v1.0 可编辑可修改高考立体几何知识点总结
整体知识框架：
一、空间几何体
（一）空间几何体的类型
1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。
（二）几种空间几何体的结构特征
1 、棱柱的结构特征
棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边
形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体
性质：
Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等；
Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行；
Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；
棱柱的面积和体积公式
ch
S=
直棱柱侧
（c是底周长，h是高）
S直棱柱表面 = c·h+ 2S底
V棱柱 = S底·h
2 、棱锥的结构特征
（1）棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的结构特征
Ⅰ、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；
Ⅱ、正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；
正棱锥侧面积：
1
'
2
S ch
=
正棱椎
（c为底周长，'h为斜高）
体积：
1
3
V Sh
=
棱椎
（S为底面积，h为高）
棱长都相等
底面是正方形
底面是矩形
侧棱垂直于底面
底面是平行四边形
底面是四边形
图1-1 棱柱
A B C
D
P
O H
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正四面体： 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为a 2
2
的正方体问题。
对棱间的距离为
a 2
2
（正方体的边长） 正四面体的高
a 3
6
（正方体体对角线l 32=）
正四面体的体积为
3
12
2a （正方体小三棱锥正方体V V V 314=-）
正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1（正方体体对角线正方体体对角线：l l 2
1
61=）
正四面体的外接球半径为
a 46，外接球半径为a 126，外接球半径a 4
2
3 、棱台的结构特征
定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。 正棱台的结构特征
（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；
（2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形； （3）正棱台的对角面也是等腰梯形；
（4）各侧棱的延长线交于一点。 4 、圆柱的结构特征
定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。 圆柱的性质
（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆； （2）过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。
圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。
圆柱的面积和体积公式(r 为底面半径，h 为圆柱的高)
S 圆柱侧面 = 2π·r ·h S 圆柱全 = 2π r h + 2π r 2
V 圆柱 = S 底h = πr 2
h 5、圆锥的结构特征
圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 圆锥的结构特征
（1） 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； （2）轴截面是等腰三角形；
（3）母线的平方等于底面半径与高的平方和： l 2
= r 2
+ h 2
圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。
6、圆台的结构特征
圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。 圆台的结构特征
⑴ 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆； ⑵ 圆台的截面是等腰梯形； ⑶ 圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。 圆台的面积和体积公式
S 圆台侧 = π·(R + r)·l (r 、R 为上下底面半径)
图1-5 圆锥
v1.0 可编辑可修改 S圆台全= π·r 2 + π·R2 + π·(R + r)·l
V圆台 = 1/3 (π r2+ π R2+ π r R) h (h为圆台的高)
7 球的结构特征
球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋
转体叫做球体。空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面
所围成的几何体称为球体。
7-2 球的结构特征
⑴球心与截面圆心的连线垂直于截面；
⑵截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r2 = R2– d2
★7-3 球与其他多面体的组合体的问题
球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是：
⑴根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形；
⑵找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图；
⑶将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题；
⑷注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；球外切正方体，球直径等于正方体的边长。
练习：
1）将直角三角形绕它的一边旋转一周, 形成的几何体一定是（）
A．圆锥 B．圆柱 C．圆台 D．上均不正确
2）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（）
A．圆锥 B．圆柱 C．球体 D．以上都可能
3）下左一图是一个物体的三视图,根据图中尺寸（单位：c m）,计算它的体积为 c m3.
二、典型例题分析
例1：（几何体的侧面展开图）
如上左二图,长方体
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD-的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，一只蚂蚁从A到
1
C点，沿着表面爬行的最短距离是多少．
练习：1）如上右二图, 四面体P-ABC中, PA=PB=PC=2, ∠APB=∠BPC=∠APC=300. 一只蚂蚁
从A点出发沿四面体的表面绕一周, 再回到A点, 问蚂蚁经过的最短路程是_________．
2）边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面, 则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是_______________．
练习.1）已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为（）
A．π
3
4
B．π
3
8
C．π
3
16
D．π
3
32
2）棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为（）()A2π()B3π()C
33
2
π()D12π
（三）空间几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积
棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和
圆柱的表面积：2
22
S rl r
ππ
=+圆锥的表面积：2
S rl r
ππ
=+
圆台的表面积：
22
S rl r Rl R
ππππ
=+++球的表面积：2
4
S R
π
=
扇形的面积公式
2
2
11
=
36022
n R
S lr r
π
α
==
扇形
（其中l表示弧长，r表示半径，α表示弧度）
空间几何体的体积
柱体的体积：V S h
=?
底
锥体的体积：
1
3
V S h
=?
底
台体的体积：
1
)
3
V S S S S h
=++?
下下
上上
（球体的体积：3
4
3
V R
π
=
（四）空间几何体的三视图和直观图
A'
C'
D'
B'
C D
O
A B O
C'
A'
A c
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正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。
侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。
俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。
★画三视图的原则：
主视图反映了物体的上、下和左、右位置关系；俯视图反映了物体的前、后和左、右位置关系；侧视图反映
了物体的上、下和前、后位置关系。
三个视图之间的投影关系为：正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样
注：球的三视图都是圆；长方体的三视图都是矩形
直观图：斜二测画法
斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤
(1)建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐标系；
(2)画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox′，Oy′，使∠x′Oy′＝45°(或135°)，它们确
定的平面表示水平平面；
(3)画对应图形，在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x′轴，且长度保持不变；平行于y
轴的线段，在直观图中画成平行于y′轴，且长度变为原来的一半；
(4)擦去辅助线，图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线(虚线)．
原视图与直观图的关系：直观图
原视图
原视图
直观图，s
s
s
s
2
2
4
2
=
=
例1、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为 ( )
解析：如图所示，点D1的投影为点C1，点D的投影为点C，点A的投影为点B.
答案：D
练习：
（1）如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（）
（2）判断：
①水平放置的正方形的直观图可能是等腰梯形
②两条相交的线段的直观图可能是平行线段
③两条互相垂直的直线的直观图仍然垂直
④平行四边形的直观图仍为平行四边形
⑤长度相等的两线段直观图仍然相等
（3）三角形ABC是边长为1正三角形，求其直观图三角形'
'
'C
B
A的面积
（4）如图，正方形'
'
'
'C
B
A
O的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，求原图形的周长和面积
(5)如上右图，用斜二测画法作?ABC水平放置的直观图形得?A1B1C1，其中A1B1=B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，
由图形可知在?ABC中，下列四个结论中正确的是（）
A．AB=BC=AC B． AD⊥BC C． AC>AD>AB>BC D． AC>AD>AB=BC
空间几何体三视图（重点）
例 1如图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 ( )
A．
6 3 B．9 3 C．12 3 D．183
解析：由三视图可还原几何体的直观图如图所示．此几何体可通过分割和补形的方法拼凑成一个长和宽均为3，高为3的长方体，所求体积V＝3×3×3＝9 3.
答案：B
（2）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．48 B．32＋817 C．48＋817 D．80
(3)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．
9
2
π＋12 B．
9
2
π＋18 C．9π＋42 D．36π＋18
【答案】（1）C (2)B
【解析】 (1)由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(如图所示)，所以该直四棱柱的表面积为S＝2×
1
2
×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2×1＋16×4＝48＋817.
2.由三视图可得这个几何体是由上面是一个直径为3的球，下面是一个长、宽都为3、高为2的长方体所构成的几何体，则其体积为：V＝V1＋V2＝
4
3
×π×
?
?
??
?3
2
3＋3×3×2＝
9
2
π＋18，故选B.
3.【2012高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）
A. 28+65
B. 30+65
C. 56+ 125
D. 60+125
【答案】B可得：10
=
底
S，10
=
后
S，10
=
右
S，5
6
=
左
S，因此该几何体表面积
俯视图
5
6
30+
=
+
+
+
=
左
右
后
底
S
S
S
S
S，故选B。
当堂练习：
1. 一空间几何体的三视图如下右图所示,则该几何体的体积为( ).
A.223
π+ B. 423
π+ C. 23
2
3
π+
D. 23
4
3
π+
2、上中图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
πππD．12π
3、若一个正三棱柱的体积为3
12，其三视图如上左图所示，则这个正三棱柱的侧视图的面积为_______。
4.【2012高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ C ）
A．12π π π π
二、典型例题
考点一：三视图
1．一空间几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为_________________.
第1题
2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是________________.
第2题第3题
3．一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为 .
4．若某几何体的三视图（单位：cm）如图4所示，则此几何体的体积是 .
2
2
侧(左)视图
2
2
2
正(主)视
3
正视图
俯视图
1
1
2
左视图
a
第4题第5题
5．如图5是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则
a .
6．已知某个几何体的三视图如图6，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 .
第6题第7题
7.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是3
cm
8.设某几何体的三视图如图8（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为_________m3。
8题
10.一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图10所示（单位cm），则该三棱柱的表面积为_____________.
图10
11.如果一个几何体的三视图如图14所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是_____________.
图14
12．图16是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是_____________.
图16 图17
13.如图17，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长
20
20正视图
20
侧视图10
10
20
俯视图
223
2
21
正视图
俯视图正(主)视图侧(左)视图
3
2
俯视图
为1，那么这个几何体的体积为______________.
二 、点、直线、平面之间的关系
（一）、立体几何网络图：
1.平面的基本性质
公理1 若一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 2.等角定理及其推论
定理 若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等. 推论 若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的角相等.
2.空间线面的位置关系
共面 平行—没有公共点 (1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点
异面(既不平行，又不相交)
直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面 相交—有一条公共直线(无数个公共点)
平行—没有公共点
唯一性定理：（1）过已知点，有且只能作一直线和已知平面垂直。 （2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行。
（3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。
1、线线平行的判断方法：
1.中位线、证明平行四边形、相似边互相平行（初中的方法）、内错角同位角相等、平行公理等
2.线面平行的性质、面面平行的性质
3.线面垂直的性质：垂直于同一平面的两直线平行。
4.向量法，证明b a
//
2、线线垂直的判断：
1.勾股定理
2.正方形、菱形、圆等特点
3.等腰、等边三角形的中线
4.线面垂直和面面垂直的转化 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
3、线面平行的判断： 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 符号表示：
公理4
线线平行
线面平行
面面平行
线线垂直
线面垂直 面面垂直
三垂线逆定理
三垂线定理
⑴
⑵ ⑷ ⑶ ⑸ ⑹
⑾
⑿
⒀
⒁
⑼ ⑽
⒂ ⒃
⑺
⑻
4.线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
5、面面平行的判断：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
注：垂直于同一条直线的两个平面平行
5、面面平行的性质：
性质定理：1.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
2.两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
★判断或证明线面平行的方法
⑴ 利用定义(反证法)：lα=?，则l∥α (用于判断)；
⑵利用判定定理：线线平行线面平行 (用于证明)；
⑶利用平面的平行：面面平行线面平行 (用于证明)；
⑷利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。
2 线面斜交和线面角：l∩α = A
直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在
平面内射影的夹角θ。
线面角的范围：θ∈[0°，90°]
注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°；当直线垂直于平面时，θ=90°
4、线面垂直的判断：
判定定理如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。5.线面垂直性质：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。
即：
（2）垂直于同一平面的两直线平行。
推论：α
α⊥
?
⊥b
b
a
a//
,
即：
6、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
判定定理：
6、面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的
直线必垂直于另—个平面。
定义法：若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；
★判断或证明线面垂直的方法
⑴利用定义，用反证法证明。
⑵利用判定定理证明。
⑶一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面。
⑷一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个。
⑸如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面。考点六线面、面面关系判断题
1．已知直线l、m、平面α、β，且l⊥α，m?β，给出下列四个命题：
（1）α∥β，则l⊥m （2）若l⊥m，则α∥β
（3）若α⊥β，则l∥m （4）若l∥m，则α⊥β
其中正确的是__________________.
图2-3 线面角
图2-10 面面垂直性质
2. m
、n 是空间两条不同直线，αβ、是空间两条不同平面，下面有四个命题： ①,;m n m n αβαβ⊥?⊥, ②,,;m n m n αβαβ⊥⊥? ③
,,;m n m n αβαβ⊥?⊥ ④,,;m m n n ααββ⊥?⊥
其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）。 4. 对于平面α和共面的直线m 、,n
(1)若,,m m n α⊥⊥则n α∥ (2)若m αα∥,n ∥,则m ∥n
(3)若,m n αα?∥,则m ∥n (4)若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 其中真命题的序号是_____________.
5. 关于直线m 、n 与平面α与β，有下列四个命题：
①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ； 其中真命题的序号是_________________. 练习
1.判断下面命题的正确的是
平行于同一直线的两平面平行. 垂直于同一平面的两直线平行. 平行于同一平面的两直线平行. 垂直于同一直线的两平面平行. 平行于同一平面的两平面平行. 垂直于同一平面的两平面平行.
2空间不重合的三平面可以把空间分成 部分,正方体六个面所在平面把空间分成 部分. 3若b a ,是异面直线, b, c 是异面直线, 则a ,c 的位置关系是（ ) A.相交,平行或异面 B.相交或平行 C.异面 D.平行或异面 4设b ,c 表示两条直线,,表示两个平面,下列命题中正确的是
A ．若b ?,c ∥
,则b ∥c
B ．若b ?
,b ∥c ,则c ∥
C ．若c ∥
c ⊥,则⊥ D ．若c ∥
⊥
则c ?
5设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题正确的是（ ) A,若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ B,若//,//,//,m n αβαβ则//m n C,若,//,//m n αβαβ⊥,则m n ⊥ D,若//,//,//,m n m n αβ则//αβ 6设b a ,是两条直线,βα,是两个平面,则能推出b a ⊥的一个条件是 ( )
A .βαβα⊥⊥,//,b a
B .βαβα//,,⊥⊥b a
7已知直线n m l ,,及平面α,下列命题中错误的是 （ ) A. 若//l m ,//m n ,则//l n B. 若l α⊥,//n α,则l n ⊥ C. 若l m ⊥,//m n ,则l n ⊥ D. 若//l α,//n α,则//l n 8对于平面α和直线n m ,,下列命题中正确的是( )
A. 若m ⊥α,m ⊥n,则n ∥α
B. 若m ∥α,n ∥α,则可能有n m ⊥
C. 若m ?α,n ∥α,则m ∥n
D. 若n m ,与α所成的角相等,则n ∥m
9已知n m ,为两条不同的直线, βα,为两个不同的平面,则下列命题中正确的是（ )
10已知两条直线n m ,,两个平面βα,,给出下面四个命题：
①//,m n m n αα⊥?⊥ ②//,,//m n m n αβαβ??? ③//,////m n m n αα? ④//,//,m n m n αβαβ⊥?⊥ 其中正确命题的序号是（ )
A ．①③
B ．②④
C ．①④
D ．②③
11设有直线n m ,和平面βα,.下列四个命题中,正确的是( )
A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥n
B.若m ?α,n ?α,m ∥β,n ∥β,则α∥β
C.若α⊥β,m ?α,则m ⊥β
D.若α⊥β,m ⊥β,m ?α,则m ∥α 12设βα,是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是（ ) A ．若,,βαα⊥⊥l 则β?l B ．若βαα//,//l ,则β?l C ．若βαα//,⊥l ,则β⊥l D ．若βαα⊥,//l ,则β⊥l 13已知直线b a ,和平面α,下述推理中正确的有 .
v1.0
可编辑可修改
14如下左图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，
①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成?60角；④DM 与BN 垂直；以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ）
Ａ．①②③ Ｂ．②④ Ｃ．③④ Ｄ．②③④
练习：下左二图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题： ⑴AB 与EF 所在直线平行；⑵AB 与CD 所在直线异面；
⑶MN 与BF 所在直线成60°；⑷MN 与CD 所在直线垂直；其中正确命题的序号是________.
考点四 平行与垂直的证明
1. 正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点． (Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥； (Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ； （Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积．
2.已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.
求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ．
3．如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 和PC 的中点.
（Ⅰ）求证：MN ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：MN CD ⊥；
（Ⅲ）若45PDA ∠=，求证：MN ⊥平面PCD .
4．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD,
AD ⊥1
2
⊥//BN （1）求证：OM
7．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB
交PB 于点F .
（1）证明PA (]0,90θ∈??义法：解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移另一条与其相交；
（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行；三计算：通过解三
角形，求出异面直线所成的角；
2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈??：关键找“两足”：垂足与斜足
A B
C
D
P
E
F A F
E
B
C
D
M N N
M P
D
B
A P D
A
B
C O M
A 1
1
C 1
B 1
A E
D
C
B
D 1
O
D
B
A
C 1
B 1
A 1
C
1.定义法：解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）；二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。
3求二面角的平面角[]0,θπ∈(不做要求）
解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证：
证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。 五、距离的求法：
（1）点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长。求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算。 注意：求点到面的距离的方法：
①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）； ②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）； ③体积法：利用三棱锥体积公式。
（2）线线距离：(不做要求）关于异面直线的距离，常用方法有： ①定义法，关键是确定出b a ,的公垂线段；
②转化为线面距离，即转化为a 与过b 而平行于a 的平面之间的距离，关键是找出或构造出这个平面；③转化为面面距离；
（3）线面、面面距离：线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离常常相互转化；
例题：如图所示,已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2,底面边长为3,E 是SA 的中点,则异面直线BE 与SC 所成
角的大小为（ ）
A ．90° B．60° C．45° D ．30°
2正方体''
'
'
ABCD A B C D -中,异面直线'
CD 和'
BC 所成的角的度数是_________________.
7．如图7，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是11A D ，11C D 中点，求异面直线1AB 与EF 所成角的角______________.
考点二 体积、距离、角等问题 1．正棱锥的高和底面边长都缩小原来的
2
1
，则它的体积是原来的______________. 2．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是 .
3. 如图8所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为_____________.
第3题
4. 如图9-1-4，在空间四边形ABCD 中，AC BD ⊥ AC BD =,,E F 分别是AB 、CD 的中点，则EF 与AC 所成角的大小为_____________.
5．如上右三图在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，则直线1CB 与平面11AA B B 所成角的正弦值为_______________.
6 如图9-3-6，在正方体ABCD —A1B1C1D1中，对角线BD1与平面ABCD 所成的角的正切值为_______________.
C
P
A 1
B 1
C 1
D 1
O
图9-3-6 图9-3-1 图7
7．如图9-3-1，已知ABC
?为等腰直角三角形,P为空间一点，且52,
AC BC PC AC
==⊥，PC BC
⊥，5
PC=，AB的中点为M，则PM与平面ABC所成的角为?
45
8．如图7，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为_____
4
2
_____.
11.已知点,,,
A B C D在同一个球面上，,
AB BCD
⊥平面,
BC CD
⊥若6,
AB=213,
AC=8
AD=，则,B C
两点间的球面距离是
3
4π
.
12. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是______?
90___________.
14．已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为
32
3
π，则正方体的棱长为_________.
考点五异面直线所成的角，线面角证明
1.如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD.求证：（1）平面PAC⊥平面PBD；
（2）求PC与平面PBD所成的角；
2.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为2，底面边长为3，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为 ______?
60_______.
新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若 BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 证明：在ABD ?中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1 //,2 EH BD EH BD = 同理，1 //,2 FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 ° 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1）BC AC CE AB AE BE =??⊥?=? 同理， AD BD DE AB AE BE =? ?⊥?=? 又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE 又∵AB ?平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定 A H G F E D C B A E D B C
3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。 考点：线面平行的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设 11111 A C B D O ?=，连结1AO ∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO = 11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴? ∥面11AB D ，1C O ?面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D （2）1CC ⊥Q 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又 1111 A C B D ⊥∵， 1111B D A C C ∴⊥面 1 11AC B D ⊥即 同理可证 11 A C AD ⊥， 又 1111 D B AD D ?= ∴1A C ⊥面11AB D 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C
高考文科数学核心考点总结 导读：本文高考文科数学核心考点总结，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。 高考文科数学核心考点 考点一：集合与简易逻辑 集合部分一般以选择题出现，属容易题。重点考查集合间关系的理解和认识。近年的试题加强了对集合计算化简能力的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力。在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，并注重集合表示方法的转换与化简。简易逻辑考查有两种形式：一是在选择题和填空题中直接考查命题及其关系、逻辑联结词、“充要关系”、命题真伪的判断、全称命题和特称命题的否定等,二是在解答题中深层次考查常用逻辑用语表达数学解题过程和逻辑推理。 考点二：函数与导数 函数是高考的重点内容，以选择题和填空题的为载体针对性考查函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数(一次和二次函数、指数、对数、幂函数)的应用等，分值约为10分，解答题与导数交汇在一起考查函数的性质。导数部分一方面考查导数的运算与导数的几何意义，另一方面考查导数的简单应用，如求函数的单调区间、极值与最值等，通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题，三是导数的综合应用，主要是和函数、不等式、方程等联
系在一起以解答题的形式出现，如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题。 考点三：三角函数与平面向量 一般是2道小题，1道综合解答题。小题一道考查平面向量有关概念及运算等，另一道对三角知识点的补充。大题中如果没有涉及正弦定理、余弦定理的应用，可能就是一道和解答题相互补充的三角函数的图像、性质或三角恒等变换的题目，也可能是考查平面向量为主的试题，要注意数形结合思想在解题中的应用。向量重点考查平面向量数量积的概念及应用，向量与直线、圆锥曲线、数列、不等式、三角函数等结合，解决角度、垂直、共线等问题是“新热点”题型. 考点四：数列与不等式 不等式主要考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式组和简单线性规划问题、基本不等式的应用等，通常会在小题中设置1到2道题。对不等式的工具性穿插在数列、解析几何、函数导数等解答题中进行考查.在选择、填空题中考查等差或等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等的灵活应用，一道解答题大多凸显以数列知识为工具，综合运用函数、方程、不等式等解决问题的能力，它们都属于中、高档题目. 考点五：立体几何与空间向量 一是考查空间几何体的结构特征、直观图与三视图;二是考查空间点、线、面之间的位置关系;三是考查利用空间向量解决立体几何问题：利用空间向量证明线面平行与垂直、求空间角等(文科不
立体几何知识点汇总（全） 1．平面 平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。 （1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。 （2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。 （3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合 2. 空间直线. （1）. 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点 [注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等） ②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交 ③若直线a、b异面，a平行于平面α，b与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一．点．向这个平面所引的垂线段和斜线段） ⑦b a,是夹在两平行平面间的线段，若 a,的位置关系为相交或平行或异面. a=，则b b ⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平 面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是
异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线） （2）. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 （直线与直线所成角]90,0[??∈θ）（向量与向量所成角])180,0[οο∈θ 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等. （3）. 两异面直线的距离：公垂线段的长度. 空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. [注]：21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能 叫1L 与2L 平行的平面） 3. 直线与平面平行、直线与平面垂直. （1）. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内. （2）. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行?线面平行”） [注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线） ③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之） ④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内） ⑤平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面） ⑥直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交） （3）. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行?线线
l立体几何知识点整理（文科）l // m l //m m 直线和平面的三种位置关系：一．αl 1. 线面平行 方法二：用面面平行实现。l//l //αl符号表示： 2. 线面相交βl lαAα方法三：用平面法向量实现。符号表示：
n 为平若面线在面内3. 的一个法向量，ln n l ll //且。,则l αα符号表示： 二．平行关系：线线平行：1.方法一：用线面平行实现。3. 面面平行：l mβl //l方法一：用线线平行实现。l'l // ml m'αl // l 'm m // m'm//且相交l , m且相交l ' , m'方法二：用面面平行实现。//l βl // mlγm m α方法二：用线面平行实现。 方法三：用线面垂直实现。 l // l, m l // m //m //若。，则l l , m且相交mβ方法四：用向量方法：m l l // m。若向量和向量共线且l、m不重合，则α 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。1/11
l C A方法三：用向量方法： Bα l m l m ，则的数量积为和向量若向量0。三．垂直关系：
夹角问题。三．线面垂直：1.异面直线所成的角：一)(方法一：用线线垂直实现。(0 ,90 ]范围：(1) ACl ABl 求法：(2)P n l ABAC A方法一：定义法。AθO AC, ABα：平移，使它们相交，找到夹角。步骤1 方法二：用面面垂直实现。)常用到余弦定理步骤2：解三角形求出角。( 余弦定理：βl lm a c222c ab l m, l m cosθ2ab bα )计算结果可能是其补角( 面面垂直：2.方法二：向量法。转化为向量 方法一：用线面垂直实现。 C的夹角βl lθl：)(计算结果可能是其补角 BA AB ACαcos AB AC方法二：计算所成二面角为直角。 线面角)(二线线垂直：3. 上任取一点(1) 定义：直线l ，作（交点除外）P方法一：用线面垂直实现。 内，则连结AO AO 为斜线PA 在面于O,PO l l m PAO 图中(与面)为直线l l所成的角。的射影，m
4.（10安徽）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，E F∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点， (Ⅰ)求证：F H∥平面EDB;（Ⅱ）求证：A C⊥平面EDB;（Ⅲ）求V B—DEF 5.（10江苏本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。 (1)求证：PC⊥BC； (2)求点A到平面PBC的距离。 7.如图，四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。 （1）求证：CE⊥平面PAD； （11）若P A=AB=1，AD=3，CD=2，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积
8.（11安徽19）（本小题满分13分）如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，1OA =，2OD =，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形。 （Ⅰ）证明直线BC EF ∥；（Ⅱ）求棱锥F OBED -的体积. 9.（11重庆20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分） 如题（20）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，,2,1AB BC AC AD BC CD ⊥==== （Ⅰ）求四面体ABCD 的体积（Ⅱ）求二面角C-AB-D 的平面角的正切值。 10.（11新课标18）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=?，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． （I ）证明：PA BD ⊥； （II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．
必修二立体几何知识点与复习题 一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平 行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 4、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 5、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、定义：成? 90角 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、定义：两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为? 90 2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面 九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 2、直线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ ≤ ?90 0θ[]? ?90 , 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：? ≤ < ?180 0θ(]? ?180 , 十、三角形的心 1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点 2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 3、重心：中线的交点 4、垂心：高的交点 考点一,几何体的概念与性质 【基础训练】 1.判定下面的说法是否正确: (1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱. (2)有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台. 2.下列说法不正确的是（） A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。 B.同一平面的两条垂线一定共面。 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内。 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。 【高考链接】 1.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行； （3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
2008年-2014年山东高考文科数学立体几何大题及答案 （08年）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC == （Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积． （09年）如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB 11111 （10年）（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==. （I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ； （II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比. （11年）（本小题满分12分） 如图，在四棱台 1111 ABCD A B C D -中， 1D D ABCD ⊥平面，底面 ABCD 是平行四边形， 112,,60AB AD AD A B BAD ==∠= （Ⅰ）证明：1AA BD ⊥； （Ⅱ）证明：11//CC A BD 平面. A B C M P D E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D D B1 D1 C1 C B A A1
（12年） (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC . （13年）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AC ， AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB=2CD ，E ，F ，G ， M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点。 （Ⅰ）求证，CE ∥平面PAD; （Ⅱ）求证，平面EFG ⊥平面EMN 。 （14年）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P ABCD -中，,//,BC AD PCD AP 平面⊥AD BC AB 2 1 = =,F E ,分别为线段PC AD ,的中点。 （Ⅰ）求证：BEF AP 平面// （Ⅱ）求证：PAC BE 平面⊥ P A C D E
文科立体几何知识点方法总结高三复习 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
立体几何知识点整理（文科） 一． 直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 l 符号表示： 2. 线面相交 符号表示： 3. 线在面内 符号表示： 二．平行关系： 1.线线平行： 方法一：用线面平行 实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α 方法二：用面面平行 m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α β 方法三：用线面垂直实现。 若α α⊥ ⊥m l,，则 m l//。 方法四：用向量方法： 若向量和向量共线且l、 m不重合，则 m //。 2.线面平行： 方法一：用线线平行 实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：用面面平行实 现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 方法三：用平面法向量实现。 若为平面α的一个法向量，⊥且 α ? l,则α // l。 3.面面平行： 方法一：用线线平行实现。 l
βααβ//',',' //'//???? ? ?????且相交且相交m l m l m m l l 方法二：用线面 平行实现。 βαβαα //,////??? ? ???且相交m l m l 三．垂直关系： 1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 αα⊥???? ? ??? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二：用面面垂直实现。 αββαβα⊥???? ?? ?⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 βαβα⊥???? ?⊥l l 方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥???? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥???? 方法三：用向量方法： 若向量和向量的数量积为0，则 m l ⊥。 三． 夹角问题。 (一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(?? (2)求法： 方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交， 找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理： ab c b a 2cos 2 22-+=θ
（2019全国1文）16.已知90ACB ∠=?，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距 P 到平面ABC 的距离为 . 答案： 解答： 如图，过P 点做平面ABC 的垂线段，垂足为O ，则PO 的长度即为所求，再做,PE CB PF CA ⊥⊥，由线面的 垂直判定及性质定理可得出,OE CB OF CA ⊥⊥，在Rt PCF ?中，由2,PC PF == ，可得出1CF =，同 理在Rt PCE ?中可得出1CE =，结合90ACB ∠=?，,OE CB OF CA ⊥⊥可得出1OE OF ==，OC = ， PO == （2019全国1文）19.如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2AA AB ==，60BAD ∠=， ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. （1）证明：//MN 平面1C DE （2）求点C 到平面1C DE 的距离. 答案： 见解析 解答： （1）连结1111,AC B D 相交于点G ，再过点M 作1//MH C E 交11B C 于点H ，再连结GH ，NG . ,,E M N 分别是 11,,BC BB A D 的中点. 于是可得到1//NG C D ，//GH DE ， 于是得到平面//NGHM 平面1C DE ， 由 MN ?平面NGHM ，于是得到//MN 平面1C DE
（2） E 为BC 中点，ABCD 为菱形且60BAD ∠= DE BC ∴⊥，又 1111ABCD A B C D -为直四棱柱，1DE CC ∴⊥ 1DE C E ∴⊥，又 12,4AB AA ==， 1DE C E ∴=，设点C 到平面1C DE 的距离为h 由11C C DE C DCE V V --=得 1111 143232 h ?=?? 解得h = 所以点C 到平面1C DE （2019全国2文）7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面 答案：B 解析: 根据面面平行的判定定理易得答案. （2019全国2文）16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.)
知识点-立体几何知识点常见结论汇总
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O A B C D E F 垂 立体几何高考知识点和解题思想汇总 补充：三角形内心、外心、重心、垂心知识 四心的概念介绍： （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 若P 为ABC ?所在平面外一点, O 是点P 在 ABC ?内的射影，则： ①若PA PB PC ==或PA 、PB 、PC 与 所成角均相等, 则O 为ABC ?的外心； ②若P 到ABC ?的三边的距离相等, 则O 为△ABC 的内心； ③若PA 、PB 、PC 两两互相垂直, 或,PA BC PB AC ⊥⊥则O 为ABC ?的垂心． 常见空间几何体定义： 1 ．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，这两个面为底面，其他面为侧面。 棱柱具有下列性质： 1）棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等； 2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形。 3）直棱柱的侧棱长与高相等；直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。 棱柱的分类： 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。直棱柱的各个侧面都是矩形； 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。 平行六面体:底面是平行四边形的棱柱。 直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体。 长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体 2 ．棱锥：有一个面是多边形 ，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．(1) 如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面，这样的棱锥称为正棱锥．正棱锥具有性质：①正棱锥的顶点和底面中心的连线即为高线；②正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做这个正棱锥的斜高． (2) 底边长和侧棱长都相等的三棱锥叫做正四面体． A B C O 外 I K H E F D A B C M 内 A B C D E F G 重
1．（2013年高考辽宁卷（文））如 图,.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点 (I)求证:BC PAC ⊥平面； (II)设//.Q PA G AOC QG PBC ?为的中点，为的重心，求证：平面 2.2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中 心, A 1O ⊥平面ABCD , 12AB AA == (Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1; (Ⅱ) 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积. O D 1 B 1 C 1 D A C A 1
3.（2013年高考福建卷（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ABCD ⊥面,//AB DC ,AB AD ⊥,5BC =,3DC =,4AD =, 60PAD ∠=o .(1)当正视图方向与向量AD u u u r 的方向相同时,画出四棱锥P ABCD -的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程); (2)若M 为PA 的中点,求证://DM PBC 面; (3)求三棱锥D PBC -的体积. 4. 如图，四棱锥P —ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD ⊥面ABCD ，且AB=1，AD=2，E 、F 分别为PC 和BD 的中点． （1）证明：EF ∥面PAD ； （2）证明：面PDC ⊥面PAD ； （3）求四棱锥P —ABCD 的体积．
5.（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ?沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中2BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23 AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -. 图 4G E F A B C D 图 5D G B F C A E 6．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证: (1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCD
高中文科数学知识点总结 高中文科数学知识点总结 篇一： 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。?此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。
选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列3：由6个专题组成。选修3—1：数学史选讲。选修3—2：信息安全与密码。选修3—3：球面上的几何。选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。选修4—1：几何证明选讲。选修4—2：矩阵与变换。选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。选修4—5：不等式选讲。选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。选修4—8：统筹法与图论初步。选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与 指数函数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用
立体几何咼考真题大题 1. （2016高考新课标1 卷）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方 形,AF=2FD, NAFD =90：且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60： （I ）证明：平面 ABEF 丄平面EFDC （n ）求二面角 E-BC-A 的余弦值. 【答案】（I ）见解析；（n ） -2蜃 19 【解析】 试题分析：（I ）先证明AF 丄平面E FDC ,结合直F U 平面AB E F ,可得平面ABE F 丄 平面E FDC . （n ）建立空间坐标系，分别求出平面E C E 的法向量m 及平面E C E 的法 试题解析：（I ）由已知可得 A F 丄DF, A F 丄F E|,所以A F 丄平面E FDC . 又A F U 平面 AE E F ,故平面AEE F 丄平面|E F D C . _ （n ）过D 作DG 丄E F ,垂足为G ,由（I ）知DG 丄平面［A E 百F . 以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，GF 为单位长度，建立如图所示的空间直 角坐标系G —xyz . 由（I ）知N DF E 为二面角D -A F -E 的平面角，故N DF E =60：贝U DF = 2 , DG|=3,可得九(1,4,0 ), B(—3,4,0 ), E(—3,0,0 ), D (0,0, 73 ). 由已知，AE //E F ,所以AE //平面E FDC . 又平面 A ECD n 平面 |E FDC = DC ,故〕AB //CD , CD//EF . 由EE //A F ,可得EE 丄平面I E F DC ,所以N C E F |为二面角C —EE —F 的平面角， 向量n ,再利用cos （n,m ） 求二面角. n ||m |
三、立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱： 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到 截面距离与高的比的平方。 （3）棱台： 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图 是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变； ②原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，' h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积rh S π2=圆柱侧'2 1ch S =正棱锥侧面积rl S π=圆锥侧面积 ')(2 121h c c S +=正棱台侧面积l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表()l r r S +=π圆锥表()22R Rl rl r S +++=π圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱2V Sh r h π==圆柱13V Sh =锥h r V 231π=圆锥 '1()3 V S S h =台'2211()()33V S S h r rR R h π==++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343 R π ； S 球面=24R π 4、空间点、直线、平面的位置关系 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 应用： 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
高考立体几何中直线、平面之间的位置关系知识点总结（文科） 一．平行问题 （一） 线线平行： 方法一：常用初中方法（1中位线定理；2平行四边形定理；3三角形中对应边成比例；4同位角、内错角、同旁内角） 方法二：1线面平行?线线平行 m l m l l ////??? ???=??βαβα 方法三：2面面平行?线线平行 m l m l ////??????=?=?βγαγβα 方法四：3线面垂直 ?线线平行 若αα⊥⊥m l ,，则m l //。 （二） 线面平行： 方法一：4线线平行?线面平行 ααα////l l m m l ??? ????? 方法二：5面面平行?线面平行 αββα////l l ????? （三） 面面平行：6方法一：线线平 行?面面平行 βααβ//',','//' //??? ???????且相交且相交m l m l m m l l 方法二：7线面平行?面面平行 βαβαα//,////??? ???=?A m l m l m l I ， 方法三：8线面垂直?面面平行 βαβα面面面面//?? ??⊥⊥l l l
二．垂直问题：（一）线线垂直 方法一：常用初中的方法（1勾股定理的逆定理；2三线合一 ；3直径所对的圆周角为直角；4菱形的对角线互相垂直。） 方法二：9线面垂直?线线垂直 m l m l ⊥?????⊥αα （二）线面垂直：10方法一：线线垂直?线面垂直 α α⊥??? ? ???? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二：11面面垂直?线面垂直 αββαβα⊥???????⊥=?⊥l l m l m , （面） 面面垂直： 方法一：12线面垂直?面面垂直 βαβα⊥???? ?⊥l l 三、夹角问题：异面直线所成的角： (一) 范围：]90,0(?? (二)求法：方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。(计算结果可能是其补角) 线面角：直线PA 与平面α所成角为θ,如下图 求法：就是放到三角形中解三角形 四、距离问题：点到面的距离求法 1、直接求， 2、等体积法（换顶点）
2017年高考立体几何大题（文科）1、（2017新课标I文数）（12分） 如图，在四棱锥P-ABC［中，AB//CD,且BAP CDP 90° （1）证明：平面PABL平面PAD 8 （2）若PA=PD=AB=DC APD 90°,且四棱锥P-ABCD勺体积为-，求该四棱锥的侧面 3 积?
如图，四棱锥P ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD , 1 AB BC AD, BAD ABC 90 . 2 (1)证明：直线BC//平面PAD ; (2)若厶PCD的面积为2.1，求四棱锥P ABCD的体积.
(1) 证明：ACL BD ； (2) 已知△ ACD 是直角三角形，AB=BD 若E 为棱BD 上与D 不重合的点, 求四面体 ABCBf 四面体 ACDE 勺体积比. 如图，四面体ABCD K AEL EC,
4、（2017北京文）（本小题14分） 如图，在三棱锥P- ABC中, PAI AB PA! BC AB! BC PAAB=BG=2, D 为线段AC的中点，E 为线段PC上一点. （H）求证：平面BD!平面PAC （川）当PA/平面BDE时，求三棱锥E- BCD勺体积.
由四棱柱ABCDA i BQD截去三棱锥C-BQD后得到的几何体如图所示,四边形ABC［为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A i E 平面ABCD （I）证明：AO //平面BCD； n）设
如图，在三棱锥 A-BCD 中，ABL AD BCL BD 平面 ABDL 平面 BCD 点E , RE 与A , D 求证：（1）EF//平面ABC (2) AD L AC D 不重合）分别在棱AD,
立体几何知识点总结
立体几何知识点总结 1、 多面体（棱柱、棱锥）的结构特征 （1）棱柱： ①定义：有两个面互相平行，其余各面都是 四边形，并且每相邻两个四边形的 公共边都互相平行，由这些面所围 成的几何体叫做棱柱。 棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱； 四棱柱平行六面体直平行六面体 长方体正底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是正多边形 侧棱垂直于底面 侧棱不垂直于底面
棱长都相等 四棱柱正方体。 ②性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形；Ⅱ、两底面是全等多边形； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形； Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。 （2）棱锥： ①定义：有一个面是多边形，其余各面是有 一个公共顶点的三角形，由这些面 围成的几何体叫做棱锥； 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥； ②性质： Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似， 截面的边长和底面的对应边边长的比 等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的 比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与 原棱锥的高的平方比；
截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的 比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高 的立方比； Ⅱ、正棱锥性质：各侧面都是全等的等腰三 角形；通过四个直角三角形POH Rt ?，POB Rt ?， PBH Rt ?，BOH Rt ?实现边，高，斜高间的换算 2、 旋转体（圆柱、圆锥、球）的结构特征 A B C D O H P
（2）性质： ①任意截面是圆面（经过球心的平面，截得 的圆叫大圆，不经 过球心的平面截得 的圆叫 小圆） ②球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且 2d 2 =，其中R为球半径，r为截 r- R 面半径，d为球心的到截面的距离。 3、柱体、锥体、球体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。