几何证明每日一题（六）
1.已知：如图，在△ABC 中，点D，E 分别在边AB，AC 上，
且DE∥BC，∠1+∠2=180°．
求证：∠3=∠B．
2.如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于D，DG∥AB 交AC 于点G，
点E，F 分别在边AB，BC 上，且∠1=∠2．
求证：EF⊥BC．
3.已知：如图，
∠AED=∠A+∠B．求证：
DE∥CB．
2
4.如图，在△ABC 中，点D，E 在边BC 上，AD 平分∠BAC，
F 为DA 延长线上一点，FE⊥BC 于E，∠B=35°，∠C=65°，
求∠F 的度数．
5.已知：如图，在△ABC 中，D 为BC 边上一点，DF⊥AB 于
F，DE∥AC 交AB 边于点E，
∠A=∠B．求证：∠1=∠2．
【参考答案】
1.证明：如图，
∵∠1+∠2=180°（已知）
∠1+∠DFE=180°（平角的定义）
∴∠2=∠DFE（同角的补角相等）
∴ AB∥EF（内错角相等，两直线平行）
∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）
∵DE∥BC（已知）
∴∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等）
∴∠3=∠B（等量代换）
2.证明：如图，
∵DG∥AB（已知）
∴∠2=∠BAD（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠1=∠BAD（等量代换）
∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行）
∴∠ADB=∠EFB（两直线平行，同位角相等）
∵AD⊥BC（已知）
∴∠ADB=90°（垂直的定义）
∴∠EFB=90°（等量代换）
∴EF⊥BC（垂直的定义）
3.证明：如图，延长DE 交AB 于点F
∵∠AED 是△AEF 的一个外角（外角的定义）
∴∠AED=∠A+∠AFE（三角形的一个外角等于和它不相邻
的两个内角的和）
∵∠AED=∠A+∠B（已知）
∴∠AFE=∠B（等式的性质）
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
4.解：如图，
在△ABC 中，∠B=35°，∠C=65°（已知）
∴∠BAC=180°-∠B-∠C
=180°-35°-65°
=80°（三角形的内角和等于180°）
∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）
∴∠BAD= 1
∠BAC
2
1
= ×80°
2
=40°（角平分线的定义）
∵∠ADE 是△ABD 的一个外角（外角的定义）
∴∠ADE=∠BAD+∠B
=40°+35°
=75°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内
角的和）
∵EF⊥BC（已知）
∴∠FED=90°（垂直的定义）
∴∠F=90°-∠ADE
=90°-75°
=15°（直角三角形两锐角互余）
5.证明：如图，
∵DE∥AC（已知）
∴∠A=∠BED（两直线平行，同位角相等）
∵∠A=∠B（已知）
∴∠BED=∠B（等量代换）
∵DF⊥AB（已知）
∴∠DFE=∠DFB=90°（垂直的定义）
∴∠1+∠BED=90°，∠2+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠1=∠2（等角的余角相等）
初中三角形总复习 【知识精读】 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段： （1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质 （1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180° （3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。 4. S S ABE ?? 基础。 5. 三角形边角关系、性质的应用 【分类解析】
例1. 锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的范围是（ ） A. 1020?<?∠∠B C 90 ∴>?390∠B ，即∠B >?30 ∴?<
全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的 思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是 全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相 等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 常见辅助线写法： ⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂足为D ⑶延长AB至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点
上海初中数学几何证明练习之全等三角形 一、填空题（每小题2分，共20分） 1.如图，△ABC ≌△DEB ，AB =DE ，∠E =∠ABC ，则∠C 的对应角为 ，BD 的对应边为 . 2.如图，AD =AE ，∠1=∠2，BD =CE ，则有△ABD ≌△ ，理由是 ，△ABE ≌ （第1题） （第 2题） （第4题） 3.已知△ABC ≌△DEF ，BC =EF =6cm ，△ABC 的面积为18平方厘米，则EF 边上的高是 cm. 4.如图，AD 、A′D′分别是锐角△ABC 和△A′B′C′中BC 与B′C′边上的高，且AB = A′B′，AD = A′D′，若使△ABC ≌△A′B′C′，请你补充条件 （只需填写一个你认为适当的条件） 5. 若两个图形全等，则其中一个图形可通过平移、 或 与另一个三角形 完全重合. 6. 如图，有两个长度相同的滑梯（即BC ＝EF ），左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向 的长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝___________度 （第6题） （第7题） （第8题） 7．已知：如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点， 则DN ＋MN 的最小值为__________． 8．如图，在△ABC 中，∠B ＝90o ，D 是斜边AC 的垂直平分线与BC 的交点，连结AD ，若 ∠DAC ：∠DAB ＝2：5，则∠DAC ＝___________． 9．等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90o ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若AB ＋AD ＝8cm ， M N D C B A E D C B A
2020全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编 一、三角形中的计算和证明综合题 1.（2020贵州黔东南州）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形． 探究发现 （1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由． 拓展运用 （2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长． （3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长． 2.（2020黑龙江牡丹江）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC， 交射线CA于点F．请解答下列问题：
（1）当点E 在线段AB 上，CD 是△ACB 的角平分线时，如图①，求证：AE +BC ＝CF ；（提示：延长CD ，FE 交于点M ．） （2）当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是△ACB 的角平分线时，如图②；当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是△ACB 的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE ，BC ，CF 之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若DE ＝2AE ＝6，则CF ＝ ． 3.（2020武汉）问题背景：如图（1），已知△ABC ∽△ADE ，求证：△ABD ∽△ACE ； 尝试应用：如图（2），在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ＝30°，AC 与DE 相交于点F ，点D 在BC 边上， AD BD = √3，求 DF CF 的值； 拓展创新 如图（3），D 是△ABC 内一点，∠BAD ＝∠CBD ＝30°，∠BDC ＝90°，AB ＝4，AC ＝2√3，直接写出AD 的长． 4.（2020湖南常德）已知D 是Rt △ABC 斜边AB 的中点，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，过点D 作Rt △DEF 使∠DEF ＝90°，∠DFE ＝30°，连接CE 并延长CE 到P ，使EP ＝CE ，连接BE ，FP ，BP ，设BC 与DE 交于M ，PB 与EF 交于N ． （1）如图1，当D ，B ，F 共线时，求证： ①EB ＝EP ； ②∠EFP ＝30°； （2）如图2，当D ，B ，F 不共线时，连接BF ，求证：∠BFD +∠EFP ＝30°．
几何证明-常用辅助线 (一)中线倍长法: 例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤2 1 (AB+AC) 分析：要证明AD ﹤ 2 1 (AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD ，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB+AC>2AD 中，出现了2AD ，即中线AD 应该加倍。 证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连CE ，则AE=2AD 。 在△ADB 和△EDC 中， ???? ? AD =DE ∠ADB =∠EDC BD =DC ∴△ADB ≌△EDC(SAS) ∴AB=CE 又 在△ACE 中， AC+CE ＞AE ∴AC+AB ＞2AD ，即AD ﹤ 2 1 (AB+AC) 小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。 课题练习:ABC ?中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=AC C
例2:中线一倍辅助线作法 △ABC中 方式1：延长AD到 E，AD是BC边中线 使DE=AD， 连接BE 方式2：间接倍长 作CF⊥AD于F，延长MD到N， 作BE⊥AD的延长线于使DN=MD， 连接BE 连接CD 例3：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围 例4：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE
如何做几何证明题 【知识精读】 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 【分类解析】 1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 例1. 已知：如图1所示，?ABC 中，∠=?===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。 求证：DE ＝DF C F B A E D 图1
分析：由?ABC 是等腰直角三角形可知，∠=∠=?A B 45，由D 是AB 中点，可考虑连结CD ，易得CD AD =，∠=?DCF 45。从而不难发现??DCF DAE ? 证明：连结CD AC BC A B ACB AD DB CD BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD =∴∠=∠∠=?=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，， ∴?∴=??A D E CDF DE DF 说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD ，因为CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED 到G ，使DG ＝DE ，连结BG ，证?EFG 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。 例2. 已知：如图2所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。 求证：∠E ＝∠F D B C F E A 图2 证明：连结AC 在?ABC 和?CDA 中， AB CD BC AD AC CA ABC CDA SSS B D AB CD AE CF BE DF ===∴?∴∠=∠==∴=，，，??() 在?BCE 和?DAF 中，
八年级下册三角形几何证明 1．三角形的一个外角等于_________的两个内角的和． 2．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠C=________． 3．在△ABC中，∠B=45°，∠C=72°，那么与∠A相邻的一个外角等于_______． 4．如图1所示，△ABC中，D，E分别是AC，BD上的点， 且∠A=65°，∠ABD=∠DCE=30?°，则∠BEC的度数是_________． (1) (2) (3) (4) 5．按第4题图所示，请你直接写出∠A，∠BEC，∠EDC之间的大小关系，用“55°或70°D．以上答案都不对 9．若三角形的三个外角的度数之比为2：3：4，则与之对应的三个内角的度数之比为（）A．4：3：2 B．3：2：4 C．5：3：1 D．3：1：5 10．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（） A．∠B+∠A=∠C B．∠A：∠B：∠C=2：3：5 C．∠A=2∠B=3∠C D．一个外角等于和它相邻的一个内角 11．如图3所示，在△ABC中，∠ABC与∠BAC的平分线相交于点O，若∠BOC=120°，则∠A为（） A．30°B．60°C．80°D．100° 12．如图所示，在锐角△ABC中，CD和BE分别是AB和AC边上的高，且CD和BE?交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（） A．150°B．130°C．120°D．100°
2020年中考数学冲刺难点突破几何证明问题 专题十一几何证明之三角形中作辅助线造全等 1、如图1，OA＝2，OB＝4，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC． （Ⅰ）求C点的坐标； （Ⅱ）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值； （Ⅲ）如图3，点F坐标为（﹣4，﹣4），点G（0，m）在y轴负半轴，点H（n，0）x轴的正半轴，且FH⊥FG，求m+n的值． 2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在△ABC内，AM平分∠BAC．点D与点M在AC所在直线的两侧， AD⊥AB，AD＝BC，点E在AC边上，CE＝AM，连接MD、BE． （1）补全图形； （2）请判断MD与BE的数量关系，并进行证明； （3）点M在何处时，BM+BE会有最小值，画出图形确定点M的位置；如果AB＝5，BC＝6，求出BM+BE 的最小值．
3、如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝90°，交OA于点D，OB于点E． （1）求证：CD＝CE； （2）图1中，若OC＝3，求OD+OE的长； （3）如图2，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝60°，交OA于点D，OB于点E．若OC＝3，求四边形OECD的面积． 4、在△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的高，若AB＝10，BC＝． （1）求CD的长． （2）动点P在边AB上从点A出发向点B运动，速度为1个单位/秒；动点Q在边AC上，从点A出发向点C运动，速度为v个单位/秒（v＞1）．设运动的时间为t（t＞0），当点Q到点C时，两个点都停止运动． ①若当v＝2时，CP＝BQ，求t的值． ②若在运动过程中存在某一时刻，使CP＝BQ成立，求v关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值 范围．
1.在△ABC、△AED中，AB=AC,AD=AE,且∠CAB=∠DAE,若将△AED绕点A沿逆时针方向旋转，使D、E、B 在一条直线上，CE=BD成立吗？若成立，请说明理由 1.已知点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，若E、F分别是BC、CD的中点，G在AE、BF的交点上 求证：GD=AD 2.已知BD、CE是△ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点，求证：（1）EM=DM(2)MN⊥DE 3.正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点。（1）若∠EAF=45·。求证：EF=BE+DF(2)若△AEF绕A点旋转，保持∠EAF=45·，问△CEF的周长是否随△AEF的位置的变化而变化？ 4.已知正方形ABCD的边长为1，BC、CD上各有一点E、F，如果△CEF的周长为2，求∠EAF的度数 5.已知正方形ABCD，F为BC中点E为CD边上一点，且满足∠BAF=∠FAE求证：AF=BC+CE 6.已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点（不与A、C重合），PE⊥BC,PF⊥CD于点F，（1）若四边形PECF 绕点C旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请证明之；若不是，请举出反例（2）试选取正方形ABCD 的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在旋转的过程中长度始终相等，并证明之 求任意三角形面积公式的方法？ 7.某人在上午6点至7点之间去长跑，开始时看表，分针与时针成110度，跑完后再看，有、又成110度，问此人跑了多久？（表没停） 8.已知三角形ABC是等腰三角形,角C=90度, 1,操作并观察,如图将三角板的45度角的顶点于点C重合,使这个角落在角ACB的内部,两边分别与斜边AB交于E,F两点,(E, F不与AB重合)然后将这个角绕点C在角ACB的内部旋转,观察并指出在点E,F的位置发生什么变化时,AE , EF , FB中最长的线段 2探索AE , EF , FB这三条线段能否组成直角三角形?如果能加以证明!!! 9.有浓度为百分之五十五的酒精溶液若干升，加入一升浓度为百分之八十的酒精溶液后，酒精溶液浓度变为百分之六十。如果要得到百分之七十的酒精溶液需要再加入多少升浓度为百分之八十的酒精溶液？ 10. 22÷33333=() 11. 1/2 , 1/3 , 2/3 , 1/4 , 2/4 , 3/4 , 1/5 , 2/5 , 3/5 , 4/5...... 问：第一百个分数是！？ 12..若方程组：kx-y=1和4x+my=2无解，则k与m的值分别为K= ，M= . 13.一个数的平方根是a +b 和4a-6b+13，那么这个数是 1
目录 1、考点总分析 2、知识点讲解 3、出题的类型 4、解题思路 5、相关练习题
几何证明题专题 本题的主要知识点（中考中第3道，分值为8分） 七年级上第4章几何图形初步七年级下第5章相交线与平行线 八年级上第11章三角形第12章全等三角形第13章轴对称 八年级下第17章勾股定理第18章平行四边形 九年级上第23章旋转第24章圆 九年级下第27章相似第28章投影与视图 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。 几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。 这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的"因为"、"所以"逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。这类题目出法相当灵活，不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法，而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。 知识结构图
1绕点型(手拉手模型) 遇600旋60°,造等边三角形 遇90°旋90°，造等腰直角遇等腰旋 顶角，造旋转全等遇中点旋1800，造中 心对称 (2)共旋转(典型的手拉手模型) 例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ (1)△ ABE ◎△ DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4)△ AGB ◎△ DFB (5)△ EGB ◎△ CFB (6)BH 平分/ AHC (7)GF // AC 变式练习2、如果两个等边三角形△ ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明: ("△ ABE ◎△ DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4) AE与DC的交点设为H,BH平分/ AHC [D山3 Vi壮-U (I) ? 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明 (1) △ ABE ◎△ DBC (2) AE=DC (3) AE与DC的夹角为60。 (4) AE与DC的交点设为H,BH 平分/ AHC (1自旋转：自旋转构造方法 ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明:
3、(1)如图1,点C是线段AB上一点，分别以AC, BC为边在AB的同侧作等边△ ACM和厶CBN ,连接AN , BM .分别取BM, AN的中点E, F,连接CE, CF, EF.观察并猜想△ CEF的形状，并说明理由. (2)若将(1)中的“以AC , BC为边作等边△ ACM和厶CBN”改为“以AC, BC为腰在AB的同侧作等腰△ ACM和△ CBN，”如图2,其他条件不变，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由. B 例4、例题讲解： 1.已知△ ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B,C重合)，以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列)，使/ DAF=60 ° ,连接CF. (1)如图1,当点D在边BC上时，求证：① BD=CF 宓AC=CF+CD. (2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、 CD之间存在的数量关系，并说明理由； ⑶如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。 2、半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起, 成对称全等。 D A D A M x N rt B D 例1、如图，正方形ABCD的边长为1, AB,AD上各存在一点P、0,若厶APQ的周长为2, A P
中考几何题证明思路总结 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 二、证明两角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 三、证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等，错角相等或同旁角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。 6.平行于同一直线的两直线平行。 7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。 四、证明两直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。 10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。 11.利用半圆上的圆周角是直角。
初一几何---三角形 一.选择题 (本大题共 24 分) 1.以下列各组数为三角形的三条边，其中能构成直角三角形的是（） （A）17，15，8 （B）1/3，1/4，1/5 （C) 4，5，6 (D) 3，7，11 2.如果三角形的一个角的度数等于另两个角的度数之和，那么这个三角形一定是（） (A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)等腰三角形 3.下列给出的各组线段中，能构成三角形的是（） (A)5，12，13 (B)5，12，7 (C)8，18，7 (D)3，4，8 4.如图已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AE=AC，连接DE，则下列结论中，不正确的是（） (A) DC=DE (B) ∠ADC=∠ADE (C) ∠DEB=90°(D) ∠BDE=∠DAE 5.一个三角形的三边长分别是15，20和25，则它的最大边上的高为（） （A）12 （B）10 （C) 8 (D) 5 6.下列说法不正确的是（） （A）全等三角形的对应角相等 （B）全等三角形的对应角的平分线相等 （C）角平分线相等的三角形一定全等 （D）角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 7.两条边长分别为2和8，第三边长是整数的三角形一共有（） (A)3个(B)4个(C)5个(D)无数个 8.下列图形中，不是轴对称图形的是（） （A）线段MN （B）等边三角形（C) 直角三角形(D) 钝角∠AOB 9.如图已知：△ABC中，AB=AC，BE=CF，AD⊥BC于D，此图中全等的三角形共有（） (A)2对(B)3对(C)4对(D)5对 10.直角三角形两锐角的平分线相交所夹的钝角为（） (A)125°(B)135°(C)145°(D)150°
初二数学 几何证明 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证： EF=AC A D B C
5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 7. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD C D B B A C D F 2 1 E A D B C A
8. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 9. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 10. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 11. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 12. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE C D B B A C D F 2 1 E A
12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C 14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C A B C D D C B A F E
几何证明每日一题（六） 1.已知：如图，在△ABC 中，点D，E 分别在边AB，AC 上， 且DE∥BC，∠1+∠2=180°． 求证：∠3=∠B． 2.如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于D，DG∥AB 交AC 于点G， 点E，F 分别在边AB，BC 上，且∠1=∠2． 求证：EF⊥BC．
3.已知：如图， ∠AED=∠A+∠B．求证： DE∥CB．
2
4.如图，在△ABC 中，点D，E 在边BC 上，AD 平分∠BAC， F 为DA 延长线上一点，FE⊥BC 于E，∠B=35°，∠C=65°， 求∠F 的度数．
5.已知：如图，在△ABC 中，D 为BC 边上一点，DF⊥AB 于 F，DE∥AC 交AB 边于点E， ∠A=∠B．求证：∠1=∠2．
【参考答案】 1.证明：如图， ∵∠1+∠2=180°（已知） ∠1+∠DFE=180°（平角的定义） ∴∠2=∠DFE（同角的补角相等） ∴ AB∥EF（内错角相等，两直线平行） ∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等） ∵DE∥BC（已知） ∴∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等） ∴∠3=∠B（等量代换） 2.证明：如图， ∵DG∥AB（已知） ∴∠2=∠BAD（两直线平行，内错角相等） ∵∠1=∠2（已知） ∴∠1=∠BAD（等量代换） ∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行） ∴∠ADB=∠EFB（两直线平行，同位角相等） ∵AD⊥BC（已知） ∴∠ADB=90°（垂直的定义） ∴∠EFB=90°（等量代换） ∴EF⊥BC（垂直的定义） 3.证明：如图，延长DE 交AB 于点F ∵∠AED 是△AEF 的一个外角（外角的定义） ∴∠AED=∠A+∠AFE（三角形的一个外角等于和它不相邻 的两个内角的和） ∵∠AED=∠A+∠B（已知） ∴∠AFE=∠B（等式的性质） ∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行） 4.解：如图， 在△ABC 中，∠B=35°，∠C=65°（已知） ∴∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-35°-65° =80°（三角形的内角和等于180°） ∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）
八年级数学（上）几何证明专题练习题 1、已知：在"ABC 中，/ A=900, AB=AC 在BC 上任取一点 P ,作PQ// AB 交AC 于Q 作PR // CA 交BA 于R, D 是BC 的中点，求证：" RDQ 是等腰直角三角形。 已知：在"ABC 中，/ A=900, AB=AC D 是AC 的中点，AE ± BD, AE 延长线交 BC 于F ,求 证：/ ADB=/ FDC 已知：在"ABC 中BD CE 是高，在BD CE 或其延长线上分别截取 BM=AC CN=AB 求证: MAL NA 已知：如图（1），在△ ABC 中，BP 、CP 分别平分/ ABC 和/ ACB DE 过点P 交AB 于D,交 AC 于 E , 且 DE// BC 求证：DE - DB=EC 2、 3、 4、 C
5、在Rt A ABC 中，AB = AC, / BAC=90 ° , O 为BC 的中点。 (1) 写出点O到厶ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)； (2) 如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN= BM，请判断厶OMN 的形状，并证明你的结论。 7、如图，等腰三角形ABC中，AB = AC , / A = 90°, BD平分/ ABC , DE丄BC且BC = 10,求厶DCE的周长。 8 ?如图所示，已知AD是/ BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F,交AD于点E,连接AF ,求证：/ B= / CAF。 6、如图，△ ABC为等边三角形，延长 连结EC、ED，求证：CE=DE BC 到D，延长BA 到E, AE=BD ,
把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形. 常见平移模型 【引例】如图，A E F B 、、、四点在一条直线上，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =． 求证：CF DE = 模块一 平移型全等 知识导航 知识互联网 夯实基础 全等中的基本模型 F E D C B A
【解析】 ∵AC CE ⊥，BD DF ⊥ ∴90ACE BDF ∠=∠=? 在Rt ACE △和Rt BDF △中 AC BD AE BF =?? =? ∴()Rt Rt HL ACE BDF △≌△ ∴CE DF =，AEC BFD ∠=∠ ∴CEF DFE ∠=∠ 在CEF △和DFE △中 CE DF CEF DFE EF FE =?? ∠=∠??=? ∴CEF DFE △≌△ ∴CF DE = 【例1】 如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF = 求证：AFC DEB △≌△ 如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，图2，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由． 图1 F E D C B A 图2 F E D (C ) B A 图3 F E D C B A 常见轴对称模型 知识导航 模块二 对称型全等 能力提升
【例2】 ⑴如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 和CE 交于点O ，AO 的延长线交BC 于F ，则图中全等直角三角形的对数为（ ） A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 ⑵如图，ABE △和ADC △是ABC △分别沿着AB ，AC 翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________． 【例3】 如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ． 求证：AM AN =． 常见旋转模型： 夯实基础 能力提升 知识导航 模块三 旋转型全等 E D N M C B A 43 2 1 E D C B A D O F E C B A
直角三角形全等的判定与直角三角形的性质 【知识精要】 直角三角形全等的判定 1、如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为H.L ） 2、三角形全等的判定方法：S.S.S, S.A.S, A.S.A, A.A.S, 在直角三角形中仍可用 直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 4、在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 直角三角形中常用的辅助线 1、斜边的中线 2、斜边的高 3、等腰三角形底边中线或地边上的高构造直角三角形。 【精解名题】 例1、有两条高相等的锐角三角形是等腰三角形。 例2、如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，DE 垂直平分BC 于点D ，EF ⊥AC ，交AC 的延长线于点F 。求证：AB=AC+2CF. 提示：联结EB 、EC ，作EG ⊥AB 于点G 。 例3、如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 是BA 延长线上的一点，AF=2 1AB 。 求证：（1）DF=BE （2）DF ⊥BE
例4、如图，在锐角△ABC中，∠ABC=2∠C，AD⊥BC于点D，E为AC中点，ED的延长线交AB的延长线于点F . 求证：BF=BD 例5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E在AB上，AD=AC，BE=BC。 求证：∠DCE=45° 例6、如图，已知AB=AC，∠A=120°，MN垂直平分AB，交BC于点M，求证：CM=2BM 提示：联结AM 例7、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD//BC，BD=BC。求证：∠DCA=∠DBC
2018中考数学：几何证明题答题思路总结 几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的”因为”、”所以”逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。 这类题目出法相当灵活，不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法，而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。 所以对中考中最常出现的若干结论做了一个思路总结。 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆(或等圆)中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项(或两后项)相等的比例式中的两后项(或两前项)相等。 12.两圆的内(外)公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 二、证明两角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线(或高)平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角(或等角)的余角(或补角)相等。 6.同圆(或圆)中，等弦(或弧)所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 8.相似三角形的对应角相等。 9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等 三、证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。 6.平行于同一直线的两直线平行。 7.一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。 四、证明两直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
七年级数学几何证明题 1.如图，在ABC 中，D 在AB 上，且ΔCAD 和ΔCBE 都是等边三角形， 求证：（1）DE=AB ，（2）∠EDB=60° 2.如图，在ΔABC 中，AD 平分∠BAC ，DE||AC,EF ⊥AD 交BC 延长线于F 。求证： ∠FAC=∠B 3.已知，如图，在△ ABC 中，AD ，AE 分别是 △ ABC 的高和角平分线，若∠B=30 ∠C=50°求：（1），求∠DAE 的度数。（2） 试写出 ∠DAE 与 ∠C - ∠B 有何关系?（不必证明） 4、一个零件的形状如图，按规定∠A=90o ，∠ C=25o，∠B=25o，检验已量得∠BDC=150o，就判断这个零件不合格， 运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由。 C B A C D
D A B 5、如图,已知DF ∥AC,∠C=∠D,你能否判断CE ∥BD?试说明你的理由 6、如图,△ABC 中,D 在BC 的延长线上,过D 作DE ⊥AB 于E,交AC 于F. 已知∠A=30°,∠FCD=80°,求∠D 。 7、如图，BE 平分∠ABD ，CF 平分∠ACD ，BE 、CF 交于G ， 若∠BDC = 140°，∠BGC = 110°，则∠A ？ G F E D C B A 8、如图，AD ⊥BC 于D ，EG ⊥BC 于G ，∠E =∠1，求证AD 平分∠BAC 。
E D A E O D C B A E C B A 3 21 9、如图，直线DE 交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E ，交BC 延长线于F ， 若∠B ＝67°，∠ACB ＝74°，∠AED ＝48°，求∠BDF 的度数. 10、如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O ， 则∠AOC+∠DOB 11、如图，将两块直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起. （1）若∠DCE=350 ，求∠ACB 的度数； （2）若∠ACB=1400，求∠DCE 的度数； （3）猜想：∠ACB 与∠DCE 有怎样的数量关系，并说明理由 12、已知：直线AB 与直线CD 相交于点O ，∠BOC=45，
1、绕点型（手拉手模型） （1）自旋转：?????? ?，造中心对称遇中点旋 全等遇等腰旋顶角，造旋转 ，造等腰直角 旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法00 00018090906060 （2 ）共旋转（典型的手拉手模型） 例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （ 3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △ EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC
变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： (1)△ABE ≌△DBC (2)AE=DC (3)AE 与DC 的夹角为60。 （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC （1）如图1，点C 是线段 AB 上一点，分别以AC ，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACM 和△CBN ，连接AN ，BM ．分别取BM ，AN 的中点E ，F ，连接CE ，CF ，EF ．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由． （2）若将（1）中的“以AC ，BC 为边作等边△ACM 和△CBN”改为“以AC ，BC 为腰在AB 的同侧作等腰△ACM 和△CBN ，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例4、例题讲解： 1. 已知△ ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B,C 重合），以AD 为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1) 如图1，当点D 在边BC 上时，求证：① BD=CF ? ②AC=CF+CD. (2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系。