定积分的概念与性质

定积分的概念与性质

在数学中，定积分是一种重要的数学工具，用于求解曲线下的面积

以及计算函数的平均值和总和。本文将介绍定积分的概念与性质，帮

助读者更好地理解和应用该概念。

一、定积分的概念

定积分是微积分中的一种方法，用于计算曲线下的面积。它是对函

数在给定区间上的求和过程。我们将一个区间划分成无穷小的小区间，并在每个小区间上选择一个点，然后将每个小区间的函数值和小区间

长度相乘，再将这些乘积相加，最终得到定积分的值。

定积分的表示方法是∫[a, b] f(x)dx，其中a和b是积分区间的边界，

f(x)是要进行积分的函数。定积分代表了函数f(x)在[a, b]区间上的总和

或者面积。

二、定积分的计算方法

1. 用基本定积分公式计算定积分。对于一些简单的函数，我们可以

直接使用基本定积分公式进行计算。例如，∫x^2 dx = 1/3x^3 + C，其中

C是常数。

2. 使用不定积分和积分区间上的定义进行计算。如果我们已知函数

f(x)在区间[a, b]上的原函数F(x)，那么定积分的值就等于F(b) - F(a)。

这是因为定积分可以看作是函数在两个边界上的累积变化量。

3. 利用定积分的性质进行计算。定积分具有线性性质，即∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx。此外，如果函数f(x)在区间[a,

b]上连续，且f(x)≥0，则定积分的值表示了曲线下的面积。

三、定积分的性质

1. 定积分与原函数的关系。如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且

F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)。这个公式可以

用来计算一些不易积分的函数。

2. 定积分的加法性质。对于两个函数f(x)和g(x)，以及一个常数k，有∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx，以及∫[a, b] kf(x)dx = k∫[a, b] f(x)dx。这意味着我们可以将函数相加或乘以常数后再进行积分。

3. 定积分的区间可加性。对于一个函数f(x)和区间[a, b]，以及一个

在[a, b]范围外也有定义的点c，有∫[a, b] f(x)dx + ∫[b, c] f(x)dx = ∫[a, c]

f(x)dx。这个性质允许我们将积分区间划分成多个子区间来进行计算。

4. 定积分和反函数的关系。如果函数f(x)在区间[a, b]上连续且单调

递增（或递减），并且f(a)≤f(b)，则∫[a, b] f(x)dx ≤ ∫[f(a), f(b)] f^(-

1)(y)dy。这个性质表明，定积分可以保持函数值的顺序关系。

四、定积分的应用

1. 计算曲线下的面积。定积分可以用于计算曲线与x轴之间的面积。如果函数f(x)在积分区间[a, b]上非负，那么∫[a, b] f(x)dx表示了曲线与

x轴之间的面积。

2. 求平均值和总和。在统计学中，我们经常需要计算某个连续变量

的平均值或总和。通过对其概率密度函数进行定积分，我们可以得到

该变量的平均值和总和。

3. 求解微分方程。定积分在求解微分方程中起到重要的作用。通过

对微分方程两边进行定积分，我们可以将微分方程转化为定积分方程，从而求解出未知函数。

4. 确定连续变量的概率。定积分可以用于计算概率密度函数下的概率。通过对概率密度函数进行定积分，我们可以确定连续变量落在某

个特定区间内的概率。

综上所述，定积分是一种重要的数学工具，具有丰富的性质和广泛

的应用。通过理解定积分的概念与性质，我们可以更好地应用它来解

决实际问题。期望本文对读者对定积分有所帮助。

定积分的概念和性质公式

1. 曲边梯形的面积 设在区间上，则由直线、、及曲线 所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成 n 个小区间 ，小区间的长度 在每个小区间上任取一点作乘积， 求和取极限：则面积取极限

其中，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在内插入若干分点将其分成 n 个小区间，小区间长度，。任取， 做 求和取极限：则路程取极限 定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 将分成 n 个小区间，其长度为，在每个小区间 上任取一点，作乘积，并求和， 记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的点

怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数在区间上的定积分，记作，即 ，（*） 其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限， 叫积分上限，叫积分区间。叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间 可积，（1）在区间上连续，则在可积。（2）在区间 上有界且只有有限个间断点，则在上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以 3.规定 时 , 在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积；

在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）； 例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值 （1）（三角形面积）（2）（半圆面积）

设可积 性质1 性质2 性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有 性质4 性质5 如果在区间上，，则 推论 性质6 （定积分的估值）设 M 及 m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则 性质7 （定积分中值定理） 如果函数在区间上连续，则在上至少有一点， 使成立

定积分的概念及性质

定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用 一． 定积分的定义 A ）定义： 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 ， 把区间[a,b]分成n 个小区间 ，记 },......,,max{,,......2,1,211n i i i x x x n i x x x ???==-=?-λ 在[i i x x ,1-]上任意取一点i ξ， 作和式： )1.......( )(1 i n i i x f ?∑=ξ 如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i ξ在[i i x x ,1-]怎样选取，只要0→λ有 →?∑=i n i i x f 1 )(ξI （I 为一个确定的常数），则称极限I 是f(x)在[a,b]上的定积分，简称 积分，记做 ?b a dx x f )(即I=?b a dx x f )(其中f(x)为被积函数，f(x)dx 为积分表达式，a 为积 分下限，b 为积分上限，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间。 例：求曲边图形面积：3x y =的图像在[]1,0∈x 间与1=x 及x 轴围成的图形面积。 注： 1、有定义知道 ?b a dx x f )(表示一个具体的数，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变 量x 无关，即?b a dx x f )(=?b a du u f )(=?b a dt t f )( 2、定义中的0→λ不能用∞→n 代替 3、如果i n i i x f Lim ?∑=→1 )(ξλ存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b] 上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？ 经典反例：? ? ?=中的无理点，为，中的有理点， 为]10[0]10[,1)(x x x f 在[0，1]上不可积。

定积分的概念及性质

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 定积分的概念及性质 图 1 图 2 A B 4.4 定积分的概念及性质课题： 定积分的概念及性质目的要求： 理解定积分的概念及其性质重点： 定积分的概念、定积分的几何意义难点： 定积分的概念教学方法： 讲授为主、讲练结合教学时数： 2 课时教学进程： 定积分是积分学的另一个重要的基本概念，和导数概念一样，它也是在解决各种实际问题中逐渐形成并发展起来的，现已成为解决许多实际问题的有力工具．本节将首先从实际问题出发引出定积分的概念，并介绍定积分的几何意义和性质．随后的两节再介绍定积分与微分的内在联系，定积分的计算及其简单应用．一、定积分的概念 1．两个引例例 1 求曲边梯形的面积．初等数学可以计算多边形、圆形和扇形等图形的面积，但对于较复杂的曲线所围成的图形(图 1)的面积计算则无能为力．如图所示，我们总可以用若干互相垂直的直线将图形分割成如阴影部分所示的基本图形，它是由两条平行线段，一条与之垂直的线段，以及一条曲线弧所围成，这样的图形称为曲边梯形．特别地，当平行线之一缩为一点时，称为曲边三角形．现在求由直线0,,===ybxax和连续曲线)(xfy = ) 0)((xf所围成的曲边梯形 AabB (图 2)的面积 S ．如 1 / 7

果曲边梯形的高不变,即Cy =(常数),则根据矩形面积公式面积=底高便可求出它的面积．但如果)(xfy =是一般曲线，则底边上每一点 x 处的高)(xf随 x 变化而变化，上述计算公式就不适用．对于这样一个初等数学无能为力的问题，我们解决的思路是：将曲边梯形分成许多小长条(图 2),每一个长条都用相应的矩形去代替,把这些矩形的面积加起来,就近似得到曲边梯形的面积S ．小长条分得越细，近似程度越好，取极限就是面积 S ．具体地，分四步来解决． (1) 分割(化整为零) 在区间],[ba内任意添加1n个分点： 将区间],[ba分成 n 个子区间，这些子区间的长度记为 1 i=}?{iixxx ),, 2 , 1=(ni，并用符号i x?= max表示这些子区间的最大长度．过1n个分点作 x 轴的垂线，于是将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，它们的面积记作i S? ),, 2 , 1=(ni．显然=i?=niSS1． (2) 代替（以直代曲）在第 i 个子区间],[1iixx 上任取一点i ，作以)(if 为高，],[1iixx为底的第 i 个小矩形，小矩形的面积为 iixf?)( ),, 2 , 1=(ni第i 个小曲边梯形的面积 iiixfS??)( ),, 2 , 1=(ni． (3) 求和（求曲边梯形面积的近似值）将 n 个小矩形的面积加起来，便得到原曲边梯形面积的近似值 nxfS1(4) 取极限（积零为整）不难想到，当分割越来越细(即 n 越来越大，同时最长的子区间长度越来越小时)， n 个矩形的面积和就越来越接近于原曲边梯形的面积．于是

定积分的概念与性质

定积分的概念与性质 在数学中，定积分是一种重要的数学工具，用于求解曲线下的面积 以及计算函数的平均值和总和。本文将介绍定积分的概念与性质，帮 助读者更好地理解和应用该概念。 一、定积分的概念 定积分是微积分中的一种方法，用于计算曲线下的面积。它是对函 数在给定区间上的求和过程。我们将一个区间划分成无穷小的小区间，并在每个小区间上选择一个点，然后将每个小区间的函数值和小区间 长度相乘，再将这些乘积相加，最终得到定积分的值。 定积分的表示方法是∫[a, b] f(x)dx，其中a和b是积分区间的边界， f(x)是要进行积分的函数。定积分代表了函数f(x)在[a, b]区间上的总和 或者面积。 二、定积分的计算方法 1. 用基本定积分公式计算定积分。对于一些简单的函数，我们可以 直接使用基本定积分公式进行计算。例如，∫x^2 dx = 1/3x^3 + C，其中 C是常数。 2. 使用不定积分和积分区间上的定义进行计算。如果我们已知函数 f(x)在区间[a, b]上的原函数F(x)，那么定积分的值就等于F(b) - F(a)。 这是因为定积分可以看作是函数在两个边界上的累积变化量。

3. 利用定积分的性质进行计算。定积分具有线性性质，即∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx。此外，如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(x)≥0，则定积分的值表示了曲线下的面积。 三、定积分的性质 1. 定积分与原函数的关系。如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且 F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)。这个公式可以 用来计算一些不易积分的函数。 2. 定积分的加法性质。对于两个函数f(x)和g(x)，以及一个常数k，有∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx，以及∫[a, b] kf(x)dx = k∫[a, b] f(x)dx。这意味着我们可以将函数相加或乘以常数后再进行积分。 3. 定积分的区间可加性。对于一个函数f(x)和区间[a, b]，以及一个 在[a, b]范围外也有定义的点c，有∫[a, b] f(x)dx + ∫[b, c] f(x)dx = ∫[a, c] f(x)dx。这个性质允许我们将积分区间划分成多个子区间来进行计算。 4. 定积分和反函数的关系。如果函数f(x)在区间[a, b]上连续且单调 递增（或递减），并且f(a)≤f(b)，则∫[a, b] f(x)dx ≤ ∫[f(a), f(b)] f^(- 1)(y)dy。这个性质表明，定积分可以保持函数值的顺序关系。 四、定积分的应用 1. 计算曲线下的面积。定积分可以用于计算曲线与x轴之间的面积。如果函数f(x)在积分区间[a, b]上非负，那么∫[a, b] f(x)dx表示了曲线与 x轴之间的面积。

定积分的基本概念

方法与手段导入 幻灯 幻灯 幻灯 幻灯 详讲 详讲 详讲 幻灯

下面就是根据这个思想用计算机对其划分过程进行了模拟，通过观察我们可以发现其面积在分割份数特别多的时候已经非常的接近我们的曲边梯形面积了。 事实上我们如果对其切割的份数取极限，让切割的份数趋于无穷，这个极限值就是我们要求的曲边梯形的面积值。 好，下面，我们把曲边梯形的求解过程用数学的方法描述一下。 解决步骤： 大化小：在区间[a,b]中任意插入n −1个分点a =x 0

定积分的概念及性质

一、定积分的概念及性质 定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。 牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。 被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。 定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。 二、定积分的计算 定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。 定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。例如用换元法来计算定积分 ? 2 2cos sin π xdx x ， 如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即 ? 20 2cos sin π xdx x x u sin = 3 13 110 31 2 = =?u du u 。 可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即 =?202 cos sin πxdx x 3 1sin 3 1sin sin 20 3 20 2 = =?ππx x xd 。 在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。

定积分概念与性质(Concept

第五章 定积分 Chapter 5 Definite Integrals 5.1 定积分的概念和性质（Concept of Definite Integral and its Properties ） 一、定积分问题举例（Examples of Definite Integral ） 设在()y f x =区间[],a b 上非负、连续，由x a =，x b =，0y =以及曲线() y f x =所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。 Let ()f x be continuous and nonnegative on the closed interval [],a b . Then the region bounded by the graph of ()f x , the x -axis, the vertical lines x a =, and x b = is called the trapezoid with curved edge. 黎曼和的定义（Definition of Riemann Sum ） 设()f x 是定义在闭区间[],a b 上的函数，?是[],a b 的任意一个分割， 011n n a x x x x b -=<<<<=， 其中i x ?是第i 个小区间的长度，i c 是第i 个小区间的任意一点，那么和 ()1 n i i i f c x =?∑，1 i i i x c x -≤≤ 称为黎曼和。 Let ()f x be defined on the closed interval [],a b , and let ? be an arbitrary partition of [],a b ,011n n a x x x x b -=<< <<=, where i x ? is the width of the i th subinterval. If i c is any point in the i th subinterval, then the sum ()1 n i i i f c x =?∑，1 i i i x c x -≤≤, Is called a Riemann sum for the partition ?. 二、定积分的定义（Definition of Definite Integral ） 定义 定积分（Definite Integral ） 设函数()f x 在区间[],a b 上有界，在[],a b 中任意插入若干个分点 011n n a x x x x b -=<< <<=，把区间[],a b 分成n 个小区间： [][][]01121,,,,,,,n n x x x x x x - 各个小区间的长度依次为110x x x ?=-，221x x x ?=-，…，1n n n x x x -?=-。在每个小区

定积分的基本性质及应用

定积分的基本性质及应用 定积分是微积分的重要概念之一，它在数学和各个学科中都有广泛的应用。本 文将重点介绍定积分的基本性质和在实际问题中的应用，并且通过具体的例子来加深理解。 定义： 定积分是对一个函数在闭区间上的加权平均值进行求和的过程。在数学中，一 个函数f(x)在[a, b]上的定积分表示为： ∫(a to b) f(x) dx 其中，∫代表求和的过程，a和b是积分的上下限，f(x)是被积函数。 基本性质： 1. 线性性质：定积分具有线性性质，即对于任意两个函数f(x)和g(x)，以及任 意的实数k，有以下等式成立： ∫(a to b) (f(x) + g(x)) dx = ∫(a to b) f(x) dx + ∫(a to b) g(x) dx ∫(a to b) k*f(x) dx = k * ∫(a to b) f(x) dx 2. 区间可加性：如果一个函数在闭区间[a, b]上有定义，且在其中一个点c上可导，则该函数在[a, b]上的定积分等于该函数在子区间[a, c]和[c, b]上的定积分之和：∫(a to b) f(x) dx = ∫(a to c) f(x) dx + ∫(c to b) f(x) dx 3. 积分中值定理：如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且在该区间内不恒 为0，那么至少存在一个点c，使得： ∫(a to b) f(x) dx = f(c) * (b - a)

4. 边界性质：对于定积分∫(a to b) f(x) dx，当a等于b时，定积分的值为0。若 a小于b，则定积分的值为正数或负数，具体取决于函数f(x)在[a, b]上的正负性。 5. 非负性质：如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且非负，那么定积分的值 也是非负的。 应用： 定积分在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍两个具体的应用。 1. 几何应用： 定积分可以用于计算曲线与坐标轴之间的面积。如果一个函数在闭区间[a, b]上非负，那么该函数与x轴围成的曲边梯形的面积可以通过定积分来计算：面积= ∫(a to b) f(x) dx 同样的，若函数f(x)在闭区间[a, b]上非正，那么面积可以表示为定积分的绝对值。这种方法可以应用于计算曲线、曲面、体积等几何问题。 2. 物理应用： 定积分在物理学中有着广泛的应用。例如，速度与时间之间的关系可以通过定 积分来表示。假设一辆车的速度在时刻t时为v(t)，那么在一段时间[a, b]内，该车 所行驶的距离可以用定积分来计算： 距离= ∫(a to b) v(t) dt 同样的，加速度与时间的关系也可以用定积分来表示。例如，如果车辆的加速 度在时刻t时为a(t)，那么在一段时间[a, b]内，速度的变化可以通过定积分来计算：速度的变化= ∫(a to b) a(t) dt 这些是定积分在物理中的应用之一，它们不仅仅适用于机械运动，还可以应用 于其他领域，如电磁场理论、热力学等。

高等数学-第5章 5.1 定积分的概念与性质

第5章 定积分及其应用 定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题，这类问题往往归结为计算“和式的极限”.定积分与不定积分是两个不同的概念,微积分基本定理揭示了这两个概念之间的关系,解决了定积分的计算问题.本章将从两个实例出发引出定积分的概念,然后讨论定积分的性质和计算方法,介绍定积分在几何上和物理学上的一些应用. §5.1 定积分的概念与性质 一、引例 1. 曲边梯形的面积 在中学，我们学过求三角形、矩形等以直线为边的图形的面积。但在实际应用中，有时需要求以曲线为边的图形的面积（图5.1），这种图形可以分割为若干个一条边为曲线，而其余边为直线的图形（图5.2）。 现考虑求由连续曲线()(()0)y f x f x =≥以及直线0===y b x a x 、、所围成图形（图 5.3）的面积，这种图形称为曲 边梯形，曲线()y f x =叫做曲边梯形的曲边。 怎样计算曲边梯形的面积呢？不妨回顾一下我们是怎样求函数在某点的瞬时变化率（切线的斜率、瞬时速度）的，都是先求某一区间内的平均变化率（割线的斜率、平均速度），得到某点变化率的近似值，再 取极限由近似变化率过渡到精确变化率（切线的斜率、瞬时速度）。简言之，就 图 5.3 图5.1 图5.2

是先求近似值，再取极限由近似值过渡到精确值。我们也采取这种方法来求曲边梯形的面积，先将曲边梯形分割成若干个小的曲边梯形，每个小曲边梯形都用一个小矩形近似代替，则所有小矩形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，当把曲边梯形无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形的面积. 为了便于表述，按下面四个步骤求曲边梯形的面积A ： （1）分割 用1n +个分点 01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<= ， 把区间],[b a 分成n 个小区间 011211[,],[,],,[,],,[,]i i n n x x x x x x x x -- ， 它们的长度依次为 11022111,,,,,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=- ， 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，第i 个小曲边梯形的面积记为(1,2,,)i A i n ?= ，则所求曲边梯形的面积可表示为 121n n i i A A A A A ==?+?+???+?=?∑。 (2) 近似代替 在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点1()i i i i x x ξξ-≤≤，以1[,]i i x x -为底、()i f ξ为高的小矩形的面积为()i i f x ξ?（图5.4），它近似等于第i 个小曲边梯形的面积， 图5.4

定积分的概念

定积分与微积分定理 1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx =? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分()b a f x dx ?是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ?，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点 []1,i i i x x ξ-∈；③求和：1 ()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? （3）曲边图形面积：()b a S f x dx =?；变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =?； 变力做功 ()b a W F r dr =? 2．定积分的几何意义 说明：一般情况下，定积分()b a f x dx ?的 几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）． 分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。 考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ?+?++?++?L L 不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +

定积分的起源和背景

定积分的起源和背景 一、定积分的概念 定积分是微积分中的一个重要概念，它是对曲线下面的面积进行计算的一种方法。在数学上，定积分是对一个函数在某个区间内的面积进行求解，通常用符号∫来表示。 二、定积分的起源和背景 1. 希腊数学家亚历克西斯·斯图菲特（Alexis Clairaut）提出了曲线下方面积的概念，并将其称为“fluxion”，这是定积分的最早形式。 2. 后来，德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss）和勒贝格（Joseph Louis François Bertrand）独立地发明了现代意义上的定积分。 3. 在17世纪末期，牛顿和莱布尼茨独立地发明了微积分，并将其应用于物理学、工程学等领域中。 三、定积分的定义与性质 1. 定义：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的定积分为 ∫abf(x)dx。其中dx表示自变量x所取得小量。 2. 性质： （1）可加性：若f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，则 ∫ab[f(x)+g(x)]dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx。

（2）线性性：若f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，c为任意常数，则∫ab[c·f(x)]dx=c·∫abf(x)dx。 （3）区间可加性：若f(x)在区间[a,c]和[c,b]上连续，则 ∫abf(x)dx=∫cf(x)dx+∫bf(x)dx。 四、定积分的计算方法 1. 几何法：将曲线下方的面积分割成若干个小面积，然后将这些小面积相加得到整个曲线下方的面积。 2. 牛顿-莱布尼茨公式：设F(x)是f(x)的一个原函数，则有 ∫abf(x)dx=F(b)-F(a)，即定积分等于原函数在区间端点处的差值。 3. 分部积分法：设u=u(x)，v=v(x)，则有∫uv'dx=uv-∫u'vdx。 五、定积分的应用 1. 几何应用：可以计算曲线下方的面积、曲线长度、曲线旋转体体积等几何量。 2. 物理应用：可以计算物理学中各种物理量，如质心、转动惯量、功等。 3. 经济应用：可以计算经济学中的各种量，如总收益、平均收益等。 六、定积分的发展与前景 1. 定积分是微积分中的重要概念，它在数学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

微积分中的定积分与反常积分——微积分知识要点

微积分中的定积分与反常积分——微积分知 识要点 微积分是数学中的一个重要分支，主要研究函数的变化率和积分。定积分与反 常积分是微积分中的两个重要概念，本文将重点介绍这两个概念及其在微积分中的应用。 一、定积分的概念与性质 定积分是微积分中的一个重要概念，表示函数在一定区间上的累积变化量。定 积分的计算可以通过求导的逆运算——不定积分来实现。定积分的计算公式为：∫(a到b) f(x)dx 其中，f(x)为被积函数，a和b为积分区间的端点。定积分的结果是一个数值。 定积分具有以下几个重要性质： 1. 定积分的值与积分区间的选取无关，只与被积函数有关。这是定积分在实际 应用中的重要特性。 2. 定积分可以表示函数曲线与x轴之间的面积或有向面积。当被积函数为正时，定积分表示曲线所围成的面积；当被积函数为负时，定积分表示曲线下方的有向面积。 3. 定积分具有线性性质，即对于两个函数f(x)和g(x)，以及常数k，有以下公 式成立： ∫(a到b) [f(x) + g(x)]dx = ∫(a到b) f(x)dx + ∫(a到b) g(x)dx ∫(a到b) k·f(x)dx = k·∫(a到b) f(x)dx 这些性质使得定积分在微积分中具有广泛的应用。

二、反常积分的概念与分类 反常积分是指在积分区间上，被积函数存在某些特殊点或者函数在无穷远处趋 于无穷或趋于零的情况下，定积分的计算方法。反常积分可分为以下两类： 1. 第一类反常积分：积分区间的一个或两个端点为无穷大或无穷小。对于这类 反常积分，需要对积分区间进行适当的变换，将其转化为有限区间上的定积分。 2. 第二类反常积分：被积函数在积分区间上存在无界或间断点。对于这类反常 积分，需要分别讨论无界点和间断点的情况，进行特殊处理。 反常积分的计算需要注意收敛性与发散性的判断，只有在积分收敛的情况下才 能得到具体的数值结果。 三、定积分与反常积分的应用 定积分与反常积分在微积分中具有广泛的应用。以下是一些常见的应用领域： 1. 几何学：定积分可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积，例如计算圆的面积、曲线的弧长等。 2. 物理学：定积分可以用来描述物体的质量、体积、密度等物理量，例如计算 物体的质心、质量中心等。 3. 统计学：定积分可以用来计算概率密度函数下的概率，例如计算正态分布曲 线下的概率。 4. 工程学：定积分可以用来计算电路中的电流、功率等物理量，例如计算电路 中的电流分布、功率消耗等。 5. 经济学：定积分可以用来计算经济学模型中的总收益、总成本等，例如计算 市场需求曲线下的总收益。 总结：

定积分的概念及性质

51定积分的概念及性质 摘要：(3)定积分是一个数,不定积分是一个函数的原函数的全体.因此,定积分和不定积分是两个完全不同的概念.4.布置作业(略)5.2微积分基本定理... 关键词：积分,微积分 类别：专题技术 来源：牛档搜索（https://www.doczj.com/doc/4a19205489.html,） 本文系牛档搜索（https://www.doczj.com/doc/4a19205489.html,）根据用户的指令自动搜索的结果，文中内涉及到的资料均来自互联网，用于学习交流经验，作品其著作权归原作者所有。不代表牛档搜索（https://www.doczj.com/doc/4a19205489.html,）赞成本文的内容或立场，牛档搜索（https://www.doczj.com/doc/4a19205489.html,）不对其付相应的法律责任！

5.1定积分的概念及性质 教学目的 理解定积分的概念和性质,了解定积分的几何意义 教学重点 定积分的概念 教学难点 定积分概念的理解 教学内容 1.复习 不定积分的概念. 2.讲授新课 2.1两个引例 引例1 曲边梯形的面积 由连续曲线)(x f y =（()0≥x f ）和b x a x ==,及0=y 围成的平面图形AabB 称为曲边梯形（如图5-1）． 由于曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间[]b a ,上是不断变化的，因而它的面积不能由公式 底×高 求得.为了计算曲边梯形的面积，我们可以先将它分割成若干个小曲边梯形，在小曲边梯形中)(x f 的变化很小，可以用相应的小矩形近似代替，用所有小矩形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积.显然，分割的越细，近似程度就越高，当无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值. 根据以上分析，我们按下面的方法求曲边梯形的面积. 设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，且()0≥x f . 在],[b a 上任取1-n 个内分点： b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ，将区间[]b a , 分割为个小区间: 图1 01121[,],[,],,[,]n n x x x x x x - 记每一小区间长度为1--=∆i i i x x x ，过分点(1,2,,)i x i n =⋅⋅⋅作轴的垂线，将曲边梯形 AabB 分割为个小曲边梯形；设i A ∆表示第个小曲边梯形的面积，则曲边梯形AabB AabB

定积分基本概念

定积分基本概念 定积分是微积分中的重要概念之一，用来描述曲线下的面积或者曲线围成的封闭区域的面积。它在数学、物理学和工程学等多个领域中有着广泛的应用。本文将介绍定积分的基本概念及其相关性质。 一、定积分的概念 定积分可以理解为对一个函数在一个区间上的面积进行求和。给定一个函数f(x)，我们可以将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。我们取这些小区间中的任意一点xi，并计算出该点处的函数值f(xi)，然后将其与Δx相乘。将这些小矩形的面积加起来，得到的和就是函数在区间[a, b]上的定积分。 定积分的数学表示为： ∫(a, b) f(x) dx 其中∫是求和的符号，a和b是积分的上下限，f(x)是被积函数，dx 表示自变量的微小增量。 二、定积分的几何意义 从几何角度来看，定积分表示的是曲线下的面积，也可以看作是曲线与x轴之间的有向面积。当被积函数为非负时，定积分表示的是曲线与x轴之间的面积；当被积函数为负时，定积分表示的是曲线与x 轴之间面积的相反数。 三、定积分的性质

定积分具有几个重要的性质，包括线性性质、积分中值定理、换元积分法等。 1. 线性性质：对于任意的实数a和b，有∫(a, b) (f(x) + g(x)) dx = ∫(a, b) f(x) dx + ∫(a, b) g(x) dx，以及∫(a, b) (af(x)) dx = a∫(a, b) f(x) dx。 2. 积分中值定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，则存在一个点c∈(a, b)，使得∫(a, b) f(x) dx = f(c) × (b - a)。 3. 换元积分法：通过变量替换，可以将一个积分问题转化为另一个更简单的积分问题。换元积分法常用于解决复杂函数的积分计算。 四、定积分的计算方法 具体计算定积分的方法包括分段函数的积分、换元法、分部积分法等。这些方法根据具体的问题和函数性质选择不同的求解策略。 1. 分段函数的积分：对于分段函数，我们可以将其分成若干个不同的区间，在每个区间上分别计算积分，再将结果相加得到最终的定积分。 2. 换元法：通过适当的变量替换，可以将复杂的积分转化为简单的积分。通常选择合适的替换变量使得被积函数在新变量下形式简化。 3. 分部积分法：对于乘积形式的积分，可以使用分部积分法将其转化为更简单的积分。分部积分法利用了积分运算的乘法规则。 五、定积分的应用

定积分的概念

定积分与微积分定理 1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆〔b a x n -∆= 〕，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2, ,i i n ξ=，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=∆=∑∑ 如果x ∆无限接近于0〔亦即n →+∞〕时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，则称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ⎰ 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：〔1〕定积分 ()b a f x dx ⎰ 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S 〔n →+∞时〕称为 ()b a f x dx ⎰ ，而不是n S ． 〔2〕用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点 []1,i i i x x ξ-∈；③求和：1 ()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ 〔3〕曲边图形面积：()b a S f x dx = ⎰ ；变速运动路程21 ()t t S v t dt =⎰； 变力做功()b a W F r dr = ⎰ 2．定积分的几何意义 说明：一般情况下，定积 分 ()b a f x dx ⎰ 的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各局部面 积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．〔可以先不给学生讲〕． 分析：一般的，设被积函数()y f x =，假设()y f x =在[,]a b 上可取负值。 考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆+ +∆ 不妨设1(),(), ,()0i i n f x f x f x +<

定积分的性质

定积分的性质 定积分是微积分中的一个重要概念，它的性质在数学的实际应用中起着重要作用。定积分的性质可以总结为以下几个方面：定积分的基 本概念、定积分的性质、定积分的计算方法和定积分的应用。 首先，定积分的基本概念是指将一个定义在闭区间[a,b]上的连续函数f(x)在该区间上的面积求解出来。定积分可以看作是求和的极限，其中将闭区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n，标记为x_0,x_1,...,x_n。然后通过计算矩形面积来逼近曲线下的面积， 最终得到定积分的值。 定积分的性质包括加法性、恒等性、线性性和区间可加性等。加法性指如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，则它们的和函数 f(x)+g(x)也在[a,b]上连续，并且有∫[a,b] (f(x)+g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b] g(x) dx。恒等性是指如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则有∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数。线性性是指如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，c是常数，则有∫[a,b] (c*f(x)+g(x)) dx = c*∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b] g(x) dx。区间可加性指如果函数f(x)在闭区 间[a,c]和闭区间[c,b]上连续，则有∫[a,b] f(x) dx = ∫[a,c] f(x) dx + ∫[c,b] f(x) dx。 定积分的计算方法包括基本积分法和换元积分法。基本积分法是指通过查表或记住一些基本的积分公式来计算定积分。换元积分法是指 通过变量替换的方法来简化积分的计算过程。另外，还有分部积分法 和定积分的数值计算方法。