２６
中 等 数 学
２０ １ ８
年 全 国 高 中 数学 联 合 竞 赛
中图分类号 ：
Ｇ４２４ ７９ 文献标识码 ：
Ａ
文章编号 ：
１ ００５ ６４ １ ６ （ ２０１８ ） １ １
００２６
０６
８．
设整数数列 ａ
ｉ ，
ａ２
，
，
。
满足
：
… 第 一
试
，
一
、
填空题（
每小题 ８ 分，
共 ６４ 分
）
１．
设集合
＾
＝
｛
１
，
２
． ．
．
，
，
９９
｜ ，
Ｂ ＝
＼
２ｘ
ｘ
＾
Ａ
＼
，
Ｃ －
＼
ｘ ２ｘ Ａ ＼
．
则ｆｉ ｎ ｅ 的元素个数为
２．
设点
／
＞
到平面 ａ 的距离为Ｖ
５
，
点 （
？ 在
平面 ａ 上 ，
使得直线 与平面 ａ 所成 角 不小于 ３０ 。
且不大于 ６０ 。
．
则这样的点 所构成
的区域的面积为 ．
３
．
将 １
、
２ 、
３ 、
４ 、 ５ 、
６
随机排成一 行 ，
记
为ａ
、
６ 、 ｃ 、 《
ｆ 、 ｅ 、 ／
则 ａ６
ｃ ＋ ｃ ｅｆ
／ 是偶数 的 概 率为
４．
在平面直角 坐标 系
中，
椭 圆 Ｃ
：
％
＋
＆
＝ ｌ
（ ａ ＞ ６ ＞ ０ ） 的
左、
右焦点 分别 为
ａ 〇
心、
Ｆ２
，
弦 Ｓ
７＼
Ｃ／Ｆ
分别平行于 ＊ 轴 、
ｙ 轴 ，
且交
于点 Ｒ 已知线段
／
＾
、
朽
、
／
＾
、
／＾ 的长分别 为
１ 、２ 、３ 、６．
则
的面积为
．
５．
设／（
＊ ）
是定义在 Ｒ 上的 以 ２ 为周期
的偶函数 ，
在区间 ［
０ ，
１ ］ 上严格递减 ，
且满足
／（
７Ｃ
）
＝
ｌ
，
／（
２７ｔ
）
＝
２
．
则不等式组
１
＾ ＊ ＾ ２
，
１
矣／〇 ） 矣２
的解集为
６．
设复数 ｚ 满足 Ｉ
ｚ
＝ １ ，
使得关于 ＊ 的方
程ｚａ
＋ ２ｚ＊
＋ ２ ＝
０ 有实根．
则这样 的复数ｚ
２ 的和为
？
７．
设 为△ＡＢＣ 的外心．
若
ＡＯ
＾
＝ ＡＢ ＋ ２ ＡＣ
，
则ｓｉ
ｎ Ｚ：
似 Ｃ 的值为
．
且 ａ
ｉ ＋ １
６ Ｕ ＋ ａ
￡ ，
２ ＋ ａ
Ｊ （ ｉ
＝ ｌ
，
２ ，
…
， ９ ）
．
则这样的数列的 个数为 ？
二、 解答题 （ 共 ５６ 分）
９．
（ １６
分）
已 知定义在 Ｒ ＋
上的函数
ｆ
ｌｏｇ３ ％ －
１
，
０ ＜％ 矣９
；
／（
＊
）
＝
厂
１
４
－
ａ ／
尤
，
ｘ ＞ ９
． 设（
＊ 、 ６ 、 ＜
； 为三个互不相同 的实数 ，
满足
／（
ａ ）
＝
／（
６ ）
＝
／（
ｃ ）
．
求 Ｍｅ 的取值范围
．
１
０
．（２０分
）已知实数列ａ
ｉ，ａ２，…
满足对任意正整数
￣ 均有
ａ
ｎ
（
２Ｓ ｎ＾ ａ ｎ ） ＝ １
，
其中 表示数列 的前 ｎ 项和． 证明
：
（ １
）
对任意正整数 ／
Ｉ ， 均有 ａｎ ＜ ２ Ａ
；
⑵ 对任意正整数 ？ 均有 ａ？
ａ ？
＋ ｆ １
．
１１ ． （
２０ 分） 在平面直角
坐标系
中
，
为抛物线 ｙ２
＝
４＊ 的 过点Ｆ （
１
，
０ ） 的 弦
，
△ ＡＯＢ 的外接圆与抛物线交于点 Ｐ （
不 同于
点０ 人５ ）
？
若 平分Ｚ 求 仲 的 所有可能值
．
加 试
一
、 （ ４０
分）
设 ７１
为正整数
， ａ！ ， ａ２ ，
． ． ．
， ａｎ ，
ｈ
，６
２，…
Ａ
及４
、ｉｆ均为正实数
，满足
：
ａ
；
斗 ，
ａ；
＾４ “ ＝
１
，
２ ，
…
， ｎ ） ，
且
丛
＾ｆ 证明
．
：…
ａ
Ａ
ｎ
（
ｆｅ
！
＋ ｌ
） （
６２
＋ ｌ
）
－
（ ６ ｎ ＋ ｌ
） Ｂ ＋
ｌ
（ ｏ
１
＋ ｌ ） （ ａ２ ＋ ｌ
） －
＊
－
（ ａ ｎ ＋ ｌ ） Ａ＋ ＼
二、
（ ４０ 分） 如 图 １ ，
△ 狀Ｃ 为锐角 三角
形，
ＡＳ ＜ ４Ｃ ， Ｍ 为边 ＢＣ 的 中点 ， Ｄ、
Ｅ 分别为
△ Ａ５Ｃ 的 外接 圆 弧 ２、
＆ 的 中 点 ，
ｆ 为
２０１ ８
年第
１ １
期
△ ４５Ｃ 内切圆 在边 ＡＳ 上的切点 ，
６ 为 ４￡；
与
５Ｃ 的交点，
点
ｉ
Ｖ
在线段 砂 上 ，
满足
姆
丄
Ａ５．
证明 ：
若 Ｓｉ
Ｖ
＝
瓦Ｍ ，
则 ＤＦ 丄 ＦＧ
．
三、 （
５０ 分
）
设
为正整 数，
满 足
ｋ多 ２ ，
且 ｎ矣 ｍ ＜ １
ａｒ？
设 ４ ｜
ｌ ， ２ ，
＂ ．
，
ｎｉ ｝
为
的／ｉ
元子集．
证明：
区间
〇
中的每个整
（
数均可表示为 ａ －
４
）
．
四、
（
５０
分）
数列
丨ａ
ｊ 定义如下 ：
ｌｆｌ
为任
意正整数
，
对整数 ｎ 多
１
，
ａ ？ ＋
１
与
互素
，
且不等于 Ａ ，
ａ２ ，
…
的最小正
证明 ：
， ａ
？
？
＾数 每个正整数均在数列 Ｕ？
Ｉ
中出 现．
参考 答 案
第 一
试 —１．
２４
．
、
由条件知
ｉｆｎ ｅ
２
，
４
广
，
１９８
叫舍
，
１
，
｜ ，
２
，
，譬
｝
＝
． ． ． ．
＝
｜
２ ，
４ 广 ．
，
４８ ｝
．
故ｆｉｎ ｅ 的元素个数为 ２４
．
２．
８ ｊｔ
．
设点 ／１
在平面 ａ 上的射影为 ０
． 由条件知
骂 ＝
ｔ
ａｎ
Ｚ —
，
＃
，
］
即 ０（
？ ￡ ［
１
，
３ ］
．
故所求的区域面积为穴 ．
３ ２
Ｔｃ ． ｌ
２
＝ ８
ｔｔ．
２７
考虑 ａ６ Ｃ
＋ ｄｅ
／ 为奇数的情况．
此时 ，
Ｗ
、
喊一
奇一
偶．
若ａｆｅｃ
为奇数，
则 ａ 、 ６
、
ｃ 为 １ 、
３、 ５ 的排列 ， 进而，
ｄ 、ｅ 、 ／为 ２ 、４ 、６ 的排列 ，
这
样有 ３ ！
ｘ ３
！
＝
３
６ 种情况
．
由对称性，
知使 ｏｉｃ ＋ 好 为奇数的情况
数为 ３６ ｘ ２ ＝
７２ 种
．
从而，
士
＋ 办／ 是偶数的概率为
７２
７２
９
，
，
６
！
７２０
１０
４．
ｙｉ
５
．
由对称性 ，
不碎设 Ｐ （ ＊ｐ 办 ）
在第一象限
．
则由条件知
Ｘ
＝
ｊ
ＰＴ ＼
＼
ＰＳ
＼
＝
２
，
ｐ
（
）
ｙＰ ＝
ｊ
ＰＶ
－ＰＵ＼
）
＝
ｌ
，
即点
Ｐ
（
２
，
ｌ
）
．
又由 ？ ＝
１
／
＞
１／
１
＝ １
， 朽 ＝
２ ，
知 Ｊ７（ ２ ， ２ ） ，
Ｓ （ ４
， １ ）
． 代人楠圆 Ｃ 的方程得
今＋ 去 ＝
与 ＋ 各 ＝
１
＝
？１２
＝
２０ ６２
＝
５
． ， ａ
ｂ
ａ
〇
故
Ｍ
ｙＰ
＝
＾
／ａ
２
ｂ２
ｙＰ
＼／１
５
．
５．
［ ｔｔ —
２，
８ —
２７ｔ ］
．
由／（
＊ ）
为偶函 数及在区间 ［
０ ，
１ ］
上严格
递减，
知／（
幻 在区间 ［
－
１ ， 〇 ］ 上严格递增
．
再结合／（ ＊ ） 以 ２ 为周期， 知 ［ １
， ２ ］ 是 ／（ ＊ ）
的
严格递增区间．
注惫到
，
／（
７Ｃ
２
）
＝
／（
７ｔ
）
＝
ｌ
，
／
（
８
２７ｒ
） ＝
／（
２７ｃ ） ＝／（ ２７ｒ ） ＝
２
．
则１
矣／（
＊ ）
矣２
？／（ ７ｃ
－
２ ） ＾／（ ＊ ） ＾／（ ８ ２７ｃ ）
．
而１
＜ ｔｃ
２ ＜ ８
２ 兀 ＜ ２ ，
故原不等式组 成立当且仅当 ＊ Ｇ
－ ２ ， ８ －
２ｔｔ ］
．
２ ８
Ｔ
＾ ｚ
＝
ａ ＋ ｂ ｉ
（ ａ＾ ｂ Ｇ Ｒ ，
ａ２
＋ ｂ２
＝
１ ）
． 将原方程改为
２
＝
（ ａ
＋ ｂ ｉ ） ｘ ＋２ （ ｏ
６ ｉ ） ？ ＋ ２
０
．
分离实部与虚部后等价于
ａｘ２
＋ ２ａｘ ＋ ２ ＝ ０
①
，
ｂｘ
２
２ｂｘ ＝ ０
．
②
若６
＝
０ ，
则 ａ２ ＝
１
． 但当 ａ ＝ ｌ
时 ， 方程①无实数解
．
故 ａ ＝
－
ｌ
， 此时，
存在实数
ａ
：
＝
１
± Ｖ５
满
足方程①、
②
．
从而 ４ ＝
１
满足条件
． 若 由方程②知 ｘ ６ ｜ ０ ， ２ 丨 ，
但显然
＊ ＝ 〇
不满足方程①，
故 ＊
＝ ２．
代人方程①解得
，－
１±
ｉ
？ ＝
４
综上，
满足条件的所有复数 Ｚ 的和为 ／ ７
１５ ｉ３
，
１ ＋ ｔ Ｌ５ ｉ－ １
－ｒ
－１ ＋
＋
＝
４４２
ｙｉｏ
？
４
不妨设Ａ４ＳＣ 的外接圆 半径 尺 ＝
２
＿由
穿牛
及
— —
２ ＡＣ ＝ Ａ ０
ＡＢ ＝ Ｂｄ．
？
故４Ｃ ＝
士
＝ １
＿
取ＡＣ 的 中点Ｍ ，
则 ＯＭ 丄ＡＣ
． 结合式①，
知 〇Ｍ 丄 ＢＯ ，
且点 Ｓ 与 ４ 位
于直线
的同侧
．
故ｃ
ｏ ｓ
Ｚ 价 ＝
ｃ ｏｓ
（
９０ 。
＋ Ｚ ＭＯ Ｃ
）
＝
－
ｓ ｉ
ｎ Ａ ＭＯＣ
＝
－
Ｘ
？Ｃ／
Ｏ
斗
在 △ ￡０
（
：
中 ，
由 余弦定理得
ＢＣ ＝ ＾ＯＢ２ ＋ ＯＣ２
２０Ｂ －
０Ｃｃｏｓ
Ｚ ＢＯＣ
＝
＾１ ０
．
又在△ ＡｆｉＣ 中 ，
由 正 弦定理得
ＢＣ
ｙｉ〇
ｓｉｎ
／ ＢＡＣ
Ｔ
２Ｒ
中 等 数 学
８．
８ ０
． 设＼ ＝
ａｉ
＋ ｉ ａｉ Ｇ ｜ ｌ
， ２ Ｋ ｉ ＝ ｌ
， ２ ，
…
， ９ ）
．
则２ ａ！
＝
ａ １
０ ％ ＝
６ ！ ＋ ６２
＋ …
＋ ６９
，
①
＾
２
＋ 办
３
＋ 办４
这５
一
这２ — 炫８
这
５
＝
６５
＋
６
６
＋
６
７
．
②
用ｆ
表示 ６２
、 ６３ 、 ６４
中值为 ２ 的项数．
由
式②，
知 ＊ 也为 ６５ ＡＡ 中值为２ 的项数 ，
其
中 ＊
ｅ ０ ｌ
２ ３ ．，
｜
， ， ，
！ 于是 ，
６２ ， ６３ ， ＂ ＊ ， ６ ７
的取法数为
（ Ｃ
°
） ２ ＋ （ Ｃ ｊ
） ２ ＋ （ Ｃ＾ ） ２ ＋ （ Ｃ＾
） ２ ＝
２０
．
取定６ ２
人 ，
？ ？ ？
， ６７ 后， 任意指定 ６８ 、 ６９
的值， 有 ２ ２
＝
４ 种方式
？
又由式①，
知应取 卜 ６ 丨
１
， ２
丨
使得 ￣ ＋
６２
＋ …
＋ ６９ 为偶数 ，
而 ６ ，
的取法是唯一
的
，
且确定了 整数 Ａ 的值
．
因此
，数列＼，＆２，…
Ａ唯一对应一个满足条件的数列
〇
４
，
＜
１２ ，
…
， ａ １０
． 综上，
满足条件的 数列 的个数为
２０ ｘ ４ ＝
８０
． 二、９．
不妨设 ａ ＜ ６ ＜ ｃ
．
由于／（
％ ）
在区间 （
〇 ，
３ ］ 上严格递减 ，
在区 间［
３
， ９ ］ 上严格递增， 在区间 ［ ９
，
＋ 〇〇 ）
上严格
递减 ，
且／（ ３ ） ＝
０ ， ／（ ９ ） ＝ １ ，
则结合图像知
ａ Ｇ （ ０ ，
３ ） ，
６ Ｇ （ ３ ，
９） ，
ｃ Ｇ （ ９，
＋
〇〇
）
，
且 ／（
＜
０
＝
／（ ６ ） ＝／（ ＜
〇 ６ （ ０ ，
１ ）
．
由／（
ａ ）
＝／（
６ ）
＝＞ １
－
ｌｏｇ３ ａ
＝ ｌ
ｏｇ３
６ －
１
＝
？
ｌ ｏｇ３ ａ ＋
ｌ
ｏｇ３ ６
＝
２
＝
＞
ａ６ ＝
３ ２
＝
９
＝
＞
ａｂｃ ＝
９ｃ
．
又 ０ ＜／
（
ｃ ） ＝
４ －
｛ 〈 ｌ
，
故
ｃ
６ （ ９ ，
１
６）
．
从而 ，
ａ６ｃ
＝
９ ｃ
￡ （ ８ １
， １
４４ ）
．
因此 ， Ａ 的取值范 围是（ ８ １ ，
１４４ ） ．
【 注】 对任意的 ｒ
６（ ８
１ ， １ ４４
）
， 取ｃ
〇 ＝
ｆ
，
则 Ｃ〇
Ｇ （
９
，
１
６
） ．
从而，
／（
Ｃ。 ）
６
（
０
， １
） ？
过点
（ ｃ。
，
／（ ｃ。 ） ）
作平行于 ＊ 轴的直线 Ｚ
，
则 直线
Ｚ
与／（ ＊ ） 的图 像另有两个交点 Ｕ ， ／ （ ａ
） ）
，
（ ６
，
／（
６
） ）
（
ａ
Ｇ
（
０ ，
３
） ，
６
Ｇ
（ ３
，
９
） ） ， 满足
：
／（
〇 ）
＝
／（
６ ）
＝
／（
ｃ ）
，
Ｒ ａｂ ＝
９
． 从而 ａ６
ｃ ＝
ｒ
． ，
１０． （ １ ）
约定 Ｓ
Ｑ
＝
０
．
２０１ ８
年第
１ １
期
由条件，
知对任意的正整数 ＼ 均有
ｌ
＝
ａＢ （ ２Ｓｎ
ａｎ ） ＝
（ ＳＢ －
Ｓ？ １ ） （Ｓｎ ＋ Ｓｎ １
）
＝
ｎ
＿ 从而 ，
Ｓ： ＝
ｒａ ＋ ｓ
ｇ ＝
ｎ ，
即
２９
（ （ ｙｉ
＋
ｈ ）
２
ｙｆ ）
２ ＋ １
６ （
２ｙ！
＋ ｙ２ ）
２
（ （ ｙｉ ＋ Ｊ２ ） ２
－
ｙｌ ）
２
２
＋＾ （
２ｒ２ ＋ ｒ
ｉ ）
２
（
ｙ＾
８
） ＋ １
６ （ ４
＾ ＋
＾ －
１
６
）
（ｙ
卜
８
） ２
＋
１
６
（
４
４
＋
ｙ
卜
１
６
）
Ｓｎ ＝
± Ｖ＾ （ 当 ｎ ＝
〇
时亦成立）
． 故ａｎ
＝
Ｓｎ
－
Ｓ＾ 矣
＋ Ｖｎ －
ｌ ＜ ２－／ｎ
．
ｙ＼ ＋
６４ｙ＾
－
１
９２
＋６４％ －
１ ９２
，
（
２
）
仅需考虑
ａ
？ 、
ａ
？ ＋ １
同号的情况
．
不失一
般性 ，
可设 ａ
ｎ 八＋
１
均为正（ 否则 ，
将数列各项同时变为相反数， 仍满足条件）
． 则＼＋
１
从而，
Ｓ
ｎ
＝
Ｖ＾
，
Ｓ
ｎ ＋
１ ＝
／ｎ ＋
１
？ 此时 ，
＜＊
ｎ ＝
Ｖ＾
± Ｖｎ －
ｌ
，
＋ １
汉 ＋ １
Ｔｌ ？
故
ａｎ
ａ
ｎ
＋
１
＜
（ Ｖ＾ ＋
７ｎ ｌ
） （ Ａ ＋ ｌ
４ｎ
）
＜ （ ＋ １ ＋＼ ｎ
） （ ／ ｎ ＋ １
－
ｎ
）
＝ １
．
ｆ
Ｊ
由条件 ，
知 ％ 、 ７２ 、
乃 两两不等且非
零．
设心 ：
＊ ＝ 矽 ＋ １
， 与抛物线方程联立
得
ｙ２ Ａｔ
ｙ ４ ＝
０
．
故他 ：
４
．
①
注意到 ，
的外接圆 过点
可设
该圆的方程为 ＊２
＋ ｙ２
＋ 办 ＋ ｅｙ ＝
０ ，
与
联立得
２
＾＋ ｌ
＋ ｊ ｙ ＋ ｅ
ｙ ＝
〇
．
（
）
该四 次方程有 ｈ 、
ｙ２
、
ｙ３
、
〇 这四个不同 的
实根
．
故由 韦达定理得
７ｉ
＋ ｙ２ ＋ ｙ３ ＋ 〇 ＝
°
－
从而，
；
ｒ３
＝
（
ｙｉ
ａ ）
．
②
又ｐｆ 平分Ｚ ｚｉ
ｐｓ ，
由 角平分线定理知
ｐａ ＝＿
ｆａ ＝ ｙｊ
ＰＢ Ｆｉｆ
Ｔ
＾
Ｔ
结合式①、
②有
２
ｙ？
Ｒ４ ２
＋
（
ｒ
３
ｒｉ
）
＝
Ｐｉｆ ２
２
＋
（
ｙ３
－
ｙ２
）
即 ｙｊ ＋ ６４以 １９２ｙｆ ＝
Ｗ ＋ ６４）祝 １
９２；
ｙ
§ ．
故（ ｙ？ Ｍ ） （
； ）４ ＋ｒ？ Ｍ ＋ Ｍ １ ９２ ）
＝
０
．
当；
Ｋ？
时， ｈ ＝ － ｙｉ ， 故 ｈ ＝
０
， 此时，
点
Ｐ 与 〇 重合 ， 与条件不符
．
当Ｚ ＋
３
＾ ＋ Ｍ ＿
１
９２
＝
０ 时，
结合式①有
（ ｙ＼
＋７２ ） ２
＝
１ ９２ ＋ （ ｙ＾ｉ ） ２
＝
２０８
． 又Ｍ ＋ ｙ〗
＝
４ ７０ ＞ ８ ＝
２ｙｉ
ｙ２
，
故满足
式①及 Ｍ ＝
４ 的 实数％ 、
ｙ２
存在，
对应可得满足条件的点 Ａ及 此时 ，
结合式①
、
②知
２
ＰＦ （
ｙｉ ＋ ｙ２ ） ＋ ４
＝
ｊ ＋
ｌ
４ ４
＝
ｙ＼ ＋ ７２ －
４
＝－４
７ １ ３
－
１
．４４
加 试
一
、
由 条件知 ＼ ＝ 」
衾 ｌ （ ｉ
＝ １ ，
２ ，
…
， ｎ ）
．
〇
ｉ
记 ＝
Ｋ．
ｆ
Ｗ
…
ｂ
辛４化为卜
则
ｄ
ｊ
Ｃ
＆２
＊需证明
①
＋ １
ｊ
４ ＋ １
对
￡
＝
１ ， ２ ， … ， ７ｉ ，
由
＆
多
１
及
０
＜
ａ＃ｙｉ ，
知
Ａ ；
ａ，
＋ １
＋ １
１
ａ；
＋ １
ｋｔ
￣
ｌ ｋｔ
Ａ ＋ １
￣
Ａ ＋ ｌ
Ａ ＋ ｌ
结合
，
为证 明 式①，
仅需证 明
当 ４
＞
０
次
多
１ （ ￡
＝
１ ，
２ ， ． ＂
， ／〇
时 ，
有
＋ １＋ １
②
Ａ ＋ ｌ Ａ ＋ ｌ
３０
对ｎ进行归纳．
当ｎ＝１时，结论显然成立．
当ａｒ＝２时，由４＞０ＡＡ
＞
１
，知
，
丨
、
２
ｋＡ＋１ｋＡ＋１ｋｋＡ＋１ｘ２ｘ２
９
Ａ＋ｌＡ＋ｌＡ＋ｌ
＝—
２灿
③Ｕ＋１）
因此，ａｒ＝２时，结论成立．
设ｎ＝ｍ时结论成立．
设
则当时，利用知ｎ＝ｍ＋ｌ
归纳假
ｔＭ＋１／ｔｔＭ＋１＼
＋１
ｊ
＿
ｉ＝ｉ＾＋１？－４＋１
／Ａ＋１
＼ｆｉ
、Ｊ＋ｌＡ＋ｌ
Ｗ．Ｕ＋ｉ
Ｊ＋ｌ
最后一步是在式③中用乙、Ｕ注意
Ｗ＊丸多１人＋１多ｉ）分别代替Ｈ从
而，当ｎ＝ｍ＋１时，结论成立．
由数学归纳法，知式②对所有正整数／Ｉ均成立．
故命题得证．
二、由条件，知沉
为△外接圆的直径，Ｚ）￡：
丄ＢＣ于点Ｍ，处：丄ＡＺＸ
如图２，记Ｊ为ＡＡＳＣ的内心．
Ｄ
则点／在上，／Ｆ丄仙．
由ｉＶｉｆ丄４５
＝＞ＺＮＢＥ＝
ＺＡＢＥＺＡＢＮ
＝
（１８０
。＾－９０。
０
中等数学
＝９０
°
－ＺＡ
ＤＥ＝ＺＭＥＬ①
又据三角形内心的性质有
ＺＥＢＩ＝ＺＥＢＣ＋ＺＣＢＩ＝
ＺＥＡＣ＋ＺＡＢＩ
＝ＺＥＡＢ＋ＺＡＢＩ＝ＺＥＩＢ．
从而ＢＥ：Ｅｌ．
，
结合ｆｉｉＶ＝￡Ｍ及式①知
ＡＮＢＥ＾ＡＭＥＩ
＝
＞ＺＥＭＩ＝
ｚＢＮＥ＝９０°＋ｚＢＦＥ
＝ｍ
°
－Ｚ
ＥＦＩ
＝＞￡；、
Ｆ丄Ｍ四点共圆
＝＞２＾１／＝９０。＋
２／挪
＝９０
°＋ＺＩＥＭ＝ＺＡＧＭ
＝
＞４、Ｆ、Ｇ、
Ｍ四点共圆．
再由Ｚ＝ＺＤＭＧ＝９０。
＝Ｍ、Ｇ、Ｍ、Ｄ
四点共圆
４五点共圆
＝＞ＺＤＦＧ＝ＺＺＭＧ＝９０。
々ＤＦ丄ＦＧ．
三、反证法．
假设存在整数＊不可表示为
ａ－ｙ（ａ、＜／６ｆ）．
作带余除法ｍ＝ｗ＋ｒ
（０
矣ｒ＜ａ〇．将１，２，… ，ｍ按模＊的同余类划分成％个公差
为＾的等差数列，其中，／？个等
差数列有９＋１项、＊ｒ个等差数列有ｇ项．由于
４中没有两数之差为＊，故４不能包含
以＊为公差的等差数列的相邻两项．从而，
ｎ
＝
Ａ＾
ｒ
＋
（
＊
－ｒ）＾
２
｝ｑ；
＝①
ｘ
＇
＋ｒ＞
２
９？
２
其中，ｒ？ｉ表示不小于实数ａ的最小整数．
由条件有
ｎ＞ｈｍ＝
ｈ（ｘｑ＋ｒ）－②
２ｉｉ２ｉｉ
２０
１８
年第１１期
又％６卜＾＾
，故
ｎ＞
（
Ａ
ｌ）
？
：．
（１
）
９为奇数．
则由式①知《矣
．
上式结合式②得
〇＋１ｋ／、、ｋ
ｘ＞ｘ
ｑ
＋ｒ＾ｘ
２ｉ＾ｉ（）＾ｑ２２ｋ［
从而，ｇ＜２Ａ－１．
再由ｇ为奇数，知０２Ａ－３．于是，
ｌ
）ｘ
，
与／ｉ＞（Ａ：－ｌ）＊矛盾．
（２
）９
为偶数．
则由式①知ｎ矣ｖ＾＋ｒ．上式结合式②得
Ｘ＇＋ｒ＞Ｌｘ＋ｒ
２ｌ！＾ｑ－２
（）
故＾ｍ＜ｅｆｉ＜（灸１
）％
＇
２（２＾－１）２ｋ＼２ｋ－＼
于是，？＜２（Ａ１）．
再由？为偶数，知ｇ矣２Ａ－４．
贝ｊａｒ矣尤＋ｒ专（Ａ２）＊＋ｒ＜（Ａ１）＊，
与／！＞（＆１）？矛盾．
综上，假设不成立．结论得证．
四、显然，＜＊！＝１或ａ２＝１．
下面考虑整数ｍ＞ｌ．
设ｍ有Ａ个不同素因子，对Ａ归纳证明
ｍ在数列｛ａ？｝中出现．
记５？＝％＋…＋ａ？（ｒａ＞ｌ）．
灸＝１时，饥为素数方幂，设
ｍ＝ｐａ（ａ＞０，ｐ
为素数）．
假设ｍ不在数列丨＾丨中出现由于Ｕ？！各项互不相同，从而，存在正整数＃，当ｎ多＃
３１
与３？互素．又（＾，七，…，ａ？中无一项是ｐａ，
故由数列定义知ａ？＋１矣圹，但是ａｎ＋１＞圹，
矛盾．
于是，对每个ｎ多ｉＶ，均有ＰＳ？．但由
ｐ＊Ｓ？＋１及夕＼，知ｐａ？＋１．从而，ａｎ＋１与不互素，这与ａｎ＋１的定义矛盾．
假设Ａ：彡２，且结论对Ａ：１成立．设ｍ的
标准分解为ｍ假设饥不在数列Ｗ中出现于是，存在正整数Ｍ，当／１５＾＇
时，均有＼＞ｍ．取充分大的正整数执，戌，
…
，，使
得
Ｍ＝Ｐ？ｐｆｐ
ｆ＞ｍ
＾ｉ〇１？
１２＂＊Ｉｉ
ｉ，？
ｒ
下面证明：对／１参Ｗ，有ａｎ＋，
对任意的若与＊１；２九互素，
‘ ？？
＞
则ｗｉ与Ｓ？互素．又ｍ在ａ：，ａ２，…，ａｎ中均未
出现，而＼＋１＞ｍ，这与数列的定义矛盾．由此推出：
对任意的／ｉＳｓＷ，Ｓ？与凡朽…八不互素？
①
若存在ｉ（ｌＡｄ－ｌ），使得Ｐｉ＜Ｓｎ，由于Ｕｎ＋ｉ，ｓｎ）＝ｉ，于是，凡卞ａｎ＋ｌ．从而，
ｌｆｎ＋ｉ＃财（因Ａ财）．
若对每个
（
１Ａ
ｄ），均有Ｐｉｔ？，
＾－１
ｓ
则由结论①，知必有／．于是，ｐ４１ａｎ＋ｉ．进
而，ＰｉｔＨ＋ａ？＋１），即八１Ｓ？＋１．故由结论① ，知存在ｉ〇（ｌＡ〇矣Ａｌ），使得ＰｉＳ？＋１．再由乂＋１及前面的假设〇
Ｓ？＋ａ？
＋
１
ｔ
？
＝ｓ
（
１矣ｉ＾ｌ），知，故ａｎ＋１＃Ｍ．
由此得出对于＋１，均有
而Ｍ＞ｍａｘ｜ａｎ｜，故Ｍ不在数列ｊａｎ丨中出现，这与归纳假设矛盾．因此，若ｍ有丨个不同素因子，则ｍ—定在ｌａ？ｌ中出现．
由数学归纳法，知所有正整数均在数列
１＼丨
中出现．
时，均有ａ？＞ｐ°．若对某个／＾；Ｖ，ＰｔＳ？，则（段华贵提供）
１ 全国初中数学竞赛试题及答案 考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30 一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：选（A ）。当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 解：选（B ）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax ， 02 =++a cx bx ，02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根，则ab c ca b bc a 2 22++的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：选（D ）。设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20at bt c ++=，20bt ct a ++=，2 0ct at b ++= 三式相加得：2 ()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有3333a b c abc ++=， 所以 ab c ca b bc a 222++＝333 a b c abc ++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相 交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经 过△ABC 的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 解：选（B ）。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ， 即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD ＝∠ACD ， 所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上， 也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5．方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多 解：选（A ）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。
高中数学知识应用竞赛试题 1、（满分15分）《中华人民共和国个人所得税法》第十四条中有下表： 后的余额。例如某人月工资、薪金收入1220元，减除1000元，应纳税所得额就是220元，应缴纳个人所得税11元。 （1）请写出月工资、薪金的个人所得y关于收入额x（0 甲方案：从北京出发飞往美国纽约，再从纽约飞往圣地亚哥。 乙方案：从北京出发飞往澳大利亚的弗里曼特尔，再从弗里曼特尔飞往圣地亚哥。 为简单起见，我们把北京的地理位置粗略地认为是：东经120度，北纬40度；纽约的地理位置大致是：西经70度，北纬40度；澳大利亚的弗里曼特尔的地理位置大致位置是：东经120度，南纬30度：智利的圣地亚哥的地理位置大致是：西经70度，南纬30度。假设飞行航线走的都是球面距离，请你比较这两种方案哪一个飞行距离更短些？说明理由。 4、（满分15分）用车床加工某种圆柱形零件，是在圆柱形零件的轴旋转和车刀直线运动的过程中切削完成的。我们把零件放置一周车刀沿零件轴线所移动的距离称走刀量，把刀刃切削零件的深度称为吃刀深度。现在要把长800mm，直径为10mm的轴的一端加工成长为400mm，直径为8mm的轴，如图所示。 已知走刀量是0.1mm，吃刀深度是0.2mm，轴的转速是每分钟800转；工人从车床上卸下一根加工好的轴，再装上一根待加工的轴需要10秒钟；每位工人每天的有效工作时间是7.55小时。 某车间有12台车床，24名工人，现要在5天内完成加工1980个这种零件。如果加工零件过程中其余操作时间忽略不计，请你提供一个能够按时完成任务的生产方案，并说明理由。 5、（满分20分）某县地处水乡，县政府原计划从今年起填湖围造一部分生产用地。但根据前几年抗洪救灾的经验教训和环境保护、生态平衡的要求，准备重新研究修改计划。为了寻求合理的计划方案，需要研究以下问题：（1）若按原计划填湖造地，水面的减少必然导致蓄水能力的下降。为了保证防洪能力不会下降，除了填湖费用外，还需要增加排水设 2018年全国高中数学联赛竞赛 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分。 1.设集合{1,2,3,99}A =…，{2|},{|2}B x x A C x x A =∈=∈，则B C I 的元素个数为______. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30?且不大于60?，则这样的点Q 所构成的区域的面积为______. 3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为______. 4.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是12F F 、，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P 。已知线段,,,PU PS PV PT 的长分别为1,2,3,6，则12PF F ?的面积为______. 5.设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足()1,(2)2f f ππ==，则不等式组121()2x f x ≤≤??≤≤? 的解集为______. 6.设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为______. 7.设O 为ABC ?的外心，若2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则sin BAC ∠的值为______. 8.设整数数列1210,,,a a a …满足1012853,2a a a a a =+=，且 1{1,2},1,2,,9i i i a a a i +∈++=…， 则这样的数列的个数为______。 二、解答题：本大题共3小题，满分56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.（本题满分16分）已知定义在R + 上的函数()f x 为 3|log 1|,09,()49x x f x x -<≤??=?->?? 设,,a b c 是三个互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ==，求abc 的取值范围。 10.（本题满分20分）已知实数列123,,,a a a …满足：对任意正整数n ，有(2)1n n n a S a -=，其中n S 表示数列的前n 项和。证明： 1）对任意正整数n ，有n a < 2）对任意正整数n ，有11n n a a +<。 11.在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线2 4y x =的过点(1,0)F 的弦，AOB ?的外接圆交抛物线于点P （不同于点,,O A B ）。若PF 平分APB ∠，求||PF 的所有可能值。 加试（A 卷） 一、（本题满分40分）设n 是正整数，1212,,,,,,,n n a a a b b b ?…，,A B 均为正实数，满足 ,,1,2,,i i i a b a A i n ≤≤=…，且 1212n n b b b B a a a A ≤……。 二、（本题满分40分）如图，ABC ?为锐角三角形，AB AC <，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为 ABC ?的外接圆?BAC 和?BC 的中点，F 为ABC ?的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上，满足NB AB ⊥。 证明：若BN EM =，则DF FG ⊥。（答题时请将图画在答卷纸上） 第二十一届北京高中数学知识应用竞赛获奖名单 一等奖（100名） 姓名性别学校年级姓名性别学校年级尤纪帆女首师大附中高二邱亦文女北京二中高二刘宇轩女首师大附中高二周钰斌男北京十五中高二李怡婷女朝阳外国语学校高二包涛尼男民大附中高二王沐烑女北京二中高二王一丁男牛栏山一中高二孙亦非男北京五中高一尹子朔男陈经纶中学高二张雨桥男北京八中高二沈畅男北京铁二中高一邓瀚辰男汇文中学高二刘曦瑞男北京八中高二潘乐怡女北京八中高一王波添男清华附中高二曲天泽男北京二中高二柳一欣女北京二中高二陈思蕊女北京十二中高二梁一栋男北京五十七中高二李宁政男陈经纶中学高二蔡恒屹男潞河中学高二辛宇正男陈经纶中学高二谭励彦男十一学校高二王筱男北京四中高二孙文杰女北京四中高二李济泽男景山学校高二董思尧男北京五中高一王燕杰男北京四中高二刘韫滕男民大附中高二李江皓男民大附中高二陈辰男景山学校高一贺禹杰男北京四中高二程锐杰男北京八中高一姚智铭男北京八中高一席浩诚男北京八中高一沈靖开男民大附中高二罗睿韬男北京九中高二杨天昊男北京一七一中高二王若晨女北京四中高一周浩男北京二中高二赵博熙男北京四中高一王震男北京二中高二都欣然女朝阳外国语学校高二刘心怡女北师大附中高一熊开元女清华附中高二刘宇轩男民大附中高一朱函琪男首师大附中高二刘发源男民大附中高二唐子涵女北京一六一中高二许一先男北京八十中高一桂子轩男北京十九中高一马欣仪女北京二中高一李藩女北京一零一中高二陆子恒男汇文中学高二王思雨女北京一七一中高二周永斌男民大附中高二蒋涵锐男八一学校高一刘逸洋女牛栏山一中高二金志扬男北京八中高一钱成男清华附中高一刘宇时男北京二中高一董子奇女北京四中高二王晨奥女北京二中高二何凯男北京五中高二马成男北京一零一中高二王秭祺男北京五中高一任悦妍女北京一七一中高二罗瑞辰男北京一六一中高二李原草男民大附中高二马礼骞男陈经纶中学高二汪之钧男大兴一中高二涂腾男景山学校高二周思耘女首师大附中高二杜鹏程男中关村中学高一张艺涵女北京四中高一阳超然男北京八十中高二于知衡男北理工附中高一付思成男北京二中高一向柯帆男民大附中高二何宜珊女北京一零一中高一王观嵘男北京二中高一康博睿男民大附中高二孙琢璠女北京五中高二韩明夏男北京十五中高一杨晨鹭女北京一七一中高二安宇佳女昌平二中高二张怡淼女牛栏山一中高二 2018各省数学竞赛汇集 2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合 {}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为 _____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2 (4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位） ，则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且 倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜 率为___1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的 体积为_____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足： 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组 (,,)a b c 的个数为__24___. 高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案 试题 一、窗户造型（满分15分） 《中学生数学》杂志2000年第一期的封面是一幅欧洲教堂的照片，它是一座哥特式的建筑。建筑物上有一 个窗户的造型如下图所示。图中弧AB和弧AC分别是以C和B为圆心BC长为半径的圆弧．☉、☉ 和☉两两相切，并且☉、☉与弧AB相切，☉、☉与弧AC相切，☉、☉的 半径相等．如果使☉、☉充分大，记BC的长度为a，请你计算出☉的半径，并给出这个圆的作法． 二、买房贷款（满分20分） 根据中国人民银行颁布的《个人住房贷款管理办法》（第十一条）“借款人应和贷款银行制定还本付息计划，贷款期限在一年以上的，按月归还贷款本息”的规定，为方便贷款银行操作和选择，中国人民银行具体规定了个人住房贷款的两种按月还本付息的办法，允许借款人和贷款银行在双方商议的基础上做出选择． 第一种办法是等额本息还款法，其还款方式已经在1999年第三届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题的第3题中作了介绍，并要求给出月均还款额、还款总额和利息负担总和的计算公式．按照这些公式不难算出，一个人如果从银行得到买房贷款40万元，计划20年还清贷款，按规定贷款的年利率应为5.58％（折合月利率4.65％。），这时贷款人的月均还款额应为0.27696万元，还款总额为66.4717万元，利息负担总和为26.4717万元． 第二种办法是等额本金还款法（又叫等本不等息还款法），指在贷款期间内，每月除了要还清当月贷款的利息外，还要以相等的额度偿还贷款的本金．这样一来，每月偿还的贷款的利息将随本金的减少而逐月递减．因此称之为等本不等息还款法．如果这个贷款人选择了等额本金还款法在20年内偿还他所借的40万元贷款，他只需要偿还本息总合62.413万元，其中利息负担的总合为22.413万元，比前一种还款方法少支 2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α 高中数学知识应用竞赛试题及参考答案 试题 1、（满分汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前没行一段距离才能停住。我们称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析事故的一个重要的因素。在一个限速为40千米/时的路段上，先后有A、B 两辆汽车发生交通事故。事故后，交通警察现场测得A车的刹车距离超过12米，不足15米，B车的刹车距离超过11米，不足12米。又知A、B两种车型的刹车距离S（米）与车速x（千米/时）之间有如下关系： 如果仅仅考虑汽车的车速因素，哪辆车应负责任？ 2.（满分北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》，在这个节目中曾经有这样一个抢答题：小晰蜴体长15cm，体重15g,问：当小晰蜴长到体长为时，它的体重大约是多少（选择答案：25g,35g,40g）?尝试用数学分析出合理的解答。 3. （满分受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐。在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋。下面是某港口顺某季节每天的时间与水深关系表： (1)请在坐标纸上，根据表中的数据，用连续曲线描出时间与水深关系的函数图像； （2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5的安全间隙（船底与洋底的距离），问该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ （3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 4．（满分末，某商家迎来店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾方式，即顾客在店内花钱满100元（这100元可以是现金，也可是奖励券，或二者合计），就送励券；满，就送40元奖励券，满300元，就送60元奖励券；...。当日，花钱最多的一顾客用现金70000元，如果按照酬宾方式， 第二十届北京高中数学知识应用竞赛获奖名单 一等奖（88名） 姓名性别年级学校姓名性别年级学校 林左男高二朝阳外国语学校房捷轩男高一北京一零一中周梦怡女高一北京五中李滟蔚女高一人大附中 张诗雯女高一汇文中学何凯男高一北京五中 黄天行男高一汇文中学杨浥文女高一北京二中 王思雯女高二首师大附中石玉峰男高三东直门中学 邓凌浩男高二民大附中谭励彦男高一十一学校 张子研男高一海淀进校附属实验学校李聪睿女高一北京八十中 刘向北男高一首师大附属回龙观育新学校彭江祎男高二北京十二中 许文灏女高二北京一七一中赵嘉莹女高一北京五中 孙弘业男高二牛栏山一中许轩卓男高二密云二中 刘云鹏男高二北大附中刁畅女高二牛栏山一中 臧玉喆男高二北京一七一中蔡亚伦男高一北京二中 刘雨航男高二十一学校秦梦陶女高一清华附中 王奕然男高一北师大附中孟雨凡男高二八一学校 岳璞阳男高一北京十五中张凯风男高一汇文中学 郑晏陶男高一北京二中李雪桐男高一北京五中 昕琦男高二民大附中陈瀚玮男高二牛栏山一中 屠俊天男高二北京五中张一清男高一北京一七一中冯一辰男高一北方交大附中余诗跃男高一中关村中学 付博文男高一民大附中简捷女高一京源学校 权衡男高二朝阳外国语学校周昊辰男高二北京三十五中郭世圆男高二北京一零一中夏铭轩男高二朝阳外国语学校陈冬宇男高一北京二中赵云男高一京源学校 杜懿中男高二北京一七一中李宗泽男高一北师大附中 李祥泽男高二北京二中张宇伦男高二北京一零一中宋心仪女高二北京二中程诗灏男高一北京八十中 邱亦文女高一北京二中陈柏健男高二昌平二中 李天琦男高一景山学校王斌男高二昌平二中 贾泓翰男高二密云二中张朴哲男高二牛栏山一中 魏英暄女高二民大附中史天依男高二大峪中学 李修凡男高二大兴一中李润男高一北京五十七中刘鹿鸣男高一北京四中朱玥华女高二北师大实验中学刘孟琦女高三东直门中学徐沛然男高一北京二中 袁慧华女高二北师大实验中学胡凌女高一人大附中 关美格女高一北京八中王右葭女高一北京四中 姜腾男高二北师大实验中学高楚琪女高二北京二中 张博然男高一人大附中胡茗智男高一民大附中 曹广川男高二牛栏山一中范一凡女高一朝阳外国语学校尹子朔男高一陈经纶中学李国盛男高一汇文中学 吴英图男高二北师大附属良乡中学王子睿涵女高三东直门中学 闫朔男高二延庆一中袁佳音女高二牛栏山一中 李怡然女高二大兴一中郑佳怡女高二牛栏山一中 李博文男高二北京二中刘天启男高二朝阳外国语学校唐仡夫男高一东直门中学侯东良男高二北京一七一中 高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一) 高中数学竞赛讲义（一） ──集合与简易逻辑 一、基础知识 定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，分别表示有理数集和正实数集。 定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为，例如。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。 定义3 交集， 定义4 并集， 定义5 补集，若称为A在I中的补集。 定义6 差集，。 定义7 集合记作开区间，集合 记作闭区间，R记作 定理1 集合的性质：对任意集合A，B，C，有： （1）（2）； （3）（4） 【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。 （1）若，则，且或，所以或，即；反之，，则或，即且或，即且，即 （3）若，则或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有 定理2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。 定理3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。 二、方法与例题 1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。 例1 设，求证： （1）； （2）； （3）若，则 [证明]（1）因为，且，所以 （2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不可能等于，假设不成立，所以 （3）设，则 （因为）。 2．利用子集的定义证明集合相等，先证，再证，则A=B。 例2 设A，B是两个集合，又设集合M满足 ，求集合M（用A，B表示）。 2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷） 一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。 1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 5、设βα,满足3)3tan(-=+ πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ?的面积为为 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组???≤≤≤≤1 )(010x f x 的解集为 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则1 33221z z z z z z ++的实部是 （用含有r 的式子表示） 二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9、（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：71=a ， 21+=+n n n a a a ， ,3,2,1=n ，求满足20184>n a 的最小正整数n 。 10、（本题满分20分）已知定义在+R 上的函数)(x f 为???--=x x x f 41log )(39,90,>≤ 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案 试题 1、（满分20分）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要接着向前没行一段距离才能停住。我们称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析事故的一个重要的因素。在一个限速为40千米/时的路段上，先后有A、B两辆汽车发生交通事故。事故后，交通警察现场测得A车的刹车距离超过12米，不足15米，B车的刹车距离超过11米，不足12米。又知A、B两种车型的刹车距离S（米）与车速x（千米/时）之间有如下关系： 假如仅仅考虑汽车的车速因素，哪辆车应负责任？ 2.（满分20分）北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》，在那个节目中曾经有如此一个抢答题：小晰蜴体长15cm，体重15g,问：当小晰蜴长到体长为20cm时，它的体重大约是多少（选择答案：20g,25g,35g,40g）?尝试用数学分析出合理的解答。 3. （满分20分）受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐。在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋。下面是某港口顺某季节每天的时刻与水深关系表： 时刻水深（米）时刻水深（米）时刻水深（米） 0:00 5.0 8:00 3.1 16:00 7.4 1:00 6.2 9:00 2.5 17:00 6.9 2:00 7.1 10:00 2.4 18:00 5.9 3:00 7.5 11:00 3.5 19:00 4.4 4:00 7.3 12:00 4.4 20:00 3.3 5:00 6.5 13:00 5.6 21:00 2.5 6:00 5.3 14:00 6.7 22:00 2.7 7:00 4.1 15:00 7.2 23:00 3.8 (1)请在坐标纸上，依照表中的数据，用连续曲线描出时刻与水深关系的函数图像； （2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5的安全间隙（船底与洋底的距离），问该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ （3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时刻必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 4．（满分20分）2000年末，某商家迎来店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十， 历届北京高中数学知识应用竞赛获奖论文名单（第五届） 一等奖 保安巡更路线方案及软件流程设计 如何选择合理的饮食结构 如何有效除去水发海鲜中的甲醛 观鸟中的数学问题——东洞庭湖观鸟记录与思考 NBA常规赛赛程的合理安排 室内饲养环境下大斑啄木鸟节律的研究 邮票面值的设计问题 用电器线路的优化设计 网上购书——你想不想要便宜的好书 利用傅立叶级数定量确定植被生长季特征参数 高中生数学能力探析 浅析足球场上队员的合理跑位问题 不合理的付出与回报——关于出租车计价问题的讨论 高中生科学睡眠时间 适得其“返”——京城大中型商场春节期间返金优惠活动情况的研究北京住宅小区分散供暖的可行性研究 “脑白金”风暴怎么刮 使超市收银工作省时而高效——收银台数与客流量关系的推导及应用关于什刹海鱼类资源的调查 你有多大的词汇量——浅论对词汇量估测手段的改进 架起沟通的桥梁——移动电话服务网络的选择 一脚定乾坤——任意球射门得分的数学方法分析 直射网窝——足球中的香蕉球问题 二等奖 液晶基板合理切割的研究 提高中国快餐店的利润 是物理的错还是数学的错——兼论理论与实践的关系 对城市交通系统的改进 生死时速——在公共建筑中遇到意外紧急撤离问题初探 中学生的呼声——北大附中学生心中的名牌大学排行榜 选你所爱爱你所选——浅析对住宅小区的选择 汽车后视镜的角度分析及安装改进 瘦肉精检测中的数学问题 留住每一滴水——城市污水再利用系统 水的表面张力产生的原因 关于春运期间铁路票价涨幅问题的研究 半价优惠对西饼店利润的影响——对金凤成祥西饼店的有关调查研究高层建筑人群疏散方案的设计 关于多米诺骨牌的数学分析 台球桌上的数学问题 关于人造卫星定点着陆的探索 顾客满意度的测定 买煤的资金合理配制问题 为铁路运输增砖添瓦——浅谈如何设置铁轨的外轨超高 关于足球场的改造方案——旋转看台 成鱼应该何时卖 种果树中的数学问题 谈谈足球比赛中的远射 关于山羊与小尾寒羊的饲养问题 三等奖 用渐进法解方程εx n+x-1=0 关于北京地区空气中细微颗粒物MP2.5的模型分析与讨论 国际奥委会中委员分布得公平吗 CPU风云演义 喷灌喷头的设计问题 关于公交汽车合理布局问题 捡石子游戏学数学 做好充分准备迎接会考到来——关于会考作息时间的安排 2018 年泉州市普通高中数学学科竞赛试题 （总分 200 分，考试时间： 150 分钟） 学校 姓名 准考证号 一、填空题：本大题共 15 小题，每小题 6 分，共 90 分．请将答案填写在答题卡的相应位置． 1．已知全集 U R ，集合 M { x | x 2 x 2 0} ， N { x | x 3} ， 则 ( e U M ) N ___________． x y 4 0， 2．实数 x ， y 满足约束条件 x y 2 0， 则 z 3x 2 y 的最小值为 ___________． x 3， 3．若 sin cos 3 ，且 2 ，则 cos sin 的值为 ___________． 8 4 4．已知等差数列 a n 满足 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 40 ，则 4a 6 a 9 ___________． 5．若 x log 4 2 log 2 9 log 4 9 ，则 2x 2 x ___________． 6．在 ABC 中， AB AC 2， BAC 90 ， BP BC (0 1) ， 则 ( AB AC) AP ___________ ． 7．设函数 f ( x) ax 2 2x 1，当 x [0, 2] 时， f (x) 0恒成立，则 a 的取值范围是 ． 8．四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧面 PCD 为等边三角形， AB=2 3 ，BC =2 ， PA 4 ，则 P ABCD 外接球的表面积为 ___________． 9．已知 P 为圆 x 2 y 2 4 上的动点， A(0, 2 2) ，B( 2, 2) ，则 PB 的最大值为 ________． PA 10．已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f (x 2) f (x) ，且当 x [0,1] 时， f ( x) 3x ． 函数 g( x) f (x) kx 2k (k 0) 的所有零点为 n x 1 ， x 2 ， x 3 ， ， x n ，若 8 x i 12 ， i 1 则 k 的取值范围是 ___________． 3．8 第一届北京市高中数学知识应用竞赛(1997) 第一届北京市高中数学知识应用竞赛初赛于1997年12月举行． 【初赛试题】 1．乘夏利出租汽车，行程不超过4公里时，车费为10.40元，行程大于4公里但不超过15公里时，超出4公里部分，每公里车费1.60元．行程大于15公里后，超出15公里的部分，每公里车费2.40元，途中因红灯等原因而停车等候，每等候5分钟收车费1.60元，又计程器每半公里计一次价，例如，当行驶路程x(公里)满足12≤x＜12.5时，按12.5公里计价；当12.5≤x＜13时，按13公里计价．等候时间每2.5分钟计一次价，例如，等候时间t(分钟)满足2.5≤t＜5时，按2.5分钟计价；当5≤t＜7.5时，按5分钟计价．请回答下列问题． (1)若行驶12公里，停车等候3分钟，应付多少车费？ (2)若行驶23.7公里，停车等候7分钟，应付多少车费？ (3)若途中没有停车等候，所付车费y(元)就是行程x(公里)的函数y ＝f(x)，画出y＝f(x)(0＜x＜7)的图象． 2．某罐装饮料厂为降低成本要将制罐材料减少到最小，假设罐装饮料筒为正圆柱体(视上、下底为平面)，上下底半径为r，高为h．若体积为V，上下底厚度分别是侧面厚度的2倍，试问当r与h之比是多少时用料最少？ (你可以到市场上做一下调查，看看哪些罐装饮料大体上符合你的计算结果．) 3．中国人民银行前不久公布银行存款利率从97年10月23日起下调，调整后的整存整取年利率如下表： 现有一位刚升入初一的学生，家长欲为其存1万元，以供6年后上大学使用．若此期间利率不变，问采用怎样的存款方案，可使6年所获收益最大？最大收益是多少？ 4．有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图3—111所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB为6米，请计算车辆通过隧道时的限制高度是多少米？(精确到0.1米) 2018年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试卷 一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分. 1. 函数1()1x x ae f x e --+=+（1a ≠）的值域为 ． 2.设集合2{|[]2}A x x x =-=和{|||2}B x x =<，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则 A B = ． 3.已知方程20x xe k -+=在区间(2,2)-内恰有两个实根，则k 的取值范围是 ． 4.已知ABC ?的三个角A 、B 、C 成等差数列，对应的三边为a 、b 、c ，且a 、c 成等比数列，则2:ABC S a ?= ． 5.已知点(1,1)A ，(1/2,0)B ，(3/2,0)C ，经过点A ，B 的直线和经过A ，C 的直线与直线 y a =（01a <<）所围成的平面区域为G ，已知平面矩形区域{(,)|02,01} x y x y <<<<中的任意一点进入区域G 的可能性为 1 16 ，则a = ． 6.袋中装有m 个红球和n 个白球，4m n >≥.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系40m n +≤的数组(,)m n 的个数为 ． 7.已知关于x 的实系数方程2 220x x -+=和2 210x mx ++=的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是 ． 8.已知圆2 2 8x y +=围成的封闭区域上（含边界）的整点（坐标均为整数的点）数是椭圆 22 214 x y a +=围成的封闭区域上（含边界）整点数的15，则正实数a 的取值范围是 ． 二、解答题 ：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.设函数()1x f x e x =--， （1）求()f x 在区间1[0,]n （n 为正整数）的最大值n b ； （2）令1 1n n n a e b =--，1421321 k k k a a a p a a a -= （n ，k 为正整数），求证： 2018年全国初中数学竞赛试题及解答 一、选择题（只有一个结论正确） 1、设a,b,c 的平均数为M ，a,b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若a>b>c ，则M 与P 的大小关系是（ ） （A ）M ＝P ；（B ）M ＞P ；（C ）M ＜P ；（D ）不确定。 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（ba 1,b>b 1, c>c 1,，则S 与S 1的大小关系一定是（ ）。 （A ）S ＞S 1；（B ）S ＜S 1；（C ）S ＝S 1；（D ）不确定。 二、填空题 7、已知: a 23 331a a a ++＝________。 8、如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，AB ＝8，BC ＝ ∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD 的面积等于________。 9、已知关于的方程 (a-1)x 2 +2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数有_______个。 10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A 、C 处，向两侧地面上的E 、D ；B 、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为________米。 第二届北京市高中数学知识应用竞赛初赛 答卷要求 1统一使用通用"数学作业纸"作为答卷,在班级栏中填写上学校及年级,用适量胶水抹在纸的最上方,将所有答题纸按页码粘成一册. 2答题时按试题号的顺序写,不用抄题,但要注明题号. 3字迹要清晰,工整,准确使用数学语言和符号. 4可以使用如何参考资料和计算工具. 5考试时间从12月18日16:00开始,12月21日8:00准时交卷. 试 题 1. 根据统计资料,我国能源生产自1985年以来发展速度很快.下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据:1985年8.6亿吨,1990年10.4亿吨,1995年12.9亿吨.有关专家预测:到2000年我国能源生产总量将超过16.1亿吨.试给出一个简单模型,说明有关专家预测是否合理. 北 2. 某房地产公司拥有一块"缺角矩形"荒地ABCDE, 边长和方向如右图,欲在这块地上建一座地基为 长方形东西走向的公寓,请划出这块地基,并求地 80m 基的最大面积.(精确到1cm 2) 3. (考古工作中的碳-14计年法)人们早就发现了放射性物质的衰减现象.最常见的放射性物质之一是碳-14,它常用来确定有机物的年代.比如,一段骨骼含少量的碳-14,它在骨骼的含碳量中占有一定比例.一旦有机物死亡,它就不能通过与外界环境的相互作用(例如呼吸)获得碳-14,并且还要不断衰减. 已知放射性物质的衰减服从指数规律: C(t )=C 0e – r t .其中t 表示衰减的时间,C 0表示放射性物质的原始质量, C(t) 表示经衰减了t (年)后尚存的质量, e ≈2.72 是一个非常重要的常数.为计算衰减的年代,通常给出该物质质量衰减一半的时间,称其为该物质的半衰期,碳-14的半衰期大约是5730年,由此可确定系数. 人们又知道,放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的. 1950年在巴比伦发现一根刻有Hammurbi 王朝字样的木炭,当时测定,其碳-14分子的衰减速度为4.09个/每克每分钟,而新砍伐烧成的木炭中碳-14的衰减速度为6.68个/每克每分 钟.请估算出其Hammurbi 王朝所在年代. 4. 某水库建成有10个泄洪闸,现在水库的水位已经超过安全红,上游河水还在按一不变的速度增加,为了防洪,需调节泄洪速度.假设每个闸门泄洪的速度相同,经测算,若打开一个泄洪闸,30个小时水位降至安全线,若打开两个泄洪闸,10个小时水位降至安全线.现在抗洪指挥部要求在3个小时使水位降至安全线以下,问至少要同时打开几个闸门? 5. 加油站的汽油都存储在地下油槽中,由于比较容易测量槽中泗料的高度,所以用油料的高度来监控槽中的油料量.现有一圆柱形油槽,横卧地下,其母线呈水平状态,纵截面是圆,截面圆半径是120cm,圆柱的长是400cm.从资料可查出圆的弓形面积与圆面积比例系数表,它 为了方便加油站操作人员估计槽中的油料量,请编制一份油料的 高度h 与油料量V 的对照表,该表的油料高取值从0开始,最大为 120cm,间隔12cm.(油料量的单位为千升,小数点后面保留三位). 6.某地发行10万张彩票,其中有100张能中奖,即随机抽取一张 A θ O B 中奖概率为千分之一(100张/100000张=1/1000).小王认为买 h 1000张彩票应该能中奖.但他买了1000张后却没有中奖.他很不 高兴.他的一个朋友告诉他,买1000张彩票不中奖的概率要大于35℅, 他很吃惊.这个结论对吗? 请你估计一下这个概率,并给出解释. 7.某学校有一块矩形土地,南北向长100m,东西向宽90m,欲建4条并排跑道,每条跑道宽为1m,且内圈周长为300m,请你给出较为简单的设计原则及具体设计方案. 8.国际乒联为了增加乒乓球比赛的观赏性,希望降低球的飞行速度.现制比赛用球的直径是38毫米.1996年国际乒联接受了一项关于对直径40毫米乒乓球进行实验的提案,提案要求球的质量不变.为了简化讨论,设空气对球的阻力与球的直径平方成正比,并且球沿水平方向作直线运动.试估算一下若采用40毫米乒乓球,球从球台这端飞往另一端所需时间能增加百分之多少? r h r h k k ≤=-- = ,,sin 1180 C(k)θ? 其中2018年全国高中数学联合竞赛(A卷)
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