§3.4 随机变量函数的分布
对离散型随机变量，我们讨论过随机变量函数的分布问题，对一般的随机变量当然也存在同样的问题。例如，若ξ是N （2
,σμ）分布的随机变量，为了解决计算中的查表问题，
在中曾经引入变换
η=σ
ξa -
这个新出现的随机变量η就是原来的随机变量ξ的一个函数。现在来讨论连续型随机变量函数的分布问题，先介绍一个便于应用的定理。
定理3.1 设ξ是一个连续型随机变量，其密度函数为p (x)，又y =)(x f 严格单调，其反函数)(x h 有连续导数，则=η)(ξf 也是一个连续型随机变量，且其密度函数为
?
?
?<<*=其他,0|],)(|)([)('β
α?y y h y h p y （3.51） 其中
α=min{)(-∞f ,)(+∞f }
β=min{)(-∞f ,)(+∞f } (证明
略)
例3.11（略）
例3.12（略）
2χ—分布 我们先给出下述一个式子：
p (x,y)=?
?
???≤>Γ-0,00,)2(212x x x n
y n
我们通常把以上述（3.53）式(其中n 是参数)为密度函数的分布称为是自由度为n 的
2χ—分布（2χ读作“卡方”），并记作)(2
n χ，它是数理统计中一个重要的分布。
（一）和的分布
设),(ηξ是一个二维连续型随机变量，密度函数为p (x,y)，现在来求ηξζ+=的分布，按定义为
F ζ(y)= P (ζ 如果),(ηξ表示平面上点的坐标，则P (ηξ+ F ζ(y)= ??<+y x x dx dx x x p 2121 2 1 ),( = dx dx x x p )),((221?? ∞∞ -∞ ∞ - （3.54） 如果ξ与η是独立的，由（3.48）知P ξ(x)·P η(y)是(ηξ,)的密度函数，用P ξ(x)·P η(y)代替（3.54）式中的p (x 1,x 2)便得 F ζ(y) = dx dx x p x p ))()((221?? ∞∞ -∞ ∞-ηξ =dx dz x z p x p y ))()((11? ?∞ ∞-∞--ηξ = dz dx x z p x p y ))()((11?? ∞ -∞∞ --ηξ 由此可得 ζ 的密度函数为 F ζ(y)= F ' ξ(y)= dx x y p x p ? ∞ ∞ --)()(ηξ （3.55） 由对称性还可得 F ζ(y)= dx x p x y p ? ∞ ∞ --)()(ηξ （3.56） 由（3.55）或（3.56）式给出的运算称为卷积，通常简单地记作 P ζ=P ξ* P η 例3.13（略） 我们已经知道某些分布具有可加性，其实还有一些其它分布，也具有可加性，其中2 χ—分布的可加性在数理统计中颇为重要，我们这里顺便证明这个结论。为此，可以讨论更一般形式的一个分布—Γ分布。如果随机变量ξ具有密度函数为 p (x,y)=?? ???≤>Γ--0,00 ,)(1x x e x x βαααβ （3.57） （其中α>0, β>0为两个常数），这时称ξ是参数为（α,β）的Γ分布的随机变量，相应的分布称作参数为（α,β）的Γ分布，并记作Γ(α,β). 例3.14（略） （二）商的分布 设),(ηξ是一个二维连续型随机变量，密度函数为p (x 1,x 2)，现在来求η ξ ζ= 的分 布，按照定义 F ζ(y)= P (ζ η ζ ζ 利用（3.56）式，有 F ζ(y)= ?? p 2 21 2 121 ),( = ??><0;2 12 1 2221 ),(x y x x dx dx x x p + ??<<0;2 12 1 2221 ),(x y x x dx dx x x p = 20 121)),((2dx dx x x p y x ?? ∞ ∞ -+20 121)),((2dx dx x x p y x ?? ∞ -∞ 于是 ζ的密度函数为 P ζ(y)=F ' ξ(y)= 20 222),(dx x y x p x ? ∞ –20 222),(dx x y x p x ?∞ - = ? ∞ ∞ -dx x yx p x ),(|| （3.58） 例3.16（略） F —分布 我们先给出下述一个式子： P ζ(y)=2 122 2)()2 ()2()2( n m n m n m ny y m n m n n m +-+ΓΓ+Γ （3.59） 我们通常把以上述（3.59）式(其中m ，n 是参数)为密度函数的分布称为是参数为m ， n 的F —分布，并记作F (n ，m )，它也是数理统计中最常用的分布之一。 引理3.1 若随机变量ξ与η相互独立,又)(x f 、 )(x g 是两个连续或逐段连续的函数，则)(x f 与)(ηg 相互独立。 这个引理的结论在直觉上可以说是显然的。因为ξ与η的取值既然是独立的，也就是互相没有牵连，那么它们的函数)(x f 、)(x g 的取值也是没有牵连的，这就是说它们是独立的。 t —分布 我们先给出下述一个式子： P ζ(y)= 212 )1() 2 (2)21 ( +-+Γ+Γn n y n n π （3.60） 我们通常把以上述（3.60）式(其中n 是参数)为密度函数的分布称为是自由度为n 的t —分布它也是数理统计中常用的分布之一。 入分布函数时，我们已经知道描述一般随机变量的统计规律需要用分布函数 F (x)=P (x <ξ)，以代替离散场合用的分布列P (a =ξ)，在引入独立性的定义时，也作这 样的替代，这时就有下面的定义。 定义 3.5 设二维随机变量(ηξ,)的联合分布函数为F (x,y)，又ξ与η的分布函数为F ξ(x)、F η(y)，若对任意的(x,y)有 F (x,y)= F ξ(x)·F η(y) （3.47） 成立，则称随机变量ξ与η是相互独立的。 如果(ηξ,)是二维连续型随机变量，则ξ与η也都是连续型随机变量，它们的密度函数分别为P ξ(x)及P η(y)。这时容易验证ξ与η独立的充要条件为 P ξ(x)·P η(y)是(ηξ,)的密度函数 （3.48） 现在来验证这一结论。如果已知P ξ(x)·P η(y)是(ηξ,)的密度函数，就有 F (x,y)=dudv v p u p x y ? ? ∞-∞ -)(*)(ηξ = dv v p du u p x y ? ? ∞ -∞ -*)()(ηξ= F (x,y)= F ξ(x)·F η(y) 故（3.47）式成立；反之，若已知（3.47）式成立，则 F (x,y)= F ξ(x)·F η(y)= dv v p du u p x y ? ? ∞ -∞ -*)()(ηξ = dudv v p u p x y ?? ∞-∞ -)(*)(ηξ 对任意的(x,y)成立，因而P ξ(x)·P η(y)是(ηξ,)的密度函数（3.48）式成立。 由此可知，要判断连续型随机变量ξ与η是否独立？只要验证P ξ(x)·P η(y)是否是(ηξ,)的密度函数就可以了。一般说来，这是比较容易的。 例3.10 若二维随机变量(ηξ,)服从N (1a ,1a ,21σ,22σ,0)分布，问ξ与η是否独 立？ 解 这),(ηξ时有密度函数 ),(y x p = ])()([212 122 22212121 σσσπσa y a x e -+-- 由例3.8可知 P ξ(x)= 2 1 2 12)(121 σπσa x e -- P ξ(x)= 22 2 22)(2 21 σσa y e -- 显然这时P ξ(x)·P η(y)= p (x,y)成立，所以ξ与η相互独立。反之，若ξ与η独立，则必有ρ=0。所以对二维正态随机变量N (1a ,1a ,2 1σ,2 2σ,0)来说，ρ=0是它们相互独立的充要条件。 这一节我们从一般的n 维随机变量的定义出发，而后对二维随机变量作了较多的讨论，这主要是为了叙述和学习方便的缘故。其实，把对二维的讨论推广到n 维，并没有什么实质性的困难。例如，对n 维随机变量的独立性，就有下述定义。 定义3.6 设n 维随机变量(1ξ，2ξ，…，n ξ)的联合分布函数为F （x 1，x 2，… ， x n ），其边际分布为F 1ξ(x 1), F 2ξ(x 2),…, F n ξ(x n )，如果对任意的（x 1，x 2，… ，x n ），有 F （x 1，x 2，… ，x n ）= F 1ξ(x 1)·F 2ξ(x 2),…, F n ξ(x n ) （3.49） 成立，则称1ξ，2ξ，…，n ξ是n 个相互独立的随机变量。 如果(1ξ，2ξ，…，n ξ)是连续型随机变量，相应的边际密度函数为p 1ξ(x 1), p 2ξ(x 2),…, p n ξ(x n )，则的等价形式为 p 1ξ(x 1)·p 2ξ(x 2),…,p n ξ(x n )是(1ξ，2ξ，…，n ξ)的密度函数。 （3.50） 随机变量及其分布函数 将随机事件以数量来标识，即用随机变量描述随机现象的研究方法，它是定义在样本空间上具有某种可预测性的实值函数。 分布函数则完整的表述了随机变量。 一、 随机变量与分布函数 (1) 随机变量： 取值依赖于某个随机试验的结果（样本空间），并随着试验结果不同而变化的变量，称之为随机变量。 分布函数： [1] 定义： 设X 是一个随机变量，对任意实数x ，记作 (){}F x P X x ≤=，称()F x 为随机变量X 的分 布函数，又称随机变量X 服从分布()F x ，显然，函数 ()F x 的定义域为(),-∞+∞，值域为[0,1]。 [2] 性质： ?()F x 单调非降。 ?()0F -∞=、()1F +∞=。 ?()(0)F x F x =+，即()F x 一定是右连续的。 ?对于任意两个实数a b <， {}()()P a X b F b F a <≤=- ?对于任意实数0x ， 00 0{}()()P X x F x F x ==-- ?000{}1{}1()P X x P X x F x >=-≤=- ?000{}{)lim }(x x P X x P X x x F →- =≤<=- ?000{}1{}1()P X x P X x F x ≥=-<=-- 二、 离散型随机变量与连续型随机变量 (1) 离散型随机变量 [1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者 无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。其相应的概率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布或分布律，表格表示形式如下： [2] 性质： ?0i p ≥ ? 1 1n i i p ==∑ ?分布函数()i i x x F x p ==∑ ?1{}()()i i i P X x F x F x -==- (2) 连续型随机变量 [1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非 负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有： 设（X ，Y ）的联合密度函数为f （x ，y ），现求Z=X+Y 的概率密度。 令{(,)|}z D x y x y z =+≤，则Z 的分布函数为： (){} {}(,)((,))Z D z z y F z P Z z P X Y z f x y dxdy f x y dx dy +∞--∞ -∞ =≤=+≤==??? ? （1.1） 固定z 和y 对积分 (,)z y f x y dx --∞ ?作换元，令x y u +=，得 (,)(,)z y z f x y dx f u y y du --∞ -∞ =-?? （1.2） 于是 ()(,)[(,)]z z Z F z f u y y dudy f u y y dy du +∞+∞ -∞-∞ -∞ -∞ =-=-???? （1.3） 由概率论定义，即得Z 的概率密度为 ()(,)Z f z f z y y dy +∞-∞ =-? （1.4） 由X 与Y 的对称性，又可得 ()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞ =-? ， （1.5） 特别的，当X 与Y 相互独立时，有 ()()()()()Z X Y X Y F z f z y f y dx f x f z x dx +∞ +∞ -∞ -∞ =-=-? ? （1.6） 其中，()X f x 、()Y f y 分别是X 和Y 的密度函数。 式（1.6）又称为()X f x 和()Y f y 的卷积，常记为*()X Y f f z 。因此式（1.6）又称为独立和分布的卷积公式。 设（X ，Y ）的联合密度函数为f （x ，y ），又X Z Y =，现求X Z Y =的概率密度，Z 的分布函数为 1 2 (){} (,)(,)Z D D F z P Z z f x y dxdy f x y dxdy =≤=+???? （2.1） 而 1 (,)(,)yz D f x y dxdy f x y dxdy +∞ -∞=?? ? ? （2.2） 对于固定的z ，y ，积分 (,)yz f x y dx -∞ ?作换元x u y = （这里y>0），得 (,)(,)yz z f x y dx yf yu y du -∞ -∞ =?? （2.3） 于是 01 (,)(,)(,)z D z f x y dxdy yf yu y dudy yf yu y dydu +∞-∞+∞ -∞==????? ? （2.4） 类似的可得 2 (,)(,)(,)yz D z f x y dxdy f x y dxdy yf yu y dydu +∞ -∞-∞-∞ ==-??? ? ? ? (2.5) 故有 12 0()(,)(,)[(,)(,)][(,)]Z D D z z F z f x y dxdy f x y dxdy yf yu y dy yf yu y dy du y f yu y dy du +∞-∞ -∞ +∞-∞-∞ =+=-=?????? ? ?? (2.6) 有概率密度定义可得X Z Y = 的概率密度为 ()(,)Z f z y f yz y dy +∞ -∞ =? (2.7) 特别的，当X 与Y 相互独立时，有 ()()()Z X Y f z y f yz f y dy +∞-∞ =? (2.8) 8.随机变量的函数的分布 【教学容】：高等教育大学盛骤，式千，承毅编的《概率论与数理统计》 第二章第五节的随机变量的函数的分布 【教材分析】：本节课主要是在学生学习了随机变量的概念和随机变量的分布的基础上进行的教学；本节从随机变量的分布入手引入随机变量的函数的随机性特征， 即由自变量X 的统计规律性出发研究因变量Y 的统计性规律的问题；本节课的教学先讲授离散型随机变量的函数的分布接着讲连续型随机变量的函数的分布。让学生掌握两种不同的随机变量的分布的求解方法。其中，离散型随机变量的函数的分布是比较容易求得而连续型随机变量的函数的分布学生往往束手无策，因此，我在本次教学中，先复习分布函数和概率密度函数的关系，后通过简单例子来讲解，最后归纳总结 ，再研究连续型随机变量的函数的一种特殊情形的分布问题。最后导出一个重要的定理。 【学情分析】： 1、知识经验分析 学生具有一定的随机变量及其分布相关理论知识及微分学相关知识，通过前两次课的学习已具备一定的解题方法，本节课通过让学生观察、思考，教师启发、引导等教学方式，让学生自然过渡到随机变量的函数的分布的学习中。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的微积分的知识和随机变量的理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。 【教学目标】：掌握随机变量的函数的概率分布的求法。 【教学重点、难点】： 重点：离散型随机变量的函数的分布；连续型随机变量的函数的分布。 难点：连续型随机变量的函数的分布。 【教学方法】：讲授法 启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】： 一、问题引入 在实际中，人们常常对随机变量 X 的函数()Y g X =所表示的随机变量Y 更感兴趣。 第二章：随机变量与分布函数习题 一、“离散型随机变量与分布函数”习题： 1. 射手对靶子进行射击，用X 表示击中的环数，已知击中一环的概率为0.2，击中两环的概率为0.8；求：（1）X 的分布列及分布函数；（2）()()10,1≤<≥X P X P . 2. 射手对靶子进行射击，一次射击的命中率为0.8，现在连续射击三枪，用X 表示三枪中命中的次数，求：（1）X 的分布列及分布函数；（2）A “至少命中两枪”的概率. 3. 设随机变量X 的分布函数为 ()()???? ???≥<≤<≤--<=≤=31 318.0114.010 x x x x x X P x F 求：X 的分布列. 4. 设随机变量X 的分布函数为 ()??? ? ????? >≤≤<=2120sin 00ππx x x A x x F 求：（1）A =？ （2）??? ??<6πx P . 5. 设随机变量X 的分布列为??? ? ??--22121101q q ； 求： （1）q=？ （2）X 的分布函数. 6. 某设备由三个独立工作的元件构成，该设备在一次试验中每个元件发生故障的概率为 0.1，求该设备在一次试验在中发生故障的元件数的分布列. 7. 将一颗骰子投掷两次，以X 表示两次所得点数之和、Y 表示两次中所得的小的点数；分别求X 与Y 的分布列. 8. 设随机变量X ~()p B ,2， 随机变量Y ~()p B ,3； 已知()9 5 1=≥X P ， 求：()1≥Y P . 二、“连续型随机变量与分布函数”习题： 1. 设()()??? ??<>≥=-00 0,0212 x a x e a x x f a x ； ()?????<<=其他0 0cos 21 2 πx x x f ； ()????? <<-=其他0 22cos 3ππx x x f ； （1） 以上()()()x f x f x f 321,,是否是某随机变量X 的分布密度函数？ §3.4 随机变量函数的分布 对离散型随机变量，我们讨论过随机变量函数的分布问题，对一般的随机变量当然也存在同样的问题。例如，若ξ是N （2 ,σμ）分布的随机变量，为了解决计算中的查表问题， 在中曾经引入变换 η=σ ξa - 这个新出现的随机变量η就是原来的随机变量ξ的一个函数。现在来讨论连续型随机变量函数的分布问题，先介绍一个便于应用的定理。 定理3.1 设ξ是一个连续型随机变量，其密度函数为p (x)，又y =)(x f 严格单调，其反函数)(x h 有连续导数，则=η)(ξf 也是一个连续型随机变量，且其密度函数为 ? ? ?<<*=其他,0|],)(|)([)('β α?y y h y h p y （3.51） 其中 α=min{)(-∞f ,)(+∞f } β=min{)(-∞f ,)(+∞f } (证明 略) 例3.11（略） 例3.12（略） 2χ—分布 我们先给出下述一个式子： p (x,y)=? ? ???≤>Γ-0,00,)2(212x x x n y n 我们通常把以上述（3.53）式(其中n 是参数)为密度函数的分布称为是自由度为n 的 2χ—分布（2χ读作“卡方”），并记作)(2 n χ，它是数理统计中一个重要的分布。 （一）和的分布 设),(ηξ是一个二维连续型随机变量，密度函数为p (x,y)，现在来求ηξζ+=的分布，按定义为 F ζ(y)= P (ζ F ζ(y)= ??<+y x x dx dx x x p 2121 2 1 ),( = dx dx x x p )),((221?? ∞∞ -∞ ∞ - （3.54） 如果ξ与η是独立的，由（3.48）知P ξ(x)·P η(y)是(ηξ,)的密度函数，用P ξ(x)·P η(y)代替（3.54）式中的p (x 1,x 2)便得 F ζ(y) = dx dx x p x p ))()((221?? ∞∞ -∞ ∞-ηξ =dx dz x z p x p y ))()((11? ?∞ ∞-∞--ηξ = dz dx x z p x p y ))()((11?? ∞ -∞∞ --ηξ 由此可得 ζ 的密度函数为 F ζ(y)= F ' ξ(y)= dx x y p x p ? ∞ ∞ --)()(ηξ （3.55） 由对称性还可得 F ζ(y)= dx x p x y p ? ∞ ∞ --)()(ηξ （3.56） 由（3.55）或（3.56）式给出的运算称为卷积，通常简单地记作 P ζ=P ξ* P η 例3.13（略） 我们已经知道某些分布具有可加性，其实还有一些其它分布，也具有可加性，其中2 χ—分布的可加性在数理统计中颇为重要，我们这里顺便证明这个结论。为此，可以讨论更一般形式的一个分布—Γ分布。如果随机变量ξ具有密度函数为 p (x,y)=?? ???≤>Γ--0,00 ,)(1x x e x x βαααβ （3.57） （其中α>0, β>0为两个常数），这时称ξ是参数为（α,β）的Γ分布的随机变量，相应的分布称作参数为（α,β）的Γ分布，并记作Γ(α,β). 例3.14（略） （二）商的分布 设),(ηξ是一个二维连续型随机变量，密度函数为p (x 1,x 2)，现在来求η ξ ζ= 的分 连续型随机变量的分布 （一）连续型随机变量及其概率密度函数 1.定义：对于随机变量X 的分布函数 F(X) ，若存在非负函数f(x), 使对于 任意的实数 x，有F ( x)x f(x) 称为 X f (t)dt ，则称X为连续性随机变量， 的概率密度函数，简称概率密度。 注： F(x)表示曲线下x 左边的面积，曲线下的整个面积为1。 2 .密度函数f(x) 的性质：注： f( x)不是概率。 1) f( x)≥ 0 + f ( x) dx = 1 2) ò-x 2 3)P{x 1 < X ? x 2 }òx1 f (x) dx = F (x 2 ) - F (x 1 ) 特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 P{ X = x} = 0. （但 { X=x} 并不一定是不可能事件） 因此P(a≤X ≤ b)= P(a< X 两个随机变量的和与商的分布函数与密度函数 一、两个随机变量的和的分布 设（X ，Y ）的联合密度函数为f （x ，y ），现求Z=X+Y 的概率密度。 令{(,)|}z D x y x y z =+≤，则Z 的分布函数为： (){} {}(,)((,))Z D z z y F z P Z z P X Y z f x y dxdy f x y dx dy +∞--∞ -∞ =≤=+≤==??? ? （1.1） 固定z 和y 对积分(,)z y f x y dx --∞ ? 作换元，令x y u +=，得 (,)(,)z y z f x y dx f u y y du --∞ -∞ =-?? （1.2） 于是 ()(,)[(,)]z z Z F z f u y y dudy f u y y dy du +∞+∞ -∞-∞ -∞ -∞ =-=-? ??? （1.3） 由概率论定义，即得Z 的概率密度为 ()(,)Z f z f z y y dy +∞ -∞ =-? 注意：积分限为?∞到+∞ （1.4） 由X 与Y 的对称性，又可得 ()(,)Z f z f x z x dx +∞ -∞ =-? 注意：积分限为?∞到+∞ （1.5） （1.4）与（1.5）相当于分别在 x z y y z x =-=-或条件下，求X 或Y 的边缘概率密度。 特别的，当X 与Y 相互独立时，有 ()()()()()Z X Y X Y f z f z y f y dy f x f z x dx +∞ +∞ -∞ -∞ =-=-? ? （1.6） 其中，()X f x 、()Y f y 分别是X 和Y 的边缘概率密度。 式（1.6）又称为()X f x 和()Y f y 的卷积公式，常记为()*()X Y f z f z 。因此式（1.6）又称为独立随机变量和的分布的卷积公式。 二、两个随机变量的商的分布 设（X ，Y ）的联合密度函数为f （x ，y ），现求X Z Y =的概率密度，Z 的分布函数为 第2章随机变量及其分布习题解答 一．选择题 1．若定义分布函数(){}F x P X x =≤，则函数()F x 是某一随机变量X 的分布函数的充要条件是( D )． A ．0()1F x ≤≤． B ．0()1F x ≤≤，且()0,()1F F -∞=+∞=． C ．()F x 单调不减，且()0,()1F F -∞=+∞=． D ．()F x 单调不减，函数()F x 右连续，且()0,()1F F -∞=+∞=． 2．函数()0 212021 0 x F x x x <-??? =-≤ 5．设X 的分布律为 而(){}F x P X x =≤，则F =( A )． A ．0.6． B ．0.35． C ．0.25． D ．0． 6．设连续型变量X 的概率密度为()p x ，分布函数为()F x ，则对于任意x 值有( A )． A ．(0)0P X ==． B ．()()F x p x '=． C ．()()P X x p x ==． D ．()()P X x F x ==． 7．任一个连续型的随机变量X 的概率密度为()p x ，则()p x 必满足( C )． A ．0( )1p x ≤≤． B ．单调不减． C ． ()1p x dx +∞ -∞ =?． D ．lim ()1x p x →+∞ =． 8 ．为使 x 1()0 1p x x ?=??≤? 是随机变量X 的概率密度，则常数c ( B )．随机变量及其分布函数
两个随机变量和与商的分布函数和密度函数
随机变量的函数的分布
第二章随机变量与分布函数习题
§4随机变量函数的分布
连续型随机变量的分布与例题讲解
两个随机变量的和与商的分布函数与密度函数
随机变量及其分布习题解答
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