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正切余切图像的性质反三角函数

正切、余切函数图象和性质反三角函数

[知识要点]

1．正切函数、余切函数的图象与性质

2．反三角函数的图象与性质

3．已知三角函数值求角

[目的要求]

1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点.

2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质.

3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题.

4．能用反三角函数值表示不同范围内的角.

[重点难点]

1．正切函数图象与性质2．已知三角函数值求角

[内容回顾]

一、正切函数与余切函数图象

由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象.

作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法.

与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图

象上三点及两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函

数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”.

若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案.

二、正、余切函数的性质

由图象可得:

上单减

，奇函数

注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）.

2、每个单调区间一定是连续的.

3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内.

三、反三角函数的概念和图象

四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义:

1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数.

y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数.

y=tanx，x∈的反函数记作y=arctanx, x∈R，称为反正切函数. y=cotx，x∈(0, π)的反函数记作y=arccotx, x∈R，称为反余切函数. 2．反三角函数的图象

由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象.

注:（1）y=arcsinx, x∈[-1,1]图象的两个端点是

（2）y=arccosx, x∈[-1,1]图象的两个端点是（1，0）和（-1，π）.

（3）y=arctanx, x∈R图象的两条渐近线是和.

（4）y=arccotx, x ∈R 图象的两条渐近线是y=0和y=π.

四、反三角函数的性质由图象，有

另外:

1．三角的反三角运算

arcsin(sinx)=x(x ∈) arccos(cosx)=x (x ∈[0, π])

arctan(tanx)=x(x ∈) arccot(cotx)=x(x ∈(0, π))

2．反三角的三角运算

sin(arcsinx)=x (x ∈[-1,1]) cos(arccosx)=x (x ∈[-1,1]) tan(arctanx)=x (x ∈R) cot(arccotx)=x (x ∈R)

3．x 与-x 的反三角函数值关系 arcsin(-x)=-arcsinx(x ∈[-1,1]) arccos(-x)=π-arccosx (x ∈[-1,1]) arctan(-x)=-arctanx (x ∈R) arccot(-x)=π-arccotx(x ∈R)

4．

五、已知三角函数值求角

1. 若sinx=a (|a|≤1)，则x=kπ+(-1)k arcsina(k∈Z)

2. 若cosx=a (|a|≤1)，则x=2kπ±arccosa(k∈Z)

3. 若tanx=a (a∈R), 则x=kπ+arctana (k∈Z)

4. 若cotx=a (a∈R), 则x=kπ+arccota(k∈Z)

具体计算和表示时，应根据x的范围来确定x的个数.

[典型例题分析]

例1．比较大小:

(1) (2)

分析:不在余切函数的同一单调区间内，应利用诱导公式设法将其化到同一单调区间内，再利用单调性来比较大小.

解:（1）∵,

而，由余切函数在（0，π）上的单减性，有

，∴

（2）∵

∴.

例2．写出下列函数的单调区间

(1)(2)(3)y=|tanx|

分析:(1)若设，则原函数可看作是由y=tanu, 复合而成的复合函

数，由于在R上单增，由复合函数的单调性确定法则，可解决之.类似地，可解决(2).

解:(1)∵上单增，(k∈Z)

此时，(k∈Z)

解之得(k∈Z)

∴在区间上单增(k∈Z)

(2)∵原函数由y=cotu, 复合而成，而在R上单减，

又y=cotu在(k∈Z)上单减，

此时，(k∈Z)

解之得(k∈Z)

即(k∈Z)

∴在区间(k∈Z) 上单增.

(3)分析:由y=tanx图象作翻折可得y=|tanx|的图象，由图象即可得其单调区间.

∴y=|tanx|的单增区间是(k∈Z)，单减区间是(k∈Z).

例3．求函数的值域.

分析:考虑到最简原则，将sec2x化为tan2x+1，这样去分母，作变形，就可以得到关于tanx 的二次型方程，而tanx∈R，可考虑用判别式法求值域.有

法一:∵，∴(y-1)tan2x+(1+y)tanx+(y-1)=0

当y≠1时，，∴，

当y=1时，tanx=0∈R综上，所求值域为.

法二:另分析，先对解析式变形“切割化弦”

有 (1)

∵, ∴

∴,∴.

法三:也可由(1)式得，

解不等式，亦可得.

例4．设，它们有相同最小正周期T，且a,b∈(0,1),若f(1)=g(1)，求f(x),g(x)和T.

分析:先从f(x)与g(x)有共同最小正周期入手，找参数a,b关系.

解:∵，∴a=2b,

∵f(1)=g(1), ∴

即,∴

∴或，

∴或

又b∈(0,1),∴.

∴,T=12.

例5．若, cosx+tsinx=t, 求t取值范围.

分析:先将t表示出来，，观察到此式右端与半角正切的有理公式

很相像，能否转化？

∵

又，∴，∴，即.

例6．求值:

(1)(2)

(3)(4)arctan2+arctan3

解:(1)设，则，∴

∴原式.

(2)设，

∴，∴，

∴原式

(3)设，

∴，∴，

∵，∴原式值不存在.

(4)设arctan2=a, arctan3=b，则，

∴.又，∴0

∴,∴原式=.

例7．求适合下列条件的x集合:.

分析:先对原式变形，讨论.

解:∵.

当，即时，角x不存在；

当，即时，原式为sin2x=1，所求集合为；

当，即时，所求集合为

反思:对于含字母的三角函数值，必须就字母的不同取值分类讨论

正切函数的性质与图像教学设计

《正切函数的性质与图像》的教学设计一.教材分析 1.地位与作用《正切函数的性质与图像》是高中《数学》必修4第一章第四节内容。在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质，研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升。 2.教材处理教材采用探究的方法引导学生注意正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以提问的方式，让学生回忆如何由正弦线得到正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。设计问题一步步引导学生注意画正切曲线的细节。我把空间留给学生，采用让学生自己设计一个得到正切曲线的方法。这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力。二．学情分析通过对正弦函数图像与性质的研究，学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，比如定义域，函数区间等问题。这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。三．教学目标确定正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标： 1.知识目标： 1）、能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像。 2）、熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质。 3）、掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。 2.能力目标： 1）、通过类比，联系正弦函数图像的作法 2）、能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。3、德育目标：使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 4.重点与难点重点：正切函数的图象及其主要性质。难点：熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题教学模式：启发、探究式发现教学. 四．流程设计（一）.复习引入：（1）问题：如何用正弦线作正弦函数图像呢？（2）类比：利用正切线得到正切函数x 的图像 y tan

《正切函数的图像与性质》教案及说明

课题：正切函数的图像与性质教材：上海教育出版社高中一年级第二学期（试用本）第六章第二节授课教师：教学目标（1）理解正切函数的定义及正切函数的图像特征，研究并掌握正切函数的基本性质．（2）在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．（3）在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．教学重点掌握正切函数的基本性质．教学难点正切函数的单调性及证明．教学方法教师启发讲授，学生积极探究．教学手段计算机辅助．教学过程一、设置疑问，引入新课 1、正切函数的定义有同学，类比正弦函数、余弦函数的定义，定义了一个正切函数：对于任意一个实数x ，都有唯一确定的值tan x 与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为tan y x =，叫做正切函数．大家认为这个定义是否完善？强调：,2 x k k Z π π≠+ ∈．

(设计意图：,2 x k k Z π π≠+∈，是学生容易出错的地方，通过学生之间的自我纠错，理解不能取,2 k k Z π π+ ∈的理由) 今天我们就要研究正切函数tan y x =（,2 x k k Z π π≠+∈）的图像与性质． 2、作函数图像的常用的方法是什么？（1）描点法是作函数图像最基本的方法；（2）利用基本初等函数图像的变换作图．大家认为应该选择哪种方法呢？学生的回答会选择（1）．教师引导：描点应该结合函数的性质，描关键点、特殊点．所以，首先研究函数的基本性质．二、主动探究，解决问题（一）利用定义，研究函数的性质学生自主研究探索正切函数的性质 1、定义域：|,,2x x R x k k Z π π? ?∈≠+∈??? ? ．学生可以迅速解决． 2、值域：R 请学生回答，并讲清楚理由，从而引出对正切线的复习．复习正切线：正切线是角x 与tanx 关系的直观体现，正切函数的性质融于其中． 3、奇偶性：奇函数．学生会利用tan()tan x x -=-迅速做出判断．问：该函数是偶函数吗？

5正切函数的性质、图像的变换

5正切函数的性质、图像的变换 1、函数y ＝tan x y ＝tan x __________________________ 2．用“图象变换法”作y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象（1）．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响 y ＝sin(x ＋φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 上所有的点______(当φ>0时)或________(当φ<0时)平行移动________个单位长度而得到．（2）．ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标________(当ω>1时)或________(当0<ω<1时)到原来的______倍(纵坐标________)而得到．（3）．A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A >1时)或________(当0