习 题
2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值
1
2
.41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。 解：由题意，可求出系统的运动微分方程为
t m
x
n x p x n 3cos 360
22
=++ 得到稳态解
)3cos(α-=t B x
其中
m k
B B B 45.0360
4)1(02
2220
==
+-=
λζλ
222
122tg λζλ
ωωα-=-=
n p n 由
d nT i i
A A e 2.41
===
+η
489
.3π
2797
.0ln 8
.1ln ======d
d d
d d
T p T n T nT η
η 又
22n p p n d -=
有
579.32
22=+=n d n p n p p
45.51255.1298.0374
.0838
.01838.0223.02tg 103.1408
.045
.0838.0223.04)838.01(45
.0223.0579
.3797.0838.0579
.33
2
222===-??=
==
??+-=
===
==
=ααζω
λB p n p n n
所以 x ＝1.103 cos(3t －51?27')
2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给
质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。
解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由
m k
p n =
，共振时m k
p n ==1ω 所以 m
k =6 ①
又由 当 86.51
2=+=
=m k
p n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m
2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。
解：列出平衡方程可得：
222()sin sin()sin()st Q W W k x w e wt x g g
W Q
x kx w e wt g g kg Q x x w e wt W W
ππ-σ+-
=+=++=+
所以：2n kg
P W Q h w e W
==， 又因为st st W W k k =σ=σ即
22()
st
st B w e B W g w =σ-σ将结果代入Q =
即为所求的振幅
2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力t F t F ωsin )(0=，弹簧支承端有运动
t a x s ωco
s =，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。
题2-4图
解：选0s x =时物块平衡位置为坐标原点O ，建立坐标系，如右图，
则 ()()s mx
k x x p t +-= 即 ()s mx kx kx p t +=+ 即 0c o s s i n m x k x k a w t p w t +=+
（
*）0p 改成0F ，下面也都一样 利用复数求解 ， 用 jwt e 代换sinwt 并设方程（*）的特解为
()jwt x t Be = 代入方程（*）得02
j p jka B Be k mw
φ
+=
=- 其中B 为振幅，φ为响应与激励之间的相位差，有
B B =
=
=
=
200
2
ka
ka k mw tg p p k mw
φ-==- 0ka arctg p φ∴=
()0()sin arc ka x t B wt wt tg p φ??∴=+=
+ ??
? 其中
,n n
w
p p λ=
=
2-5如题2-5图的弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力t F ωsin 0，求质量块的振幅。
解：设弹簧1，2的伸长分别为x 1和x 2，则有，
21x x x += （A ）
由图（1）和图（2）的受力分析，得到
t P x k x k ωsin 02211+= （B ）
22x k x
m -=
（C ） 题2-5图
联立解得，t P k k k x k k k k x m ωsin 02
12
2121+++-=
t P m
k k k x m k k k k x
ωsin )()(0212
2121+=++
所以)
(212
1k k m k k p n =
，n = 0，得，
2
1
02
2
22
2
22)(
11)
2()1(1
)
2()(n
n
p k P k
H n p h
B ?λλωω-=
+-=
+-=
2-6在题2-6图示的系统中，刚性杆AB 的质量忽略不计，B 端作用有激振力t F ωsin 0，写出系统运动微分方程，并求下列情况中质量m 作上下振动的振幅值∶(1)系统发生共振；(2) ω等于固有频率p n 的一半。
解：图（1）为系统的静平衡位置，以θ为系统的广义坐标，画受力如图（2）
t lF l k l l c l I ωθθθsin 3)3(3)2(20
+??-???-= 又 I ＝ml 2 t F ml
m
k m
c ωθθθsin 340
=9++∴ 则
???
???
?=
==ml
F h m c n m k
p n 0
23,429
题2-6图
mg
θ
B
F 0sin ωt
A X A
Y A
F C
F K
2
222
2
222)2()()2()(ωωωωθθn p hl
lB B n p h
B n n +-=
=+-=
1）系统共振，即 ω=n p
k
m
c F m
k
m c l ml F np hl B n 494)/3(200=??==
∴ 2）n p 2
1=
ω
mk
c k
F m k m c m k l ml F np p hl B n n 81641194944273)(432
22
2
22
2+=
+?
?
? ???=
+??
? ??=∴
2-7写出题2-7图示系统的运动微分方程，并求系统固有频率p n 、阻尼比ζ及稳态响应振幅。
解：以刚杆转角?为广义坐标，由系统的动量矩定理
???
22)(4cl l x l k m l s ---= 即 t l
ka m k m c ω???
sin 44=++ 令，m k p n 4=
，m c n 42=，n n mp c p n 8==?，ml
ka
h 4=，n p ωλ=得到
2
2
22
)
2()(ωω?n p h
B n
+-=
2
2
22
22
2
2)
2()1(2)2()1(242?λλωω
?+-=
+-
?=
=a p p n p p l ml
ka
l B B n
n n
n
题2-7图
2-8一机器质量为450kg ，支承在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm 。机器有一偏心重，产生偏心激振力g
F 2
0254
.2ω=N ，其中ω是激励频率，g 是重力加速度。求(1)在机器转速为1200 r/min
时传入地基的力；(2)机器的振幅。
解：设系统在平衡位置有位移x ，
则0mx kx F += ，即0F k
x
x m m
+= ，又有st mg k δ= 则st mg k δ= （1） 所以机器的振幅为2021F B k λλ
=- （2） 且n p ω
λ=，40rad s ωπ=（3） 又有2
n st
k g
p m δ=
=
（4） 将（1）（2）（4）代入（2）得机器的振幅B =0.584 mm 则传入地基的力为514.7T p kB N ==
2-9一个粘性阻尼系统在激振力t F t F ωsin )(0=作用下的强迫振动力为??
?
??
+=6πsin )(t B t x ω，已
知F 0=19.6N ，B =5 cm ，π20=ωrad/s ，求最初1秒及1/4秒内，激振力作的功W 1及W 2。 解：由已知可得：()t F t F
π20sin 0=
()()()()J
t
t t t t t t
t x t F W t t B t x 39.15d π80cos 1π
9.4|40
π40cos 39
.4d 6ππ20cos ππ20s in 6.19d 6ππ20cos π6πcos 1
1
01
1
1-=---=??? ??
+?=
=
?
?? ??
+=??? ??+=???ωω
同理可得：
()()J
t t t t
t x t F W 0395.0d 6ππ20cos ππ20sin 6.19d 40
10
40
10
2=??? ??
+?==??
2-10无阻尼系统受题2-10图示的外力作用，已知0)0()0(==x
x ，求系统响应。 周期函数才用频谱分析！
解：由图得激振力方程为
??
?
???≤≤-?≤=221111
00)(t t t t t P t t P t F
当 0 < t < t 1时，1)(P F =τ，则有
]cos 1[)(sin )(2101t p mp P
d t p mp P t x n n t
n n
-=-=?
ττ 由于m
k
p n =
2
，所以有 ]cos 1[)(1
t p k
P t x n -=
当t 1 < t < t 2时，1)(P F -=τ，则有
?
-=1
1)(sin )(t n n d t p mp P t x ττ?--+t t n n
d t p mp P 1)(sin 1
ττ
)](cos 1[]cos )([cos 1111t t p k
P
t p t t p k P n n n -----=
当 t < t 2时，0)(=τF ，则有
?
-=1
1)(sin )(t n n d t p mp P t x ττ?--+t t n n
d t p mp P 1)(sin 1
ττ+ 0
)](cos )([cos ]cos )([cos 12111t t p t t p k
P
t p t t p k P n n n n ------=
题2-10图
2-11如题2-11图的系统，基础有阶跃加速度bu （t ），初始条件为0)0()0(==x
x ，求质量m 的相对位移。
解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为
)()(s s x x k x x c x
m ----= 令)(s r x x x -=，则有 )(t m b u kx x c x m r r r -=++
得到系统的激振力为，)()(ττmbu F -=，可得响应为
)cos sin 1()](cos )(sin [)(sin )(2
2022220)
(t p e t p p ne p n b t p e P n p t p e p n n e p b d t p e mp mb t x d nt d d nt d
t d n d
d d n d nt d t
d t n d
r -------+-=-++-+-
=--=?ττττττ
τ 其中22n p p n d -=
，m k p n =2
，m
c n =2。
2-12上题系统中，若基础有阶跃位移au (t )，求零初始条件下的绝对位移。
解：由上题可得系统的微分方程为
()()s s mx
k x x c x x =-+- 即 s s mx
cx kx kx cx ++=+ 基础有阶跃位移为()au t 故s x
=0 s x =()au t ()mx
cx kx kau t ∴++= 得到系统的激振力为，)()(ττkau F =，可得响应为
()()()()0
sin t
n t d d F x t e p t dt mp τττ--=-??-=--t
d t n d d t p
e mp kau 0
)
()(sin )(ττττ 22
22
1sin cos nt n d d d d nt d d p p ka n
e e p t p t mp n p n e n n τ
-??
??=
-+ ???+???
?
题2-11图
1sin cos n p t n d d d p a e p t p t p ζζ-????=+-??
????
? 其中22n p p n d -=
，m k p n =
2
，m
c
n =2。
2-13 求零初始条件的无阻尼系统对题2-13图示激振力的响应。
解：由图得激振力方程为
??
??
?
??≤-=1
110
00)1()(t t t t t t P t F
当 0 < t < t 1时，)1()(1
0t P F τ
τ-
=，则有
]sin 1
cos 1[)(sin )1(1)(1
10010t p t p t p t t k P d t p t P mp t x n n n t
n n +--=--=?
τττ 当t 》 t 1时，0)(=τF ，则有
)]}(sin [sin 1cos {0)(sin )1(1)(11
00
1
01
t t p t p t p t p k P d t p t P mp t x n n n n t n n --+-=+--=?
τττ
2-14 零初始条件的无阻尼系统受题2-14图的外力作用，求系统响应。
解：由图得激振力方程为
????
?????
?≤≤--?≤=2
211
220
11000)(t t t t t t t t t P t t t t P t F 运动微分方程为
()mx
kx F t +=
题2-13图
题2-14图
当10t t ≤≤时，()0
1
F F t t t =
()()()()0
01
000
100011000110011011sin sin 11
(cos ()|cos ())
cos ()1
sin ()|sin sin t
n n
t
n n t
t n n
n n n
t n t n n n n
n n F x t p t d mp F p t d mp t F p t p t d mp t p p F t F p t d kt kt F t F p t kt kt p F t F
p t kt kt p F p t t k t p t τττ
ττττττττττ=-=-=
---=--=+?-=-??=
- ???
????
当12t t t <≤时，()0021221
F t F t
F t t t t t =
+-- 算法同上，所以有 ()()()()()1
10
0002011221sin 1sin sin t
n n
t
t n n t n n F x t p t d mp F F F t p t d p t d mp t mp t t t t τττ
ττ
ττττ=-??=-++- ?--??
???
()()210
2211121sin sin n n n n t p t t F p t t t k
t t p t p t t t ??
--=-+??--??
当2t t >时，()0F t =
()()1
00
1sin t n n F x t p t d mp t τττ=-?()210
21221sin t n t n F t t p t d mp t t t t ττ??++- ?--??
?+0 ()()()()2120
1
12121sin sin sin n n n n n n t p t t p t t F p t k
p t p t t t p t t ??
--=
-+-??--??
∴系统响应为
()()()()()()()0111210212
21112121202
112121sin ,0sin sin ,sin sin sin ,n
n n n n n n n n n n n F p t t t t k t p t t p t t F p t t t x t t t t k t t p t p t t t t p t t p t t F p t t t
k p t p t t t p t t ???
-≤≤? ?????
??
--?=-+≤≤???--????
??--?-+->???--?
??
2-15 零初始条件的无阻尼系统受题2-15图的半正弦脉冲作用，若n 1
π
p t ≠=
ω，求系统响应。
解：由图得激振力方程为
??
???≤=2
100
0sin )(t t t t t P t F ω
当 0 < t < t 1时，t P F ωτsin )(0=，则有
)sin (sin )(
11)(sin sin )(2
00t p p t p k P d t p t mp P t x n n
n
t
n n
ω
ωω
ττω--=-=?
当 t > t 1时，0)(=τF ，则有
]sin )([sin )(
10)(sin sin )(12
01t p t t p p p k
P
d t p t mp P t x n n n
n t n n ---=+-=?
ω
ω
ττω
2-16求无阻尼系统对题2-16图的抛物型外力?
???
?
?-=21201)(t t F t F 的响应，已知0)0()0(==x
x 。 解：由图得激振力方程为
??
?????≤-=1
12
1
2
0000)(t t t t t t P P t F
当 0 < t < t 1时，2
12
0)(t P P F ττ-=，则有
题2-15图
题2-16图
])cos 1)(21[()(sin ]1[)(212
212002120t t t p t p k P d t p t mp P t x n n t
n n
--+=--=?τττ
当 t < t 2时，0)(=τF ，则有 0)(s i n ]1[)(1
21
2
0+--=?
t n n d t p t mp P t x τττ }c o s )(s i n 2]c o s )([c o s 2{11
12120t p t t p t p t p t t p t p k P n n n n n n -----=
2-17无阻尼系统的支承运动加速度如题2-17图所示，求零初始条件下系统的相对位移。
解：系统运动的微分方程为
)(s x x k x
m --= 令s r x x x -=，则
s r r x
m kx x m -=+ 由图得支承运动加速度方程为
??
?????≤=1
110t t b t t t t
b x
s
当 0 < t < t 1时，1
)(t mb x m F s τ
τ-=-=
，则有
)sin ()(sin )(11201t p t
p t t p b d t p t mp mb t x n n n
t
n n r --=--=?
τττ
当 t > t 1时，0)(=τF ，则有
?
--=1
1)(s i n )(t n n r d t p t mp mb t x τττ
?--+t t n n
d t p mp mb 1)(sin ττ
]sin )(sin 1[112
t p t p t t p p b
n n n n
--+-=
2-18 求零初始条件的无阻尼系统对题2-18图所示支承运动的响应。
解：系统运动的微分方程为
题2-17图
)(s x x k x
m --= s kx kx x
m =+ 由图得支承运动方程为
??
??
?
??≤+-=1
1121100)
(t t t t t t a a a x s
当 0 < t < t 1时，1
211)
()(t a a k ka kx F s τ
τ+-==，则有
)sin ()cos 1()(sin )()(12
1101211n
n n t
n n p t p t t a a t p a d t p t mp a a k ka t x -+--=-+-=?
τττ
当 t < t 1时，0)(=τF ，则有
)(cos )](sin [sin cos 0
)(sin )()(1212
110
1
2111
t t p a t t p t p t
p a a t p a d t p t mp a a k ka t x n n n n n t n n ----++
-=+-+-=?
τττ
2-19 题2-19图为一车辆的力学模型，已知车的质量m 、悬挂弹簧的弹簧常数k 及车的水平行驶速度v ，道路前方有一隆起的曲形地面∶??
? ?
?-=x l a y s π2cos 1。 (1) 求车通过曲形地面时的振动； (2) 求车通过曲形地面后的振动。
题2-19图
解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为，)(s y y k y m --=
题2-18图
由曲形地面∶??
?
?
?-=x l a y s π2cos
1，得到 s ky ky y m =+
2()(1cos )
x vt
F ka vt l
π
τ=∴=- 得到系统的激振力为，)2cos
1()(x l
ka F π
τ-=。 （1）车通过曲形地面时10t t ≤≤的振动为
=-=?
t
n n d t p mp F t y 0
)(sin )
()(τττ]
)(sin cos )(sin [00
??---t n t
n n d t p d t p mp ka τττωττ--=)cos 1(t p a n
]
)(2)cos()(2)cos([cos ])(2)sin()(2)sin([
{sin 22ω
ωωωωωωωω----++++--+++n n n n n n n n n n n n n p p
p t p p t p t p p t p p t p t p ap )cos 1(t p a n -=])(cos )(cos [
2222ωωω----n n n n n n p t p p p t p ap )cos cos (2
22
2t p t p p a a n n n ωωω
--+= （2）车通过曲形地面后的振动
车通过曲形地面后1t t ≥以初位移)(1t y 和初速度)(1t y 作自由振动，即 )cos cos ()(1212221t p t p p a a t y n n n ωωω--+
=，)sin sin ()(12
122
21t p t p p p a t y n n n n ωωωω
+--= 由公式)(sin )()(cos )()(1111t t p p t y
t t p t y t y n n
n -+
-= ，得到车通过曲形地面后的振动响应为 )(cos [cos )(12
22t t p t p p a
t y n n n ---=ω
ω 其中m k p n =
2
，v l
π
ω2=。或积分为 1
()()sin ()t n n F y t p t d mp τττ=
-=?
1
10
0[sin ()cos sin ()]t t n n n ka p t d p t d mp ττωτττ---??
2122
[cos cos ()
n n n a
p t p t t p ωω=---
习 题 1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。 解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 mg k δ= 其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知 δ=3 24mgh EJ = 则 k = 3 24EJ h 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 " m x kx =- 所以固有频率3 n 24mh EJ p = 1-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角 2 a ＝h 2F cos α＝mg 由动量矩定理： a h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12 1 2 2-=-≈?-=== =αθ αθ&& 题1-1图 题1-2图 F sin α 2 θ h mg
其中 12 cos sin ≈≈θ α α h l ga p h a mg ml n 2 2 2 2 2304121==?+θθ&& g h a l ga h l p T n 3π23π2π22 2= == 1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3，悬臂梁的质量忽略不计。 解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。即为 21211k k k k k += '，212132k k k k k k ++='，4 241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++= ) (42412132314 214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++= 1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J 1、J 2和J 3是三个轴段截面的极惯性矩，I 是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G 。 解： 111/l GJ k = （1） 222/l GJ k = （2） 333/l GJ k = （3） )/(23323223l J l J J GJ k += （4） ) (/)()4)(3)(2(1/)(2332113221332122312l J l J Il l J J l J J l J J G P I k k P n n +++=+=知 ）由（ 题1-3图 题1-4图
5□ 5-1 单自由度系统有阻尼受迫振动 图5－1 单自由度系统有阻尼受迫振动实验原理图
单自由度系统有阻尼受迫振动□ 5-2 图5－2 单自由度系统有阻尼受迫振动实验操作界面 单自由度系统有阻尼受迫振动实验操作界面说明 主菜单 存 盘 ：将测试数据存盘。按提示输入学号作为文件名。 实验指导 ：激活本实验的实验指导文本。 退 出 ：退出本操作界面，回到主界面（图2） 虚拟仪器 量程：指示灯为“绿色”表示信号达到半量程，为“黄色”表示信号
过载。设置量程使信号超过半量程而不过载可以减小量化误差。 示波器 ：选择“显示选择”中的显示内容，可使其单独显示“加速度信号”或“激励信号”的时间历程。也可同时显示“加速度/激励信号”的时间历程。 电压表 ：显示加速度信号的电压值。 频率计 ：显示加速度响应信号的频率。 李萨玉图 ：观察加速度信号和激振信号的李萨玉图。 信号发生器 ：输出一定电压和频率的简谐信号。用“On/Off”开启或关闭信号发生器。 测试数据： 拾取数据 : 拾取电压表和频率计当前的读数到测试数据表格内。若重复拾取某一频率的数据，则当前拾取的数据将覆盖过去拾取的同频率的数据。 重新拾取 : 清除测试数据表格中的全部数据，重新拾取电压表和频率计当前的读数。 数据检验 : 将测试数据表格中的加速度信号数据绘成幅频曲线（图5－3）。 图5－3
一、实验目的 ? 了解和掌握单自由度系统在简谐激振力作用下受迫振动的一般规律及现象。 ? 掌握根据李萨育图获得结构固有频率的方法（即相位共振法）。 ? 了解和掌握机械结构加速度幅频特性曲线的测量方法以及如何由幅频特性曲线得到结构的固有频率。 二、实验仪器 ? 单自由度系统试件 1件 ? 激振器及功率放大器 1套 ? 加速度传感器（ICP式） 1只 ? ICP电源(即ICP信号调节器)4通道 1台 ? 信号发生器 1台 ? 电压表 1台 ? 频率计 1台 ? 示波器 1台 其中：信号发生器、电压表、频率计和示波器由计算机虚拟提供。 三、实验方法及步骤 1、装配实验系统 ? 按图5－1将综合实验台装配成单自由度系统。 ? 按1节所述的方法和要求安装激振器和加速度传感器。 ? 按图5－1连接各测试设备。 2、将功率放大器“输出调节”旋至最小，“信号选择”置“外接”！打开 各设备电源。 3、从“综合振动综合实验系统”对话框（图2），进入“单自由度系统有 阻尼受迫振动”实验操作界面（图5－2）。 4、使信号发生器的输出频率约为30Hz，输出电压约为1V。调节功率放
6□ 6-1 两自由度系统有阻尼受迫振动 图6－1 两自由度系统有阻尼受迫振动实验原理图
两自由度系统有阻尼受迫振动 □ 6-2 图6－2 两自由度系统有阻尼受迫振动实验操作界面 两自由度系统有阻尼受迫振动实验操作界面说明 主菜单 存 盘 ：将测试数据存盘。按提示输入学号作为文件名。 实验指导 ：激活本实验的实验指导文本。 退 出 ：退出本操作界面，回到主界面（图2）
虚拟仪器 量程：指示灯为“绿色”表示信号达到半量程，为“黄色”表示信号 两自由度系统有阻尼受迫振动 □ 6-3过载。设置量程使信号超过半量程而不过载可以减小量化误差。 示波器 ：选择“显示选择”中的某一选项（共7项），可使示波器显示相 应的内容。 电压表 ：选择“1号点”，显示1号传感器的输出电压。选择“2号点”， 显示2号传感器的输出电压。 频率计 ：显示加速度信号的频率。 李萨玉图 ：观察1号加速度信号和激振信号的李萨玉图。 信号发生器 ：输出一定电压和频率的简谐信号。用“On/Off”开启或关闭 信号发生器。 测试数据： 拾取数据 : 将频率计当前的读数和1号、2号传感器当前的输出电压 同时拾取到测试数据表格中。“幅值1”为1号传感器的输出电压，“幅 值2”为2号传感器的输出电压。若重复拾取某一频率的数据，则当 前拾取的数据将覆盖过去拾取的同频率的数据。 重新拾取 : 清除测试数据表格中的全部数据，重新拾取频率计当前的 读数和1＃、2＃传感器当前的输出电压。 数据检验 : 将测试数据表格中的加速度信号数据绘成幅频曲线（图6 －3）。
图6－3
两自由度系统有阻尼受迫振动 □ 6-4一、实验目的 ? 了解和掌握两自由度系统在简谐激振力作用下受迫振动的一般规律及现 象。 ? 理解两自由度系统固有振型的物理概念。 ? 巩固基本振动测试设备的操作与使用。 二、实验仪器 ? 两自由度系统试件 1件 ? 激振器及功率放大器 1套 ? 加速度传感器（ICP式） 1只 ? ICP电源(即ICP信号调节器)4通道 1台 ? 信号发生器 1台 ? 电压表 1台 ? 频率计 1台 ? 示波器 1台 其中：信号发生器、电压表、频率计和示波器由计算机虚拟提供。 三、实验方法及步骤 1、装配实验系统 ? 按图6－1将综合实验台装配成两自由度系统。 ? 按1节所述的方法和要求安装激振器和加速度传感器。 ? 按图6－1连接各测试设备。 2、将功率放大器“输出调节”旋至最小，“信号选择”置“外接”！打开 各设备电源。 3、从“综合振动综合实验系统”对话框（图2），进入“两自由度系统有阻 尼受迫振动”实验操作界面（图6－2）。 4、使信号发生器的输出频率约为30Hz，输出电压约为1V。调节功率放大 器的“输出调节”，逐渐增大其输出功率直至质量块有明显的振动（用
习 题 2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值 1 2 .41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。 解：由题意，可求出系统的运动微分方程为 t m x n x p x n 3cos 360 22 =++ 得到稳态解 )3cos(α-=t B x 其中 m k B B B 45.0360 4)1(02 2220 == +-= λζλ 222 122tg λζλ ωωα-=-= n p n 由 d nT i i A A e 2.41 === +η 489 .3π 2797 .0ln 8 .1ln ======d d d d d T p T n T nT η η 又 22n p p n d -= 有 579.32 22=+=n d n p n p p 45.51255.1298.0374 .0838 .01838.0223.02tg 103.1408 .045 .0838.0223.04)838.01(45 .0223.0579 .3797.0838.0579 .33 2 222===-??= == ??+-= === == =ααζω λB p n p n n 所以 x ＝1.103 cos(3t －51?27') 2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给
质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。 解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由 m k p n = ，共振时m k p n ==1ω 所以 m k =6 ① 又由 当 86.51 2=+= =m k p n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m 2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。 解：列出平衡方程可得： 222()sin sin()sin()st Q W W k x w e wt x g g W Q x kx w e wt g g kg Q x x w e wt W W ππ-σ+- =+=++=+ 所以：2n kg P W Q h w e W ==， 又因为st st W W k k =σ=σ即 22() st st B w e B W g w =σ-σ将结果代入Q = 即为所求的振幅 2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力t F t F ωsin )(0=，弹簧支承端有运动 t a x s ωco s =，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。 题2-4图
第5章 两自由度系统的振动 应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、 主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。 如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移z 及平板的转角 来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。 5.1 双质量弹簧系统的自由振动 5.1.1 运动微分方程 图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x 1、x 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x 1、x 2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得 ? ? ?=+-=-++00)(2212222212111x k x k x m x k x k k x m &&&& (5-1) 这就是两自由度系统的自由振动微分方程。习惯上写成下列形式 ??? =+-=-+00212211dx cx x bx ax x &&&& (5-2) 显然此时 2 2 1 2 1 2 1,,m k d c m k b m k k a = == += 但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。 图5-1车辆模型 图5-2两自由度的弹簧质量系统
5.1.2 固有频率和主振型 根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为 ?? ? ??+=+=)sin()sin(2211ααpt A x pt A x (5-3) 或写成以下的矩阵形式 )sin(2121α+?? ? ???????=??????????pt A A x x (5-4) 将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组 ? ?? ???=????????????----002122 A A p d c b p a (5-5) 保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即 0)(2 2 2 =----= ?p d c b p a p 展开后为 0)(24=-++-bc ad p d a p (5-6) 式(5-6)唯一确定了频率p 满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。它是2p 的二次代数方程，它的两个特征根为 )(222 22 ,1bc ad d a d a p --??? ??++=μ bc d a d a +?? ? ??-+=2 22μ (5-7) 由于式(5-7)确定的2p 的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质，与运动的初始条件无关，因此p 称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。 5.2.2 主振型 将固有频率p 1和p 2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的振幅比
利用Adams 和Matlab 对二自由度系统振动进行仿真与分析 一、实验思想 Adams 是一种可以对一些典型运动进行高效仿真的软件，本实验是利用Adams 对二自由度系统振动进行仿真及分析，再和理论公式对比，并用另外一种常见的仿真软件Matlab 的仿真结果进行对比，观察两者的差异，分析软件仿真产生差异的原因，加深对二自由度系统振动的理解。 二、二自由度系统振动分析 固有频率取决于系统本身物理性质，而与初始条件无关。对于二 自由度的振动系统是有两种频率的简谐波组成的复合运动，这两个频率都是系统的固有频率。 主振型是当系统按固有频率作自由振动时，称为主振动。系统作 主振动时，任何瞬时各个运动坐标之间具有一定的相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。 强迫振动是振动系统在周期性的外力作用下，其所发生的振动称 为强迫振动，这个周期性的外力称为驱动力。 三、二自由度系统自由振动 1.建立二自由度系统振动模型 1）创建底座：先生成一个尺寸合适的长方体基体，再使用add to part 指令创建底座的侧壁。 2）使用new part 指令分别创建两个滑块，创建滑块时应注意滑
块与滑块、滑块与侧壁之间的尺寸适当。 3）弹簧连接：分别用弹簧链接滑块、侧壁的中心点。弹簧生成后，依次选中弹簧，在modify 选项中的stiffness and damping 下拉菜单中将damping coefficient 设置成no damping，即弹簧无阻尼。 添加约束：底座和地面固定，滑块和底座用滑动副连接。 弹簧刚度分别改为1、1、2(newton/mm) 滑块质量分别为1.0 2.0 滑块与机体滑动副的阻尼改为1.0E-007 2.模型展示 3.运动仿真结果 设置x10=12 经过Adams 运算后，滑块1、2 运动状态如图所示：
1-2单自由度体系的受迫振动 主要问题1-2-1简谐激励作用的受迫振动响应1-2-2周期激励作用的受迫振动响应1-3-3任意激励作用的受迫振动响应 1-3-5 隔振 1-3-4 等效阻尼 激励 响应 系统
1-2-1简谐激励作用的受迫振动响应 单自由度系统振动方程 t F kx x c x m ωsin 0=++ 非自治系统 t f x x x n n ωω?ωsin 202=++
t k F t k F t x t x x n n n n ωλ ωλλωωωsin 11 sin 1sin cos 2 02000-+--+= 无阻尼系统 ???? ?====+0002 )0(,)0(,0sin x x x x t t f x x n ωω方程之解 无阻尼自由振动 无阻尼受迫振动 自由伴随振动 瞬态过程 稳态过程
实际系统中，阻尼的客观存在，随着时间的推移，瞬态响应逐渐衰减，系统进入稳态振动过程 系统的瞬态振动过程是复杂的运动形式?ε λ21+=?0 →εt t f x n n ωεωε cos sin 20 -≈t t f x n n ωωcos 2 1 0-≈“拍”
无阻尼系统的稳态响应 t k F x ωλ sin 112 0-=k F st 0 = δ静变形 2 11λβ-= 动力放大因子 1<<λ?1 >>λ?1 =λ?1 →β系统表现为静态特征0 →β系统表现为动态特征∞ →β系统出现“共振”现象
θ βi e k -=1θβ 阻尼系统的稳态响应 t f x x x n n ωω?ωsin 202 =++ t i n n e f x x x ωω?ω02 2=++ 设系统的稳态响应为 t i Be x ω=B 为复振幅 )(F H B ω=H (ω)称为复频响应函数 2 2 2) 2()1(1?λλ+-= 2 12arctan λ?λ -=动力放大因子响应与激励的相位差！系统的幅频特性 ！系统的相频特性 ??????+---=2222 )2()1(211)(?λλ?λλωi k H
20 习 题 2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值1 2.41 =+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。 解：由题意，可求出系统的运动微分方程为 t m x n x p x n 3cos 36022 =++ 得到稳态解 )3cos(α-=t B x 其中 m k B B B 45.03604)1(02 2 2 2 == +-= λ ζλ 2 2 2 122tg λ ζλωωα-=-= n p n 由 d nT i i A A e 2.41 ===+η 489 .3π2797 .0ln 8 .1ln == == ==d d d d d T p T n T nT ηη 又 2 2 n p p n d -= 有 579.32 2 2 =+=n d n p n p p 45 .51255 .1298 .0374.0838 .01838.0223.02tg 103.1408 .045.0838 .0223.04)838.01(45 .0223.0579 .3797.0838 .0579.332 2 2 2=== -??= ==??+-= ===== = ααζωλB p n p n n 所以 x ＝1.103 cos(3t －51?27') 2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给
21 质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。 解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由 m k p n = ，共振时m k p n = =1ω 所以 m k =6 ① 又由 当 86.51 2=+= =m k p n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m 2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。 解：列出平衡方程可得： 2 22()sin sin()sin() st Q W W k x w e w t x g g W Q x kx w e w t g g kg Q x x w e w t W W ππ-σ+- = +=++ = + 所以： 2n kg P W Q h w e W = = ， 又因为st st W W k k =σ= σ即 22() st st B w e B W g w = σ-σ将结果代入： Q = 即为所求的振幅 2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力t F t F ωsin )(0=，弹簧支承端有运动 t a x s ωc o s =，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。 题2-4图
单自由度系统强迫振动（悬臂梁） 一、实验目的 １、 测定带有集中荷重的悬臂梁系统，在自由端部位移激励下引起的强迫振动的振幅频率特性曲线；借助幅频特性曲线，求出系统的固有频率及阻尼常数； ２、 初步了解振动测试的一些仪器设备及测试方法。 二、实验装置及原理 １、 实验装置 一个单层框架结构的悬臂梁系统，固定端固定在底板上，自由端与激振器连接，其简图如图１所示。这个系统可看作如图２所示的，有阻尼的单自由度弹簧质量系统。 其中： ｍ：为悬臂梁系统的等效质量； ｋ：为悬臂梁系统的等效弹簧常数； ｃ：为悬臂梁系统的阻尼常数； ｘ（ｔ）：为激振器激振器（谐振动）位移，ｘ（ｔ）＝Ａｓｉｎωｔ。 ２、 实验原理 图３ 测试系统的框图如图３所示。信号发生器可调节激振器的激振频率，激振器的激振频率由计数器读得，悬臂梁自由端的幅值由传感器经电荷放大器转换并放大，由电压表读得。 三、实验步骤 １、 开机，注意开机顺序依次为：信号发生器、功率放大器、频率计数器和测振仪。 ２、 调节信号发生器（其振幅一般保持不变）和功率放大器，使激振器以较小的振幅激振； 激振器
然后调节信号发生器的频率，从１０－４０Ｈｚ扫频，使振幅达到最大，即找到系统的共振频率，再轻微调节功率放大器的振幅峰Ｆ０，使共振时的位移达到所需振幅。 ３、 然后从低频段各点扫描，找出各点频率下对应的位移振幅，频率间隔根据不同情况选取 （最好以位移振幅选取），并把各点数据记录表中和填入方格纸中，完成幅频曲线的绘制。 ４、 检查幅频曲线的正确与否，偏差较大时，重新找取相应点的数据。根据图示幅频曲线， 由如下关系式计算系统的固有频率和阻尼常数。 ５、 关机，把功率放大器的振幅调至最小，然后关闭仪器的电源，关机顺序正好与开机顺序 相反。 四、实验数据记录及计算结果 序号 频率 振幅 １ ２ …． 按照幅频曲线，运用半功率原理得到： 10 36 Frequency Response Function Curve A /A max f (Hz) 1 固有频率：m n f f =， 带宽：12f f f ?=? 相对阻尼系数：n f f 2?= ζ 五、实验要求 １、 实验前必须带好方格纸，在实验过程中，将所测数据填入方格纸中，画出曲线的草图，并让老师检查方可离开。 ２、 实验报告中必须达到实验报告基本要求，具备基本的数据表格和曲线图，认真做好实验报告。 3、 认真完成实验，注意实验安全事项。
如图所示两自由度（无阻尼强迫振动）系统，证明在强迫振动共振时系统的运动为主振动。 证： 振动微分方程为 t F x k x k k x m ωsin )(12212111=-++? ? t F x k k x k x m ωsin )(22231222=++-? ? 引入符号 121m k k a += ，12m k b =，22m k c =，22 3m k k d += 111m F f = ，2 22m F f = 则振动微分方程简化为 t f bx ax x ωsin 1211=-+? ? t f dx cx x ωsin 2212=+-? ? 现令 t B x ωsin 11= , t B x ωsin 22= 代入简化的振动方程，得 1212)(f bB B a =--ω 2221)(f B d cB =-+-ω 解之得 2 12 2 2112)()(bf f d f a cf B B +--+=ωω (1) 自由振动时，振动微分方程为 0)(2212111=-++? ?x k x k k x m 0)(2231222=++-? ?x k k x k x m x1 x2 F1sinwt F2sinwt
同理解得主振型为 2 12 2 2112122222)()()()(bf f p d f p a cf f p d cf bf f p a p d c b p a i i i i i i i +--+=-=-=-=-=ν (i=1,2) (2) 由（1）、（2）两式比较可知：当i p =ω时（i=1,2） i i B B ν=)( 1 2 即在系统共振时，系统的振型为主振型，系统的振动为主振动。 李小龙 2017-3-26
系统对简谐力激励的响应 设 n 自由度系统沿各个广义坐标均受到频率和相位相同的广义简谐力的激励，系统受迫振动方程： t i e ω0 F KX X M =+ ω：外部激励的频率； 0F ：广义激励力的幅值列阵T n F F F ][002010??=F 设稳态解：t i e ωX X =，T n X X X ][21 ??=X 代入作用力方程，得：() 02F X M K =-ω 记()1]2[--=M K H ωω，多自由度系统的幅频响应矩阵 0HF X =，t i e ω0HF X = 简谐激励下，系统稳态响应也为简谐响应，并且振动频率为外部激励的频率，但是各个自由度上的振幅各不相同。 工程中：() M K 2ω-称为阻抗矩阵，()12][--=M K H ωω导纳矩阵。 因此H ij 的物理意义为仅沿j 坐标作用频率为w 的单位幅度简谐力时， 沿 i 坐标所引起的受迫振动的复振幅 ()1 2 ][--=M K H ωωM K M K 2 2)(ωω--= adj 由于 H 含有1 2--M K ω，系统的特征方程02=-M K ω 因此，当外部激励频率ω接近系统的任意一个固有频率时，都会使受迫振动的振幅无限增大，引起共振。 动力吸振器 许多机器或部件由于旋转部分的质量偏心而产生强迫振动，为减小这种振动有时可以采用动力吸振器 若忽略主系统阻尼，主系统固有频率：1 1 1m k = ω，为抑制主系统的振动，
在主系统上附加一个弹簧-质量系统，动力吸振器的无阻尼固有频率： 2 2 2m k = ω 通过调节动力吸振器的参数大小，以达到抑制主系统振动的目的。 系统的强迫振动方程： ?? ? ???=????????????--++????????????--+????????????0sin 0002122221212121t F x x k k k k k x x c c c c x x m m ω 当吸振器阻尼为零时，利用直接法t ωsin X X = 稳态响应振幅： ?????????? ??----+=??????-001 222222 12121F m k k k m k k x x ωω?? ? ???-?=22220)(k m k F ωω M K 2)(ωω-=?：系统的特征多项式 2 2 2222121))(()(k m k m k k ---+=?ωωω 212221221421)(k k m k m k m k m m +++-=ωω 当2 2 m k = ω时，外部激励频率等于吸振器的固有频率，主系统不再振动，01=x 。 此时22 )(k -=?ω，吸振器振幅2 2k F x - =，主系统上受到的激振力恰好被来自吸振器的弹性恢复力平衡。 吸振器参数 k 2、m 2 一般选为：μ==1 2 12m m k k ，使吸振器的固有频率和主系统的固有频率相等。