椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)

（一）椭圆的定义：

1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。

对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；

（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。

（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。

（5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：

22

22

2222x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b

+=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2

2

2

a c

b =+。

不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的

焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的

焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2

项的分母较大。

（二）椭圆的几何性质：

椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只

要22

22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222

y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下：

几点说明：

（1）长轴：线段12A A ，长为2a ；短轴：线段12B B ，长为2b ；焦点在长轴上。 （2）对于离心率e ，因为a>c>0，所以0

由于22

2

21c a b b e a a

-===-，所以e 越趋近于1，b 越趋近于0，椭圆越扁平；e

越趋近于0，b 越趋近于a ，椭圆越圆。

（3）观察下图，22||,||OB b OF c ==，所以22||B F a =，所以椭圆的离心率e = cos ∠OF 2B 2

（三）直线与椭圆：

直线l ：0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）

椭圆C ：22

22x y 1(a b 0)a b

+=>>

那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的

个数来判断直线和椭圆交点的情况。方法如下：

222

201Ax By C x y a

b ++=??

?+=?? 消去y 得到关于x 的一元二次方程，化简后形式如下

20(0)mx nx p m ++=>， 24n mp ?=-

（1）当0?>时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点； （2）当0?=时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点（相切）； （3）当0?<时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。

注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，那么线段AB 的

长度（即弦长）为||AB =k ，

可得：||AB ==12|x x -，然后我们可通过求出方程的

根或用韦达定理求出。

典型例题一

例1 椭圆的一个顶点为()02，

A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．

解：（1）当()02，

A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11

42

2=+y x ； （2）当()02，

A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：

116

42

2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．

典型例题二

例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

解：3

1

222??=c a c Θ ∴223a c =， ∴3

331-=

e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．

典型例题三

例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB

中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

解：由题意，设椭圆方程为12

22=+y a

x ，

由?????=+=-+1012

22y a

x y x ，得()021222=-+x a x a ，

∴222112a a x x x M +=+=，211

1a x y M M +=-=， 41

12===

a

x y k M M OM Θ，∴42=a ， ∴14

22

=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．

典型例题四

例4椭圆

19252

2=+y x 上不同三点()11y x A ，，??

? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．

（1）求证821=+x x ；

（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：

a

c x c

a AF =

-12

， ∴ 115

4

5x ex a AF -=-=． 同理 25

4

5x CF -

=． ∵ BF CF AF 2=+，且5

9=BF ， ∴ 5

1854554521=??? ??-+??? ??-

x x ， 即 821=+x x ．

（2）因为线段AC 的中点为??

?

??+2421

y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422

12

121---=

+-

x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，

x ，代入上式，得 ()

2122

21024x x y y x --=-

又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上，

∴ ()212

125259

x y -=

(

)

2

2

222525

9x y -= ∴ ()()21212

22125

9x x x x y y -+-=-． 将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得 25

3640-

=-x ∴ 4

540

590=--=x k BT

．

典型例题五

例5 已知椭圆

13

42

2=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，

请说明理由．

解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得

2=a ，3=b ，∴1=c ，2

1

=

e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：

11

121

2x ex a MF -=-=， 1122

1

2x ex a MF +=+=．

∵212

MF MF MN ?=， ∴()??

? ??+??? ??

-

=+11212122124x x x ． 整理得04832512

1=++x x ． 解之得41-=x 或5

12

1-

=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ②

则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在． 说明：

（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．

（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．

（3）本例也可设()

θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．

典型例题六

例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点??

?

??2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为??? ?

?

-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得

()()

02

3

21222122

2

2

=+-+--+k k x k k

x k ．

由韦达定理得2

2212122k k

k x x +-=+．

∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得2

1-=k ． 所以所求直线方程为0342=-+y x ．

分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从

而求斜率：

2

12

1x x y y --．

解法二：设过??

? ??2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得

?

????????=+=+=+=+④

1.

③1②12

①1221212

2222

121y y x x y x y x ，，， ①－②得

02

2

2212

221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得

212121-=--x x y y ，即直线的斜率为2

1

-．

所求直线方程为0342=-+y x ．

说明：

（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．

（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．

典型例题七

例7 求适合条件的椭圆的标准方程．

（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，

； （2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．

分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482

=a ，

372

=b ，在得方程

13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程137

1482

2=+x y ． 解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或122

22=+b

x a y ．

由已知b a 2=． ①

又过点()62-，

，因此有

()16222

22=-+b a 或()12622

22

=+-b

a ． ② 由①、②，得1482=a ，372=

b 或522=a ，132

=b ．故所求的方程为

13714822=+y x 或113

522

2=+x y ． （2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182

=a ．故所求方程

为

19

182

2=+y x ． 说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置

是否确定，若不能确定，应设方程12222=+b y a x 或122

22=+b

x a y ．

典型例题八

例8 椭圆112

162

2=+y x 的右焦点为F ，过点()

31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．

分析：本题的关键是求出离心率2

1

=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF e

AM 1

+

均可用此法． 解：由已知：4=a ，2=c ．所以2

1

=e ，右准线

8=x l ：．

过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．

显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所

以()

332，M ．

说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，2

1

=

e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．

典型例题九

例9 求椭圆13

22

=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．

解：椭圆的参数方程为???==.

sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为

(

)

θθsin cos 3，，则点到

直线的距离为

2

63sin 226sin cos 3+??

?

??-=

+-=

θπθθd ． 当13sin -=??

?

??-θπ时，22=最小值d ． 说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．

典型例题十

例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=

e ，已知点??

?

??230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．

分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．

解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是122

22=+b y a x ，其中0>>b a 待定．

由22

222222

1a

b a b a a

c e -=-=

=可得 2

1

43112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ，则

4931232

2222

22+-+???

? ??-=??? ??-+=y y b y a y x d 342134933422

22++??? ?

?

+-=+--=b y y y b

其中b y b ≤≤-． 如果2

1<

b ，则当b y -=时，2

d （从而d ）有最大值． 由题设得

()

2

2

237??? ?

?

+=b ，由此得21237>-=b ，与21

因此必有21≥b 成立，于是当2

1-=y 时，2

d （从而d ）有最大值． 由题设得

()3472

2

+=b

，可得1=b ，2=a ．

∴所求椭圆方程是11

42

2=+y x ． 由21-

=y 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点??? ??--213，，点??? ?

?

-213，到点??

?

??230，P 的距离是7． 解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是???==θθ

sin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，

πθ20≤≤，θ为参数．

由2

222222

1??

? ??-=-==a b a b a a c e 可得

2

1

43112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点??

? ??

230，P 的距离为d ，则

2

222

2

2

23sin cos 23??? ?

?

-+=??? ??-+=θθb a y x d

4

9

sin 3sin

342

22+--=θθb b b

3421sin 32

2

2

++??? ?

?+-=b b b θ

如果

121>b ，即2

1

2

2

237??? ?

?

+=b ，由此得21237>-=b ，与21

21≤b 成立．

于是当b

21sin -=θ时2

d （从而d ）有最大值． 由题设知

()3472

2

+=b

，∴1=b ，2=a ．

∴所求椭圆的参数方程是??

?==θ

θ

sin cos 2y x ．

由21sin -

=θ，23cos ±=θ，可得椭圆上的是??? ?

?

--213，

，??? ??-213，． 典型例题十一

例11 设x ，R ∈y ，x y x 6322

2

=+，求x y x 22

2

++的最大值和最小值． 分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 6322

2

=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++22

2

，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．

解：由x y x 6322

2

=+，得

123492322

=+?

????

? ??

-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在??

? ??023，

点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．

设m x y x =++22

2，则

()112

2

+=++m y x

它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．

在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即1

1=+m ，此时0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m ，∴15=m ．

∴x y x 22

2

++的最小值为0，最大值为15．

典型例题十二

例12 已知椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点．

（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，

ο

120≠∠APB ． （2）如果椭圆上存在一个点Q ，使ο

120=∠AQB ，求C 的离心率e 的取值范围． 分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x ≤，b y ≤，根据ο

120=∠AQB 得到

322

22-=-+a y x ay ，将2222

2y b

a a x -=代入，消去x ，用a 、

b 、

c 表示y ，以便利用b y ≤列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．

解：（1）设()0，

c F ，()0，a A -，()0，a B ． ?

???

??????=+=a b c P b

a y a x

b

c x 2222222， 于是()a c a b k AP

+=2，()

a c a

b k BP -=2

． ∵APB ∠是AP 到BP 的角．

∴()()()

222

2

24

2

221tan c

a a c a

b a

c a b a c a b APB -=-++-

-=∠ ∵2

2c a > ∴2tan -<∠APB

故3tan -≠∠APB ∴ο

120≠∠APB ．

（2）设()y x Q ，，则a x y k QA +=

，a

x y k QB -=． 由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角．

∴2

222

2

221tan a y x ay a x y a x y a x y AQB -+=-++-

-=∠ ∵ο

120=∠AQB ， ∴

322

22-=-+a y x ay

整理得()

0232

22=+-+ay a y x

∵2

222

2

y b

a a x -=

∴02132

22=+???

? ??-ay y b a

∵0≠y ， ∴2

2

32c ab y = ∵b y ≤， ∴b c

ab ≤2

2

32 232c ab ≤，()

222234c c a a ≤-

∴04444

2

24

≥-+a c a c ，04432

4

≥-+e e ∴2

32≥

e 或22

-≤e （舍），∴136<≤e ． 典型例题十三

例13 已知椭圆

19822=++y k x 的离心率2

1

=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．

解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12

-=k c ．由2

1

=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92

=a ，82

+=k b ，得k c -=12

．

由21=

e ，得4191=-k ，即4

5-=k ． ∴满足条件的4=k 或4

5

-=k ．

说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．

典型例题十四

例14 已知椭圆1422

22=+b

y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线

的距离．

分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．

解法一：由1422

22=+b

y b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ．

由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得

b b b PF b PF 34421=-=-=．

由椭圆第二定义，

e d PF =1

1，1d 为P 到左准线的距离，

∴b e

PF d 3211==

，

即P 到左准线的距离为b 32． 解法二：∵

e d PF =2

2，2d 为P 到右准线的距离，2

3==

a c e ， ∴

b e

PF d 3

3

222=

=

． 又椭圆两准线的距离为b c a 3

3

822=?．

∴P 到左准线的距离为

b b b 323

3

2338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．

椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．

典型例题十五

例15 设椭圆???==.

sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π

=∠POx ，求

P 点坐标．

分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．

解：设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为

3

π

， ∴α

α

π

cos 4sin 323

tan

=

，即2tan =α．

而0sin >α，0cos >α，由此得到55cos =

α，5

52sin =α， ∴P 点坐标为)5

15

4,554(

． 典型例题十六

例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆122

22=+b

y a x

)0(>>b a 上的一点，P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离

分别为1r 和2r ，求证：01ex a r +=，02ex a r -=．

分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化

为点到相应准线距离．

解：P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=：的距离，c

a x PQ 2

0+=，

由椭圆第二定义，

e PQ

PF =1，

∴01ex a PQ e r +==，由椭圆第一定义，0122ex a r a r -=-=．

说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．

典型例题十七

例17 已知椭圆15

92

2=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．

(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标；

(2) 求22

3

PF PA +

的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．

解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=

AF ，设P 是椭圆上任一点，由

6

221==+a PF PF ，

2

2AF PF PA -≥，

∴

26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．

由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．

建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组???=+=-+4595,022

2y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)214

15

75,2141579(2

-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，

2PF PA +取最大值26+．

(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=

e ．由椭圆第二定义知3

22==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴

PQ PA PF PA +=+

22

3

，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为2

9

=x ．

∴A 到右准线距离为27

．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标

相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,5

5

6(． 说明：求21

PF e

PA +

的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．

典型例题十八

例18 (1)写出椭圆14

92

2=+y x 的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积．

分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．

解：(1) ??

?==θ

θ

sin 2cos 3y x )(R ∈θ．

(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴，设

)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)2

0(π

<θ<，

则122sin 12sin 2cos 34≤=??=θθθS

故椭圆内接矩形的最大面积为12．

说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．

典型例题十九

例19 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且?=∠6021PF F ． (1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证21F PF ?的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为

122

22=+b

y a x （0>>b a ），),(11y x P （01>y ）． 思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan 1

212=+-=

?PF PF PF PF K K K K ，设

),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，化简可得03233212

121=--+c cy y x ．又122

122

1=+b

y a x ，两方程联立消去21x 得03234122

12=-+b cy b y c ，由],0(1b y ∈，可以确定离心率的取值范围；解出1y 可以求出21F PF ?的面积，但这一过程很繁．

思路二：利用焦半径公式11ex a PF +=，12ex a PF -=，在21F PF ?中运用余弦定理，求1x ，再利用],[1a a x -∈，可以确定离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，便可求出21F PF ?的面积．

思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221=+求解．

解：(法1)设椭圆方程为122

22=+b

y a x （0>>b a ），),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，

0>c ，

则11ex a PF +=，12ex a PF -=． 在21F PF ?中，由余弦定理得

)

)((24)()(2160cos 112

2121ex a ex a c ex a ex a -+--++=

=?， 解得2

2

22

134e

a c x -=． (1)∵],0(2

2

1a x ∈，

∴22

22340a e

a c <-≤，即042

2≥-a c ． ∴2

1≥=

a c e ． 故椭圆离心率的取范围是)1,2

1[∈e ．

(2)将2

222

134e a c x -=代入122

22=+b

y a x 得 242

13c b y =，即c

b y 32

1=．

∴2221333221212

1b c

b c y F F S F PF =??=?=?． 即21F PF ?的面积只与椭圆的短轴长有关．

(法2)设m PF =1，n PF =2，α=∠12F

PF ，β=∠21F PF ， 则?=+120βα．

(1)在21F PF ?中，由正弦定理得

?

==60sin 2sin sin c n m βα． ∴

?

=++60sin 2sin sin c

n m βα

∵a n m 2=+， ∴

?

=+60sin 2sin sin 2c

a βα，

∴2

cos 2sin 260sin sin sin 60sin β

αβαβα-+?

=

+?==

a c e 212

cos

21≥-=βα．

当且仅当βα=时等号成立．

故椭圆离心率的取值范围是)1,2

1[∈e ． (2)在21F PF ?中，由余弦定理得：

?-+=60cos 2)2(222mn n m c

mn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=

∵a n m 2=+，

∴mn a c 3442

2

-=，即2223

4

)(34b c a mn =-=

． ∴2

3

360sin 2121b mn S F PF =?=

?．

即21F PF ?的面积与椭圆短轴长有关．

说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现

21PF PF +的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问

题找到解决思路．

典型例题二十

例20 椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，

使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．

分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．

解：设椭圆的参数方程是?

?

?==θθ

sin cos b y a x )0(>>b a ，

则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴

1cos sin cos sin -=-?a

a b a b θθθθ，

即0cos cos )(2

2

2

2

2

=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或2

22

cos b

a b -=θ， ∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），112

2

2

<-<-b a b ，又222c a b -= ∴2022

<

a ，

∴22>

e ，又10<

12

2

<

2

(

，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？

［例1］求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于10；

2021年高中数学第二单元圆锥曲线与方程.1.椭圆的几何性质一教学案新人教B版选修1

2021年高中数学第二单元圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质一教学案 新人教B版选修1 学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形． 知识点一椭圆的简单几何性质 已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：x2 25＋ y2 16 ＝1，C2： y2 25 ＋ x2 16 ＝1. 思考1 怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？思考2 椭圆具有对称性吗？ 思考3 椭圆方程中x，y的取值范围分别是什么？ 梳理 标准方程x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0) y2 a2 ＋ x2 b2 ＝1(a>b>0)

图形 性质 焦点 焦距 |F1F2|＝2c (c＝a2－b2) |F1F2|＝2c (c＝a2－b2) 范围 对称性关于________________对称 顶点 轴长轴长________，短轴长________ 思考观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？梳理(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝ c a ，叫做椭圆的____________． (2)性质：离心率e的取值范围是________，当e越接近于1，椭圆越________，当e越接近于________，椭圆就越接近于圆． 类型一椭圆的几何性质 例1 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 引申探究 已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．

反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量． 跟踪训练1 设椭圆方程mx 2＋4y 2 ＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦 点坐标及顶点坐标． 类型二 求椭圆的离心率 命题角度1 焦点三角形的性质 例2 椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正 三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________． 反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a 与c 的关系或利用e ＝ 1－b 2a 2 求解． 跟踪训练2 已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1的直线与椭圆相交于A ， B 两点，若∠BAF 2＝60°，|AB |＝|AF 2|，则椭圆的离心率为________． 命题角度2 利用a ，c 的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围) 例3 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________． (2)若椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)上存在一点M ，使得∠F 1MF 2＝90°(F 1，F 2为椭圆的两个焦点)，则 椭圆的离心率e 的取值范围是________． 反思与感悟 若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2 ＝b 2 ＋c 2 ，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围． 跟踪训练3 已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，且∠BAO ＋ ∠BFO ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆的离心率e ＝________.

椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)

（一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222 x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下：

高中数学学案：椭圆的几何性质

高中数学学案：椭圆的几何性质 1. 熟练掌握椭圆的几何性质,会利用几何性质解决简单的问题. 2. 能够依据椭圆的几何性质获得参数间的关系,并能够处理椭圆与其他曲线综合的简单问题. 1. 阅读：选修11第32～34页(理科阅读选修21相应内容). 2. 解悟：①椭圆中的基本量a,b,c满足关系a2＝b2＋c2,在图形中分别对应着什么？有怎样的几 何关系？②离心率是反映了椭圆形状的一个重要量,它与b a之间满足一个什么关系？求离心率 关键要寻找何种等式？③a－c,a＋c是椭圆上的点到某一焦点的最小与最大距离吗？你能证明吗？ 3. 践习：在教材空白处完成选修11第34页练习第1、2、4题(理科完成选修21相应任务). 基础诊断 1. 若焦点在x轴上的椭圆x2 2＋ y2 m＝1的离心率为 1 2,则m＝ 3 2. 解析：因为焦点在x轴上的椭圆x2 2＋ y2 m＝1的离心率为 1 2,所以 2－m 2＝ 1 4,得m＝ 3 2. 2. 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为 3 2,且椭圆G上一点到两个焦点 的距离之和为12,则椭圆G的方程为x2 36＋ y2 9＝1. 解析：由题意知e＝ 3 2,2a＝12,所以a＝6,c＝33,所以b＝3,所以椭圆方程为 x2 36＋ y2 9＝1. 3. 若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则椭圆的中心到其准线的距离是3. 解析：由题意知2b＝2,2a＝4b,所以b＝1,a＝2,所以c＝a2－b2＝3,则椭圆的中心到其准 线的距离是a2 c＝ 4 3 ＝ 43 3. 4. 过椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为其右焦点,若 ∠F1PF2＝60°,则椭圆的离心率为3Ｗ.

椭圆标准方程及几何性质(附答案)

高考能力测试数学基础训练26 基础训练26 椭圆标准方程及几何性质 ●训练指要 熟练掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质；会用待定系数法求椭圆方程. 一、选择题 1.椭圆中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，离心率为0.6，长、短轴之和为36，则椭圆方程为 A.164 1002 2=+y x B.1100 642 2=+y x C.1100 641641002 222=+=+y x y x 或 D.110 818102 222=+=+y x y x 或 2.若方程x 2＋ky 2＝2，表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 A.(0，＋∞) B.(0，2) C.(1，＋∞) D.(0，1) 3.已知圆x 2＋y 2＝4，又Q (3，0)，P 为圆上任一点，则PQ 的中垂线与OP 之交点M 轨迹为(O 为原点) A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线

二、填空题 4.设椭圆120 452 2=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，P 为椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则||PF 1|－|PF 2||＝_________. 5.(2002年全国高考题)椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是(0，2)，那么k =_________. 三、解答题 6.椭圆22 22b y a x +=1(a ＞b ＞0),B (0,b )、B ′(0,-b ),A (a ,0),F 为椭圆的右焦点，若直线AB ⊥ B ′F ,求椭圆的离心率. 7.在面积为1的△PMN 中，tan M =2 1,tan N =-2，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点 且过点P 的椭圆方程. 8.如图，从椭圆22 22b y a x +＝1(a ＞b ＞0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴端点A 及短轴的端点B 的连线AB ∥OM . (1)求椭圆的离心率e ； (2)设Q 是椭圆上任意一点，F 2是右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围； (3)设Q 是椭圆上一点，当QF 2⊥AB 时，延长QF 2与椭圆交于另一点P ，若△F 1PQ 的面积为203，求此时椭圆的方程.

2.1.2 椭圆的简单几何性质同步练习

2.1.2 椭圆的简单几何性质同步练习 1．椭圆的简单几何性质 直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)的位置关系： 直线与椭圆相切?????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2 b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交? ????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离?????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2 b 2＝1________实数解，即Δ______0. 一、选择题 1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5,3，45 B ．10,6，4 5 C ．5,3，35 D ．10,6，3 5 2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A ．x 236＋y 216＝1 B ．x 216＋y 2 36＝1 C ．x 26＋y 24＝1 D ．y 26＋x 2 4 ＝1 3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为1 2 ，则m 等于( )

A ． 3 B ．32 C ．83 D ．2 3 4．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°， 则该椭圆的离心率为( ) A.－1＋52 B ．1－22 C.2－1 D.2 2 5．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2 ＋y 2 ＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋ y 2 4 ＝1的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1 D ．0 6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点。满足1MF ·MF 2→ ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．??? ?0，12 C ．???0，2 D ．???2 ，1 7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为5 5 ，且过点P (－5,4)，则椭圆的 方程为______________． 8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的 离心率等于______． 9．椭圆E ：x 216＋y 2 4 ＝1内有一点P (2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为 ____________． 三、解答题 10．如图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦 点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线x ＝－a 2 c (c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交 点，若PF ⊥OF ，HB ∥OP ，试求椭圆的离心率e .

高中数学椭圆的几何性质

一. 教学内容： 椭圆的几何性质 二. 教学目标： 通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用． 通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力． 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等． 三. 重点、难点： 重点：椭圆的几何性质及初步运用． 难点：椭圆离心率的概念的理解． 四. 知识梳理 1、几何性质 （1）范围，即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x＝±a和直线y＝±b所围成的矩形里．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．（2）对称性 把x换成－x，或把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称 （3）顶点 在中，须令x＝0，得y＝±b，点B1（0，－b）、B2（0，b）是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A1（－a，0）、A2（a，0）是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点A1（－a，0）、A2（a，0）、B1（0，－b）、B2（0，b）． ①线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b； ②a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长； （4）离心率 教师直接给出椭圆的离心率的定义： 椭圆的焦距与长轴的比 椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴0＜e＜1． 当e接近1时，c越接近a，从而b越接近0，因此椭圆越扁； 当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；

椭圆的简单几何性质教案(绝对经典)

第2课时 椭圆的简单几何性质 错误!题型分类 深度解析 考点一 椭圆的性质 【例1】 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13 (2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4 5，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.? ?? ??0，32 B.??? ?0，34 C.?? ?? ??32，1 D.??? ?3 4，1 解析 (1)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，又与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切， 所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2ab a 2＋b 2 ＝a ，整理为a 2＝3b 2 ，即b a ＝13. ∴e ＝c a ＝a 2－ b 2a ＝ 1－??? ?b a 2 ＝ 1－? ?? ??132＝63. (2)设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥4 5，∴1≤b <2. 离心率e ＝c a ＝ c 2a 2＝ a 2－ b 2a 2＝ 4－b 24∈? ???? 0，32. 答案 (1)A (2)A 规律方法 求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的

椭圆的简单几何性质(附练习题答案及知识点回顾)

椭圆的简单几何性质 基础卷 1．设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a , b , c 的大小关系是 （A ）a >b >c >0 （B ）a >c >b >0 （C ）a >c >0, a >b >0 （D ）c >a >0, c >b >0 2．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为 （A ） 221916x y += （B ）2212516x y += （C ）2212516x y +=或2211625x y += （D ）22 11625 x y += 3．已知P 为椭圆 22 1916 x y +=上一点，P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为 （A ） 54 （B ）45 （C ）4 17 （D ） 7 4 7 4．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为 （A ） 23 （B ）33 （C ）3 16 （D ） 6 1 6 5．在椭圆122 22=+b y a x 上取三点，其横坐标满足x 1+x 3=2x 2，三点顺次与某一焦点连接的线段长是r 1, r 2, r 3，则有 （A ）r 1, r 2, r 3成等差数列 （B ）r 1, r 2, r 3成等比数列 （C ） 123111,,r r r 成等差数列 （D ）123 111 ,,r r r 成等比数列 6．椭圆 22 1925 x y +=的准线方程是 （A ）x =± 254 （B ）y =±165 （C ）x =±165 （D ）y =±25 4 7．经过点P (－3, 0), Q (0, －2)的椭圆的标准方程是 . 8．对于椭圆C 1: 9x 2 +y 2 =36与椭圆C 2: 22 11612 x y +=，更接近于圆的一个是 . 9．椭圆122 22=+b y a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = . 10．已知定点A (－2, 3)，F 是椭圆22 11612 x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值。

湖南省邵阳市选修2-1学案 椭圆及其简单几何性质(1)

【学习目标】 1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形； 2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图． 【自主学习】（认真自学课本P43-P46） 问题1：椭圆的标准方程22 221x y a b +=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？ 图形： 范围：x ： y ： 对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称； 顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）； 长轴，其长为 ；短轴，其长为 ； 离心率：刻画椭圆 程度． 椭圆的焦距与长轴长的比 c a 称为离心率， 记c e a = ，且01e <<． 问题2：类比问题1，回答椭圆22 1169 y x +=的几何性质。 【合作探究】 例1．（教材P46例4）求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 变式：若椭圆是22981x y +=呢？

小结：①先化为标准方程，找出,a b，求出c； ②注意焦点所在坐标轴． 【目标检测】 1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴焦点在x轴上，6 a=， 1 3 e=； ⑵焦点在y轴上，3 c=， 3 5 e=； ⑶经过点(3,0) P-，(0,2) Q-； ⑷长轴长等到于20，离心率等于3 5 ． 2．若椭圆 22 1 5 x y m += 的离心率e=m的值是（）． A．3B．3或25 3 C D 3 ，离心率 2 3 e=的椭圆两焦点为 12 ,F F，过 1 F作直线交椭圆于,A B两点，则2 ABF ?的周长为（）．A．3B．6C．12D．24 【作业布置】 任课教师自定

椭圆的简单几何性质练习题精练

椭圆专题 一、选择题 1．(2015·人大附中月考)焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为35的椭 圆的标准方程是( ) A.x 2100＋y 236＝1 B.x 2100＋y 264＝1 C.x 225＋y 216＝1 D.x 225＋y 29＝1 2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率 为( )A.12 B.13 C.14 D.22 3曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0

8．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准 方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程． 9．(2014·菏泽高二检测)设椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴交于点A ，以OA 为边作等腰三角形OAP ，其顶点P 在椭圆上，且∠OP A ＝120°，求椭圆的离心率． 10．(2015·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭 圆的离心率是( )A.22 B.2－1C ．2－ 2 D.2－12 2．(2014·清远高二期末)“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12” 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．(2015·济南历城高二期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点 P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是________． 4．(2014·青海省西宁)已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 2 20＝1的左、右顶点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF . (1)求点P 的坐标； (2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，且M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．

椭圆的简单几何性质导学案(定稿)

2.2.2椭圆的几何性质导学案 学习目标 1、掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e 的几何意义 2 、通过对椭圆标准方程的讨论，理解在解析几何中是怎样用代数方法研究几何问题的。 3 、初步利用椭圆的几何性质解决问题。 学习重点与难点 学习重点：椭圆的几何性质 学习难点：椭圆的几何性质的探讨以及a,b,c,e 的关系 复习旧知 （1）椭圆的定义: . （2）椭圆的标准方程： 焦点在x 轴上时： .焦点在y 轴上时： . （3）椭圆中a,b,c 的关系是: . 学习过程 一、课内探究 探究一：观察椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的形状，你能从图形上看出它的范围吗？ 它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 1 、范围 ： （1）从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是_________________。 椭圆上点的纵坐标的范围是.____________________。 （2）由椭圆的标准方程)0(122 22>>=+b a b y a x 知： ① 22a x ____1,即____ ≤≤x ____ ，② 22 b y ____ 1；即____≤≤y ___ 因此)0(122 22>>=+b a b y a x 位于直线 和__________围成的矩形里。

2 、对称性 （1）从图形上看，椭圆关于_________，__________，__________对称 （2）从方程上看，在椭圆的标准方程)0(122 22>>=+b a b y a x 中 ① 把x 换成-x 方程不变，说明图像关于__________轴对称。 ②把y 换成-y 方程不变，说明图像关于__________轴对称。 ③把x 换成-x ，同时把y 换成-y 方程不变，说明图形关于__________对称， 因此____________是椭圆的对称轴，_________是椭圆的对称中心， 椭圆的对称中心叫做___________。 3 、顶点： （1）椭圆的顶点: 椭圆与对称轴有______个交点， 分别为：1A ( , ) 2A ( , ) 1B ( , ) 2B ( , ) （2）线段1A 2A 叫做椭圆的_______，其长度为__________ 线段1B 2B 叫做椭圆的________，其长度为__________ a 和b 分别叫做椭圆的________和___________ 探究二：同为椭圆为什么有些椭圆“圆”些，有些椭圆“扁”些？是什么因素影响 了椭圆的扁圆程度？ 4 、椭圆的离心率： （1）定义：______________________________叫做椭圆的离心率， 用 表示，即____________= （2）由于a >c >0，所以离心率e 的取值范围是_____________ （3）若e 越接近1，则c 越接近a ，从而22c a b -=越____，因而椭圆越_______;若e 越接近0，则c 越接近0，从而22c a b -=越____，因而椭圆越接近于

椭圆的几何性质习题

$ 椭圆的几何性质习题 一、选择题(共60题) 1.圆6x + y =6的长轴的端点坐标是 A.(-1,0)?(1,0) B.(-6,0)?(6,0) C.(-6,0)?(6,0) D.(0,-6)?(0,6) 2.椭圆x + 8y =1的短轴的端点坐标是 A.(0,-42)、(0,42 ) B.(-1,0)、(1,0) C.(22,0)、(-2,0) D.(0,22)、(0,－ 22) 3.椭圆3x +2y =1的焦点坐标是 A.(0,－66)、(0,66) B.(0,-1)、(0,1) C.(-1,0)、(1,0) D.(-66,0)、(66 ,0) ; 4.椭圆122 2 2=+a y b x (a >b >0)的准线方程是 A. 2 2 2 b a a y +± = B. 2 2 2 b a a y -± = C. 2 2 2 b a b y -± = D. 222b a a y +± = 5.椭圆14922=+y x 的焦点到准线的距离是 A.559554和 B.5514559和 C.5514554和 D.5 514 6.已知F 1、F 2为椭圆122 2 2=+b y a x (a ＞b ＞0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若 △AF 1B 的周长为16，椭圆离心率 23 = e ,则椭圆的方程是 A.13422=+y x B.131622=+y x C.1121622=+y x D.14162 2=+y x 7.离心率为23 ,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是 |

A.1422=+y x B.1422=+y x 或1422=+y x C.1 412 2 =+y x D.142 2=+y x 或1 16422=+y x 8.椭圆122 2 2=+b y a x 和k b y a x =+2222(k >0)具有 A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长?短轴 9.点A (a ,1)在椭圆1242 2=+y x 的内部,则a 的取值范围是 22 b >0)的离心率等于53，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋 转2π 后，所得的新椭圆的一条准线的方程y =316，则原来的椭圆方程是 / A.14812922=+y x B.16410022=+y x C.1162522=+y x D.1 9162 2=+y x 12.椭圆 14522 2++a y a x =1的焦点在x 轴上,则它的离心率的取值范围是 A.(0,51) B.(51,55)] C.??? ??55,0 D.???????1,55 13.椭圆1)6(4)3(2 2=++-m y x 的一条准线为7=x ，则随圆的离心率e 等于 A.21 B.22 C.23 D.41 14.已知椭圆的两个焦点为F 1?F 2,过F 2引一条斜率不为零的直线与椭圆交于点A ?B ,则 三角形ABF 1的周长是 .24 C 15.已知椭圆的长轴为8，短轴长为43，则它的两条准线间的距离为 .16 C

学案 52山西大学附中高二年级椭圆及其简单几何性质(2)

山西大学附中高二年级(上) 导学设计 编号52 椭圆及其简单几何性质(2) 【学习目标】 1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质； 2．椭圆与直线的关系． 【学习重点】椭圆与直线的关系 【学习难点】椭圆与直线的关系 【学习过程】 一、导学 复习1：椭圆22 11612 x y +=的焦点坐标是（ ）（ ）；长轴长 、短轴长 ；离心率 ． 复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？ 探究： 问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？ 问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？ 反思：点与椭圆的位置如何判定？ 二、导练 例1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门 位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另 一个焦点2F ，已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =，试建立适当的坐标系，求 截口BAC 所在椭圆的方程． 变式：若图形的开口向上，则方程是什么？ 小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在 坐标轴． 例2 已知椭圆22 1259 x y +=，直线l ：45400x y -+=。椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？ 变式：最大距离是多少？ 练1已知地球运行的轨道是长半轴长81.5010a km =?，离心率0.0192e =的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．

椭圆的标准方程和几何性质练习题(供参考)

椭圆的标准方程和几何性质练习题一 1. 若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ，b 满足( ) A ．a 2>b 2 B.1a <1b C ．01b >0，所以0b>0)。由点P(2,3)在椭圆上知2243a b +=1。又|PF 1|，|F 1F 2|，PF 2|成等差数列，则|PF 1|+|PF 2|=2|F 1F 2|，即2a=2×2c ，c 1,a 2= 又c 2=a 2-b 2，联立得a 2=8，b 2=6 3. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23 ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( ) A ．23 B ．6 C ．43 D ．12 答案：C 如图，设椭圆的另外一个焦点为F ，则△ABC 的周长为|AB | ＋|AC |＋|BC |＝(|AB |＋|BF |)＋(|AC |＋|CF |)＝4a ＝43。 4. 已知椭圆x 2＋my 2＝1的离心率e △????12，1，则实数m 的取值范围是 ( ) A. ????0，34 B. ????43，＋∞ C. ????0，34△????43，＋∞ D. ????34，1△????1，43 答案：C 在椭圆x 2＋my 2＝1中，当0＜m ＜1时，a 2＝1m ，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1m －1，

椭圆的简单几何性质(二)

第2课时：椭圆的简单几何性质（二） 【学习目标】 １．进一步熟悉和掌握椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率等）； ２．掌握求曲线方程的一些基本方法； ３．会利用椭圆的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题。 【知识线索】 椭圆两种标准方程的性质比较 定义 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于 2 1 F F）的点的轨迹 标准方程 )0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b y a x )0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b x a y 图形 焦点坐标 范围 对称性 顶点坐标 离心率 c b a, ,的含义及关系 【知识建构】 1.椭圆中方程思想的应用； 2.注意椭圆的焦点的位置的确定； 3.利用椭圆的定义接相关椭圆问题是很重要的方法。 【典例透析】 高二选修2-1：第二章圆锥曲线与方程 四环节导思教学导学案 课时目标呈现 目标导航 课前自主预习 新知导学 疑难导思课中师生互动 x A2 B2 F2 y O A1 B1 F1 y O A1 B1 x A2 B2 F1 F2

例1．与椭圆)0(2 32 2>=+λλy x 有相同的离心率，且过点)2,32(的椭圆的标准方程是 例2．如图，点B A ,分别是椭圆 120 362 2=+y x 长轴的左、右端点， 点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴的上方， PF PA ⊥。 （1）求点P 的坐标； （2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。 【课堂检测】 1.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为_______． 2.已知点P 是椭圆14 52 2=+y x 上的一点，且以点P 及焦点1F ，2F 为定点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标。 【课堂小结】 y F O A B x 课后训练提升 达标导练 M P

椭圆几何性质学案

椭圆的简单几何性质学习案 一、课程阅读学习目标 1．通过阅读椭圆标准方程和图形，使学生掌握椭圆的几何性质. 2．认真研读椭圆的几何性质，理解实质。 3．掌握椭圆的几何性质的简单运用 二、阅读学习建议 1．认真阅读椭圆的几何性质 2．认真研读重点性质 3．阅读难点是离心率 第一课时 1 阅读椭圆标准方程和图形， 猜想：椭圆有哪些几何性质 2研读教材 (1)对称性 问题1：请同学们观察刚才这个图形在x轴的上方、下方，y轴的左侧、右侧有怎样的关系呢？ 问题2;一般的椭圆是否也具有这种对称性，你能根据方程来进行研究吗？ 对称性:在上任取一点P（x,y）则P点关于x轴、y轴和坐标原点的对称点分别是（x,-y）（-x，y）、（-x，-y），而代入方程知这三个对称点都适合方程，即点P关于x轴、y 轴和坐标原点的对称点仍然在椭圆上，可得结论。 总结： （2）顶点 （大屏幕展示所表示的图形） 问题3：请同学们继续观察这个椭圆与坐标轴有几个交点呢？一般的椭圆与坐标轴有几个交点呢？ 问题4：你能根据方程求得四个交点的坐标吗？ 总结;顶点的定义,结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长半轴长、短半轴长，点明方程中a、b的几何意义。 （3）范围 问题5：（据图）如果过、、分别作y轴的平行线，过、分别做x 轴的平行线，则这四条直线将构成___________, 椭圆在矩形__________这说明了椭圆有____________,x、y的范围_____________________ ______; （4）离心率 通过前面的探讨，我们知道椭圆是有范围的，即它围在一个矩形框内。有了前面这几个性质，我们就可以很快地作出焦点在x轴上的椭圆的草图了教师在黑板上示范作图（先找到标准方程所表示的椭圆与坐标轴的四个交点，画出矩形框，光滑曲线连接，并注意对称性） 练习：请同学们根据这种作图方法，在同一坐标系下画出方程和所示的椭圆，并思考这两个椭圆的形状有何不同？ 实物展台展示画图，指出一个扁一些，一个圆一些。

椭圆的简单几何性质练习题

. 课时作业(八) [学业水平层次] 一、选择题 1．(2015·人大附中月考)焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为3 5 的椭圆的标准方程是( ) ＋y 236＝1 ＋ y 2 64 ＝1 ＋y 2 16 ＝1 ＋y 2 9 ＝1 【解析】 本题考查椭圆的标准方程．由题意知2b ＝8，得 b ＝4，所以b 2 ＝a 2 －c 2 ＝16，又e ＝c a ＝3 5 ，解得c ＝3，a ＝5，又 焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 225＋y 2 16 ＝1，故选C. $ 【答案】 C 2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( ) 【解析】 由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝1 2 . 【答案】 A 3曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 2 25－k ＝1(0

A ．有相等的焦距，相同的焦点 ） B ．有相等的焦距，不同的焦点 C ．有不等的焦距，不同的焦点 D ．以上都不对 【解析】 曲线x 225＋y 29＝1的焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋ y 2 25－k ＝1(0＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B. 【答案】 B 4．已知O 是坐标原点，F 是椭圆x 24＋y 2 3＝1的一个焦点，过F 且 与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为( ) B ．－513 D ．－21313 # 【解析】 由题意，a 2＝4，b 2＝3， 故c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. 不妨设M (1，y 0)，N (1，－y 0)，所以124＋y 2 3 ＝1， 解得y 0＝±3 2 ， 所以|MN |＝3，|OM |＝|ON |＝12 ＋? ?? ??322＝132. 由余弦定理知 cos ∠MON ＝|OM |2＋|ON |2－|MN |2 2|OM ||ON | ＝

《椭圆的简单几何性质》教学反思.doc

《椭圆的简单几何性质》教学反思 数学组冶有得 为了提高年轻教师的业务能力和专业素养，学校邀请乌市专家到我校听年轻教师上课, 为了上好木节课，我做了充分准备，下面我从的前期准备、课堂自我感觉及专家评课等方面进行反思，反思如下： 一、课前准备：在前期认真翻看了课木和课标，并多次请教粟登科老师、高志华老师；根据木班学生的实际情况制定了木节的教学目标、教学重难点，列出了框架，再依据框架撰写了教学设计、导学案并制作ppt。 二、课堂自我感觉：从课堂上来看，学生反应积极，教学进程流畅，学生对于知识点达到了掌握和理解，同时能紧跟着老师的思路；基木实现了木节课的预期目标，可惜的是最麻一道练习没处理完。 三、专家评课：一是优点：本节课采用了数形结合的数学思想，更加直观、形象的说明的椭圆的几何性质，使得将难度降低，学生更容易理解、掌握；讲练结合，讲完一个性质练习一道题，使得学生巩同了所学内容，更进一步加深了记忆；课堂较顺利，推进的速度也比较快, 板书较为桀齐；课堂采用了几何曲板，使得复杂的问题简单化。问题的设置较好，层层递进, 使得与学生的互动也比较多，充分体现了新课标要求，以学生为本，将课堂还给学生。 二是缺点：在推到离心率公式的时候速度过快，没有足够的时间去分析和挖掘；例1的讲解只采用了代数法讲解，若结合图形就更能说明问题，学生也更容易理解；本节课的容最较大。四、课后反思： 1.细节决定成败。细节是往往我们忽略的地方，如在复习椭圆的定义时没有强调（| PF】I + I PF2 |= 2a（2a >\ F}F2 |）,如果不满足条件（2a>2c）,那么这个点的轨迹就不是椭圆了，所以要注重教学内容的严谨性。 2.对个别学生的关注度不够，通过检杏笔记和练习本发现上课时没有动笔，一两个学生有打嗑睡的现象。 3.教学语言还需要锤炼。在叙述椭圆的离心率时，语言的表达不是那么精准，也不到位。尔对于一个教师来说最基木就是能够把白己的知识准确的、简单的传授给学生，把复杂的问题简单化，使学生更容易接受，让学生更加认可你。 4?对于教材的挖掘有所欠缺，如叙述离心率是课本上有详细的解答，描述的也比较到位。 五、听专家课的一些想法：乌市专家在高三（14）班上了一节公开课《解三角形》，作为高三的复习课，我们上课的方式一般会是知识梳理、讲解例题、课堂练习；对于公式的推到、背景很少讲解，但是赵老师先复习了最基础的、最简单的公式（三角形的面积公式、锐角三角函数）；Z后利用这两个公式一步步得出了面积公式、正弦定理、余弦定理及推论，使学生更加熟悉了并会应用公式，记忆也比较牢固；然后出了一些较为简单的高考题型进行练习, 最示讲解两道相对复杂的例题。从上课的模式、心态、语言表达等方面给我留下了深刻的印象，也是我学习的内容。 总Z,作为一名年轻教师，要不断的学习，不断地改进，争取早U成熟起来。通过这次的上课和听课，让我也认识到了白己的不足，明确了改进的方向，同时给白己也提出了很多问题，怎样让自己的教学方法多样化，吸引学生？怎样让学生喜欢数学？在今示的教学屮会更加努力。