4.3 平面向量的数量积
教学内容：平面向量的数量积（2课时）
教学目标：理解平面向量数量积的含义及其物理意义，会进行平面向量数量积的运算，能运
用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系．
教学重点：平面向量数量积的运算及其应用（解决有关长度、角度和垂直的问题）． 教学难点：平面向量数量积的几何意义．
教学用具：三角板
教学设计：
一、知识要点
1.平面向量的数量积的定义
（1）向量的夹角：已知两个非零向量，，过O 点作=，=，则θ=∠AOB )1800(?≤≤?θ叫做向量，的夹角. 当且仅当两个非零向量，同向时，?=0θ；当 且仅当两个非零向量，反向时，?=180θ；当且仅当两个非零向量，的夹角?=90θ 时，称与垂直，记作⊥.
注：两个向量a ，b 平移成有公共起点时两个向量所成的角才是向量的夹角；要注意它的取值 范围是?≤≤?1800θ；零向量与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题.
（2）向量的数量积：两个非零向量，的夹角为θ，则θcos ||||b a 叫做向量，的数量积（或内积），记作?.
（3）向量数量积的几何意义：θcos ||b 叫做在方向上的投影，?等于的长度与在 a 方向上的投影的乘积.
2.
注：)(??≠； 消去律不成立，即由?=?不能得到=；此外由0=?也不能得到0=或0=.
3. 重要定理、公式的坐标表示
二、典型例示
例1已知3||=，2||=，
与的夹角为?135，求?；)()(-?+；2)2(+； )()2(-?+；)2()(-?+.
注：数量积的计算是基本的技能，在展开时与多项式乘法类似（乘法公式仍然适用），但与乘法的法则比较，数量积除了模的乘积之外还有夹角的余弦..
例2（1）设a ，b 满足1||||==b a ，a 与b 的夹角为?60，求b a a a ?+?和|2|b a -；
（2）已知两个单位向量a 与b 的夹角为?120，若b a c -=2，a b d -=3，求c 与d 夹 角的余弦；
（4）已知3||=，5||=，12=?，求向量在向量方向上的投影.
注：本例中的问题是向量的数量积所涉及到的基本问题（数量积的计算及有关长度、角 度），体现了向量的工具性，要切实把握好解决这些问题的基本方法；其中角度的计算是以数 量积和向量长度的计算为基础的.
例3（1）已知平面上三个向量，，的模均为1，它们相互之间的夹角都是?120， 求证：⊥-)(；
（2）设，满足3||=a ，4||=b ，6=?，若向量k +与k -互相垂直，求 实数k 的值（是否存在实数k ，使得向量k +与k -互相垂直？说明理由）.
（3）若a ,b 是两个非零向量，且3+与57-垂直，4-与27-垂直，试求 与的夹角.
注：向量垂直的充要条件的应用是重要而且关键的知识点，需要通过举一反三的方式训 练落实，这里根据向量满足的不同条件列出方程（组）求解是确定参数值的基本方法.
例4 已知2||=a ，3||=b ，与的夹角为?45，求当向量k +与k +的夹角是 钝角时，实数k 的取值范围.
解：由已知得345cos 23=?=?，因为向量k +与k +的夹角是钝角，所以 0)()(<+?+b a k b k a ①， 且k +与k +不反向共线 ②， 由①得0)1(222<+?++b k b a k a k ，即031132<++k k ， 解得6
851168511+-<<--k ； 由②得)(b a k b k a +=+λ，有1=k λ且k =λ，解得1±==k λ，则有1-≠λ， 综上所述，当向量k +与k +的夹角是钝角时，实数k 的取值范围是
6
851168511+-<<--k 且1-≠λ． 注：根据向量满足的不同条件列出不等式（组）求解是确定参数值取值的基本方法；不可 忽略向量的特殊位置关系的探讨.
三、课堂练习
1. 已知3||=a ，2||=b ，a 与b 的夹角为?30，则||b a +等于（ ）
A. 13
B. 32
C. 5
D. 3
2. 已知3||=a ，4||=b ，则向量34+与34-的位置关系是（ ）
A. 平行
B. 夹角为?45
C. 垂直
D. 不平行也不垂直
3. 设a ，b 满足1||||==b a ，且b a ⊥，若b a 32+与b a k 4-互相垂直，则实数k 的值是（ ）
A. 6-
B. 6
C. 3
D. 3-
4. 若a ,b 是两个非零向量，且a b a ⊥-)2(，b a b ⊥-)2(，则a 与b 的夹角是（ ） A.
6π B. 3
π C. 32π D. 65π 四、课堂小结 向量的数量积所涉及到的基本问题包括：数量积的计算、有关长度和角度的计算、垂直问题的探讨，体现了向量的工具性.
五、课外作业
1．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且相互不共线，则 ① ??-??)()(不与c 垂直； ②0)()(=??-??；③||||||-<-；④22||4||9)23()23(-=-?+ 中，是真命题的有 （ ）
A ． ① ②
B ． ② ③
C ．③ ④
D ． ② ④ 2．已知下列各式：（1）22||a = ；（2）a b a b a =?2；（3）2222)(b a +?-=-； （4）222)(b a b a ?=?，其中正确的有 （ ）
A ． 1个
B ．2个
C ． 3个
D ． 4个
3. 已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为?60，那么|3|a b + =（ ）.
A B C D ．4
4．已知2||=，5||=，3-=?，则||+等于 （ ）
A ． 23
B ． 35
C ． 23
D ． 5. 若向量a 与b 的夹角为60，||4b =，72)3()2(-=-?+，则向量a 的模为（ ）
A ． 2
B ． 4
C ． 6
D ． 12
6．已知36||=，1||=，9-=?，则a 与b 的夹角是 （ ） A ． 120? B ． 150? C ． 60? D ． 30?
7. 若1||=a ，2||=b ，+=，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 ( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150° 8．已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意R t ∈，恒有|a －t e |≥|a －e |，则 （ ） A ．a ⊥e B ． a ⊥(a －e ) C ．e ⊥(a －e ) D ． (a ＋e )⊥(a －e )
9．已知8||=，5||=，则||的取值范围是 （ ）
A ．]8,3[
B ．)8,3(
C ．]13,3[
D ．)13,3( 10. 已知正方形ABCD 的边长为1，=，=，=，则a b c ++的模等于（ ）
A ．0
B ．3
C
D ． 11. ABC ?中，3||=AB ，
4||=BC ，5||=AC ， 则=?+?+? . 12．等腰ABC Rt ?中，2||||==AC AB ，则=? .
13．设O 为ABC ?内一点，?=?=?，则O 是ABC ?的_______心。 14．已知3||=a ，4||=b ，与的夹角为?150，求)()23(b a b a -?-和|2|b a +． 15．已知2||=a ，1||=b ，0)(=?-b b a ，求向量a 与b 的夹角. 16. 已知2||=
a ，2||=
b ，与的夹角为?135，求-2与2+的夹角.
17. 已知2||=a ，3||=b ，3
17=?，求证：)()2(b a b a -⊥-. 18. 设，满足1||||==，与的夹角为?60，若)()(-⊥+λ，求实数λ的值. 19. 已知2||=，2||=，与的夹角为?135，)2()(-⊥+λλ，求实数λ的值. 已知不共线的，，三向量两两所成的角相等，并且1||=，2||=，3||=，试 求向量a b c ++的长度以及与已知三向量的夹角。
19．设a 与b 是两个互相垂直的单位向量，问当k 为何整数时，向量m ka b =+与n a kb =+的 夹角能否等于60?，证明你的结论。