微积分综合练习题与参考答
案完美版
综合练习题1（函数、极限与连续部分）
1．填空题
（1）函数)
2ln(1
)(-=
x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .
（2）函数24)
2ln(1
)(x x x f -++=
的定义域是 ．答案：
]2,1()1,2(-⋃--
（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f
． 答案：3)(2+=x x f
（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧
≥<+=0,0
,13sin )(x k x x
x x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k
（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f
（6）函数13
22+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x
（7）=∞→x
x x 1
sin lim ．答案：1
（8）若2sin 4sin lim
0=→kx
x
x ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题
（1）设函数2
e e x
x y +=-，则该函数是（ ）．
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既奇又偶函数 答案：B
（2）下列函数中为奇函数是（
）．
A ．x x sin
B ．2
e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2
x x +
答案：C
（3）函数)5ln(4
+++=x x x
y 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x
答案：D
（4）设1)1(2
-=+x x f ，则=)(x f （ ）
A ．)1(+x x
B ．2
x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C
（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,
,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案：D
（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,
,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．1- 答案：B （7）函数2
33
)(2+--=
x x x x f 的间断点是（ ）
A ．2,1==x x
B ．3=x
C ．3,2,1===x x x
D ．无间断点 答案：A 3．计算题
（1）4
2
3lim 222-+-→x x x x ． 解：41
21lim )2)(2()1)(2(lim 4
23lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）3
29lim 223---→x x x x
解：2
3
4613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x
（3）4
58
6lim 224+-+-→x x x x x
解：3
2
12lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x
综合练习题2（导数与微分部分）
1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．
答案：
2
1 （2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y
（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +='
)3(f '=27（)3ln 1+
（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(=
'，)(x f ''=21x
- （5）若x x x f -=e )(，则='')0(f
．
答案：x x
x x f --+-=''e e
2)(
='')0(f 2-
（1）若x x f x
cos e
)(-=，则)0(f '=（ ）．
A. 2
B. 1
C. -1
D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e
()('+'='='---x x x x f x x x
)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---
所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0
-=+-=-
答案：C
（2）设y x =lg2，则d y =（ ）． A ．
12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d x
x 答案：B
（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）．
A ．x x f d )2(cos 2'
B ．x x x f d22sin )2(cos '
C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'
D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D
（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．
A ．23cos a x +
B ．a x 6sin +
C ．x sin -
D ．x cos 答案：C
3．计算题
（1）设x
x y 12
e =，求y '．
解： )1
(e e 2212
1x
x x y x
x -+=')12(e 1
-=x x
（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.
解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='
x x x 2
cos sin 34cos 4-=
（3）设x
y x 2
e 1
+
=+，求y '. 解：21
21
(21e
x
x y x -
+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.
解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2
3
21
-=
综合练习题3（导数应用部分）
1．填空题
（1）函数y x =-312
()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞
（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a
2．单项选择题
（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D
（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C
（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.
D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B
（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．x sin B ．x
e C ．2
x
D ．x -3
答案：B
3．应用题（以几何应用为主）
（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。怎样做法所用材料最省即容器如何设计可使表面积最小。由已知
22108
,108x
h h x ==
所以 x x x
x x xh x y 432
108442222+=⋅+=+=
令 0432
22=-='x
x y ，解得唯一驻点6=x 。
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以6=x 是函数的极小值点
也是最小值点。故当6=x m ，36
108
2==h m 时用料最省.
（2）用钢板焊接一个容积为43m 底为正方形的开口水箱，已知钢板的费用为10元/ m 2，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费用最低？最低总费用是多少？
解：设水箱的底边长为x m ，高为h m ，表面积为S m 2
，且有2
4x h = 所以 ,16
4)(22x
x xh x x S +
=+= 2162)(x
x x S -
=' 令 0)(='x S ，得2=x . 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以当2=x m ,1=h m 时水箱的表面积最小.
此时的费用为 1604010)2(=+⨯S （元）
（3）欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设底边的边长为x m ，高为h m ，所用材料（容器的表面积）为y m 2。由已知
2
232,
32x h h x =
= 所以 x x x x x xh x y 12832442
2
22+=⋅+=+=
令 0128
22=-
='x
x y ，解得唯一驻点4=x 。 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以4=x 是函数的极小值点
也是最小值点。故当4=x m ，24
32
2==h m 时用料最省.
请结合作业和复习指导中的题目进行复习。
综合练习题4（一元函数积分部分）
1．填空题 （1）若)(x f 的一个原函数为2
ln x ，则=)(x f . 答案：
x
2 （2）若
⎰+=c x x x f 2sin d )(，则)(x f ． 答案：x 2cos 2
（3）若______________d os ⎰
=x x c 答案：c x +sin （4）=⎰
-2
de
x
．
答案：c x +-2
e
（5）='⎰
x x d )(sin
．
答案：c x +sin （6）若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=-x x f d )32( ． 答案：
c x F +-)32(2
1
（7）若
⎰
+=c x F x x f )(d )(，则⎰=-x x xf d )1(2 ．
答案：c x F +--)1(2
1
2 （8） .______d )2cos (sin 1
1
2=+-⎰
-x x x x x
答案：3
2- （9）
=+⎰e 12
d )1ln(d d x x x
. 答案：0 （10）x x d e 0
2⎰
∞
-= ．
答案：
2
1
2．单项选择题
（1）下列等式成立的是（ ）． A ．)(d )(d x f x x f =⎰ B ．)(d )(x f x x f =
'⎰
C ．
)(d )(d d
x f x x f x
=⎰ D ．)()(d x f x f =⎰ 答案：C
（2）以下等式成立的是（ ）
A ． )1d(d ln x
x x = B ．)(cos d d sin x x x =
C ．x x
x
d d = D ．3ln 3d d 3x
x
x =
答案：D
（3）=''⎰
x x f x d )(（ ）
A. c x f x f x +-')()(
B. c x f x +')(
C.
c x f x +')(2
12
D. c x f x +'+)()1( 答案：A
（4）下列定积分中积分值为0的是（ ）．
A ．x x
x d 2e e 1
1⎰--- B ．x x x d 2
e e 11⎰--+ C ．
x x x d )cos (3
⎰-
+π
π
D ．
x x x
d )sin (2
⎰-+π
π
答案：A
（5）设)(x f 是连续的奇函数，则定积分=⎰
a a
x x f -d )(（ ）
A ．0
B ．⎰
-d )(a
x x f C ．⎰a
x x f 0
d )( D ．⎰0-d )(2a
x x f
答案：A
（6）下列无穷积分收敛的是（ ）． A ．
⎰
∞
+0d in x x s B ．⎰
∞
+1
d 1x x
C ．
⎰
∞
+1
d 1
x x
D ．⎰∞+-02d e x x
答案：D
3．计算题
（1）x x d )12(10
⎰
-
解：c x x x x x +-=--=
-⎰⎰
1110
10
)12(22
1)1d(2)12(21d )12( （2）
x x x d 1
sin
2⎰
解：
c x x x x x x +=-=⎰⎰1cos 1
d 1sin d 1
sin
2
（3）
c x
d x x
x
x x
+==⎰⎰
e
2e 2d e
(4)
x x x d )e 4(e 22
ln 0
+⎰
解：
)e d(4)e 4(d )e 4(e 22ln 0
22
ln 0
x x x x x ++=+⎰
⎰
=3
130)125216(31)
e 4(31
2
ln 0
3=-=+x
(5)
x x
x
d ln 51e
1
⎰
+ 解：27)136(101)ln 51(101)ln 51()ln 51(51d ln 511
21e
1=-=+=++=+⎰⎰e
e x x d x x x x
(6)
x x x
d e 1
⎰
解：
1e
e d e e
d e 10
1
10
1
=-=-=⎰⎰
x x
x x
x x x x
(7)
⎰
π20
d sin x x x
解：
1sin d cos cos d sin 20
20
20
20
==+-=ππππ⎰⎰
x
x x x x x x x
综合练习题5（积分应用部分）
1．填空题
(1)已知曲线)(x f y =在任意点x 处切线的斜率为
x
1，且曲线过)5,4(，则该曲线的
方程是 . 答案：12+=x y
(2)由定积分的几何意义知，
x x a a
d 0
2
2⎰
-= . 答案：
4
2
a π
(3)微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 . 答案：x
y e = (4)微分方程03=+'y y 的通解为 . 答案：x
c y 3e -=
(5)微分方程x y xy
y sin 4)(7)
4(3=+''的阶数为 ． 答案：4
(1)在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）．
A ．y = x 2 + 3
B ．y = x 2
+ 4
C ．22
+=x y D ．12
+=x y 答案：A
(2)下列微分方程中，（
）是线性微分方程．
A ．y y yx '=+ln 2
B ．x
xy y y e 2
=+'
C ．y
y x y e ='+'' D ．x y y x y x
ln e sin ='-'' 答案：D
(3)微分方程0='y 的通解为（ ）．
A ．Cx y =
B ．
C x y += C ．C y =
D ．0=y 答案：C
(4)下列微分方程中为可分离变量方程的是（ ）
A. y x x y +=d d ；
B. y xy x y +=d d ；
C. x xy x y sin d d +=；
D. )(d d x y x x
y += 答案：B
习题1—1解答 1． 设y x xy y x f +
=),(，求)
,(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解y x xy y x f +
=--),(；x
xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1( 2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++=
)
,(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )
ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v
y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=⋅+⋅+⋅+⋅=++=⋅= 3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：
（1）;11),(22
-+
-=y x y x f
（2）;)
1ln(4),(222y x y x y x f ---=
（3）;1),(22
2222c
z b y a x y x f ---=
（4）.1),,(2
2
2
z
y x z y x z y x f ---++=
解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D
（2）}{
x
y y x y x D 4,10),(2
22≤<+<=
y x
1
1
-1
-1
O
y
x
1
1
-1
-1
O
（3）⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤++=1),(22
2222c z b y a x y x D
（4）{}
1,0,0,0),,(2
22<++≥≥≥=z y x z y x z y x D
4．求下列各极限： （1）2
21
01lim
y x xy y x +-→→=11
00
1=+- （2）2ln 0
1)1ln(ln(lim
02
2
)0
1=++=
++→→e y
x e x y y x
（3）41
)42()42)(42(lim 42lim
000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x
（4）2)
sin(lim )sin(lim
202=⋅=→→→→x xy xy y xy y x y x
5．证明下列极限不存在：
（1）;lim 0
0y
x y x y x -+→→ （2）22
22200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim
00
20-=-+=-+→→=→x x x
x y x y x x x y x ；
如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim
00
20==-+→→=→y y
y x y x y y x y
y
x
-a
-b
c
O z a b y
x
１
O
z
１
１
所以极限不存在。
（2）证明 如果动点),(y x P 沿x y =趋向)0,0(
则1lim )(lim 44
022
2220
0==-+→→=→x x y x y x y x x x y x ； 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0(，则044lim )(lim 244
022
2220
20=+=-+→→=→x x x y x y x y x x x y x 所以极限不存在。
6．指出下列函数的间断点：
（1）x
y x
y y x f 22),(2-+=； （2）y x z -=ln 。
解 （1）为使函数表达式有意义，需022≠-x y ，所以在022=-x y 处，函数间断。 （2）为使函数表达式有意义，需y x ≠，所以在y x =处，函数间断。 习题1—2 1．（1）x y y x z +=
,21x
y
y x z -=∂∂，21y x x y z -=∂∂.
(2)
)]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy y xy xy y xy y x
z
-=-=∂∂ )]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy x xy xy x xy x y
z
-=-=∂∂ (3)
121)1()1(--+=+=∂∂y y xy y y xy y x
z
, lnz=yln(1+xy)，两边同时对y 求偏导得
,1)1ln(1xy
x
y xy y z z +++=∂∂ ]1)1[ln()1(]1)1[ln(xy
xy xy xy xy xy xy z y z
y ++++=+++=∂∂; (4))
(22133
23y x x y x x
y x x y x z +-=+-=∂∂,;11
3
2
2y x x y x x y z +=+=∂∂ (5)x x z
y z u
x x z y u x z y x u z y
z y z y ln ,ln 1,21-=∂∂=∂∂=∂∂-;
(6)z z y x y x z x u 21)(1)(-+-=∂∂-, z z y x y x z y u
21)(1)(-+--=∂∂-,z
z y x y x y x z u 2)
(1)ln()(-+--=∂∂; 2.(1)
0,1,0,,=====yy xy xx y x z z z x z y z ;
(2) ),(2sin ),(2sin by ax b z by ax a z y x +=+=
)(2cos 2),(2cos 2),(2cos 222by ax b z by ax ab z by ax a z yy xy xx +=+=+=.
3 2222,2,2x yz f z xy f xz y f z y x +=+=+=,,2,2,2z f x f z f yz xz xx ===
0)0,1,0(,2)2,0,1(,2)1,0,0(=-==yz xz xx f f f .
4
)2
(2cos ),2(2cos 2),2(2sin ),2(2sin 2t x z t x z t x z t x z tt xt t x --=-=-=--=
0)2
(2cos 2)2(2cos 22=-+--=+t
x t x z z xt tt .
5.(1) x y
x e x y z 2-=, x y
y e x z 1=,=dz +-dx e x
y x y 2 dy e x x y
1
;
(2) )ln(2122y x z +=
,22y x x z x +=,22y
x y z y +=,dy y x y dx y dz 2222x x
+++=; (3)2
222)
(1y
x y x
y x y z x +-=+-
= , 222)(11
y x x x y x z y +=+= ,22y x xdy ydx dz ++-=; (4) ,1-=yz x yzx u x zx
u yz
y ln =,x yx u yz z ln =,
=du xdz yx xdy zx dx yzx yz yz yz ln ln 1++-.
6. 设对角线为z,则,22y x z +=
2
2
y
x x z x +=
,2
2
y
x y z y +=
, =
dz 2
2
y
x ydy xdx ++
当1.0,05.0,8,6-=∆=∆==y x y x 时,2
2
8
6)
1.0(805.06+-⨯+⨯=
≈∆dz z =-0.05(m).
7. 设两腰分别为x 、y,斜边为z,则,22y x z +=
2
2
y
x x z x +=
，2
2
y
x y z y +=
, =
dz 2
2
y
x ydy xdx ++,
设x 、y 、z 的绝对误差分别为x δ、y δ、z δ,
当1.0,1.0,24,7=≤∆=≤∆==y x y x y x δδ时, 2524722=+=z
2
2
24
71
.0241.07+⨯+⨯≤
≤∆dz z =,z 的绝对误差124.0=z δ
z 的相对误差
≈
∆z
z %496.025124
.0=. 8. 设内半径为r ，内高为h ，容积为V ，则
h r V 2π=,rh V r π2=,2r V h π=,dh r rhdr dV 22ππ+=,
当1.0,1.0,20,4=∆=∆==h r h r 时,
)(264.551.0414.31.020414.3232cm dV V =⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=≈∆.
习题1—3
1.=∂∂+∂∂+∂∂=dx
dz z f dx dy y f dx dx x f dx du ++2)(1z xy z y +
⋅+ax ae z xy z x
2)(12
2
)(1z xy z xy +-)1(2+⋅ax a =222)]1(2[y x z ax axy axz z y ++-+=ax
ax e
x ax x a e ax 22422)1()
1()1(++++. 2.x f x f x z ∂∂∂∂+
∂∂∂∂=∂∂η
ηξξ=443
222
4arcsin 11y x x y x x
+⋅+----ξξη=)
)(1()ln(1arcsin 42
2
2
2
444
4
2
23y x y x y x x y
x y x x +--+-
+--
y f y f y z ∂∂∂∂+
∂∂∂∂=∂∂η
ηξξ=443
2224arcsin 11y x y y
x y
+⋅+----ξξη=)
)(1()ln(1arcsin 42
2
2
2
444
4
2
23y x y x y x y y
x y x y +--+-
+--.
3. (1)
x u ∂∂=212f ye xf xy +, y u ∂∂=212f xe yf xy
+-. (2)
x u ∂∂=11f y ⋅, y u ∂∂=2121f z f y
x +⋅-,z u ∂∂=22f z y ⋅-. (3)
x u ∂∂=321yzf yf f ++,y
u ∂∂=32xzf xf +,z u ∂∂=3xyf .
(4)
x u ∂∂=3212f yf xf ++y u ∂∂=3212f xf yf ++,z u ∂∂=3f . 4 .(1)
1yf x z =∂∂,21f xf y
z +=∂∂, 112
2
2f y x z =∂∂,12111121112)(yf xyf f f xf y f y x z ++=++=∂∂∂,
222112112
2)(f xf f xf x y
z +++=∂∂=2212112
2f xf f x ++ (2)
2122xyf f y x z +=∂∂,2212f x xyf y
z +=∂∂, 22
22123114222212
21211222
2442)2(22)2(f y x f xy f y yf xyf f y xy yf xyf f y y x
z +++=++++=∂∂.12
22223113212222121221121252222)2(22)2(2f y x yf x f xy xf yf f x xyf xy xf f x xyf y yf y x z
++++=+++++=∂∂∂ 22
412311221222
2121221112
2442)2()2(22f x yf x f y x xf f x xyf x f x xyf xy xf y z +++=++++=∂∂ 5 y
u
x u t y y u t x x u t u y u x u s y y u s x x u s u ∂∂+
∂∂-=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂2123,2321
, 222)(4323)(41)(
y u y u x u x u s u ∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂,222)(4123)(43)(y
u y u x u x u t u ∂∂+∂∂∂∂-∂∂=∂∂, 2222)()()()(
y
u x u t u s u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂∴. 6 (1) 设)
(),,(z y x e
z y x z y x F ++--++=, )(1z y x x e F ++-+=,)
(1z y x y e
F ++-+=,
)(1z y x z e F ++-+=,
1-=-=∂∂z x F F x z ,1-=-=∂∂z
y F F y z
xz
y x y x z
y x y
x z y
x x F y
x z y x z z y x F x 2))(21
(sec tan
,
tan ),,()2(2
3
222
22
222
2
2
2
2
2
22---------
=---=设
=2
22
2
2
2
tan
y x xz y
x z y
x x -+
---
2
2
2
sec
y
x z -,
)2())(21
(sec
tan
23
222
22
2
2
2
22
2yz y x y x z
y x y
x z
y
x y
F y --------=
- =222
22
2tan
y
x yz
y
x z
y
x y
--
---
2
2
2
sec y
x z -,
-
=1z F 2
2
2
22sec y
x z y x --2
21y
x -=2
2
2
tan y
x z --,
=∂∂x z
)cot 1(cot 2
2
2
222
2
22y x z y
x xz
y x z y x x F F z x -+-+
---=-,
=∂∂y z
).cot 1(cot 2
22
222
2
22y
x z y
x yz
y
x z y
x y F F z y -+--
---=-
(3) 设xyz z y x z y x F 22),,(-++=,x yz F x -
=1 y
xz
F y -=2z xy F x -=1, =∂∂x z
z
x F F -=xy xyz xyz yz --,=∂∂y
z
z y F F -
=xy
xyz xyz xz --2.
(4) 设y z z x y z z x z y x F ln ln ln ),,(+-=-=
,y F z F y x 1
,1==z z
x F z 12--=,
=∂∂x z z x z F F z x +=-,=∂∂y z )
(2
z x y z F F z y +=-, 7.设)32sin(232),,(z y x z y x z y x F -+--+=,),32cos(21z y x F x -+-=
)32cos(42z y x F y -+-=,)32cos(63z y x F z -++-=,
∴
=∂∂x z 31=-z x F F ,=∂∂y z
3
2=-z y F F ,
∴
+∂∂x z =∂∂y
z 1. 8.设2121,,),,(),,(φφφφφb a F c F c F bz cy az cx z y x F z y x --===--=,
=∂∂x z 211φφφb a c F F z x +=-,=∂∂y z
,2
12φφφb a c F F z y +=- ∴ +∂∂x z a
c y
z
b =∂∂. 9. (1)方程两边同时对x 求导得
⎪⎩⎪⎨⎧=+++=,
0642,22dx dz z dx dy y x dx dy y x dx dz 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=1
3,)13(2)16(z x dx dy z y z x dx dy (2) 方程两边同时对z 求导得
⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0
222,01z dz dy y dz
dx
x dz dy
dz dx 解之得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=.,y
x x
z dz
dy y
x z
y dz dx
(3) 方程两边同时对x 求偏导得
⎪⎩
⎪⎨
⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=,sin cos 0,cos sin 1x v v u v x u x u e x v v u v x u x u e u u 解之得⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧+--=∂∂+-=∂∂.]1)cos (sin [cos ,1)cos (sin sin v v e u e v x v v v e v x u u u
u
同理方程两边同时对y 求偏导得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=,sin cos 1,cos sin 0y v v u v y u y u e y
v
v u v y u y u e u u
解之得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-+=∂∂+--=∂∂.]1)cos (sin [sin ,1)cos (sin cos v v e u e v x v v v e v x u u u
u
00
00
0002220001214
1(1)23,(1,1,0),(1,1,2)
22,44,60,
112(
,,)6661122*4*().666(2)(),(1,1,1),(2,1,1);
()()p p p p p p p p
z z p p u
l u x y z p l u x x u y y u z
z
l u l y
u p l x u y y
z x x x --∂∂=++=-∂==∂∂==∂∂==∂=-∂∴=+-=-∂==-∂=-=∂习题。求下列函数的方向导数
解：
解：0000
00000
1022022221,
1
()()1,()ln()0,211(,,),
666211(1)*1*.666(3)ln(),(1,1),3
21,
21,13
cos sin .
332
z p
p z p
p p
p p p p p u y z y x x u y y
z x x l u l u x y p l ox u x x x y u y
y x y u l
π
ππ
--∂==∂∂==∂=-∂∴=-+=-∂=+∂==∂+∂==∂+∂+∴=+=∂与轴夹角为；
解：
综合练习题1（函数、极限与连续部分） 1．填空题 （1）函数) 2ln(1 )(-= x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x . （2）函数24) 2ln(1 )(x x x f -++= 的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃-- （3）函数74)2(2 ++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2 +=x x f （4）若函数⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≥<+=0,0 ,13sin )(x k x x x x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2 -=-，则=)(x f ．答案：1)(2 -=x x f （6）函数1 3 22+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x （7）=∞→x x x 1 sin lim ．答案：1 （8）若2sin 4sin lim 0=→kx x x ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题 （1）设函数2 e e x x y +=-，则该函数是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 答案：B （2）下列函数中为奇函数是（ ）． A ．x x sin B ．2 e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2 x x + 答案：C （3）函数)5ln(4 +++=x x x y 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x 答案：D （4）设1)1(2 -=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2 x
C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C （5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0, ,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：D （6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0, ,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．1- 答案：B （7）函数2 33 )(2 +--= x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x x B ．3=x C ．3,2,1===x x x D ．无间断点 答案：A 3．计算题 （1）4 2 3lim 222-+-→x x x x ． 解：41 21lim )2)(2()1)(2(lim 4 23lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）3 29 lim 223---→x x x x 解：2 3 4613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 332 23==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4 58 6lim 224+-+-→x x x x x 解：3 2 12lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 442 24=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x 综合练习题2（导数与微分部分）
微积分练习题带答案 微积分是数学的分支之一，它研究的是函数的变化规律。在微积分中，经常会出现各种各样的练习题，这些练习题有助于我们加深对微积分概念和原理的理解。在这篇文章中，我们将分享一些微积分练习题，并附带答案，希望对你的学习有所帮助。 1. 求函数f(x) = 2x^3 - x^2 + 3x - 5的导数。 答案：f'(x) = 6x^2 - 2x + 3 2. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。 答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x) 3. 求函数h(x) = ln(x^2)的导数。 答案：h'(x) = 2/x 4. 求函数i(x) = ∫(0到x) t^2 dt的导数。 答案：i'(x) = x^2 5. 求函数j(x) = ∫(x到1) t^2 dt的导数。 答案：j'(x) = -x^2 6. 求函数k(x) = ∫(0到x) e^t * sin(t) dt的导数。 答案：k'(x) = e^x * sin(x) 7. 求函数l(x) = e^(-x)的不定积分。
答案：∫ e^(-x) dx = -e^(-x) + C (C为常数) 8. 求函数m(x) = 1/(x^2+1)的不定积分。 答案：∫ 1/(x^2+1) dx = arctan(x) + C (C为常数) 9. 求函数n(x) = 2x * cos(x^2)的不定积分。 答案：∫ 2x * cos(x^2) dx = sin(x^2) + C (C为常数) 10. 求函数o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt的原函数。 答案：o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt + C (C为常数) 以上是一些微积分练习题及其答案。通过解答这些题目，我们可以巩固对微积分概念和原理的理解，并提升解题能力。微积分是应用广泛的数学工具，在物理、工程、经济等领域都有重要的应用，掌握微积分对于进一步深入学习这些领域十分必要。因此，通过大量练习和理解微积分的概念和原理，可以帮助我们在实际问题中应用微积分知识，提高解决问题的能力。 希望以上练习题及其答案对你的微积分学习有所帮助。在学习微积分的过程中，多做练习题、思考问题、探索规律，加深对微积分的理解，相信你会取得不错的成绩。
一、选择题(每题2分) 1、设x ƒ()定义域为（1,2），则lg x ƒ()的定义域为（） A 、（0,lg2） B 、（0，lg2] C 、（10,100） D 、（1,2） 2、x=-1是函数x ƒ()=() 22 1x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点 3、试求02lim x x →等于（） A 、- 1 4 B 、0 C 、1 D 、∞ 4、若 1y x x y +=，求y '等于（） A 、 22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y -- D 、22x y x y +- 5、曲线2 21x y x = -的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中，那个不是映射（） A 、2 y x = (,)x R y R + - ∈∈ B 、2 2 1y x =-+ C 、2 y x = D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1、 __________2、、2(1))lim ()1 x n x f x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________ 3、21lim 51x x bx a x →++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、2 63y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________ 5、ln 21 11x y y x +-=求曲线 ，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 2 1x y x = +函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim β βαα =∞若，就说是比低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分）1、1sin x y x =求函数 的导数 2、21 ()arctan ln(12 f x x x x dy =-+已知），求
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2 微积分试题 (A 卷) 一. 填空题 (每空2分,共20分) 1. 已知,)(lim 1A x f x =+ →则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当 时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。 2. 已知22 35 lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。 3. 若当0x x →时， 与 是等价无穷小量，则=-→β β α0 lim x x 。 4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f a x 。 5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。 6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→h x f h x f h ) ()3(lim 000 ______________。 7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。 8. ='⎰))((dx x f x d 。 9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a + ）内有无穷多个点，则 （ ）。 (A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a (C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设1 1 )(-=x arctg x f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
微积分试题 (A 卷) 一. 填空题 (每空2分,共20分) 1. 已知,)(lim 1A x f x =+ →则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当 时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。 2. 已知22 35 lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。 3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→β β α0 lim x x 。 4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f a x 。 5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。 6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→h x f h x f h ) ()3(lim 000 ______________。 7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。 8. ='⎰ ))((dx x f x d 。 9. 设总收益函数和总成本函数分别为2 224Q Q R -=，52 +=Q C ，则当利润最大时产 量Q 是 。 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。 (A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a (C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设1 1 )(-=x arctg x f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点
(D) 连续点 3. =+ -∞ →1 3)11(lim x x x （ ） 。 (A) 1 (B) ∞ (C) 2e (D) 3e 4. 对需求函数5 p e Q -=，需求价格弹性5 p E d - =。当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。 (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10 5. 假设)(),(0)(lim , 0)(lim 0 x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外) 存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。 (A) 若a x g x f x x =→) ()(lim 或∞，则a x g x f x x =''→)() (lim 0或∞ (B) 若a x g x f x x =''→)()(lim 0或∞，则a x g x f x x =→) () (lim 0或∞ (C) 若) ()(lim x g x f x x ''→不存在，则)() (lim 0x g x f x x →不存在 (D) 以上都不对 6. 曲线2 2 3 )(a bx ax x x f +++=的拐点个数是（ ） 。 (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 7. 曲线2 ) 2(1 4--= x x y （ ）。 (A) 只有水平渐近线； (B) 只有垂直渐近线； (C) 没有渐近线； (D) 既有水平渐近线， 又有垂直渐近线 8. 假设)(x f 连续，其导函数图形如右图所示，则)(x f 具有 (A) 两个极大值一个极小值 (B) 两个极小值一个极大值 (C) 两个极大值两个极小值 (D) 三个极大值一个极小值 9. 若ƒ(x )的导函数是2 -x ，则ƒ(x )有一个原函数为 ( ) 。 x
微积分试题及答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
一、选择题(每题2分) 1、设x ƒ()定义域为（1,2），则lg x ƒ()的定义域为（） A 、（0,lg2） B 、（0，lg2] C 、（10,100） D 、（1,2） 2、x=-1是函数x ƒ()=() 221x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点 3、试求0x →等于（） A 、-1 4 B 、0 C 、1 D 、∞ 4、若 1y x x y +=，求y '等于（） A 、 22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y -- D 、22x y x y +- 5、曲线2 21x y x = -的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中，那个不是映射（） A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+ C 、2y x = D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1、 __________2、、 2(1))lim ()1 x n x f x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________ 3、21lim 51x x bx a x →++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________ 5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（， ）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分）
《微积分》上册 综合练习题1 一、填空题（每小题2分，共10分）： 1． 设11 (),()1,[()]______________;1x f x g x e f g x x -= =-=+则 2．2)(x e x f =，则x f x f x ) 1()21(lim 0--→= 。 3．) 1(1)(2--=x x e x f x 的可去间断点为=0x ；补充定义=)(0x f 时，则函数在0x 处连续。 4．已知函数1 ()sin 3cos 3 f x x a x =-在3 x π=处取极值，则a = ，() 3 f π 为极 值。 5．若31 ()x f t dt x -=⎰，则=)7(f 。 二、单项选择（每小题2分，共20分）： 1． 函数) 12ln(2712arcsin )(2--+ -=x x x x x f 的定义域区间是（ ）。 （A ）1[,1)(1,2]2 （B ）1 [,1)(1,2)2 （C ）1 (,1)(1,2]2 （D ）1(,2]2 2. 函数1()sin f x x x =，则)(x f （ ）。 （A ） 单调 （B ） 有界 （C ）为周期函数 （D ） 关于原点对称 3．曲线2 arctan )(22 2 1--=x x x e x f x 有（ ）条渐近线。 （A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4 4. 在同一变化过程中，结论（ ）成立。
(A) 两个穷大之和为无穷大 （B ）两个无穷大之差为无穷大 (C) 无穷大与有界变量之积为无穷大 （D ）有限个无穷大之积为无穷大 5．当0→x 时，下列函数那个是其它三个的高阶无穷小（ ）。 （A ）2x （B ） 1cos x - （C ）)1ln(2x + （D ）x x tan - 6. 若)(x f 为定义在),(∞+-∞的可导的偶函数，则函数（ ）为奇函数。 （A ）(sin )f x ' （B ）()sin f x x ' （C ）(cos )f x ' （D ）[()sin ]f x x ' 7．已知函数)(x f 任意阶可导，且2()[()]f x f x '=，则)(x f 的n （n ≥ 2）阶导数 =)()(x f n （ ） 。 （A ）n x f n )]([! （B ）1)]([!+n x f n （C ） n x f 2)]([ （D ）n x f n 2)]([! 8. 若()f x x a =在处可微，则()f a '=（ ）。 （A ）1 lim ()()n n f a f a n →∞ ⎡⎤+-⎢⎥⎣ ⎦ （B ）[]h h a f h a f h )()(lim 0--+→ （C ）[]0 ()()lim h f a h f a h →-- （D ）[]h a f h a f h )()2(lim 0 -+→ 9. 若)(x f 的导函数是sin x ，则)(x f 的一个原函数是（ ）。 (A) 1sin x + （B ）1cos x + (B) （C ）1sin x - （D ）1cos x -
第一单元 函数与极限 一、填空题 1、已知x x f cos 1)2 (sin +=，则=)(cos x f 。 2、=-+→∞) 1()34(lim 22 x x x x 。 3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。 4、01 sin lim 0 =→x x k x 成立的k 为 。 5、=-∞ →x e x x arctan lim 。 6、???≤+>+=0 ,0 ,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。 7、=+→x x x 6) 13ln(lim 0 。 8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。 10、设a 是非零常数，则________)( lim =-+∞ →x x a x a x 。 11、已知当0→x 时，1)1(3 12-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。 12、函数x x x f +=13arcsin )(的定义域是__________。 13、____________22lim 22=--++∞ →x x n 。 14、设8)2( lim =-+∞ →x x a x a x ，则=a ________。 15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞ →=____________。 二、选择题 1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。 （Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
微积分考试试题及答案 一、选择题 1. 设函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，那么 f'(1) 的值是多少？ A. -1 B. -4 C. -3 D. 0 答案：C 2. 给定曲线 y = 2e^x - x，求当 x = 0 时，曲线的切线方程为？ A. y = 1 - x B. y = x - 1 C. y = e - x D. y = x - e 答案：A 3. 对于函数 f(x) = 3x^2 + 2x + 1，在 [0,2] 区间上的定积分为？ A. 12 B. 10 C. 14
D. 16 答案：C 二、填空题 1. 设函数 g(x) = 2x^3 - 6x + 5 的不定积分为 F(x)，那么 F(2) 的值为 ________。 答案：27 2. 设函数 h(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 5x - 2，那么 h'(x) 的导函数为 _________。 答案：4x^3 - 6x^2 + 6x + 5 三、解答题 1. 计算函数f(x) = ∫[0,2] (3x^2 + 2x + 1) dx 的值。 解答步骤： 首先对 f(x) 进行积分得到 F(x) = x^3 + x^2 + x + C。 然后将积分上下限代入 F(x)，得到 F(2) = 2^3 + 2^2 + 2 + C = 14 + C。 由于题目没有给定积分常数 C，所以无法具体计算 F(2) 的值。 2. 求函数g(x) = ∫[-1,1] (2x^3 - 6x + 5) dx 的值。 解答步骤： 首先对 g(x) 进行积分得到 G(x) = x^4 - 3x^2 + 5x + C。
微积分习题及答案 微积分习题及答案 微积分作为数学的重要分支，是研究变化和积分的学科。它是现代科学和工程 领域中不可或缺的工具。在学习微积分的过程中，习题是非常重要的一部分， 通过解答习题可以加深对概念和原理的理解，并提升解决实际问题的能力。下 面将介绍几个常见的微积分习题及其答案。 一、极限习题 1. 求极限：lim(x→0) (sinx/x) 解答：当x趋近于0时，sinx/x的值趋近于1。这是因为sinx/x的极限定义为1，所以该极限的值为1。 2. 求极限：lim(x→∞) (1+1/x)^x 解答：当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的值趋近于e，其中e是自然对数的底数。这是因为(1+1/x)^x的极限定义为e，所以该极限的值为e。 二、导数习题 1. 求函数f(x) = x^2的导数。 解答：根据导数的定义，f'(x) = 2x。所以函数f(x) = x^2的导数为2x。 2. 求函数f(x) = e^x的导数。 解答：根据导数的定义，f'(x) = e^x。所以函数f(x) = e^x的导数为e^x。 三、积分习题 1. 求∫(x^2 + 2x + 1)dx。 解答：根据积分的定义，∫(x^2 + 2x + 1)dx = (1/3)x^3 + x^2 + x + C，其中C 为常数。
2. 求∫(sinx + cosx)dx。 解答：根据积分的定义，∫(sinx + cosx)dx = -cosx + sinx + C，其中C为常数。 四、微分方程习题 1. 求解微分方程dy/dx = 2x。 解答：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。 2. 求解微分方程dy/dx = 3x^2。 解答：对方程两边同时积分，得到y = x^3 + C，其中C为常数。 通过解答以上习题，可以加深对微积分概念和原理的理解。同时，通过解决实 际问题的能力的提升，可以将微积分应用于科学和工程领域中的实际问题。微 积分的习题和答案是学习过程中的重要参考资料，希望以上内容对大家有所帮助。
微积分的应用专项练习60题(有答案) 本文档包含60道微积分的应用专项练题目，每道题目均附有 答案。通过解答这些题目，您可以进一步巩固和应用微积分的知识，加深对微积分的理解。 以下是题目和答案的列表： 1. 问题一（答案：A） 2. 问题二（答案：B） 3. 问题三（答案：C） 4. 问题四（答案：D） 5. 问题五（答案：A） 6. 问题六（答案：B） 7. 问题七（答案：C） 8. 问题八（答案：D） 9. 问题九（答案：A） 10. 问题十（答案：B） 11. 问题十一（答案：C） 12. 问题十二（答案：D）
13. 问题十三（答案：A） 14. 问题十四（答案：B） 15. 问题十五（答案：C） 16. 问题十六（答案：D） 17. 问题十七（答案：A） 18. 问题十八（答案：B） 19. 问题十九（答案：C） 20. 问题二十（答案：D） 21. 问题二十一（答案：A） 22. 问题二十二（答案：B） 23. 问题二十三（答案：C） 24. 问题二十四（答案：D） 25. 问题二十五（答案：A） 26. 问题二十六（答案：B） 27. 问题二十七（答案：C） 28. 问题二十八（答案：D） 29. 问题二十九（答案：A） 30. 问题三十（答案：B） 31. 问题三十一（答案：C） 32. 问题三十二（答案：D）
33. 问题三十三（答案：A） 34. 问题三十四（答案：B） 35. 问题三十五（答案：C） 36. 问题三十六（答案：D） 37. 问题三十七（答案：A） 38. 问题三十八（答案：B） 39. 问题三十九（答案：C） 40. 问题四十（答案：D） 41. 问题四十一（答案：A） 42. 问题四十二（答案：B） 43. 问题四十三（答案：C） 44. 问题四十四（答案：D） 45. 问题四十五（答案：A） 46. 问题四十六（答案：B） 47. 问题四十七（答案：C） 48. 问题四十八（答案：D） 49. 问题四十九（答案：A） 50. 问题五十（答案：B） 51. 问题五十一（答案：C） 52. 问题五十二（答案：D）
高考数学微积分练习题及答案 1. 题目：求函数f(x)=x^2+2x+1的导函数f'(x)。 解析：首先，根据导函数的定义，我们需要对函数f(x)进行求导。根据求导法则，对于幂函数f(x)=x^n (n为常数)，其导函数为 f'(x)=n*x^(n-1)。因此，将函数f(x)=x^2+2x+1进行求导，得到 f'(x)=2x+2。 答案：f'(x)=2x+2。 2. 题目：计算函数g(x)=∫(0 to x) (2t+1) dt。 解析：根据积分的定义，我们需要对被积函数进行积分，并将积分上限减去积分下限。对于多项式函数的积分，我们可以按照常规的积分法则进行计算。首先，对被积函数2t+1进行积分，得到∫(2t+1) dt = t^2 + t。然后，将积分上限x代入积分结果，得到g(x) = x^2 + x - (0^2 + 0) = x^2 + x。 答案：g(x) = x^2 + x。 3. 题目：对函数h(x)=sin(x)进行求导。 解析：根据导函数的定义，我们需要对函数h(x)=sin(x)进行求导。根据求导法则，对于三角函数sin(x)，其导函数为cos(x)。因此，函数h(x)=sin(x)的导函数为h'(x)=cos(x)。 答案：h'(x)=cos(x)。 4. 题目：求函数f(x)=e^x的不定积分。
解析：函数f(x)=e^x是指数函数，其不定积分可以根据指数函数积 分的常规法则进行计算。根据指数函数积分的法则，不定积分∫e^x dx = e^x。 答案：∫e^x dx = e^x。 5. 题目：已知函数f(x)满足f'(x)=2x，且f(0)=1，求f(x)的表达式。 解析：根据导数的定义，我们可以将f'(x)=2x积分得到函数f(x)。 根据积分的法则，函数f(x)的表达式为∫2x dx = x^2 + C，其中C为常数。由已知条件f(0)=1，将x=0代入函数表达式得到1=0^2 + C，解得C=1。因此，函数f(x)的表达式为f(x) = x^2 + 1。 答案：f(x) = x^2 + 1。 6. 题目：已知函数f(x)满足f'(x)=1/x，且f(1)=2，求f(x)的表达式。 解析：根据导数的定义，我们可以将f'(x)=1/x积分得到函数f(x)。 根据积分的法则，函数f(x)的表达式为∫1/x dx = ln|x| + C，其中C为常数。由已知条件f(1)=2，将x=1代入函数表达式得到2 = ln|1| + C，解 得C=2。因此，函数f(x)的表达式为f(x) = ln|x| + 2。 答案：f(x) = ln|x| + 2。 通过以上的微积分练习题及答案，希望能够帮助你更好地理解高考 数学微积分的相关知识点。在备考阶段，多做练习题并理解题解过程，有助于提升应试能力和解题技巧。祝你取得优异的成绩！
(1)函数 f(X)=• 1 In(x - 2) 的定义域是 (2)函数 f(x)= 1 ln( x 2) 的定义域是 ____________ •答案：(—2, —1)^(—1,2] (4)若函数 f(x T xs 「 x 0在 X 二0处连续，则k = x _ 0 •答案：k = 1 (1)设函数y 二 -x e ，则该函数是( ). A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D .既奇又偶函数 综合练习题1 (函数、极限与连续部分) 1 •填空题 (3)函数 f (x 2^ x 2 4x 7，贝U f(x)二 _______________________ •答案：f(x^ x 2 3 (5) 函数 f(x-1) =x 2 -2x ，则 f(x)二 __________________ .答案：f(x) =x 2 -1 x 2 _2x _3 (6) 函数y _________________________ 的间断点是 .答案：x - -1 x +1 1 (7) lim xsin .答案：1 X 护 x sin 4x (8) 若 lim _______________ 2，则 k = .答案：k = 2 ―0 sin kx 2. 单项选择题 答案：B (2) 下列函数中为奇函数是( ). 答案：C A. xsin x ln (x . 1 x 2) D . x x 2
). D . x 卞 一5 且 x = -4 x (3) 函数y ln(x • 5)的定义域为( x +4 A. x 占-5 B . x -4 C . x 占 一5 且 x = 0 答案：D 2 (4)设 f(X * 1) = X 「1 ,则 f(X)二( ) A. x(x 1)
北京邮电大学高等函授、远程教育 04—05学年春季学期《高等数学（微积分）》综合练习题与答 案 经济管理、电子邮政专业 第一部分练习题 、判断题 设f （x ）的定义域为（,1），则f （1的定义域为（0，1）. x 设f （X ）的值域为（，1），则arctgf （x ）的值域为（一,一）. 2 4 11. 12 .如果0 1 13.如果级数 n 1. 2. 3. e （x 1^是偶函数. 4. 1 x y ln —是奇函数. 5. 1 lim (1 x)， e 6. d 2 2 设 f (u)是可导函数，则 一 f (sinx 2 ) 2xcosx 2 f (u) dx u sin x 2 7. 设函数y f （e x ）可微,则dy e x f(e x )dx . 9. 10. 设 df (x)」^dx ,则 f (x) 1 x dx f(x)df(x) f(x)df(x) . f (x)dx f (x) c . arctgx .
1u n发散，则n imu n 0.
14.级数 X n (x 0)收敛的充分必要条件是 X 1. 1 15.级数 1 nz 收敛的充分必要条件是p 16.如果 a(|)n 1 4 1，则常数a 1 4 17. —f(x,y) X X X 0 y y 0 f (x, y 。) x Xo - 18.设 z xy r 「 Z X ，则—— X xy 1 xyx 19. d-f[x,y(x)] dx X f y y (X). 20.设 f 、u 、 v 都是可微函数，则 一 f [u(x, y), v(x, y)] f^U X X f£. X 二、单项选择题 1.设 f(x) X, 0 X, 2 2, X 0则f(X)的定义域为 A.( B.[ 2,2 ) C. ( ,2 ] D.[ 2,2 ] 2.设 f(X)的定义域为( ,0),则函 数 f (In X) 的定义域是 A. (0, B.(0,1 ] C.(1 , D.(0,1) 3.设 f(X 1) X (X 1),则 f(X)= A. x(x 1) B. x(x 1) C.(x 1)(x 2) D.X 2 4.下列函数中，奇函数为 A. sin(cosx) B.l n(x J x 2 1) 1 X C. tgxln C f si nx D. e sin n 5. lim ----- n n 1 A.0 B.1 C. 1 D.
微积分试题及答案 第一章 函数极限与连续 一、填空题 1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。 2、=-+→∞) 1()34(lim 22 x x x x 。 3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。 4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。 5、=-∞ →x e x x arctan lim 。 6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0 ,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。 7、=+→x x x 6)13ln(lim 0 。 8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。 10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→x x a x a x 。 11、已知当0→x 时，1)1(3 12-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。 12、函数x x x f +=13arcsin )(的定义域是__________。 13 、lim ____________x →+∞ =。 14、设8)2( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ________。 15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞ →=____________。 二、选择题 1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。 （Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。 2、x x x +-= 11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。 （Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。 3、函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1 111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续，则=k 。 （Ａ）23； （Ｂ）3 2 ； （C ）1； （D ）0。 4、数列极限=--∞ →]ln )1[ln(lim n n n n 。 （Ａ）1； （Ｂ）1-； （C ）∞； （D ）不存在但非∞。
微积分习题集带参考答案 综合练习题1 (函数、极限与连续部分) 1.填空题 (1)_______________________________________ 函数/(x) = 一!一的定义域是・ 答案：x>2且XH3・ ln(x-2) (2)函数/(x) = -------- +V4-X2的定义域是____________ •答案：(-2-l)o(-l2] In(x + 2) (3)函数/(X +2)= X2+4X +7,则f(x) =___________ ・答案：f(x) = x2+3 (4)若函数/(x)= h vsm7 + 1, x<0在兀=0处连续，则£=___________________ .答案：k = \ k、 x > 0 (5)函数f(x-\) = x2 -2x,则f(x)=_________ .答案：f(x) = x2-\ ，一2工一3 (6)函数y= —的间断点是___________________________ ・答案：x = -l x + 1 (7)lim xsin—= ・答案：1 c in 4> r (8)若Um竺丄=2,则£=_________________ ・答案：k = 2 go sin kx 2.单项选择题 -X X (1)设函数y =—:,则该函数是(). A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 答案：B (2)下列函数中为奇函数是( ). e 1 + e A/ = A. xsinx B・--- -- C・ ln(x + 71 + x~) D・x + x^ 答案：c x (3)函数y = ^ + ln(x + 5)的泄义域为( )・ x + 4 A・x>-5 B・X H-4 C・X>—5且X HO D・X>—5且X H-4