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浙江省2003年7月高等教育自学考试
近世代数试题
课程代码：10025
一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在
题干的括号内。每小题3分，共15分)
1. 设R 是实数集，σ(a)=?
??<≥+0a a 0a 1a 则σ是R 的( )。 A. 满射变换 B. 单射变换 C. 一一变换 D. 不是R 的变换
2. 下列法则，哪个不是有理数集Q 的代数运算( )。
A. a b=2
1(a+b) B. a b=a 2-2ab+b 2 C. a b=10a+b D. a b=
21〔a(a+1)+b(b+1)〕 3. 设集合G={a,b},在G 中规定代数运算如下表，则G 关于哪个代数运算可作成群。( )
A.
B.
C.
D.
4. 设M 2(R)=??
??????? ?
?d c b a a,b,c,d ∈R ，R 为实数域???按矩阵的加法和乘法构成
R 上的二阶方阵环，那么这个方阵环是( )。
A. 有单位元的交换环
B. 无单位元的变换环
C. 无单位元的非交换环
D. 有单位元的非交换环
5. 在非零有理数乘群Q*中，阶为2的元有( )。
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 无限个
二、填空题(每小题3分，共27分)
1.剩余类加群Z12有_________个生成元.
2.6阶循环群有_________个子群.
3.5次对称群S5中，(12543)2(13542)-1=_________.
4.模8的剩余类环Z8的子环有_________个.
5.剩余类环Z n是域?n是_________.
6.整数环Z的理想有_________个.
7.唯一分解环与欧氏环的关系是_________.
8.设Q是有理数域，S={2i},则Q(S)=________.
9.3
1+在有理数域Q上的极小多项式是_________.
三、本题共3大题，第1、2大题各10分，第3大题14分，共34分
1.设A={a,b,c}a是单位元，试作出A的乘法表.
2.找出模18的剩余类加群Z18的所有子群.
3.试分别写出剩余类环Z5和Z6中的全部零因子与可逆元.
四、证明题(每题8分，共24分)
1. 设G是2p阶群(p是素数)，证明G的每个真子群都是循环群.
2. 设偶数环R=2Z,N={4r|r∈Z},证明N是R的一个理想，R/N是怎样的环?N是否与(4)相
等?R/(4)是不是域?
3.设Z〔i〕={a+bi|a,b∈Z},试确定Z〔i〕/(1+i)含有哪些元素?Z〔i〕/(1+i)是否是域?为什么?
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一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ= （1324），则 3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得
多所高校近世代数题库 一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ）
近 世 代 数 试 卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。
[精华版]近世代数期末考试试卷及答案 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集( )是子群。 33,,,,aa,e,,e,a,,e,a,aA、 B、 C、 D、 2、下面的代数系统(G，*)中，( )不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的,( ) A、a*b=a-b,,,B、 a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| ,,,,,,3322114、设、、是三个置换，其中=(12)(23)(13)，=(24)(14)，= ,3(1324)，则=( ) 22,,,,,,122121A、 B、 C、 D、 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它( )。 A、不可能是群,,,B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 4Gaa3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。 4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A?B=-----。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。,,
近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题３分,共15分)在每小题列出得四个备选项中只有一个就就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。错选、多选或未选均无分。 １、设Ａ＝Ｂ=R(实数集）,如果Ａ到Ｂ得映射:x→x+２,ｘ∈R,则就就是从Ａ到B得( ）Ａ、满射而非单射?B、单射而非满射 C、一一映射??? D、既非单射也非满射 ２、设集合Ａ中含有5个元素，集合B中含有２个元素,那么,Ａ与Ｂ得积集合A×B中含有( )个元素。 A、2 ??? B、5 Ｃ、7????D、10 ３、在群G中方程ａx=b,yａ=b, a,b∈Ｇ都有解,这个解就就是( ）乘法来说 Ａ、不就就是唯一 B、唯一得 C、不一定唯一得Ｄ、相同得(两方程解一样) 4、当G为有限群,子群Ｈ所含元得个数与任一左陪集aH所含元得个数( ） Ａ、不相等Ｂ、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G得子群Ｈ得阶必须就就是n得( ) A、倍数 B、次数Ｃ、约数 D、指数 二、填空题(本大题共10小题,每空３分,共30分)请在每小题得空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 １、设集合；,则有------－--。 2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae＝ea=a,则e称为环R得-－-－---－。 3、环得乘法一般不交换。如果环Ｒ得乘法交换，则称Ｒ就就是一个-－－--－。 4、偶数环就就是-－----－--得子环。 ５、一个集合Ａ得若干个－-变换得乘法作成得群叫做Ａ得一个-----－－-。 6、每一个有限群都有与一个置换群－-------。 7、全体不等于0得有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群得单位元就就是---,元ａ得逆元就就是------－。 ８、设与就就是环得理想且,如果就就是得最大理想，那么--－－-－--－。 ９、一个除环得中心就就是一个--－－---。 三、解答题(本大题共3小题,每小题1０分,共30分) １、设置换与分别为:,，判断与得奇偶性,并把与写成对换得乘积。 2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之与。 ３、设集合,定义中运算“”为ａｂ=(a+b)(modm),则(，)就就是不就就是群,为什么? 四、证明题(本大题共2小题，第1题1０分，第2小题１5分,共25分） 1、设就就是群。证明:如果对任意得,有,则就就是交换群。 2、假定R就就是一个有两个以上得元得环，Ｆ就就是一个包含R得域,那么F包含R得一个商域。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、１、设Ｇ有6个元素得循环群,a就就是生成元,则Ｇ得子集( ）就就是子群。 Ａ、 B、 C、 D、 2、下面得代数系统(G,*）中，（ )不就就是群 Ａ、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,＊为加法
近 世代数 一、单项选择题 1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则B A ?=（ ） A C 2A C 3A C 4A 、 对于,,bH aH ?有φ=?bH aH 或bH aH = B 、 以上都对 答案：D 5、设A=R （实数域）， B=R+（正实数域） f ?:a→10a ??a ∈A 则 f 是从A 到B 的（ ） A 、单射 B 、满射
C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 答案：D 6、有限群中的每一个元素的阶都（ ） A 、有限 B 、无限 C 、为零 D 、为1 答案：A 7A C 8A C 9A C 答案：B 10、偶数环的单位元个数为（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、无数个 答案：A 11、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ）
A 、集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同； B 、n A A A ,,,21 的次序不能调换； C 、n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； D 、一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 答案：B 12、指出下列那些运算是二元运算（ ） A B C D 13 在Z A C 14那么群 ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ） A 、0和x -； B 、1和0； C 、k 和k x 2-； D 、k -和)2(k x +-。 答案：D 15、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ） A 、11--a bc ； B 、11--a c ； C 、11--bc a ； D 、ca b 1-。 答案：A
近世代数模拟试题二 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
《近世代数》复习试题 一 填空题 1．12,,n A A A 是集合A 的子集，如果（1） ，（2） ， 则称12,,n A A A 为A 的一个分类. 2．设},{21A =,},,,,{e d c b a B =,则有____个A 到B 的映射,_____个A 到B 的单射. 3. 设G 是一个群,G a ∈,且21||=a ,则=||6a __________. 4. 设G 是群,,,G b a ∈若1),(,||,||===n m n b m a ，而且ba ab =，则=||ab ______. 5. 在3S 中，)23()12)(123(1-= . 6. 模6的剩余类环6Z 的所有可逆元: . 7. 模6的剩余类环6Z 的所有零因子: . 8. R 是一个有单位元交换环,R a ∈,则由a 生成的主理想=)(a . 9. 设群G 的阶是45, a 是群G 中的一个元素,则a 的阶只可能是____________. 10. 高斯整环][i Z 的单位群])[(i Z U 的全部元素:____________________________. 二 解答、证明题 1.设Z 是全体整数的集合，在Z 中规定： .,,2Z b a b a b a ∈?-+= 证明：),( Z 是一个交换群. 2.证明:群G 不能表示成两个真子群的并. 3.证明:r-循环为偶置换的充要条件是r 为奇数. 4.设p 为素数,||G =n p ，证明：G 一定有一个p 阶子群. 5.设G 是一个群，,,G K G H ≤≤证明：KH HK G HK =?≤. 6.设H G ≤，N G ，证明：HN G ≤. 7.设H G ≤，且2]:[=H G ，证明：.G H 8.证明:每个素数阶的群都是循环群. 9.设N 是群G 的子群，N 的阶是r （1）证明1()gNg g G -∈也是G 的一个子群.
近世代数练习题题库 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020
§1 第一章 基础知识 1 判断题： 1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。（ ） 1.2 A ×B = B ×A （ ） 1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。（ ） 1.4 如果?是A 到A 的一一映射,则?[?(a)]=a 。( ) 1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。（ ） 1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。（ ） 1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。( ) 2 填空题： 2.1 若A={0,1} , 则A ?A= __________________________________。 2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。 2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ?B=_______。 2.4 设A={1,2}, 则A ?A=_____________________。 2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{ }2,1=B ，则有=?A B 。 2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则 ()[]=-a f f 1 。 2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ c ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{} 3 ,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2 σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----双射-------------。
近世代数一、单项选择题 A?=（） 1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则B A、{1，2，3，4} B、{2，3，6，7} C、 2 A C 3 A、 C 4 A、 B、 5、设 是从A到B的（） A、单射 B、满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射 答案：D 6、有限群中的每一个元素的阶都（） A、有限 B、无限
C 、为零 D 、为1 答案：A 7、整环（域）的特征为（） A 、素数B 、无限 C 、有限 D 、或素数或无限 答案：D 8、若S 是半群,则() A C 9A 、C 、10A 、C 、11 A B 、A 1 C 、n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； D 、一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 答案：B 12、指出下列那些运算是二元运算（） A 、在整数集Z 上，ab b a b a += ；
B 、在有理数集Q 上，ab b a = ； C 、在正实数集+R 上，b a b a ln = ； D 、在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 答案：D 13、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,m ax = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（） A C 14() ,G A 、015A 、bc 16（） A 、61721A 、f 的同态核是1G 的不变子群； B 、2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群； C 、1G 的子群的象是2G 的子群； D 、1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。 答案：D
18、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（） A 、若a 是零元，则b 是零元；B 、若a 是单位元，则b 是单位元； C 、若a 不是零因子，则b 不是零因子； D 、若2R 是不交换的，则1R 不交换。 答案：C 19、下列正确的命题是（） A 、欧氏环一定是唯一分解环； B 、主理想环必是欧氏环； C 20A 、(E C 、(I :12、设答：3．设21Rl l 4、设群G 中的元素a 的阶为m ，则e a n =的充要条件是（）。 答：n m 5、群G 的非空子集H 作成G 的一个子群的充要条件是（）。 答：,,H b a ∈?有H ab ∈-1 6、n 次对称群n S 的阶是（）。
近世代数模拟试题 一. 单项选择题(每题5分，共25分) 1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）. A. 0 B. 1 C. －1 D. 1/n，n是整数 2、下列说法不正确的是（）. A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群; B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群; C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群; D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群. 3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ). A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）. A. Z没有生成元. B. 1是其生成元. C. －1是其生成元. D. Z是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（）。 A. 群G是指一个集合. B. 环R是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元， 逆元存在. D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，
逆元存在. 二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ???? == ? ?-????， 的阶. 2. 试求出三次对称群 {}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.
3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明. 三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分). 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程
近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) - 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 ~ 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：? ? ????=6417352812345678σ，??? ???=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。 ， 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
近世代数模拟试题 一、单项选择题(每题5分,共25分) 1、在整数加群(Z,＋)中,下列那个就是单位元( )。 A 0 B 1 C －1 D 1/n,n就是整数 2、下列说法不正确的就是( )。 A G只包含一个元g,乘法就是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群 B G就是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群 C G就是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群 D G就是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群 3、下列叙述正确的就是( )。 A 群G就是指一个集合 B 环R就是指一个集合 C 群G就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 D 环R就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 4、如果集合M的一个关系就是等价关系,则不一定具备的就是( )。 A 反身性 B 对称性 C 传递性 D 封闭性 S的共轭类( )。 5、下列哪个不就是 3 A (1) B (123),(132),(23) C (123),(132) D (12),(13),(23) 二、计算题(每题10分,共30分) S的正规化子与中心化子。 1、求S＝{(12),(13)}在三次对称群 3
2、设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶。 3、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,求出其右零因子。
三、证明题(每小题15分,共45分) 1、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,证明??? ? ??0,00,0就是其零因子。 2、设Z 就是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3。证明:Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元。
近 世 代 数 试 卷 一、判断题(下列命题您认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都就是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都就是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 就是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶就是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 就是循环群,那么G 也就是循环群。 ( ) 6、群G 的子群H 就是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征就是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 就是整数环,()p 就是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21Λ与D 都就是非空集合,而f 就是n A A A ???Λ21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同;②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换; ③n A A A ???Λ21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算就是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a +=ο; ②在有理数集Q 上,ab b a =ο; ③在正实数集+R 上,b a b a ln =ο;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -=ο。 3、设ο就是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax =ο(即取a 与b 中的最大者),那么ο在Z 中( ) ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。 4、设()ο,G 为群,其中G 就是实数集,而乘法k b a b a ++=οο:,这里k 为G 中固定
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的？( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、 2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能就是群 B 、不一定就是群 C 、一定就是群 D 、 就是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。 5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既就是单射又就是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得 010=+++n n a a a ααΛ。 8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为
《抽象代数》试题及答案 本科 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分) 1. 设Q 是有理数集，规定f(x)= x +2；g(x)=2 x +1,则（fg ）(x)等于（ B ） A. 2 21x x ++ B. 2 3x + C. 2 45x x ++ D. 2 3x x ++ 2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 （ A ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。 \ A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无限个 5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8 a 的阶为( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 7．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A ) A. 111 ) (---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 [ C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ?A 的子集为等价关系的是( C ) A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 （ B ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 … 12. 在剩余类环8Z 中，其可逆元的个数是( D )。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13. 设（R ，+，·）是环 ，则下面结论不正确的有( C )。 A. R 的零元惟一 B. 若0x a +=，则x a =-
近世代数模拟试题 单项选择题（每题5分，共25分） 1、在整数加群（Z+）中，下列那个是单位元（）. A. 0 B. 1 C. －1 D. 1/n , n 是整数 2、下列说法不正确的是（）. A . G只包含一个元g,乘法是gg= g。G对这个乘法来说作成一个群 B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群 C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群 D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群 3.如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是（）. A . 反身性B. 对称性C. 传递性D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（). A. Z 没有生成元. B. 1 是其生成元. C. －1 是其生成元. D. Z 是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（）。 A. 群G是指一个集合. B. 环R 是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律, 并且单位元, 逆元存在. D. 环R 是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律, 并且单位元,
逆元存在. 二. 计算题（每题10 分，共30 分） 1.设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 3 的群，试求中G中下列各个元素c ,cd ， 1 的阶. 2. 试求出三次对称群 S3 (1),(12),(13),(23),(123),(132) 的所有子群.
3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗若是, 请给予证明. 证明题（第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45 分）. 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程
近世代数期末练习题 一、判断题（在括号里打上 √ 或 ? ） 1、一个阶是11的群只有两个子群。( ) 2、循环群的子群是循环子群。( ) 3、在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。( ) 4、消去律在无零因子环中一定成立。( ) 5、在环中，逆元一定不是零因子。( ) 6、在一个域中一定不存在零因子。( ) 7、模99的剩余类环99Z 是一个域。( ) 8、模19的剩余类环19Z 是一个整环。( ) 9、整除关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。( ) 10、同余关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。( ) 11、群G 的两个子群的交还是子群。( ) 12、环R 的一个子环和一个理想的交一定是R 的子环。( ) 13、群G 的不变子群也是G 的子群，环R 的理想也是R 的子环。( ) 14、设群G 与群G'同态，则G 的不变子群的同态像是G'的不变子群。 ( ) 15、一个域一定是一个整环。( ) 二、填空题 1、在3次对称群3S 中，元素（123）的阶为 ，（123）的逆元为 ，（123） 所生成的子群在3S 中的指数为 ，该子群是否3S 的不变子群？ 。 2、环Z 6的全部零因子是 ，全部可逆元是 。 3、在环Z 10中，[6]+[7]= ，[6][7]= ，[6]-[7]= ，[6]3= ， [7]-1= 。 三、证明：（1）若群G 的元a 的阶为2, 则a – 1 = a . （2）若群G 的元 a 的阶大于2, 则a – 1 ≠ a . （3）在群G 中, 元 a 与逆元a –1有相同的阶. 四、证明：设群G 中元a 的阶为n . 证明a s = a t ? n | ( s – t ) . 五、设R 是一个环，证明R 是交换环当且仅当(a+b) 2=a 2+2ab+b 2。 六、设G 是一个群，证明G 是交换群当且仅当(ab) -1=a -1b -1。
近世代数模拟试题 一、单项选择题 (每题 5 分，共 25 分) 1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）。 A 0 B 1C－1D1/n， n 是整数 2、下列说法不正确的是（）。 A G 只包含一个元 g，乘法是 gg＝ g。G 对这个乘法来说作成一个群 B G 是全体整数的集合， G 对普通加法来说作成一个群 C G 是全体有理数的集合， G 对普通加法来说作成一个群 D G 是全体自然数的集合， G 对普通加法来说作成一个群 3、下列叙述正确的是（）。 A群 G 是指一个集合 B环 R 是指一个集合 C群 G 是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在 D环 R 是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在 4、如果集合M 的一个关系是等价关系，则不一定具备的是()。 A 反身性B对称性C传递性 D 封闭性 5、下列哪个不是S3的共轭类( )。 A（1） B（123），（ 132），（ 23） C（123），（ 132） D（12），（ 13），（ 23） 二、计算题 (每题 10 分，共 30 分) 1.求 S＝{ （ 12），（ 13）} 在三次对称群 S3的正规化子和中心化子。
2.设 G＝{1 ，－ 1，i，－ i} ，关于数的普通乘法作成一个群，求各个元素的阶。 x, y 3.设 R 是由一切形如（x，y是有理数）方阵作成的环，求 出其右零因子。
三、证明题 (每小题 15 分，共 45 分) 1、设 R 是由一切形如x,0（x，y 是有理数）方阵作成的环，证 y,0 明0,0 是其零因子。0,0 2、设 Z 是整数集，规定 a·b＝a＋b－3。证明： Z 对此代数运算 作成一个群，并指出其单位元。
世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（ c ） A、满射而非单射 B、单射而非满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射 2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ d ）个元素。 A、2 B、5 C、7 D、10 3、在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（b ）乘法来说 A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样) 4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ） A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ） A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合；，则有。 2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。 3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。 4、偶数环是整数环的子环。 5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。 6、每一个有限群都有与一个置换群同构。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a的逆元是a-1。 8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-域-----。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇1、解：把和写成不相杂轮换的乘积： 可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积： 2解：设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：，，所以，表示法唯一。 3、设集合，定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则（，）是不是群，为什么？ 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、设是群。证明：如果对任意的，有，则是交换群。 2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。 1、对于G中任意元x，y，由于，所以（对每个x，从可得）。 2、证明在F里 有意义，作F的子集 显然是R的一个商域证毕。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（c ）是子群。 A、B、C、D、 2、下面的代数系统（G，*）中，（d ）不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ b ） A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（b ）