《最优化方法》复习题
第一章 概述(包括凸规划)
一、 判断与填空题
1
)].([arg )(arg min max x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2
{}{}
.:)(m in :)(m ax n n R D x x f R D x x f ?∈-=?∈ ?
3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题
)(min x f D x ∈的全局最优解. ?
4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切
)(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D
x ∈的严格局部最
优解. ?
5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √
6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √
7 非空集合n
R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √
8 任意两个凸集的并集为凸集. ?
9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √
10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈?，有).()()()(***-?≤-x x x f x f x f T ?
11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √
12 设{}k x 为由求解)(min x f D
x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法，
则对{} ,2,1,0∈?k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ .
13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。
14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。 √
15 函数R R D f n →?:在点k x 沿着迭代方向}0{\n
k R d ∈进行精确一维线搜索的步长k α，则其搜索公式为 .
16 函数R R D f n →?:在点k x 沿着迭代方向}0{\n
k R d ∈进行精确一维线搜索的
步长k α，则=+?k T k k k d d x f )(α 0 .
17 设}0{\n k R d ∈为点n
k R D x ?∈处关于区域D 的一个下降方向，则对于0>?α，),0(αα∈?使得.D d x k k ∈+α ?
二、 简述题
1 写出Wolfe-Powell 非精确一维线性搜索的公式。
2 怎样判断一个函数是否为凸函数.
（例如: 判断函数2122
212151022)(x x x x x x x f +-++=是否为凸函数）
三、 证明题
1 证明一个优化问题是否为凸规划.（例如 判断0 ..2
1)(min ≥=++=x b
Ax t s b x c Gx x x f T T （其中G 是正定矩阵）是凸规划.
2 熟练掌握凸规划的性质及其证明.
第二章 线性规划
考虑线性规划问题：
,0,..min )(≥=x b Ax t s x
c LP T
其中，m n m n R b R A R c ∈∈∈?,,
为给定的数据，且rank .,n m m A ≤=
一、 判断与选择题
1 (LP)的基解个数是有限的. √
2 若(LP)有最优解，则它一定有基可行解为最优解. √
3 (LP)的解集是凸的. √
4 对于标准型的(LP)，设{}k x 由单纯形算法产生，则对{} ,2,1,0∈k ，有.1+>k T k T x c x c ×
5 若*x 为(LP)的最优解，*y 为(DP)的可行解，则.**y b x c T T ≥ √
6 设0x 是线性规划(LP)对应的基),,(1m P P B =的基可行解，与基变量m x x ,,1 对应的规范式中，若存在0 7 求解线性规划(LP)的初始基可行解的方法：____________________. 8 对于线性规划(LP)，每次迭代都会使目标函数值下降. × 二、 简述题 1 将以下线性规划问题化为标准型： . 0,0, 2, 1242, 6..32)(max 323213213213 21≥≥≥+-≥++≤+++-=x x x x x x x x x x x t s x x x x f 2 写出以下线性规划的对偶线性规划： . 0,, ,, 3342,6342..423)(max 4321432143214 321≥≥+++-=++++++=x x x x x x x x x x x x t s x x x x x f 三、 计算题 熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大M 法及二阶段法）. 见书本： 例2.5.1 (利用单纯形表求解); 例2.6.1 (利用大M 法求解); 例2.6.2 (利用二阶段法求解). 四、 证明题 熟练掌握对偶理论（弱对偶理论、强对偶理论以及互补松弛条件）及利用对偶理论证明相关结论。 第三章 无约束最优化方法 一、 判断与选择题 1 设n n R G ?∈为正定矩阵，则关于G 共轭的任意1+n 向量必线性相关. √ 2 在牛顿法中，每次的迭代方向都是下降方向. × 3 经典Newton 法在相继两次迭代中的迭代方向是正交的. × 4 PRP 共轭梯度法与BFGS 算法都属于Broyden 族拟Newton 算法. × 5 用DFP 算法求解正定二次函数的无约束极小化问题，则算法中产生的迭代方向一定线性无关. √ 6 FR 共轭梯度法、PRP 共轭梯度法、DFP 算法、及BFGS 算法均具有二次收敛性. × 7 共轭梯度法、共轭方向法、DFP 算法以及BFGS 算法都具有二次终止性. √ 8 函数R R f n →:在k x 处的最速下降方向为 . 9 求解)(min x f n R x ∈的经典Newton 法在k x 处的迭代方向为=k p . 10 若)(x f 在*x 的邻域内具有一阶连续的偏导数且0)(*=?x f ，则*x 为的局部极小点. × 11 若)(x f 在*x 的某邻域内具有二阶连续的偏导数且*x 为)(x f 的严格局部 极小点，则)(*2 *x f G x ?=正定. × 12 求解)(min x f n R x ∈的最速下降法在k x 处的迭代方向为=k p . 13 求解)(min x f n R x ∈的阻尼Newton 法在k x 处的迭代方向为=k p . 14 用牛顿法求解)(2 1min n n n T T R x R G R b x b Gx x n ?∈∈∈+，时，至多迭代一次可达其极小点. × 15 牛顿法具有二阶收敛性. √ 16 二次函数的共轭方向法具有二次终止性. × 17 共轭梯度法的迭代方向为：_____________________. 二、证明题 1 设R R f n →:为一阶连续可微的凸函数，n R x ∈*且0)(=?* x f ，则*x 为)(min x f n R x ∈的全局极小点. 2 给定n R b ∈和正定矩阵n n R G ?∈. 如果n k R x ∈为求解 x b Gx x x f T T R x n += ∈21)(min 的迭代点， {}0\n k R d ∈为其迭代方向，且),0[∞+∈k α为由精确一维搜索所的步长，则.)()(k T k k T k k Gd d d x f ?-=α 3 试证：Newton 法求解正定二次函数时至多一次迭代可达其极小点. 四、 简述题 1 简述牛顿法或者阻尼牛顿法的优缺点. 2 简述共轭梯度法的基本思想. 五、 计算题 1 利用最优性条件求解无约束最优化问题. 例如：求解121222122 123)(min x x x x x x f --+= 2 用FR 共轭梯度法无约束最优化问题. 见书本：例3.4.1. 3 用PRP 共轭梯度法无约束最优化问题. 见书本：例3.4.1. 例如：01.0,)0,0( 22 123)(min 01212221==--+= εT x x x x x x x f 其中 第四章 约束最优化方法 考虑约束最优化问题： {}{},,,2,1,0)(,,,2,1, 0)(..) (min )(m l l I i x c l E i x c t s x f NLP i i ++=∈≥=∈= 其中，.:),,2,1(,R R m i c f n i →= 一、判断与选择题 1 外罚函数法、内罚函数法、及乘子法均属于SUMT. × 2 使用外罚函数法和内罚函数法求解（NLP ）时，得到的近似最优解往往不是（NLP ）的可行解. × 3 在求解（NLP ）的外罚函数法中，所解无约束问题的目标函数为 . 4 在（NLP ）中0=l ，则在求解该问题的内罚函数法中，常使用的罚函数为 . 5 在（NLP ）中0=l ，则在求解该问题的乘子法中，乘子的迭代公式为=+i k )(1λ ，对{}m i ,,1 ∈. 6 在（NLP ）中l m =，则在求解该问题的乘子法中，增广的Lagrange 函数为：_________________________________ 7 对于(NLP)的KT 条件为：_______________ 二、计算题 1利用最优性条件(KT条件)求解约束最优化问题. 2用外罚函数法求解约束最优化问题. 见书本：例4.2.1； 例4.2.2. 3用内罚函数法求解约束最优化问题. 见书本：例4.2.3. 4用乘子法求解约束最优化问题. 见书本：例4.2.7； 例4.2.8. 三、简述题 1简述SUMT外点法的优缺点. 2简述SUMT内点法的优缺点. 四、证明题 利用最优性条件证明相关问题. 例如：Q设为正定矩阵，A为列满秩矩阵.试求规划 b x A t s a x c Qx x x f P = + + = T T T .. 2 1 ) ( min ) ( 的最优解，并证明解是唯一的. 第五章 多目标最优化方法 一、判断与选择题 1 求解多目标最优化问题的评价函数法包括 . 2 通过使用评价函数，多目标最优化问题能够转化为单目标最优化问题. √ 3 设m n R R D F →?:，则F 在D 上的一般多目标最优化问题的数学形式为 . 4 对于规划T m R D x x f x f x F V n ))(,),(()(1min =-?∈，设D x ∈*，若不存在D x ∈使得)()()()(**≠≤x F x F x F x F 且，则*x 为该最优化问题的有效解. √ 5 一般多目标最优化问题的绝对最优解必是有效解. √ 6 对于规划T m R D x x f x f x F V n ))(,),(()(1min =-?∈，设i w 为相应于 ),,2,1(m i f i =的权系数，则求解以上问题的线性加权和法中所求解优化的目标函数为 . 7 利用求解T m R D x x f x f x F V n ))(,),(()(1min =-?∈的线性加权和法所得到的 解，或者为原问题的有效解，或者为原问题的弱有效解. √ 二、简述题 1简单证明题 ☆绝对最优解、有效解、及弱有效解之间的关系. ●第5.2节中几个主要结论的证明. 2简单叙述题 ★简述求解一般多目标规划的评价函数法的基本思想. ●简述求解一般多目标规划的线性加权和法的基本思想. ★简述求解一般多目标规划的理想点法的基本思想. ●简述在求解一般多目标规划的评价函数法中，确定权系数方法的 基本思想. ● “985工程” 流程工业综合自动化科技创新平台学术方向建设《项目指南》（第一批） 学术方向复杂工业过程的智能控制与优化 责任教授：杨光红 流程工业综合自动化科技创新平台 二ΟΟ六年五月二十八日 一、研究方向支持的主要领域 复杂工业过程的智能控制与优化方向将开展复杂系统的多目标优化理论与方法研究，容错控制方法研究以提高容错能力和可靠性，考虑在网络化环境下智能控制与优化的新挑战；以及复杂工业过程控制系统中各层次的智能控制与特殊问题研究。主要支持以下研究主题： 1）容错控制系统的多目标优化设计方法及应用； 2）基于模糊模型的非线性鲁棒与智能控制； 3）广义系统的鲁棒控制：不确定性广义系统的鲁棒控制理论、以受限机器人系统、电力系统、经济系统、生物系统为背景的控制器设计方法和仿真。 4）切换系统的鲁棒控制、多目标优化设计方法及应用； 5）运动目标视觉跟踪技术； 6）巡诊查房机器人技术及原型样机； 7）网络控制系统：通信网络系统、基于无线传感器网等的控制方法、控制系统优化设计及复杂互联系统协调控制方法。 二、研究方向建设的总体目标 本学术方向建设的总体目标是：取得一批原创性强的研究成果，部分成果有重大突破并达到国际领先水平，推动复杂工业过程的智能控制与优化理论的进一步发展，以提高我国在相关学科的整体研究水平。 具体指标： 1）在国内外主要学术刊物和重要国际会议上发表60篇以上论文，其中SCI等检索收录论文30篇，包括在本领域著名国际杂志发表论文15篇； 2）争取申请成功4项国家自然科学基金，2项省部、市自然科学基金项目； 3）培养博士生和硕士生50名（毕业25名以上）。 三、建议课题 课题1：容错控制系统的多目标优化设计 1.1 研究目的与意义 在许多实际工程系统(诸如飞行器控制系统、电力控制系统、网络控制系统等)设计过程中，为了降低由于系统出现故障而带来的损失，通常要求所设计的系统具有可靠性，即所设计的系统要有容错功能。容错控制控制系统是指所设计的控制器不但能对系统正常运行时提供理想的性能保证，而且在执行器、传感器或元部件发生故障时，仍能使闭环系统是稳定的并具有可接受的特性。容错控制方法主要分为：主动容错控制与被动容错控制。主动容错控制是指在故障发生后需要重新调整控制器的参数，也可能需要改变 《最优化方法》复习题 一、 简述题 1、怎样判断一个函数是否为凸函数. （例如: 判断函数212 2 212151022)(x x x x x x x f +-++=是否为凸函数） 2、写出几种迭代的收敛条件. 3、熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大M 法及二阶段法）. 见书本61页(利用单纯形表求解); 69页例题 (利用大M 法求解、二阶段法求解); 4、简述牛顿法和拟牛顿法的优缺点. 简述共轭梯度法的基本思想. 写出Goldstein 、Wolfe 非精确一维线性搜索的公式。 5、叙述常用优化算法的迭代公式． （1）0.618法的迭代公式：(1)(), ().k k k k k k k k a b a a b a λτμτ=+--??=+-? （2）Fibonacci 法的迭代公式：111(),(1,2,,1)() n k k k k k n k n k k k k k n k F a b a F k n F a b a F λμ---+--+? =+-?? =-? ?=+-?? L ． （3）Newton 一维搜索法的迭代公式： 1 1k k k k x x G g -+=-． （4）推导最速下降法用于问题1min ()2 T T f x x Gx b x c = ++的迭代公式： 1()T k k k k k T k k k g g x x f x g G gx +=-? （5）Newton 法的迭代公式：211[()]()k k k k x x f x f x -+=-??． （6）共轭方向法用于问题1min ()2 T T f x x Qx b x c = ++的迭代公式： 1()T k k k k k T k k f x d x x d d Qd +?=-． 二、计算题 双折线法练习题 课本135页 例3.9.1 FR 共轭梯度法例题：课本150页 例4.3.5 二次规划有效集：课本213页例6.3.2, 《最优化方法》复习题(含答案) 附录5 《最优化方法》复习题 1、设n n A R ?∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，求1()2 T T f x x Ax b x c =++在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵． 解 2(),()f x Ax b f x A ?=+?=． 2、设()()t f x td ?=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求()t ?''． 解 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ??'''=?+=?+． 3、设方向n d R ∈是函数()f x 在点x 处的下降方向，令 ()()()()() T T T T dd f x f x H I d f x f x f x ??=--???， 其中I 为单位矩阵，证明方向()p H f x =-?也是函数()f x 在点x 处的下降方向． 证明 由于方向d 是函数()f x 在点x 处的下降方向，因此()0T f x d ?<，从而 ()()()T T f x p f x H f x ?=-?? ()()()()()()()() T T T T T dd f x f x f x I f x d f x f x f x ??=-?--???? ()()()0T T f x f x f x d =-??+?<， 所以，方向p 是函数()f x 在点x 处的下降方向． 4、n S R ?是凸集的充分必要条件是12122,,,,,,,,m m m x x x S x x x ?≥?∈L L 的一切凸组合都属于S ． 证明 充分性显然．下证必要性．设S 是凸集，对m 用归纳法证明．当2m =时，由凸集的定义知结论成立，下面考虑1m k =+时的情形．令1 1k i i i x x λ+==∑， 其中,0,1,2,,1i i x S i k λ∈≥=+L ，且1 1 1k i i λ+==∑．不妨设11k λ+≠（不然1k x x S +=∈， 结论成立），记11 1k i i i k y x λλ=+=-∑ ，有111(1)k k k x y x λλ+++=-+， 软件工程 （学科代码: 0835） 一、学科简介与研究方向 东北大学软件工程学科是2011年2月国家首次批准调整建设的一级学科。东北大学于2011年8月设立软件工程一级学科博士学位授权点，是国家设立的第一批软件工程学科。东北大学软件工程学科的人才培养已经形成了较为完整成熟的本科生和硕士生培养体系，建立了国家软件人才国际培训（沈阳）基地、国家级人才培养模式创新实验区、辽宁省软件工程实验教学示范中心，质量工程建设取得一系列重大成果，成功培养了大批软件实用性人才。软件工程专业是省级示范专业，并被批准为国家级特色建设专业。本学科已培养了大批硕士研究生走上工作岗位，软件工程被评为“全国工程硕士研究生教育特色工程领域”。2012年，软件工程学科开始招收博士研究生，已形成了完善的本硕博贯通式软件工程人才培养体系。在全国第四轮学科评估中，东北大学软件工程学科排名全国并列第九。本学科学术队伍现有教授12人（其中博士生导师7人），副教授18人，以国家、区域科技需求为导向，结合学科的发展趋势和多年研究积累，已形成相互促进、彼此渗透、有一定优势和特色的学科研究方向。 （一）网构化软件工程及其演化技术体系。研究结合大数据的高速、多样、价值密度等特性，描述软件生态环境，分析大数据对软件工程的影响及收益，形成全新的以数据为驱动的，具有自主性、协同性、反应性、演化性和多态性相结合的软件工程理论。 （二）软件安全技术。针对软件理论和技术的研究与软件产业发展所面临的软件安全问题，围绕国家科技战略目标，立足创新研究，强调理论和应用相结合。从软件安全开发模型和软件开发的生命周期入手，重点研究安全软件工程的防护框架、软件安全防护理论与关键技术和可信软件的关键技术。 （三）基于混合现实的交互式软件开发技术。重点研究虚拟与真实空间位置映射技术、增强现实及交互技术、交互式医学信息可视化关键技术、云渲染关键技术及应用。 （四）软件定义互联网体系架构与关键技术。主要围绕着①可扩展、可信的软件定义互联网体系架构模型，②可行、高效、安全的软件定义互联网运行机制，③准确、有效的软件定义互联网量化模型与分析方法展开研究。 （五）复杂系统理论与应用技术。以混沌、分形、复杂网络等理论为基础和手段，将复杂系统理论成果和研究方法应用于计算机科学、软件工程等领域中，研究和解决软件工程领域的设计方法、可靠性分析、质量管理与预测及复杂网络与社交网络的建模、分析、挖掘、预测等问题。 （六）大数据计算与应用技术。研究高效的大数据获取、存储、管理、分析、理解和展示等方面的关键技术,包括数据密集型计算，高能效计算，非结构化数据存储和数据管 最优化方法及其应用 作者：郭科 出版社：高等教育出版社 类别：不限 出版日期：20070701 最优化方法及其应用 的图书简介 系统地介绍了最优化的理论和计算方法,由浅入深,突出方法的原则,对最优化技术的理论作丁适当深度的讨论,着重强调方法与应用的有机结合,包括最优化问题总论,线性规划及其对偶问题,常用无约束最优化方法,动态规划,现代优化算法简介,其中前八章为传统优化算法,最后一章还给出了部分优化问题的设计实例,也可供一般工科研究生以及数学建模竞赛参赛人员和工程技术人员参考, 最优化方法及其应用 的pdf电子书下载 最优化方法及其应用 的电子版预览 第一章 最优化问题总论1.1 最优化问题数学模型1.2 最优化问题的算法1.3 最优化算法分类1.4 组合优化问題简卉习题一第二章 最优化问题的数学基础2.1 二次型与正定矩阵2.2 方向导数与梯度2.3 Hesse矩阵及泰勒展式2.4 极小点的判定条件2.5 锥、凸集、凸锥2.6 凸函数2.7 约束问题的最优性条件习题二第三章 线性规划及其对偶问题3.1线性规划数学模型基本原理3.2 线性规划迭代算法3.3 对偶问题的基本原理3.4 线性规划问题的灵敏度习题三第四章 一维搜索法4.1 搜索区间及其确定方法4.2 对分法4.3 Newton切线法4.4 黄金分割法4.5 抛物线插值法习题四第五章 常用无约束最优化方法5.1 最速下降法5.2 Newton法5.3 修正Newton法5.4 共轭方向法5.5 共轭梯度法5.6 变尺度法5.7 坐标轮换法5.8 单纯形法习題五第六章 常用约束最优化方法6.1外点罚函数法6.2 內点罚函数法6.3 混合罚函数法6.4 约束坐标轮换法6.5 复合形法习题六第七章 动态规划7.1 动态规划基本原理7.2 动态规划迭代算法7.3 动态规划有关说明习题七第八章 多目标优化8.1 多目标最优化问题的基本原理8.2 评价函数法8.3 分层求解法8.4目标规划法习题八第九章 现代优化算法简介9.1 模拟退火算法9.2遗传算法9.3 禁忌搜索算法9.4 人工神经网络第十章 最优化问题程序设计方法10.1 最优化问题建模的一般步骤10.2 常用最优化方法的特点及选用标准10.3 最优化问题编程的一般过程10.4 优化问题设计实例参考文献 更多 最优化方法及其应用 相关pdf电子书下载 研究生《最优化方法》课程实验（第一部分） function a=li_H(x1,x2,f1,f2) t1=0.00001;t2=0.00001;t3=0.0001; a=0; if norm(grad(x2))>=t3 a=1; end if (norm(x2-x1))/(norm(x1)+1)>=t1 a=1; end if (abs(f2-f1))/(abs(f1)+1)>=t2 a=1; end end ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- function t= line(f,a,b,e) B=0.618; t2=a+B *(b-a); hanshu2=subs(f,t2); t1=a+b-t2; f1=subs(f,t1); while abs(t1-t2)>=e if f1<=f2 b=t2; t2=t1; f2=f1; t1=a+b-t2; f1=subs(f,t1); else a=t1; t1=t2; f1=f2; t2=a+B *(b-a); f2=subs(f,t2); end end tb=0.5*(t1+t2); fb=subs(f,tb); f2=tb; ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- function y=qujian(x,p) 《最优化方法》试题 一、 填空题 1.设()f x 是凸集n S R ?上的一阶可微函数，则()f x 是S 上的凸函数的一阶充要条件是（ ），当n=2时，该充要条件的几何意义是（ ）； 2.设()f x 是凸集n R 上的二阶可微函数，则()f x 是n R 上的严格凸函数（ ）（填‘当’或‘当且仅当’）对任意n x R ∈，2()f x ?是 （ ）矩阵； 3.已知规划问题22211212121212min 23..255,0z x x x x x x s t x x x x x x ?=+---?--≥-??--≥-≥?，则在点55(,)66T x =处的可行方向集为（ ），下降方向集为（ ）。 二、选择题 1.给定问题222121212min (2)..00f x x s t x x x x ?=-+??-+≤??-≤?? ，则下列各点属于K-T 点的是（ ） A) (0,0)T B) (1,1)T C) 1(,22 T D) 11(,)22T 2.下列函数中属于严格凸函数的是（ ） A) 211212()2105f x x x x x x =+-+ B) 23122()(0)f x x x x =-< C) 2 222112313()226f x x x x x x x x =+++- D) 123()346f x x x x =+- 三、求下列问题 ()22121212121211min 51022 ..2330420 ,0 f x x x x x s t x x x x x x =+---≤+≤≥ 取初始点()0,5T 。 四、考虑约束优化问题 ()221212min 4..3413f x x x s t x x =++≥ 用两种惩罚函数法求解。 五．用牛顿法求解二次函数 222123123123()()()()f x x x x x x x x x x =-++-++++- 的极小值。初始点011,1,22T x ??= ???。 六、证明题 1.对无约束凸规划问题1min ()2 T T f x x Qx c x =+，设从点n x R ∈出发，沿方向n d R ∈ 作最优一维搜索，得到步长t 和新的点y x td =+ ，试证当1T d Q d = 时， 22[() ()]t f x f y =-。 2.设12*** *3(,,)0T x x x x =>是非线性规划问题()112344423min 23..10f x x x x s t x x x =++++=的最优解，试证*x 也 是非线性规划问题 144423* 123min ..23x x x s t x x x f ++++=的最优解，其中****12323f x x x =++。 陆吾生教授是加拿大维多利亚大学电气与计算机工程系 (Dept. of Elect. and Comp. Eng. University of Victoria) 的正教授, 且为我校兼职教授，曾多次来我校数学系电子系讲学。陆吾生教授的研究方向是：最优化理论和小波理论及其在1维和2维的数字信号处理、数字图像处理、控制系统优化方面的应用。 现陆吾生教授计划在 2007 年 10－11 月来校开设一门为期一个月的短期课程“最优化理论及其应用”（每周两次，每次两节课），对象是数学系、计算机系、电子系的教师、高年级本科生及研究生，以他在2006年出版的最优化理论的专著作为教材。欢迎数学系、计算机系、电子系的研究生及高年级本科生选修该短期课程，修毕的研究生及本科生可给学分。 上课地点及时间：每周二及周四下午2:00开始，在闵行新校区第三教学楼326教室。（自10月11日至11月8日） 下面是此课程的内容介绍。 ----------------------------------- 最优化方法及应用 I. 函数的最优化及应用 1.1 无约束和有约束的函数优化问题 1.2 有约束优化问题的Karush-Kuhn-Tucker条件 1.3 凸集、凸函数和凸规划 1.4 Wolfe对偶 1.5 线性规划与二次规划 1.6 半正定规划 1.7 二次凸锥规划 1.8 多项式规划 1.9解最优化问题的计算机软件 II 泛函的最优化及应用 2.1 有界变差函数 2.2 泛函的变分与泛函的极值问题 2.3 Euler-Lagrange方程 2.4 二维图像的Osher模型 2.5 泛函最优化方法在图像处理中的应用 2.5.1 噪声的消减 2.5.2 De-Blurring 2.5.3 Segmentation ----------------------------------------------- 注：这是一门约二十学时左右的短期课程，旨在介绍函数及泛函的最优化理论和方法，及其在信息处理中的应用。只要学过一元及多元微积分和线性代数的学生就能修读并听懂本课程。课程中涉及到的算法实现和应用举例都使用数学软件MATLAB 华东师大数学系 天津大学《最优化方法》复习题（含答案） 第一章 概述(包括凸规划) 一、 判断与填空题 1 )].([arg )(arg min max x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{} .:)(m in :)(m ax n n R D x x f R D x x f ?∈-=?∈ ? 3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的全局最优解. ? 4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切)(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的 严格局部最优解. ? 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍 属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ? 9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈?，有).()()()(***-?≤-x x x f x f x f T ? 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法 A 为下降算法，则对{} ,2,1,0∈?k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ . 13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。 14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。 √ 15 函数R R D f n →?:在点k x 沿着迭代方向}0{\n k R d ∈进行精确一维线搜索的步长k α，则其搜索公式 控制理论与控制工程学科 一、学科简介 该学科以工程系统为主要对象，以数学方法和计算机技术为主要工具，研究各种控制策略及控制系统的理论、方法和技术。控制理论是学科的重要基础和核心内容；控制工程是学科的背景动力和发展目标。东北大学控制理论与控制工程学科是经国家教委批准建立的全国首批博士点及自动控制博士后流动站；是国家和省级重点学科，是国家“211工程”和“985工程”的重点建设学科；拥有国家冶金自动化工程技术中心，教育部流程工业综合自动化实验室，“985”流程工业综合自动化科技创新平台。以控制理论与控制工程学科为龙头的控制科学与工程学科在国家一级学科评比中排名第一。学科现有博士生导师15人，学术梯队年龄结构合理，拥有国家自然科学基金创新群体2个，教育部创新团队1个，其中包括学科带头人中科院院士张嗣瀛教授、中国工程院院士柴天佑教授，“长江学者计划”特聘教授刘晓平教授、张化光教授、杨光红教授。学科目前承担国家“十一五”科技攻关项目、自然科学基金重点项目、973项目、863项目、国家、教育部、省、市各级纵向科研项目多项；与美、英、加、澳等众多的国家和地区的著名大学建立长期的学术合作关系；在国内外重要学术杂志和国际学术会议上发表论文数量在国内同学科名列前茅；若干理论研究成果已达到国际领先水平。曾获国家自然科学三等奖、国家科技进步二、三等奖、国家教育部科学进步一等奖、省部科技进步一等奖等多项奖励。学科还主办《控制与决策》和《控制工程》等学术杂志，并举办“中国控制与决策学术年会”，在国内具有重要影响。目前，该学科已成为东北大学教学、科研与研究生培养的一个重要基地，具备独立培养高质量高层次人才的能力。 二、培养目标 控制理论与控制工程博士的培养目标是为国家培养控制领域的高层次研究开发人才，具体目标有： 1．热爱祖国，遵纪守法，具有良好的道德品质，学风严谨。 2．掌握本学科坚实宽广的基础理论和系统深入的专门知识。 3．具有独立的从事科研工作的能力。 4．在本学科领域取得一定的创造性成果。 三、学习年限与学分要求 全日制攻读博士学位，学习年限原则上为3年；在职攻读博士学位，学习年限原则上为4年，但无论全日制还是在职攻读博士学位，保留学籍时间不超过6年。 学分要求：最低学分10学分。 课 程 编 号 : 0 7 0 0 0 2 0 3 北 京 理 工 大 学 2 0 0 7 - 2 0 0 8 学 年 第 二 学 期 2005 级数学专业最优化方法终考试卷（ A 卷） 1． (20 分 )某化工厂有三种资源 A 、 B 、 C ，生产三种产品甲、乙、丙，设甲、乙、丙的产量分别为 x 1,x 2,x 3 ,其数学模型为： max z 3 x 1 2 x 2 5 x 3 1 2 x 2 3 430 ( A 资源限制 ) x x 3 x 1 2 x 3 460 ( B 资源限制 ) s.t 4 x 2 420 (C 资源限制 ) x x 1 , x 2 , x 3 0 请回答如下问题： （ 1）给出最优生产方案； （ 2）假定市场信息表明甲产品利润已上升了一倍，问生产方案应否调整？ （3）假定增加一种添加剂可显着提高产品质量，该添加剂的资源限制约束为： x 1 2 x 2 3x 3 800 问最优解有何变化？ 2． (12 分 )用 Newton 法求解 min f ( x ) 4 x 12 x 22 2 x 12 x 2 ，初始点取为 x 0 (1, 1)T ，迭代一步。 3．(10 分 )用 FR 共轭梯度法求解三个变量的函数 f ( x ) 的极小值，第一次迭代的搜索方向为 p 0 (1, 1,2)T ，沿 p 0 做精确线搜 索，得 x 1 ( x 11 , x 21 , x 31 )T ， 设 f ( x 1 ) 2, f ( x 1 ) 2 ，求从 x 1 出发的搜索方向 p 1 。 x 11 x 21 4． (15 分 ) 给定下面的 BFGS 拟 Newton 矩阵修正公式： H k 1 ( I s k y k T )H k ( I s k y k T )T s k s k T ， y k T s k y k T s k y k T s k 其中 s k x k 1 x k , y k g k 1 g k 用对应的拟 Newton 法求解： min f ( x ) x 1 2 2x 1 x 2 2 x 22 4 x 1 ，初始点取为 x 0 (0,0) T ， H 0 I 。 5． (15 分 )写出问题 取得最优解的 Kuhn-Tucker （ K － T ）必要条件，并通过 K － T 条件求出问题 K － T 点及相应 Lagrange 乘子。 6(12 分 )．求约束问题 在 x (0,0) T 及 x 2 (1,0) T 处的下降方向集合、可行方向集合以及可行下降方向集合，并画图表示出来 1 7（ 8 分）考察优化问题 min f ( x ) s.t. x ， D 设 D 为凸集， f ( x ) 为 D 上凸函数，证明： f ( x) 在 D 上取得极小值的那些点构成的集合是凸集。 8（ 8 分）设 min f ( x ) 1 x T Ax b T x c ，其中 A 为对称正定矩阵， x * 为 f ( x ) 的极小值点，又设 x 0 ( x*) 可表示为 2 x 0 x * p ，其中 R 1， p 是 A 对应于特征值 的特征向量，证明：若从 x 0 出发，沿最速下降方向做精确一维搜索， 则一步达到极小值点。 课程编号 :07000203 北京理工大学 2008-2009 学年第一学期 2006 级数学专业最优化方法终考试卷（ A 卷） 1． (15 分 ) 用单纯形法求解线性规划问题 2． (10 分 )写出线性规划问题 的对偶问题并证明该对偶问题没有可行解。 3． (15 分 )考虑用最速下降法迭代一步 min f ( x) x 12 2x 22 ， 初始点取为 x 0 ( 1, 1)T 。（ 1）采用精确一维搜索；（ 2） 采用 Wolfe 条件进行不精确一维搜索，其中 0.1, 0.9 。 4． (15 分 )用 DFP 拟牛顿法求解 min f ( x) x 12 2x 22 初始点取为 x 0 1 ，初始矩阵 H 0 2 1 。 1 1 1 5． (15 分 )证明集合 S { x | x 1 2x 2 4, 2x 1 x 2 6} 是凸集，并计算原点 (0,0) 到集合 S 的最短距离。 6． (15 分 ?) 考虑问题 （1）用数学表达式写出在点 ( 1 , 5)T 处的下降可行方向集。 3 3 （ 2）假设当前点在 (0,0) T 处，求出用投影梯度法进行迭代时当前的下降可行方向（搜索方向）。 7（ 7 分）证明：在精确一维搜索条件下，共轭梯度法得到的搜索方向是下降方向。 最优化方法及其Matlab程序设计 1.最优化方法概述 在生活和工作中，人们对于同一个问题往往会提出多个解决方案，并通过各方面的论证，从中提取最佳方案。最优化方法就是专门研究如何从多个方案中科学合理地提取出最佳方案的科学。最优化是每个人，每个单位所希望实现的事情。对于产品设计者来说，是考虑如何用最少的材料，最大的性能价格比，设计出满足市场需要的产品。对于企业的管理者来说，则是如何合理、充分使用现有的设备，减少库存，降低能耗，降低成本，以实现企业的最大利润。 由于优化问题无所不在，目前最优化方法的应用和研究已经深入到了生产和科研的各个领域，如土木工程、机械工程、化学工程、运输调度、生产控制、经济规划、经济管理等，并取得了显著的经济效益和社会效益。 用最优化方法解决最优化问题的技术称为最优化技术，它包含两个方面的内容： 1）建立数学模型。 即用数学语言来描述最优化问题。模型中的数学关系式反映了最优化问题所要达到的目标和各种约束条件。 2）数学求解。 数学模型建好以后，选择合理的最优化算法进行求解。 最优化方法的发展很快，现在已经包含有多个分支，如线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、多目标规划等。 2.最优化方法（算法）浅析 最优化方法求解很大程度上依赖于最优化算法的选择。这里，对最优化算法做一个简单的分类，并对一些比较常用的典型算法进行解析，旨在加深对一些最优化算法的理解。 最优化算法的分类方法很多，根据不同的分类依据可以得到不同的结果，这里根据优化算法对计算机技术的依赖程度，可以将最优化算法进行一个系统分类：线性规划与整数规划；非线性规划；智能优化方法；变分法与动态规划。 2.1 线性规划与整数规划 线性规划在工业、农业、商业、交通运输、军事和科研的各个研究领域有广泛应用。例如，在资源有限的情况下，如何合理使用人力、物力和资金等资源，以获取最大效益；如何组织生产、合理安排工艺流程或调制产品成分等，使所消耗的资源（人力、设备台时、资金、原始材料等）为最少等。 线性规划方法有单纯形方法、大M法、两阶段法等。 整数规划有割平面法、分枝定界法等。 2.2 非线性规划 20世纪中期，随着计算机技术的发展，出现了许多有效的算法——如一些非线性规划算法。非线性规划广泛用于机械设计、工程管理、经济生产、科学研究和军事等方面。 2003—2008《工程与科学计算》历届试题类型 1. 直解法 例 1. 用列主元素Gauss 消去解下列线性方程组（结果保留5位小数） ?? ? ??=++=++=++0000 .11000.12100.13310.18338.00000.10000.10000.16867.09000.08100.07290.0321321321x x x x x x x x x 例2. 设线性方程组b Ax =,其中 1 123 1 112341113 4 51 A ??? ?=?????? 求)(A Cond ∞，并分析线性方程组是否病态 ? 2.迭代法 例1. 设线性方程组b Ax =为 ?? ?? ??????=????????????????????-----221221122321x x x ααα ， 0≠α 写出求解线性方程组的Jacobi 迭代格式，并确定当α取何值时Jacobi 迭代格式收敛. 例 2. 写出求解线性方程组b Ax =的Seidel 迭代格式，并判断所写格式的收敛性，其中 b Ax =为 ?? ? ? ?=++-=+=-5 228262332 13231x x x x x x x 3.插值 例 1. 已知,12144,11121,10100=== （1）试用二次插值多项式计算115的近似值（数据保留至小数点后第5位） （2）估计所得结果的截断误差（数据保留至小数点后第5位） 例 2. 由下列插值条件 4. Runge —Kutta 格式 例 写出标准Kutta Runge -方法解初值问题 ???==+-=1 )0(,1)0(sin 2' 2'''y y x y xy y 的计算格式 2013-2014学年第一学期 数学计算经数专业《最优化方法》（课程）期末试卷 试卷来源：自拟 送卷人:赵俊英 打印：赵俊英 乔凤云 校对：赵俊英 一．填空题（20分） 1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________， 可行域D 可以表 为_____________________________， 若____________________，称* x 为问题的全局最优解. 2.()()??? ? ??+???? ?????? ??=212121 312112)(x x x x x x x f ，则=?)(x f ， =?)(2 x f . 3.设f 连续可微且0)(≠?x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向. 4. 无约束最优化问题：min (),n f x x R ∈，若k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，用共轭梯度法求解时，搜索方向k d =______________ 5. 函数R R D f n →?:在点k x 沿着迭代方向}0{\n k R d ∈进行精确一维线搜索的步长k α，则其搜索公式为 . 6 .举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： . 7.函数222 21 12313()226f x x x x x x x x =+++- （填是或不是） 严格凸函数. 二．（18分）简答题： 1. 设计求解无约束优化问题的一个下降算法，并叙述其优缺点. 2. 叙述单折线法的算法思想. 3. 写出以下线性规化问题的对偶： 1234123412341234134min ()2536..873411,762323,324712,0,0,0.f x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x =-+-??-+++=?? +++≥??+++≤? ≤≥≥?? 1 2 ( ( 最优化方法部分课后习题解答 1.一直优化问题的数学模型为： 习题一 min f (x ) = (x ? 3)2 + (x ? 4)2 ? g (x ) = x ? x ? 5 ≥ ? 1 1 2 2 ? 试用图解法求出： s .t . ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 ≥ 0 ?g (x ) = x ≥ 0 ? 3 1 ??g 4 (x ) = x 2 ≥ 0 （1） 无约束最优点，并求出最优值。 （2） 约束最优点，并求出其最优值。 （3） 如果加一个等式约束 h (x ) = x 1 ? x 2 = 0 ，其约束最优解是什么？ * 解 ：（1）在无约束条件下， f (x ) 的可行域在整个 x 1 0x 2 平面上，不难看出，当 x =（3，4） 时， f (x ) 取最小值，即，最优点为 x * =（3，4）：且最优值为： f (x * ) =0 （2）在约束条件下， f (x ) 的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是 在约束集合即可行域中找一点 (x 1 , x 2 ) ，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可 以看出，当 x * = 15 , 5 ) 时， f (x ) 所在的圆的半径最小。 4 4 ?g (x ) = x ? x ? 5 = 0 ? 15 ?x 1 = 其中：点为 g 1 (x ) 和 g 2 (x ) 的交点，令 ? 1 1 2 ? 2 求解得到： ? 4 5 即最优点为 x * = ? ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 = 0 15 , 5 ) ：最优值为： f (x * ) = 65 ?x = ?? 2 4 4 4 8 （3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。 2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优 化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题. 解：列出这个优化问题的数学模型为： max f (x ) = x 1x 2 x 3 ?x 1x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1x 3 ≤ S 《最优化方法》课程教学大纲 Methods of Optimization 课程代码： 课程性质：专业基础理论课/选修 适用专业：信息计算、统计学开课学期：6 总学时数：56总学分数：3.5 编写年月：2002年3月修订年月：2007年7月 执笔：刘伟 一、课程的性质和目的 最优化计算方法是在生产实践和科学实验中选取最佳决策，研究在一定限制条件下，选取某种方案，以达到最优目标的一门学科，广泛应用与空间科学、军事科学、系统识别、通讯、工程设计、自动控制、经济管理等各个领域，是工科院校高年纪学生、研究生、应用数学专业学生和搞优化设计的工程技术人员的一门重要课程。通过本课程教学，使学生掌握最优化计算方法的基本概念和基本理论，初步学会处理应用最优化方法解决实际中的碰到的各个问题，培养解决实际问题的能力。 二、课程教学内容及学时分配 （一）教学内容 1. 最优化方法和最优化模型 最优化方法定义、最优化问题的数学模型与分类；根据问题特点（无约束最优化与约束最优化），根据函数类型（线性规划，非线性规划）；最优化方法（解析法，直接法），最优解与极值点。 2.基础知识 多元函数泰勒公式的矩阵形式，古典极值理论问题，二次函数求梯度公式，凸集，凸函数，凸规划，几个重要的不等式。 3. 常用的一维搜索方法 一维搜索法是最优化的基础，“成功－失败”法的思想与算法，黄金分割法（０.618法）的思想与算法，二次插值法，三次插值法，Ｄ。Ｓ。Ｃ法，Ｐowell 法等方法的思想与算法。 4. 无约束最优化方法 无约束最优化方法是最优化方法中的基本方法。最速下降法的思想与算法步骤，牛顿法的思想与算法步骤，共轭方向法的思想与算法步骤，共轭梯度法的思想与算法步骤，变尺度法（ＤＦＰ法和ＢＦＧＳ法）的思想与算法步骤 5. 约束最优化方法 约束最优化方法通常约束问题转化为无约束问题求解。序列无约束极小化方法（ＳＵＭＴ－外点法与ＳＵＭＴ－内点法）的思想与算法步骤，内点的求法，其他罚函数法,Frank-Wolfe法的思想与算法步骤 附件11 专业学位硕士研究生培养方案 材料工程 （085204） 一、专业领域简介与研究方向 (一)专业领域简介 东北大学材料工程是国家首批试点招收与培养工程硕士的领域之一，也是首批设立培养全日制专业硕士学位研究生的领域之一。与本领域相对应的材料科学与工程学科是我国冶金与材料领域最早建立的学科之一，涵盖材料物理与化学、材料学、材料加工工程3个二级学科，具有学科齐全、理工结合等特点。本学科1962年起开始培养研究生，1981年具有首批硕士、博士学位授权点，1998年被批准为博士学位授权一级学科，2007年被评为一级学科国家重点学科，并于同年设立博士后流动站。 依托本学科，建有“轧制技术及连轧自动化国家重点实验室”、“材料电磁过程研究教育部重点实验室”、“材料各向异性与织构教育部重点实验室”和发改委与地方共建的“材料电磁冶金国家工程实验室”、“金属材料微结构设计与控制辽宁省重点实验室”、“教育部新材料与功能材料网上合作研究中心”、“新材料技术辽宁省高校重点实验室”和“辽宁省金属防护专业技术服务中心”等科研教学基地。 本学科以金属材料和无机非金属材料为重点，以功能材料为发展前沿，以金属材料升级换代和新材料研制为使命，围绕工艺绿色化、装备智能化和产品高质化开展基础研究、应用基础研究及关键共性技术研究，在行业关键共性技术和高端金属材料产品两方面实现突破，为材料的研制、生产和应用提供原创性理论和关键技术。学科立足国际前沿，致力于建设高层次复合型人才培养、科研与成果转化和学术交流的国际一流基地，使学科成为推动材料发展、促进材料技术进步和服务经济社会及国防建设的典范。 (二)研究方向： 1.材料设计、模拟与仿真 2.低维材料的制备、结构与性能 3.材料微结构与性能的调控 4.新型功能材料的制备、结构与性能 5.高性能陶瓷及粉末冶金材料 6.材料表面技术 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2010--2011学年第 1 学期 考试科目： 运筹学与最优化方法 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、 用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 12121212max 105349 ..528,0z x x x x s t x x x x =++≤?? +≤??≥? 二、灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分） 12121212max 62 ..33,0z x x x x s t x x x x =++≥?? +≤??≥? 三、解下列0-1型整数规划问题（共 10 分） 12345123451345124512345max 325232473438..116333,,,,01 z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =+--+++++≤??+-+≤?? -+-≥??=?或 四、利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下问题（共 15 分） 22121122 121212 max ()104446..418,0f X x x x x x x x x s t x x x x =+-+-+≤??+≤??≥? 五、用内点法求解下列非线性约束最优化问题（共 15 分） 21 121 2min ()6923..3 f X x x x x s t x =-++≥??≥? 六、给定初始点(0)(1,1)T X =，用最速下降法迭代一次研究下列函数的极大值。（共 15 分） 22 121122()46222f X x x x x x x =+--- 七、某人因工作需要购置了一辆摩托车,他可以连续使用或任一年末将旧车卖掉,换一辆新车,下表列出了于第i 年末购置或更新 的车至第j 年末的各项费用的累计(含更新所需费用、运行费用及维修费用等)，试据此确定该人最佳的更新策略，使从第一年至第五年末的各项费用的累计之和为最小。（共 15 分） x zD 天津大学《最优化方法》复习题(含答案) 第一章 概述(包括凸规划) 判断与填空题 arg max f(x)二 arg min 以儿 “ max(x): x D 二 R n 』=-min(x): x D 二 R n ； 设f : D 5 R n > R.若x ： R n ，对于一切R n 恒有f(x”)^f(x)，则称x”为 设f : D 5 R n >R.若x ” ? D ,存在x ”的某邻域N ；(x”)，使得对一切 x ?N .(x)恒有f(x”)：：： f (x)，则称x”为最优化问题 min f (x)的严格局部最 优解? 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值 ? V 非空集合D R n 为凸集当且仅当 D 中任意两点连线段上任一点属于 D . V 非空集合D R n 为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于 D . V 任意两个凸集的并集为凸集? 函数f:D R n >R 为凸集D 上的凸函数当且仅当 -f 为D 上的凹函数? V 设f : D R n >R 为凸集D 上的可微凸函数，X ：D ?则对-D ,有 f (x) - f(x )乞 f (x )T (X —X )? 若c(x)是凹函数，则 D={x^R n C(x)启0}是凸集。 V f(x)的算法A 产生的迭代序列，假设算法 A 为下降算法, 则对-k ? 5,1, 2,…匚恒有 ________________ f(x k1)乞 f(x k ) ______________ ? 算法迭代时的终止准则(写出三种) ： ___________________________________________________ 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。 V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16东北大学 复杂工业过程的智能控制与优化
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