第九讲 完全平方数
完全平方数是数论中的一个重点知识，也是各大杯赛中常考的一个知识点。这一讲学员需要掌握的主要是完全平方数的性质及灵活运用。
一、完全平方数的定义
把一个自然数平方后所得到的数叫做完全平方数或平方数。
二、常用完全平方数表
三、完全平方数性质
1、平方数的尾数特征（通过列表的观察可得）
性质1：完全平方数的个位只可能是0,1,4,5,6,9。
性质2：如果一个自然数介于两个连续的平方数之间，则这个数一定不是完全平方数。
性质3：若一个平方数的个位是6，则十位是奇数；
若一个平方数的个位是0 若一个平方数的个位是52、平方数的余数特征 性质4：完全平方数除以3的余数只能是0、1。 完全平方数除以4的余数只能是0、1。 完全平方数除以8的余数只能是0、1、4。完全平方数除以16的余数只能是0、1、43、平方数的因数特征
性质5 性质6: 完全平方数的因数有奇数个。
4、平方数的差特征
性质7：平方差公式： , 其中 和 的奇偶性相同。
四、完全平方数性质的灵活运用
1、平方数的基础练习
（1）不超过2010的最大的完全平方数是多少？估算 ， ，所以应该在40-50之间， ，所以
不超过2010的最大的平方数应该是
（2）一个平方数，它的最后三位数字相同但不为0，则该数最小是多少？性质1，个位只能是1,4,5,6,9，所以最小的应该是
111,444,555,666,999，但用余数特称有都被淘汰所以
最小只能是1111,1444,…，最后验证得到
注：在这7个性质中5,6,7是各大杯赛的常考点， 性质1-4主要是用于判断一个数是否为平方数。
2、平方数的例题讲解
例1、分析：肯定是发错了。作业本的总数量如果是个完全平方数的话由性质1可知，平方数的个位只能是0、1、
4、5、6、9，所以除以5的余数只能是0、1、4，而题每人5本最后余3本，所以不可能。
拓展练习：（1）1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×3×4×5×6的结果是完全平方数吗？
提示：不是，该式子的结果个位为1+2+6+4+0+0=3，（性质1）
（2）我们知道：，，都是完全平方数，那么121+12321+1234321+ …+12345678987654321是不是完全平方数？
提示：不是。该式的个位是8个1相加得8，所以不是平方数。（性质1）
（3）完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9，可是个位数字是0,1,4,5,6,9的数不一定都是完全平方数。那么我们定义：个位是0,1,4,5,6,9，且不是完全平方数的自然数为“伪平方数”，那么在两位数中，偶数和伪平方数
那个多？
提示：两位数共90个其中偶数共45个。两位数中个位为0,1,4,5,6,9的数各有9个，共6×9=54个，其中平方数有4-9的平方，共6个。所以伪平方数共54-6=48个。所以伪平方数大于偶数。
例2、分析：不能。（1）平方数的尾数特征性质3可知，个位为奇数，十位必为偶数，所以不能。（2）平方数的余数特征性质4，平方数除以4的余数只能是0,1。而这些数除以4的余数都是3。（看后两位）。所
以不能。
拓展练习：（1）除以4的余数是多少？
提示：平方数除以4的余数只有0,1。奇数的平方除以4的余数为1，偶数的平方除以4的余数为0，所以原题中应该是1005个1与1005个0的和，即1005除以4的余数1。（余数的性质：和的余数等于余数的和）。
（2）除以3的余数是多少？
提示：平方数除以3的余数只有0,1。3的倍数的平方除以3的余数为0，不是3的倍数的自然数平方除以3的余数都为1，所以原题中余数的和为1+1+0+1+1+0+…+1+1+0=2010÷3×2=1340，最后除以3的余数为
1340÷3=446……2。余数为2
（3）A是由2002个4组成的多位数，即444…44,则A是不是一个平方数？
提示：A=444…44=4×111…11=×111…11.A若想是个平方数则111…11必须也得是平方数，而111…11除以4的余数为3，所以不是。（同例2）
（4）数学课上，老师让同学们求两个边长为整数的正方形的面积和，三个学生分别给出了如下答案：997,998,999。老师说只有一个人做对了，那么正确答案是哪个？
提示：本题需要注意的是答案应该是两个平方数的和，所以平方数的性质不能直接用。
（1）平方数除以4的余数为0,1。所以两个平方数的和除以4的余数只能是0,1,2。因此999淘汰。（余3）
（2）平方数除以8的余数为0,1,4。所以两个平方数的和除以8的余数应该是0,1,2,4,5.因此998淘汰（余6）
最后就剩下997了。997=961+36=
例3、分析：本题主要运用的是平方数的因数特征性质5，即315×a的结果分解质因数后质因数的次数应该是偶数次的，而315=，所以a必须至少有1个5,1个7才能保证315×a分解质因数后质因数
的次数是偶数次的。所以a=5×7=35
拓展练习：（1）2160除以一个自然数的商是个完全平方数，则这个数最小是多少？（15）（2）一个数与2940的积是完全平方数，那么这个数最小是多少？（15）
（3）1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的共有几个？
提示：72=，要想使得一个数乘以72以后是平方数则这个自然数分解后必须至少有一个2和一个平方数才能使得积是一个平方数，2×，所以共31个。
（4）将16分解成若干个质数（可以相同）相加的形式，如果这些质数的乘积是正好是平方数，那么这个平方数可能是几？
提示：若要使质数乘积为平方数，则质数必须成对出现，第一步我们可以把16分解成8加8，但8还不是质数。
第二步，我们可以把8分解成质数的和：2+2+2+2；2+3+3；3+5。则最后平方数只能是（）
；；（）。最后是256,324,225
例4、分析：本题主要是应用的平方数的因数特征，性质6。有奇数个因数的数必为平方数，所以本题实际就是求的是100以内的平方数有几个，共10个。
拓展练习：（1）100以内有且仅有3个因数的自然数有哪些？
提示：由3个因数则其分解质因数的形式必为的形式，其中a为质数，所以100以内有且仅有3个因数的自然数应该是10以内的质数的平方，即；；；，共4个。
（2）10000以内有且仅有3个因数的自然数有哪些？
提示：同上题，所以本题找的是100以内的质数的平方，个数为25个。
（3）200名同学编为1-200号面向南站成一排，第一次全体同学向右转（转后所有同学面朝西）；第2次编号为2的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；……；第200次编号为200的倍数的同学向右转；这时面向
东的同学有几个？
提示：大家想一下：我们要转几次才能面向东呢？最少3次，还可以是7次（转了一圈以后又到东面），当然还可以是11次，15次，19次……。那我们怎么才能转三次呢？必须是3个数的倍数，因为每次向右转的时候必须
是一个数的倍数才转，不存在倍数关系的数不动。如果是3个数的倍数了那就说明这个数应该有3个因数，
所以最后面向东的人得编号应该是有3个因数的数，（还可以有7个因数，11个，15个…）。
200以内有3个因数的数形如的形式（a为质数）:，，，，，；
有7个因数的数形如的形式:；
有个因数的数形如的形式，200以内不存在。
有15个因数的数形如的形式这样的也不存在，但15=3×5，
所以还可以有形如的形式：不行，超过200；=144是可以的。
最后一共有8个面向东的。
（4）一个房间中有100盏灯，用自然数1,2,3…100编号，每盏灯各有一个开关。开始时，所有的灯都不亮。有100个人依次进入房间，第1个人进入房间后，将编号为1的倍数的灯的开关按一下，然后离开；第2个人进入房间后，
将编号为2的倍数的灯的开关按一下，然后离开；如此下去，直到第100个人进入房间后，将编号为100的倍数的
灯的开关按一下，然后离开；问：第100个人离开房间后，房间里那些灯还亮着？
提示：与上题相似。最后亮着的灯应该是按了奇数次开关的灯，也就是说100以内有奇数个因数的数共多少个？即100 以内的平方数，共10个。所以最后有10盏亮着的灯。
例5、分析：本题主要运用的是平方差公式，因为加入23个人之前是一个方阵（平方数记为），加入23个人之后也是个平方数记为，说明这两个平方数的差即为23，可列出方程，
将23分解只能是1×23，所以B+A=23;B-A=1和差问题可求出A=11,B=12.所以加入23人后一共人。
拓展练习：（1）例6分析：，20必须分解成两个奇偶性相同的两个数的乘积，只能是2×10，所以B+A=10;
B-A=2;B=6,A=4,所以这个数为。
（2）能否找到这样一个数，使它加上24和减去30所得的两个数都是完全平方数？
提示：54分解不出两个奇偶性相同的两个数的乘积，所以这个数不存在。
（3）一个正整数加上132和231后都等于完全平方数，求这个数？
提示：
（1），这个数为；
（2），这个数为；
（3），；这个数为，因此无次数。
（4）两个完全平方数的差为51,且这两个完全平方数之间没有其他的完全平方数，求这两个数？
提示：，因为两个完全平方数之间无其他的完全平方数，所以，则51只能分解为1×51
这两个数分别为；
（5）一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
提示：；这个数为
1. 学习完全平方数的性质； 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N 为完全平方数?自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因 数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则 2|n p N ． 性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个 位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 知识点拨 教学目标 5-4-4.完全平方数及应用（一）
完全平方数 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能整除a 。 2.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 模块一、完全平方数基本性质和概念 基础练习、指出下列哪些是平方数？ 1156，5487，5329，8008。 1． 在3240,8972,2116，2475,2400这五个数中，哪几个是完全平方数？ 2.正整数的平方按大小排成1 4 9 16 25 36 49 …,那么第85 个位置上的数字是几 【例 1】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数． 1、在50～400中，有多少个平方数？ 2、在50～761中有多少个平方数？ 例题精讲 知识点拨
3、123×134的积是平方数吗？ 4、一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？ 【例2】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？ 【巩固】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________． 2、46035乘以一个自然数a，积是一个整数的平方，求最小的a及这个整数。 3、已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。 【例3】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。 1、（04南京冬令营）一个数与2940的积是完全平方数，那么这个数最小是（）。 2、（03甘肃冬令营）祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是（）岁。 3.求一个能被180整除的最小完全平方数. 【例4】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？ 1、能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？ 2、三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的 差为60，求这三个数． 3、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
中班数学数数教案 【篇一：幼儿园中班数学教案】 认识数字1、2、3、4、5、6 活动名称：认识数字1、2、3、4、5、6 活动目标：指导幼儿认识6以内的序数。 活动准备： 1．各种动物卡片。 2．准备一张画有6个格子的纸，并在纸上做一个记号。 3．幼儿作业纸。 动物运动会开始了！你能按前后顺序，分别说出第几跑道的什么动 物跑在第几吗? 活动过程： 2．请幼儿拿出画有格子的纸，从画有记号的这边数起，把第二格涂 成红色，把第五格涂成蓝色，并在蓝色格后面画一朵花，说出这是 第几格? 3．引导幼儿看作业纸。参考提问：动物运动会开始了!请小朋友说 一说，在第一跑道的是什么动物?松鼠在第几跑道?跑第一的是什么 动物?小鸭子跑第几? 活动延伸： 1．“猜猜他是谁”。参考提问：从左边数他排在第四，从右边数排在 第二，请问他是谁?一共有几个人在排队? 2．“把第四朵花染成红色”(没有要求幼儿从哪边开始数)。 《认识2、3的相邻数》发表于：2008-06-04查看：1139评论：0 活动目标： 感知2与3前后两数的相邻关系，探索发现的乐趣。 活动准备： 提供三种颜色不同的瓶盖个三个，每人一套1—4的数字卡片。 活动过程： 1、分别取三种颜色不同的瓶盖个三个，一一对应排成三横排，中间 一排的瓶盖不动，让三排瓶盖变得一排比一排多一个，讨论如何才 能做到。 2、找出相应的数字卡片摆在瓶盖的左边，讨论：比3少1的数是几，应排在哪里；比3多1的数是几，应该排在哪里。
3、引导幼儿归纳：3有两个相邻的好朋友，一个是比3少1的2， 排在3的前面，一个是比3多1的4，排在3的后面。 4、组织幼儿讨论2的好朋友是几和几，根据前面的方法与经验，引导幼儿借助瓶盖、数字卡片等加以验证。 5、玩找朋友竞赛的游戏：幼儿分成5个人一组，排成三排，当教师说到4是，幼儿马上排成2、3、4三排，中间一排人不要动。看看 哪组小朋友排得又快又对，这一组就是胜利者。 活动延伸： 在科学区投放1到10的数字卡片及不同颜色的瓶盖若干个，让幼儿进一步探索10以内的各数的相邻数。 中班数学教案——认识数字六 【活动目标】 1．引导幼儿认识数字“6”，知道它能表示相应数量的物体。 2．引导幼儿通过操作、目测等正确感知6以内的数量，巩固对6以内数字的认识。 3．激发幼儿学习数学的兴趣，培养其动手操作和口语表达能力。【活动准备】 1．教具：投影仪一台，“动物园”幻灯片若干张，录音机一台，音乐 磁带一盒，数字卡片若干张。 学具：第一组，印有数字的作业纸人手一份(见图一)，油画棒若干盒；第二组，数字纸卡(见图二)人手一份，实物印章每人一个；第三组， 实物图片(见图三)人手一份，油画棒若干盒，数字卡片若干张。有点 卡标记的信箱三个，贴有不同数字的信封人手一个，1～6小数卡人 手1份，小玩具若干。 2．环境布置 幼儿坐在地毯上成半圆形，每人面前放一个小盘子(盘内1～6个小 数卡若干，玩具若干)，幼儿后面搭建“数的王国”，用大型积木搭三 个门洞，分别标有数字“l、2、3”。 【活动过程】 一、集体尝试活动设置情境，引起幼儿兴趣。 (出示一封信)：师：今天啊，老师收到了一封数字王国的国王写给我们中(1)班小朋友的信。(教师读信) 师：我们一起开汽车去动物园，好不好?(音乐声，幼儿做开汽车的 动作)出示幻灯片(一)，到达“动物园”。 尝试一
乘法公式的拓展及常见题型整理 一．公式拓展： 拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+a a a a 拓展二：a b b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 拓展四：辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二．常见题型： （一）公式倍比 例题：已知b a +=4，求ab b a ++2 2 2。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222 121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则 = (二）公式组合 例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab
⑴若()()a b a b -=+=22 713，，则a b 22+=____________，a b =_________ ⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++22，则a 为 ⑷如果2 2)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。 ⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求) )((2222d c b a ++ （三）整体代入 例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。 例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=20 1x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+= ⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++= ⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 b a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是 ．
小学奥数练习卷（知识点：完全平方数性质） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共2小题） 1．老师把一个三位完全平方数的百位告诉了甲，十位告诉了乙，个位告诉了丙，并且告诉三人他们的数字互不相同．三人都不知道其他两人的数是多少，他们展开了如下对话：甲：我不知道这个完全平方数是多少．乙：不用你说，我也知道你一定不知道．丙：我已经知道这个数是多少了．甲：听了丙的话，我也知道这个数是多少了．乙：听了甲的话，我也知道这个数是多少了．请问这个数是（）的平方． A．14B．17C．28D．29 2．已知正整数A分解质因数可以写成A=2α×3β×5γ，其中α、β、γ是自然数．如果A的二分之一是完全平方数，A的三分之一是完全立方数，A的五分之一是某个自然数的五次方，那么α+β+γ的最小值是（） A．10B．17C．23D．31 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（共33小题）
3．a1 、a2、…、a10表示10个正整数，取其中的9个数相加，得到一些不同的和：86、87、88、89、90、91、93、94、95，那么a12+a22+…+a102=．4．（1）n为任意大于0的整数，那么2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5除以9的余数是． （2）设2+22+23+…+22015=A，A的各位数字之和为a1，a1的各位数字之和为a2，a2的各位数字之和为a3，…，直到各位数字之和为一位数k，则k=．5．已知四位数满足下面的性质：、、都是完全平方数（完全平方数是指能表示为某个整数平方的数，比如4=22，81=92，则我们就称4、81为完全平方数）．所有满足这个性质的四位数之和为． 6．有些三位数具有下面的性质： （1）去掉百位数字后，剩下的两位数是一个完全平方数； （2）去掉个位数字后，剩下的两位数也是一个完全平方数； 所有满足这些性质的三位数之和为． 7．有A、B、C三个两位数．A是一个完全平方数，而且它的每一位数字都是完全平方数；B是一个质数，而且它的每一位数字都是质数，数字和也是质数； C是一个合数，而且它的每一位数字都是合数，两个数字之差也是合数，并且C介于A、B之间．那么A，B、C这三个数的和是． 8．将2016的四个数字重新编排，组成一个四位完全平方数；那么这个四位完全平方数是． 9．设P是一个平方数．如果q﹣2和q+2都是质数，就称q为P型平方数．例如：9就是一个P型平方数．那么小于1000的最大P型平方数是．10．已知a、b均为小于100的正整数，a﹣2b为质数，且2ab为完全平方数．这样的数对（a、b）有对． 11．五位数是一个完全平方数，那么A+B=． 12．今年是2014年，2014不是完全平方数，但可以将它的各位数字改变顺序，使得到的新四位数是完全平方数，例如1024=322，已知用数字2、0、1、4各一个还能组成另一个四位完全平方数，那么这个新的四位完全平方数是． 13．有这样的正整数n，使得8n﹣7、18n﹣35均为完全平方数．则所有符合要
幼儿园中班数学感知10以内数量——比较10以内数 的多少
幼儿园中班数学感知10以内数量——比较10以内数 的多少 活动目标： 1、教幼儿不受物体大小、排列形式的影响，正确感知10以内数量，比较10以内数量的多、少、一样多。 2、在教师的引导下，运用对应方法观察物体数量的差异。活动准备：教具：大图一（大小碗各10个） 大图二（用各种图形拼成的一副画，每种图形的数量在10以内） 学具：作业纸人手一份（大小不同，数量不同的三排圆点） 活动过程： 一、集体活动 一）比较两排大小不同的碗的多少 1（出示大图一）比较两排碗，小的10个在上面，大的10个在下面，不用一一对应的方 法摆。 2、图上有什么？就这样看，你觉得哪一排的碗更多？ 为什么有的小朋友觉得大碗多？到底谁多谁少呢？你是怎么知道的？ 怎样摆放才能一眼就看出两排碗谁多谁少？ 二）比较图形的多少 1、（出示图二）图上有什么？是用什么图形拼出来的？哪种形状图形多，哪种形状图形少？你是怎么知道的？ 2、启发幼儿运用点数的方法进行比较。 3、点数出来的结果我们可以怎样来记录。请个别幼儿操作，复习记录方法。 三、幼儿操作 1、小朋友，今天老师为你们每人准备了这样的一张作业纸，作业纸上画了三排圆点。要请你们给点子数量最多的那一排打勾。 2、小朋友想想怎样才能知道哪一排子的数量最多呢？ 让幼儿自由发表自己的意见。 3、可以用一一对应的方法，这样一眼就能看出那一排点子的数量最多。 但作业纸上的点子是画上去的，不可以移动，还有什么方法呢？ 用点数的方法。 那这里有三排点子，你怎样才能更好地记住数过的那一排点子的数量呢？ 小结：可以用排除法，数出了一排点子的数量就记住这一排有几个点子，然后数第二排点子的数量，如果第二排的点子数量比第一排多，那就只要记第二排点子的数量了，如果还是第一排的点子数量更多，就还是记住它的数量，再去数第三排点子的数量进行比较。 4、请小朋友用最快的方法去做，看谁做的又快又对。 5、提出作业要求：做作业的时候应该认真思考，做完了检查一遍。也要注意写字的坐姿。 6、幼儿作业。 7、评价幼儿作业情况。
完全平方数及其性质 能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。 例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289, 324,361,400,441,484,… 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。 一、平方数有以下性质： 【性质1】完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 【性质2】奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。 【性质3】如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。 推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。 推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
【性质4】（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数； （2）末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数； 100，10000，1000000是完全平方数， 10，1000，100000等则不是完全平方数。 （3）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 需要说明的是：个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。 但个位数字为1，4，9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。如：21，44，89不是完全平方数，但49，64，81是完全平方数。 【性质5】偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。 这是因为 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 (2k)^2=4k^2
（一）公式倍比 例题：已知b a +=4，求ab b a ++2 2 2。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222 121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则= (二）公式组合 例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab ⑴若()()a b a b -=+=22713，，则a b 22+=____________，a b =_________ ⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++22 ，则a 为 ⑷如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。 ⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求))((2222d c b a ++ （三）整体代入 例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。 例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=20 1x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+= ⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++=
平方数的性质 平方数的性质 一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。 例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441, 484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。 性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。 证明奇数必为下列五种形式之一： 10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9 分别平方后，得 (10a+1)2=100a2+20a+1=20a(5a+1)+1 (10a+3)2=100a2+60a+9=20a(5a+3)+9 (10a+5)2=100a2+100a+25=20(5a+5a+1)+5 (10a+7) =100a+140a+49=20(5a+7a+2)+9 (10a+9)2=100a2+180a+81=20(5a+9a+4)+1 综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。 性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。 证明已知m 2=10k+6，证明k 为奇数。因为的个位数为6，所以m 的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则 10k+6=(10n+4)2=100n2+(8n+1)x10+6 或 10k+6=(10n+6)2=100n2+(12n+3)x10+6 即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1 或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3 ∴ k 为奇数。 推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
幼儿园中班数学活动：几个和第几个 一、活动目标： 1．区分基数和序数，知道几个和第几个的含义。 2．能用序数词正确表示5以内物体排列的次序。 3．能根据参照物的不同，判定某一物体所处的位置。 二、活动准备： 小动物图片若干，人手一份房子图卡、每人一张小动物住楼房的工作单。 ppt演示文稿。 三、活动过程： 1．玩小动物等车的游戏，教师引导幼儿用序数词表述物体在序列中的位置。 师：几只小动物在等汽车，从公共汽车的站牌开始数，**排在哪里？ 2．玩小动物排队游戏，教师引导幼儿对基数和序数进行区分。 师：这里一共有几只小动物？（5只） 从站牌开始数，**排在第几（第5） 3．游戏“找找看”，教师引导幼儿根据参照物的不同，判定某一物体所处的位置。 师：现在从左往右数，谁在第一？谁在第二？谁在第三？。。。。。。 4．进行“小动物搬家”操作活动，复习5以内的序数，进一步理解序数的含义。 （1）出示房子图卡，认识小动物的新家，数一数房子有几层？ （2）请幼儿根据作业单上的要求，将小动物送到相应的房子里。 （3）教师观察指导并检查幼儿的操作情况。 5.师生共同游戏：翻双色片
（1）请幼儿数出5个双色花片，横着排成一排，从左边起把第2个翻成蓝色。 （2）请幼儿将5个双色花片竖着排成一排，从下边起把第3个翻成蓝色。 （3）教师摆双色片，请幼儿说过程 6．延伸游戏：两人合作，一人说要求，一人翻花片。 活动反思： 一、活动的优点 1.注重操作和游戏的趣味性 皮亚杰认为：智慧发端于动作，活动是联结主客体的桥梁，抽象概念的掌握要从动作开始。学习序数，不是仅仅满足于幼儿掌握了序数词，而应注重让幼儿在积极操作的过程中，建构初步的数概念。因此，在活动的设计上，我注重通过操作和游戏进行巩固，并尽可能多的考虑趣味性。“小动物排队”、小动物住楼房”、“翻花片”等一些列的操作活动和游戏活动深受孩子们的喜爱，活动中孩子们思维活跃，积极参与，师幼互动良好。 2.关注序数词的掌握 序数词的掌握是序数教学的重点，活动的第一环节，教师充分抓住幼儿注意力集中的关键时间，结合直观的演示，帮助幼儿理解序数的含义，学习使用序数词正确表示物体的排列次序，较好的把握活动重点，顺利达成教学目标2。 3.利用标志直观地说明判定物体位置的方向 我们知道，物体所处的位置与判定的方向是有关联的，因起始的方向不同，物体排列的位置也不同。但是，中班幼儿对于“左右”空间方位的判别还比较困难，为了解决这个问题，我注重运用手势、标记或箭头标志等辅助指导语，帮助幼儿直观形象的理解“从左往右“或“从右往左”开始数。在游戏巩固环节，我为幼儿提供了带有标
乘法公式的拓展及常见题型整理 例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222 121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---222 2)()1(则= ⑴若()()a b a b -=+=2 2 713，，则a b 22 +=____________，a b =_________ ⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++2 2 ，则a 为 ⑷如果22)()(y x M y x +=+- ，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2 =m ，(a —b)2 =n ，则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-2 2)32()32(， 则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。 ⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求) )((2222d c b a ++ 例题：已知(a+b)2 =7,(a-b)2 =3, 求值: (1)a 2 +b 2 (2)ab 例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=20 1 x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+= ⑵若2=+b a ，则b b a 422 +-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++= ⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 b a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值 是 ． （四）步步为营 例题：3?(22 +1)?(24 +1)?(28 +1)?(162+1) 6?)17(+?(72+1)?(74+1)?(78+1)+1 ()( )()()()224 4 8 8 a b a b a b a b a b -+ +++ 1)12()12()12()12()12()12(3216842++?+?+?+?+?+
第三十一讲完全平方数和完全平方式 设n是自然数，若存在自然数m，使得n=m2，则称n是一个完全平方数(或平方数)．常见的题型有：判断一个数是否是完全平方数；证明一个数不是完全平方数；关于存在性问题和其他有关问题等．最常用的性质有： (1)任何一个完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，个位数字是2，3，7，8的数一定不是平方数； (2)个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数，个位数字为6，而十位数字为偶数的数，也一定不是完全平方数； (3)在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数； (4)任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式； (5)任何整数平方之后，只能是3n或3n+1的形式，从而知，形如3n+2的数绝不是平方数；任何整数平方之后只能是5n，5n+1，5n+4的形式，从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数； (6)相邻两个整数之积不是完全平方数； (7)如果自然数n不是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是偶数；如果自然数n是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是奇数； (8)偶数的平方一定能被4整除；奇数的平方被8除余1，且十位数字必是偶数． 例题求解 【例1】n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全平方数之和． 【例2】一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数． 【例3】一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=52—32，16就是一个“智慧数”．在正整数中从1开始数起，试问第1998个“智慧数”是哪个数?并请你说明理由．
【例4】(太原市竞赛题)已知：五位数abcde满足下列条件： (1)它的各位数字均不为零；(2)它是一个完全平方数； (3)它的万位上的数字a是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数bc以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数de也都是完全平方数． 试求出满足上述条件的所有五位数． 【例5】(2002年北京)能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?若能够，请举出一例；若不能够；请说明理由． 【例6】使得(n2—19n+91)为完全平方数的自然数n的个数是多少?
完全平方数 知识框架 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N为完全平方数?自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质 -，因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且21|n p N 则2|n p N． 性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 二、一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一 定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49， 69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
教学资料参考范本 幼儿园中班数学活动《数数有几个》 撰写人：__________________ 部门：__________________ 时间：__________________
尊敬的各位评委老师： 大家好！今天我模拟上课的内容是幼儿园中班数学活动《数数有 几个》，本活动以鸭妈妈和小鸭捉迷藏为情境线索，鼓励幼儿在找小鸭、数小鸭的过程中，运用目测和手口一致点数的方法，掌握7以内 的数量。在此基础上，和幼儿一起观察小鸭的不同特征，帮助幼儿归纳、整理零散的感性经验，将物体的特征、数量鲜明地凸现出来，使 幼儿感受到蕴含于物体中的数量关系，从而形成初步的数概念，促进 思维能力的发展。 活动前我为孩子们准备了一个交互式课件，通过画面1“小鸭子 在农场里捉迷藏，有的躲在草丛里漏出头上的花，有的躲在放在后面 漏出一只脚等等”，从而达成目标1：通过目测或点数的方法，正确判断7以内的数。画面2“根据7只鸭子的不同特征进行分类，如3只红嘴巴、4只黄嘴巴的；2只没穿肚兜，5只穿肚兜等等？”达成“在观察、比较、分类中，初步感知数与数之间的关系”第2个目标。我还 为孩子们准备了配套的操作卡、记号笔、数字卡等等。下面正式开始 模拟活动： 1.播放课件，引出活动 师：小朋友看大屏幕，谁来了？对了，是鸭子妈妈。今天鸭妈妈 很开心，要和鸭宝宝们玩捉迷藏的游戏！鸭宝宝们躲在了这个农场里，我们一起来找找吧。小鸭子们都躲到哪里了？你们的小眼睛真厉害， 一下子就找到了好几只鸭宝宝。这个农场真大，老师要借个望远镜给 你们仔仔细细地来找一找。你怎么知道小鸭子躲在草丛里的呀？奥， 你看到鸭子头上的花了。你看到了小鸭子的什么？在哪里？你们都想
5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库 教师版 1. 学习完全平方数的性质； 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N 为完全平方数?自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解 中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ． 性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完 全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 模块一、完全平方数计算及判断 【例 1】 已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方? 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法例题精讲 知识点拨 教学目标 5-4-4.完全平方数及应用（一）
中班数学教案按数取物 【篇一：中班数学教案】 中班数学：数物结合（10以内） 活动目标： 1、进一步感知数字10的实际意义。 2、能从多个物品中进行10以内的按数取物或按物取数。 3、乐意与同伴合作开展游戏活动。 活动重点：能从多个物品中进行10以内的按数取物或按物取数。 活动难点：通过实际操作更好的感知数字10的意义。 活动准备： 1、教师材料：教具“数、物拼板” 、“数字与筹码”。 2、幼儿材料：操作卡“数物拼板”。 活动过程： 1. 导入。 ①师幼互相问候②走线，听节奏走步。要求幼儿两只脚始终在线上走，走时按教师喊或拍的节奏边走边数步数，然后跟着音乐做和老 师相应的动作。 2.教师指导操作。 ①学习按物取数。 教师出示教具“数物拼板”，任意拿起一张物卡，请幼儿先数一数并 说出数量，师幼共同点数，检查是否正确，每数完一张物卡，请一 名幼儿取出相应的数卡，与物卡一起拼接完整。 ②学习按数取物。 请幼儿将“数字与筹码”中的数字卡片任意选出几个，根据数字将相 应数量的筹码摆放在数字卡片右方。 3.游戏“掷骰子” 4.自由游戏操作。 幼儿进行操作卡“数物拼板”，进行数物对应，将其拼凑完整。 5.交流小结，收拾、整理材料。 ⑤教师请个别幼儿在控制板上来操作数字13（巩固数物结合） ⑥幼儿操作学具“串珠、数字拼板”。教师可以说出数字11-15中的 任意数字，请幼儿拿出相应的“串珠、数字拼板”在控制板上拼摆。 为了增加幼儿的兴趣，教师可用拍手、跺脚或响板等方式出示数字，让幼儿用“串珠、数字拼板”表示。
3、游戏活动“找数字” ①教师边拍手边问：“小朋友，我问你，12、12在哪里？” 幼儿边拍手边答：“曹老 师，告诉你12、12在这里。”然后迅速举起数字卡片“12”。 ②教师拿走11-15中任意一组串珠、数字拼板，要求幼儿说出哪一组不见了。 ③请说出“13”不见了的幼儿将串珠、数字拼板放回相应的位置上。游戏可反复进行。 4、分组活动 创设情境：还有很多物品想和数字卡片交朋友，我们一起去帮帮忙吧。第一组：两人一组，用雪花片来制作11-15的串珠，并用数字卡片表示数量。 第二组：两人一组玩“对对碰”游戏，活动中拿数字卡的幼儿与拿相应数量物品的幼儿“对对碰”。 第三组：根据数字添画串珠。 5、交流小结，收拾学具。 请第一组幼儿展示并讲解自己与好朋友一起制作串珠的情况；第二组幼儿讲解自己与同伴玩对对碰的情况；请第三组幼儿展示自己添画的图卡，并交流过程。收拾整理学具。 活动延伸 1、完成《操作册》第4册第17-18页的活动。 2、利用散步的机会，点数园内的树木、房舍的窗户等。鼓励幼儿随时关注生活中出现的数字并说出其代表的意义。 教学反思 优点： 1、活动分析比较全面，已经考虑到了幼儿在学习程度掌握的程度上有差异 2、活动目标设定较好，活动准备充分 3、活动思路比较详细、清晰 4、大部分幼儿对于本节活动课的掌握情况较好，课堂氛围较好，幼儿都能很积极地参与到活动中，整节活动进行比较流畅 缺点： 1、游戏有重复，可以将游戏中的活动合二为一。
1 初二秋季·第6讲·提高班·教师版 小人物与大人物 满分晋级 漫画释义 6 因式分解的高端 方法及恒等变形 代数式11级 因式分解的高端方法及 恒等变形 代数式10级 因式分解的常用方法及应用 代数式7级 因式分解的 概念和基本方法
2 初二秋季·第6讲·提高班·教师版 换元法作为一种因式分解的常用方法，其实质是整体思想，当看作整体的多项式比较复杂时， 应用换元法能够起到简化计算的作用． 【引例】 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++ 【解析】 令248x x u ++=， 原式2232()(2)u xu x u x u x =++=++ 又∵248u x x =++ ∴原式22(48)(482)x x x x x x =++++++ 22(58)(68)x x x x =++++ 2(2)(4)(58)x x x x =++++ 典题精练 思路导航 例题精讲 知识互联网 题型一：换元法
3 初二秋季·第6讲·提高班·教师版 【例1】 分解因式： ⑴()() 22353x x x x -----； ⑵()()2 2 1212x x x x ++++-； ⑶()()()()135715x x x x +++++． 【解析】 ⑴解法一：令24x x y --=，则 原式()()113y y =-+- ()()22y y =-+ ()()2262x x x x =---- ()()()()1223x x x x =+-+- 解法二：令23x x y --=，则 原式()23y y =-- 223y y =-- ()()13y y =+- ()()223133x x x x =--+--- ()()2226x x x x =---- ()()()()1223x x x x =+-+-； ⑵令21x x y ++=，则 原式()112y y =+- 212y y =+- ()()34y y =-+ ()()2225x x x x =+-++ ()()()2125x x x x =-+++． 备注：观察题中的形式，可以选择中间值作为整体替换的量，这样能应用平方差公式进行计算，会节省计算量．下面很多题也都可以有多种换元的办法，不一一给出了． ⑶原式()()()()173515x x x x =+++++???????? ()()228781515x x x x =+++++， 设2 87x x y ++=，则 原式()815y y =++ ()()281535y y y y =++=++ ()()22810812x x x x =++++ ()()()226810x x x x =++++． 【例2】 分解因式： ⑴()()()()461413119x x x x x ----+
完全平方数的性质 定义：能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。 例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289, 324,361,400,441,484,… 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。 一、平方数有以下性质： 【性质1】完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 【性质2】奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。 【性质3】如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。 推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。 推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。 【性质4】（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数； （2）末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数； 100，10000，1000000是完全平方数， 10，1000，100000等则不是完全平方数。 （3）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 需要说明的是：个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。 但个位数字为1，4，9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。如：21，44，89不是完全平方数，但49，64，81是完全平方数。 【性质5】偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。 这是因为 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 (2k)^2=4k^2 【性质6】奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。