勾股定理在折叠问题中的应用
? 课前预习
1. 观察图形，回顾轴对称的性质：
（1）全等变换：对应边________，对应角_________； （2）对应点所连的线段被对称轴_____________．
l
A'
B'
C'
C
B
A
2. 如图，乐乐将△ABC 沿DE ，EF 分别翻折，顶点A ，B 均落在点O 处，且EA 与
EB 重合于线段EO ，若∠DOF =139°，则∠C 的度数为（ ） A ．38°
B ．39°
C ．40°
D ．41°
O
F
E
D C
B
3. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6，BC =8，点D 在BC 边上，将直
角边AC 沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处．设DE 的长为x ，则CD =__________，BD =_________．（用含x 的代数式表示）
D
E
A
B
C
? 知识点睛
1. 轴对称（折叠）的思考层次
（1）全等变换：对应边_______、对应角_______． （2）对称轴性质：
①对应点所连线段_____________________； ②对称轴上的点_______________________．
（3）组合搭配：长方形背景下的折叠常出现______三角形．
（4）作图：关注_______和________，有时需要依据不变特征分析转化，补全图形．
①当对称轴已知时，直接作点的对称点，找对应点；
②当对应点已知时，作对应点所连线段的垂直平分线，找对 称轴（折痕）； ③当对称轴过定点时，常作弧找对应点．
? 精讲精练
1. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6 cm ，BC =8 cm ，点D 在BC 边
上，将直角边AC 沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处，则线段CD 的长为__________．
D
E
A
B
C
N
M
F
C
B E D
A
第1题图 第2题图
2. 如图，将边长为4 cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A
落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长为__________．
3. 如图，在长方形ABCD 中，AB =5 cm ，在DC 上存在一点E ，将△AED 沿直线AE
折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处，若△ABF 的面积为30 cm 2，则EF 的长为_______．
F E
D C B
A
4. 如图，在长方形ABCD 中，点E 在AB 边上，将长方形ABCD 沿直线DE 折叠，
点A 恰好落在BC 边上的点F 处．若AE =5，BF =3，则CF 的长为_______．
B
F
C
D A E
D
E
A
B C
第4题图 第5题图
5. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =2，BC =4，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕分别交AB ，BC 于点D ，E ，则BE=__________，DE=__________．
6. 如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在
CD 边上的B'处，点A 的对应点为A'．若B'C =3，则AM 的长为__________．
M
C B
D
A
B'
A'
B C F
A
E M
D
第6题图 第7题图
7. 如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边的中点E 处，压平后得到折
痕MN ，若AB =2，BC =4，则AM = ______．
8. 如图，在长方形ABCD 中，AB =3，AD =5，现将该长方形沿BD 折叠，使点C 落在
点C′处，BC′交AD 于点E ，则AE 的长为________．
E
D
C B
A
C′
9. 如图，在长方形ABCD 中，AB =15 cm ，点E 在AD 上，且
AE =9 cm ，连接EC ，将长方形ABCD 沿直线BE 翻折，点A 恰好落在EC 上的点A'处，则A'C =_________．
A'
B A D
C
E
F
C
B
E D
A C'
第9题图 第10题图
10. 如图，在长方形ABCD 中，AB =3，AD =9，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，
折痕为EF ，则EF 的长为_________．
11. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，将△ABC 沿AB 翻折，点C 的对
应点为C ′，则CC ′的长为_________．
C
B A
B
第11题图 第12题图 12. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC=2，将△ABC 沿直线l 翻折，点A 落在
边BC 的中点D 处，直线l 与边AC 交于点E ，则AE 的长为_________．
13. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点P 在线段AC 上．若将△PBC
沿PB 折叠，使点C 的对应点C ′落在AB 边上，则BP 的长为_________．
A
C
B
14. 如图，长方形纸片ABCD ，AB =8 cm ，BC =20 cm ，M 是边BC 的中点，沿过M 的直
线折叠纸片，点B 恰好落在边AD 上的点B ′处，则AB ′的长为_________．
D
15. 如图，长方形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B
沿AE 折叠，使点B 落在点B′处．当△B′CE 为直角三角形时，BE 的长为_________．
D
C
B A
E B′
【参考答案】
? 课前预习
1. （1）相等，相等；（2）垂直平分.
2. D
3. x ，8x ? 知识点睛
1. （1）相等、相等
（2）①被对称轴垂直平分；
②到对应点的距离相等
（3）等腰
（4）对称轴，对应点 ? 精讲精练
1. 3 cm
2. 3cm 2
3. 13cm 5
4. 12
5. 52
6. 2
7. 138
8. 85
9.
8 cm
10. 11.
245 12. 54
13.
14. 4 cm 或16 cm
15. 3
2
或3
勾股定理解决最短路径问题及折叠问题 1、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ 2、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_________cm；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要_________cm． 3、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？
4、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，求这个最小值 5、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷 （A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB ＝50km ，A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和S 1＝PA +PB ，图2是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A ′，连接BA ′交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和S 2＝PA +PB . （1）求S 1、S 2，并比较它们的大小； （2）请你说明S 2＝PA +PB 的值为最小； （3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、 B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值. 图2 A D E P B C
勾股定理与折叠问题题型 Modified by JEEP on December 26th, 2020.
与直角有关的折叠问题（一） 1.如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH， 若EH=9厘米，EF=12厘米，则边AD的长是() A. 12厘米 B. 15厘米 C. 20厘米 D. 21厘米 2.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形ABCD沿EF折 叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为() A. 6 B. 5 C. D. 3.如图1，四边形ABCD是一 矩形纸片，AB=8cm，AD=10cm，E是AD上一点，且 AE=8cm．操作：（1）将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图2；（2）将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图3．则△GFC的面积是() A. B. C. D. 4.如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF 折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE 的长是()A. B. C. D. 5.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=6cm，点E在BC上，将纸 片沿AE折叠，使点B落在AC上的点F处，且∠AEF=∠CEF， 则AB的长是() A. 2cm B. C. 4cm D. 6.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，直角边， 现将△BCD沿CD折叠，点B恰好落在AB的中点E处，则图中阴影部分的面积为()
A. 2 B. C. D. 7.如图，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿对角线BD翻折，点C 落在处，AD与BC′交于点E，连接AC′，则AC′：BD为() A. B. C. D. 8.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且 ，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的 点P处，连接BP交EF于点Q，有下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是() A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④ 9.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB 边的中点上．若AB=16，BC=32，则BF的长为() A. 15 B. C. 16 D. 17 10.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折 叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点 G．若，则() A. B. C. D. 11.如图，折叠直角三角形纸片ABC的直角∠C，使点C落 在斜边AB上的点E处，已知，∠B=30°，则DE 的长为() A. B. C. D. 12.如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE 折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为()
A B C E 勾股定理中的折叠问题 姓名： 例1：如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，?长BC?为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F:处（折痕为AE ）(1)求BF 的长； (2)求EC 的长。 … BC ，使点B 落在AD 边的F 处，已知：AB=3，BC=5，求折痕EF 的长． 例2：已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A 、6cm 2 B 、8cm 2 C 、10cm 2 D 、12cm 2 对应练习：1、如图2-2，把一张长方形纸片ABCD 折叠起来，使其对角顶点A 、C 重合，?若其长BC 为a ，宽AB 为b ，则折叠后不重合部分的面积是多少 $ A B , 第11题图 A E B C D ￥ F
2、如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知AB=?3，BC=7 ，求重合部分△EBD 的面积 例3：有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分 线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗 ( 对应练习：1、如图，在△ABC 中，∠B= 90，AB=BC=6，把△ABC 进行折叠，使点A 与点D 重合，BD:DC=1:2，折痕为EF ，点E 在AB 上，点F 在AC 上，求EC 的长。 — A E C D B A D B C E F
勾股定理与折叠问题(经典题型)
与直角有关的折叠问题（一） 1.如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无 缝隙无重叠的四边形EFGH， 若EH=9厘米，EF=12厘米，则边AD的长是( ) A. 12厘米 B. 15厘米 C. 20厘米 D. 21厘米 2. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则 折痕EF的长为( ) A. 6 B. 5 C. D. 3.如图1，四边形ABCD是一矩形纸片，AB=8cm，AD=10cm， E是AD上一点，且AE=8cm．操作：（1）将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕 AF，如图2；（2）将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图3．则△GFC的面积是( ) A. B. C. D. 4. 如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着
EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是 ( )A. B. C. D. 5.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=6cm，点E在BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在AC 上的点F处，且∠AEF=∠CEF，则AB的长是( ) A. 2cm B. C. 4cm D. 6. 如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，直角边 ，现将△BCD沿CD折叠，点B恰好落在AB的中点E处，则图中阴影部分的面积为( ) A. 2 B. C. D. 7.如图，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿对角线BD翻折，点C 落在处，AD与BC′交于点E，连接AC′，则AC′：BD为 ( ) A. B. C. D. 8.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且，将矩形沿直线EF 折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，有下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是( ) A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④
小专题（二）利用勾股定理解决折叠与展开问题类型1利用勾股定理解决平面图形的折叠问题 1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC= 5 cm, BC= 10盯，将厶ABC折叠， 使点B与点A重合，折痕为DE则CD的长为（） 25 B. 15 A. cm 2 2 cm 25 D. 15 C. , cm 4 cm 4 2.如图所示，有一块直角三角形纸片，/ C= 90°, AC= 4 cm, BC= 3 cm,将斜边AB 翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD则CE的长为（） A. 1 cm B . 1.5 cm C. 2 cm D . 3 cm 3.（青岛中考）如图，将长方形ABCD& EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C'上， 若AB= 6, BC= 9,则BF的长为（） A. 4 B . 3 2 C. 4.5 D . 5 4.如图，长方形纸片ABCD中，已知AD= 8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B 落在点F处，折痕为AE且EF= 3,则AB的长为（） A. 3 B . 4 C . 5 D . 6 5.（铜仁中考）如图，在长方形ABCD中, BC= 6, CD= 3,将厶BCD沿对角线BD翻折， 点C落在点C'处，BC交AD于点E,则线段DE的长为（） 15 15 A. 3 B. C . 5 D. 4 2 6.如图，在长方形ABCD中AB= 4, AD= 6, E是AB边的中点，F是线段BC上的动点， 将厶EBF沿EF所在直线折叠得到△ EB F,连接B‘ D,则B‘ D的最小值是（） A. 2 10- 2
B. 6 C. 2- 13 - 2 D. 4 7.如图所示，在△ ABC 中，/ B = 90°, AB= 3, AC= 5,将厶ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE 则厶ABE 的周长为 ____________ . 8 如图，在 Rt △ABC 中, Z C = 90°, BC= 6 cm , AC= 8 cm ,按图中所示方法将△ BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C 点，那么△ ADC 的面积是 _______________ . 9. 如图，已知Rt △ ABC 中, Z C = 90°, AC= 6, BC= 8,将它的锐角A 翻折，使得点A 落在BC 边的中点D 处，折痕交AC 边于点E ,交AB 边于点F ,则DE 的值为 _____________ . 10. 如图，在 Rt △ABC 中，Z B = 90°, AB= 3, BC= 4,将厶ABC 折叠，使点B 恰好落 在边AC 上，与点B '重合，AE 为折痕，则EB' = ____________ . 11. 为了向建国六十六周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级 （1） 班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学在制 作手工作品的第一、二个步骤是： ① 先裁下了一张长BC= 20 cm ,宽AB= 16 cm 的长方形纸片ABCD ② 将纸片沿着直线AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 处， 请你根据①②步骤解答下列问题：计算 EC FC 的长. 类型2利用勾股定理解决立体图形的展开问题 1.如图，一圆柱体的底面周长为 24 cm ,高AB 为5 cm , BC 是直径，一只蚂蚁从点 A C. 13 cm 12 cm,底面周长为18 cm ,在杯内离杯底4 cm 的点 出发沿着圆柱体的表面爬行到点 C 的最短路程是（ A. 6 cm B . 12 cm 16 cm 2.如图，圆柱形玻璃杯，高为
与直角有关的折叠问题（一） 1.如图，将矩形ABCD勺四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH 若EH=9厘米，EF=12厘米，则边AD的长是（） A. 12厘米 B. 15厘米 C. 20厘米 D. 21厘米 2. 如图，在矩形ABCD中, AB=4, BC=8将矩形ABCD沿EF 折叠，使点C与点A重合，则折痕EF 的长为（ 5C. L D. 3. 如图1,四边形ABCD是一矩形纸片，AB=8cm 作：（1）将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图2；（2）将厶AFB以BF为 A ICm J B 2cm j C 3cn∩j D 4. 如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC 边上，点F在AB边上，沿着 EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥ BC,则 CE 的长是（）A. 1°B. lθ^5λ∕3 C. D2O-1C√3 5. 如图，在矩形纸片ABCD中, AD=6cm点E在BC上，将纸片 - P G AE=8cm 操 A. 6 B. 折痕向右折过去，得图
沿AE 折叠，使点 B 落在AC 上的点F 处，且∠ AEF=∠ CEF 贝U AB 的长是（ ) A. 2cm B. - √--d --1- C. 4cm D. L -' 6. 如图，CD 是 Rt △ ABC 斜边AB 上的高，直角边 ■ ： ,现将△ BCD 沿 CD 折叠，点B 7. 如图，在矩形 ABCD 中，二「一「：；，「二二匚，将△ BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在Cr 处，AD 与BC 交于点 E ,连接 AC ,贝U AC : BD 为 曲二丄M 8. 如图，在矩形 ABCD 中,点E , F 分别在边AB, BC 上，且 ? ,将矩形沿直线 EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q,有下列结论：①EF=2BE ② PF=2PE ③FQ=4EQ ④厶PBF 是等边三角形.其中正确的是 （ ） A.①② B.②③ C.①③ D.①④ 恰好落在AB 的中点E 处，则图中阴影部分的面积为 A. IC
展开问题勾股定理解决折叠与小专题(二) 利用1 利用勾股定理 解决平面图形的折叠问题类型折叠，ABCBC＝10 cm，将△．如图，有 一张直角三角形纸片，两直角边1AC＝5 cm，) ，则CD的长为( 使 点B与点A重合，折痕为DE1525 cm cm B.A.221525 cm cm D. C. 44AB，将斜边BC＝3 cm＝90°，AC＝4 cm，2．如图所示，有一 块直角三角形纸片，∠C) 的长为( ，则AC的延长线上的点E处， 折痕为ADCE翻折，使点B落在直角边1.5 cm ．1 cm B．A3 cm ．2 cm D．C′上，AB边的中点CEF 折叠，使顶点C恰好落在3．(青岛中考)如图，将长方形ABCD沿) ( ＝9，则BF的长为若AB＝6，BC2 ．3A．4 B5 ．．4.5 DCBAC重合，点8，折叠纸片使 AB边与对角线AD4．如图，长方形纸片ABCD中，已知＝) ( ，则AB的长为3落在点F处，折痕为AE，且EF＝6 5 D．．4 C．A．3 B翻折，BD，将 △BCD沿对角线6，CD＝3BC5．(铜仁中考)如图，在长方形ABCD中， ＝) ( 的长为于点E，则线段DE′处，点C落在点CBC′交AD1515 ．5 D.．3 B. CA24上的动点，
是线段BC边的中点，E是ABF，，中，6．如图，在长方形ABCDAB＝4AD＝6 ) 的最小值是( DBDBFEBEFEBF将△沿所在直线折叠得到△′，连接′，则′2 －102．A． 6 B．213－C．2 D．4 7．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为________．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是________． 9．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB 边于点F，则DE的值为________． 10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝________． 11．为了向建国六十六周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是： ①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD， ②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，
B'D C B A C D B A E E F D A B C A B C F E 'A 第8题图 （'B ） D 折叠问题与勾股定理例题总结 1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8。将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处。(1)求EF 的长；(2)求梯形ABCE 的面积。 2．如图所示，在ABC 中，AB=20，AC=12，BC=16，把ABC 折叠，使AB 落在直线AC 上，求 重叠部分(阴影部分)的面积． 3．如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9 cm ，宽AB=3 cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么 折叠后DE 的长是多少 4如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6，BC=8，将三角形ABC 折叠,使AB 落 在斜边AC 上得到线段AB ’,折痕为AD ，求BD 的长为． 5.如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ．求EC 的长． 6.如图，将边长为8 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，求线段CN 的长．(MN 的长) 7．如题，在长方形ABCD 中，将ABC 沿AC 对折至AEC 位置，CE 与AD 交于点F. (1)试说明：AF=FC (2)如果AB=3，BC=4，求AF 的长。 8.把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ． 若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ， （1）重叠部分△DEF 的面积是多少cm 2
专题：勾股定理在折叠问题中应用 .知识要点 (1) 折叠的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等 (2) 利用线段关系和勾股定理，运用方程思想进行计算. 二典例解析 (一)三角形的折叠 1. 如图，Rt/ABC中，/ C=90，AC=6 AB=10 D为BC上一点，将AC沿AD折叠，使点C落 在AB上，求CD的长 2. 如图，Rt/ABC中，/ C=90，D为AB上一点，将/ ABC沿DE折叠，使点B与点A重合, ①若AC=4 BC=8求CE的长 ②若AC=24 BC=32求折痕DE的长 D C E
（二）矩形的折叠 1. 如图，折叠矩形纸片ABCD先折出折痕（对角线）BD再折叠，使AD落在对角线BD上, 得折痕DG 若AB = 2，BC = 1，求AG
2. 如图，折叠长方形的一边AD,点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm BC=10cm 求EC的长. 变式：如图.在直角坐标系中，矩形ABC0的边0A在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为（1, 3），将矩形沿对角线AC 翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E.那么点D的坐标为 ______________ 3. 如图，矩形纸片ABCD AB=4cm BC=8cm现将A C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ①求DF的长； ②求重叠部分△ AEF的面积; ③求折痕EF的长. B E
（三）正方形的折叠 1?将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN ①求线段CN的长； ②求AM ③求折痕MN的长 MN折叠，使点B落在CD边上变式：如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿 的B处，点A对应点为A，且BC 3，则AM的长是 ________________
小专题(二) 利用勾股定理解决折叠与展开问题 类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题 1．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为( ) A.252 cm B.152 cm C. 254 cm D.154 cm 2．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为( ) A ．1 cm B ．1.5 cm C ．2 cm D ．3 cm 3．(青岛中考)如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，若AB ＝6，BC ＝9，则BF 的长为( ) A ．4 B ．3 2 C ．4.5 D ．5 4．如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5．(铜仁中考)如图，在长方形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为( ) A ．3 B.154 C ．5 D.15 2
6．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是( ) A．210－2 B．6 C．213－2 D．4 7．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE 的周长为________． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB 边的C′点，那么△ADC′的面积是________． 9．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的值为________． 10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝________． 11．为了向建国六十六周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是： ①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD， ②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处， 请你根据①②步骤解答下列问题：计算EC，FC的长．
巧用勾股定理解决折叠与展开问题 类型1利用勾股定理解决平面图形的折叠问题 1．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，求BF 的长． 2．长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，求AB的长． 3．如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C 在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4.在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．求D，E两点的坐标． 4．有一长方形纸片ABCD，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF. (1)求证：△DEF是等腰三角形； (2)若AD＝3，AB＝9，求BE的长．
5．有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm. (1)如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，则CD＝________cm； (2)如图2，若将直角∠C沿MN折叠，点C与AB中点H重合，点M，N分别在AC，BC上，则AM2，BN2与MN2之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
类型2利用勾股定理解决立体图形的展开问题 6．如图，一圆柱体的底面周长为24 cm，高AB为5 cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的 表面爬行到点C的最短路程是() A．6 cm B．12 cm C．13 cm D．16 cm 7．如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路 程是____________m(精确到0.01 m)． 8．如图，长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm. (1)点A1到点C2之间的距离是多少？ (2)若一只蚂蚁从点A2爬到C1，则爬行的最短路程是多少？ 9．如图，圆柱形玻璃杯高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯外离杯底4 cm的点C处有一些蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯上沿4 cm的点A处． (1)求蚂蚁要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距离； (2)若将蜂蜜的位置改为在杯内离杯底4 cm的点C处，其余条件不变，请你求出此时蚂蚁吃到蜂蜜所爬行的最短距离．
勾股定理在折叠问题中的应用 ? 课前预习 1. 观察图形，回顾轴对称的性质： （1）全等变换：对应边________，对应角_________； （2）对应点所连的线段被对称轴_____________． l A' B' C' C B A 2. 如图，乐乐将△ABC 沿DE ，EF 分别翻折，顶点A ，B 均落在点O 处，且EA 与 EB 重合于线段EO ，若∠DOF =139°，则∠C 的度数为（ ） A ．38° B ．39° C ．40° D ．41° O F E D C B 3. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6，BC =8，点D 在BC 边上，将直 角边AC 沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处．设DE 的长为x ，则CD =__________，BD =_________．（用含x 的代数式表示） D E A B C ? 知识点睛 1. 轴对称（折叠）的思考层次
（1）全等变换：对应边_______、对应角_______． （2）对称轴性质： ①对应点所连线段_____________________； ②对称轴上的点_______________________． （3）组合搭配：长方形背景下的折叠常出现______三角形． （4）作图：关注_______和________，有时需要依据不变特征分析转化，补全图形． ①当对称轴已知时，直接作点的对称点，找对应点； ②当对应点已知时，作对应点所连线段的垂直平分线，找对 称轴（折痕）； ③当对称轴过定点时，常作弧找对应点． ? 精讲精练 1. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6 cm ，BC =8 cm ，点D 在BC 边 上，将直角边AC 沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处，则线段CD 的长为__________． D E A B C N M F C B E D A 第1题图 第2题图 2. 如图，将边长为4 cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长为__________． 3. 如图，在长方形ABCD 中，AB =5 cm ，在DC 上存在一点E ，将△AED 沿直线AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处，若△ABF 的面积为30 cm 2，则EF 的长为_______． F E D C B A 4. 如图，在长方形ABCD 中，点E 在AB 边上，将长方形ABCD 沿直线DE 折叠， 点A 恰好落在BC 边上的点F 处．若AE =5，BF =3，则CF 的长为_______．
专题：勾股定理在折叠问题中应用 一.知识要点 （1）折叠的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等. （2）利用线段关系和勾股定理，运用方程思想进行计算. 二.典例解析 （一）三角形的折叠 1.如图，Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，D 为BC 上一点，将AC 沿AD 折叠，使点C 落在AB 上，求CD 的长 2.如图，Rt ⊿ABC 中，∠C=90°， D 为AB 上一点，将⊿ABC 沿DE 折叠，使点B 与点A 重合， ①若AC=4，BC=8，求CE 的长 ②若AC=24，BC=32，求折痕DE 的长 A C B D C ′ C B E C B E
A B D F E C G A ′ ? D A B C 1.如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上， 得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG 2.如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ， 求EC 的长. 变式：如图．在直角坐标系中，矩形ABC0的边OA 在x 轴上， 边0C 在y 轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC 翻折，B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ．那么点D 的 坐标为 3.如图，矩形纸片ABCD ，AB=4cm ，BC=8cm ，现将A 、C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ①求DF 的长； ②求重叠部分△AEF 的面积； ③求折痕EF 的长. Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｄ′
1.将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为 MN ①求线段CN 的长； ②求AM ； ③求折痕MN 的长 变式：如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上 的B '处，点A 对应点为A '，且3B C '=，则AM 的长是___________. A ′ D A B C N M
勾股定理之折叠问题、等面积法（讲义） 一、 知识点睛 1. 折叠问题处理思路 （1）找折痕（对称轴）； （2）转移、表达； （3）利用勾股定理建等式． 2. 等面积法 当几何图形中出现多个高（垂直、距离）的时候，可以考虑等面积法解决问题，即利用图形面积的不同表达方式建等式． 二、精讲精练 1. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边 AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则线段CD =__________． D E A B C N M F C B E D A 第1题图 第2题图 2. 如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处， 点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm 3. 如图，在长方形ABCD 中，AB =3，AD =9，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 C' A D E B C F 4. 如图，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB =8cm ， BC =10cm ，则EF =________．
A' A D M F C B E D A 5. 如图，在矩形ABCD 中，BC =4，DC =3，将该矩形沿对角线 BD 折叠，使点C 落在点F 处，BF 交AD 于点E ，求EF 的长． 6. 如图，在△ABC 中，AB =20，AC =12，BC =16，把△ABC 折 叠，使AB 落在直线AC 上，求重叠部分（阴影部分）的面积． 7. 如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B'处，点A 的对应点为A'，且B'C =3，则CN =______，AM =______. 8. 若直角三角形两直角边长分别为6cm ，8cm ，则斜边上的高 A B C D E F
勾股定理的应用1——图形的翻折的导学案一、直角三角形的折叠问题 展示直角三角形纸片 1.已知△ABC中，∠B=90°， AB=4，BC=3,则AC= 斜边AC边上的高AD= 折叠1：将△ABC折叠，使点A与B重合（如图1）， 则图中有哪些相等的线段？求BD 折叠2：将△ABC折叠，使点A与C重合（如图2）， （1）则图中有哪些相等的线段？ （2）△BDC的周长= （3）求BD的长度 （4）思考求DE长度的方法
折叠3：将△ABC折叠，使点A落在BC的中点F处（如图3）， 同样，求BD 设BD=x 直接列方程 二、长方形的折叠问题 展示长方形纸片 已知长方形ABCD中，AD=10，AB=6 折叠1、沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上一点F处， （1）找出图形中所有相等的线段 （2）BF= ，CF= （3）求EC （拓展:已知EF=5，CE=4，求剩下所有线段的长度） 折叠2：若沿直线AC把△AD C折叠，使点D落在点F处，AF与BC交于点E。（1）找出图形中所有相等的线段 （2）求BE（只列方程）
折叠3、若沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合。 （1）找出图形中所有相等的线段 （2）求△BEF的面积 （3）求折痕EF的长度 ：（惠安县2013—2014学年度上学期八年级教学质量检测第26题）
如图，已知一长方形纸片ABCD ，AB ∥CD ，AD =BC =1，AB =CD =5．在长方形ABCD 的边AB 上取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 交于点K ， 得到△MNK ． （1）请你动手操作，判断△MNK 的形状一定．． 是 ； （2）问△MNK 的面积能否小于 1 2 ？试说明理由； （3）如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，并求最大值． 1 D N B' C' K M D C A B D C A B D C A B A C B
折叠问题与勾股定理例题总结 1．如图，在矩形 ABCD中， AB＝6，BC＝8。将矩形 ABCD沿 CE折叠后，使点 D 恰好落在对角线 AC上的点 F 处。 (1) 求 EF的长； (2) 求梯形 ABCE的面积。 2．如图所示，在 ? ABC中， AB=20， AC=12，BC=16，把 ? ABC折叠，使 AB落在直线AC 上，求重叠部分 ( 阴影部分 ) 的面积． 3．如图，矩形纸片ABCD的长 AD=9 cm，宽 AB=3 cm，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，那么折叠后 DE的长是多少 4 如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6，BC=8，将三角形ABC折叠 , 使 A
B'
AB落在斜边 AC上得到线段 AB’, 折痕为 AD，求 BD的长为． 5. 如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD，点 D 落在 BC边的点 F A D 处，已知 AB=8cm， BC=10cm．求 EC的长． E B F C 6.如图，将边长为 8 cm的正方形纸片 ABCD折叠，使点 D 落在 BC中点 E 处，点 A 落在 点 F 处，折痕为 MN，求线段 CN的长． (MN的长 ) 7．如题，在长方形ABCD中，将 ? ABC沿 AC对折至 ? AEC位置， CE与 AD交于点 F. E (1) 试说明： AF=FC A F D (2) 如果 AB=3，BC=4，求 AF的长。
8.把一张矩形纸片（矩形 ABCD）按如图方式折叠，使顶点 B 和点 D重合，折痕为 EF． A' 若AB = 3 cm， BC = 5 cm ， （1）重叠部分△ DEF的面积是多少 cm2A E D（ B' ）（2）求 EF 的长。 B F C 第 8 题图 9.如图，在 Rt△ABC中，∠ C=90°， M为 AB边上中点， 将 C与点 A 重合得到△ DEA，设 AE交 CB于点 N． (1)若∠ B=25° , 求∠ BAE的度数； (2)若 AC=2， BC=3，求 CN的长．Rt △ABC绕点 M旋转，使点 D A M C N B E 10.如图，将矩形纸片 ABCD沿对角线 AC折叠，使点 B 落到点 B' 位置， AB'与 CD交于 点 E． (1)求证：△ AED≌△ CEB'； (2)AB ＝8，DE＝3，点 P 为线段 AC上任一点， PG⊥ AE于 G，PH⊥ EC于 H．求 PG＋PH 的值，并说明理由．
1如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3．折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，点A落在点A1处，则△A1BG的面积与矩形ABCD的面积的比为多少？ 2如图所示，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分（阴影部分）的面积. 3如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm，BC=24cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE 重合，求△BDE的周长为多少. 4如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=3，BC=4，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？（） 5如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=6，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，点A与BC延长线上的点D重合，则CE的长是（） 6如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6，BC=8，将三角形ABC折叠，使AB落在斜边AC上,折痕为AD，则BD长为（） 7如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？（） 勾股定理之折叠对角线重合 1矩形ABCD中，BC=8，DC=6，将该矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，求EF的长() 2如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点F的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，那么折叠后的重合部分面积是（）cm2． 3矩形ABCD中，BC=4，DC=3，将该矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，求EF的长( )
勾股定理中的折叠问题 例1:如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm, ?长BC? 为10cm.当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F:处（折痕为AE）⑴ 求BF的长；（2）求EC的长。 F 对应练习：1、如图折叠长方形的一边BC,使点B落在AD边的F处，已知：AB=3, BC=5 求折痕EF的长. 例2:已知，如图长方形ABCD中, AB=3cmAD=9cm将此长方形折叠，使点B与点D重合, 折痕为丘巳则厶ABE的面积为（）A 6cm B、8cm C、10c^ D 12cn i 第11题图 对应练习：1、如图2-2，把一张长方形纸片ABCDff叠起来，使其对角顶点A C重合，？若其长BC为a,宽AB为b,则折叠后不重合部分的面积是多少？
2、如图2-3，把矩形ABCDft直线BD向上折叠，使点C落在C'的位置上，已知AB=?3 BC=7求重合部分△ EBD的面积 例3:有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cn现将直角边AC沿/ CAB的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？ E 对应练习：1、如图，在△ ABC中，/ B=90 AB=BC=6把厶ABC进行折叠，使点A与点D
点F在AC上，求EC的长。
例4：如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm, BC=8cm。现将直角边AC沿直线AD折叠, 使它落在斜边AB上，恰与AE重合，求CD D 对应练习：1如图，四边形ABCD是矩形，AB=3, BC=4,把矩形沿直线AC折叠，点B 落在点F 处，连接DF，CF与AD相交于点E，求DE的长和△ ACE的面积. 2、如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，使AD落在对 角线BD上，得折痕DG ,若AB = 2，BC = 1，求AG. G
C E 勾股定理中的折叠问题 姓名： 例1：如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，?长BC ?为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F:处（折痕为AE ）(1)求BF 的长； (2)求EC 的长。 BC ，使点B 落在AD 边的F 处，已知：AB=3，BC=5， 例2：已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A 、6cm 2 B 、8cm 2 C 、10cm 2 D 、12cm 2 对应练习：1、如图2-2，把一张长方形纸片ABCD 折叠起来，使其对角顶点A 、C 重合，?若其长BC 为a ，宽AB 为b ，则折叠后不重合部分的面积是多少？ 第11题图 A E B C D F
2、如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知AB=?3，BC=7，求重合部分△EBD 的面积 例3：有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分 线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？ 对应练习：1、如图，在△ABC 中，∠B= 90，AB=BC=6，把△ABC 进行折叠，使点A 与点D 重合，BD:DC=1:2，折痕为EF ，点E 在AB 上，点F 在AC 上，求EC 的长。 A E B A D B C E F
例4：如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC 沿直线AD 折叠， 使它落在斜边AB 上，恰与AE 重合，求CD 对应练习：1、如图，四边形ABCD 是矩形，AB =3，BC =4，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点F 处，连接DF ，CF 与AD 相交于点E ，求DE 的长和△ACE 的面积. 2、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG . A C D B E G A B