导。这时函数 对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数 的导函数。 注：导数也就是差商的极限 左、右导数 前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。若极限 存在，我们就称它为函数 处的左导数。若极限 在x=x 存在，我们就称它为函数 在x=x 处的右导数。 注：函数 在x 处的左右导数存在且相等是函数
在x 处的可导的充分必要条件 函数的和、差求导法则 函数的和差求导法则 法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).用公式可写为： 。其中u、v为可导函数。 例题：已知 ，求 解答： 例题：已知 ，求 解答： 函数的积商求导法则 常数与函数的积的求导法则 法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成： 例题：已知
§8.2 偏导数 一、偏导数的定义及其计算法 对于二元函数z =f (x ,y ),如果只有自变量x 变化,而自变量y 固定,这时它就是x 的一元函数,这函数对x 的导数,就称为二元函数z =f (x ,y )对于x 的偏导数. 定义 设函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)的某一邻域内有定义,当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量?x 时,相应地函数有增量 f (x 0+?x ,y 0)-f (x 0,y 0). 如果极限 x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000 存在,则称此极限为函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处对x 的偏导数,记作 00y y x x x z ==??,00 y y x x x f ==??,00y y x x x z ==,或),(00y x f x . 例如： x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?),(),(lim ),(00000 00. 类似地,函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处对y 的偏导数定义为 y y x f y y x f y ?-?+→?),(),(lim 00000, 记作 00y y x x y z ==??,00y y x x y f ==??,00y y x x y z ==,或f y (x 0,y 0). 偏导函数:如果函数z =f (x ,y )在区域D 内每一点(x ,y )处对x 的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x 、y 的函数,它就称为函数z =f (x ,y )对自变量x 的偏导函数,记作 x z ??,x f ??,x z ,或),(y x f x . 偏导函数的定义式:x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?),(),(lim ),(0 . 类似地,可定义函数z =f (x ,y )对y 的偏导函数, 记为 y z ??,y f ??,z y ,或),(y x f y .
第二部分工质的热力性质 六热力学函数的一般关系式 由热力学基本定律引出的一些基本热力学状态函数（如内能U、熵S ）及其为某一研究方便而设的组合函数（如焓H、自由能F、自由焓G等）许多都是不可测量，必须将它们与可测量（如压力p、体积V、温度T等）联系起来，否则我们将得不到实际的结果，解决不了诸如上一章讲的最大功计算等一些具体的问题。 这就需要发展热力学的数学理论以将热力学基本定律应用到各种具体问题中去。 热力学函数一般关系式全微分性质+基本热力学关系式 6.1 状态函数的数学特性 对于状态参数，当我们强调它们与独立变量的函数关系时，常称它们为状态函数。从数学上说，状态函数必定具有全微分性质。这一数学特性十分重要，利用它可导出一系列很有实用价值的热力学关系式。下面我们扼要介绍全微分的 一些基本定理。
设函数z f(x,y)具有全微分性质 则必然有 (1)互易关系 N(x,y) N (6-2) x y 而且是充分条件。因此，可反过来检验某一物理量是否具有 全微分。 (2)循环关系 ，亠 z y x “ 故有 1 (6-3) dz — dx — dy x y y x (6-1) 令式 (6-1 )中 M(x,y), 互易关系与门dz 0等价 它不仅是全微分的必要条件， 当保持 z 不变，即 dz 0时，由式(6-1)，得
y x x z z y 此式的功能是：若能直接求得两个偏导数，便可确定第三个偏导数。结果也很容易记忆，只需将三个变量依上、下、外次序，即(zyx)(yxz)(xzy)循环就行了。 (3)变换关系 将式(6-1)用于某第四个变量不变的情况，可有 dz z dx z dy X y y x 两边同除以dx，得 z z z y x x y y x x (6-4) 式中：z x 是函数z(x,y)对x的偏导数；疋以(x, x 独立变量时，函数z(x,)对x的偏导数。上面的关系可用于它们之间的变换。这一关系式对于热力学公式的推导十分重
【090201】【计算题】【较易0.3】【偏导数】【偏导数的定义】 【试题内容】求曲线z x y y =+=???226 上的点(,,)1637处的切线的斜率。 【试题答案及评分标准】 k z x x x y x ======16 1 22 10分 【090202】【计算题】【较易0.3】【偏导数】【偏导数的定义】 【试题内容】 设f x y xy x y x y x y x y (,)(,)(,)(,)(,) =-++≠=?????332 2 000 00，根据偏导数定义求f f x y (,),(,)0000。 【试题答案及评分标准】 解：lim (,)(,)lim ??????x x f x f x x x →→+-=-=-0 000001 f x (,)001=- 5分 lim (,)(,)lim ??????y y f y f y y y →→+-=-=-0 000001 f y (,)001=- 10分 【090203】【计算题】【较易0.3】【偏导数】【偏导数的定义】 【试题内容】设??? ??=≠++=) 0,0(),(0 )0,0(),(2),(2 2y x y x y x y x y x f ，根据偏导数定义求 )0,0(),0,0(y x f f 。 【试题答案及评分标准】 lim (,)(,)lim ??????x x f x f x x x →→+-==0 000001 f x (,)001= （5分） lim (,)(,)lim ??????y y f y f y y y →→+-==0 0000022 f y (,)002= 10分 【090204】【计算题】【较易0.3】【偏导数】【偏导数的定义】
【试题答案及评分标准】x ≠0为该函数的定义域。 10分 【090102】【计算题】【较易】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】求函数u x y z =+?? ? ? ??arcsin 22的定义域。 【试题答案及评分标准】-≤ +≤1122 x y z 10分 【090103】【计算题】【较易】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z xf y x =()，其中x ≠0，如果当 x =1时，z y =+12，试确定f x ()及z 。 【试题答案及评分标准】 x =1时，z f y y ==+()12，所以f x x ()=+12 5分 z x y x x x x y =+?? ? ??= +12 22 10分 【090104】【计算题】【较易】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z x y f x y =++-()，已知y =0时， z x =2，求f x ()和z 。 【试题答案及评分标准】y =0时，z x =2，得x f x x +=()2 所以f x x x ()=-2 5分 所以z x y x y x y x y y =++---=-+()()()2 2 2 10分 【090105】【计算题】【中等】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z y f x =+-()1，其中x y ≥≥00,，如果y =1时z x =，试确定函 数f x ()和z 。 【试题答案及评分标准】 y =1时，z f x x =+-=11() 所以f x x ()-=-11 3分 令x t x t -==+112 ,()所以 f t t t t f x x x ()(),()=+-=+=+1122222 7分 所以()z y x x y x x y = +-+-=+-≥≥()(),1211002 10分 【090106】【计算题】【较易】【多元函数的极限】【极限的计算】