车辆薄板有限元分析中的多因子不完全分解预处理解法

车辆薄板有限元分析中的多因子不完全分解

预处理解法

姚 松 田红旗

1中南大学轨道交通安全教育部重点实验室，湖南长沙，410075

dynacn@https://www.doczj.com/doc/4a12984191.html,

摘要：薄板是轨道车辆结构的主要形式，本文基于离散Kirchhoff 假设的DKT 弯曲板单元推导了四边形弯曲板单元DKQ 的构造过程，并进一步阐述了用于一般薄板问题分析的平板单元的构造。提出了一种“多因子不完全分解” 的预处理方法，与共轭梯度迭代法结合能够大大加快薄板问题大型稀疏方程组的收敛速度，经过数值试验，说明该方法是稳定可靠的。该方法避免了常规不完全分解不适用于薄板这样的 “病态”结构的情况。在此基础上，编写了一般薄板问题分析的有限元程序，程序对结构刚度矩阵采用压缩存贮的方法，节约了大量内存空间。本文还对分解算法中的可选参数进行了优化研究。通过一个数值试验，本程序计算结果与商业有限元软件ANSYS5.7的结果完全一致。

关键词：薄板结构，DKQ 单元，预处理，不完全分解，共轭梯度法

1 概 述

有限元单元法已经成为结构分析的重要方法，薄板结构是轨道车辆的主要结构形式，因此薄板结构有限元分析已成为车辆结构分析中的重大课题。早期的弯曲板单元大多基于经典的薄板理论，在以该理论为基础的板单元的能量泛函中，包含位移的二阶偏导数，要求位移为类连续。这给构造板单元带来了困难，由此研究人员将注意力转向了中厚板单元，大多采用中厚板理论，其能量泛函仅包含位移的一阶导数，只要求位移是类连续，但是用厚板理论建立的单元仅对中厚板有效，当板逐渐变薄时，单元刚度矩阵中的剪切项占主导地位，计算出的弯曲变形远小于实际变形；当板非常薄时，求得的位移趋向于零，从而产生了“剪切闭锁”现象。

1C issner Mindlin Re ?0C 基于离散的假设，

通过挠度和转角分别独立插值，然后在若干个离散点上强迫挠度与转角满足薄板经典理论中的约束，构造出三角形（DKT ）和四边形（DKQ ）薄板弯曲单元，其泛函的表达式又回复为经典薄板理论的泛函表达式，又自然解决了“剪切闭锁现象”问题。多个文献表明DKT 元与DKQ 元在求解薄板弯曲问题时都显示出良好的性能，具有较高的精度。在对实际车辆结构进行有限元分析时，由于结构受力复杂，在承受板平面内的载荷的同时，也有可能板平面外的载荷，因此在进行分析时所采用的平板单元是平面应力单元与DKT 弯曲单元的组合而成。由于三角形平面应力单元为常应变单元，为了提高分析的精度，在本文中我们讨论由四边形膜单元和DKQ 单元组合而成的平板单元。

Kirchhoff Kirchhoff

1 教育部博士点基金（20020533007）项目资助

1https://www.doczj.com/doc/4a12984191.html,

采用有限元法求解薄板弯曲问题最终归结为求解一组稀疏对称正定的线性方程组，，b u K =?K 为整体刚度矩阵，为待求解的位移向量，b 为载荷向量。有限元求解主要分为直接求解器和迭代求解两大类u [1-2]，直接求解是当前应用最为广泛的求解技术，其存贮方案多采用一维变带宽，通过对总体刚度矩阵直接进行或分解，然后再回代求解，采用这类技术经过长期使用比较成熟，但是该方法的劣势在于：分解后不再是稀疏矩阵，在分解的过程中会产生大量的“填入”元，因此对于大型稀疏矩阵的分解不仅耗费时间，而且占用内存。在求解大型结构问题时速度比较缓慢，而且所需存贮空间和计算量随结构规模增大而急剧增加，以致于限制了求解规模。

T LL T

LDL L Cholesky 对于象整车结构分析问题，有限元离散方程组的阶数可以达到几十万阶，采用迭代算法可以仅仅保存刚度矩阵中的非零元素，由给定初值通过若干迭代步骤获得满足一定精度的近似解。传统的迭代法包括：，Jacobi seidel Gauss ?，SOR 等等，这些方法收敛速度过慢而且没有保证，实际运用不多。以预条件共轭梯度法[4-11]（preconditioned Conjugate Gradient Method ，简称为PCG ）为代表的迭代法是近十几年来逐渐兴起并开始得到应用的一类迭代方法，PCG 法的基础是共轭梯度法（CG ）， CG 方法的收敛速率取决于条件数，当矩阵K 的条件数接近1时，CG 法的迭代速度很快，而当矩阵K 的条件数()210>K Con 时，CG 法的迭代就非常慢。为了提高收敛速度，必须通过使用预条件技术把原先的方程组转换成一个等价的，但是系数矩阵条件数更小、更易于收敛的方程组。即选择对称正定矩阵M ，考虑等价方程，若b M Ku M 11??=K M 1?的条件数比K 要好的话，再运用CG 法求解收敛速度就会很快，问题的关键是如何选取M ，使得谱条件数能够得到较大改善。在本文中针对薄板这样的病态问题提出了一种预条件器。

2 多因子不完全分解预处理算法

Meijerink 和于1977年基于“不完全” 分解提出了预条件

算子Vorst der van Cholesky M ，T L D L M ??=，其中矩阵为单位下三角阵，，

L ()()??

???==≠≠==00001ij ij ij K if K if j i L ()0≠=ij ij ij K if K M ，D 为对角矩阵，该方法对于对称正定且对角占优的矩阵比较有效，能够大大提高CG 法的收敛速度，计算又非常简单。但是对于薄板这样的“病态”结构，刚度矩阵并不是严格的对角占优矩阵，在分解过程中矩阵的对角线元素可能会出现负值，从而不能保证预条件矩阵D M 为正定矩阵。在本文中针对薄板问题提出了如下的“多因子不完全分解法”[3]。

将K 矩阵分解为对角矩阵和非对角矩阵的叠加，B D K ?=，其中矩阵为D K 矩阵的对角矩阵，构造出下式：()()FBF B FBF D K ???=，其中：，()，其中为可选择的参数乘子。记矩阵i d n d d d d diag F L L 321,,=10<

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()FBF D ?为W ，可以看到：

()ij j i ij n k n m mj km ik ij ij ij ij B d d D F B F D FBF D W ?=?=?=∑∑==11

由上式可以得到：，可以看出W 与有相同的稀疏结构，其对角元素与矩阵相同，

在非对角元素上由于有和两个小乘子，因此有。因此矩阵也是一个对称正定矩阵。的计算公式如下：???≠==j i K d d j i D W ij

j i ii ij A A i d j d ij ij A W

1>=t t

d 为可选择参数 对： n i ,,2L =∑?==112

2i m mm im m a K d s ，若2t K s ii >，则有s K t d ii i 1=，若2t K s ii ≤，则t d i 1= 当K 对称正定，在的情况下，W 的不完全分解存在，记为，1>t E L L W T

???=σE 为误差矩阵，且对角元素i σ均大于零。那么有()()FBF B E L L FBF B W K T ?+???=??=σ，将的不完全分解也可作为总体刚度矩阵W T L L ??σK 的不完全分解，而且由于对角元素i σ均大于零，该分解可以作为预条件算子，其算法如下：

111W =σ

j

j m jm m im ij ij L L W L σσ???????????=∑?=11 m i m im ii i L W σσ??=∑?=1

12

得到上述预条件矩阵后，将薄板结构有限元方程转化为：，其中，，，通过这样的变换，由于误差矩阵的忽略，实际上T y C =?()T

L K L C 111??????=σx L y T ?=b L T ??=??11σ(FBF B E ?+)I C ≠，但是其条件数与K 相比有明显改善。以上述变换公式代入CG 方法，即可以求出结构位移向量，流程如下：

00x K b r ??=， 为第一次迭代值的余差

010r M p ?=?0r 0x 那么第次迭代为：

k ()()()k T k k T k k p K p p r ??=α

k k k k p x x ?+=+α1 k k k k p K r r ???=+α1

()(()())k T k k T k k r r r r ??=++11β k k k k r r p ?+=++β11迭代过程直至和二者的差别“足够”小时，计算过程就收敛了。 1+k x k x 3

从上面的流程可见，整个计算流程只要求计算刚度矩阵K 与一个列向量的乘积，而刚度矩阵K 对称而且各行的零元素对于乘积是没有任何贡献的，因此可以按照压缩存贮的格式将整体刚度稀疏矩阵的下三角矩阵“按行或按列”的方式压缩存贮，在本文中采用了实数型数组存放非零元素的值，整型数组存放非零元素所在的列，整型数组存放“每一行或每一列”起始非零元素的位置，其中为结构刚度矩阵下三角矩阵中非零元素的总数，ND 为结构总自由度数。采用这样的压缩存贮方式能够最大限度地节约内存空间。

)(NZ stiffvalue )(NZ newcolumn )1(_+ND lower total NZ 3 DKQ 弯曲板单元及平板单元

DKQ 四边形弯曲板单元基于四个DKT 三角形弯曲板单元[12]，如下图1所示：

图1 DKQ 单元 图2 DKT 单元

根据虚功原理，四边形单元（1234）的虚功可以由上图所划分的①、②、③、④四个三角形的虚功相叠加之后除2。因此DKQ 单元的构造是通过组成四边形的四个三角形DKT 单元的构造组集以后得到。

DKT 单元采用和w x θ，y θ的独立插值，w 和x θ，y θ之间的约束方程通过在三角形的三个角节点和三个中节点位置强迫实现，因此其泛函表达式恢复为经典薄板理论的泛函表达式：

∫∫∫∫?

???????=Πdxdy w q dxdy D T κκ21， κ为板弯曲的广义应变 每个角节点有参数,i w xi θ，yi θ()3,2,1=i ,一共9个自由度构成单元的节点位移向量，边中节点有参数xi θ，yi θ()6,5,4=i ，直法线的假设通过下述方式引入：

Kirchhoff 在角节点：(3,2,100=???

????=???????????=?????????i y w x w yi i xi i θθ) 在中间节点：()()6,5,4210=???????+==?????????k s w nj ni nk sk k θθθθ 通过约束条件将各边中间节点的转角参数“凝聚”掉，不但提高了位移场的精度，而且保证了相邻单元之间的协调性。

将弯曲板单元和平面膜单元组合起来就得到了平板单元的单元刚度矩阵，在局部坐标系中，节点位移参数本不包含zi θ，但是为了进行总刚集成时避免共面单元组集后出现zi θ方向刚度为零的情况，在组合过程中给zi θ方向赋予单位刚度，组集过程如下图3：

4

图3 板单元刚度组集示意图图4 薄板例题

4 数值试验

针对薄板有限元问题，本文编制了一个有限元程序，该程序采用压缩存贮的方法，将整

体刚度矩阵中的非零元素存贮在三个一维数组中。采用上文中提出的“多因子不完全因子分

解算法”及预处理共轭梯度法对如图4所示薄板问题进行了分析，一块斜向放置的薄板，其

底部被完全约束，顶部受到水平载荷的作用，离散以后节点总数为5858，单元总数为5700，

自由度总数为35148，总体刚度下三角矩阵中非零元素总数为949470，计算结果与商业有限

元软件ANSYS5.7的计算结果进行了对比，结果完全一致。

在采用“多因子不完全分解方法”计算时，由于t是一个大于1的可选参数，本文选取

了t为不同参数取值时，计算收敛时的迭代次数，本文还采用一般共轭梯度法时进行了计算。

计算方法参数t选取收敛时迭代次数

参数t选取收敛时迭代次数本文方法 1.005 1938 1.01 2114 本文方法 1.02 2456 1.03 2770 本文方法 1.05 3446 1.07 3972 本文方法 1.10 4746 2.00 14684 共轭梯度法（CG）31164

表1 采用本方法不同值时迭代次数与共轭梯度法时的迭代次数

t

图5 采用本方法时迭代次数随值变化的曲线图

t

通过表1和图5可以看出，采用预条件处理的共轭梯度法与不作预处理的迭代方法相比，

迭代次数要小很多，说明采用本文中的“多因子不完全分解法”能够有效地降低矩阵的条件

数，加快收敛的速度。从t不同的取值中我们可以看出，在t必须大于1以保证不完全分解

顺利进行的前提下，t值越小，收敛速度越快。从我们构造的W矩阵可以看出（其对角元素

与矩阵相同，在非对角元素有

A

ij

j

i

ij

A

d

d

W?

?

=），t值越小时，W矩阵与矩阵就更接

A

5

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近，那么相应的其不完全分解也就更接近矩阵，经过预处理后，方程的条件数也就更接近1，从而保证有比较快的收敛速度。从表1看出，当时，由于W 矩阵与矩阵的差别已比较大，预处理对于加速收敛的效应不太明显。

A 2≥t A 5 结 论

（1） 本文提出了一种“多因子不完全分解法”针对薄板有限元分析的方程组进行预优处

理，该方法能够大大加快共轭梯度迭代法收敛的速度，经过数值试验，说明该方法是稳定可靠的。

（2） 本文采用基于离散假设的DKT 弯曲板单元推导了四边形弯曲板单元

DKQ 的构造过程，在此基础上阐述了用于一般薄板问题分析的平板单元的构造，并编写了一般薄板问题分析的有限元程序，其计算结果与商业有限元软件的结果完全一致。

Kirchhoff 参考文献

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https://www.doczj.com/doc/4a12984191.html,

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A Multi-Parameter Incomplete Factorization Preconditioning Method for Vehicle Thin-Walled Finite

Element Analysis

Yao Song Tian hongqi

Truck and Transportation Safety Key Laboratory of Ministry of Education, Central South

University, Changsha, Hunan, 410075

Abstract

Thin-walled is the main form of truck vehicles structures. Based on discrete Kirchhoff assumption, DKQ bending elements are constructed from DKT bending elements. Furthermore the constitution of plate elements used for general thin-walled problems is discussed in this paper. A multi-parameter incomplete factorization preconditioning technique is presented. In combination with conjugate gradient, the convergent rate of ill-conditioned large sparse symmetric linear equations for thin-walled problems is accelerated greatly. Numerical test shows that the method is stable and efficient. The method avoid the fact that general incomplete factorization doesn’t apply the ill structures such as thin-walled. On the basis a finite element program for general thin-walled structures is compiled, which utilizes compressed-deposited format and saves a great deal of memory. In this paper a option parameter in factorization algorithm is optimized. Finally through a numerical test, the analysis results obtained from the program are completely in accordance with commercial FEM software ANSYS5.7. Keywords: Thin-walled Structure，DKQ Element，Preconditioning Method，Incomplete Factorization，Conjugate Gradient

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有限元法在汽车行业中的应用

有限元法在汽车行业中的应用 【摘要】：汽车车身结构主要是由薄板冲压的覆盖件、承载骨架和各种加强件组成的。在有限元分析中可将它看成是由许多单元所组成的整体, 或起承载作用, 或承受、传递外部载荷, 以保证整个汽车的正常工作。 【关键词】：汽车；技术；应用 在当前的工程技术领域中有越来越多的复杂结构，包括复杂的几何形状、复杂的载荷作用和复杂的支撑约束等。当对这些复杂问题进行静、动态力学性能分析时, 往往可以很方便地写出基本方程和边界条件, 但却求不出解析解。这是因为大量的工程实际问题非常复杂, 有些构件的形状甚至不可能用简单的数学表达式表达, 所以就更谈不上解析解了。 对于这类工程实际问题, 通常有两种分析和研究途径: 一是对复杂问题进行简化, 提出种种假设, 最终简化为一个能够处理的问题。这种方法由于太多的假设和简化, 将导致不准确乃至错误的答案。另一种方法是尽可能保留问题的各种实际工况, 寻求近似的数值解。在众多的近似分析方法中, 有限元法是最为成功和运用最广的方法。 1. 汽车结构有限元分析 汽车车身结构主要是由薄板冲压的覆盖件、承载骨架和各种加强件组成的。在有限元分析中可将它看成是由许多单元所组成的整体, 或起承载作用, 或承受、传递外部载荷, 以保证整个汽车的正常工作。由于要完成各自独特的功能, 它们的结构各不相同, 并且都比较复杂。一些结构件的工作条件比较恶劣, 长期在振动和冲击载荷下工作。寻求有关这些结构件正确而可靠的设计和计算方法, 是提高汽车的工作性能及可靠性的主要途径之一。 在汽车结构分析中, 有限元法由于其能够解决结构形状和边界条件都非常任意的力学问题的独特优点而被广泛使用。各种汽车结构件都可应用有限元法进行静态分析、固有特性分析和动态分析; 并且从原来对工程实际问题的静态分析为主转化为要求以模态分析和动态分析为主。也可根据工程实际结构的特点要求进行非线性分析。具体地说, 汽车结构有限元分析的应用体现于: 一是在汽车设计中对所有的结构件、主要机械零部件的刚度、强度、稳定性分析; 二是在汽车的计算机辅助设计和优化设计中, 用有限元法作为结构分析的工具; 三是在汽车结构分析中普遍采用有限元法来进行各构件的模态分析，同时在计算机屏幕上直观形象地再现各构件的振动模态, 进一步计算出各构件的动态响应, 较真实地描绘出动态过程, 为结构的动态设计提供方便有效的工具。 有限元法分析汽车结构的一般过程如下:

有限元分析-最新法兰算例

题目： 成都石化设计院用于某容器上的带增强法兰的球封头，结构尺寸如图， 工作载荷为内压0.8Mpa,螺栓载荷为535574N,材料为 20R。请按照分析设计的要求分析该结构在上述工况下操作时的各类应力并进行强度校核。 带增强法兰的球封头 载荷分析 1. 用户数据 根据设计图，计算基础数据如下: 2. 结构参数 以下所有厚度均为有效厚度，长度单位：mm

中心接管参数 图1:带增强法兰的椭圆封头-中心接管参数示意图 封头参数 法兰参数

图3: 带增强法兰的椭圆封头-法兰参数示意图 外直径di 960 内直径d2 780 厚度t 66 螺栓数目 24 螺栓中心圆直径d3 915 螺栓孔直径d4 27 垫片内直径d5 800 垫片外直径d6 866 倒角内半径r1 40 倒角外半径r2 15 材料参数 部位 材料 弹性模量 (MPa) 泊松比 比重 (g/cm ) S m (MPa) t 接管 碳素钢锻件 20 190200 0.3 7.84 3 124.6 封头 碳素钢钢板 20R 194600 0.3 7.824 144.2 法兰 碳素钢钢板 20R 190200 0.3 7.84 114.6 载荷条件 内压(MPa) 0.8 螺栓力(N) 535574 二、结构分析 根据法兰结构特点，应进行带增强法兰的椭圆封头的应力分析, 建立力学模型如下： (1) 力学模型

根据带增强法兰的椭圆封头的结构特点和载荷特性，采用了三维力学模型。 图4:带增强法兰的椭圆封头网格图 (2) 边界条件 位移边界条件

节.口总0 0091000 Q00H?n o.ooMon 000(40)0 OCCrHJO O 0EEt44m fl OOa+DM 血伽 OCOeHnO QQQe^W enorHnn novtdoo ■3 00a4?M flOCtHHO OOO H WD QCXnflM OEUrtffiE OCfia^? OoOc^P OOXIJO OOQHOKi aflOrtujo OKftOOO OO^tOOO OIMb^W □ (Kr-KTO 0￡Xfe4QO O S0k*lflJD owxwo 0Kr*?C OQC^nKX B OWHODC QUlXlJO OOCc*{M0 DIHrtOOCi 00^*000 ojnrxin DDOr'HKEI □OC HT KI JO Offl>*aoO 图5:带增强法兰的椭圆封头X方向约束 OnOHOQO^H :-■: I —111 -厂-'I「P I? OOQr^nol □ OLf "J：D OD lr*JDO J OOTtafOOO^- □OOMKKI o込希io PQDZJQ DJO .f*JJO 磁砒 one*aoD OXrtWO otr* 曲io OOCmJjO 图6:带增强法兰的椭圆封头丫方向约束JdJ K U节貞血 ? OOte+COG 0GOHWB tl tJ>+€rt) dOOd-HNO OCCHOff) 力如姻 OCOtrHMO 0EDe4?D 皿 咄M OOQKXn UDOHWO 皿畑 QCQl^QQ OLUrtWO QOOa^nO 0 00*4000 CiCbrHMO QQDrKm OCOa-iOn OOfriMW

有限元分析薄板挠度(附C程序)

1问题描述 某周边简支非均匀的矩形（或圆形）板在均布载荷作用下挠度过大。结合实际，提出集中改进设计方案，并进行对比分析。 2.问题分析 不均匀板有两种主要的情况，结构不均匀和材料不均匀，结构不均匀是指板的厚度不是常量，材料不均匀体现在板的弹性模量和泊松比是变化的。另外，有的板可以是以上两种情况的混合情形。 不均匀板与均匀板的有限元问题有哪些差别呢？下面从均匀板问题推导出非均匀板有限元问题的解决方法。 2.1应力应变 先以结构不均匀板为例来讨论。假设一矩形板长为2，宽为2，厚度沿x ，y 不均匀，由一函数()h ,h x y =描述，但仍然符合薄板假设。对于均匀板，显然h 是一个常数。设挠度为()=x,y ωω，则板内应变向量可以表示为 {}2222211==z 1 2x x y y xy xy x z y x y ρεεεω εγγ?????????????????????????? ?=-???????????????????????? ?????????? 应力应变关系为 {}1p z D σρ????=? ????? 弯矩扭矩矩阵 {}{}()() h ,2h ,2 x y x y M zdz σ-=? 这里就体现出不均匀板和均匀板的区别了。积分完毕后，可以得到 {}[]1M D ρ?? =????

其中薄板的弯曲系数矩阵 []()()()3 21 ,101210 1/2Eh x y D μ μμμ?? ??=??-??-?? 是关于薄板总体坐标的函数，所以对各个分单元都是不同的。 各单元的弯曲系数矩阵可以采用单元中心处的代替。那么就可以得出一系列的弯曲系数矩阵[]D e i 。如果单元划分得足够细，是可以代替真实解的。 2.2单元分析 可以将板分为边长为0.25的矩形小单元，每一个单元都是一样的。对于任何一个单元的节点，都有3项独立的位移 {}i i i xi i yi i w w w y w x δθθ???? ? ???????????? ==???? ??????????? ??????- ???????? 位移模式 ()223123456722333 89101112,w x y x y x xy y x x y xy y x y xy αααααααααααα=+++++++ ++++ 形状函数矩阵是一个112?的行向量 ()[],k l m n N x y N N N N =???? 其中 222222222 2 22222211128111111i i i i i i i i i i i i i x x y y x x y y x y N a b a b a b x x y y y y x x y y x x y x a b b a b a ? ??????=++++--?? ? ????????????? ? ????????????++--++-? ??? ? ? ????????????????? (),,,i k l m n = 单元刚度矩阵 [][][][]1212e e T S k B D B dxdy ?=? 很明显，积分式中包含了弹性系数矩阵，而不同单元的弹性系数矩阵是不同的，所以， 即便单元划分相同，得到的单元刚度矩阵也不同。对于均匀板，相同形式的单元，刚度矩阵

MATLAB代码 解线性方程组的迭代法

解线性方程组的迭代法 1.rs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=rs(A,b,x0,eps,M) if(nargin==3) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值elseif(nargin==4) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-A)*x0+b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 2.crs里查森参数迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=crs(A,b,x0,w,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-w*A)*x0+w*b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x;

if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 3.grs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=grs(A,b,x0,W,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1;%前后两次迭代结果误差 %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-W*A)*x0+W*b;%迭代公式 n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 4.jacobi雅可比迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=jacobi(A,b,x0,eps,varargin) if nargin==3 eps=1.0e-6; M=200; elseif nargin<3 error return elseif nargin==5 M=varargin{1}; end D=diag(diag(A));%求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1);%求A的下三角阵

有限元分析报告样本

《有限元分析》报告基本要求： 1. 以个人为单位完成有限元分析计算，并将计算结果上交；（不允许出现相同的分析模型，如相 同两人均为不及格） 2. 以个人为单位撰写计算分析报告； 3. 按下列模板格式完成分析报告； 4. 计算结果要求提交电子版，报告要求提交电子版和纸质版。（以上文字在报告中可删除） 《有限元分析》报告 一、问题描述 （要求：应结合图对问题进行详细描述，同时应清楚阐述所研究问题的受力状况和约束情况。图应清楚、明晰，且有必要的尺寸数据。） 一个平面刚架右端固定，在左端施加一个y 方向的-3000N 的力P1，中间施加一个Y 方向的-1000N 的力P2，试以静力来分析，求解各接点的位移。已知组成刚架的各梁除梁长外，其余的几何特性相同。 横截面积：A=0.0072 m2 横截高度：H=0.42m 惯性矩：I=0.0021028m4ｘ 弹性模量： E=2.06ｘ10n/ m2/ 泊松比：u=0.3 二、数学模型 （要求：针对问题描述给出相应的数学模型，应包含示意图，示意图中应有必要的尺寸数据；如进行了简化等处理，此处还应给出文字说明。） （此图仅为例题）

三、有限元建模（具体步骤以自己实际分析过程为主，需截图操作过程） 用ANSYS 分析平面刚架 1．设定分析模块 选择菜单路径：MainMenu—preference 弹出“PRreferences for GUI Filtering”对话框，如图示，在对话框中选取：Structural”,单击[OK]按钮，完成选择。 2．选择单元类型并定义单元的实常数 （1）新建单元类型并定 （2）定义单元的实常数在”Real Constants for BEAM3”对话框的AREA中输入“0。0072”在IZZ 中输入“0。0002108”，在HEIGHT中输入“0.42”。其他的3个常数不定义。单击[OK]按 钮，完成选择 3．定义材料属性 在”Define Material Model Behavier”对话框的”Material Models Available”中，依次双击“Structural→Linear→Elastic→Isotropic”如图

ANSYS 有限元分析 平面薄板

《有限元基础教程》作业二：平面薄板的有限元分析 班级：机自101202班 姓名：韩晓峰 学号：201012030210 一．问题描述： P P h1mm R1mm 10m m 10mm 条件：上图所示为一个承受拉伸的正方形板，长度和宽度均为10mm ，厚度为h 为1mm ，中心圆的半径R 为1mm 。已知材料属性为弹性模量E=1MPa ，泊松比为0.3，拉伸的均布载荷 q ＝1N/mm 2。根据平板结构的对称性，只需分析其中的二分之一即可，简化模型如上右图所 示。 二．求解过程： 1 进入ANSYS 程序 →ANSYS 10.0→ANSYS Product Launcher →File management →input job name: ZY2→Run 2设置计算类型 ANSYS Main Menu: Preferences →select Structural → OK 3选择单元类型 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Element Type →Add/Edit/Delete →Add →select Solid Quad 4node 42 →OK → Options… →select K3: Plane Strs w/thk →OK →Close 4定义材料参数 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic →Isotropic →input EX: 1e6, PRXY:0.3 → OK 5定义实常数以及确定平面问题的厚度 A NSYS Main Menu: Preprocessor →Real Constants …→Add/Edit/Delete →Add →Type 1→OK →Real Constant Set No.1,THK:1→OK →Close 6生成几何模型 a 生成平面方板 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Areas →Rectangle →By 2 Corners →WP X:0,WP Y:0,Width:5,Height:5→OK b 生成圆孔平面 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Areas →Circle →Solid Circle →WPX=0,WPY=0,RADIUS=1→OK b 生成带孔板 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Operate →Booleans → Subtract →Areas →点击area1→OK →点击area2→OK 7 网格划分 A NSYS Main Menu: Preprocessor →Meshing →Mesh Tool →(Size Controls) Global: Set →SIZE: 0.5 →OK →iMesh →Pick All → Close

预处理子空间迭代法的一些基本概念

CG 算法的预处理技术：、 为什么要对A 进行预处理：其收敛速度依赖于对称正定阵A 的特征值分布 特征值如影响收敛性：特征值分布在较小的围，从而加速CG 的收敛性 特征值和特征向量的定义是什么？（见笔记本以及收藏的网页） 求解特征值和特征向量的法：Davidson 法：Davidson 法是用矩阵( D - θI)- 1( A - θI) 产生子空间，这里 D 是 A 的对角元所组成的对角矩阵。θ是由 Rayleigh-Ritz 过程所得到的A 的近似特征值。 什么是子空间法： Krylov 子空间叠代法是用来求解形如Ax=b 的程，A 是一个n*n 的矩阵，当n 充分大时，直接计算变得非常困难，而Krylov 法则巧妙地将其变为Kxi+1=Kxi+b-Axi 的迭代形式来求解。这里的K(来源于作者俄国人Nikolai Krylov 姓氏的首字母)是一个构造出来的接近于A 的矩阵，而迭代形式的算法的妙处在于，它将复杂问题化简为阶段性的易于计算的子步骤。 如取正定矩阵Mk 为： Span 是什么？:设 ,称它们的线性组合 为向量 的生成子空间，也称为由成的子空间。记为，也可以记为 什么是Jacobi 迭代法： 什么是G_S 迭代法：请见PPT 《迭代法求解线性程组》 什么是SOR 迭代法： 什么是收敛速度：称收敛速度。度，简 为迭代法的渐近收敛速)(ln )(:5定义B B R ρ-= 什么是可约矩阵与不可约矩阵？：不可约矩阵（irreducible matrix ）和可约矩阵（reducible matrix ）两个相对的概念。 定义1：对于 n 阶阵 A 而言，如果存在一个排列阵 P 使得 P'AP 为一个分块上三角阵，我们就称矩阵 A 是可约的；否则称矩阵 A 是不可约的。 定义2：对于 n 阶阵 A=(aij) 而言，如果指标集 {1，2，...，n} 能够被划分成两个不相交的非空指标集 J 和 K ，使得对任意的 j ∈J 和任意的 k ∈K 都有 ajk=0, 则称矩阵 A 是可约的；否则称矩阵 A 是不可约的。 n 阶矩阵A 是不可约的当且仅当与矩阵A 对应的有向图是强连通的。 什么是正交？：在三维向量空间中， 两个向量的积如果是零， 那么就说这两个向量是正交的。换句话说， 两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交，则记为α⊥β。 什么是正交矩阵？：如果：AA'=E （E 为单位矩阵，A'表示“矩阵A 的转置矩阵”。）或A ′A=E ，则n 阶实矩阵A 称为正交矩阵， 若A 为单位正交阵，则满足以下条件: 1) AT 是正交矩阵 2)（E 为单位矩阵） 3) A 的各行是单位向量且两两正交 4) A 的各列是单位向量且两两正交 5) (Ax,Ay)=(x,y) x,y ∈R 6) |A| = 1或-1 倒着写的A 和E 都是什么意思啊？：反着的E:谓词逻辑 存在量词 ? x: P(x) 意味着有至

线性方程组的迭代解法(Matlab)

第六章线性方程组的迭代解法 2015年12月27日17:12 迭代法是目前求解大规模稀疏线性方程组的主要方法之一。包括定常迭代法和不定常迭代法，定常迭代法的迭代矩阵通常保持不变，包括有雅可比迭代法（Jacobi）、高斯-塞德尔迭代法（Gauss-Seidel）、超松弛迭代法（SOR） 1.雅可比迭代法（Jacobi） A表示线性方程组的系数矩阵，D表示A的主对角部分，L表示下三角部分，U表示上三角部分。 A=D+L+U 要解的方程变为Dx+Lx+Ux=b x=D^(-1)（b-（L+U）x） 所以Jocabi方法如下： Matlab程序 function [x,iter] =jacobi(A,b,tol) D=diag(diag(A)); L=D-tril(A); U=D-triu(A); x=zeros(size(b)); for iter=1:500 x=D\(b+L*x+U*x); error=norm(b-A*x)/norm(b); if(error

有限元法在汽车中的应用

有限元法在汽车中的应用 有限元法是随着计算机技术的应用而发展起来的一种先进的技术，广泛应用于各个领域中的科学计算、设计、分析中，成功的解决了许多复杂的设计和分析问题，己成为工程设计和分析中的重要工具。随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法，有限元法在产品设计和研制中所显示出的无可伦比的优越性，使其成为企业在市场竞争中制胜的一个重要工具，有限元法在机电工程中的应用也越来越重要。现代汽车工业技术快速发展,计算机技术不断推陈出新,使分析仿真技术以其快速高效和低成本的强大优势,成为汽车设计的重要手段,各种分析软件成为CAE技术广泛应用的工具。 有限元在机械设计中的优点是有目共睹的，在汽车的设计中这些优势得到了完美的体现，其优点如下： 1、与CAD软件的无缝集成 当今有限元分析软件的一个发展趋势是与通用CAD软件的集成使用，即在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后，能直接将模型传送到CAE软件中进行有限元网格划分并进行分析计算，如果分析的结果不满足设计要求则重新进行设计和分析，直到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。 2、更为强大的网格处理能力

有限元法求解问题的基本过程主要包括：分析对象的离散化、有限元求解、计算结果的后处理三部分。对于许多工程实际问题，在整个求解过程中，模型的某些区域将会产生很大的应变，引起单元畸变，从而导致求解不能进行下去或求解结果不正确，因此必须进行网格自动重划分。有限元使用的自适应网格往往是许多工程问题如裂纹扩展、薄板成形等大应变分析的必要条件。 3、由求解线性问题发展到求解非线性问题 随着科学技术的发展，线性理论已经远远不能满足设计的要求，许多工程问题如材料的破坏与失效、裂纹扩展等仅靠线性理论根本不能解决，必须进行非线性分析求解，为此国外一些公司花费了大量的人力和物力开发非线性求解分析软件，它们的共同特点是具有高效的非线性求解器、丰富而实用的非线性材料库。 4、由单一结构场求解发展到耦合场问题的求解 理论上已经证明，只要用于离散求解对象的单元足够小，所得的解就可足够逼近于精确值。用于求解结构线性问题的有限元方法和软件已经比较成熟，发展方向是结构非线性、流体动力学和耦合场问题的求解。需要对结构场和流场的有限元分析结果交叉迭代求解，即所谓"流固耦合"的问题。由于有限元的应用越来越深入，人们关注的问题越来越复杂，耦合场的求解必定成为CAE软件的发展方向。 5、程序面向用户的开放性 有限元软件允许用户根据自己的实际情况对软件进行设置和扩充，包括用户自定义单元特性、用户自定义材料本构（结构本构、热

薄板有限元分析

板中圆孔的应力集中 问题：如图所示为一个承受单向拉伸的无限大板，在其中心位置有一个小圆孔。材料属性为弹性模量E=Pa，泊松比为0.3，拉伸载荷q=1000Pa，平板厚度t=0.1. 1、定义工作名和工作标题 （1）定义工作文件名：在弹出的Change Jobname对话框中输入Plate。选择New log and error files复选框，单击OK按钮。 （2）定义工作标题：在弹出的的Change Title对话框中输入The analysis of plate stress with small circle,单击OK按钮。 （3）重新显示：执行replot命令。 2、定义单元类型和材料属性 （1）选择单元类型：在弹出的Element Type中，单击Add按钮，弹出所示

对话框，选择Structural Solid和Quad 8node 82选项，单击OK，然后 单击close。 （2）设置材料属性：在弹出的define material models behavior窗口中，双击structural/linear/elastic/isotropic选项，弹出linear isotropic material properties for material number 1对话框，EX和PRXY分别输入2e11和 0.3，单击OK，执行exit命令。 （3）保存数据：单击SAVE_DB按钮。 3、创建几何模型 （1）生成一个矩形面：执行相应操作弹出create rectangle by dimensions对话

框，输入数据，单击OK，显示一个矩形。 （2）生成一个小圆孔：执行创建圆的操作弹出对话框，输入数据，单击OK，生成一个圆。 （3）执行面相减操作：执行Booleans/Subtract/Areas命令，生成结果如图示。 （4）保存几何模型：单击SAVE_DB按钮。 4、生成有限元网格（自由网格划分） （1）设置网格的尺寸大小：执行size cntrlsl-global-size命令，弹出对话框，在element edge lenge文本框中输入0.5，单击OK. （2）采用自由网格划分：执行mesh/areas/free命令，生成网格模型如图示。 （3）保存结果：单击SAVE_DB按钮。 5、施加载荷并求解

基于Ansys的汽车外形风洞试验有限元分析讲解

基于Ansys的汽车外形风洞试验有限元分析 【摘要】汽车空气动力学特性对汽车经济性、驾驶安全性、侧风稳定性等有着较大的影响。通过在catia中建立车身几何造型，基于ANSYS的CFD的有限元仿真环境对车身的空气动力动力学特性进行了数值模拟仿真研究，得出该车体的速度矢量图，压力分布图等，并根据模拟仿真的气动造型提出一些建议，为优化汽车车型及改善汽车空气动力学特性提供参考。 1前言 汽车空气动力学特性是汽车的重要性能，它是指汽车在流场中受到的以阻力为主的包括升力、侧向力的三个气动力及其相应的力矩的作用而产生的车身外部和内部的气流特性、侧风稳定性、气动噪声特性、驾驶室内通风、空气调节等特性。随着汽车技术的提高和高等级公路的发展，汽车速度的不断提高以及汽车在行驶时与空气相互作用的各种气动力也越来越显著，在很大程度上影响着的汽车的经济性、动力性和稳定性。迄今为止，国内外汽车空气动力学的研究一般采取试验法、试验与理论相结合法及数值模拟仿真研究法。试验法主要是指风洞试验，目的是为得到准确反映汽车行驶状态时的空气动力学特性数据，其研究对象主要有汽车空气动力特性和汽车各部位的流场。风洞试验的结果精度高、可靠性好，对研究外部气流干扰件的气动作用大小比较有效，但风洞试验成本高、周期长、需要制作一系列的油泥模型等局限性，这些局限性大大阻碍了其在汽车设计的应用，并且风洞试验只能在有限个截面和其上有限个点处测得速度、压力和温度值，不能获得整个流场中任意点的详细信息。此外风洞试验要精确研究某些复杂的流动现象，如层流向湍流的转变、拖曳涡的形成和发展、尾部涡系结构等，其测量截面的选取在很大程度上主要依靠经验，这样使得精确研究这些复杂流动和机理变得非常困难。而在模型风洞试中，还存在着动力相似和几何相似的影响、试验结果与实车的换算问题，要得到准确的结果还有一定的难度。 数值模拟仿真是借助于计算机将用CFD应用于汽车空气动力学研究的方法，其是在计算机上模拟吹风，运用数值分析的方法计算模拟汽车的空气动力学问题，与风洞试验相比，其有利于CAD/CAM系统的相衔接；不受

汽车结构的常规有限元分析

汽车结构的常规有限元分析

汽车结构的常规有限元分析 作者：唐述斌 本文介绍了与产品研发同步的5个有限元分析阶段，阐述了有限元模型建立过程中应注意的问题，简单介绍了汽车产品的4种常规分析方法，建立汽车设计标准的方法，以及3个强度分析范例。范例1说明了有限元分析应注意的内容，范例2和3介绍了“应力幅值法”在解决汽车车轮轮辐开裂和汽车发动机汽缸体水套底板开裂问题 的应用。 汽车是艺术和技术的结合。一辆好车的主要特点是造型美观、有时代感、结构设计合理、轻量化、材料利用率高，车辆性能先进并且满足国家法规、标准和环保的要求，质量可靠、保养方便、低成本、用户满意、满足市场需求等。在竞争日益激烈的汽车市场，汽车性价比已经成为市场竞争的焦点。采用有限元的常规分析技术，用计算机辅助设计代替经验设计，预测结构性能、实现结构优化，提高产品研发水平、降低产品成本，加快新产品上市。

1. 与产品研发同步的5个有限元分析阶段 在汽车产品研发流程中，一般有如下5个同步的有限元分析阶段： 第0阶段：对样车进行试验和分析； 第1阶段：概念设计阶段的分析； 第2阶段：详细设计阶段的分析； 第3阶段：确认设计阶段的分析； 第4阶段：产品批量生产后改进设计的分析。

有限元分析在产品研发的不同阶段有不同的分析目的和分析内容。有限元分析和试验分析是互相结合和验证的。在详细设计阶段，有些汽车公司对白车身和成品车车身都进行有限元分析，有些汽车公司只对白车身进行有限元分析。 2. 有限元分析的关键环节――建立合理的有限元模型 有限元模型的建立是有限元分析的关键环节。通

过力学分析，把实际工程问题简化为有限元分析的问题，提出建立有限元模型的具体意见和方法，确定载荷和位移边界条件，使得有限元分析有较好的模拟（仿真）效果。 前处理自动生成的网格可能存在问题。建立有限元模型的好坏直接影响计算结果的误差和分析 结论的正确性。在结构的几何图形上，划分有限元网格是建立有限元模型的主要内容之一。在用有限元分析的前处理自动生成网格时，特别是用常应变单元自动生成有限元网格时要非常注意，有可能存在问题，应引起注意，必要时加以改进。要想用有限元分析前处理自动生成出好的有限 元网格也要付出辛勤地劳动。即使在方案比较的情况下，应力和变形的分布规律也不能离谱，计算结果的误差也应在给定的范围之内，建立好的有限元模型与分析经验有关。 在没有有限元分析指南的情况下，用力学分析和试验结果对有限元模型的确认和对计算结果的 验证是非常重要的，以避免不正确的有限元分析结果误导设计。

法兰有限元分析1

法兰有限元分析 1.下法兰计算 1.1 下法兰计算模型 下法兰卡紧方式是通过卡箍将产品法兰与加压端法兰卡紧。经过适当简化，建立如图1所示计算模型。 图1 下法兰计算模型简图 在产品法兰上端面施加全位移约束fix-all；在加压端法兰内表面施加压力F。 1.2 下法兰分析结果 在t 1100压力作用下，产品法兰，加压端法兰以及卡箍的应力分布情况分别如图2，图3，图4所示。 从下图可以看出产品法兰等效应力的最大值为MPa 423，位于Φ199通孔 6. 最薄弱处（如图上Max标示处）；最大主应力的最大值为MPa 456，位于Φ199 5. 通孔边的R100圆弧上（如图下左Max标示处）；最大剪应力为MPa 184，位于 8. Φ199通孔最薄弱处（如图下右Max标示处）。

图2 产品法兰应力分布图（MPa） 从图3上看，加压端法兰等效应力的最大值位于面上那6个黄点上，但那是由于接触引起的局部应力集中，不予考虑，实际等效应力最大值位置位于中心Φ50通孔上，最大值为MPa 452，同样位于 9. 4. 337，最大主应力的最大值为MPa Φ50通孔上（如图右Max标示处）。

图3 加压端法兰应力分布图（MPa ） 卡箍应力分布如图4所示。其等效应力的最大值位置如图左Max 标示处，最大值为MPa 4.278；最大主应力的最大值位置如图右Max 标示处，最大值为MPa 1.292。 图4 卡箍应力分布图 卡箍的变形用其位移量分布图来表示，卡箍Y 向与Z 向位移量分布如图5。由图看出卡箍在整个装配中向外位移了mm 901.2，自身向外拉伸了 mm mm mm 297.3)396.0(901.2=--。卡箍在整个装配中轴向位移了mm 048.3，卡 箍自身轴向拉伸了mm mm 651 .2)863.2(212.0=---。

一类新的预条件Gauss-Seidel迭代法

一类新的预条件Gauss-Seidel迭代法 摘要：本文给出了一个新的预条件因子 P,证明了在非奇异M矩阵和严 t 格对角占优L矩阵下，该预条件不仅加快了Gauss—Seidel迭代法的收敛速度，而且说明了在该预条件下Gauss—Seidel迭代法的谱半径是单调下降的.最后再用相关的数值例子说明文中给出的预条件 P要优于文献中所给的预条件. t 关键词：预条件；Gauss—Seidel迭代法；谱半径；收敛性；收敛速度. A New Class of Preconditioned Gauss-Seidel Interative Method P. Abstract: This paper give a new preconditioner large sparse linear equations t In the pre condition,by using Gauss-Seidel iteration format was linear equations .we first present a preconditions factor and then prove the accelerated convergence of the iteration method by the preconditions under the nonsingular Mmatrix．Discussed the in the the Strictly Diagonally Dominant the L matrix under the conditions of, the pre-conditions to speed up the the the convergence speed of of the Gauss-Seidel iterative method, but also in the the pre-under the conditions of the the Spectral Radius of the Gauss-Seidel iterative method is monotonic declining．Finally，some numerical examples are given to explain our theoretical result. Key words:pre-conditions factor，Gauss—Seidel iteration method ，spectral radius，weak regular splitting;，convergence rate.

ANSYS有限元分析与实体建模

第五章实体建模 5.1实体建模操作概述 用直接生成的方法构造复杂的有限元模型费时费力，使用实体建模的方法就是要减轻这部分工作量。我们先简要地讨论一下使用实体建模和网格划分操作的功能是怎样加速有限元分析的建模过 程。 自下向上地模造有限元模型：定义有限元模型顶点的关键点是实体模型中最低级的图元。在构造实体模型时，首先定义关键点，再利用这些关键点定义较高级的实体图元（即线、面和体）。这就是所谓的自下向上的建模方法。一定要牢记的是自下向上构造的有限元模型是在当前激活的坐标系内 定义的。 图5-1自下向上构造模型 自上向下构造有限元模型：ANSYS程序允许通过汇集线、面、体等几何体素的方法构造模型。当生成一种体素时，ANSYS程序会自动生成所有从属于该体素的较低级图元。这种一开始就从较高级的实体图元构造模型的方法就是所谓的自上向下的建模方法。用户可以根据需要自由地组合自下向上和自上向下的建模技术。注意几何体素是在工作平面内创建的，而自下向上的建模技术是在激活的坐标系上定义的。如果用户混合使用这两种技术，那么应该考虑使用CSYS，WP或CSYS，4命令强迫坐标 系跟随工作平面变化。 图5-2自上向下构造模型（几何体素） 注意：建议不要在环坐标系中进行实体建模操作，因为会生成用户不想要的面或体。

运用布尔运算：可以使用求交、相减或其它的布尔运算雕塑实体模型。通过布尔运算用户可直接用较高级的图元生成复杂的形体。布尔运算对于通过自下向上或自上向下方法生成的图元均有效。 图5-3使用布尔运算生成复杂形体。 拖拉或旋转：布尔运算尽管很方便，但一般需耗费较多的计算时间。故在构造模型时，如果用拖拉或旋转的方法建模，往往可以节省计算时间，提高效率。 图5-4拖拉一个面生成一个体〔VDRAG〕 移动和拷贝实体模型图元：一个复杂的面或体在模型中重复出现时仅需要构造一次。之后可以移动、旋转或拷贝到所需的地方。用户会发现在方便之处生成几何体素再将其移动到所需之处，这样 往往比直接改变工作平面生成所需体素更方便。 图5-5拷贝一个面 网格划分：实体建模的最终目的是为了划分网格以生成节点和单元。在完成了实体建模和建立了单元属性，网格划分控制之后，ANSYS程序可以轻松地生成有限元网格。考虑到要满足特定的要求，用户可以请求映射网格划分生成全部都是四边形、三角形或块单元。

ANSYS_有限元分析_平面薄板

： P P h 1mm R1mm 10m m 10mm 条件：上图所示为一个承受拉伸的正方形板，长度和宽度均为10mm ，厚度为h 为1mm ，中心圆的半径R 为1mm 。已知材料属性为弹性模量E=1MPa ，泊松比为0.3，拉伸的均布载荷q ＝ 1N/mm 2。根据平板结构的对称性，只需分析其中的二分之一即可，简化模型如上右图所示。 二．求解过程： 1 进入ANSYS 程序 →ANSYS12.0→ANSYS Product Launcher →File management →input job name: ZY2→Run 2设置计算类型 ANSYS Main Menu: Preferences →select Structural → OK 3选择单元类型 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Element Type →Add/Edit/Delete →Add →select Solid Quad 4node 42 →OK → Options… →select K3: Plane Strs w/thk →OK →Close 4定义材料参数 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic →Isotropic →input EX: 1e6, PRXY:0.3 → OK 5定义实常数以及确定平面问题的厚度 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Real Constants …→Add/Edit/Delete →Add →Type 1→OK →Real Constant Set No.1,THK:1→OK →Close 6生成几何模型 a 生成平面方板 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Areas →Rectangle →By 2 Corners →WP X:0,WP Y:0,Width:5,Height:5→OK b 生成圆孔平面 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Areas →Circle →Solid Circle →WPX=0,WPY=0,RADIUS=1→OK b 生成带孔板 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Operate →Booleans → Subtract →Areas →点击area1→OK →点击area2→OK 7 网格划分 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Meshing →Mesh Tool →(Size Controls) Global: Set →SIZE: 0.5 →OK →iMesh →Pick All → Close 8 模型施加约束 a 分别给左边施加x 和y 方向的约束 ANSYS Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Displacement →

线性方程组的迭代解法_赖志柱

第三章 线性方程组的迭代解法 教学目标： 1.了解线性代数方程组迭代解法的基本思想，向量序列和矩阵序列收敛的基本思想及相关定理； 2.掌握迭代法的构造思想、收敛性和速度（率）以及相关定理； 3.在理解Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的原理的基础上，掌握两种迭代法的计算步骤和相互关系，并掌握两种迭代法的收敛性相关定理。 4.初步了解超松弛（SOR ）迭代法的基本思想。 教学重点： 1.迭代法的原理、基本思想和序列收敛的概念； 2.迭代法的构造、收敛和速率； 3. Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的原理、实现步骤和收敛性； 教学难点： 1.迭代法的构造、收敛和速率； 2. Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的原理、实现步骤和收敛性； 线性方程组的直接解法，用于阶数不太高的线性方程组效果较好。实际工作中有的线性方程组的阶数很高，用直接法求解效果不是很好。而迭代法与直接法不同，它是通过从某些初始向量出发，用设计好的步骤逐次计算出近似解向量 ()k x ，从而得到向量序列(0)(1)(2){,,,}x x x 。一般(1)k x +的计算公式为 (1)()(1)()(,, ,),0,1, k k k k m k x F x x x k +--== 式中(1)k x +与()(1)(),,,k k k m x x x --有关，称为多步迭代法。若(1)k x +只与()k x 有关，即 (1)()(),0,1, k k k x F x k +== 则称为单步迭代法。现再设k F 是线性的，即 (1)(),0,1, k k k k x B x f k +=+= 其中n n k B R ?∈，称为单步线性迭代法，k B 称为迭代矩阵。若k B 和k f 与k 无关， 即 (1)(),0,1, k k x Bx f k +=+= 称为单步定常线性迭代法。 迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法去求线性代数方程组的解。 迭代法的关键有： （1）如何构造迭代公式(1)()k k x Bx f +=+？ （2）迭代法产生的向量序列的收敛条件是什么？收敛速度如何？