2003年考研数学（四）真题评注
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）极限x
x x 20
)]
1ln(1[lim ++→= 2
e .
【分析】 本题属∞
1型未定式，化为指数函数求极限即可.
【详解】
x
x x 2
)]
1ln(1[lim ++→=)]1ln(1ln[2
lim x x
x e
++→
=.2)1ln(2lim
)]1ln(1ln[2lim
00e e
e
x
x x x x x ==+++→→
【评注】 对于∞
1型未定式
)()(lim x g x f 的极限，也可直接用公式
)
()(lim x g x f )1(∞=
)()1)(lim(x g x f e -进行计算，因此本题也可这样求解：
x
x x 2
)]
1ln(1[lim ++→=.2)
1ln(2
lim 0e e
x x
x =+?→
【评注】 完全类似例题见《数学复习指南》P.23【例 1.30】和《文登数学全真模拟试卷》数学四P.29第一大题第（1）小题.
（2）
dx
e
x x x
?
--+1
1
)(= )21(21
--e .
【分析】 对称区间上的积分应注意利用被积函数的对称性，这里有.
01
1
=?
--dx xe
x
【详解】
dx
e
x x x
?
--+1
1
)(=
dx
xe
dx e
x x
x
??
----+1
1
1
1
=dx
e
x x
--?
1
1
=
??---=1
10
22x
x xde dx xe
=
]
[21
10
dx e xe x x
?----
=)21(21
--e .
【评注】 本题属基本题型，主要考查对称区间上的积分性质和分布积分法.
原题见《文登数学全真模拟试卷》数学二P.37第一题第（3）小题（完全是原题，答案也一样），完全类似题见《文登数学全真模拟试卷》数学三P.71第一大题第（2）小题.
（3）设a>0，
，x a x g x f 其他若,
10,0,)()(≤≤??
?==而D 表示全平面，则
??-=D
dxdy
x y g x f I )()(= 2
a .
【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.
【详解】
??-=D
dxdy
x y g x f I )()(=dxdy
a
x y x ??≤-≤≤≤1
0,102
=.
])1[(2
1
02
101
2
a
dx x x a
dy dx a
x x =-+=???
+
【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.
完全类似例题见《数学复习指南》P.191【例8.16-17】 .
（4）设A,B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵. 已知AB=2A+B,B=??????????202040202,则 1
)(--E A = ?????
?????001010100 .
【分析】 应先化简，从AB=2A+B 中确定1
)(--E A . 【详解】 由AB=2A+B, 知
AB-B=2A-2E+2E, 即有 E E A B E A 2)(2)(=---，
E E B E A 2)2)((=--， E
E B E A =-?-)2(21
)(，
可见 1
)(--E A =)2(21
E B -=?????
????
?001010100. 【评注】 本题实质上是已知矩阵等式求逆的问题，应先分解出因式A-E ，写成逆矩阵
的定义形式，从而确定(A-E) 的逆矩阵.
完全类似例题见《数学最后冲刺》P.92【例7】.
（5）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T
α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵
T
E A αα-=， T
a E B αα1+=，
其中A 的逆矩阵为B ，则a= -1 .
【分析】 这里T
αα为n 阶矩阵，而22a T =αα为数，直接通过E AB =进行计算并
注意利用乘法的结合律即可.
【详解】 由题设，有
)
1
)((T T a E E AB αααα+-=
=T
T T T a a E αααααααα?-+-1
1 =T
T T T a a E αααααααα)(1
1-+- =T
T T a a E αααααα21
-+- =E
a a E T =+--+αα)1
21(,
于是有 0121=+
--a a ，即 0122
=-+a a ，解得 .1,21
-==a a 由于A<0 ,故a=-1.
【评注】 完全类似例题见《数学复习指南》P.305第2大题第（5）小题 .
（6）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5, EX=EY=0,222==EY EX , 则
2)(Y X E += 6 .
【分析】 利用期望与相关系数的公式进行计算即可. 【详解】 因为
2)(Y X E +=2
2)(2EY XY E EX ++ =4+]),([2EY EX Y X Cov ?+
=4+2.625.024=??+=??DY DX XY ρ
【评注】 本题的核心是逆向思维，利用公式EY EX Y X Cov XY E ?+=),()(，而这种分析方法是文登辅导班上重点介绍过的.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）曲线1
x
xe y =
(A) 仅有水平渐近线. (B) 仅有铅直渐近线.
(C) 既有铅直又有水平渐近线. (D) 既有铅直又有斜渐近线. [ D ] 【分析】 先考虑是否有水平渐近线，若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线，而是否存在铅直渐近线，应看函数是否存在无定义点.
【详解】 当±∞→x 时，极限y
x ±∞
→lim 均不存在，故不存在水平渐近线；
又因为 1lim lim 2
1
==∞→∞→x x x e x y ，0
)(lim 1
=-∞→x xe x x ，所以有斜渐近线y=x.
另外，在 x=0 处2
1
x xe
y =无定义，且∞
=→2
1
lim x x xe ，可见 x=0为铅直渐近线.
故曲线1x xe y =既有铅直又有斜渐近线，应选(D).
【评注】 本题为常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.153 【例6.30-31】.
（2）设函数
)
(1)(3x x x f ?-=，其中)(x ?在x=1处连续，则0)1(=?是f(x)在x=1
处可导的
(A) 充分必要条件. （B ）必要但非充分条件.
(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. [ A ] 【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分段函数看待，利用f(x)在x=1处左右导数定义讨论即可.
【详解】 因为
)1(3)(11lim 1)1()(lim 311??=?--=--++→→x x x x f x f x x ， )1(3)(11lim 1)1()(lim 311??-=?---=----→→x x x x f x f x x ，
可见，f(x)在x=1处可导的充分必要条件是 .0)1()1(3)1(3=?-=??? 故应选(A). 【评注】 函数表达式中含有绝对值、取极值符号(max,min)等，均应当作分段函数处理.一般地，函数
)()(0x x x x g ?-=在点0x x =处可导的充要条件是.0)(0=x ?
完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P.28 【例2.6】和《考研数学大串讲》P.19
的公式.
（3）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是
(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ A ] 【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.
【详解】 可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知
0),(00='y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零, 故应选(A).
【评注1】 本题考查了偏导数的定义，),(0y x f 在0y y =处的导数即),(00y x f y '；而
),(0y x f 在0x x =处的导数即).,(00y x f x '
【评注2】 本题也可用排除法分析，取2
2
),(y x y x f +=，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有2
),0(y y f =，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).
（4）设矩阵
??
???
?????=001010100B . 已知矩阵A 相似于B ，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于
(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. [ C ] 【分析】 利用相似矩阵有相同的秩计算，秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于秩(B-2E)与秩(B-E)之和.
【详解】 因为矩阵A 相似于B ，于是有矩阵A-2E 与矩阵B-2E 相似，矩阵A-E 与矩阵B-E 相似，且相似矩阵有相同的秩，而
秩(B-2E)=秩3
201010102=??
????????---，秩(B-E)=秩1101000101=?????
?????--，
可见有 秩(A-2E)+秩(A-E)= 秩(B-2E)+秩(B-E)=4，故应选(C).
【评注】 若B A ~，则)(~)(B f A f ，且相似矩阵有相同的行列式、相同的秩和相同的特征值等性质. 见《数学复习指南》P.360相似矩阵及其性质.
（5）对于任意二事件A 和B
(A) 若φ≠AB ，则A,B 一定独立. (B) 若φ≠AB ，则A,B 有可能独立. (C) 若φ=AB ，则A,B 一定独立. (D) 若φ=AB ，则A,B 一定不独立. [ B ]
【分析】 本题考查独立与互斥事件之间的关系，事实上，独立与互斥事件之间没有必然的互推关系.
【详解】 φ≠AB 推不出P(AB)=P(A)P(B), 因此推不出A,B 一定独立，排除(A); 若
φ=AB ，则P(AB)=0，但P(A)P(B)是否为零不确定，因此(C),(D) 也不成立，故正确选项
为(B).
【评注】 当P(A)0≠,P(B)0≠时，若A,B 相互独立，则一定有0)()()(≠=B P A P AB P ，
从而有φ≠AB . 可见，当A,B 相互独立时，往往A,B 并不是互斥的.
完全类似例题见《数学复习指南》P.415第二大题第（7）小题. （6）设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则
(A) X 与Y 一定独立. (B) (X,Y)服从二维正态分布.
(C) X 与Y 未必独立. (D) X+Y 服从一维正态分布. [ C ] 【分析】 本题考查正态分布的性质以及二维正态分布与一维正态分布之间的关系.只有(X,Y) 服从二维正态分布时，不相关与独立才是等价的.
【详解】 只有当(X,Y) 服从二维正态分布时，X 与Y 不相关?X 与Y 独立，本题仅仅已知X 和Y 服从正态分布，因此，由它们不相关推不出X 与Y 一定独立，排除(A); 若X 和Y 都服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布，但题设并不知道X,Y 是否独立，可排除(B); 同样要求X 与Y 相互独立时，才能推出X+Y 服从一维正态分布，可排除(D).故正确选项为(C).
【评注】 ① 若X 与Y 均服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布.
② 若X 与Y 均服从正态分布且相互独立，则bY aX +服从一维正态分布. ③ 若(X,Y)服从二维正态分布，则X 与Y 相互独立?X 与Y 不相关. 完全类似结论见《数学复习指南》P.458的[注].
三 、（本题满分8分） 设
],21
,0(,)1(11sin 1)(∈---=
x x x x x f πππ
试补充定义f(0),使得f(x)在
]
21
,0[上连续. 【详解】
)(lim 0
x f x +
→= -.1
π+x x x
x x ππππsin sin lim 0
-+
→
= -220
sin lim 1
ππππ
x x
x x -++
→ = -x x x 20
2cos lim 1
πππππ
-++
→
= -2
202sin lim 1ππππx
x +→+
= -.
1
π
由于f(x)在
]
21,0(上连续，因此定义
π1
)0(-
=f ，
使f(x)在
]
21,0[上连续. 【评注】 本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.
完全类似例题在一般教科书上都可找到，或参见《文登数学全真模拟试卷》数学三P.24第三题.
四 、（本题满分8分）
设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12
222=??+??v f u f ，又)](21,[),(2
2y x xy f y x g -=,
求.222
2y g
x
g ??+?? 【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：),(v u f g =，
)(21,22
y x v xy u -=
=，
直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用.22u v f
v u f ???=???
【详解】 v f
x
u f y x
g ??+??=??， .v f y u f x y g ??-??=??
故 v f v f x v u f xy u f y x
g ??+??+???+??=??22222222
22， .22
2
2222222v f v
f y u v f xy u f x y
g ??-??+???-??=?? 所以 2
2
222222222
2)()(v f y x u f y x y g x
g ??++??+=??+?? =.2
2y x +
【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导.
完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学四P.67第六题和《数学复习指南》P.171
【例7.20,7.22】.
五 、（本题满分8分） 计算二重积分
.
)sin(22)
(22
dxdy y x e I D
y x
+=??-+-π
其中积分区域D=
}.
),{(22π≤+y x y x
【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算. 【详解】 作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，有
dxdy
y x e e I D
y x
)sin(22)
(22
+=??+-π
=
.
sin 20
22
dr r re d e r ??
-ππ
πθ
令2
r t =，则
tdt
e e I t sin 0
?-=π
ππ.
记 t d t
e A t s i n 0
?-=π
，则
t
t de e A --?-=int 0
π
=]
cos sin [0
?----π
πtdt e t
e t t
=
?--π
cos t
tde
=
]
sin cos [0
tdt e t
e t t ?--+-π
π
=.1A e -+-π
因此
)1(21
π-+=
e A ，
).
1(2
)1(2
πππ
π
πe e e I +=
+=
-
【评注】 本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积
分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.
六、（本题满分9分）
设a>1，at a t f t
-=)(在),(+∞-∞内的驻点为).(a t 问a 为何值时，t(a)最小？并求出最小值.
【分析】 先由f(t)的导数为零确定驻点t(a)，它是关于a 的函数，再把此函数对a 求导，然后令此导数为零，得到可能极值点，进一步判定此极值为最小值即可.
【详解】 由0ln )(=-='a a a t f t
，得唯一驻点
.ln ln ln 1)(a a
a t -
=
考察函数
a a
a t ln ln ln 1)(-
=在a>1时的最小值. 令
0)(l n ln ln 1)(ln ln ln 1
1)(2
2=--=--='a a a a a
a a a t ，
得唯一驻点
.e
e a =
当e e a >时，0)(>'a t ；当e
e a <时，0)(<'a t ，因此
e e t e 1
1)(-
=为极小值，从而
是最小值.
【评注】 本题属基本题型，只是函数表达式由驻点给出，求极值与最值的要求均是最基本的.
类似例题见《数学复习指南》P.144【例6.11-12】.
七、（本题满分9分）
设y=f(x) 是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点. 若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM
的面积之和为316
3+
x ，求f(x)的表达式. 【分析】 梯形OCMA 的面积可直接用梯形面积公式计算得到，曲边三角形CBM 的面
积可用定积分计算，再由题设，可得一含有变限积分的等式，两边求导后可转化为一阶线性微分方程，然后用通解公式计算即可.
【详解】 根据题意，有
31
6)()](1[2
13+
=++?x x dt t f x f x . 两边关于x 求导，得
.
21
)()(21)](1[212x x f x f x x f =-'++
当0≠x 时，得
.
1
)(1)(2x x x f x x f -=-' 此为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 y
]
1[)(1
21
C dx e x x e
x f dx x dx
x
+?-?
=---? =
]
1[ln 2ln C dx e x x e
x
x
+--? =)
1
(22C dx x x x +-? O C B x
=.12
Cx x ++
当x=0时，f(0)=1.
由于x=1时，f(1)=0 ,故有2+C=0，从而C=-2. 所以
.)1(21)(2
2
-=-+=x x x x f
【评注】 本题一阶线性微分方程的求解比较简单，一般教材中都可找到标准的求解方法，完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P.290第七题.
八、（本题满分8分）
设某商品从时刻0到时刻t 的销售量为kt t x =)(，
).0(],,0[>∈k T t 欲在T 时将数量为A 的该商品销售完，试求
(1) t 时的商品剩余量，并确定k 的值； (2) 在时间段[0，T]上的平均剩余量.
【分析】 在时刻t 的剩余量y(t)可用总量A 减去销量x(t)得到; 由于y(t)随时间连续变
化，因此在时间段[0,T] 上的平均剩余量，即函数平均值可用积分?
T
dt
t y T
)(1
表示.
【详解】 (1) 在时刻t 商品的剩余量为 )()(t x A t y -=
=kt A -， ].,0[T t ∈ 由kt A -=0，得
T A k =
，
因此
,
)(t T A A t y -
= ].,0[T t ∈
(2) 依题意，)(t y 在[0，T]上的平均值为
?=
T
dt
t y T y 0
)(1
=?
-
T
dt t T A A T
)(1
=.
2A
因此在时间段[0，T] 上的平均剩余量为.2A
【评注】 函数f(x)在[a,b] 上的平均值记为?-b
a
dx x f a b .)(1
本题考查了函数平均值的概念，但大纲中只对数学一、二明确提出要求，而数学三、四的考试大纲中没有相应的要求，因此本题有超纲的嫌疑.
九、（本题满分13分）
设有向量组（I ）：T )2,0,1(1=α，T
)3,1,1(2=α，T a )2,1,1(3+-=α和向量组（II ）：
T a )3,2,1(1+=β，T a )6,1,2(2+=β，.)4,1,2(3T a +=β 试问：当a 为何值时，向量组
（I ）与（II ）等价？当a 为何值时，向量组（I ）与（II ）不等价？
【分析】 两个向量组等价也即两个向量组可以相互线性表示，而两个向量组不等价，只需其中一组有一个向量不能由另一组线性表示即可. 而线性表示问题又可转化为对应非齐次线性方程组是否有解的问题，这可通过化增广矩阵为阶梯形来判断. 一个向量1β是否可由321,,ααα线性表示，只需用初等行变换化增广矩阵（1321,,βααα）为阶梯形讨论，
而一组向量321,,βββ是否可由321,,ααα线性表示，则可结合起来对矩阵
（
321321,,,,βββααα）同时作初等行变换化阶梯形，然后类似地进行讨论即可.
【详解】 作初等行变换，有
),,,,(321321βββααα =?????????
?++++-46323211211022111
1a a a a
??
????????-+-+--→11110011211011120
1a a a a . (1) 当1-≠a 时，有行列式
[]01321
≠+=a ααα，秩（3),,321=ααα，故线性
方程组)3,2,1(332211==++i x x x i βααα均有唯一解. 所以，321,,βββ可由向量组（I ）线性表示.
同样，行列式
[]06321
≠=βββ，秩（3),,321=βββ，故321,,ααα可由向量
组（II ）线性表示. 因此向量组（I ）与（II ）等价.
(2) 当a=-1时，有
)
,,,,(321321βββααα ??
???
?????----→202000112110111201 . 由于秩（321,,ααα）≠秩（),,1321βααα
，线性方程组1
332211βααα=++x x x 无解，故向量1β不能由321,,ααα线性表示. 因此，向量组（I ）与（II ）不等价.
【评注1】 涉及到参数讨论时，一般联想到利用行列式判断，因此，本题也可这样分
析： 因为行列式
1,,321+=a ααα，06,,321≠=βββ，可见
(1) 当1-≠a 时，秩3),,(),,(321321==βββαααr r ，因此三维列向量组321,,ααα与
321,,βββ等价，即向量组（I ）与（II ）等价.
(2) 当a=-1时，，秩2),,(321=αααr ，而行列式
4,,132≠=βαα，可见
2),,(321=αααr ≠r （),,,1321βααα=3, 因此线性方程组1332211βααα=++x x x 无解，
故向量1β不能由321,,ααα线性表示. 即向量组（I ）与（II ）不等价.
【评注2】 向量组（I ）与（II ）等价，相当于321,,ααα与321,,βββ均为整个向量组
321321,,,,,βββααα的一个极大线性无关组，问题转化为求向量组321321,,,,,βββααα的
极大线性无关组，这可通过初等行变换化阶梯形进行讨论.
本题完全类似分析思路的例题见《数学复习指南》P.347【例4.13】和《数学最后冲刺》P.94【例14】.
十、（本题满分13分）
设矩阵
??????????=a A 11121112可逆，向量??
???
?????=11b α是矩阵*A 的一个特征向量，λ是α对应的特征值，其中*
A 是矩阵A 的伴随矩阵. 试求a,b 和λ的值.
【分析】 题设已知特征向量，应想到利用定义：λαα=*A ，又与伴随矩阵*
A 相关的
问题，应利用
E A AA =*进行化简. 【详解】 矩阵*
A 属于特征值λ的特征向量为α，由于矩阵A 可逆，故*
A 可逆.于是
0≠λ，0≠A ，且
λαα=*
A .
两边同时左乘矩阵A ，得
αλαA AA =*
，
α
λ
αA
A =
，
即
???
??
?????=????????????????????111111121112b A b a λ，
由此，得方程组
???
?
?
?
?
??=++=+=+.
1,22,3λλλA b a b A b A b )3()2()1( 由式(1),(2)解得
1=b
或2-=b ;
由式(1),(3)解得
a=2. 由于
4
23111211
12=-==a a
A ，
根据(1)式知，特征向量α所对应的特征值
.343b b
A +=
+=
λ
所以，当1=b 时，1=λ； 当2-=b 时，.4=λ
【评注】 本题若先求出*
A ，再按特征值、特征向量的定义进行分析，则计算过程将非
常复杂. 一般来说，见到*
A ,首先应想到利用公式
E A AA =*进行化简.
本题类似的例题见《数学复习指南》P.365【例5.7】和《数学最后冲刺》P.90【例3】.
十一、（本题满分13分） 设随机变量X 的概率密度为
;],8,1[,0,31
)(32
其他若∈???
??=x x x f
F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.
【分析】 先求出分布函数F(x) 的具体形式，从而可确定Y=F(X) ,然后按定义求Y 的分布函数即可。注意应先确定Y=F(X)的值域范围)1)(0(≤≤X F ，再对y 分段讨论.
【详解】 易见，当x<1时，F(x)=0; 当x>8 时，F(x)=1. 对于]8,1[∈x ，有
.
131)(31
32
-==?
x dt t x F x
设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然，当0 })({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤= =})1({}1{3 3 +≤=≤-y X P y X P =.])1[(3 y y F =+ 于是，Y=F(X)的分布函数为 .1, 10,0,1,,0)(≥<≤ ??=y y y y y G 若若若 【评注】 事实上，本题X 为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布: 当y<0时，G(y)=0; 当 1≥y 时，G(y)=1; 当 01<≤y 时，})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤= = )}({1 y F X P -≤ =.))((1 y y F F =- 【评注】 本题是《数学复习指南》P.431【例2.23】原题（实际上还是此题的特殊情形）. 十二、（本题满分13分） 对于任意二事件A 和B ，1)(0,1)(0<<< )()()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P -= ρ 称做事件A 和B 的相关系数. (1) 证明事件A 和B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零； (2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明 .1≤ρ 【分析】 (1) 利用事件A 和B 独立的定义P(AB)=P(A)P(B)即可；(2) 随机变量X 和Y 的相关系数为 DY DX EXEY EXY DY DX Y X XY -= = ),cov(ρ，而需将 ) ()()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P -= ρ转化为用随机变量表示，显然，若有)(),(),(B P EY A P EX AB P EXY ===以及 )()(A P A P DX =，)()(B P B P DY =即可，这只需定义 ；A ，A X 不出现若出现若???=,0,1 .,0,1不出现若出现若B ，B Y ?? ?= 【详解】 (1) 由ρ的定义，可见0=ρ当且仅当 P(AB)-P(A)P(B)=0, 而这恰好是二事件A 和B 独立的定义，即0=ρ是A 和B 独立的充分必要条件. (2) 考虑随机变量X 和Y: ；A ，A X 不出现若出现若???=,0,1 .,0,1不出现若出现若B ，B Y ?? ?= 由条件知，X 和Y 都服从0—1分布： ???? ??)()(10~A P A P X ，. )()(10~???? ??B P B P Y 易见 )(A P EX =， )(B P EY =； )()(A P A P DX =, )()(B P B P DY =; ).()()(),cov(B P A P AB P EXEY EXY Y X -=-= 因此，事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数. 于是由二随机变量相关系数的基本性质，可见 .1≤ρ 【评注】 如上0—1分布与随机事件之间的关系值得注意，较好地将两者联系起来了， 为借助相互的性质提供了便利. 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P.298第十一题和《考研数学大串讲》P.249【例25】. 注： 1.《数学复习指南》 （2003版，经济类）世界图书出版公司 主编: 陈文灯、黄先开 2.《数学题型集粹与练习题集》（2003版，经济类）世界图书出版公司 主编: 陈文灯、黄先开 3.《文登数学全真模拟试卷》（2003版，经济类）世界图书出版公司 主编: 陈文灯、黄先开 4.《数学最后冲刺》（2003版，经济类）世界图书出版公司 主编: 陈文灯、黄先开 5.《考研数学大串讲》（2002版，经济类）世界图书出版公司 主编: 黄先开、曹显兵、施明存 (文登学校供稿) 高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值. 6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的。 1．已知集合, , 则 A ． B ． C ． D ． 2． A ． B ． C ． D ． 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来, 构件的凸出部分叫榫头, 凹进部分叫卯眼, 图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体, 则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 4．若, 则 A ． B ． C ． D ． 5．的展开式中的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 6．直线分别与轴, 轴交于, 两点, 点在圆上, 则面积的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 7．函数的图像大致为 {}|10A x x =-≥{}012B =， ，A B =I {}0{}1{}12，{}012， ，()()1i 2i +-=3i --3i -+3i -3i +1 sin 3 α= cos2α=8 9 79 79 -89 -5 22x x ? ?+ ?? ?4x 20x y ++=x y A B P ()2 222x y -+=ABP △[]26，[]48 ， ??42 2y x x =-++ 8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 , 各成员的支付方式相互独立, 设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数, , , 则 A ．0.7 B ．0.6 C ．0.4 D ．0.3 9．的内角的对边分别为, , , 若的面积为 , 则 A ． B ． C ． D ． 10．设是同一个半径为4的球的球面上四点, 为等边三角形且其面积为 则三棱锥体积的最大值为 A ． B ． C ． D ． 11．设是双曲线 （）的左, 右焦点, 是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线, 垂足为．若, 则的离心率为 A B ．2 C D 12．设, , 则 A ． B ． C ． D ． 二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分。 p X 2.4DX =()()46P X P X =<=p =ABC △A B C ，，a b c ABC △2224 a b c +-C =π2π3π4π6A B C D ，， ，ABC △D ABC -12F F ，22 221x y C a b -=：00a b >>， O 2F C P 1PF =C 0.2log 0.3a =2log 0.3b =0a b ab +<<0ab a b <+<0a b ab +<<0ab a b <<+ 理科数学解析 一、选择题： 1.C【解析】本题考查集合的概念及元素的个数. 容易看出只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素. 【点评】集合有三种表示方法：列举法，图像法，解析式法.集合有三大特性：确定性，互异性，无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算，Venn图的考查等. 2.D【解析】本题考查常有关对数函数，指数函数，分式函数的定义域以及三角函数的值域. 函数的定义域为,而答案中只有的定 义域为.故选D. 【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中，分母不为零;(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对数的真数大于0：（4）实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域，来年需要注意一些常见函数：带有分式，对数，偶次根式等的函数的定义域的求法. 3.B【解析】本题考查分段函数的求值. 因为，所以.所以. 【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量的取值对应着哪一段区间，就使用 哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式. 4.D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想. 因为，所以.. 【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式转化；另外，在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的.体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等. 5.B【解析】本题以命题的真假为切入点，综合考查了充要条件，复数、特称命题、全称命题、二项式定理等. （验证法）对于B项，令,显然，但不互为共轭复数，故B为假命题,应选B. 【点评】体现考纲中要求理解命题的概念，理解全称命题，存在命题的意义.来年需要注意充要条件的判断，逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义等. 6.C【解析】本题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11，…， 发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右 2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷) 理科数学试题 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分． 第I 卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合{||2}A x R x =∈≤ },{| 4}B x Z =∈≤,则A B ?= (A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2} (2) 已知复数z = ，z 是z 的共轭复数，则z z ?= (A) 14 (B)1 2 (C) 1 (D)2 (3)曲线2 x y x =+在点(1,1)--处的切线方程为 (A)21y x =+ (B)21y x =- (C) 23y x =-- (D)22y x =-- (4)如图，质点P 在半径为2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 0P ，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为 A B C D (5)已知命题 1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数， 则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p ?∨和4q ：()12p p ∧?中，真命题是 （A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4 q （D ）2q ，4q (6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 (A)100 （B ）200 (C)300 （D ）400 (7)如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于 (A)54 （B ）45 (C)65 （D ）56 (8)设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥， 则{|(2)0}x f x ->= (A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或 (D) {|22}x x x <->或 (9)若4 cos 5 α=- ，α是第三象限的角，则1tan 21tan 2 αα +=- (A) 12- (B) 12 (C) 2 (D) 2- (10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2 a π (B) 273 a π (C) 2 113 a π (D) 25a π (11)已知函数|lg |,010,()16,10.2 x x f x x x <≤?? =?-+>??若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是 (A) (1,10) (B) (5,6) (C) (10,12) (D) (20,24) (12)已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两 点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为 (A) 22136x y -= (B) 22 145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22 154 x y -= 2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷） 理科数学 解析人 跃华 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的、号填写在答题卡上， 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合{}{} 131x A x x B x =<=<，，则（） A ．{}0=U A B x x D ．A B =?I 【答案】A 【解析】{}1A x x =<，{}{}310x B x x x =<=< ∴{}0A B x x = 3. 设有下面四个命题（） 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12z z ，满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ． A ．13p p ， B ．14p p ， C ．23p p ， D ．24p p ， 【答案】B 【解析】1:p 设z a bi =+，则 2211a bi z a bi a b -==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R .故1P 正确； 2:p 若z =-21，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确； 3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复 数，故3p 不正确； 4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确； 4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C 【解析】45113424a a a d a d +=+++= 6165 6482 S a d ?=+ = 联立求得11 272461548a d a d +=???+=??① ② 3?-①②得()211524-=d 624d = 4d =∴ 选C 5. 函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的 x 的取值围是（） A ．[]22-， B ．[]11-， C ．[]04， D ．[]13， 【答案】D 【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=， 于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤| 又()f x 在()-∞+∞，单调递减 121x ∴--≤≤ 3x ∴1≤≤ 故选D 2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷Ⅱ） 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 【答案】D 把M=｛0,1,2}中的数,代入不等式,023-2≤+x x 经检验x=1,2满足。所以选D. 2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i 【答案】B . ,5-4-1-∴,2-,2212211B z z i z z z i z 故选关于虚轴对称，与==+=∴+=Θ 3.设向量a,b 满足|a+b |a-b ，则a ?b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A . ,1,62-102∴,6|-|,10||2 222A b a 故选联立方程解得，==+=++==+Θ 4.钝角三角形ABC 的面积是12 ，AB=1， ，则AC=( ) A. 5 B. C. 2 D. 1 【答案】B . .5,cos 2-4 3π ∴ΔABC 4π .43π,4π∴, 22 sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。 为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======???==Θ 5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 【答案】 A . ,8.0,75.06.0,A p p p 故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=?= 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 13 【答案】 C ..27 10 π54π34-π54π.342π944.2342π. 546π96321C v v 故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为== ∴=?+?=∴=?=∴πΘΘ 绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是（） 新农村建设后，种植收入减少 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 新农村建设后，养殖收入增加一倍 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 7某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） A.5 B.6 C.7 D.8 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ， 直角边AB,AC 。△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ， 在整个图形中随机取一点， 此点取自Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ的概率分别记为 123 ,,p p p ,则（） ]x 2010年考研数学一真题 一、选择题(1?8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的 个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。) ⑴极限皿—［金而］_ (A) l (B)e (C)e a ~b (D)e b ~a 【考点】Co 【解析】 【方法一】 这是一个“I 00”型极限 Um [—— l x (x-a)(x+b) (a-b)x+ab j (a-D)x+ad J(x- a)(x+ b)X 【方法二】 原式="Hl 評”(x-a )("b) XT 8 rfii/im xln ----- - ----- = lim x/n(l + xt8 (x-a)(x+&) xt8 (x-a)(x+&) 【方法三】 对于“18”型极限可利用基本结论: 若Mm a(x) = 0, lim 0(x) = 0,且"m (a-b)x^ab (―a)(+) lim x ? *T8 (a-b)x+ab (x-a)(x+b) (等价无穷小代换) x 2 DM) a(x) 0(x) = A ]x 由于"mis Q (x)0(x) = Um 曽；驚；；)? x XT8 (x-a)(x+fc) ■ ? (a -b)x 2^abx f =恐乔亦Li 则叫g[高而F =宀 【方法四】 综上所述，本题正确答案是C 。 【考点】高等数学一函数、极限.连续一无穷小量的性质及无穷 小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限 (A)x (C)-x 【答案】Bo 【解析】 空=_鱼=_只(-召)+ E (一刼=Eg+f 茫 缺 F ； 磅 叫 9 dz °y 综上所述，本题正确答案是(B)。 所以唏+y 辭警現F , yfi -珈 X 2 (x-a)(x+b). ：(x-a)(x+b)] -X X 2 =塑a 一 沪?慟(i+「宀 ea 'b (2)设函数z = z(x,y)由方程 F (gm = 0确定，其中F 为可微函数，且 f”2工°，则燈+琲= (D)-z 因为 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 历年高考数学真题全国 卷版 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 普通高等学校招生全国统一考试 一、 选择题 1、复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24 y =1 D 212x +2 4y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项 和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 绝密★启用前 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页， 23小题， 满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前， 考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时， 选出每小题答案后， 用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动， 先划掉原来的答案， 然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后， 将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题， 每小题5分， 共60分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题 目要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}， B ={x |31x <}， 则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图， 正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点， 则此点取自黑色部分的概率是 A ． 14 B ． π8 C ．12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ， 则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ， 则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ， 则12z z =； 2010年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)极限= (A)1 (B) (C) (D) 【考点分析】：考察1∞型不定性极限。 【求解过程】： ? 方法一：利用求幂指型极限的一般方法： I = lim x→∞[x 2 x?a x+b ]x =lim x→∞ e x ln x 2 ( x?a )(x+b) 归结为求 2 22 lim ln ()()lim ln 11()()lim 1()()()lim ()() x x x x x w x x a x b x x x a x b x x x a x b a b x ab x x a x b a b →∞→∞→∞→∞ =-+????=+-?? ?-+? ?????=-?? -+??-+=? -+=- 因此，I =e a?b ，选C 【基础回顾】：对于一般的幂指型极限有： ()()ln ()lim ()ln ()lim ()lim g x g x f x g x f x f x e e == ? 方法二：利用第二个重要极限求解 22 ()lim ()()lim lim 11()()()()()lim 1()()x x x x x x a b x ab x x a x b x a b x x I x a x b x a x b a b x ab e x a x b e →∞→∞→∞-+?-+→∞-??????==+-?? ???-+-+??? ?????-+=+=??-+??= 2 lim ()()x x x x a x b →∞????-+?? e e a b -e b a - 历年全国卷高考数学真 题汇编解析版精编 W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】 全国卷历年高考真题汇编 三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ?? =+ ??? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12 个单位长度，得到曲线2C 【答案】 D 【解析】 1:cos C y x =，22π:sin 23??=+ ??? C y x 【解析】 首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． 【解析】 πππ cos cos sin 222 ???? ==+-=+ ? ?? ? ? ? y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω， 【解析】 即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】 2ππsin 2sin 233? ?? ??? →=+=+ ? ???? ?y x x ． 【解析】 注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π 4+x 平移至π3 +x ， 【解析】 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上 π12，即再向左平移π12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的 面积为2 3sin a A ． （1）求sin sin B C ； （2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长． 【解析】 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应 用. 【解析】 （1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = 【解析】 ∴21 sin 3sin 2 a bc A A = 【解析】 ∴223sin 2 a bc A = 【解析】 ∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2 A B C A =， 全国卷历年高考真题汇编 三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ? =+ ?? ? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23? ?=+ ?? ?C y x 【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． 【解析】πππcos cos sin 222??? ?==+-=+ ? ???? ?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω， 【解析】即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】2ππsin 2sin 233??? ??? →=+=+ ? ???? ?y x x ． 【解析】注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+ x 平移至π 3 +x ， 【解析】根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π 12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的 面积为2 3sin a A ． （1）求sin sin B C ； （2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长． 【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】（1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = 【解析】∴ 21 sin 3sin 2 a bc A A = 【解析】∴22 3sin 2 a bc A = 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 2 4S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3 34 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1) (0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 2 16x + 2 12y =1 B 2 12x + 2 8y =1 C 2 8 x + 2 4 y =1 D 212 x + 2 4 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1= E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B C D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D) 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． π8 C ．12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 6．6 2 1(1)(1)x x + +展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 8．右面程序框图是为了求出满足3n ?2n >1000的最小偶数n ，那么在和 两个空白框中， 可以分别填入 A ．A >1 000和n =n +1 历年高考理科数学真题汇编+答案解析 专题6 解析几何 （2020年版） 考查频率：一般为2个小题和1个大题. 考试分值：22分 知识点分布：必修2、选修2-1 一、选择题和填空题（每题5分） 1．（2019全国I 卷理10）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若 22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212x y += B ．22 132x y += C ．22 143 x y += D ．22 154x y += 【解析】由题意，设椭圆C 的方程为22 221(0)x y a b a b +=>>. ∵22||2||AF BF =，2||3||AB BF =，又∵1||||AB BF =，12||3||BF BF =. 由椭圆的定义可知，12||||2BF BF a +=，∵13||2a BF =，2||2 a BF =，2||AF a =，1||AF a =. ∵13||||= 2 a AB BF =，∵1AF B ?为等腰三角形，在1AF B ?中，11||1cos 2||3AF F AB AB ∠= =. 而在12AF F ?中，2222221212122 12||||||22 cos 12||||2AF AF F F a a F AB AF AF a a +-+-∠===-， ∵22113 a -=，解得2=3a . ∵2 =2b ，椭圆C 的方程为22132x y +=. 【答案】B 【考点】选修2-1 椭圆 2．（2019全国I 卷理16）已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的 直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =u u u r u u u r ，120F B F B ?=u u u r u u u u r ，则C 的离心率为 全国高考理科数学历年试题分类汇编 （一）小题分类 集合 （2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ?B 中的元素个（ ）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ?B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }， N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数 1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（ ） （A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i 2. （2015卷2）若a 实数，且 i ai ++12=3+i,则a=（ ） B. -3 C. 3 D. 4 3. （2010卷1）已知复数() 2 313i i z -+= ，其中=?z z z z 的共轭复数，则是（ ） A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量 1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量=(-4,-3)，则向量= ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 2. （2015卷2）已知向量a =(0,-1),b b =(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （2013卷3）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60度，()0,1=?-+=t t 且，那么t= 程序框图 （2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 函数 （2011卷1）在下列区间中，函数()34-+=x e x f x 的零点所在区间为 A. ??? ??- 0,41 B .??? ??41,0 C. ??? ??21,41 D.?? ? ??43,21 （2010卷1）已知函数()? ? ?=≤<>+-100,lg 10,62 1 x x x x x f ，若啊a,b,c,互不相等，且()()()c f b f a f ==， 则abc 的取值范围是（ ）近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
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