第三章导数
§3.1导数
考纲解读
分析解读 1.导数是高考中的重要内容.导数的运算是高考命题的热点,是每年的必考内容.
2.本节主要考查导数的运算,导数的几何意义,考查函数与其导函数图象之间的关系.
3.预计2019年高考中,导数运算的考查必不可少,同时要注意对切线的考查,复习时应引起高度重视.
五年高考
考点一导数的概念及其几何意义
1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()
A.y=sinx
B.y=lnx
C.y=e x
D.y=x3
答案A
2.(2014课标Ⅱ,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()
A.0
B.1
C.2
D.3
答案D
3.(2017课标全国Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.
答案x-y+1=0
4.(2017天津文,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-lnx的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.
答案1
5.(2016课标全国Ⅲ,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.
答案y=-2x-1
6.(2014江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线
7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.
答案-3
7.(2014江西,13,5分)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.
答案(-ln2,2)
8.(2016浙江自选,“复数与导数”模块,03(2),5分)求曲线y=2x2-lnx在点(1,2)处的切线方程.
解析因为(2x2-lnx)'=4x-,
所以曲线在点(1,2)处的切线的斜率为3.
因此,曲线在点(1,2)处的切线方程为y=3x-1.
9.(2013浙江,22,14分)已知a∈R,函数f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当x∈[0,2]时,求|f(x)|的最大值.
解析(1)由题意得f'(x)=3x2-6x+3a,
故f'(1)=3a-3.
又f(1)=1,所以所求的切线方程为y=(3a-3)x-3a+4.
(2)由于f'(x)=3(x-1)2+3(a-1),0≤x≤2.
故(i)当a≤0时,有f'(x)≤0,此时f(x)在[0,2]上单调递减,
故|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3-3a.
(ii)当a≥1时,有f'(x)≥0,此时f(x)在[0,2]上单调递增,
故|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3a-1.
(iii)当0 则0 由于f(x1)=1+2(1-a),f(x2)=1-2(1-a)·,故f(x1)+f(x2)=2>0,f(x1)-f(x2)=4(1-a)·>0. 从而f(x1)>|f(x2)|. 所以|f(x)|max=max{f(0),|f(2)|,f(x1)}. ①当0 又f(x1)-f(0)=2(1-a)-(2-3a)= >0, 故|f(x)|max=f(x1)=1+2(1-a). ②当≤a<1时,|f(2)|=f(2),且f(2)≥f(0). 又f(x1)-|f(2)|=2(1-a)-(3a-2)=, 所以当≤a<时,f(x1)>|f(2)|. 故f(x)max=f(x1)=1+2(1-a). 当≤a<1时,f(x1)≤|f(2)|.故f(x)max=|f(2)|=3a-1. 综上所述,|f(x)|max= 10.(2013浙江文,21,15分)已知a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值. 解析(1)当a=1时,f'(x)=6x2-12x+6,所以f'(2)=6. 又因为f(2)=4,所以切线方程为y=6x-8. (2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值. f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a). 令f'(x)=0,得到x1=1,x2=a. 比较f(0)=0和f(a)=a2(3-a)的大小可得 g(a)= 当a<-1时, 得g(a)=3a-1. 综上所述,f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值为 g(a)= 11.(2017北京文,20,13分)已知函数f(x)=e x cosx-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值. 解析本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数的单调性、最值. (1)因为f(x)=e x cosx-x,所以f'(x)=e x(cosx-sinx)-1,f'(0)=0. 又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1. (2)设h(x)=e x(cosx-sinx)-1, 则h'(x)=e x(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2e x sinx. 当x∈时,h'(x)<0, 所以h(x)在区间上单调递减. 所以对任意x∈有h(x) 所以函数f(x)在区间上单调递减. 因此f(x)在区间上的最大值为f(0)=1,最小值为f=-. 12.(2017山东文,20,13分)已知函数f(x)=x3-ax2,a∈R. (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程; (2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解析本题考查导数的几何意义;用导数研究函数的单调性;用导数求函数的极值、最值. (1)由题意f'(x)=x2-ax, 所以当a=2时,f(3)=0,f'(x)=x2-2x, 所以f'(3)=3, 因此,曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0. (2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx, 所以g'(x)=f'(x)+cosx-(x-a)sinx-cosx =x(x-a)-(x-a)sinx =(x-a)(x-sinx), 令h(x)=x-sinx, 则h'(x)=1-cosx≥0, 所以h(x)在R上单调递增. 因为h(0)=0,所以当x>0时,h(x)>0; 当x<0时,h(x)<0. (1)当a<0时,g'(x)=(x-a)(x-sinx), 当x∈(-∞,a)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增; 当x∈(a,0)时,x-a>0,g'(x)<0,g(x)单调递减; 当x∈(0,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增. 所以当x=a时g(x)取到极大值,极大值是g(a)=-a3-sina, 当x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a. (2)当a=0时,g'(x)=x(x-sinx), 当x∈(-∞,+∞)时,g'(x)≥0,g(x)单调递增; 所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值. (3)当a>0时,g'(x)=(x-a)(x-sinx), 当x∈(-∞,0)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增; 当x∈(0,a)时,x-a<0,g'(x)<0,g(x)单调递减; 当x∈(a,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增. 所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a; 当x=a时g(x)取到极小值,极小值是g(a)=-a3-sina. 综上所述: 当a<0时,函数g(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(a)=-a3-sina,极小值是g(0)=-a; 当a=0时,函数g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值; 当a>0时,函数g(x)在(-∞,0)和(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是 g(a)=-a3-sina. 教师用书专用(13—19) 13.(2015陕西,15,5分)设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为. 答案(1,1) 14.(2015课标Ⅱ,16,5分)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=. 答案8 15.(2014广东,10,5分)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为. 答案5x+y-3=0 16.(2017山东,20,13分)已知函数f(x)=x2+2cosx,g(x)=e x(cosx-sinx+2x-2),其中e=2.71828…是自然对数的底数. (1)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程; (2)令h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 解析本题考查导数的几何意义和极值. (1)由题意知,f(π)=π2-2, 又f'(x)=2x-2sinx, 所以f'(π)=2π, 因此曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为y-(π2-2)=2π(x-π),即y=2πx-π2-2. (2)由题意得h(x)=e x(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx), 因为h'(x)=e x(cosx-sinx+2x-2)+e x(-sinx-cosx+2)-a(2x-2sinx) =2e x(x-sinx)-2a(x-sinx) =2(e x-a)(x-sinx), 令m(x)=x-sinx,则m'(x)=1-cosx≥0, 所以m(x)在R上单调递增. 因为m(0)=0, 所以当x>0时,m(x)>0;当x<0时,m(x)<0. (i)当a≤0时,e x-a>0, 当x<0时,h'(x)<0,h(x)单调递减, 当x>0时,h'(x)>0,h(x)单调递增, 所以当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1; (ii)当a>0时,h'(x)=2(e x-e lna)(x-sinx), 由h'(x)=0得x1=lna,x2=0. ①当0 当x∈(-∞,lna)时,e x-e lna<0,h'(x)>0,h(x)单调递增; 当x∈(lna,0)时,e x-e lna>0,h'(x)<0,h(x)单调递减; 当x∈(0,+∞)时,e x-e lna>0,h'(x)>0,h(x)单调递增. 所以当x=lna时h(x)取到极大值, 极大值为h(lna)=-a[(lna)2-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2], 当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1; ②当a=1时,lna=0, 所以当x∈(-∞,+∞)时,h'(x)≥0,函数h(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值; ③当a>1时,lna>0, 所以当x∈(-∞,0)时,e x-e lna<0,h'(x)>0,h(x)单调递增; 当x∈(0,lna)时,e x-e lna<0,h'(x)<0,h(x)单调递减; 当x∈(lna,+∞)时,e x-e lna>0,h'(x)>0,h(x)单调递增. 所以当x=0时h(x)取到极大值,极大值是h(0)=-2a-1; 当x=lna时h(x)取到极小值, 极小值是h(lna)=-a[(lna)2-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2]. 综上所述: 当a≤0时,h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,函数h(x)有极小值,极小值是h(0)=-2a-1; 当0 极大值是h(lna)=-a[(lna)2-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2], 极小值是h(0)=-2a-1; 当a=1时,函数h(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值; 当a>1时,函数h(x)在(-∞,0)和(lna,+∞)上单调递增, 在(0,lna)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值, 极大值是h(0)=-2a-1, 极小值是h(lna)=-a[(lna)2-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2]. 17.(2013湖南,22,13分)已知a>0,函数f(x)=. (1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式; (2)是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由. 解析(1)当0≤x≤a时,f(x)=;当x>a时,f(x)=.因此,当x∈(0,a)时,f'(x)=<0,f(x) 在(0,a)上单调递减; 当x∈(a,+∞)时,f'(x)=>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增. ①若a≥4,则f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=. ②若0 时,g(a)=f(4)=;当1 综上所述,g(a)= (2)由(1)知,当a≥4时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求. 当0 即·=-1. 亦即x1+2a=.(*) 由x1∈(0,a),x2∈(a,4)得x1+2a∈(2a,3a),∈. 故(*)成立等价于集合A={x|2a 因为<3a,所以当且仅当0<2a<1,即0 综上所述,存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a的取值范围是. 18.(2015安徽,18,12分)设n∈N*,x n是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标. (1)求数列{x n}的通项公式; (2)记T n=…,证明:T n≥. 解析(1)y'=(x2n+2+1)'=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2. 从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1). 令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标x n=1-=. (2)证明:由题设和(1)中的计算结果知 T n=…=…. 当n=1时,T1=. 当n≥2时,因为==> ==. 所以T n>×××…×=. 综上可得对任意的n∈N*,均有T n≥. 19.(2013北京,18,13分)设L为曲线C:y=在点(1,0)处的切线. (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方. 解析(1)设f(x)=,则f'(x)=. 所以f'(1)=1. 所以L的方程为y=x-1. (2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(?x>0,x≠1).g(x)满足g(1)=0,且 g'(x)=1-f'(x)=. 当0 当x>1时,x2-1>0,lnx>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增. 所以,g(x)>g(1)=0(?x>0,x≠1). 所以除切点之外,曲线C在直线L的下方. 考点二导数的运算 1.(2014大纲全国,7,5分)曲线y=xe x-1在点(1,1)处切线的斜率等于() A.2e B.e C.2 D.1 答案C 2.(2013江西,13,5分)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则f'(1)=. 答案2 3.(2017浙江,20,15分)已知函数f(x)=(x-)e-x. (1)求f(x)的导函数; (2)求f(x)在区间上的取值范围. 解析本题主要考查函数的最大(小)值,导数的运算及其应用,同时考查分析问题和解决问题的能力. (1)因为(x-)'=1-,(e-x)'=-e-x, 所以f'(x)=e-x-(x-)e-x =. (2)由f'(x)==0,解得x=1或x=. 又f(x)=(-1)2e-x≥0, 所以f(x)在区间上的取值范围是. 4.(2016北京,18,13分)设函数f(x)=xe a-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4. (2)求f(x)的单调区间. 解析(1)因为f(x)=xe a-x+bx,所以f'(x)=(1-x)e a-x+b. 依题设,知即 解得a=2,b=e. (2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex. 由f'(x)=e2-x(1-x+e x-1)及e2-x>0知,f'(x)与1-x+e x-1同号. 令g(x)=1-x+e x-1,则g'(x)=-1+e x-1. 所以,当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减; 当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增. 故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值, 从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞). 综上可知,f'(x)>0,x∈(-∞,+∞).故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞). 三年模拟 A组2016—2018年模拟·基础题组 考点一导数的概念及其几何意义 1.(2018浙江镇海中学12月测试,2)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为() A.2 B.1 C.-1 D.-2 答案A 2.(2017浙江测试卷,4)已知直线y=ax是曲线y=lnx的切线,则实数a=() A. B. C. D. 答案C 3.(2017浙江衢州质量检测(1月),14)已知函数f(x)=x3+2ax2+1在x=1处的切线的斜率为1,则实数a=,此时函数y=f(x)在[0,1]最小值为. 答案-; 4.(2017浙江台州质量评估,20)已知函数f(x)=x3+|x-a|(a∈R). (1)当a=1时,求f(x)在(0,f(0))处的切线方程; (2)当a∈(0,1)时,求f(x)在区间[-1,1]上的最小值(用a表示). 解析(1)当a=1,x<1时,f(x)=x3+1-x,f'(x)=3x2-1, 所以f(0)=1,f'(0)=-1, 所以f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=-x+1. (2)当a∈(0,1)时,由已知得f(x)= 当a≤x≤1时,由f'(x)=3x2+1>0,知f(x)在(a,1)上是单调递增的. 当-1≤x (i)当a∈时,f(x)在上递增,在上递减,在上递增, 所以在区间[-1,1]上,f(x)min=min=min=a-. (ii)当a∈时,f(x)在上递增,在上递减, 所以在区间[-1,1]上,f(x)min=min{f(-1),f(a)}=min{a,a3}=a3. 综上所述,f(x)min= 考点二导数的运算 5.(2018浙江镇海中学12月测试,1)下列求导结果正确的是() A.(1-x2)'=1-2x B.(cos30°)'=-sin30° C.[ln(2x)]'= D.()'= 答案D 6.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,4)设f1(x)=sinx+cosx,对任意的n∈N*,定义f n+1(x)=f n'(x),则f2017(x)等于() A.sinx-cosx B.sinx+cosx C.-sinx-cosx D.-sinx+cosx 答案B 7.(2017浙江镇海中学阶段测试(二),13)已知函数f(x)=sinx-f'cosx,若f'=0,则f'=. 答案-1 B组2016—2018年模拟·提升题组 一、选择题 1.(2017浙江湖州期末调研,2)函数y=e x(e是自然对数的底数)的图象在点(0,1)处的切线方程是() A.y=x-1 B.y=x+1 C.y=-x-1 D.y=-x+1 答案B 二、解答题 2.(2018浙江重点中学12月联考,20)已知函数f(x)=-ln(x+b)+a(a,b∈R). (1)若y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y=-x+3,求a,b的值; (2)当b=0时,f(x)≥-对定义域内的x都成立,求a的取值范围. 解析(1)由f(x)=-ln(x+b)+a,得f'(x)=-, 所以得(6分) (2)当b=0时,f(x)≥-对定义域内的x都成立, 即-lnx+a≥-恒成立, 所以a≥lnx-恒成立,则a≥(lnx-)max.(9分) 令g(x)=lnx-,则g'(x)=-=.(11分) 令m(x)=-x,则m'(x)=-1=, 令m'(x)>0,得x<1,所以m(x)在上单调递增, 在(1,+∞)上单调递减,所以m(x)max=m(1)=0,(13分) 所以g'(x)≤0,所以g(x)在定义域上单调递减,所以g(x)max=g=ln,所以a≥ln.(15分) 3.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,20)已知函数f(x)=+alnx(a>0). (1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=-x平行,求函数y=f(x)的单调区间; (2)若对任意x∈(0,+∞),都有f(x)>0成立,试求实数a的取值范围; (3)记g(x)=f(x)+2x-b(b∈R),当a=1时,函数g(x)在区间[e-1,e]上有两个零点,求实数b的取值范围.解析(1)直线y=-x的斜率为-1. 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-+, 所以f'(1)=-3+a=-1,解得a=2,(3分) 所以f(x)=+2lnx,f'(x)=. 由f'(x)>0,得x>;由f'(x)<0,得0 所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.(5分) (2)f'(x)=-+=(a>0), 由f'(x)>0,得x>,由f'(x)<0,得0 所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为, 当x=时,f(x)取极小值,也是最小值, 即f(x)min=f,(7分) ∵对任意x∈(0,+∞),都有f(x)>0成立,∴f>0, 即a+aln>0,(9分) 又a>0,∴ln>-1,得0 ∴实数a的取值范围为(0,3e).(10分) (3)当a=1时,g(x)=+lnx+2x-b(x>0), g'(x)==, 由g'(x)>0,得x>1,由g'(x)<0,得0 所以g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞), 则x=1时,g(x)取得极小值g(1).(12分) 因为函数g(x)在区间[e-1,e]上有两个零点,所以 得∵-=e--2>0, ∴5 所以b的取值范围是.(15分) 4.(2017浙江宁波二模(5月),20)设函数f(x)=x2-ax-lnx,a∈R. (1)若函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为1,求实数a的值; (2)当a≥-1时,记f(x)的极小值为H,求H的最大值. 解析(1)f'(x)=(x>0), 由题知,f'(1)=1,解得a=0. (2)令f'(x0)=0,则2-ax0-1=0, 解得x0=,且2-1=ax0. 可知f(x)在(0,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增, 则H=f(x)极小值=f(x0)=-ax0-lnx0=-+1-lnx0. 记g(a)=(a≥-1), 当a≥0时,g(a)为增函数; 当-1≤a<0时,g(a)=,此时g(a)为增函数, 故x0≥g(-1)=. 设y=-x2+1-lnx. 易知,函数y=-x2+1-lnx在上为减函数, 所以H的最大值为+ln2. 5.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷一,20)已知函数f(x)=2alnx+x2-(a+2)x,a∈R. (1)当a=时,求曲线y=f(x)在点M(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值. 解析(1)当a=时,f(x)=lnx+x2-x, 所以f(1)=-2. 又f'(x)=+x-,所以f'(1)=-. 由点斜式得所求切线方程为y=-x-. (2)f'(x)=+x-(a+2)==, 因为x∈[1,2],所以有 ①当a≥2时,函数f(x)在区间[1,2]上为增函数. 此时f(x)max=f(2)=2aln2-2a-2. ②当1≤a<2时,函数f(x)在区间[1,a]上为增函数,在区间[a,2]上为减函数. 此时f(x)max=f(a)=2alna-a2-2a. ③当a<1时,函数f(x)在区间[1,2]上为减函数. 此时f(x)max=f(1)=-a-. 故函数f(x)在区间[1,2]上的最大值为 f(x)max= 6.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,20)已知函数f(x)=lnx-+1. (1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当x∈(0,1)时,函数g(x)=af(x)-x2在x=m处取得极大值,求实数a的取值范围. 解析(1)由f'(x)=+,得f'(1)=3. 又f(1)=-1, ∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=3x-4. (2)g(x)=a-x2, ∴g'(x)=+-x=-(x>0), ∵g(x)在x=m处取得极大值,∴g'(m)=0, ∴m3-2am-4a=0,即a=(0 设h(m)=(0 ∴h(m)在(0,1)上单调递增,∴0 C组2016—2018年模拟·方法题组方法1导数运算的解题策略 1.求下列函数的导数: (1)y=x;(2)y=1+sin cos; (3)y=xsinx+;(4)y=-2x. 解析(1)因为y=x+2+,所以y'=1-. (2)因为y=1+sin cos=1+sinx, 所以y'=cosx. (3)y'=(xsinx)'+()'=sinx+xcosx+. (4)y'='-(2x)'=-2x ln2=-2x ln2. 方法2导数的几何意义的解题策略 2.(2017浙江镇海中学模拟卷一,20)已知函数f(x)=x3+3ax2. (1)判断函数f(x)的单调性; (2)若过点(1,0)可作曲线y=f(x)的三条切线,求a的取值范围. 解析(1)f'(x)=3x2+6ax=3x(x+2a), 所以当a=0时,f'(x)≥0恒成立,因此f(x)在(-∞,+∞)上单调递增; 当a<0时,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,-2a)上单调递减,在(-2a,+∞)上单调递增; 当a>0时,f(x)在(-∞,-2a)上单调递增,在(-2a,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. (2)设切点坐标为(t,f(t)),则过该点的切线方程为y-f(t)=f'(t)(x-t).易知该直线经过点(1,0),则有-f(t)=f'(t)(1-t),即t[2t2+(3a-3)t-6a]=0,由题可知,上述方程有三个互不相等的实根,即2t2+(3a-3)t-6a=0有两个互不相等的非零实根,所以有 解得 所以a的取值范围是(-∞,-3)∪∪(0,+∞). 3.(2017浙江镇海中学模拟卷四,20)已知函数f(x)=ax2-lnx(其中a为正常数). (1)当a=时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)试求函数f(x)在[1,2]上的最小值. 解析(1)当a=时,f(x)=x2-lnx,则f'(x)=x-=,所以f'(2)=,且f(2)=2-ln2, 因此曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(2-ln2)=(x-2),即y=x-(1+ln2).(6分) (2)f'(x)=2ax-=,其中x>0, 因此,f(x)在上单调递减,在上单调递增.(8分) 当≤1,即a≥时,f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=a;(10分) 当≥2,即0 当1<<2,即 综上,f(x)min= (15分) 2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数 学 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B e= A ．{}1- B ．{}0,1? C ．{}1,2,3- D ．{}1,0,1,3- 2．渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是 A B ．1 C D ．2 3．若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥?? --≤??+≥? ，则z =3x +2y 的最大值是 A ．1- B ．1 C ．10 D ．12 4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体 =Sh ，其中S 是柱体的底面 积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是 A ．158 B ．162 C ．182 D ．32 5．若a ＞0，b ＞0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．在同一直角坐标系中，函数y = 1 x a ，y =log a (x +)，(a >0且a ≠0)的图像可能是 7．设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是 则当a 在（0,1）内增大时 A ．D （X ）增大 B ．D （X ）减小 C ． D （X ）先增大后减小 D ．D （X ）先减小后增大 8．设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β 9．已知,a b ∈R ，函数32 ,0 ()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C ．a ＞-1，b ＞0 D ．a ＞-1，b <0 10．设a ，b ∈R ，数列{a n }中a n =a ，a n +1=a n 2+b ，b *∈N ,则 A ．当b =，a 10＞10 B ．当b =，a 10＞10 C ．当b =-2，a 10＞10 D ．当b =-4，a 10＞10 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。 11．复数1 1i z = +（为虚数单位），则||z =___________. 12．已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是.若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____， =______. 13 ．在二项式9 )x 的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是_______. 14．在ABC △中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =， 点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=?，则BD =____，cos ABD ∠=________. 15．已知椭圆22 195 x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______. 16．已知a ∈R ，函数3 ()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2 |(2)()|3 f t f t +-≤，则实数的最大值是____. 17．已知正方形ABCD 的边长为 1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时， 123456 ||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________，最大值是_______. 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 绝密★启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。 学 4 页，选择题部分 1 至 2 页；非选择题部分 3 至 考生注意： 1．答题前， 请务必将自己的姓名、 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题 纸规定的位置上。 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题 选择题部分(共 40 分) 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是 符合题目要求的。 1．已知全集 U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则 e U A= A ． B ．{1，3} C ．{2，4， 5} D ．{1，2，3，4，5} 卷上的作答一律无效。 参考公式： 若事件 A ，B 互斥，则 P(A B) P(A) P(B) 若事件 A ，B 相互独立，则 P(AB) P(A)P(B) 若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，则 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 k k n k P n (k) C k n p k (1 p)n k (k 0,1,2, ,n) 台体的体积公式 V 1 (S 1 S 1S 2 S 2)h 其中 S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， h 表 示台体的高 柱体的体积公式 V Sh 其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高 1 锥体的体积公式 V Sh 3 其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高 球的表面积公式 2 S 4 R 2 球的体积公式 43 2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学 本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟. 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上. 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 参考公式： 选择题部分（共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合P ={|14}< A. 1 B. –1 C. 2 D. –2 3.若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤?? +-≥?，则z =2x +y 的取值范围是（ ） A. (,4]-∞ B. [4,)+∞ C. [5,)+∞ D. (,)-∞+∞ 4.函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，+π]的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ） A. 73 B. 143 C. 3 D. 6 6.已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.已知等差数列{a n }前n 项和S n ，公差d ≠0， 11a d ≤．记b 1=S 2，b n+1=S n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能成立的是（ ） A. 2a 4=a 2+a 6 B. 2b 4=b 2+b 6 C. 2428a a a = D. 2428b b b = 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??==I Y （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30555 50 1539252 2∈-- 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()() （答：，，，）022334Y Y 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ ( ) ).(1x f x e x f x ，求如：+=+ 令，则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2017年浙江，1，4分】已知{|11}P x x =-<<，{20}Q x =-<<，则P Q =U （ ） （A ）(2,1)- （B ）(1,0)- （C ）(0,1) （D ）(2,1)-- 【答案】A 【解析】取,P Q 所有元素，得P Q =U (2,1)-，故选A ． 【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力． （2）【2017年浙江，2，4分】椭圆22 194 x y +=的离心率是（ ） （A ）13 （B ）5 （C ）23 （D ）5 9 【答案】B 【解析】945 e -== ，故选B ． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． （3）【2017年浙江，3，4分】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位： cm 3）是（ ） （A ）12π+ （B ）32π+ （C ）312π+ （D ）332π+ 【答案】A 【解析】由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1， 三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体 的体积为2111π 3(21)13222 V π?=??+??=+，故选A ． 【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特 征，是基础题目． （4）【2017年浙江，4，4分】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥?? +-≥??-≤? ，则2z x y =+的取值范围是 （ ） （A ）[]0,6 （B ）[]0,4（C ）[]6,+∞ （D ）[]4,+∞ 【答案】D 【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点()2,1时取最小值4，无最大值，故选D ． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键． （5）【2017年浙江，5，4分】若函数()2f x x ax b =++在区间[]01，上的最大值是M ，最小值是m ，则–M m （ ） （A ）与a 有关，且与b 有关 （B ）与a 有关，但与b 无关 （C ）与a 无关，且与b 无关 （D ）与a 无关，但与b 有关 【答案】B 【解析】解法一：因为最值在2 (0),(1)1,()24 a a f b f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，故选B ． 解法二：函数()2f x x ax b =++的图象是开口朝上且以直线2a x =-为对称轴的抛物线，①当12 a ->或 2018年浙江省高考数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（4分）（2018?浙江）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则?U A=（）A．?B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5} 2．（4分）（2018?浙江）双曲线﹣y2=1的焦点坐标是（） A．（﹣，0），（，0）B．（﹣2，0），（2，0）C．（0，﹣），（0，）D．（0，﹣2），（0，2） 3．（4分）（2018?浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（4分）（2018?浙江）复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 5．（4分）（2018?浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（） A．B．C． D． 6．（4分）（2018?浙江）已知平面α，直线m，n满足m?α，n?α，则“m∥n”是“m∥α”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 7．（4分）（2018?浙江）设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是 则当p在（0，1）内增大时，（） A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大 C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小 8．（4分）（2018?浙江）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（） A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1 9．（4分）（2018?浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量 与的夹角为，向量满足﹣4?+3=0，则|﹣|的最小值是（）A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣ 10．（4分）（2018?浙江）已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（） A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。 2016年浙江省高考数学试卷（理科） 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪（?R Q）=（）A．[2,3]B．（﹣2,3]C．[1,2）D．（﹣∞,﹣2]∪[1,+∞） 2．（5分）已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则（） A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 3．（5分）在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影,由区域中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=（） A．2 B．4 C．3 D．6 4．（5分）命题“?x∈R,?n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是（） A．?x∈R,?n∈N*,使得n＜x2B．?x∈R,?n∈N*,使得n＜x2 C．?x∈R,?n∈N*,使得n＜x2D．?x∈R,?n∈N*,使得n＜x2 5．（5分）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c,则f（x）的最小正周期（） A．与b有关,且与c有关B．与b有关,但与c无关 C．与b无关,且与c无关D．与b无关,但与c有关 6．（5分）如图,点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n ,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+1,n∈N*,（P≠Q表示点P与Q不重合）若≠A n +1 d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则（） A．{S n}是等差数列B．{S n2}是等差数列 C．{d n}是等差数列 D．{d n2}是等差数列 第6讲 对数与对数函数 最新考纲 1.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式；2.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用 . 知 识 梳 理 1.对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； ④log a m M n ＝n m log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0). (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2 ＝2log 2x .( ) (2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数( ) (3)函数y ＝ln 1＋x 1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( ) (4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a 0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) A.a >1，c >1 B.a >1，0 数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页） 绝密★启用前 浙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 本试卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 参考公式： 若事件 A ， B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+. 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B =. 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生 k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n k n n P k p p k n -=-=…. 台体的体积公式：121 ()3 V S S h =，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面 积，h 表示台体的高. 柱体的体积公式：V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 锥体的体积公式：1 3 V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高. 球的表面积公式：2 4S R =π，其中R 表示球的半径. 球的体积公式：3 4π3 V R = ，其中R 表示球的半径. 选择题部分（共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知全集1,2,3,5{}4,U =，3{}1,A =，则=U A e （ ） A .? B .{1,3} C .{2,4,5} D .1,2,3{,4,5} 2.双曲线2 21 3 =x y -的焦点坐标是 （ ） A .( ， B .(2,0)-，(2,0) C .(0, ， D .(0,2)-，(0,2) 3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是 （ ） A .2 B .4 C .6 D .8 4.复数 2 1i -(i 为虚数单位)的共轭复数是 （ ） A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 5.函数||sin22x x y =的图象可能是 （ ） A B C D 6.已知平面α，直线m ，n 满足m α?，n a ?，则“m n ∥”是“m α∥”的 （ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 俯视图 正视图 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________ -------------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效--- ------------- 一、选择题 1．若tan α＝2tan π 5，则cos ????α－3π10sin ????α－π5等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．(2016·浙江省名校协作体高三联考)对任意x ，y ∈R ，恒有sin x ＋cos y ＝2sin(x －y 2 ＋π4)cos(x ＋y 2－π4)，则sin 7π24cos 13π 24等于( ) A.1＋24 B.1－24 C. 3＋24 D.3－2 4 3．(2016·安徽十校3月联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin(α＋π 3)等于( ) A.1＋358 B.1＋538 C.1－358 D.1－538 4．在△ABC 中，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋1 2，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形 C ．锐角非等边三角形 D ．钝角三角形 5．(2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)????ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π 4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在???? π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7 D ．5 二、填空题 6．已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________ cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm 2. 7．(2016·诸暨市高中毕业班教学质量检测)函数f (x )＝sin(2x ＋π3)的周期为________，在(0，π 2] 内的值域为________． 8．若cos α＝17，cos(α＋β)＝－11 14，α∈????0，π2，α＋β∈????π2，π，则β＝________. 9. 如图，某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A ，B ，C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚2 17 s ．在A 地测得该仪器至最高点H 时 的仰角为30°，则该仪器的垂直弹射高度CH ＝________ m ．(声音在空气中的传播速度为340 m/s) 三、解答题 10．(2016·浙江稽阳联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos B cos C ＋1＝3sin B sin C ＋cos 2A . (1)求角A 的大小； (2)若a ＝23，求b ＋2c 的最大值． 第6讲对数与对数函数 最新考纲 1.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式；2.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用. 知识梳理 1.对数的概念 如果a x＝N【a>0，且a≠1】，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 【1】对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b【a>0，且a≠1】. 【2】对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①log a【MN】＝log a M＋log a N； ②log a M N＝log a M－log a N； ③log a M n＝n log a M【n∈R】； ④log a m M n＝n m log a M【m，n∈R，且m≠0】. 【3】对数的重要公式 ①换底公式：log b N＝log a N log a b【a，b均大于零且不等于1】； ②log a b＝ 1 log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d. 3.对数函数及其性质 【1】概念：函数y＝log a x【a>0，且a≠1】叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是【0，＋∞】. 【2】对数函数的图象与性质2019年浙江高考数学真题及答案(Word版,精校版)
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