求多边形边数的两种方法
一、算术方法
我们知道：对于边数是n 的凸多边形而言，其外角的和是常数即360o，与多边形的边数无关。当已知正多边形的一个外角（或内角）α度数大小时，可直接由
α360求出边数。 例1．已知一个正多边形的每个外角都是72o，求多边形的边数。
解：因为外角的和是360o，所以，边数=572
360=. 例2．已知一个正多边形的每个内角都是144o，求多边形的边数。
解：因为正多边形的每个外角都是180o－144o=36o
而外角的和是360o，所以边数=1036
360=. 评注：这种方法对于求正多边形的边数的问题是十分有效的，避免了代入内角和公式()??-1802n 计算时，导致的大量的运算。
二、代数方法
我们知道：对于边数是n 的凸多边形，其内角的和是()??-1802n ，与多边形的边数有关。利用内角的和公式，列方程（组）求边数。
例3．凸多边形除去一个内角之外，其余内角的和为2570o，求边数和该内角的大小。 解：设该内角的度数为α度，边数为n 。由内角和公式()??-1802n 得：
()α+=?-25701802n
18050
16++=αn
因为n 为正整数，?<<1800α
所以：?=?=+13018050αα
17
11618050
16=+=++=αn
评注：利用隐含条件：“n 为正整数，?<<1800α”，求出满足二元一次不定方程的正整数解，是解答上述类型的问题的一般方法。
例4、一个凸多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和是2520o，求原多边形的边数。
分析：一个凸多边形截去一个角后，会出现三种情况：
（1）边数与原凸多边形的边数一样，如图1；
（2）边数比原凸多边形的边数减少1条，如图2；
（3）边数比原凸多边形的边数多1条，如图3。
解：（1）边数与原凸多边形的边数一样，设边数为n 。
()1625201802=?=?-n n
（2）边数比原凸多边形的边数减少1条，边数为15=n ；
（3）边数比原凸多边形的边数多1条，边数为17=n 。
评注：考虑问题必须周密，防止出现遗漏。
如图1 如图2 如图3
例4、已知两个凸多边形的内角和是3600o，并且两个凸多边形的边数比是
1：2，求两个多边形的边数。
解：依题意设两个多边形的边数分别是n 、n 2，则：
()()83600180221802=?=?-+?-n n n
n 2=16。
两个多边形的边数分别为8和16。
三、同步练习：
1． 个凸多边形的每个内角的度数都是150o，求它的边数。
2． 各个内角都相等的凸多边形中，一个外角等于它相邻内角的
2
1，求这个多边形的每一个内角的度数和它的边数。
3． 凸n 边形的内角和与外角和之比是9∶2，求n 的值。
4．两个多边形的边数之比是3：2，内角和之比是7：4，求两个多边形的边数。
同步练习答案：
1. 解法1：因为多边形的每个内角的度数都是150o，
所以，多边形的每个外角的度数都是
180o－150o=30o，
因为凸多边形外角和=360o，
所以边数=360÷30=12。
解法2：()1802?-n =150
n=12
2. 解法1：因为一个外角与它相邻内角的和=180o，设内角为x 度. 所以1201802
1=?=+x x x , ()1802?-n =120n
n=6
3. 解：()112
93601802=?=?-n n 4. 解：设两个多边形的边数分别是：x x 2,3。
所以()()34
718022180
23=?=?-?-x x x 。边数分别是9，6。
知识要点梳理 边形的内角和等于180°（n-2）。 360°。 边形的对角线条数等于1/2·n（n-3） 3、4、6。 拼成360度的角 ：3、4。 巩固提高 一、填空题 1.如果一个多边形的内角和等于900°,那么这个多边形是_____边形. 2.一个正多边形的每个外角都等于30°,则这个多边形边数是______. 3.n边形的外角和与内角和的度数之比为2:7,则边数为_______. 4.从一个多边形的一个顶点出发,一共做了10条对角线,则这个多边形的内角和为_ 度. 5.在四边形ABCD中,如果∠A:∠B:∠C:∠D=1:2:3:4,则∠D=______. 6.一个多边形的内角和是外角和的5倍,那么这个多边形的边数是( ) 7、正n边形的一个外角等于它的一个内角的1 3，则n=________. 8、正n边形的一个内角等于150°，则从这个多边形的一个顶点出发可引_____条对角线. 9、一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为2780°，则除去的这个内角的度数为________. 10.从n边形(n>3)的一个顶点出发，可以画__ _____条对角线，. 这些对角线把n边形分成 ______三角形，分得三角形内角的总和与多边形的内角和_______。 .
11.如果一个多边形的内角和与它的外角和相等，那么这个多边形是____边形。 12.如果一个多边形的内角和等于它的外角和5倍，那么这个多边形是____边形。 13.若n 边形的每个内角都是150°，则n=____。 14.如果一个多边形的每个内角都相等，且内角的度数是与它相邻的外角度数的2倍，那么这个边形的每个内角是_____度，其内角和等于_____度。 15.一个多边形的外角和是它的内角和的41 ，这个多边形是______边形。 16.如果十边形的每个内角都相等，那么它的每个内角都等于______度，每个外角都等于______度。 17.如果一个多边形的内角和等于1800°，则这个多边形是______边形；如果一个ｎ边形每一个内角都是135°，则＝ｎ_____；如果一个ｎ边形每一个外角都是36°，则＝ｎ_____。 18.多边形的边数增加一条时，其外角和 ，内角和增加 . 19.如果一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角都大于135°, 那么这个多边形的边数最少为___. 20.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为9:2,则这个多边形的边数为_. 21.从一个多边形的一个顶点出发,一共做了10条对角线,则这个多边形的内角和为_____度. 22．个多边形的每个外角都是300， 则这个多边形是 边形． 23.一个五边形五个外角的比是2：3：4：5：6，则这个五边形五个外角的度数分别是 ． 23.若凸n 边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是____ 【答案】6 24.如图5，四边形ABCD 中，若去掉一个60o 的角得到一个五边形，则∠1+∠2=_________度． 25.如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE 的4个外角，若∠A=1200，则∠1+∠2+∠3+∠4= .
八年级数学竞赛例题专题讲解：多边形的边与角 阅读与思考 主要是指多边形的边、内外角、对角线、凸多边形、凹多边形等基本概念和多边形内角和定理、外角和定理,其中多边形内、外角和定理是解有关多边形问题的基础． 多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来说明、解决,将多边形问题转化为三角形问题是解多边形问.题的基本策略,转化的方法是连对角线或向外补形． 多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的,但外角和却总是不变的,所以,我们常以外角和的“不变”来制约内角和的“变”,把内角问题转化为外角问题来处理,这是解多边形相关问题的常用技巧． 例题与求解 【例1】两个凸多边形,它们的边长之和为12,对角线的条数之和为19,那么这两个多边形的边数分别是＿＿＿＿和＿＿＿＿． （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：设两个凸多边形分别有m ,n 条边,分别引出 (3)2 m m -,(3)2n n -条对角线,由此得 m ,n 方程组． 【例2】凸边形有且只有3个钝角,那么n 的最大值是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解题思路：运用钝角、锐角概念,建立关于n 的不等式,通过求解不等式逼近求解． 【例3】凸n 边形除去一个内角外,其余内角和为2570°,求n 的值． （山东省竞赛试题） 解题思路：利用n 边形内角和公式,以及边数n 为大于等于3的自然数这一要求,推出该角大小,进而求出n 的值．
【例4】如图,凸八边形ABCDEFGH 的八个内角都相等,边AB ,BC ,CD ,DE ,EF ,FG 的长分为7,4,2,5,6,2,求该八边形的周长． （全国通讯赛试题） 解题思路：该八边形每一内角均为135°,每一外角为45°,可将八边形问题转化为特殊三角形解决、特殊四边形加以解决． 【例5】如图所示,小华从M 点出发,沿直线前进10米后,向左转20°,再沿直线前进10米后,又向左转20°,…这样走下去,他第一次回到出发地M 时,行走了多少米？ 解题思路：试着将图形画完,你也许就知道答案了． 能力训练 A 级 1．如图,凸四边形有＿＿＿个；∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝＿＿＿． C D E F G H M
正多边形的有关计算 一、素质教育目标 (一)知识教学点 使学生学会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题． (二)能力训练点 1．通过定理的证明过程培养学生观察能力、推理能力、概括能力； 2．通过一定量的计算，培养学生正确迅速的运算能力； 3．通过用不同方法求正多边形的内角，培养学生的发散思维能力和选优意识； 4．从具体边数的正n边形得到一般正n边形的计算图培养学生化归、转化的数学思想． (三)德育渗透点 1．由具体边数的正多边形计算图过渡到一般计算图，渗透了“从特殊到一般，再由一般到特殊”的辩证唯物主义认识观； 2．正多边形计算图的得出渗透了化繁为简、化难为易二矛盾相互依存、相互转化的思想； 3．通过正多边形的有关计算，培养学生仔细认真、一丝不苟、严谨的科学态度； 4．通过正多边形有关计算公式的推导，培养学生不断探索科学奥秘的创新精神． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．重点：1．化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理．2．正多边形计算图及其应用． 2．难点：正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算．
3．疑点及解决方法：学生对只画出正n边形的一部分图形的计算图生疏，用它分析、计算有疑虑．为此计算图的抽象应由具体边数的正多边形计算图逐步过渡． 三、教学步骤 (一)明确目标 前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质，今天我们来学习正多边形的有关计算． (二)整体感知 大家知道正多边形在生产和生活中有广泛的应用性，伴随而来的有关正多边形计算问题必然摆在大家的面前，如何解决正多边形的计算问题，正是本堂课研究的课题． (三)重点、难点的学习与目标完成过程 哪位同学回答，什么叫正多边形．(安排中下生回答：各边相等，各角相等的多边形．) 什么是正多形的边心距、半径？(安排中下生回答：正多边形内切圆的半径叫做边心距．正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．) 正多边形的边有什么性质、角有什么性质？(安排中下生回答：边都相等，角都相等．) 什么叫正多边形的中心角？(安排中下生回答：正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角．) 正n边形的中心角度数如何计算？(安排中下生回答：中心角的度数 正n边形的一个外角度数如何计算？(安排中下生回答：一个外角度 哪位同学有所发现？(安排举手学生：正n边形的中心角度数=正n边形的一个外角度数．)
正多边形的有关计算(一) 教学目的：1、使学生学会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题．2、通过定理的证明过程培养学生观察能力、推理能力、概括能力；3、通过一定量的计算，培养学生正确迅速的运算能力；教学重点：化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理；正多边形计算图及其应用．教学难点：正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算．教学过程：一、新课引入：前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质，今天我们来学习正多边形的有关计算．大家知道正多边形在生产和生活中有广泛的应用性，伴随而来的有关正多边形计算问题必然摆在大家的面前，如何解决正多边形的计算问题，正是本堂课研究的课题．二、新课讲解：哪位同学回答，什么叫正多边形．(安排中下生回答：各边相等，各角相等的多边形．)什么是正多形的边心距、半径？(安排中下生回答：正多边形内切圆的半径叫做边心距．正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．)正多边形的边有什么性质、角有什么性质？(安排中下生回答：边都相等，角都相等．)什么叫正多边形的中心角？(安
排中下生回答：正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角．)正n 边形的中心角度数如何计算？(安排中下生回答：中心角的度数正n 边形的一个外角度数如何计算？(安排中下生回答：一个外角度哪位同学有所发现？(安排举手学生：正n边形的中心角度数=正n边形的一个外角度数．)哪位同学记得n边形的内角和公式？(请回忆起来的学生回答)．哪位同学能根据n边形内角和定理和正n边形的性质给出求正n边形一个内角度数的公式？(安排中下生回答：正n边形每个内角度数正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角有何数量关系？(安排中下生回答：互补)．根据正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角的互补关系和正n边形每个外角度数公式，正n边形每个内角度数又可怎样计算？(安排中(幻灯展示练习题，学生思考，回答)1．正五边形的中心角度数是______；每个内角的度数是______；2．一个正n边形的一个外角度数是360°，则它的边数n=______，每个内角度数是______；3．一个正n边形的一个内角的度数是140°，则它的边数n=______，中心角度数是______．对于前2题安排中下生回答，对于第3题不仅要回答题目的答案而且要求回答思路．解此方程n=9．幻灯展示正三角形、正方形、正五边形、正六边形．如图7-138，让学生边观察、边回答老师依次提出的问题、边思考．1．观
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ A B C D 第3题 第7题 11.3.1 多边形 一、选择题 1.下列图形中，是正多边形的是（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.长方形 D.正方形 2.九边形的对角线有（ ） A.25条 B.31条 C.27条 D.30条 3. 如图，下面四边形的表示方法：①四边形ABCD ；②四边形ACBD ；③四边形ABDC ；④四边形ADCB ．其中正确的有（ ） A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种 4. 四边形没有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是（ ） A ．四边形的边长 B ．四边形的周长 C ．四边形的某些角的大小 D ．四边形的内角和 5.下列图中不是凸多边形的是（ ）
6．（2006?柳州）把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（） A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形 7．如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为 （） A．34cm B．32cm C．30cm D．28cm 8．下列图形中具有稳定性的有（） A．正方形B．长方形C．梯形D．直角三角形 二、填空题 9．以线段a=7，b=8，c=9，d=11为边作四边形，可作_________个. 10．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是_________边形. 11．在平面内，由一些线段________________相接组成的_____________叫做多边形。 12．多边形_________组成的角叫做多边形的内角。 13．多边形的边与它的的邻边的__________组成的角叫做多边形的外角。 14．连接多边形_________的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 15．_________都相等，_________都相等的多边形叫做正多边形。 16．在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC=6cm，BD=10cm，则四边形ABCD的面积等于_________． 17．将一个正方形截去一个角，则其边数_________． 18．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是_________．
初中数学：求凸多边形的边数 凸多边形的边数与顶点数、内角和、外角和、对角线条数都有着相依的关系，分析这些关系，便可确定边数。 例1、如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，求原来多边形的边数。 分析：设原来多边形的边数为n，那么边数增加1倍后的多边形边数为2n，内角和为，由题意得： 解得： 故原多边形的边数是7。 例2、两个多边形，边数的比为1：2，内角和度数的比为1：3，求这两个多边形的边数。 分析：设两个多边形的边数分别为n，2n由多边形内角和定理，可求得两个多边形的内角和分别为 由题意，得： 解得： 所以这两个多边形的边数分别为4，8。
例3、如果一个多边形的每一个外角都等于36°，那么这个多边形的边数是________。 分析：若设多边形的边数为n，则这个多边形有n个外角，由题设知每个外角都等于36°，从而求得多边形的外角和是n·36°，因为任意多边形的外角和等于360°。 所以得方程，解得。 故得这个多边形的边数是10。 例4、若一个多边形的每一个内角都是钝角，则这样的多边形边数最少是一个（）边形。 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 分析：多边形的内角与它相邻的一个外角互为邻补角。由题设知，多边形的每一个内角都是钝角，所以其每一个外角都是锐角。而多边形的外角和恒等于360°，4个锐角的和小于360°，至少5个或5个以上锐角的和才可能等于360°，如正五边形，故选A。 例5、已知一个多边形的外角和等于内角和的三分之一，求这个多边形的边数。
解：设多边形的边数为n，则这个多边形的内角和是，而外角和是 由题意，得 解之，得 答：这个多边形的边数是8。 例6、已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，求此多边形的边数与内角和。 分析：设此多边形的边数是n，则从这个多边形的一个顶点出发的对角线共有条，根据题意，得方程 解得 当时， 故此多边形是六边形，其内角和是720°。 例7、过多边形一个顶点的所有对角线把这个多边形分成5个三角形，则此多边形是___________边形。 分析：设此多边形的边数是n，则从n边形的一个顶点可引条对角线，这条对角线把n边形分成了个三角形 根据题意，得 解得
仅供个人参考 不得用于商业用途 For personal use only in study and research; not for commercial use 教你求多边形的边数 ◎江苏 宋爱华 求一个多边形的边数，条件各有不同，方法也就很多.归纳起来，主要有以下几种： 一、利用内角和求 例1 一个多边形的内角和等于1080°，求它的边数. 分析：本题用多边形的内角和公式可直接列方程求解. 解：设这个多边形的边数为n ，由题意，得)2(-n ×180°＝1080°，解得8=n . 点评：当直接或间接知道多边形的内角和时，可根据内角和公式?-)2(n 180°列方程来求其边数. 二、利用外角和求 例2 一个多边形的每一个内角都等于150°，则它的边数为 . 分析：此题可以从外角考虑，因为多边形的内角与相邻的外角互补，每个内角为150°，则每个外角为30°，再用外角和定理求边数n . 解：因为多边形的每个内角为150°，所以多边形的每个外角为30°. 又因为多边形的外角和为360°，所以多边形的边数为360°÷30°＝12. 点评：当直接或间接知道多边形的每个外角的度数都相等时，可利用外角和360°除以外角的度数求其边数. 三、利用对角线求 例3 一个多边形的对角线条数等于它的边数的2倍，求它的边数. 分析：本题可利用多边形对角线的条数公式结合题意列方程求解. 解：设这个多边形的边数为n ， 因为n 边形的对角线的条数为 )3(21-n n ，根据题意，得n n n 2)3(21=-. 解得7=n . 点评：从n 边形的一个顶点出发，可以引)3(-n 条对角线，n 边形共有 2 )3(-n n 条对角线.故知道了多边形的对角线的条数或与边数的关系，就可以列方程求出多边形的边数.
求多边形边数的两种方法 一、算术方法 我们知道：对于边数是n 的凸多边形而言，其外角的和是常数即360o，与多边形的边数无关。当已知正多边形的一个外角（或内角）α度数大小时，可直接由 α360求出边数。 例1．已知一个正多边形的每个外角都是72o，求多边形的边数。 解：因为外角的和是360o，所以，边数=572 360=. 例2．已知一个正多边形的每个内角都是144o，求多边形的边数。 解：因为正多边形的每个外角都是180o－144o=36o 而外角的和是360o，所以边数=1036 360=. 评注：这种方法对于求正多边形的边数的问题是十分有效的，避免了代入内角和公式()??-1802n 计算时，导致的大量的运算。 二、代数方法 我们知道：对于边数是n 的凸多边形，其内角的和是()??-1802n ，与多边形的边数有关。利用内角的和公式，列方程（组）求边数。 例3．凸多边形除去一个内角之外，其余内角的和为2570o，求边数和该内角的大小。 解：设该内角的度数为α度，边数为n 。由内角和公式()??-1802n 得： ()α+=?-25701802n 18050 16++=αn 因为n 为正整数，?<<1800α 所以：?=?=+13018050αα
17 11618050 16=+=++=αn 评注：利用隐含条件：“n 为正整数，?<<1800α”，求出满足二元一次不定方程的正整数解，是解答上述类型的问题的一般方法。 例4、一个凸多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和是2520o，求原多边形的边数。 分析：一个凸多边形截去一个角后，会出现三种情况： （1）边数与原凸多边形的边数一样，如图1； （2）边数比原凸多边形的边数减少1条，如图2； （3）边数比原凸多边形的边数多1条，如图3。 解：（1）边数与原凸多边形的边数一样，设边数为n 。 ()1625201802=?=?-n n （2）边数比原凸多边形的边数减少1条，边数为15=n ； （3）边数比原凸多边形的边数多1条，边数为17=n 。 评注：考虑问题必须周密，防止出现遗漏。 如图1 如图2 如图3 例4、已知两个凸多边形的内角和是3600o，并且两个凸多边形的边数比是 1：2，求两个多边形的边数。
实验三多边形的有效边表填充算法 一、实验目的与要求 1、理解多边形的扫描转换原理、方法； 2、掌握有效边表填充算法； 3、掌握链表的建立、添加结点、删除节点的基本方法； 3、掌握基于链表的排序操作。 二、实验内容 在实验二所实现工程的基础上，实现以下内容并把实现函数封装在类 CMyGL 中。 1、C++实现有效边表算法进行多边形扫描转换 2、利用1进行多边形扫描转换和区域填充的实现； 三、实验原理 请同学们根据教材及上课的PPT独立完成。 四、实验步骤（程序实现）。 1、建立并选择工程项目。打开VC6.0->菜单File 的New 项,在projects 属性页选择MFC AppWizard(exe)项，在Project name 中输入一个工程名,如“Sample”。单文档。 2、新建一个图形类。选择菜单Insert New class，Class type 选择“Generic Class”，Name 输入类名，如“CMyCG。 3、向新建的图形类中添加成员函数（实际就是加入实验要求实现的图形生成算法的实现代码）。在工作区中直接鼠标右键单击，选择“Add Member Function…”项，添加绘制圆的成员函数。 void PolygonFill(int number, CPoint *p, COLORREF color, CDC* pDC) 添加其他成员函数： CreatBucket(); CreatET(); AddEdge(); EdgeOrder(); 4、成员函数的实现。实现有效边表填充算法。这一部分需要同学们去实现。 参考实现： 多边形的有效边表填充算法的基本过程为： 1、定义多边形： 2、初始化桶 3、建立边表 4、多边形填充 1)对每一条扫描线，将该扫描线上的边结点插入到临时AET表中，HeadE. 2)对临时AET表排序，按照x递增的顺序存放。 3)根据AET表中边表结点的ymax抛弃扫描完的边结点，即ymax>=scanline 4)扫描AET表，填充扫描线和多边形相交的区间。
正多边形的计算之万法归宗解直角三角形 仪陇县银山初级中学董兴胜各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形，正多边形的外接圆和内切圆的圆心重合叫正多边形的中心。外接圆半径叫正多边形的半径.内切圆的半径叫正多边形的边心距。正多边形的每 一边所对的圆心角叫中心角,中心角的度数是 n 360。 笔者在教学中，发现学生对涉及有关正多边形的计算时，比如计算正多边形的边长，半径，正多边形的周长，正多边形的面积，或者是两个正多边形有关比值的计算，往往无从下手，表现在一遇到题就去画图，下手就算，既费时，又方向不清，结果往往是无功而返。通过多年的教学经验总结，提出了化归思想，即任何正多边形的计算问题都可以转化为一个重要的直角三角形，从而将正多边形的问题转化为解直角三角形的问题。 首先来认识一下正多边形的基本知识，仅以N＝３，４５６为例。 一计算正N边形的内角（如下图） 很容易知道正n边形的每个内角都等于 二将正N边形分割成等腰三角形（如下图所示） 设O为各正多边形的中心，即外接圆和内切圆的圆心，正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形． 三将正N边形分割成直角三角形（如下图所示）
这一步只需要作正多边形的边心距，边心距又把上一步n 个等腰三角形分成了个２N 个直角三角形，这些直角三角形也是全等 的．因此正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。 通过这三步，实质是把正多边形的问题向直角三角形转化．由于这些直角三角形的斜边都是正n 边形的半径R ，一条直角边是正n 边形的边心距r n ，另一条直角边是正n 边形边长a n 的一半，一 个锐角是正n 边形中心角 的一半，即 ，所以，就把正n 边形的有关计算归结为解直角三角形问题．为了让学生理解深刻，容易记忆，笔者特总结出如下的口诀和图形： 一个中心，两条半径， 两半径之夹角等于中心角之一半，半径夹角之对边等于边长之一半
专题14 多边形的边与角 阅读与思考 主要是指多边形的边、内外角、对角线、凸多边形、凹多边形等基本概念和多边形内角和定理、外角和定理，其中多边形内、外角和定理是解有关多边形问题的基础． 多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来说明、解决，将多边形问题转化为三角形问题是解多边形问.题的基本策略，转化的方法是连对角线或向外补形． 多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，但外角和却总是不变的，所以，我们常以外角和的“不变”来制约内角和的“变”，把内角问题转化为外角问题来处理，这是解多边形相关问题的常用技巧． 例题与求解 【例1】两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为19，那么这两个多边形的边数分别是＿＿＿＿和＿＿＿＿． （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：设两个凸多边形分别有m ，n 条边，分别引出(3)2 m m -，(3) 2n n -条对角线，由此得m ， n 方程组． 【例2】凸边形有且只有3个钝角，那么n 的最大值是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解题思路：运用钝角、锐角概念，建立关于n 的不等式，通过求解不等式逼近求解．
【例3】凸n 边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求n 的值． （山东省竞赛试题） 解题思路：利用n 边形内角和公式，以及边数n 为大于等于3的自然数这一要求，推出该角大小，进而求出n 的值． 【例4】如图，凸八边形ABCDEFGH 的八个内角都相等，边AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FG 的长分为7，4，2，5，6，2，求该八边形的周长． （全国通讯赛试题） 解题思路：该八边形每一内角均为135°，每一外角为45°，可将八边形问题转化为特殊三角形解决、特殊四边形加以解决． 【例5】如图所示，小华从M 点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前进10米后，又向左转20°，…这样走下去，他第一次回到出发地M 时，行走了多少米？ 解题思路：试着将图形画完，你也许就知道答案了． D E F G H M
§5.1多边形 〖课堂练习〗 1、 已知：四边形四个内角之比为3：3：5：4，求它的四个内角。 2、 如图：AB=BC ，BD 平分∠ABC ，∠A=70°，∠ABC=80°，求∠C 和∠ADC 的度数。 3、 如果n 边形的边数每增加一条，则它的内角和增加多少？ 4、 过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，求这个多边形的边数。 5、 一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2750°，求这个内角。 6、 如果各角都相等的多边形的一个内角是它的外角的n 倍，求这个多边形的边数。 7、 如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，求多边形原来的边数。 A B C D
8、一个多边形的每个一个外角都相等，且小于45°，则这个多边形的边数至少有多少？ 9、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，BC=23,CD=5，DA=3，求四边形的面积。 10、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，∠A：∠C=1：2，求BC和AD的长。 A D B C 〖课后作业〗 1、有一个边长为4m的正六边形客厅，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（） A、216块 B、288块 C、384块 D、512块 2、一个八边形ABCDEFGH的每个内角都相等，边AB，BC，CD，DE，EF，FG的长分别为7，4，2，5，6，2。求这个八边形的周长。 3、已知△ABC是边长为2的等边三角形，△ACD是一个含有30o角的直角三角形，现将△ABC 和△ACD拼成一个凸四边形ABCD。（1）画出四边形ABCD；（2）求出四边形ABCD的对角线BD 的长。
求多边形边数的方法 求多边形的边数是“多边形及其内角和”一节的常见题型，本文将举例介绍几种求多边形边数的方法，以供读者学习参考. 一. 利用多边形的内角和公式计算 例1.已知一个多边形的内角和是1440o ，则这个多边形的边数是_______. 解：设这个多边形的边数为n ，由多边形的内角和公式，得 (2)1801440n -?=o o ， 化简得28n -= 解得10n =，即该多边形的边数为10 . 例2.已知一个多边形的每一个内角都是160o ，则这个多边形是______边形. 解: 设这个多边形的边数为n ，由多边形的内角和公式，得 (2)180160n n -?=o o 解得18n = 即该多边形是18边形. 二.利用多边形的内角和的特性计算 例3.在一个多边形中，除去一个内角外的其它内角之和为1205o ，则这个多边形的边数是_______. 解：因为“n 边形的内角和等于(2)180n -?o ” 所以，n 边形的内角和必为180o 的整倍数， 而12051806125=?+o o o ，（注：可知除去的这个内角度数为18012555-=o o o ） 所以该多边形的内角和应为180o 的7倍. 即27n -=，解得9n =. 即该多边形的边数为9 . 例4.已知一个多边形的所有内角与它的一个外角的和是2400o ，求这个多边形小边数.
解：因为24001801360=?+o o o ，又n 边形的内角和必为180o 的整倍数 ， 所以该多边形的内角和应为180o 的13倍 （注：可知增加的这个外角为60o ） 即213n -=，解得15n =， 即该多边形的边数为15. 三.利用多边形的外角和性质计算 例5.已知一个多边形的每一个外角都等于30o ，则这个多边形的边数是____. 解：设这个多边形的边数为n ，由“多边形的外角和等于360o ”得 30360n =o o ，解得12n = 即该多边形的边数为12. 四.综合利用多边形的内、外角和性质计算 例6.如果一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，那么这个多边形的边数是____. 解：设这个多边形的边数为n ，由多边形的内角和与外角和性质，得 (2)1803603n -?=?o o ，化简得26n -= 解得8n =，即该多边形的边数为8. 五.利用多边形内角的范围计算 例7.已知一个n 边形的(1)n -个内角的和为1160o ，求该多边形的边数n . 解：易知多边形的任意一个内角α是：0180α< 1、三角形的面积=（），字母表示为（）。平行四边形的面积=（），字母表示为（） 2、一个直角三角形，它的两条直角边分别是6cm和8cm，它的面积是（）cm2。 3、一个梯形的上底是6厘米，下底是10厘米，高是0.4分米，它的面积是（）平方厘米。 4 、一个平行四边形的底是21分米，高是底的2倍，平行四边形的面积是（）平方米。 5、一个等腰梯形的面积是20平方米，高是4米，下底是3米，上底是（）米。与它等底等高的三角形的面积是（）平方厘米。 6、一个平行四边形面积60平方厘米，底10厘米，高（）厘米。 7、 120公顷=( )平方千米 5.64公顷=( )平方米456000平方米=( )公顷 1.2平方米=( )平方厘米 8平方米=( )平方分米=( )平方厘米 8、一个三角形的底是3.6分米，高是4.8分米，与它等底等高的平行四边形面积是( )平方分米，这个三角形的面积是（）。 9、梯形的上底是18厘米，下底是22厘米，高是15厘米，面积是( )平方厘米。 10、一个平行四边形底是12厘米，面积是96平方厘米，它的高是( )厘米。 11、两个相同的三角形拼成了一个底是8.5厘米，高是6厘米的平行四边形，这个三角形的底是( )，高是( ) 12、把一个平行四边形框架拉成一个长方形框架，周长( ),面积( )。 13、一个梯形的面积是16平方分米，上底是3分米，下底是5分米，高是 ( )分米。 14、平行四边形的底扩大到原来的2倍，高不变，则面积( )倍。 15、一个三角形的底是5厘米，高是底的2倍，那么它的面积是( )。 16、一个等腰直角三角形的面积是32平方厘米，它的直角边长是( )厘米。 17、一个两位小数，保留一位小数后是8.4 ，这个两位小数最大是（），最小是（）。 求凸多边形的边数10例 屈敬根 邱承雍 凸多边形的边数与顶点数、内角和、外角和、对角线条数都有着相依的关系，分析这些关系，便可确定边数，下列列举十例予以说明。 例1. 如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，求原来多边形的边数。 分析：设原来多边形的边数为n ，那么边数增加1倍后的多边形边数为2n ，内角和为()22180n o -?，由题意得： ()?=??-216018022n 解得：n =7 故原多边形的边数是7。 例2. 两个多边形，边数的比为1：2，内角和度数的比为1：3，求这两个多边形的边数。 分析：设两个多边形的边数分别为n ，2n 由多边形内角和定理，可求得两个多边形的内角和分别为()()n n o o -?-?218022180， 由题意，得：()()n n o o -?-?=21802218013 解得：n n ==428， 所以 这两个多边形的边数分别为4，8。 例3. 如果一个多边形的每一个外角都等于36°，那么这个多边形的边数是________。 分析：若设多边形的边数为n ，则这个多边形有n 个外角，由题设知每个外角都等于36°，从而求得多边形的外角和是n ·36°，因为任意多边形的外角和等于360°。 所以得方程 n o o ·36360=，解得n =10。 故得这个多边形的边数是10。 例4. 若一个多边形的每一个内角都是钝角，则这样的多边形边数最少是一个（ ）边形。 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 分析：多边形的内角与它相邻的一个外角互为邻补角。由题设知，多边形的每一个内角都是钝角，所以其每一个外角都是锐角。而多边形的外角和恒等于360°，4个锐角的和小于360°，至少5个或5个以上锐角的和才可能等于360°，如正五边形，故选A 。 例5. 已知一个多边形的外角和等于内角和的三分之一，求这个多边形的边数。 解：设多边形的边数为n ，则这个多边形的内角和是()n o -?2180，而外角和是360o 由题意，得 ()13 2180360n o o -?= 解之，得 n =8 答：这个多边形的边数是8。 例6. 已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，求此多边形的边数与内角和。 分析：设此多边形的边数是n ，则从这个多边形的一个顶点出发的对角线共有()n -3条，根据题意，得方程2（n －3）=n 解得 n =6 当n =6时，()()n o o o -?=-?=218062180720 故此多边形是六边形，其内角和是720°。 例7. 过多边形一个顶点的所有对角线把这个多边形分成5个三角形，则此多边形是___________边形。 分析：设此多边形的边数是n ，则从n 边形的一个顶点可引()n -3条对角线，这()n -3条对角线把n 边形分成了（n －2）个三角形 根据题意，得 n －2=5 解得 n =7 课堂精练： 1、一个多边形，它的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数是 （ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2、一个多边形， 它的每个内角都等于相邻外角的5倍， 则这个多边形是( ) A ．正五边形 B ．正十边形 C ．正十二边形 D ．不存在． 3、n 边形所有对角线的条数是( ) A.(1)2 n n - B.(2)2n n - C.(3)2 n n - D. (4)2 n n - 4.如果多边形的内角和是外角和的k 倍，那么这个多边形的边数是( ) A.k B.2k+1 C.2k+2 D.2k-2 5.若把一个多边形的顶点数增加一倍，它的内角和是25200，那么原多边形的顶点数为( ) A.8 B.9 C.6 D.10 填空题精练： 1.用正三角形和正六边形镶嵌,在每个顶点处有_______个正三角形和_____ 个正六边形,或在每个顶点处有______个正三角形和________个正六边形. 2.用正多边形镶嵌,设在一个顶点周围有m 个正方形、n 个正八边形,则m=_____,n=______. 3.用一种正五边形或正八边形的瓷砖_______铺满地面.(填“能”或“不能”) 4.一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是 边形. 5.多边形的边数增加一条时，其外角和 ，内角和增加 . 6.一个多边形的内角和是外角和的5倍,那么这个多边形的边数是 . 7.从n 边形的一个顶点出发,最多可以引______条对角线, 这些对角线可以将这个多边形分成__个三角形. 8.如果一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角都大于135°, 那么这个多边形的边数最少为___. 9.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为9:2,则这个多边形的边数为_. 10.每个内角都为144°的多边形为_________边形. 正多边形的有关计算 教学设计示例1 教学目标： （1）会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题； （2）巩固学生解直角三角形的能力，培养学生正确迅速的运算能力； （3）通过正多边形有关计算公式的推导，激发学生探索和创新． 教学重点: 把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题． 教学难点: 正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算． 教学活动设计: （一）创设情境、观察、分析、归纳结论 1、情境一：给出图形． 问题1：正n边形内角的规律． 观察：在图形中，应用以有的知识（多边形内角和定理，多边形的每个内角都相等）得出新结论． 教师组织学生自主观察，学生回答．（正n边形的每个内角都等于．） 2、情境二：给出图形． 问题2：每个图形的半径，分别将它们分割成什么样的三角形？它们有什么规律？ 教师引导学生观察，学生回答． 观察：三角形的形状，三角形的个数． 归纳：正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形． 3、情境三：给出图形． 问题3：作每个正多边形的边心距，又有什么规律？ 观察、归纳：这些边心距又把这n个等腰三角形分成了个直角三角形，这些直角三角形也是全等的． （二）定理、理解、应用： 1、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全等的直角三角形． 2、理解：定理的实质是把正多边形的问题向直角三角形转化． 由于这些直角三角形的斜边都是正n边形的半径R，一条直角边是正n边形的边心距r n，另一条直角边是正n边形边长a n的一半，一个锐角是正n边形中 学科：数学 专题：多边形及其角度计算 主讲教师：傲德 重难点易错点解析 题一 题面：题面：已知，一个凸多边形的每一个内角都是140°，那么这个多边形的边数是多少？内角和是多少？外角和是多少？每一个顶点出发有多少条对角线？共有多少条对角线？ n边形： 内角和=180°(n-2) 外角和=360° 每一个顶点出发的对角线=n-3 对角线总条数= ()3 2 n n- 正多边形： 边长相等、内角相等 金题精讲 题一 题面：现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是（） A．正方形和正六边形 B．正三角形和正方形 C．正三角形和正六边形 D．正三角形、正方形和正六边形 镶嵌问题 题二 题面：下图是为某机器人编制的一段程序，如果机器人在平地上按图所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为m. 多边形外角和 题三 题面： (1)一个多边形对角线的条数等于边数的5倍，则这个多边形的内角和是. (2)一个多边形的每一个内角都等于150°，那么这个多边形的对角线数目是. (3)过m边形的一个顶点有4条对角线，n边形没有对角线，p边形有p条对角线，则边数 为(m+n-p)的正多边形每一个内角的度数是. 根据公式，列方程解决问题 题四 题面：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，那么AE和CF的位置关系是什么？并说明. 多边形内角和在几何题目中的综合应用 思维拓展 题一 题面：在凸十边形的所有内角中，锐角的个数最多是. 内角问题转化为外角 讲义参考答案 重难点易错点解析 题一 答案：9 1260°360° 6 27 金题精讲 题一 答案：A 题二 答案：12 题三 答案：(1)1980°(2)54 (3)108° 题四 答案：AE∥CF 思维拓展 答案：3 大班数学教案多边形 大班数学教案多边形 【篇一：幼儿园中班数学活动：连点成线变图形——三 角形与多边形】 幼儿园中班数学活动：连点成线变图形——三角形与多边形 一、设计意图 在过去的与几何形体相关的活动设计中，我们惯于呈现一个个完整成型的几何形体让孩子观察辨认，在预想的多种感官参与(看看、说说、摸摸等)中、多种形式操作活动(找找、拼拼、剪剪等)中，让孩子们获得我们自以为的对某种几何图形的充分认识。然而，对于这些几何形体从何而来、还有什么样的图形等具有开放性、延展性、启发性、挑战性的问题，老师鲜有思考，也极少能从数学活动这一平台让孩子获得相应的思考引领。 其实，在孩子们辨识的平面图形中，从最简单的三角形到各种不规整的多边形，它们都是几条“线”围成的封闭状图形，其中“线”的数量差异给这些各不相同的图形命名带来便利：有几条边(线)，就是几边形。而“线”，又是从“点”出发的某个方向的延伸。当我们尝试从源头处厘清这些有关平面图形的知识链时，我们很容易就能找到引导孩子通向图形王国的自发、可持续性探索的数学活动平台：连点成线变图形。 二、活动目标 1．在连线活动中，增进对三角形“三条边、三个角”的图形特征的认识。 2．尝试对连点成线所围成的图形进行命名，了解多边形的命名方法。 3．用“连线”方式探索多边形与三角形之间的转换，初步感知图形之间互相转换的内在规律。 三、活动准备 1．背景音乐《雪绒花》、《的士高》，相机。 2．情境创设：蓝色块状星空图(蓝色展板为底，其上零星粘贴适量黄色小圆点作“星星”)围成一片，成“星空”状情境；．另备1块“星空图”，置于黑板上用于示范性操作，或制作相应ppt课件进行操作。 3．油画棒人手1份。 四、活动过程 (一)星星的“三步舞曲”——三角形特征再探秘 1．倾听音乐《雪绒花》，感受音乐三拍子的节奏特点。 提问：这首曲子听上去怎么样?这是一首几拍子的曲子?听到音乐你想干什么? 2．示范操作：连点成线变三角形。 示范：教师在《雪绒花》的音乐背景下，按音乐节奏在星空图上连点成线变出一个个三角形。 提问：小星星跳出了什么样的舞蹈?它们是怎么跳出来的? (三颗星，连成 三条线，围成三角形。) 追问：老师听说三角形有三条边、三个角，谁能从图上的三角形里指给我们看吗? 小结：三条边，就是三个点(星)连成的三条线；三个角，其实就是三颗星和它们旁边的两条线夹起来的地方。 3．寻找和探索：身体上的“角”和“三角形”。 求多边形的边数“五法” 李茂瑞 一、利用内角和公式 例1. 若一个正多边形的每个内角都等于120°，则它是（ ） A. 正方形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正八边形 解：设这个正多边形的边数为n ，则根据多边形的内角和公式，得??=??-120n 180)2n (。 解得n=6 故选C 二、利用外角和公式 例2. 若一个多边形的每个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于________________度。 解：设这个多边形的边数为n ，则根据多边形的外角和公式，得?=??36036n 。 解得n=10 所以该多边形的内角和为?=??-1440180)210( 三、综合利用内角和、外角和公式 例3. 若一个多边形的内角和等于该多边形的外角和的2倍，求这个多边形的边数。 解：设这个多边形的边数为n ， 则根据题意，得2360180)2n (??=??- 解得n=6 所以这个多边形的边数为6。 四、利用内、外角的相互转化 例4. 若n 边形的每个外角都等于45°，则n=_________________。 解：因为n 边形的每个外角都等于45°，所以n 边形的每个内角都等于?=?-?13545180。由多边形的内角和公式，得??=??-135n 180)2n (。 解得n=8 例5. 如果正n 边形的每个内角都是108°，那么n 的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解：由于正n 边形的每个内角都相等，且都是108° 所以它的每个外角都等于180°－108°=72° 因为n 边形的外角和为360° 所以?=??36072n 解得n=5五年级数学多边形
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