习题12-2 1. 求下列微分方程的通解: (1)xy '-y ln y =0; 解 分离变量得 dx x dy y y 1ln 1=, 两边积分得 ??=dx x dy y y 1 ln 1, 即 ln(ln y )=ln x +ln C , 故通解为y =e Cx . (2)3x 2+5x -5y '=0; 解 分离变量得 5dy =(3x 2+5x )dx , 两边积分得 ? ?+=dx x x dy )53(52, 即 123255C x x y ++=, 故通解为C x x y ++=232151, 其中151C C =为任意常数. (3)2211y y x -='-; 解 分离变量得 2 211x dx y dy -=-, 两边积分得 ??-=-2 211x dx y dy 即 arcsin y =arcsin x +C , 故通解为y =sin(arcsin x +C ). (4)y '-xy '=a (y 2+y '); 解 方程变形为(1-x -a )y '=ay 2, 分离变量得 dx x a a dy y --=112 ,
两边积分得 ??--=dx x a a dy y 112, 即 1)1ln(1C x a a y ----=-, 故通解为)1ln(1x a a C y --+=, 其中C =aC 1为任意常数. (5)sec 2x tan ydx +sec 2y tan xdy =0; 解 分离变量得 dx x x y y y tan sec tan sec 22-=, 两边积分得 ??-=dx x x y y y tan sec tan sec 22, 即 ln(tan y )=-ln(tan x )+ln C , 故通解为tan x tan y =C . (6)y x dx dy +=10; 解 分离变量得 10-y dy =10x dx , 两边积分得 ? ?=-dx dy x y 1010, 即 10 ln 10ln 1010ln 10C x y +=--, 或 10-y =10x +C , 故通解为y =-lg(C -10x ). (7)(e x +y -e x )dx +(e x +y +e y )dy =0; 解 方程变形为e y (e x +1)dy =e x (1-e y )dx , 分离变量得 dx e e dy e e x x y y +=-11, 两边积分得 ??+=-dx e e dy e e x x y y 11, 即 -ln(e y )=ln(e x +1)-ln C , 故通解为(e x +1)(e y -1)=C .
习题11?1 1. 写出下列级数的前五项: (1); 解. 解. (2); 解. 解. (3); 解. 解. (4). 解. 解. 2. 写出下列级数的一般项: (1); 解一般项为. (2);
解一般项为. (3); 解一般项为. (4). 解一般项为. 3. 根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性: (1); 解因为 , 所以级数发散. (2); 解因为 , 所以级数收敛. (3). 解
. 因为不存在,所以不存在,因而该级数发散. 4. 判定下列级数的收敛性: (1); 解这是一个等比级数,公比为 ,于是 ,所以此级数收敛. (2); 解此级数是发散的,这是因为如此级数收敛,则级数 也收敛,矛盾. (3); 解因为级数的一般项 , 所以由级数收敛的必要条件可知,此级数发散. (4); 解这是一个等比级数,公比 ,所以此级数发散. (5). 解因为和都是收敛的等比级数,所以级数 是收敛的.
习题11?2 1. 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收 敛性: (1); 解因为 ,而级数发散,故所给级数发散. (2); 解因为 ,而级数发散, 故所给级数发散. (3); 解因为 ,而级数收敛,故所给级数收敛. (4); 解因为 ,而级数收敛, 故所给级数收敛. (5). 解因为 , 而当a>1时级数收敛,当0 所以级数当a>1时收敛,当0 习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ? (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ? 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ? (3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4? 习题12?1 1. 试说出下列各微分方程的阶数: (1)x (y ′)2 ?2yy ′+x =0; 解 一阶. (2)x 2 y ′?xy ′+y =0; 解 一阶. (3)xy ′′′+2y ′+x 2 y =0; 解 三阶. (4)(7x ?6y )dx +(x +y )dy =0; 解 一阶. (5) ; 解 二阶. (6) . 解 一阶. 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解: (1)xy ′=2y , y =5x 2 ; 解 y ′=10x . 因为xy ′=10x 2 =2(5x 2)=2y , 所以y =5x 2 是所给微分方程的解. (2)y ′+y =0, y =3sin x ?4cos x ; 解 y ′=3cos x +4sin x . 因为y ′+y =3cos x +4sin x +3sin x ?4cos x =7sin x ?cos x ≠0, 所以y =3sin x ?4cos x 不是所给微分方程的解. (3)y ′′?2y ′+y =0, y =x 2e x ; 解 y ′=2xe x +x 2e x , y ′′=2e x +2xe x +2xe x +x 2e x =2e x +4xe x +x 2e x . 因为y ′′?2y ′+y =2e x +4xe x +x 2e x ?2(2xe x +x 2e x )+x 2e x =2e x ≠0, 所以y =x 2e x 不是所给微分方程的解. (4)y ′′?(λ1 +λ2 )y ′+λ1λ2 y =0, . 解 , . 因为 =0, 所以是所给微分方程的解. 3. 在下列各题中, 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解: 习题7-1 1. 设u =a ?b +2c , v =?a +3b ?c . 试用a 、b 、c 表示2u ?3v . 解 2u ?3v =2(a ?b +2c )?3(?a +3b ?c )=2a ?2b +4c +3a ?9b +3c =5a ?11b +7c . 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分, 试用向量证明这是平行四边形. 证明 ; , 而, , 所以. 这说明四边形ABCD 的对边AB =CD 且AB //CD , 从而四边形ABCD 是平行四边形. 3. 把ΔABC 的BC 边五等分, 设分点依次为D 1 、D 2 、D 3 、D 4 , 再把各分点与点A 连接. 试以、 表示向量、、A 3、A 4. 解 , , , . 4. 已知两点M 1 (0, 1, 2)和M 2 (1, ?1, 0). 试用坐标表示式表示向量及. 解 , . 5. 求平行于向量a =(6, 7, ?6)的单位向量. 解 , 平行于向量a =(6, 7, ?6)的单位向量为 或 . 6. 在空间直角坐标系中, 指出下列各点在哪个卦限？ A (1, ?2, 3); B (2, 3, ?4); C (2, ?3, ?4); D (?2, ?3, 1). 解 A 在第四卦限, B 在第五卦限, C 在第八卦限, D 在第三卦限. 7. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置: A (3, 4, 0); B (0, 4, 3); C (3, 0, 0); D (0, ?1, 0). 解 在xOy 面上, 的点的坐标为(x , y , 0); 在yOz 面上, 的点的坐标为(0, y , z ); 在zOx 面上, 的点的坐标为(x , 0, z ). 在x 轴上, 的点的坐标为(x , 0, 0); 在y 轴上, 的点的坐标为(0, y , 0), 在z 轴上, 的点的坐标为(0, 0, z ). A 在xOy 面上, B 在yOz 面上, C 在x 轴上, D 在y 轴上. 8. 求点(a , b , c )关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标. 解 (1)点(a , b , c )关于xOy 面的对称点为(a , b , ?c ); 点(a , b , c )关于yOz 面的对称点为(?a , b , c ); 点(a , b , c )关于zOx 面的对称点为(a , ?b , c ). (2)点(a , b , c )关于x 轴的对称点为(a , ?b , ?c ); 点(a , b , c )关于y 轴的对称点为(?a , b , ?c ); 点(a , b , c )关于z 轴的对称点为(?a , ?b , c ). (3)点(a , b , c )关于坐标原点的对称点为(?a , ?b , ?c ). 9. 自点P 0 (x 0 , y 0 , z 0 )分别作各坐标面和各坐标轴的垂线, 写出各垂足的坐标. 解 在xOy 面、yOz 面和zOx 面上, 垂足的坐标分别为(x 0, y 0 , 0)、(0, y 0 , z 0 )和(x 0 , 0, z 0 ). 在x 轴、y 轴和z 轴上, 垂足的坐标分别为(x 0 , 0, 0), (0, y 0 , 0)和(0, 0, z 0 ). 10. 过点P 0 (x 0 , y 0 , z 0 )分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面, 问在它们上面的点 的坐标各有什么特点？ 解 在所作的平行于z 轴的直线上, 点的坐标为(x 0 , y 0 , z ); 在所作的平行于xOy 面的平面上, 点的坐标为(x , y , z 0 ). 11. 一边长为a 的立方体放置在xOy 面上, 其底面的中心在坐标原点, 底面的顶点在x 轴和y 轴上, 求它各顶点的坐标. 解 因为底面的对角线的长为 , 所以立方体各顶点的坐标分别为 , , , , , , , . 12. 求点M (4, ?3, 5)到各坐标轴的距离. 解 点M 到x 轴的距离就是点(4, ?3, 5)与点(4, 0, 0)之间的距离, 即 . 点M 到y 轴的距离就是点(4, ?3, 5)与点(0, ?3, 0)之间的距离, 即 . 点M 到z 轴的距离就是点(4, ?3, 5)与点(0, 0, 5)之间的距离, 即 . 13. 在yOz 面上, 求与三点A (3, 1, 2)、B (4, ?2, ?2)和C (0, 5, 1)等距离的点. 解 设所求的点为P (0, y , z )与A 、B 、C 等距离, 则 习题1-4 1. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解 不一定. 例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim 0=→x x x βα, ) ()(x x βα不是无穷小. 2. 根据定义证明: (1)392+-=x x y 当x →3时为无穷小; (2)x x y 1sin =当x →0时为无穷小. 证明 (1)当x ≠3时|3|3 9||2-=+-=x x x y . 因为?ε >0, ?δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有 εδ=<-=+-=|3|3 9||2x x x y , 所以当x →3时3 92+-=x x y 为无穷小. (2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x x x y . 因为?ε >0, ?δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有 εδ=<-≤=|0||1sin |||||x x x y , 所以当x →0时x x y 1sin =为无穷小. 3. 根据定义证明: 函数x x y 21+= 为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件, 能使|y |>104？ 证明 分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+ 高等数学答案吴赣昌 【篇一：高等数学Ⅲ(1)教学大纲】 s=txt>课程代码： 050005 课程性质：公共必修总学时：56 学时总学分： 3.5学分开课学期：第一学期适用专业：旅游、经管等专业先修课程：中学数学后续课程：高等数学Ⅲ（2）大纲执笔人：项明寅参加人：高等数学教研室课任教师审核人：胡跃进编写时间： 2009年08月编写依据：黄山学院 2009本科培养方案 （ 2009 ）年版 一、课程介绍 本课程的研究对象是函数（变化过程中量的依赖关系）．内容包括函数、极限、连续，一元函数微积分学，多元函数微积分学，无穷级数和常微分方程等． 二、本课程教学在专业人才培养中的地位和作用 “高等数学”课程是黄山学院经管学院、旅游学院相关各专业的一门必修的重要基础理论课，是为培养社会主义建设需要的使用型大学本科人才服务的． 通过各个教学环节，逐步培养学生的抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、自学能力，较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．为学生学习后续课程和进一步获得近代科学技术知识奠定必要的数学基础． 三、本课程教学所要达到的基本目标 通过本课程的学习，要使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础．要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力． 四、学生学习本课程应掌握的方法和技能 本课程的特点是理论性强，思想性强，和相关基础课及专业课联系 较多，教学中应注重启发引导学生掌握重要概念的背景思想，理解 重要概念的思想本质，避免学生死记硬背．要善于将有关学科或生 活中常遇到的名词概念和微积分学的概念结合起来，使学生体会到 学习微积分的必要性．注重各教学环节（理论教学、习题课、作业、辅导参考）的有机联系, 特别是强化作业和辅导环节，使学生加深对 课堂教学内容的理解，提高分析解决问题的能力和运算能力．教学 中有计划有目的地向学生介绍学习数学和学习专业课之间的关系， 学习高等 数学是获取进一步学习机会的关键学科．由于学科特点，本课程教 学应突出教师的中心地位，通过教师的努力，充分调动学生的学习 兴趣． 五、本课程和其他课程的联系和分工 本课程是经、管等相关专业的第一基础课．本课程的学习情况事关 学生后继课程的学习，事关学生学习目标的确定及学生未来的走向．本课程学习结束后，以此为出发点，学生才能进入相关课程的 学习阶段． 本课程是四年大学学习开始必须学好的基础理论课．课程基础性、 理论性强，和相关课程的学习联系密切，是全国硕士研究生入学测 试统考科目，关系到学生综合能力的培养．本课程的学习情况直接 关系到学校的整体教学水平。 六、本课程的教学内容和目的要求 【第一编】函数、极限、连续（共20学时）1、教学目的和要求： （1）理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单使用问题 中的函数关系．（2）了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 习题12-3 1. 求下列齐次方程的通解: (1)022=---'x y y y x ; 解 原方程变为 1)(2--=x y x y dx dy . 令x y u =, 则原方程化为 12-+=+u u dx du x u , 即dx x du u 11 12=-, 两边积分得 C x u u ln ln )1ln(2+=-+, 即Cx u u =-+12, 将x y u =代入上式得原方程的通解 Cx x y x y =-+1)(2, 即222Cx x y y =-+. (2)x y y dx dy x ln =; 解 原方程变为x y x y dx dy ln =. 令x y u =, 则原方程化为 u u dx du x u ln =+, 即dx x du u u 1)1(ln 1=-, 两边积分得 ln(ln u -1)=ln x +ln C , 即u =e Cx +1, 将x y u =代入上式得原方程的通解 y =xe Cx +1. (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0; 解 这是齐次方程. 令x y u = , 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+x 2u 2)dx -x 2u (udx +xdu )=0, 即dx x udu 1=, 两边积分得 u 2=ln x 2+C , 将x y u =代入上式得原方程的通解 y 2=x 2(ln x 2+C ). (4)(x 3+y 3)dx -3xy 2dy =0; 解 这是齐次方程. 令x y u = , 即y =xu , 则原方程化为 (x 3+x 3u 3)dx -3x 3u 2(udx +xdu )=0, 即dx x du u u 121332=-, 两边积分得 C x u ln ln )21ln(213+=--, 即2312x C u - =, 将x y u =代入上式得原方程的通解 x 3-2y 3=Cx . (5)0ch 3)ch 3sh 2(=-+dy x y x dx x y y x y x ; 解 原方程变为x y x y dx dy +=th 32. 令x y u =, 则原方程化为 u u dx du x u +=+th 32, 即dx x du u u 2sh ch 3=, 两边积分得 3ln(sh u )=2ln x +ln C , 即sh 3u =Cx 2, 将x y u = 代入上式得原方程的通解 22sh Cx x y =. (6)0)1(2)21(=-++dy y x e dx e y x y x . 解 原方程变为y x y x e e y x dy dx 21)1(2+-=. 令y x u =, 则原方程化为 u u e e u dy du y u 21)1(2+-=+, 即u u e e u dy du y 212++-=, 华南理工大学网络教育学院 2017–2018学年度第二学期 《高等数学B(上)》作业 1 、求函数y = 解: 1012[1,2220 -?≥??≤<-??-≠?x x x x 要求，即定义域为)。 2 、设函数y =dy 。 解：dy dx '== 3、设方程0y e xy e +-=所确定的隐函数为()y y x =，求dy dx 。 解：两边关于x 求导： 0y e y y x y ''++= 即 y y y x e '=- + 4、 求极限011lim 1sin x x e x →??- ?-?? 。 解：0sin (1)lim (1)sin x x x x e e x →--=-原式 20s i n (1)l i m x x x e x →--= 0c o s l i m 2x x x e x →-= 0s i n x l i m 2 x x e →--=1-2= 5、求函数x y xe -=的单调区间和极值。 解：连续区间为(,)-∞+∞ (1)x x x y e xe x e --'=-=- 令01y x '=?= 10;10;x y x y ''><<>当时，当时， 即当11;x x ><时，单调减；当时，单调增 11(1)x y e -==为极大值点，极大值为。 6、求1(13ln ) dx x x +?。 解：11= (13ln )31+3ln d x x +?原式 1=l n 13l n 3x C ++ 7、求20 sin x xdx ?π 。 解：[]222000=(cos )cos cos xd x x x xdx ππ π-=-+??原式 []200sin x π =+ 1= 8、 D 若是由曲线2y x =与2x y +=所围，求D 的面积。 解：先求交点：2 212 y x x x x y ?=?=-=?+=?或 D 的面积为：1 122322119(2)2232x x dx x x x --??--=--= ???? 习题12-9 1. 求下列各微分方程的通解: (1)2y ''+y '-y =2e x ; 解 微分方程的特征方程为 2r 2+r -1=0, 其根为211= r , r 2=-1, 故对应的齐次方程的通解为 x x e C e C Y -+=2211. 因为f (x )=2e x , λ=1不是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y *=Ae x , 代入原方程得 2Ae x +Ae x -Ae x =2e x , 解得A =1, 从而y *=e x . 因此, 原方程的通解为 x x x e e C e C y ++=-2211. (2)y ''+a 2y =e x ; 解 微分方程的特征方程为 r 2+a 2=0, 其根为r =±ai , 故对应的齐次方程的通解为 Y =C 1cos ax +C 2sin ax . 因为f (x )=e x , λ=1不是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y *=Ae x , 代入原方程得 Ae x +a 2Ae x =e x , 解得2 11a A +=, 从而21*a e y x +=. 因此, 原方程的通解为 2 211sin cos a e ax C ax C y x +++=. (3)2y ''+5y '=5x 2-2x -1; 解 微分方程的特征方程为 2r 2+5r =0, 其根为r 1=0, 252-=r , 故对应的齐次方程的通解为 x e C C Y 2521-+=. 因为f (x )=5x 2-2x -1, λ=0是特征方程的单根, 故原方程的特解设为 y *=x (Ax 2+Bx +C ), 代入原方程并整理得 15Ax 2+(12A +10B )x +(4B +5C )=5x 2-2x -1, 比较系数得31=A , 53-=B , 257=C , 从而x x x y 25 75331*23+-=. 因此, 原方程的通解为 x x x e C C y x 2575 33123521+-++=-. (4)y ''+3y '+2y =3xe -x ; 解 微分方程的特征方程为 r 2+3r +2=0, 其根为r 1=-1, r 2=-2, 故对应的齐次方程的通解为 Y =C 1e -x +C 2e -2x . 因为f (x )=3xe -x , λ=-1是特征方程的单根, 故原方程的特解设为 y *=x (Ax +B )e -x , 代入原方程并整理得 2Ax +(2A +B )=3x , 比较系数得23=A , B =-3, 从而)32 3(*2x x e y x -=-. 因此, 原方程的通解为 )323 (2221x x e e C e C y x x x -++=---. (5)y ''-2y '+5y =e x sin2x ; 解 微分方程的特征方程为 r 2-2r +5=0, 其根为r 1, 2=1±2i , 故对应的齐次方程的通解为 Y =e x (C 1cos2x +C 2sin2x ). 因为f (x )=e x sin2x , λ+i ω=1+2i 是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y *=xe x (A cos2x +B sin2x ), 代入原方程得 《高等数学（一）》作业 一、求下列函数的定义域 （1）x y cos =； X>=0 （2）)1ln(+=x y 。 X+1>0 X>-1 （1）;11 x y -=(<>是不等于的意思) 1-x<>0 X<>1 二、用区间表示变量的变化范围： (1)6≤x ； (2)1)1(2≤-x -1<=x-1<=1 [ 0,2 ] (3）41≤+x ； -4<=1+x<=4 [ -5,3 ] 三、求下列极限 (1)x x x x 3)1( lim +∞ → (2)h x h x h 2 20)(lim -+→； (3）n n n 1lim 2+∞→ (4))12(lim 2 1x x x + - ∞ →; (5) x x x arctan lim ∞→; (6)x x x x sin 22cos 1lim 0-→ (7）;6) 12)(2)(1(lim 3n n n n n +++∞→ (8）;2sin 5sin lim 0x x x → (9）1 45lim 1 ---→x x x x (10）)1 3(lim 3 n n + ∞ →； (11）x x x 55sin ) sin(lim ∞→； (12）x x x 3tan lim ∞→； 四、求下列函数的微分： （1）)4sin(+=wt A y （A 、w 是常数）； （2）)3cos(x e y x -=- 五、求下列函数的导数 (1）54323-+-=x x x y ； (2）x y 2sin =； (3)x y 2ln 1+=； (4);cos ln x y = (5)x x y ln = ; 习题9?1 1. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy面上的闭区域D, 薄板上分布有密度为μ=μ(x, y)的电荷,且μ(x, y)在D上连续,试用二重积分表达该板上全部电荷Q. 解板上的全部电荷应等于电荷的面密度μ(x, y)在该板所占闭区域D上的二重积分 . 2. 设,其中D 1 ={(x, y)|?1≤x≤1, ?2≤y≤2}; 又,其中D 2 ={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤2}. 试利用二重积分的几何意义说明I 1与I 2 的关系. 解I 1表示由曲面z=(x 2 +y 2 ) 3 与平面x=±1, y=±2以及z=0围成的立体V的体积. I 2表示由曲面z=(x 2 +y 2 ) 3 与平面x=0, x=1, y=0, y=2以及z=0围成的立体V 1 的体积. 显然立体V关于yOz面、xOz面对称,因此V 1 是V位于第一卦限中的部分,故 V=4V 1, 即I 1 =4I 2 . 3. 利用二重积分的定义证明: (1)∫∫ (其中σ为D的面积); 证明由二重积分的定义可知, 其中Δσ i 表示第i个小闭区域的面积. 此处f(x, y)=1, 因而f(ξ, η)=1, 所以 . (2)∫∫ (其中k为常数); 证明 . (3), 其中D =D 1 ∪D 2 , D 1 、D 2 为两个无公共内点的闭区域. 证明 将D 1 和D 2 分别任意分为n 1 和n 2 个小闭区域 和, n 1 +n 2 =n , 作和 . 令各 和 的直径中最大值分别为λ1 和λ2 , 又λ=ma x (λ1λ2 ), 则有 , 即 . 4. 根据二重积分的性质, 比较下列积分大小: (1)∫∫与, 其中积分区域D 是由x 轴, y 轴与直线 x +y =1所围成; 解 区域D 为: D ={(x , y )|0≤x , 0≤y , x +y ≤1}, 因此当(x , y )∈D 时, 有(x +y )3 ≤(x +y )2 , 从而 ≤. (2)∫∫与其中积分区域D 是由圆周(x ?2)2 +(y ?1)2 =2 所围成; 解 区域D 如图所示, 由于D 位于直线x +y =1的上方, 所以当(x , y )∈D 时, x +y ≥1, 从而(x +y )3≥(x +y )2 , 因而 . (3)∫∫与其中D 是三角形闭区域, 三角顶点分别为(1, 0), (1, 1), (2, 0); 解 区域D 如图所示, 显然当(x , y )∈D 时, 1≤x +y ≤2, 从而0≤ln(x +y )≤1, 故有 第一章函数、极限与连续 习题1-1 1．求下列函数的定义域： 知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① a log □,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③ (0)≥ ④ arcsin （[]1,1-∈）等 6．设下面所考虑函数的定义域关于原点对称，证明： （1） 偶函数+偶函数=偶函数 奇函数+奇函数=奇函数； （2） 偶函数?偶函数=偶函数 奇函数?奇函数=偶函数 偶函数?奇函数=奇函数。 知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质。 思路：讨论定义域D 是否关于原点对称 定义证明 习题1-2 1．求下列函数的反函数： （1） 11x y x -=+ （2） 1 22+=x x y 知识点：反函数求法； 思路：解出x 的过程即为求反函数的过程，直接函数的因变量变为反函数的自变量； 注意定义域的讨论。 8．已知()[]x x f cos 1+=?，()2 sin x x =?，求()x f 。 知识点：函数复合； 思路：换元法①令()()t x t x 1-=?=??（此种方法要求x 易解），x 、()x ?分别用()t 1-?、t 代； 换元法②将()[]x f ?的表达式化成用()x ?表达的式子（需要技巧） ，再令()t x =?代换； 9． ()x x f sin =，()()21x x f -=? ，求()x ? 及其定义域； 知识点：函数的复合及定义域； 解： ()()()()()()π???k x x x x x f 21arcsin 1sin 22+-=?-==， ()x ?的自然定义域为1112≤-≤-x ，即22≤≤-x 习题1-4 解题思路： 数列极限定义（N -ε）：任意给定正数ε（无论多小），总存在正整数N =----，使得对于N n > 时的一切n x ，总有 ε<-a x n 成立，则a x n n =∞ →lim ； 大学高等数学课后习题答案 总习题六 23???1(求由曲线与纵轴所围图形面积。 y,(4,x) 233/2思路:曲线关于x轴对称，又曲线的一条分支是关于的减函 yxx,,,(4),(4)yx,,(4)x 数，见图6-1可知用y型或用对称性求图形面积较为简单。 y 8 x04 ,8 图6-1 2/3解:曲线表达为，它和y轴的交点:() x,4,y0,,8 88831282/32/35/3? (4)2(4)2(32S,,ydy,,ydy,,y,,,,80550???2(求介于直线之间、由曲线和所围成的平面图形的面积。 x,0,x,2,y,sinxy,cosx 2,解: S,sinx,cosxdx,0 ,/45,/42, ,(cosx,sinx)dx，(sinx,cosx)dx，(cosx,sinx)dx,42,,,0/45/4,, 22???3(直线将椭圆分成两块，设小块面积为A，大块面积为B，求的y,xx， 3y,6yA/B 值。 22思路:由于和的交点为及，，因此面积较小的一y,x(0,0)(3/2 , 3/2)x， 3y,6y3/2,1 部分用y型做较简单，见图6-3 y y,x B 3/2 A 1 x 3/23/2 图6-3 ,,0y3/2,解:较小部分区域表达为:: D,A2y,x,6y,3y, xt,3cos yt,，sin1,3/2/693322则， Ayyydytdt,,,,,,,,(63)3cos,,0/2,,834 33233433,,，? ,,，,，,,,AB/,B33434833，,112222???4(求椭圆和公共部分的面积。 x，y,1x，y,133 122思路:由图形的对称性可得所求面积是和及所围在第一象限内区域面积Dy,xx,0yx，,113 的8倍，见图6-4 y 122 y，x,13 y,x D1 x 图6-4 ,03/2,,y ,2解: : D,1yyx,,,1,3, ,2yt,3sin3/2y226? ,,,,,,,,SSydytdt88(1)83cos33D,,10033 33???5(求由曲线所围图形面积。 x,acost,y,asint 习题1-8 1. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形: (1)???≤<-≤≤=2 1 210 )(2x x x x x f ; (2)? ??>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f . 解 (1)已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, 1lim )(lim 211==--→→x x f x x , 1)2(lim )(lim 1 1=-=++→→x x f x x 所以1)(lim 1 =→x f x , 从而函数f (x )在x =1处是连续的. 综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数. (2)只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性. 在x =-1处, 因为f (-1)=-1, )1(11lim )(lim 11-≠==---→-→f x f x x , )1(1lim )(lim 1 1-=-==++-→-→f x x f x x , 所以函数在x =-1处间断, 但右连续. 在x =1处, 因为f (1)=1, 1lim )(lim 11==--→→x x f x x =f (1), 11lim )(lim 1 1==++→→x x x f =f (1), 所以函数在x =1处连续. 综合上述讨论, 函数在(-∞, -1)和(-1, +∞)内连续, 在x =-1处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续: (1)2 3122+--=x x x y , x =1, x =2; (2)x x y tan =, x =k , 2 ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ? ? ?); (3),1cos 2x y = x =0; (4)? ??>-≤-=1 31 1x x x x y , x =1. 解 (1)) 1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点. 因为∞=+--=→→2 31lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;关于高等数学课后习题答案
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