10．6离散型随机变量及其分布列
1．离散型随机变量的概念
(1)随机变量
如果随机试验的结果可以用一个随着试验结果变化而变化的变量来表示，那么这样的变量叫做____________，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．
(2)离散型随机变量
所有取值可以__________的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列
(1)分布列
设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1，2，…，n)的概率P(X ＝x i)＝p i，则称表
为随机变量X的______________，简称为X的分布列．有时为了简单起见，也可用P(X＝x i)＝p i，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
(2)分布列的性质
①________________________；
②________________________.
3．常用的离散型随机变量的分布列
(1)两点分布(又称0－1分布、伯努利分布)
随机变量X的分布列为(0 则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率． (2)二项分布 如果随机变量X的可能取值为0，1，2，…，n，且X取值的概率P(X＝k)＝__________(其中k＝0，1，2，…， 则称X服从二项分布，记为____________． (3)超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为__________________(k＝0，1，2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称随 机变量X的分布列为超几何分布列，称随机变量X服从______________． 自查自纠 1．(1)随机变量(2)一一列出 2．(1)概率分布列 (2)①p i≥0，i＝1，2，3，…，n② i＝1 n p i＝1 3．(1)1－p(2)C k n p k q n－k C k n p k q n－k X～B(n，p) (3) C k M C n－k N－M C n N超几何分布 某射手射击所得环数X的分布列为 X45678910 P0.020.040.060.090.280.290.22 则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为() A．0.28 B．0.88 C．0.79 D．0.51 解：P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.故选C. 在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于 C47C68 C1015的是() A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 解：X服从超几何分布P(X＝k)＝ C k7C10－k 8 C1015，故k＝4.故选C. 随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a的值为() A. 1 110 B. 1 55C．110 D．55 解：因为随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，所以a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，则55a＝1，即a＝ 1 55.故选B. 已知X的分布列为 X－101 P 1 2 1 6a 设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是________． 解：由分布列的性质，a ＝1－12－16＝1 3， 所以E (X )＝－1×12＋0×16＋1×13＝－1 6， 因此E (Y )＝E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝23.故填2 3 . 从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布列为________． 解：依题意，随机变量X 的可能取值为0，1，2. 则P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 13C 1 2 C 25＝0.6， P (X ＝2)＝C 23 C 25 ＝0.3，故X 的分布列为 X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3 故填 X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3 类型一 随机变量的概念与性质 (1)设离散型随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：(Ⅰ)2X ＋1的分布列； (Ⅱ)|X －1|的分布列． 解：由分布列的性质知： 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，解得X 0 1 2 3 4 2X ＋1 1 3 5 7 9 |X －1| 1 1 2 3 从而由上表得所求分布列如下． (Ⅰ)2X ＋1的分布列： 2X ＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (Ⅱ)|X －1|的分布列： |X －1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 (2)随机变量ξ的分布列如下： ξ －1 0 1 P a b c 其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|ξ|＝1)＝____________，公差d 的取值范围是____________． 解：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|ξ|＝1)＝a ＋c ＝2 3 . 又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d ≤1 3. 故填2 3；⎣⎡⎦ ⎤－13，13. 【点拨】①研究随机变量的取值，关键是准确理解所定义的随机变量的含义．明确随机变量所取的值对应的试验结果是进一步求随机变量取这个值时的概率的基础．②注意离散型随机变量分布列的两个性质：p i ≥0，i ＝1，2，…，n ；∑i ＝1n p i ＝1.③随机变量可能取某一区间内任意值，无法一一列出，则称这样的随机变量为连续型随 机变量，如“长江水位”“灯管寿命”等；正态分布即是一种重要的连续型随机变量的分布． 设随机变量X 等可能取值1，2，3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝________． 解：由于随机变量X 等可能取1，2，3，…，n .所以取到每个数的概率均为1 n .所以P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＋P (X ＝3)＝3 n ＝0.3，因此n ＝10.故填10. 类型二 求离散型随机变量的分布列 袋子中有1个白球和2个红球． (1)每次取1个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数X 的分布列； (2)每次取1个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次，求取球次数X 的分布列； (3)每次取1个球，有放回，共取5次，求取到白球次数X 的分布列． 解：(1)X ＝1，2，3.P (X ＝1)＝13；P (X ＝2)＝A 12 A 33＝13； P (X ＝3)＝A 22 A 33＝13. 所以X 的分布列是 X 1 2 3 P 13 13 13 (2)X ＝1，2，3，4，5.P (X ＝k )＝⎝⎛⎭⎫ 23k －1 ×1 3 ，k ＝1，2，3，4. P (X ＝5)＝⎝⎛⎭⎫234 . 故X 的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 13 29 427 881 1681 (3)因为X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，所以X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭ ⎫235－k ，其中k ＝0，1，2，3，4，5. 【点拨】求随机变量的分布列，一要弄清什么是随机变量，建立它与随机事件的关系；二要把随机变量的所有值找出，不要遗漏；三是准确求出随机变量取每个值的概率，确定概率和为1后写出分布列．对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别．一般地，无放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率，放回抽样由分步计数原理求随机变量对应的概率． (2017·天津)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，1 4. (1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：(1)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14 ， P (X ＝1)＝1 2×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＝1124， P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×14＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＋12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝1 24. 所以，随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 14 1124 14 124 随机变量X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝13 12 . (2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0) ＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14＝1148. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为11 48 . 类型三 超几何分布 (2015·天津)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛． (1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 解：(1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23 C 4 8＝635. 故事件A 发生的概率为6 35 . (2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4. P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3 C 48(k ＝1，2，3，4)． 故随机变量X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 114 37 37 114 故随机变量X 的数学期望E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝5 2 . 【点拨】①超几何分布的概率计算公式从古典概型的角度加以理解更易记忆：P (X ＝k )＝C k M C n － k N －M C n N ，即恰取了k 件次品的概率＝次品中取了k 件×正品中取了n －k 件 N 件产品中任取n 件.②当n 较小，N 较大时，超几何分布的概率计算可以近似 地用二项分布来代替．也就是说虽然超几何分布是不放回抽样，二项分布是放回抽样，但是当n 较小而产品总数N 很大时，不放回抽样近似于放回抽样．③超几何分布在产品检验中经常用到． (2017·山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望E (X )． 解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则P (M )＝C 48 C 510＝518. (2)由题意知X 可取的值为：0，1，2，3，4，则 P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 1 4 C 510＝521 ， P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34 C 510＝521， P (X ＝4)＝C 16C 44 C 510＝142 ， X 0 1 2 3 4 P 142 521 1021 521 142 X 的数学期望是 E (X ) ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4) ＝0＋ 1×521＋2×1021＋3×521＋4×1 42＝2. 1．求离散型随机变量的分布列的步骤 (1)明确随机变量的所有可能取值，以及每个值所表示的意义，判断一个变量是否为离散型随机变量，主要看变量的值能否按一定的顺序一一列出． (2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率．对于古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率等，都要能熟练计算． (3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质∑i ＝1 n p i ＝1验证． 2．分布列的结构为两行，第一行为随机变量X 所有可能的取值，第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率．在每一列中，上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率． 3．可用超几何分布解决的题目涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，且往往由明显的两部分组成，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等．注意弄清楚超几何分布与二项分布的区别与联系． 1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值的个数是( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．25 解：X 的所有可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．故选B. 2．下列表中可以作为离散型随机变量分布列的是( ) 解：A 中ξ的取值出现了重复性；B 中P (ξ＝0)＝－14<0；C 中∑i ＝1 3P (ξi )＝15＋25＋35＝6 5>1.故选D. 3．(2015·合肥模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍，试验一次要么成功要么失败，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( ) A ．0 B.12 C.13 D.2 3 解：X 可能取值为0或1，而P (X ＝1)＝ 2P (X ＝0)，且P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1.所以P (X ＝0)＝1 3 .故选C. 4．(2015·安徽模拟)一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，所有的球除颜色外完全相同．连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，则下列概率等于（n －m ）A 2m A 3 n 的是( ) A ．P (X ＝3) B ．P (X ≥2) C ．P (X ≤3) D ．P (X ＝2) 解：由超几何分布知该式对应取球3次，第3次才取到黑球的概率，所以P (X ＝2)＝A 1n －m A 2m A 3n ＝（n －m ）A 2 m A 3n .故 选D. 5．设ξξ －1 0 1 P 12 1－2q q 2 则q 的值为( ) A ．1 B ．1± 2 2 C ．1＋ 22 D ．1－22 解法一：由分布列的性质，有 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0， q 2 ≥0，12＋1－2q ＋q 2 ＝1， 解得q ＝1－2 2 . 解法二：由1－2q ≥0 q ≤1 2 ，可排除A 、B 、C ，故选D. 6．若P (ξ≤x 2)＝1－β，P (ξ≥x 1)＝1－α，其中x 1 D ．1－β(1－α) 解：由分布列性质可有：P (x 1≤ξ≤x 2)＝P (ξ≤x 2)＋P (ξ≥x 1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．故选B. 7．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P (ξ＝2)＝____________． 解：ξ的可能取值为0，1，2，3， 所以P (ξ＝2)＝C 13C 12C 14＋C 23C 22C 24C 2 6＝27 90＝310.故填310 . 8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200投资成功 投资失败 192例 8例 则该公司一年后估计可获收益的期望是____________元． 解：由题意知，一年后获利6 000元的概率为0.96，获利－25 000元的概率为0.04，故一年后收益的期望是6 000×0.96＋(－25 000)×0.04＝4 760(元)．故填4 760. 9．某高校的一科技小组有5名男生，5名女生，从中选出4人参加全国大学生科技大赛，用X 表示其中参加 大赛的男生人数，求X 的分布列． 解：依题意随机变量X 服从超几何分布， 所以P (X ＝k )＝C k 5C 4－ k 5 C 410 (k ＝0，1，2，3，4)． 所以P (X ＝0)＝C 05C 45C 410＝142，P (X ＝1)＝C 15C 35C 410＝521，P (X ＝2)＝C 25C 25C 410＝10 21， P (X ＝3)＝C 35C 15C 410＝521，P (X ＝4)＝C 45C 0 5 C 410＝142 ， 所以X 的分布列为 10.(2017·湖北荆门调考)某市每年中考都要举行实验操作考试和体能测试，初三某班共有30名学生，下表为该班学生的这两项成绩，例如表中实验操作考试和体能测试都为优秀的学生人数为6人．由于部分数据丢失，只 知道从这班30人中随机抽取一个，实验操作成绩合格，且体能测试成绩合格或合格以上的概率是1 5 . (1)试确定a 、b 的值； (2)从30人中任意抽取3人，设实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ. 解：由表格数据可知，实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上的学生共有(4＋a )人，记“实验操 作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上”为事件A ，则P (A )＝4＋a 30＝1 5，解得a ＝2，所以b ＝30－24－ a ＝4.所以a 的值为2， b 的值为4. (2)由于从30位学生中任意抽取3位的结果数为C 330，其中实验操作成绩和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为15人，从30人中任意抽取3人，其中恰有k 个实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的结果 数为C k 15C 3－ k 15， 所以从30人中任意抽取3人，其中恰有k 人实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的概率为： P (ξ＝ k )＝C k 15C 3－ k 15 C 330，(k ＝0，1，2，3)，ξ的可能取值为0，1，2，3， 则P (ξ＝0)＝C 015C 315C 330＝13116，P (ξ＝1)＝C 115C 2 15 C 330＝45116， P (ξ＝2)＝C 215C 115C 330＝45116，P (ξ＝3)＝C 315C 015 C 330＝13116 ， 所以ξ的分布列为 P 13116 45116 45116 13116 Eξ＝0×13116＋1×45116＋2×45116＋3×13116＝174116＝3 2 . 11．(2015·陕西)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下： T (分钟) 25 30 35 40 频数(次) 20 30 40 10 (1)求T 的分布列与数学期望E (T )； (2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 解：(1)由统计结果可得T T (分钟) 25 30 35 40 频率 0.2 0.3 0.4 0.1 以频率估计概率得T 的分布列为 T 25 30 35 40 P 0.2 0.3 0.4 0.1 从而E (T )＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)． (2)设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同．设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”． 解法一：P (A )＝P (T 1＋T 2≤70)＝P (T 1＝25，T 2≤45)＋P (T 1＝30，T 2≤40)＋P (T 1＝35，T 2≤35)＋P (T 1＝40，T 2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91. 解法二：P (A )＝P (T 1＋T 2>70)＝P (T 1＝35，T 2＝40)＋P (T 1＝40，T 2＝35)＋P (T 1＝40，T 2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09， 故P (A )＝1－P (A )＝0.91. 已知一个口袋中装有n 个红球(n ≥1且n ∈N *)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则为中奖，否则不中奖． (1)当n ＝3时，设三次摸球(每次摸球后放回)中奖的次数为ξ，求ξ的分布列； (2)记三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P ，当n 取多少时，P 最大． 解：(1)当n ＝3时，每次摸出两个球， 中奖的概率P ＝C 13C 12 C 25＝35. 由题意知ξ的可能值为0，1，2，3， 故有 P (ξ＝0)＝C 03× ⎝⎛⎭⎫253＝8125；P (ξ＝1)＝C 1 3×35×⎝⎛⎭⎫252 ＝36125 ； P (ξ＝2)＝C 23× ⎝⎛⎭⎫352 ×25＝54125；P (ξ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫353 ＝ 27125. ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 或P (ξ＝i )＝C i 3×⎝⎛⎭⎫35i ×⎝⎛⎭ ⎫253－i ，i ＝0，1，2，3. (2)设每次摸球中奖的概率为p ，则三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P (ξ＝2)＝C 23·p 2·(1－p ) ＝－3p 3＋3p 2，0 由P ′＝－9p 2＋6p ＝－3p (3p －2)知，在⎝⎛⎭⎫0，23上P 为增函数，在⎝⎛⎭⎫23，1上P 为减函数，所以当p ＝23 时，P 取得最大值． 又p ＝C 1n ·C 12C 2n ＋2＝4n （n ＋1）（n ＋2）＝23 ，即n 2－3n ＋2＝0，解得n ＝1或n ＝2. 所以当n 取1或2时，P 最大． 高中数学--离散型随机变量及其分布列 1．若随机变量X 的概率分布列为 且p 1＝1 2p 2，则p 1等于( ) A.1 2 B.1 3 C.14 D.16 【解析】 由p 1＋p 2＝1且p 2＝2p 1可解得p 1＝1 3. 【答案】 B 2．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i 2a (i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)等于( ) A.19 .16 C.13 D.14 【解析】 ∵12a ＋22a ＋3 2a ＝1，∴a ＝3， P (X ＝2)＝22×3＝1 3. 【答案】 C 3．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X ，则X 的所有可能取值个数为( ) A ．25 B ．10 C ．7 D ．6 【解析】 X 的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9. 【答案】 C 4．随机变量X 的分布列如下： 其中a ，b ，c 【解析】 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝1 3，∴P (|X |＝1) ＝a ＋c ＝2 3 . 【答案】 2 3 5．(2012·安徽高考)某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A 类试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有n ＋m 道试题，其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题，以X 表示两次调题工作完成后，试题库中A 类试题的数量． (1)求X ＝n ＋2的概率； (2)设m ＝n ，求X 的分布列． 【解】 (1)X ＝n ＋2表示两次调题均为A 类型试题，概率为n m ＋n ×n ＋1m ＋n ＋2 ＝n (n ＋1) (m ＋n )(m ＋n ＋2) . (2)m ＝n 时，每次调用的是A 类型试题的概率为P ＝1 2，随机变量X 可取n ，n ＋1，n ＋ 2. P (X ＝n )＝(1－p )2＝1 4， P (X ＝n ＋1)＝2p (1－p )＝1 2 ， P (X ＝n ＋2)＝p 2＝1 4，所以X 的分布列为 课时作业 【考点排查表】 专项-离散型随机变量及其分布列 知识点 1．随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下： 此表称为离散型随机变量P ( X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列． (2)分布列的性质：① p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；① 11 =∑=n i i p 3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称X 服从两点分布，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率． (2)超几何分布 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n － k N －M C n N ，k ＝0,1,2，…，m ， 其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ①N *. 如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布． 题型一离散型随机变量的理解 【例1】下列随机变量中，不是离散型随机变量的是( ) A ．某个路口一天中经过的车辆数X B ．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度X C ．某超市一天中来购物的顾客数X D ．小马登录QQ 找小胡聊天，设X ＝? ???? 1，小胡在线 0，小胡不在线 【例2】写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和X ； (2)某汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y 表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数． 【例3】袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示事件“放回5个红球”的是( ) A ．ξ＝4 B ．ξ＝5 C ．ξ＝6 D ．ξ≤5 【例4】袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，在有放回取出的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是 ( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．25 【过关练习】 1.指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． ①掷一枚质地均匀的硬币5次，出现正面向上的次数； ②掷一枚质地均匀的骰子，向上一面出现的点数； ③某个人的属相随年龄的变化； ④在标准状态下，水结冰的温度． 2.某人射击的命中率为p (0 10．6离散型随机变量及其分布列 1．离散型随机变量的概念 (1)随机变量 如果随机试验的结果可以用一个随着试验结果变化而变化的变量来表示，那么这样的变量叫做____________，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示． (2)离散型随机变量 所有取值可以__________的随机变量，称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列 (1)分布列 设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1，2，…，n)的概率P(X ＝x i)＝p i，则称表 为随机变量X的______________，简称为X的分布列．有时为了简单起见，也可用P(X＝x i)＝p i，i＝1，2，…，n表示X的分布列． (2)分布列的性质 ①________________________； ②________________________. 3．常用的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布(又称0－1分布、伯努利分布) 随机变量X的分布列为(0 机变量X的分布列为超几何分布列，称随机变量X服从______________． 自查自纠 1．(1)随机变量(2)一一列出 2．(1)概率分布列 (2)①p i≥0，i＝1，2，3，…，n② i＝1 n p i＝1 3．(1)1－p(2)C k n p k q n－k C k n p k q n－k X～B(n，p) (3) C k M C n－k N－M C n N超几何分布 某射手射击所得环数X的分布列为 X45678910 P0.020.040.060.090.280.290.22 则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为() A．0.28 B．0.88 C．0.79 D．0.51 解：P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.故选C. 在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于 C47C68 C1015的是() A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 解：X服从超几何分布P(X＝k)＝ C k7C10－k 8 C1015，故k＝4.故选C. 随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a的值为() A. 1 110 B. 1 55C．110 D．55 解：因为随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，所以a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，则55a＝1，即a＝ 1 55.故选B. 已知X的分布列为 X－101 P 1 2 1 6a 设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是________． 【高中数学】离散型随机变量及分布列 【知识总结】 1．随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做__ ______. 常用希腊字母ξ、η等表示. 说明： (1)随机试验中，可能出现的结果都可以用一个数表示，如掷一枚硬币，“正面向上”用数字“1”表示，即X =1； (2)这个数在随机试验前是无法预先确定的，在不同的随机试验中，结果可能有变化，说明随机试验的结果可以用 一个变量来表示。如某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…命中10环等结果，即可能结果用0，1，2，…，10这11个数表示； (3)所谓随机变量不过是建立起基本事件空间与实数的一个对应关系。如设随机变量X 为骰子掷出的点数，于是 X =1，2，3，4，5，6，或者说X 的值域为{}1,2,3,4,5,6； (4)随机变量是把随机试验的结果映射为实数，函数是把实数映射为实数，与函数概念本质上是相同的。在函数 的概念中，函数()f x 的自变量是实数x ，随机变量的概念中，随机变量X 的自变量是随机试验的结果。 2. 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做_____________. 说明：随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量，我们只研究离散型随机变量。 3. 连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做_____________. 4. 分布列：设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表 ξ x 1 x 2 … x i … P P 1 P 2 … P i … 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 5. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1。由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： (1) . (2)________ _____. 特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和. 即???+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ 注意： (1)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，ξ=0，表示正面向上，ξ=1， 表示反面向上 (2)若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量 6．求离散型随机变量X 的分布列的步骤： (1)确定X 的可能取值i x （i =1，2，…，n ）； (2)求出相应的概率()i i P X x p ==； (3)列成表格的形式. 学而思高中完整讲义：随机变量及其分布列.版块一.离散型随机变量 及其分布列1.学生版 1． 离散型随机变量及其分布列 ⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y 表示． 如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X 所有可能的取值 x 与该取值对应的概率p (1,2,,)i n =列表表示： X 的分布列． 2．几类典型的随机分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X X 的分布列满足二点分布． 两点分布又称01-布又称为伯努利分布． ⑵超几何分布 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为 C C ()C m n m M N M n N P X m --== (0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ， n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列． ⑶二项分布 1．独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为 ()C (1)k k n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =． 知识内容 高三数学专题复习——离散型随机变量及其分布列 教学目标：了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列 教学重点：离散型随机变量的期望值、方差的意义 教学难点：会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差 考点1 由统计数据求离散型随机变量的分布列 (1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义． 考点2 由古典概型求离散型随机变量的分布列 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种． 考点3 由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列 包含的问题有相互独立事件同时发生的概率求法以及分布列，期望的相关知识，公式应用，计算准确是解题的关键．考点1 由统计数据求离散型随机变量的分布列 典例1 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数 分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学 (1)求这两名同学的植树总棵数Y的分布列； (2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望． 变式2 A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下： 对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率 A1和B12 3 1 3 A2和B22 5 3 5 A3和B32 5 3 5 现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为X，Y (1)求X，Y的分布列；(2)求E(X)，E(Y)． 类型题： 在本次考试中共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的。评分标准规定：‘每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分。’某考生每道题都给出一个答案。某考生已确定有9道题的答案是正确的，而其余 第7节离散型随机变量及其分布列 最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用. 知识梳理 1.离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X 取每一个值x i(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，则表 称为离散型随机变量X的概率分布列. (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①p i≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋p n＝1. 3.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为， 其中p＝P(X＝1)称为成功概率. (2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品， 则P(X＝k)＝C k M C n－k N－M C n N ，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N， n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布. 基础自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.( ) (2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义.( ) (3)如果随机变量X的分布列由下表给出， 则它服从两点分布.( ) (4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布.( ) 解析对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故(1)不正确；对于(2)，因为离散型随机变量的所有结果都可用数值表示，其中每一个数值都有明确的实际的意义，故(2)不正确；对于(3)，X的取值不是0和1，故不是两点分布，(3)不正确；对于(4)，因为超几何分布是不放回抽样，所以试验中取到黑球的次数X不服从超几何分布，(4)不正确. 答案(1)×(2)×(3)×(4)× 2.(选修2－3P49练习2改编)抛掷一枚质地均匀的硬币2次，则正面向上次数X 的所有可能取值是________. 答案0，1，2 3.(选修2－3P77A1改编)已知离散型随机变量X的分布列为 则常数q＝________. 第五节离散型随机变量及其分布列 复习目标学法指导 1.了解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的 概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性. 2.了解条件概率和两个事件相互独立的概念. 3.理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题. 1.了解离散型随机变量的意义,能利用古典概型的概率公式求分布列. 2.了解两个事件相互独立及独立重复试验的概念,能把复杂事件转化为n个互斥事件的和或几个独立事件的和求解,并注意每个公式的适用条件. 一、离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量. 二、离散型随机变量的分布列及性质 1.一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为 x1,x2,…,x i,…,x n,X取每一个值x i(i=1,2,…,n)的概率P(X=x i)=p i,则表 X x1x2…x i…x n P p1p2…p i…p n 称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列. 2.离散型随机变量的分布列的性质 (1)p i≥0,i=1,2,…,n. (2)p1+p2+…+p n=1. 三、相互独立事件 一般地,对两个事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),则称A,B相互独立. 四、两点分布 若随机变量X的分布列为 X 0 1 P 1-p p 则称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率. 五、独立重复试验与二项分布 1.独立重复试验 一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. 2.二项分布 一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,事件A恰好发生k次的概率为 P(X=k)=C k p k(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n). n 此时称随机变量X服从二项分布,记作X～B(n,p),并称p为成功概率. 离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量及其分布列知识点 离散型随机变量是指在有限个或无限个取值中，只能取其中一个数值的随机变量。离散型随机变量可以用分布列来描述其概率分布特征。 离散型随机变量的概率分布列 概率分布列是描述离散型随机变量的概率分布的表格，通常用符号P 表示。其一般形式如下： P(X=x1)=p1 P(X=x2)=p2 P(X=x3)=p3 … P(X=xn)=pn 其中，Xi表示随机变量X的取值，pi表示随机变量X取值为Xi的概率。 离散型随机变量的特点 1. 离散型随机变量只取有限或无限个取值中的一个，变化不连续。 2. 取值之间具有间隔或间距。 3. 每个取值对应一个概率，概率分布可用概率分布列来体现。 4. 概率之和为1。 离散型随机变量的常见分布 1. 0-1分布 0-1分布是指当进行一次伯努利试验时，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p的离散型随机变量的分布。其分布列为： P(X=0)=1-p P(X=1)=p 2. 二项分布 二项分布是进行n次伯努利试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p时，恰好出现k次事件发生的离散型随机变量的分布。其分布列为： P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k) 其中，C(n,k)为从n中选出k个的组合数。 3. 泊松分布 泊松分布是指在某个时间段内，某一事件发生的次数符合泊松定理的离散型随机变量的分布。其分布列为： P(X=k)=λ^ke^(-λ)/k! 其中，λ为这段时间内事件的平均发生次数。 总结 离散型随机变量及其分布列是概率论中的重要基础概念之一，具有广泛的应用。掌握离散型随机变量及其分布列的知识点对于深入理解概率论及其实际应用有重要意义。 离散型随机变量及其分布列 1．随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果的变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及其性质 (1)概念：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则下表 称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时为了表达简单，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0(i ＝1，2，…，n )； ②∑n i ＝1 p i ＝1． 3．常见的离散型随机变量分布列 (1)两点分布 若随机变量X 服从两点分布，则其分布列为 其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． (2)超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －M C n N ，k ＝0，1，2，…，m ，即： 其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N * . 如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．( ) (2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( ) (4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．( ) (5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( ) (6)由下表给出的随机变量X 的分布列服从两点分布．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)× (教材习题改编)设随机变量X 的分布列如下表所示，则p 4的值是( ) A.1 B ．12 C ．14 D ．18 解析：选D.由分布列的性质，得12＋14＋18＋p 4＝1，所以p 4＝1 8 . 设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k 15，k ＝1，2，3，4，5，则P ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12 理科数学复习专题 统计与概率 离散型随机变量及其分布列 知识点一 1、离散型随机变量：随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，X,Y ,x h g g g 表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。 2、离散型随机变量的分布列及其性质： （1）定义：一般的，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,,,,i n x x x x g g g g g g X 取每一个值(1,2,,)i x i n =g g g 的概率为()i i P X x p ==，则表 称为离散型随机变量离散型随机变量X ，简称X 的分布列。 （2）分布列的性质：①0,1,2,,i p i n ?g g g ；②11n i i p ==å （3）常见离散型随机变量的分布列： ①两点分布：若随机变量X 的分布列为, 则称X 服从两点分布，并称(1)p P x ==为成功概率 ②超几何分布：一般的，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则()(0,1,2,,k n k M N M n N C C P X k k m C --===g g g g 其中m i n {,m M n =，且* ,,,,)n N M N n M N N ＃?,称分布列为超几何分布列。如果随机变量X 的分布列 题型一 由统计数据求离散型随机变量的分布列 【例1】已知一随机变量的分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 值为( ) A. 5 【变式1】 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 则该公司一年后估计可获收益的期望是________． 题型二 由古典概型求离散型随机变量的分布列（超几何分布） 【例2】在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1) 该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值X 元的概率分布列． 离散型随机变量及其分布 知识点一：离散型随机变量的相关概念； 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机 变量随机变量常用希腊字母、等表示 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随 机变量叫做离散型随机变量。若 •是随机变量， b ，其中a 、b 是常数，则 也 是随机变量 连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的 变量就叫做连续型随机变量 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系 ：离散型随机变量与连续型随机 变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一 列出，而连续性随机变量的结果不可以 列出 离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量•可能取的值为x i 、X 2…人取每 个值x i =1,2,…的概率为P( =Xi) = 口，则称表 为随机变量•的概率分布，简称•的分布列 知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质； 任何随机事件发生的概率都满足：0乞P(A)叮，并且不可能事件的概率为0 ,必然 事件的概率为1.由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： (1) Pi 王0, i =1,2,…；(2) R+巳+川=1 特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 概率的和即P 「_x k ) =x k ) • P(F ； =x k 』•丨1( 知识点二：两点分布: 特别提醒：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布，则称X 服从两点分布，而称P(X=1) 为成功率 • (2) 两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 (3) 两点分布列的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是 否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列 来研究• 知识点三：超几何分布: 般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则 C k C n _k p （x 二k ）二 M N 川，k =0,1, m,m = min{M ,n},其中,n N,M < N.称超几何分布列. 若随机变量X 的分布列: 则称X 的分布列为两点分布列 2021届高考数学（理）考点复习 离散型随机变量的分布列、均值与方差 1．离散型随机变量的分布列 (1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量． (2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表 X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，具有如下性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； ② i ＝1n p i ＝1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 2．两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中0 取值的平均水平． (2)方差 称D (X )＝∑i ＝1n (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度， 并称其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差． 4．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b . (2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) 5．超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有x 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n － k N －M C n N (k ＝0,1,2，…，m )，即 X 0 1 … m P C 0M C n － N －M C n N C 1M C n － 1 N －M C n N … C m M C n － m N －M C n N 其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *. 如果一个随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布． 1．（2019•浙江）设0＜a ＜1．随机变量X 的分布列是 X 0 a 1 P 则当a 在（0，1）内增大时，（ ） A ．D （X ）增大 B ．D （X ）减小 C ． D （X ）先增大后减小 D ．D （X ）先减小后增大 【答案】D 【解析】E （X ）＝0a 1， D （X ）＝（ ）2 （a ）2 （1 ）2 离 散型随机变量的分布列 一.基本理论 (一)基本概念 (1) 随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样的变量叫做随机变量来表示, 随机变量常用希腊字母ηξ,等表示. (2) 离散型随机变量: 如果对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.例如,射击命中环数ξ是一个离散型随机变量. (3) 连续型随机变量 如果随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的随机变量叫连续型随机变量. （二）离散型随机变量的分布列 1.设离散型随机变量ξ可能取的值为 ,,,21n x x x ,ξ取每一个值)4,3,2,1( =i x i 的概率 i i p x P ==)(ξ,则称下表 分布列的表达式可以是如下的几种(A)表格形式; (B)一组等式 (C)压缩为一个带i 的形式. 2.由概率的性质知,任一离散型随机变量的分布列具有下列二个性质: (A),3,2,1,0 =≥i p i (B)121=++ p p 3. 求分布列三种方法 (1)由统计数据得到离散型随机变量分布列； (2)由古典概型求出离散型随机变量分布列； (3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列． 4..离散型随机变量的期望与方差 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布列为 则称 ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望或平均数.或均值. +-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的均方差.简称方差.ξD 叫标 准差. 性质: (1)22)()(ξξξE E D -= (2)b aE b a E +=+ξξ)( (3)ξξD a b a D 2 )(=+ 高中数学-离散型随机变量的分布列 离散型随机变量的分布列 一.基本理论 (一)基本概念 (1) 随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样的变量叫做随机变量来表示, 随机变量常用希腊字母ηξ,等表示. (2) 离散型随机变量: 如果对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.例如,射击命中环数ξ是一个离散型随机变量. (3) 连续型随机变量 如果随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的随机变量叫连续型随机变量. （二）离散型随机变量的分布列 1.设离散型随机变量ξ可能取的值为ΛΛ,,,2 1 n x x x ,ξ 取每一个值)4,3,2,1(Λ=i x i 的概率 i i p x P ==)(ξ,则称下表 ξ 1 x 2 x … n x … P 1 p 2 p … i p … 为随机变量ξ的概率分布,简称为ξ的分布列. 分布列的表达式可以是如下的几种(A)表格形式; (B)一组等式 (C)压缩为一个帶i 的形式. 2.由概率的性质知,任一离散型随机变量的分布列具有下列二个性质: (A),3,2,1,0Λ=≥i p i (B)1 2 1 =++Λp p 3. 求分布列三种方法 (1)由统计数据得到离散型随机变量分布列； (2)由古典概型求出离散型随机变量分布列； (3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列． 4..离散型随机变量的期望与方差 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布列为 ξ 1 x 2x … n x … P 1 p 2 p … i p … 则称Λ Λ++++=n n p x p x p x E 2 2 1 1ξ为ξ的数学期望或平均 数.或均值. Λ Λ+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的均方差. 简称方差. ξ D 叫标准差. 高三数学第三册第一章『离散型随机变量的分布列』知识点 高三数学第三册第一章『离散型随机变量的分布列』知识点 一、离散型随机变量的分布列汇总 1.离散型随机变量的分布列 (1)随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，等表示. (2)离散型随机变量 对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. (3)分布列 设离散型随机变量X可能取得值为x1，x2，，xi，xn，X取每一个值xi(i=1,2，，n)的概率为P(X=xi)=pi，则称表 Xx1x2?xi?xnPp1p2?pi?pn为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列. (4)分布列的两个性质 ①pi0，i=1,2，，n;②p1+p2++pn=_1_. 2.两点分布 如果随机变量X的分布列为 X10Ppq其中01，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布．注意： 一类表格 统计就是通过采集数据，用图表或其他方法去处理数据，利用一些重要的特征数信息进行评估并做出决策，而离散型随机变量的分布列就是进行数据处理的一种表格.第一行数据是随机变量的取值，把试验的所有结果进行分类，分为假设干个事件，随机变量的取值，就是这些事件的代码;第二行数据是第一行数据代表事件的概率，利用离散型随机变量的分布列，很容易求出其期望和方差等特征值. 两条性质 (1)第二行数据中的数都在(0,1)内; (2)第二行所有数的和等于1. 三种方法 (1)由统计数据得到离散型随机变量分布列; (2)由古典概型求出离散型随机变量分布列; (3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列. 二、例题解析 1.抛掷均匀硬币一次，随机变量为(). A.出现正面的'次数 B.出现正面或反面的次数 C.掷硬币的次数 D.出现正、反面次数之和 解析抛掷均匀硬币一次出现正面的次数为0或1. 答案A 2.如果X是一个离散型随机变量，那么以下命题中假命题是(). A.X取每个可能值的概率是非负实数 B.X取所有可能值的概率之和为1 高考数学总复习历年考点知识与题型专题讲解 离散型随机变量及分布列 考点一随机变量及离散型随机变量 【例1】（1）（2020·河北沧州市一中高二月考）下列变量中，不是随机变量的是（）A．一射击手射击一次命中的环数 B．标准状态下，水沸腾时的温度 C．抛掷两颗骰子，所得点数之和 D．某电话总机在时间区间（0，T）内收到的呼叫次数 （2）．（2020·全国高一课时练习）下列随机变量中不是离散型随机变量的是（）A．掷5次硬币正面向上的次数M B．从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y C．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T D．将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X 【答案】（1）B（2）C 【解析】（1）因为标准状态下，水沸腾时的温度是一个常量，所以不是随机变量.故选：B （2）在A中，掷5次硬币，正面向上的次数M可能取的值，可以按一定次序一一列出，故M是离散型随机变量 在B中，从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y可能取的值，可以按一定次序一一列出， 故Y是离散型随机变量 在C中，某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T可以取某一区间内的一切值，无法一一列出， 故T不是离散型随机变量 在D中，将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X可能取的值，可以按一定次序一一列出，故X是离散型随机变量故选：C 【举一反三】 1．（2021·南昌县莲塘）先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是 () A．出现7点的次数B．出现偶数点的次数 C．出现2点的次数D．出现的点数大于2小于6的次数 【答案】A 高考总复习：离散型随机变量及其分布列、期望与方差 【考纲要求】 一、离散型随机变量及其分布列 （1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性； （2）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 二、离散型随机变量的均值与方差 （1）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念； （2）能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、离散型随机变量及其分布列 一、离散型随机变量的概念 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，,ξη，……表示。所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。 要点诠释： 1．所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系。这与函数概念在本质上是相同的，不同的是函数的自变量是实数，而随机变量的自变量是试验结果。 2．如果随机变量可能取的值为有限个，则我们能够把其结果一一列举出来。 3．随机变量是随机试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件，在学习中，要注意随机变量与以前所学的变量的区别与联系。 二、离散型随机变量的分布列及性质 1．一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,i n x x x x ，，，， X 取每一个值 (=1,2,,)i x i n 的概率(=)=i i P X x p ，则表 称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时为了表达简单，也用等式 (=)=,=1,2,,i i P X x p i n 表示X 的分布列。 2．离散型随机变量的分布列的性质 ①i p ≥0（=1,2,,i n ）； ② 1 =1n i i p =∑。 要点诠释：求离散型随机变量的分布列时，首先确定随机变量的极值，求出离散型随机变量的每一个值对应的概率，最后列成表格。 1．分布列可由三种形式，即表格、等式和图象表示。在分布列的表格表示中，结构为2行n+1列，第1行表示随机变量的取值，第2行是对应的变量的概率。 2．求分布列分为以下几步：（1）明确随机变量的取值范围；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格。 分布的求解应注意以下几点：（1）搞清随机变量每个取值对应的随机事件；（2）计算必须准确无误；（3）注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确。 考点二、常见离散型随机变量的分布列 1.两点分布 若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为， 其中1p P(X )==称为成功概率。 2.几何分布 独立重复试验中，某个事件第一次发生时所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量。 ""k =ξ表示在第k 次独立重复试验时该事件第一次发生， 如果把第k 次重复试验时事件A 发生记作A k ，事件A 不发生记作k A ，且高中数学--离散型随机变量及其分布列
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第五节 离散型随机变量及其分布列(知识梳理)
离散型随机变量及其分布列知识点
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选修2-3离散型随机变量及其分布知识点
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