第七章：微分方程
一、微分方程的相关概念
1. 微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶 .
2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解
.
通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解 .
特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解
.
3. 特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解；
也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中
.
二、微分方程的常见类型及其解法
1. 可分离变量的微分方程及其解法
(1). 方程的形式： g( y) dy f ( x)dx .
(2). 方程的解法：分离变量法
(3).
求解步骤
① . 分离变量，将方程写成
g( y) dy f ( x)dx 的形式；
② .
两端积分：
g ( y)dy
f (x)dx ，得隐式通解 G( y)
F ( x) C ；
③ . 将隐函数显化 .
2. 齐次方程及其解法
(1). 方程的形式：
dy
y .
dx
x
(2). 方程的解法：变量替换法
(3). 求解步骤
①．引进新变量
u
y
，有 y ux 及
dy
u x
du
；
x
dx
dx
②．代入原方程得：
u x
du
(u) ；
dx
③．分离变量后求解，即解方程
du dx ；
( u) u
x
④．变量还原，即再用
y
代替 u .
x
3. 一阶线性微分方程及其解法 (1). 方程的形式：
dy
P(x) y Q( x) .
dx
一阶齐次线性微分方程
: dy P( x) y 0 .
dx
一阶非齐次线性微分方程
: dy P( x) y Q( x) 0 .
dx
(2). 一阶齐次线性微分方程
dy P(x) y
0 的解法 : 分离变量法 .
dx
通解为 y Ce
P (x )d x
,( C R ). (公式)
(3). 一阶非齐次线性微分方程
dy
P( x) y Q(x) 0的解法 : 常数变易法 .
dx
对方程
dy
P( x) y Q( x) ，设 y
u( x)e
P ( x)d x
为其通解，其中 u( x) 为未知函数，
dx u ( x) e u( x) P( x)e P (x) d x ，
从而有 dy P(x ) d x
dx
代入原方程有
( ) e P ( x) d x
()() P ( x )d x
()()
P (x) d x
( ) ，
u x
u x P x e P x u x e Q x
整理得
u (x) Q( x) e
P ( x) d x
，
两端积分得
u(x)
Q( x) e P( x) d x dx C ，
再代入通解表达式，便得到一阶非齐次线性微分方程的通解
y e P( x)d x (
Q( x)e P( x) d x dx C) Ce P( x) d x e P (x )d x Q( x)e P (x) d x dx ，( 公式 )
即非齐次线性方程通解 =齐次线性方程通解 +非齐次线性方程特解 .
第八章：空间解析几何与向量代数
一、向量
a (x a , y a , z a ),
b ( x b , y b , z b ),
c ( x c , y c , z c )
1. 向量
a
( x a , y a , z a ) 与 b (x b , y b , z b )
的数量积：
a b a b cos
x a x b x b y b z a z b
；
a
x y
z
b
x b
y b
z b
i j
k
2. 向量 ( a
, a ) 与 ( , , ) 的向量积： a b x a
y a
z a
.
a ,
x b y b z b
a b a b sin
的几何意义为以
a, b 为邻边的平行四边形的面积 .
3. 向量 r ( x, y, z) 的方向余弦：
cos
x
, cos
y , cos
y ，
x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 x 2 y 2
z 2
z 2
cos 2
cos 2
cos 2
1 ； sin
2 sin 2
sin 2
2 .
4. 向量 a
( x a , y a , z a ) 与
b ( x b , y b , z b )
垂直的判定：
a ba
b 0
x a x b x b y b z a z b
0 .
a
( x , y , z ) 与
b ( x , y , z )
平行的判定：
a //
b a b 0 a
x a x b z a k . kb, k 0
y b z b
x b
6. 三向量共面的判定：ka mb nc 0 a,b,c 共面.
7. 向量a ( x a , y a , z a ) 在b ( x b , y b , z b ) 上的投影：Pr j a b a b x
a x
b x b y b
z
a
z
b .
a x a2 y a2 z a2
二、平面
1.过点 P(x
0 , y0 , z0 ) ，以 n ( A, B, C )
为法向量的平面的点法式方程：
A( x x0 ) B( y y0 ) C (z z0 )0 .
2.以向量n( A, B,C ) 为法向量的平面的一般式方程：Ax By Cz D0 .
3. 点
M ( x1 , y1, z1) 到平面 Ax By Cz D 0 的距离d
Ax1 By1 cz1 D
A2 B2 C 2 错误 ! 未找到引用源。 .
4. 平面1 : A1 x B1 y C1z D1 0 与 2 : A2 x B2 y C2 z D 2 0 平行的判定：
1 //
2 n1 // n2 A1 B1 C1 D1
. A2 B2 C 2 D 2
5. 平面1 : A1 x B1 y C1z D1 0 与 2 : A2 x B2 y C2 z D 2 0 垂直的判定：
1 2n
1
n
2 A1 A2 B1B2 C1C2 0 .
6. 平面1 : A1 x B1 y C1z D1 0 与 2 : A2 x B2 y C2 z D 2 0 的夹角：
cos
A1 A2 B1 B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C 22
三、直线
1. 过点
P( x0 , y0 , z0 ) ，以 s ( m, n, p) 为方向向量的直线的点向式( 对称式、标准 ) 方程：
x x0 y y0 z
z
0 .
m n p
x x0 tm
2. 过点
P( x0 , y0 , z0 ) ，以 s (m, n, p) 为方向向量的直线的参数式方程：y y0 tn .
z z0 tp
3.
A1 x B1 y C1z D1 0
n1 n2. 直线的一般式方程：
A2 x B2 y C2 z D2
. 方向向量为s
4.直线方程之间的转化：
ii) 一般式点向式
第一步：找点
第二步：找方向向量s n1 n2
5. 直线L1:
x
x1 y y1 z
z
1与L2:
x
x2 y y2 z
z
2平行的判定：m1 n1 p1 m2 n2 p2
L1 // L2 s1 // s2 m1 n1 p1.
m2 n2 p2
6. 直线
L1 :
x
x1 y y1 z
z
1与L2:
x
x2 y y2 z z2 垂直的判定：m1 n1 p1 m2 n2 p2
L1 L2 s1 s2 m1m2 n1n2 p1 p2 0
.
7. 直线
L1 :
x
x1 y y1 z
z
1与 L2 :
x
x2 y y2 z z2 的夹角：m1 n1 p1 m2 n2 p2
cos m1 m2 n1n2 p1 p2 .
m12 n12 p12 m22 n22 p22
8. 直线L :
x
x0 y y0 z
z
0与平面
: Ax By Cz D 0 垂直的判定：l m n
l m n
L S// N
A B
.
C
9. 直线L :
x
x0 y y0 z
z
0 与平面: Ax By Cz D 0 平行的判定：
l m n
L // S N Al Bm Cn 0 .
10. 直线L :
x
x0 y y0 z
z
0与平面
: Ax By Cz D 0 的夹角：l m n
sin
Am Bn Cp
.
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
11.点 P( x
0 , y0 , z0 )
A1 x B1 y C1 z D1 0 PM s
到直线的距离： d ，其中 M 是直线上任意一点，s n1n2.
A2 x B2 y C2 z D2 0 s
四、曲线、曲面
1. yoz平面上的曲线 C ： f ( y, z) 0 绕 z 轴旋转一周所得的旋转曲面为
S ： f ( x2 y 2 , z) 0 .
F ( x, y, z) 0
H ( x, y) 0 ；
2. 空间曲线C：关于 xoy 平面上的投影柱面方程为：
G( x, y, z) 0
在 xoy 平面上的投影曲线为
H (x, y) 0
C ：
.
z 0
第九章：多元函数微分法及其应用
一、平面点集
1. 内点一定在点集内，但点集内的点未必是点集的内点，还有孤立点；
2. 聚点可以是点集的边界点，也可以是点集的内点，但不可以是点集的外点和点集内的孤立点；
3. 开集和闭集内的所有点都是聚点 .
二、二元函数的极限、连续性的相关知识点
1. 二元函数
f ( x, y) 在
(x 0 , y 0 ) 点的二重极限：
lim
f ( x, y) A .
( x ,y) ( x 0 , y 0 )
2. 二元函数
f ( x, y) 在
(x 0 , y 0 ) 点的连续性：
lim
f ( x, y)
f (x 0 , y 0 ) .
( x, y) ( x 0 , y 0 )
3. 二元初等函数在其定义区域内连续 . 二、二元函数的偏导数的相关知识点
1. 函数 z
f ( x, y) 对自变量 x, y 的偏导数： z 及 z
错误 ! 未找到引用源。 .
x y
2. 函数 z
f (x, y)
对自变量 x, y 的二阶偏导数：
2
z 、
2
z
错误 ! 未找到引用源。 、 2 z 、
2
z
x 2
y 2
x y
y x
注：若二阶混合偏导数
2
z 与
2
z
连续，则二者相等 .
x y y x
三、二元函数的全微分：
dz
z
dx
z
dy
x y
四、二元函数连续性、偏导数存在性以及全微分存在性三者之间的关系
1. 函数连续性与偏导数存在性的关系：二者没有任何的蕴涵关系
.
2. 偏导数存在性与全微分存在性的关系：
全微分存在，偏导数存在；反之未必
.( 偏导数不存在，全微分一定不存在 )
偏导数连续，全微分存在，反之未必
.
3. 连续性与全微分存在性的关系：
全微分存在，函数一定连续；
( 函数不连续，全微分一定不存在 )
函数连续，全微分未必存在
.
五、二元复合函数的偏 ( 全 ) 导数
1. 中间变量为两个，自变量为一个的复合函数的全导数：
z f (u,v),u
(t), v
(t ), z f ( (t ), (t)) ，
dz z du z dv
dt
u dt
v dt
z f (u,v),u
( x, y),v ( x, y), z f ( (x, y), ( x, y)) ，
z z u z v , z z u z v x
u x
v x y
u x
v x
六、隐函数微分法
1. 由一个方程确定的隐函数微分法：
F ( x, y, z) 0
确定隐函数 z f ( x, y) ，
直接对方程左右两端关于自变量求偏导数，即
F dx F dy F z 0 ，即
x dx y dx
z x
F 1 F F z 0 ，解得
z F x '
x
z x
x
F z '
y
2. 由方程组确定的隐函数组微分法：
F (x, y, u, v) 0 确定隐函数
u
u( x, y) G(x, y, u, v) 0 v
，
v(x, y)
F dx F dy F u F v
x dx y dx
u x v 0
直接对方程组左右两端关于自变量求偏导数，即
x
G dx G dy G u G ，即
v
x dx
y dx u x
v 0
x
F F u F v 0
x u x v x
u v
，可以解出
.
G G u G v
,
x
x
x
u x
v x
七、偏导数的几何应用
1. 曲线的切线方程和法平面方程
x
(t ), 1). 以参数式方程
y (t), 表示的曲线在
t t 0
对应的点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的
z
(t )
切线方程：
x
x 0 y
y 0 z z 0
'
(t 0 )
'
(t 0 )
'
(t 0 )
法平面方程：
'
(t 0 )( x x 0 )
'
(t 0 )( y y 0 )
'
(t 0 )( z z 0 ) 0
2). F ( x, y, z) 0
M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的切线和法平面方程：
以一般式方程
G( x, y, z)
表示的曲线在点
F ( x, y, z) 0 y f (x)
dy dz 先用方程组
G( x, y, z) 0 确定的隐函数组
g (x)
微分法求出,
，然后得到切线的方向向量
z dx dx
n
1,
dy
, dz
切线方程：
x
x 0 y y 0 z z 0
1
f ' ( x 0 )
g ' ( x 0 )
法平面方程： x
x 0
f ' ( x 0 )( y y 0 )
g ' (x 0 )( z z 0 ) 0
2. 曲面的切平面方程和法线方程
1). 以一般式方程 F ( x, y, z) 0 表示的曲面在点 M (x 0 , y 0 , z 0 ) 的切平面和法线方程：
切平面线方程： F x '
(M )( x
x 0 ) F y ' (M )( y y 0 ) F z ' (M )(z z 0 )
法方程：
x x 0 y y 0 z z 0
F x ' (M ) F x ' ( M ) F z ' ( M )
2). 以特殊式方程 z
f (x, y)
表示的曲面在点
M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的切平面和法线方程：
令 F ( x, y, z)
f (x, y)
z 0
，有曲面在点
M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的切平面的法向量
N (F x ' (M ), F y ' (M ), F z ' (M )) ( f x ' ( x 0 , y 0 ), f y ' ( x 0 , y 0 ), 1) 切平面线方程：
f x ' ( x 0 , y 0 )( x x 0 )
f y ' ( x 0 , y 0 )( y y 0 ) ( z z 0 ) 0
法方程：
x x 0 y y 0 z z
.
f x ' ( x 0 , y 0 )
f x ' (x 0 , y 0 )
1
3. 方向导数与梯度：
1). 方向导数：
f lim f ( x
x, y
y)
f (x.y)
l 0
2). 方向导数存在条件：可微分函数
z f ( x, y) 在一点沿任意方向 l 的方向导数都存在，并且
f z
cos
z
cos ，其中 cos , cos 是方向 l 的方向余弦 .
l
x
y
3). 梯度：函数
f ( x, y, z) 在点
M ( x 0 , y 0, z 0 ) 处的梯度
grad f ( x 0 , y 0 , z 0 ) f x ( x 0 , y 0 , z 0 )i
f y ( x 0 , y 0 , z 0 ) j f z (x 0 , y 0 , z 0 ) k ( ).
4). 方向导数与梯度的关系：
①
. 函数
f ( x, y, z) 在点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 处 增 加最 快 的 方 向 是其 梯 度 grad f ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的方 向 ， 减 小 最快 的 方向 是
grad f ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的方向 .
②. 函数
f (x, y, z)
在点
M (x 0 , y 0 , z 0 ) 沿任意方向的方向导数的最大值为 grad f (x 0 , y 0 , z 0 ) .
八、极值、条件极值
2.求函数极值的步骤：
(1). 对函数z
f x' ( x, y) 0
f ( x, y) 求偏导数，解方程组，得所有驻点 (x i , y i ) .
f y' ( x, y) 0
(2). 对每一个驻点( x i, y i)，求出二阶偏导数的值 A f xx'' (x i , y i ), B f xy'' (x i , y i ), C f yy'' (x i , y i ) .
(3). 计算B2 AC ，根据 B2 AC 以及A的符号判定f (x i , y i ) 是否是极值：
若 B 2 AC 0, A 0，则 f (x i , y i ) 是极小值；
若B2 AC 0, A 0 ，则 f (x i , y i ) 是极大值；
若B2 AC 0, ，则 f (x i , y i ) 不是极小值；
若B2 AC 0, ，则 f (x i , y i ) 是否是极值不能判定，需其他方法验证.
3. 求函数z f ( x, y) 在附加条件( x, y) 0 下的条件极值的方法：
做拉格朗日函数 F ( x, y) f ( x, y) ( x, y) ，对自变量x, y求偏导，建立方程组
F x' (x, y) f x' ( x, y) x' ( x, y) 0
F y' (x, y) f y' ( x, y) y' ( x, y) 0
F x' ( x, y) f x' (x, y) x' ( x, y) 0
与附加条件联立的方程组F y' ( x, y) f y' ( x, y) y' ( x, y) 0 ，解出的 x, y 就是函数z f (x, y) 的可能极值点.
(x, y) 0
第十章：重积分
一、二重积分的相关性质
1. 有界闭区域上的连续函数 f ( x, y) 在该区域D上二重积分 f ( x, y)d 存在；
D
2. 若函数 f ( x, y) 在有界闭区域D上二重积分存在 f ( x, y)d ，则 f ( x, y)在该区域上有界；
D
3.中值性：若函数 f ( x, y)
f ( x, y) d f ( x, y)
D 在有界闭区域D上连续，区域D的面积为，则在D上至少存在一点(, ) ，使得.
4.1d
，区域D的面积为.
D
二、二重积分的计算
1.利用平面直角坐标计算二重积分
1). 先对y后对x积分，
由于积分区域
D : a x b ；1(x) y2( x)，有
f ( x, y)d
b 2 ( x)
dx
f ( x, y)dy .
D
a
1 ( x)
2). 先对 x 后对 y 积分，
由于积分区域 D : c
y d ； 1 ( y) x
2 ( y) ，有
f ( x, y)d d 2 ( y)
dy
f (x, y)dx .
D
c
1( y)
3). b 2 ( x ) f ( x, y)dy
f ( x, y) d
d 2 ( y ) 积分换序：dx
1 ( x)
dy
f ( x, y)dx .
a
D
c
1 ( y)
2. 利用极坐标计算二重积分
x
cos
1
(
) x 2 ( )
，有
令
，由于积分区域 D :
；
y
sin
f ( x, y)d
d
2 ( ) , sin )
d . f ( cos
D
1 ( )
三、三重积分的相关性质：
1
V
dV V ，区域
的体积为.
四、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分
积分区域 V ： a x
b ； y 1 ( x) y y 2 ( x) ； z 1( x, y) z z 2 (x, y) ，有
f ( x, y, x) dV b y 2 ( x)
dy
z 2 ( x, y)
dx
f (x, y, z) dz
a
y 1 ( x)
z 1 ( x, y)
第十一章：曲线积分 曲面积分
一、曲线积分的计算
1. 第一型曲线积分的计算：
若曲线 C 的参数方程是：
x (t),
t 0 t t 1 ，则第一型曲线积分
y
(t),
f (x, y)ds
t 1 (t), (t )]
' 2
(t )
' 2
(t )dt
f [ C
t 0
2. 第二型曲线积分的计算：
若曲线C 的参数方程是：
x (t), t t 1 ，
t 0
t A , t 1
t B 分 别 对 应 曲 线 的 两 个 端 点 ， 则 第 一 型 曲 线 积 分
y
t 0
(t ),
P(x, y)dx Q(x, y)dy
t 1 (t), (t))
'
(t) Q( (t ), (t)) ' (t) dt
P( C
t 0
3. 格林公式 ( 联系曲线积分和二重积分 )
Pdx Qdy
D Q
P
dxdy .
C x y
注： 1. 可用第二型曲线积分计算该曲线所围成区域的面积：设有界闭区域 D 由取正向的光滑曲线 C 所围成，则区域 D 的面积为
dxdy 1
ydx xdy .
2 C
D
2.函数 P(x, y), Q( x, y) 在区域
D
上连续.
二、曲面积分的计算
1.第一型曲面积分的计算：
若曲面 S 的方程是：z z( x, y) 具有连续偏导数，且在xoy平面上的投影区域为 D xy，函数 f ( x, y, z) 在S上连续，则第一型曲面积分
f ( x, y, z)dS f [ z, y, z( z, y)] 1 z x'2 z y'2 dxdy
S D
xy
2.第二型曲面积分的计算：
若正向曲面 S 的方程是：z z( x, y) ，且在xoy平面上的投影区域为 D xy，函数 R(x, y, z) 在S上连续，则第二型曲面积分R( x, y, z)dxdy R[ x, y, z( x, y)]dxdy ，
S D xy
同理可得P( x, y, z) dydz R[ x( y, z), y, z)]dydz ；
S D
yz
Q( x, y, z) dzdx Q[ x, y(z, x), z)]dzdx
S D zx
3.高斯公式 ( 联系曲面积分和三重积分 )
若函数 P(x, y, z), Q(x, y, z) 在空间有界闭区域Ω及其光滑边界曲面S 上具有连续偏导数，则
有高斯公式：Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R
dxdydz.
S x y z
注：设空间有界闭区域Ω由光滑封闭曲面S所围成，则区域Ω的体积为
1
xdydz ydzdx zdxdy.
V
3 S
4. 斯托克斯公式 ( 联系曲面积分和三重积分 )
若函数 P( x, y, z),Q (x, y, z) 在光滑曲面S 及其光滑的边界曲线 C 上具有连续偏导数，则有斯托克斯公式
Pdx Qdy Rdz
L D 三、曲线积分与路径无关的条件R Q P R Q P
y
dydz
z
dzdx
x
dxdy.
z x y
(1). 曲线积分P(x, y) dx Q ( x, y) dy 与路径无关；
C (A,B)
(2).P( x, y)dx Q( x, y)dy0 ；
(3).
存在函数 u(x, y) ，使得 du
P( x, y)dx Q (x, y)dy ；
(4).
Q P x
y
第十二章：无穷级数
一、级数敛散性的相关性质
n
1.
a n 敛散{ S n }
a k 敛散
n 1
k 1
2.
a n
收敛 lim a n 0
n 1
n
3.
lim a n
a n 发散
n
n 1
n
的部分和数列
{ S n } 有界
n
4. 正项级数
i 1
a
n 级数
i 1
a n
收敛
n
n
5.
i 1 a n
收敛
i 1 a n
收敛
.
二、级数敛散性判别
1. 正项级数敛散性判别
(1). 比较判别法；
(2). 比值判别法；
(3). 根值判别法 .
2. 交错级数收敛性判别法：莱布尼兹判别法
3. 任意项级数敛性判别法：绝对收敛判别法
4. 两种常用级数收敛和发散的条件
(1). 等比级数
aq n 1 收敛条件是 q 1 ；发散条件是 q 1.
n 1
(2). p 级数
n 1
收敛条件是
p 1；发散条件是 p
1.
i 1
n p
二、幂级数的相关概念
1. 收敛域的求法
(1). 对标准幂级数
a n x n ，先求其收敛半径 R
1
1
，再判断级数
a n R n 以及
a n ( R) n 的敛散性，最后
n 0
a
n 1
n 0
n 0
lim
n
a n
确定收敛域是 ( R, R) 、 (
R, R] 、 [ R, R) 以及 [ R, R]中的哪一个 .
(2). 对非标准幂级数
a n ( x) ，先求极限lim a n 1 (x) ( x) ，当 (x) 1
时，a n ( x) 绝对收敛，解出 x (a, b) ，a n (x)
n 0 n
n 0
再判断级数a n a n以及a n b n的敛散性，最后确定收敛域是(a, b) 、 (a, b] 、 [ a, b) 以及 [ a, b] 中的哪一个.
n 0 n 0
2.和函数的求法：利用和函数的性质 (1). 连续性； (2). 逐项可微分； (1). 逐项可积分 .
3.函数的幂级数展开式 .
1.设 u =a -b +2c ， v =-a +3b -c .试用 a ， b ， c 表示 2u -3v . 解 2u -3v =2（ a -b +2c ） -3（ -a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形 . 证 如图 8-1，设四边形 ABCD 中 AC 与 BD 交于 M ，已知 AM =MC ， DM MB . 故 AB AM MB MC DM DC . 即 AB// DC AB |=| DC |，因此四边形 ABCD 3.把△ ABC 的 BC 边五等分，设分点依次为 D 1， D 2， D 3， D 4 ，再把各 分点与点 A 连接 .试以 AB =c, BC=a 表向量 D 1A , D 2A , D 3A , D A . 4 证 如图 8-2，根据题意知 1 5 1 5 1 5 BD 1 D 1D 2 D 2D 3 a, a, a, 1 5 D 3D 4 a, 1 故 D 1A =-（ 1） =- a- c AB BD 5
2 D 2A =-（ AB BD 2）D 3A =-（ AB BD 3）=- a- c 5 3 =- a- c 5 4 D A =-（ AB BD 4） =- a- c. 4 5 4.已知两点 M 1（ 0， 1， 2）和 M 2（ 1， -1， 0） . 试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2及 -2M 1M 2 . M 1M 2 =（ 1-0， -1-1， 0-2） =（ 1， -2， -2） . 解 -2M 1M 2 =-2（ 1， -2， -2） =（ -2， 4， 4） . 5.求平行于向量 a =（ 6， 7， -6）的单位向量 . a 解向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 6 7 6 , , 11 11 11 （ 6， 7， -6）= ， = a 11 其中 a 62 72 ( 6)2 11. 6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （ 1， -2， 3）， B （ 2， 3， -4）， C （ 2， -3， -4） ， D （ -2， -3， 1） . 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点 在第三卦限 . 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各 点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4， 3）， C （ 3， 0， 0）， D （ 0，
第七章：微分方程 一、微分方程的相关概念 1. 微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶. 2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解. 通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解. 特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解. 3. 特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解； 也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中. 二、微分方程的常见类型及其解法 1. 可分离变量的微分方程及其解法 (1).方程的形式：dx x f dy y g )()(= . (2). 方程的解法：分离变量法 (3). 求解步骤 ①. 分离变量，将方程写成dx x f dy y g )()(=的形式； ②. 两端积分： ??=dx x f dy y g )()(，得隐式通解C x F y G +=)()(； ③. 将隐函数显化. 2. 齐次方程及其解法 (1).方程的形式： ?? ? ??=x y dx dy ?. (2).方程的解法：变量替换法 (3). 求解步骤 ①．引进新变量x y u = ，有ux y =及dx du x u dx dy +=； ②．代入原方程得：)(u dx du x u ?=+； ③．分离变量后求解，即解方程x dx u u du =-)(?； ④．变量还原，即再用 x y 代替u . 3. 一阶线性微分方程及其解法 (1).方程的形式： )()(x Q y x P dx dy =+. 一阶齐次线性微分方程:0)(=+y x P dx dy . 一阶非齐次线性微分方程: 0)()(≠=+x Q y x P dx dy .
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一.函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)~g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~x ，tan x ~x ，x arcsin ~x ，x arccos ~x ， 1?cos x ~2/2^x ，x e ?1~x ，)1ln(x +~x ，1)1(-+αx ~x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则1.单调有界数列极限一定存在 准则2.（夹逼定理）设g (x )≤f (x )≤h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 5．洛必达法则 定理1设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；
（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)() (lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，) () (lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）) () (lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞ 型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞ ∞ 型同样适用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： （1）洛必达法则只能适用于“00 ”和“∞ ∞ ”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“0 ”或“ ∞ ∞ ”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则； （3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限 基本公式)() ()(lim 0'000x f x x f x x f x =?-?+→?(如果存在） 7.利用定积分定义求极限 基本格式?∑==∞→1 1)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在） 三．函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点 设0x 是函数y =f (x )的间断点。如果f (x )在间断点0x 处的左、右极限都存在，则称0x 是f (x )的第一类间断点。左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去间断点。左右极限不存在为跳跃间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 （2）第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。 四．闭区间上连续函数的性质 ) () (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→
数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"
jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ ( A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n " 9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 数，故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，，A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的W K域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n" jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。 二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念 高等数学第七版下册答案 篇一：同济大学《高等数学》第五版上册答案(详解) 版下高等数学2第十一章答案[1] txt>1.计算下列对弧长的曲线积分：（1） ? l ，其中l为圆周x2?y2? a2，直线 y?x 及x轴在第一象限内所围成的 扇形的整个边界； （2） ? ? x2yzds，其中?为折线abcd，这里a、b、c、d依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、 (1,0,2)、(1,3,2)； （3） ? l y2ds，其中l为摆线的一拱x?a(t?sint)，y?a(1?cost)(0?t?2?). 2. 有一段铁丝成半圆形y?，其上任一点处的线密度的大小等于该点的 纵坐标，求其质量。 解曲线l的参数方程为x?acos?,y?asin??0????? ds? ??ad? 依题意??x,y??y，所求质量m? 22 yds?asin?d??2a??l ? 习题11-2对坐标的曲线积分 1.计算下列对坐标的曲线积分：（1） ?(x l 2 ?y2)dx，其中l是抛物线y? x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧； （2） (x? y)dx?(x? y)dy222 l，其中为圆周（按逆时针方向绕行）； x?y?a22?l x? y （3） ? ? xdx?ydy?( x?y?1)dz，其中?是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线； （4） ? dx?dy?ydz，其中?为有向闭折线abca，这里a、b、c依次为点(1,0,0)、 ? (0,1,0)、(0,0,1)； 2.计算 ?l (x?y)dx?(y?x)dy，其中l是： （1）抛物线y2?x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； （2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段； （3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；（4）曲线x?2t2 ?t?1，y?t2?1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。 3.把对坐标的曲线积分 ? l p(x,y)dx?q(x,y)dy化成对弧长的曲线积分，其中l为：（1）在xoy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)； （2）沿抛物线y?x2 从点(0,0)到点(1,1)； 第十章重积分95 数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 96一、《高等数学》(第七版)下册习题全解 n" jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 高等数学第七版下册复习纲要.总结 一、微分方程的相关概念 1、微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶、 2、微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解、通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解、特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解、 3、特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解；也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中、 二、微分方程的常见类型及其解法 1、可分离变量的微分方程及其解法(1)、方程的形式：、 (2)、方程的解法：分离变量法(3)、求解步骤①、分离变量，将方程写成的形式；②、两端积分：，得隐式通解；③、将隐函数显化、2、齐次方程及其解法(1)、方程的形式：、(2)、方程的解法：变量替换法(3)、求解步骤①、引进新变量，有及； ②、代入原方程得：；③、分离变量后求解，即解方程；④、变量还原，即再用代替、3、一阶线性微分方程及其解法(1)、方程的形式：、一阶齐次线性微分方程:、一阶非齐次线性微分方程:、(2)、一阶齐次线性微分方程的解法: 分离变量法、通解为,()、(公式)(3)、一阶非齐次线性微分方程的解法: 常数变易法、对方程，设为其通解，其中为未知函数，从而有，代入原方 程有，整理得，两端积分得，再代入通解表达式，便得到一阶非齐次线性微分方程的通解，(公式)即非齐次线性方程通解=齐次线性方程通解+非齐次线性方程特解、第八章：空间解析几何与向量代数 一、向量 1、向量与的数量积：； 2、向量与的向量积：、的几何意义为以为邻边的平行四边形的面积、 3、向量的方向余弦：，；、 4、向量与垂直的判定：、 5、向量与平行的判定：、 6、三向量共面的判定：共面、 7、向量在上的投影：、 二、平面 1、过点，以为法向量的平面的点法式方程：、 2、以向量为法向量的平面的一般式方程：、 3、点到平面的距离、 4、平面与平行的判定：、 5、平面与垂直的判定： 、6、平面与的夹角： 三、直线 1、过点，以为方向向量的直线的点向式(对称式、标准)方程：、 2、过点，以为方向向量的直线的参数式方程：、 3、直线的一般式方程：、方向向量为、 4、直线方程之间的转化：i) 点向式参数式ii) 一般式点向式第一步：找点第二步：找方向向量 5、直线与平行的判定： 第七章：微分方程 一、微分方程的相关概念 1. 微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶 . 2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解 . 通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解 . 特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解 . 3. 特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解； 也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中 . 二、微分方程的常见类型及其解法 1. 可分离变量的微分方程及其解法 (1). 方程的形式： g( y) dy f ( x)dx . (2). 方程的解法：分离变量法 (3). 求解步骤 ① . 分离变量，将方程写成 g( y) dy f ( x)dx 的形式； ② . 两端积分： g ( y)dy f (x)dx ，得隐式通解 G( y) F ( x) C ； ③ . 将隐函数显化 . 2. 齐次方程及其解法 (1). 方程的形式： dy y . dx x (2). 方程的解法：变量替换法 (3). 求解步骤 ①．引进新变量 u y ，有 y ux 及 dy u x du ； x dx dx ②．代入原方程得： u x du (u) ； dx ③．分离变量后求解，即解方程 du dx ； ( u) u x ④．变量还原，即再用 y 代替 u . x 3. 一阶线性微分方程及其解法 (1). 方程的形式： dy P(x) y Q( x) . dx 一阶齐次线性微分方程 : dy P( x) y 0 . dx 一阶非齐次线性微分方程 : dy P( x) y Q( x) 0 . dx 习题1-10 1.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根. 因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b. 证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数. f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0. 若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根; 若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根. 总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b. 3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有 |f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)?f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0. 证明设x0为(a,b)内任意一点.因为 0||lim |)()(|lim 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(lim 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a 1.设u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用a ，b ，c 表示2u -3v . 解2u -3v =2（a -b +2c ）-3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图8-1，设四边形ABCD 中AC 与BD 交于M ，已知 AM =MC ，MB DM . 故 DC DM MC MB AM AB . 即DC AB //且｜AB |=|DC |，因此四边形 ABCD 是平行四边形． 3.把△ABC 的BC 边五等分，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各 分点与点A 连接.试以AB =c,BC =a 表向量 A D 1,A D 2,A D 3,A D 4 .证 如图8-2，根据题意知 5 11 BD a, 5 12 1D D a, 5 13 2D D a, 5 14 3D D a, 故A D 1=-（ 1BD AB ）=-5 1 a-c A D 2=-（2BD A B ）=-52 a-c A D 3=-（3BD A B ）=-53 a-c A D 4 =-（4BD AB ）=-5 4 a-c. 4.已知两点M 1（0，1，2）和M 2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示向量 21M M 及-221M M . 解 21M M =（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）. -221M M =-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）. 5.求平行于向量a =（6，7，-6）的单位向量. 解向量a 的单位向量为 a a ，故平行向量a 的单位向量为 a a = 11 1（6，7，-6）= 11 6,117,116， 其中 11)6(7 6 2 2 2 a . 6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （2，3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3，1）. 解A 点在第四卦限，B 点在第五卦限，C 点在第八卦限，D 点在第三卦限. 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （3，4，0）， B （0，4，3）， C （3，0，0）， D （0， 函数、极限、连续 一、函数：五大类基本初等函数幂函数，指数函数，对数函数 反函数，有界性，奇偶性 三角函数：正割函数，余割 反三角函数 二、极限 1、数列的极限 夹逼准则 2、函数的极限 （1）两个重要极限 （2）无穷小：高阶，低阶， 同阶，等价；性质：有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小。等价无穷小代换； 三、连续 间断点：第一类，第二类左右极限都存在； 可去间断点，跳跃间断点无穷间断点，振荡间断点一切初等函数在定义区间内都连续。 闭区间上连续函数的性质：零点定理：方程根的存在性 第二章导数与微分 一、相关概念 1、导数的两大定义式； 2、左右导数； 3、几何意义； 4、可导与连续的关系。 5、16个基本导数公式，4个求导法则 二、六大类函数求导 1、复合函数求导； 2、隐函数求导； 3、参数方程所确定的函数求导； 4、幂指函数求导； 对数求导法 5、分段函数求导； 6、抽象函数求导。 三、微分 1、概念；可微 2、计算 第三章微分中值定理 与导数的应用 一、中值定理 罗尔定理：驻点 拉格朗日中值定理 二、洛必达法则 三、单调性和凹凸性 单调性：求单调区间； 求极值； 证明不等式； 证明方程根的唯一性。极值的第一充分条件 有且仅有； 凹凸性：凹凸区间；拐点 四、渐近线 1、水平渐近线 2、垂直渐近线 3、斜渐近线 第四章不定积分 一、不定积分的概念； （13+2） 原函数；被积函数；积分变量 二、计算 1、凑微分法（第一类换元法） 2、第二类换元法 3、分部积分法 （一）4小题 （二）2小题 （三）1小题 简单根式的积分 第五章定积分 一、相关概念和性质 积分下限，积分上限 几何意义：面积的代数和[a,b]积分区间 比较性质 定积分的中值定理 二、关于计算方面的内容 1、定积分的计算； 2、广义积分（反常积分）；（1）无穷限的广义积分； 高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x +~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1.单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!211 2125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则 定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于) () (lim 0x F x f x x ''→；当 )()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，) () (lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）)() (lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式 ∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞ ∞ 型同样适用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： （1）洛必达法则只能适用于“00 ”和“∞ ∞ ”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00 ”或“ ∞ ∞ ”型才能运用该法则； ) () (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→高等数学同济第七版7版下册习题全解
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