基于方差缩减的高维美式期权Monte Carlo模拟定价
陈金飚;林荣斐
【摘要】American options allow holders to execute an order at any moment before due date.However, the pricing of American options is comparatively complicated because it involves the optimal stopping rule.Monte Carlo method is flexible and easy to implement.Besides, its error estimation and convergence rate are independent of the dimension of the problem, providing Monte Carlo method a great advantage over classical numerical approaches in option pricing.This paper combines the Least Square Monte Carlo method with some variance reduction techniques and a memory reduction approach to price multi-asset American-style options, then compares the efficiency of different variance reduction techniques, and analyzes their application.%美式期权给予持有者在到期日之前任何时刻的权利,因涉及最佳执行时刻问题定价较为复杂.Monte Carlo方法其估计误差及收敛速度与问题的维数独立,可较好地处理高维衍生证券问题,且方法灵活易于实现.利用最小二乘蒙特卡洛方法(LSM),结合存储量减小技术与方差缩减技术,将 Monte Carlo 模拟方法应用于多标的资产的美式期权定价,并比较、分析了不同方差缩减技术的效果及适用范围.
【期刊名称】《浙江大学学报（理学版）》
【年(卷),期】2017(044)005
【总页数】6页(P542-547)
【关键词】MonteCarlo方法;美式期权;方差缩减技术;定价
【作者】陈金飚;林荣斐
【作者单位】台州学院数学与信息工程学院, 浙江台州 317000;台州学院数学与信息工程学院, 浙江台州 317000
【正文语种】中文
【中图分类】O242.28
近年来随着数据分析和计算机技术的飞速发展，高维美式期权的定价方法取得了实质性的突破[1-8]，但随着美式期权维数的增加,存在所谓的“维数灾难”问题.为了克服这一难题,研究者将Monte Carlo模拟美式期权定价作为重要的研究主题 [9-10].
假设d维无红利标的资产x=(x1,x2，…，xd)满足几何布朗运动
其中,r为无风险利率，dWi为标准维纳过程，波动率矩阵V=[νij]由协方差矩阵
C=VVT决定，C=[cij]是d×d的协方差矩阵，且cij=ρijσiσj，σk为资产k的波动率，ρij为dWi和dWj的相关系数.假设初始时刻为0，到期时刻为T，把期权有效期划分为c个小时间段，每个时间段长度为Δt=，此时时间轴就离散化为εk.设模拟c条路径，由高维Ito引理，第i条路径可定义为
其中为资产k在时刻j上第i条路径的模拟价格
为d个独立同分布的标准正态变量所组成的向量.
本文研究的美式看跌期权的收益均由标的资产价格的最大值决定，即期权收益为BOYLE等[11]对美式期权的Monte Carlo模拟方法做了详细介绍和综述，其中提到：每生成一列Sti(i=0，1，…，N)的路径后，一个明显的估计量为
但此估计量是偏高的，即这是因为人们试图寻找一个无偏估计，但束划分方法、
BARRAQUAND等[12]的分层状态汇总法得到的均为有偏估计量，而且偏差无法估计.BROADIE等[13]回避了有偏估计问题，提出了2个估计量，一个偏高，一个偏低，但两者都收敛且渐近无偏，得到一个期权价格的置信区间.这些美式期权模拟算法有一个共同点，就是需要把模拟的股价路径先储存下来，再利用动态规划思想进行计算.不同点在于用不同的方法衡量和计算继续持有的价值，如束划分方法把继续持有的价值定义为价格贴现的平均值.
LONGSTAFF等[14]利用最小二乘法确定了一个“期望函数”，并以期望函数的值作为期权继续持有的价值，与立刻执行的价值进行比较，决定是否提前执行.LSM 方法的具体过程为：首先对每条模拟路径，求出tN时刻的期权收益，作为相应路径在tN时刻的期权收益贴现到tN-1时刻的现金流Y关于tN-1时刻d个标的资产的价格向量X的线性回归，用最小二乘法求出回归系数，称所得的函数为条件期望函数.对期权收益为正的路径，将tN-1时刻的X值代入线性回归函数，求得相应的条件期望函数值.然后比较此值与在tN-1时刻执行的收益大小，以确定期权在该路径上是否提前执行，进而计算tN-1时刻期权的价格.最后重复上述过程，依次计算前面各时刻美式期权的价格，直到t1时刻，计算所有路径期权价格的平均值，取该平均值与0时刻期权价值中较大者作为期权价格的最终估计值.需要强调的是，在作线性回归时， LSM方法仅对处于在值状态(期权收益为正)的路径进行回归，其余路径仅作为贴现，从而减少了计算时间，大大提高了算法的效率.
美式期权的后向性质决定了定价时需要把所有模拟路径存储下来，这对计算机存储量的要求很高.CHAN等[15]提出了一种不用存储所有模拟路径的简化算法.该方法主要基于模型中的2个重要性质：计算机生成的随机数具有伪随机性，即随机数可由“种子”确定和几何布朗运动的特点.一方面从式(1)可以得到所有路径的表达式：
1≤i≤M，
其中S0为初始资产价格向量和均为d维向量.可见要计算最终股价模拟值无须把
所有随机数都记录下来，只要求即可.另一方面，由式(1)得
其中,k=1，2，…，d，j=1，2，…，N，i=1，2，…，M.式(4)表明，在给定的条
件下，要计算，只需要计算随机数向量即可，而相应的随机数可由存储的相应种子确定.该方法大大降低了计算机存储量，提高了计算效率，可用于计算多标的资产
及路径依赖型的美式期权定价.
文献[10-11]详细介绍了各种方差缩减技术的理论依据，并用数值例子进行了比较
和分析.本文选用了其中2种方法：对偶变量法和控制变量法.用数值例子比较这2
种方法在处理实际问题时的效果.
1.1.1 对偶变量法
对偶变量法利用变量之间的负相关性减小方差.就美式期权定价问题而言，需要利
用服从标准正态分布的随机数计算期权价格.注意到若i服从标准正态分布，则也
如此.具体来说，每次模拟，首先生成随机数序列，并计算期权价格，设算得的期
权价格估计为Y1.然后，把每个随机数用其相反数代替，其余方法完全相同，可得到一个期权价格估计，记为Y2.用2个估计的平均值估计期权价格，即YAV=.重复上述过程，设得到N0个估计值，再取这N0个估计值的平均值作为最终期权价格估计，取它们的样本标准差作为标准差的估计.
下面讨论对偶变量法的方差缩减效果和运算效率.从理论上说，因为估计量Y1和
Y2的方差相同，所以
如果Cov[Y1,Y2]≤Var(Y1)，那么就有Var(YAV)≤Var(Y1).但是YAV的计算量是
Y1的2倍，在考虑效率问题时，必须将所需计算量也考虑在内.因此，想要提高计算效率，需满足
此条件等价于Cov[Y1,Y2]≤0.事实上，Y1和Y2都是模拟所生成的随机数的函数，BROADIE等[13]指出，只要Y1关于随机数的函数(记为φ)是单调的，对偶变量法
总能起到减小方差的效果.方差缩减比率为
VRERAV==
=,
其中ρ=Cov[Y1,Y2].ρ越小，方差缩减效果越好.对美式期权来说，φ十分复杂，想要计算Y1和Y2的相关系数也很困难，方差缩减效果只能通过模拟来估计. 1.1.2 控制变量法
控制变量法是通过一个与期权价格相关性较大的控制变量来减小方差的.本文利用单一控制变量技术的推广——复合控制变量进行计算.选取基础资产价格向量作为控制变量，每次模拟时，记资产价格向量为期权价格的原始估计为Yi，i=1，2，…，M.此时，E(X)是已知的，随机变量X和Y的随机模拟样本(Xi,Yi)是独立同分布的，且其协方差矩阵为
其中，∑X为d×d矩阵，∑XY为d×1矩阵，标量为Y的方差.最终的估计量定义为
其中为随机变量Y的粗糙估计量为随机向量X的粗糙估计量，b为系数向量.控制变量YCV的方差
其中当系数向量b取最优系数向量
时，控制变量YCV的方差取最小值:
其中此时方差缩减效率为
R2越大，方差缩减效果越好.在实际计算中，最优系数向量的确定步骤为：先用小样本估计样本方差SX与样本协方差SXY，分别代替∑X和∑XY并代入式(10),计算最优系数向量.要求小样本数目远小于期权定价的模拟数目.
具体来说，首先在模拟M条路径之前，先以完全相同的方法生成m条路径，得到资产价格模拟向量和期权价格模拟值Yi，i=1，2，…，m.在此基础上，计算随机模拟样本(Xi,Yi)的样本方差SX与样本协方差SXY，其中SX为d×d矩阵，其第jk
个元素为
SXY为d×1矩阵，其第j个元素为
此时选取的最优系数向量的估计为然后计算期权收益向量p，计算YCV.其中取收益向量p各元素的平均值，b取
取股价关于所有模拟路径的均值，是d维向量.最后重复上述过程，得到N0个估计值，取这N0个估计值的平均值作为最终期权价格估计，取它们的样本标准差作为该估计的标准差.
首先，按如下顺序生成随机数序列.设N维向量s用于储存随机数种子.先任意给出一个种子s(1)，以它开始随机数发生，从t1时刻开始，在每条路径i上，生成一个d维随机数向量，然后生成后面时刻所需的随机数.在每生成M个随机向量后，得到并储存当前种子s(j).重要的是不需要储存任何生成的随机数只需求和式用一个d×M的矩阵U来储存随机向量的和.一旦生成，将其加到U的第i列，此时就可以舍弃如此，当随机向量生成完成后，矩阵U的每一列就是所需的可按式(3)计算求得后，原矩阵U中的数据不再需要，该变量空间可用来储存新产生的同时，根据式(2)计算tN时刻的期权价值，储存在M维向量p中.
然后，根据式(4)求得且只需就可以进一步求出此时，结合LSM方法，决定是否在该时刻执行期权.若结果为即刻执行，则将期权价值向量p中相应路径的数值更新为即刻执行的价值.若结果为继续持有，则不改变向量p中相应路径的数值.按照上述方法，依次向前计算，直到t1时刻.
最后，分别结合对偶变量法和控制变量法对求得的估计值做进一步修正，得到最终估计值，并运用批处理方法计算估计量的方差，因为此两方法都破坏了样本间的独立性.
考虑3个无红利标的资产的美式看跌期权(d=3)，期权价值由式(2)决定，敲定价格为E.3种资产的初始价格S0为(40,40,40)T，无风险利率r为0.05，资产的波动率
分别为0.2,0.3和0.5，到期时间为T，假设标的资产之间的相关系数均为ρ，选取M=1 000,N=10，采用Matlab计算，并用文献[11]中的例子进行检验.
表1分别给出了基本Monte Carlo方法、对偶变量法和控制变量法的计算结果.其中，mean列和std列分别代表重复10次运算的均值和样本标准差，
CI(confidence interval)列为由10次运算结果得到的置信度为95%的置信区间，PDE列是用经典积分方法算得的结果；T的单位为月，资产价格的单位为美元.
为了更明显地比较缩减效果，表2列出了这2种方法的方差缩减比.其中VRERAV=，VRERCV=，#代表对应方法的样本标准差为0.从结果看，对偶变量法和控制变量法都能明显起到减小标准差的作用，相比之下，对偶变量法的缩减效率要高于控制变量法.
为了分析计算结果的稳定性，下面对3种方法的均值和标准差做进一步比较.选定T=7,E=40，选取ρ=0，1，对前文所述的方法分别重复50次，作散点图，得到图1和图2，图中每个点都代表10次模拟得到的均值和标准差.
根据散点图进行横向比较可得，在3种参数选择下，对偶变量法和控制变量法都能起到减小方差的作用，对偶变量法缩减效果十分明显，而控制变量法相对不明显.纵向比较可得，控制变量法在ρ=1时的方差缩减效果比ρ=0时要高，而对偶变量法则表现得比较平均.其原因为控制变量法的缩减效率取决于控制变量与期权价格的相关程度，相关程度越高，效果越好.在本文中，控制变量为模拟股价，期权收益由股价的最大值决定，故两者间的相关系数取决于标的资产间的相关系数.当
ρ=0时，标的资产间的相关性低，控制变量的缩减效果并不明显，甚至有几次模拟的标准差比未使用控制变量的标准差最大值还大.当ρ=1时，标的资产间的相关性高，控制变量和期权收益的相关性也高，控制变量的缩减效果较之前有明显提高.而对偶变量法的缩减效率由对偶变量产生的估计量的相关系数决定，与到期时间、资产间相关系数等参数无直接关系，所以对偶变量法在不同参数下表现较为平均.
充分利用Monte Carlo方法的特点和优势，讨论了一个多目标资产的美式期权定价问题，运用线性回归思想以及几何布朗运动和伪随机数的性质，在LSM方法的基础上，结合存储量减小方法和方差缩减技术，对不同参数下美式期权定价进行了比较和分析.采用对偶变量法和控制变量法缩减基本方差，讨论了决定其方差缩减效果的因素和参数估计的方法.从计算结果看，对偶变量法较控制变量法标准差缩减效果更明显，且对偶变量法在不同参数下的表现比较平均，而控制变量法的效果取决于标的资产间的相关系数，这是由所选取的控制变量所决定的.
然而，需要指出的是，本文的计算结果还不够稳定、收敛性不够高，这也是Monte Carlo方法的缺点之一.若采用拟蒙特卡洛方法(quasi-Monte Carlo)，用确定性的低偏差序列 (low discrepancy sequences)代替随机点列，可改进Monte Carlo方法的收敛性.如何利用拟蒙特卡洛方法提高算法的收敛性是未来研究的一个重要方向.
【相关文献】
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一、最小平方法： 假设设总共有n条路径，t个可执行点。首先考虑第t-1个执行点的期权持有价值和执行价值。在t-1时期权是虚值期权，则显然持有价值大于执行价值，所以考虑实值期权的价值比较。在t-1时，每一条路径下的执行价值等于t-1时的期权内在价值，而其持有价值的计算过程则通过最小平方法计算。第i条路径中期权继续持有的价值等于该路径下第t时刻可执行的现金流的折现，设有a条路径期权是实值期权，则对应a个t-1时的标的价格和a 个折现的可执行现金流，假设估计持有价值与标的价格之间满足线性多项式的关系，最小化a个折现的可执行现金流与估计持有价值之差的平方计算出各个多项式的系数，则得到持有价值与标的价格的方程式。代入每个路径的标的资产价格，得到t-1时该路径的持有价值。同理继续计算t-2、t-3…2、1时刻期权的持有价值与执行价值。当持有价值大于执行价值时，选择继续持有；反之，则选择立即执行该期权。期权在t时的价格则是执行价值与持有价值的最高者。 最小平方法也有几个缺点尚待被克服。比如多维度问题，当资产价格受更多的因素影响时，回归出比较准确的资产价格的表达式是非常不容易的，多维的表达式会给模拟过程中十分重要的过程产生较大的偏差，从而使模拟结果不理想。所以，最小平方法比较适用于标的资产价格受较少因素影响的期权。另外，很多实证结果都表明，lsm计算过程在选择基础函数上十分有效，但区分不同类别资产价格的基础函数对准确地估计资产价格路径是十分重要的。 二、执行边界参数化模型 以andersen为代表的一些学者提出了执行边界参数化模型，他们把提前执行的条件进行参数化，通过将期权在到期时的价值回推的方式来确定最优化的参数价值。仍沿用n条路径、t个执行点的假设，并且，t时以资产价格表示的执行边界可以被参数化为s*(t)，对看跌期权来说如果资产价格小于s*(t)，则期权被立即执行，否则在t时刻不执行。首先可以得知，第t时刻的s*(t)等于期权合约的执行价格。然后，利用s*(t)推导t-1时刻的执行边界s*(t-1)，在此以看跌期权为例，其步骤如下： 第一步：假设s*(t-1)小于所有路径中最小的期权价格，则所有路径下期权均不被执行，则可计算出n条路径下期权的平均价值，即t时执行现金流折现的平均值。 第二步：逐步提高s*(t-1)的假设值，计算出每一假设下期权的平均价值。 第三步：最优化的s*(t-1)则是平均价值最高时的s*(t-1)。 通过以上步骤推导出s*(t-2)、…、s*(2)、s*(1)，则可确定每个时刻期权执行的最优策略，美式期权的价格也可以通过平均各路径的价值和得出。 在实践中，成千上万条路径模拟来决定执行边界条件。一旦确定了最优边界，应抛弃价格的路径变化，再新建一个固定最优边界参数的monte calo模拟。这个方法原理简单，然而，因其倒推的方式十分复杂，所以该模型对百慕大期权更加有效，在美式期权模拟中会异常繁琐。在diego cacia的努力下，高于三维的期权定价模型通过monte carlo 模拟也可以比较精确地估计出美式期权的价值区间。他把数量方法分为两个部分：最优化过程，即估计提前执行的最优化条件；估值过程，即计算期权的实际价值（内在价值与继续持有的最大价值）。 在最优化过程中，在固定一系列模拟路径的前提下，从大量待选策略集中运算最优的提前执行规则。第一部分产生美式期权估计的第一个价格。在估值过程中，运用第一部分中计算出的最优化策略，通过新的一系列随机路径利用标准的monte carlo运算出期权价值。如果在两个部分中运用同一个随机路径，则运算结果会有非常高的偏性，否则偏性十分低。在diego的方法中，在很多的情境下近似出一个执行边界，使偏性十分地低。通过他的研究，
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美式期权定价方法综述 【摘要】本文介绍了几种主要的美式期权定价方法。其中，对叉树法、蒙特卡洛法和有限差分法进行了较详细的分类综述。最后，简单介绍了有限元法，近似解析公式法和提前执行权利金法在美式期权定价方面的应用。 【关键词】美式期权；叉树法；蒙特卡洛；有限差分 1 叉树方法 叉树方法是将期权的基础资产价格过程在风险中性条件下离散化，在利用动态规划的方法求解该期权的价格。该方法由Cox，Ross和Rubinstein于1979年提出，因此我们将该模型简称为CRR模型。Hsia（1983）证明在中心极限定理及某些参数下，二叉树模型将收敛为连续的BS模型。二叉树方法简单易行，迄今已被广泛扩展。Hull和White（1988）利用控制变异来修正二叉树模型，并用于美式期权定价，发现此法收敛速度更快。Breen（1991）通过修正二叉树模型发展出加速二叉树模型，研究表明时间间隔固定时，此法可加速二叉树收敛，并提高精确性。Boyle（1986）发展出三叉树模型，即一段时间内股价可能上涨，下跌之外或持平。三叉树定价原理与二叉树类似，因而适用于美式及欧式期权定价，且资产预期价格变动或投资者的风险偏好差异不会影响期权价格。Rubinstein （2000）比较了三叉树与二叉树模型，发现前者的优越性在于比后者多一个自由度，使股价变化与时间分割相互独立。 2 蒙特卡洛方法 蒙特卡洛方法是使用计算机来模拟基础资产价格变动的随机过程，并求期权价格的方法。Hull和White（1993）提出蒙特卡洛法时，认为只适用于欧式期权定价。Tilley（1993）则提出用蒙特卡洛法解决美式期权的提前执行，通过记录基础资产价格路径，并比较提前执行收益与期权价格，判断是否提前执行。此后学者对这一方法提出新扩展，较为著名的有Barraquand和Martineau（1995）提出的BM模型，和Raymar和Zwecher（1998）提出的RZ模型。两个模型的提前执行决策都是比较执行价和持有价，但分隔区域的数量不足会造成每一区域持有价格的估计偏差。Evan（2002）等则将美式期权定价视为最优停时问题。由于美式期权定价的路径依赖，且执行策略取决于将来事件集的平均，美式期权的蒙特卡洛法往往具有双重蒙特卡洛模拟特征。为了克服这些困难，许多改进的美式期权蒙特卡洛模拟方法被提出，主要有：（1）Longstaff和Schwartz（2001）的最小平方蒙特卡洛模拟法（2）Rogers（2002）的鞅最优化期权定价模拟法；（3）Chaudhary（2003）的最小平方伪蒙特卡洛模拟方法；（4）Cafliseh和Goldenfeld （2004）的美式期权定价的质点法。 3 有限差分方法 有限差分法是将BS方程离散为差分方程，再通过迭代求解。与叉树法类似，
可转换债券定价与分析研究 随着我国经济的快速发展,以及全球金融一体化进程的加剧,我国急需发展衍生证券市场,以完善我国金融体系。可转换债券(转债),作为一种既具债性又具股性的复杂衍生证券,其风险和收益均介于债券与股票之间,能够很好地满足收益多样化的投资者需要。自1997年中国证监会发布《可转换债券管理暂行办法》以来,我国可转换企业债券市场发展迅速。交易所数据统计显示,在2003年,我国可转换企业债券发行总量不仅超过配股总量,而且超过A股增发总量。 由此可见,发行可转换债券已经成为我国上市公司再融资的主要渠道之一。然而,可转换债券是一种同时涉及债券、股票和期权(如转换权、赎回权和回售权等)的复杂混合衍生证券,为其定价十分困难。目前,在国外发达资本市场,一般采用数值法为其定价,如二叉树法、有限差分法、有限元法和Monte Carlo模拟法等。然而,当前时代,影响转债价值的信息瞬息万变,这些数值法的定价效率尚有待提高。 定价效率最高的方法,自然是解析定价法。在现有文献中,针对较为简单的可转换债券,虽然已经获得其解析式,然而这些解析式在实践中并不适用,因为它们都是以公司价值作为标的资产,其相关参数(如公司价值波动率)难以估计。本论文在总结四十余年可转换债券定价文献基础上,针对我国可转换债券具体条款相对规范的特点,以标的股价作为标的资产,依据风险中性定价原理,采用完全拆解定价法和鞅定价法,从简到繁依次对不同复杂程度的可转换债券推导出定价解析式。伴随着复杂程度的提高,即条款的逐步增加,所得定价解析式尽管在形式上愈来愈复杂,然而所需市场假设和参数估计与Black-Scholes期权定价公式是一样的,因此这些解析式同样有着较好适用性。 相对以往解析式,它们更具实用性,因为不再以公司价值而是以标的股价作为标的资产。相对现有各种数值定价法,它们不仅简单易行,大大提高了定价效率,而且还可以直接计算各种避险参数,等等。因此,这些研究必将有助于我国投资者更加轻松而又合理地定价各种不同复杂程度的可转换债券。同时,本论文所提出的完全拆解定价法,能够更好地分析基础可转换债券(未内含赎回权和回售权等其它期权)和可赎回可转换债券的价值组成,从而能够更好地有针对性地进行风险对冲和套期保值。
第一章：Monte Carlo 方法概述
讲课人：Xaero Chang | 课程主页: https://www.doczj.com/doc/5319303189.html,/notes/intro2mc 本章主要概述 Monte Carlo 的一些基础知识，另外包括一个最简单的用 Monte Carlo 方法计算数值积分的例子。
一、Monte Carlo 历史渊源
Monte Carlo 方法的实质是通过大量随机试验，利用概率论解决问题的一种数值方法， 基本思想是基于概率和体积间的相似性。它和 Simulation 有细微区别。单独的 Simulation 只 是模拟一些随机的运动，其结果是不确定的；Monte Carlo 在计算的中间过程中出现的数是 随机的，但是它要解决的问题的结果却是确定的。 历史上有记载的 Monte Carlo 试验始于十八世纪末期 （约 1777 年） 当时布丰 ， （Buffon） 为了计算圆周率，设计了一个“投针试验”。（后文会给出一个更加简单的计算圆周率的例 子）。虽然方法已经存在了 200 多年，此方法命名为 Monte Carlo 则是在二十世纪四十年， 美国原子弹计划的一个子项目需要使用 Monte Carlo 方法模拟中子对某种特殊材料的穿透作 用。 出于保密缘故， 每个项目都要一个代号， 传闻命名代号时， 项目负责人之一 von Neumann 灵犀一点选择摩洛哥著名赌城蒙特卡洛作为该项目名称， 自此这种方法也就被命名为 Monte Carlo 方法广为流传。
十一、Monte Carlo 方法适用用途 （一）数值积分
计算一个定积分，如 ，如果我们能够得到 f(x)的原函数 F(x)，那么直接由表 达式: F(x1)-F(x0)可以得到该定积分的值。但是，很多情况下，由于 f(x)太复杂，我们无法 计算得到原函数 F(x)的显示解， 这时我们就只能用数值积分的办法。 如下是一个简单的数值 积分的例子。 数值积分简单示例
如图， 数值积分的基本原理是在自变量 x 的区间上取多个离散的点， 用单个点的值来代 替该小段上函数 f(x)值。 常规的数值积分方法是在分段之后，将所有的柱子（粉红色方块）的面积全部加起来， 用这个面积来近似函数 f(x)（蓝色曲线）与 x 轴围成的面积。这样做当然是不精确的，但是 随着分段数量增加，误差将减小，近似面积将逐渐逼近真实的面积。
蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的数值计算方法，广泛应用于金融学、物理学、工程学和计算机科学等领域。它的原理是通过随机抽样 来估计数学模型的结果，通过大量重复实验来逼近真实值。在本文中，我们将探讨蒙特卡洛方法的原理、应用和局限，并共享个人对这一方 法的理解和观点。 1. 蒙特卡洛方法的原理 蒙特卡洛方法的核心思想是利用随机数来处理问题。它通过生成大量 的随机数，利用这些随机数的统计特性来近似求解问题。在金融衍生 品定价中，我们可以使用蒙特卡洛方法来模拟股票价格的随机漫步， 从而估计期权合约的价格。通过不断模拟股票价格的变化，并计算期 权合约的价值，最终得到一个接近真实值的结果。 2. 蒙特卡洛方法的应用 蒙特卡洛方法在金融领域被广泛应用于期权定价、风险管理和投资组 合优化等问题。在物理学中，蒙特卡洛方法可以用于模拟粒子的运动，求解无法用解析方法求解的复杂系统。在工程学和计算机科学中，蒙 特卡洛方法可以用于求解概率分布、优化问题和模拟系统行为。 3. 蒙特卡洛方法的局限 虽然蒙特卡洛方法有着广泛的应用，但也存在一些局限性。蒙特卡洛 方法通常需要大量的随机抽样，计算成本较高。随机性导致了结果的 不确定性，需要进行大量的实验才能得到可靠的结果。蒙特卡洛方法
在高维问题和高精度要求下计算效率低下，需要借助其他数值方法进行辅助。 4. 个人观点和理解 个人认为蒙特卡洛方法是一种非常强大的数值计算方法，能够解决复杂问题和高维问题。它的随机性使得结果更加贴近真实情况，有利于处理实际情况中的不确定性和风险。但是在实际应用中，需要注意随机抽样的方法和计算成本，并且需要结合其他数值方法进行验证和辅助，以确保结果的准确性和可靠性。 总结回顾 蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的数值计算方法，通过大量重复实验来逼近真实值。它在金融学、物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。然而，蒙特卡洛方法也存在一些局限性，需要结合其他数值方法来弥补其不足。个人认为蒙特卡洛方法是一种强大的数值计算方法，能够处理复杂和高维问题，但在实际应用中需要注意其随机性和计算成本。 在撰写本文中，我们深入探讨了蒙特卡洛方法的原理、应用和局限，并共享了个人观点和理解。希望本文能够对读者对蒙特卡洛方法有所启发和帮助。蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的数值计算方法，其应用领域非常广泛，从金融学到物理学，再到工程学和计算机科学，都有着重要的地位。蒙特卡洛方法的原理是通过大量的随机抽样来近
monto carlo仿真方法 蒙特卡洛仿真方法 简介 蒙特卡洛仿真方法是一种基于随机数生成的统计模拟方法，用于解决复杂问题和评估不确定性。它通过大量的随机抽样和模拟运算来近似计算数学问题的解决方案。 原理 蒙特卡洛仿真方法基于概率统计理论和计算机模拟技术。其主要思想是通过对模型中的随机变量进行抽样和模拟，计算大量的样本数据，从而得到目标问题的近似解。 步骤 1.建立模型：首先需要将目标问题抽象成一个数学模型，明确问题 的目标、约束和变量。 2.设定随机变量：为模型中的不确定变量设定随机分布，并生成大 量的随机数。 3.进行抽样：根据设定的随机分布，抽取一定数量的随机数，并代 入模型进行计算。
4.模拟运算：根据模型的计算规则，对每个随机数进行运算，得到 相应的结果。 5.统计与分析：对得到的结果进行统计分析，得出问题的近似解、 概率分布、置信区间等。 6.反馈与优化：根据分析结果，对模型进行优化和调整，进一步提 高计算的准确性和效率。 应用领域 蒙特卡洛仿真方法在各个领域都有广泛应用，包括但不限于： - 金融领域：用于风险评估、衍生品估值、投资组合优化等。 - 工程领域：用于可靠性分析、结构优化、系统建模等。 - 生物医学领域：用于药物研发、流行病传播模拟、生物统计等。 - 物理学领域：用于高能物理实验模拟、粒子轨迹模拟等。 优点与限制 蒙特卡洛仿真方法具有如下优点： - 适用范围广，可以解决各种类型的问题； - 能够处理复杂和高维的问题； - 可以提供概率分布和置信区间等统计信息。 然而，蒙特卡洛仿真方法也有一些限制： - 需要大量的计算资源和时间； - 对模型中的不确定性敏感，需要合理设定概率分布； - 结果的准确性受到样本数量的限制。
任劳任怨，甘做铺路石 ----陈金飚个人事迹介绍本人于1995年8月进入台州学院的前身台州师专工作，光阴荏苒，从教已近23周年。几十年来，我一直固守教师职业道德，尽己所能做好教书育人及其相关的效劳工作。前后取得台州学院首届教坛新秀奖、台州学院首届青年教师大体功竞赛一等奖、台州学院先进党员、台州学院实践教学优秀指导教师等荣誉，从工作开始的持续10年一直担任班主任，持续多次被评为台州学院优秀班主任，以后前后兼任教务秘书、系主任等基层工作，分管运算机专业学生教学实践及对外教师培训工作。工作上一直兢兢业业、任劳任怨，甘愿做一粒学校事业进展路上的小小铺路石。 一、教学工作，精益求精 教学是教师的中心工作。教学上，踊跃承担各项教学任务，逾额完成工作量，每一年的教学工作量超过350学时。紧密联系学生尔后的就业实际，丰硕教学内容。坚持实践取向，注重教学建设，采纳学生讨论、自主学习、案例分析等教学模式，充分尊重学生的主体地位，激发学生学习的踊跃性，重点培育学生的自学能力。从刚进台州师专首开我校的《C语言程序设计》开始至今共上过10来门不同的课程，尽管有很多重复课，但每次都会严格要求自己，认真备课，尽可能做到完美。 二、学生工作，悉心尽责 重视对学生的教育指导。不仅教育学生专业成才，更要思想成人。
尤其是从工作开始的持续10年一直担任班主任，持续多次被评为台州学院优秀班主任。比如那时担任班主任的2002级电子信息班级学生，昔时就有10多位考上研究生。对学生毕业论文的指导也是不遗余力，从选题、文献综述、开题报告到初稿的写作，每一环节都与每一名学生认真沟通和讨论，指导的学生毕业论文多次被评为校级优秀毕业论文，本人也因此被评为台州学院实践教学优秀指导教师。 三、治理工作，任劳任怨 担任运算机系主任已有10连年，除每学期认真做好系里的各项常规工作，期间前后经历台州学院的本科升格评估、专业认证评估和浙江省本科教学审核评估，每次都要做很多总结材料，记不得有多少个日日夜夜的加班，只求做好各项效劳工作；负责的运算机专业对外的中小学教师培训工作，从培训项目制作，到讲课专家聘请，再到培训进程治理，每一个进程都亲力亲为，大体上每一年的暑假都安排得满满的，往往捐躯疗休养时刻，尽力做好来自全省各地的教师的培训工作，要紧项目有“Flash课件制作”、“PPT精粹”、“信息技术综合”及“Pathon程序设计”等，参培教师累计达到2000人次。 四、科研工作，奋起直追 注重科研，尽力以科研促教学，以科研增进自身素养的提升。在各类杂志发表论文10多篇，其中被EI检索或发表在一级核心刊物的有多篇，如《基于方差缩减的高维美式期权Monte Carlo模拟定价》发表在《浙江大学学报》，《A Flexible Approach for Calibrating Phase Measurement Profilometry System》发表在国外知名期刊
随机波动率下障碍期权的MonteCarlo模拟定价 随机波动率下障碍期权的 Monte Carlo 模拟定价 障碍期权是金融衍生品中的一种重要品种，其根据标的资产价格是否突破一定水平产生不同的收益方式。本文将以Monte Carlo 模拟方法对随机波动率下的障碍期权进行定价和分析。 首先，我们需要了解什么是随机波动率。在传统的期权定价模型中，波动率是一个常量，而实际市场中，波动率是具有随机性的。因此，在模拟随机波动率时，我们可以引入波动率的随机漫步模型，如几何布朗运动模型。该模型中，波动率的变化服从几何布朗运动，并且在一段时间内的波动率会受到前一段时间内的波动率水平的影响。 在进行 Monte Carlo 模拟定价之前，我们需要确定一些 模型参数。这些参数包括标的资产的价格、波动率的初始值和随机漫步的步长等。另外，我们还需要确定期权的具体特征，包括障碍水平、到期时间、执行价格和障碍期权类型等。 在模拟定价过程中，我们将生成多个随机路径，每个路径表示资产价格在不同时间周期内的变化。对于每个路径，我们首先计算出在到期日前是否触及障碍水平。如果资产价格在到期日前触及了障碍水平，障碍期权将会失效，将无法享受到期权所带来的收益。因此，在模拟中，我们需要记录障碍期权不失效的路径，计算其到期时的收益。最后，对于所有有效的路径，我们将其收益进行折现平均，得到障碍期权的理论价格。 通过 Monte Carlo 模拟定价，我们可以得到随机波动率 下障碍期权的理论价格。与传统的期权定价模型相比，这种方法更加符合实际市场情况，能够更好地反映波动率的变化性质。
此外，Monte Carlo 方法还可以用于分析不同环境下期权价格的敏感性。我们可以通过调整模型参数或者期权特征，观察其对障碍期权价格的影响，进一步帮助投资者进行风险管理和决策。 然而，需要注意的是，Monte Carlo 方法在计算量上会比较大，特别是当路径数目较多时，计算时间会较长。因此，为了提高计算效率，我们可以采用一些优化技巧，如重要性抽样、变步长法等。 综上所述，随机波动率下障碍期权的 Monte Carlo 模拟 定价能够更好地反映实际市场的变化性质，对于投资者进行期权定价和风险管理具有重要意义。然而，在使用该方法时，我们需要注意模型参数的选择和计算效率的优化，以得到准确且高效的结果 总的来说，采用随机波动率下障碍期权的Monte Carlo模拟定价方法能够更好地反映实际市场的波动性质，提供准确的期权定价和风险管理工具。然而，此方法需要记录所有有效路径并进行折现平均，计算量较大，需要采用一些优化技巧来提高计算效率。投资者在使用该方法时需要注意选择合适的模型参数，并优化计算过程，以获得准确且高效的结果。这种方法对于投资者进行风险管理和决策具有重要意义，可以帮助他们更好地理解和应对市场的波动性质
结构性金融衍生产品定价研究 结构性金融衍生产品定价研究 一、引言 金融衍生产品是当今金融市场上广泛应用的一种金融工具，其定价是金融市场参与者重要的任务之一。结构性金融衍生产品是一类复杂的金融衍生品，其价值受到多种因素的影响。本文将深入探讨结构性金融衍生产品定价的相关研究和方法，并分析其实际应用中的挑战和未来发展方向。 二、结构性金融衍生产品概述 1. 组成要素 结构性金融衍生产品通常由多个基础资产、利率或汇率等量化变量组成。这些产品的设计目的是满足特定的投资需求或风险管理目标。 2. 例子 一些常见的结构性金融衍生产品包括二元期权、波动率商品、回售债券等。这些产品的定价方法各不相同，需要根据其特点制定相应的定价模型。 三、结构性金融衍生产品定价模型 1. 黑-斯科尔模型 黑-斯科尔模型是用于定价欧式期权的一种定价模型。该 模型基于随机微分方程理论，通过对股票收益率进行建模来计算期权的价格。 2. Monte Carlo模拟 Monte Carlo模拟是一种基于随机数生成的数值方法，用 于估计金融衍生产品的价值。通过生成多组符合特定概率分布的随机数，并根据这些随机数进行模拟计算，从而得出金融衍
生产品的定价。 3. 美式期权定价模型 美式期权是一种可以在到期前任意时间行权的期权。对于这种期权的定价，需要考虑在不同时间点行权的影响，常用的方法有二叉树模型和蒙特卡洛模拟等。 四、结构性金融衍生产品定价实践 1. 实际挑战 结构性金融衍生产品的定价面临一些实际挑战。首先，这些产品的设计复杂，需要按照特定的市场需求和风险偏好进行定制。其次，金融市场的不确定性和波动性使定价更加困难。此外，定价模型的选择和参数估计也是挑战之一。 2. 实际应用 结构性金融衍生产品的定价在实际中有着广泛的应用。它们可以用于投资组合的风险管理、对冲策略的制定和风险收益的优化等。同时，这些产品也可以用于满足某些投资者的特定需求，例如投资者对于特定基础资产的看涨或看跌，或者对于一定期限内的最大风险限制等。 五、结构性金融衍生产品定价的未来发展方向 1. 定价模型的改进 未来，提高结构性金融衍生产品定价模型的准确性和适用性是一个重要的研究方向。需要结合更多的因素和变量，进一步提高对金融市场波动性和风险的建模能力。 2. 数据分析和机器学习 随着大数据和人工智能技术的快速发展，将数据分析和机器学习方法应用于结构性金融衍生产品定价也是未来的发展方向。这将帮助提高模型的准确性和速度，更好地应对金融市场的变化和挑战。
基于Monte-Carlo模拟的可转债定价模型 朱妮洁 【摘要】According to the ideas of the least-squares American option pricing,The basic theoretical framework based on the Monte Carlo simulation of convertible bonds is given after considering the put-able clause,the call-able clause and the conversion price a-mendment clause.In order to better reflect the feature of volatility-clustering,the use of GARCH method for modeling.And then using the matlab software for three convertible bonds listed on the first day of the pricing effect test,the empirical results and the actual market convertible bond price coincidence rate is high,this model has a certain accuracy.In addition,it is found that the market price of convertible bonds has been underestimated in terms of the theoretical value of the model,and further explores the causes of the de-viation.%根据最小二乘美式期权定价的思想,在全面考虑回售条款、赎回条款及转股价向下修正条款后,给出基于蒙特卡洛模拟可转债定价的基本理论框架.为更好地体现波动率集聚的特征,使用GARCH方法进行建模.而后运用matlab软件为我国3只流动性较好的可转债进行上市首日定价效果检验,实证结果与实际市场可转债价格吻合率较高,模型具有一定的准确度.此外发现,相对于模型的理论价值而言,我国可转债的市场价格有被低估的现象,并进一步探讨产生偏差的原因. 【期刊名称】《经济研究导刊》 【年(卷),期】2018(000)010 【总页数】4页(P94-97)
“保险+期货”模式下生猪场外期权定价研究 自2015 年以来，“保险+期货”连续8 年在中央一号文件中被提及。随着2021 年生猪期货上市，生猪“保险+期货”模式为养殖户分散风险带来了新的可能。但是作为“保险+期货”模式的核心——场外期权定价方面仍存在一定的问题。首先，生猪期货上市时间短，市场不成熟，生猪期现基差风险大，导致期权定价中的目标价格和理赔价格有一定偏差。其次，现阶段农产品从期货价格到场内期权价格的定价方法多用B-S 定价法，精确度存在问题。再次，目前市场上涉及生猪“保险+期货”的定价方法多数以保险公司的角度出发，造成养殖户缴纳保费较高。 回顾文献可知，在“保险+期货”模式定价方法的研究上，叶洁琼（2019）[1]指出，由于价格指数保险产品实则为倒向型期权，对保费的厘定相当于对期权定价，而在期权定价中，首先应选择合适的亚式期权定价。徐玲玲（2018）[2]在期权定价研究中采用了算数平均亚式期权及适用于亚式期权的Monte Carlo 模拟定价法，并对该定价法进行改进。在保险期限方面，吴婉茹和陈盛伟（2017）[3]指出，“保险+期货”的保险理赔周期与期货合约交割日存在不匹配情况，应优化该产品的保险期限设计。在期权定价方面，孙乐和陈盛伟（2017）[4]研究认为，目前“保险+期货”模式场外期权定价不科学，B-S 定价不精确，应优化模型进行精准定价。在保险公司参与度方面，吴开兵等（2021）[5]研究发现，目前市场上的价格保险产品多数是从保险公司的利益角度出发进行设计的，以农户收益为出发点设计的较少。 文章针对上述定价存在的问题，结合生猪养殖周期，将生猪“保险+期货”保险期间创新为锁定期和销售期，并采用蒙特卡洛模拟法对亚式期权定价。从养殖户需求出发设计多样化的保障价格和保险期间，以规避不同风险及增强赔付率，实现“造血式”扶贫[6]。 1 “保险+期货”生猪场外期权定价理论基础 1.1 期权定价理论
关于蒙特卡洛(Monte Carlo)方法的详细讨论和基于EXCEL与Crystal Ball的蒙特卡洛分析 (2011-04-03 23:21:53) 转载 标签： 分类：项目成本管理 蒙特卡洛 monte-carlo 郭致星 excel 风险 假设情景分析 crystal ball 请支持原创，勿用于商业用途，转载请注明出处。 有学员留言：郭老师您好，课堂上您讲解了蒙特卡洛(Monte Carlo)方法的基本原理并为我们详细讲解了操作步骤，还说可以基于EXCEL与Crystal Ball进行实施。能否再详细讲解下具体方法呢？谢谢。 郭致星老师关于蒙特卡洛(Monte Carlo)方法的详细讨论： 一、概述
1、定义：蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟是一种通过设定随机过程，反复生成时间序列，计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。 常用的假设情景分析技术就是蒙特卡洛Monte Carlo分析，本章主要介绍蒙特卡洛技术。蒙特卡洛方法也称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。 Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。 考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点有M个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。 可用民意测验来作一个不严格的比喻。民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。其基本思想是一样的。 科技计算中的问题比这要复杂得多。比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(Course Dimensionality)，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。Monte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。 另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法”(Quasi-Monte Carlo方法)—近年来也获得迅速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的“华—
蒙特卡罗方法Monte Carlo method 蒙特卡罗方法概述 蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术,是一种随机模拟方法,以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法,是使用随机数或更常见的伪随机数来解决很多计算问题的方法;将所求解的问题同一定的概率模型相联系,用电子计算机实现统计模拟或抽样,以获得问题的近似解;为象征性地表明这一方法的概率统计特征,故借用赌城蒙特卡罗命名; 蒙特卡罗方法的提出 蒙特卡罗方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S．M．乌拉姆和J．冯·诺伊曼首先提出;数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法,为它蒙上了一层神秘色彩;在这之前,蒙特卡罗方法就已经存在;1777年,法国Buffon提出用投针实验的方法求圆周率∏;这被认为是蒙特卡罗方法的起源; 蒙特卡罗方法的基本思想 Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用;早在17世纪,人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”;19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π;本世纪40年代电子计算机的出现,特别是近年来高速电子计算机的出现,使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能; 考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”,如何求出这个“图形”的面积呢Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点,有M个点落于“图形”内,则该“图形”的面积近似为M/N;可用民意测验来作一个不严格的比喻;民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见,而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者;其基本思想是一样的; 科技计算中的问题比这要复杂得多;比如金融衍生产品期权、期货、掉期等的定价及交易风险估算,问题的维数即变量的个数可能高达数百甚至数千;对这类问题,难度随维数的增加呈指数增长,这就是所谓的“维数的灾难”Curse of Dimensionality,传统的数值方法难以对付即使使用速度最快的计算机;Monte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难,因为该
毕业论文 基于蒙特卡洛 算法的欧式期权定价问题研究STUDY ON THE PRICING OF THE EUROPEAN OPTIONS BASED ON MONTE CARLO ALGORITHM
摘要 近年来，随着全球经济飞速的发展，金融市场在社会经济领域中的地位也在不断的上涨。与金融市场相适应的一些金融衍生品也孕育而出，而对于它们的分析研究也就显得尤为重要，其中期权更是在金融市场中占有一席之地的。众所周知，期权又被称为选择权，是在期货的基础上产生的一种衍生性金融工具。其中欧式期权则是最具代表性的期权，不管是在理论价值还是在经济意义上，都是非常值得研究的。 本文以欧式期权为研究对象，基于蒙特卡洛算法并利用Matlab软件编写相关程序。本文针对基于蒙特卡洛算法下的欧式期权定价问题进行研究，在研究上共分为五章。第一章为绪论部分，重点阐述了文章的研究背景、研究意义以及国内外研究现状。第二章是预备知识，主要介绍了文章所用到的基础理论知识，例如蒙特卡洛算法、欧式期权、Black-Scholes模型的概念。第三章建立模型，利用蒙特卡洛算法生成欧式期权定价公式，进而得到基于蒙特卡洛算法下的欧式期权价格。第四章为蒙特卡洛算法改进方法，主要是阐述了改进后的拟蒙特卡洛模拟算法，结合了Halton偏低差序列后，使得期权价格更接近欧式看涨期权价格的真实值。第五章为结论，是对本文的研究结果进行总结。 关键词：蒙特卡洛算法；欧式期权定价；方差缩减技术
ABSTRACT In recent years, with the rapid development of global economy, socio-economic status of the financial market is constantly rising. Financial derivatives that are associated with the financial markets also bred out. So it is particularly important to analyze them especially for options. It is well known that the options are also known as choices, which are derivative financial instruments. It is very worthy of studying European option both in theoretical value and in an economic sense which is the most representative of these options. This paper is concerned on European option based on Monte Carlo algorithm, and prepares the relevant procedures by using Matlab software. The organizations of our study are as follows. The first chapter focuses on the article's background, significance and research status at home and abroad. The second chapter is on pre knowledge, introduces the articles used by the foundation of theoretical knowledge, such as Monte Carlo algorithm, European options and Black-Scholes model’s concept. The third chapter is on modeling, using Monte Carlo algorithm to generate European option pricing formula, which received European option pricing based on Monte Carlo algorithm. The fourth chapter is on Monte Carlo algorithm, mainly on the improved algorithm of quasi-Monte Carlo simulation, combined with low-discrepancy sequences Halton which can make option prices closer to European-style call option pricing true value. The fifth chapter is on conclusion and it is the summary of the results of this articles. Keywords: Monte Carlo algorithms；European option pricing； Variance reduction technology