勾股定理实际应用（讲义）
? 课前预习
1. 常用的6组勾股数：___________；__________；___________；___________；
__________；___________． 2. 下列各组数：
①6，6，8
②65，8
5，2 ③13，14，15 ④0.6，0.8，1.0
⑤10，24，26
⑥7，12，13
其中能作为直角三角形三边长的是___________．（填写序号） 3. 请你画出圆柱的侧面展开图．
4. 读一读，做一做
小聪郊游时发现了一个有趣的问题：有一只蚂蚁从易拉罐底部爬向易拉罐顶部的罐口处喝饮料，在侧面留下了其爬行的轨迹．小聪观察后发现，蚂蚁爬行的路径是一条曲线，小聪想知道蚂蚁具体爬行了多长，于是邀请小明一起来研究这个问题．经过一番讨论，小聪和小明分别准备尝试用两种方法来进行测量．
的长度来估计爬行的路程，如图1．
方案二：小明准备将易拉罐侧面剪开，然后用尺子直接测量蚂蚁爬行的路程．小明剪开易拉罐侧面，将其展开后发现，蚂蚁爬行的路径竟然是一条笔直的线段，如图2．
请你选一张长方形纸片，画出他的对角线，然后卷成一个圆柱，的方法，动手测量一下这条线的长度．
? 知识点睛
蚂蚁爬最短路问题处理思路
（1）__________________________； （2）__________________________；
（3）_______________，利用________________进行计算．
? 精讲精练
1. 有这样一个有趣的问题：如图所示，圆柱的高等于12cm ，底面半径等于3cm ．在
圆柱的下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 相对的B 点处的食物，则沿圆柱的侧面爬行的最短路程是__________．（π取整数3）
2. 如图，一根藤蔓一晚上生长的长度是沿树干爬一圈后由点A 上升
到点B ，已知AB =5cm ，树干的直径为4cm ．你能计算出藤蔓一晚上生长的最短长度吗？（π取整数3）
3. 如图所示，有一根高为2m 的木柱，它的底面周长为0.3m ，为了营造
喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止．问：小明至少需要准备一根多长的彩带？
4.如图，一个三级台阶的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是
这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是________．
5.如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱（有盖）的A点沿纸箱爬
到B点，那么它所爬行的最短路程是
____________．
6.如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，BC=5cm，一只蚂蚁如果要沿
着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是______________．
7. 如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高
3.2米，宽3米的卡车能通过该隧道吗？
8. 一辆卡车装满货物后，高4米，宽2.8米．这辆卡车能通过横
截面如图所示（上方是一个半圆）的隧道吗？
9. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，“引葭（jiā）赴
岸”：今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方
3.6米
形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
10.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，
则一根到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）
A．12≤a≤13 B．12≤a≤15
C．5
D．5≤a≤13
第10题图第11题图
11.如图，将一根24cm长的筷子，置于底面直径为15cm，高为8cm的圆柱形水杯
中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）
A．h≤17 B．h≥8
C．15≤h≤16 D．7≤h≤16
12.小明家住在18层的高楼上，一天，他与妈妈去买竹竿，如果电梯的长、宽、高分
别是1.6米、1.2米、2.1米，那么能放入电梯内的竹竿的最大长度是_________米．
1.2米1.6米
2.1米
【参考答案】
?课前预习
1.3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；
9，40，41；11，60，61
2.②④⑤
3.作图略
4.略
?知识点睛
（1）作侧面展开图或表面展开图
（2）找点、连线
（3）构造直角三角形，勾股定理
?精讲精练
1.15cm
2.13cm
3. 2.9m
4.25dm
5.10
6.25cm
7.卡车能通过隧道
8.卡车能通过隧道
9.水池的深度为12尺；芦苇的长度为13尺
10.A
11.D
12.2.9米
勾股定理的应用（讲义） 知识点睛 1.利用勾股定理解决实际问题的处理思路： （1）理解题意，把实际问题转化为数学问题； （2）找出相应的直角三角形，并找出其______、______； （3）根据已知及所求，利用___________进行计算． 2.“勾股定理”或“勾股定理逆定理”： 条件是直角三角形时，考虑______________________； 要证明三角形是直角三角形，考虑______________________． 精讲精练 1.一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160km，然后 向正北方向航行了120km，这时它离出发点有________km． 2.我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌 方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m，则敌方汽车的速度为_________km/h． 3.如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在一竖直的墙AO上，这 时梯子底端B与墙角O的距离为0.7米．梯子滑动后停在CD位置上，测得BD=0.8米，求梯子顶端A沿墙下滑了多少米？
4.一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处， 则折断处离地面的高度是_________尺．（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺） 第4题图第5题图 5.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题， 这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度是_______尺，这根芦苇的长度是 _______尺． 6.如图，公路上A，B两站相距5km，在公路附近有C，D两 所学校，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知AD=2km，BC=1km，现要在公路边建一个青少年活动中心E，使C，D 两所学校到E的距离相等，则青少年活动中心E应建在距离A多远处？
勾股定理 一、知识归纳 1．勾股定理 容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222 += a b c 2．勾股定理的适用围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 3．勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ∠=?，则c，b=，a= ?中，90 C ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 二、题型 题型一：直接考查勾股定理 例１. 在ABC C ∠=? ?中，90 ⑴已知6 BC=．求AB的长 AC=，8 ⑵已知17 AB=，15 AC=，求BC的长 解： 题型二：应用勾股定理建立方程
2 1 E D C B A 例２.⑴在AB C ?中，90ACB ∠=?，5AB =cm ，3BC =cm ，C D AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 例３.如图ABC ?中，90C ∠=?，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长
A B C D E 例4.如图Rt ABC ?，90C ∠=?3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积 题型三：实际问题中应用勾股定理 例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m
2 1E D C B A 勾股定理复习 班级______姓名_________ 一．知识归纳 １．勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么____________, 2.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足________，那么这个三角形是_______，其中_____为斜边 如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证2 c 与2 a +2 b 是否具有相等关系. 若2c =2a +2b ，则△ABC 是 ；若2c ≠2a +2 b ，则△ABC 不是 . 3.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个_________称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为_____整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如_______；_______；________；7,24,25等 题型一：直接考查勾股定理 例１.（1）在ABC ?中，90C ∠=?，17AB =，15AC =，BC ＝ （2）在ABC ?中，90ACB ∠=?，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ （3）已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 （4）已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 2cm 练习1：求下列阴影部分的面积： （1） 正方形S ＝ ； （2）长方形S ＝ ； （3）半圆S ＝ ； 2：如图2，已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10， BC 边上的高AD ＝8，则边BC 的长为 例2.如图ABC ?中，90C ∠=?，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长 D C B A
勾股定理实际应用（讲义） ? 课前预习 1. 常用的6组勾股数：___________；__________；___________；___________； __________；___________． 2. 请你画出圆柱的侧面展开图． 3. 读一读，做一做 小聪郊游时发现了一个有趣的问题：有一只蚂蚁从易拉罐底部爬向易拉罐顶部的罐口处喝饮料，在侧面留下了其爬行的轨迹．小聪观察后发现，蚂蚁爬行的路径是一条曲线，小聪想知道蚂蚁具体爬行了多长，于是邀请小明一起来研究这个问题．经过一番讨论，小聪和小明分别准备尝试用两种方法来进行测量． 的长度来估计爬行的路程，如图1． 方案二：小明准备将易拉罐侧面剪开，然后用尺子直接测量蚂蚁爬行的路程．小明剪开易拉罐侧面，将其展开后发现，蚂蚁爬行的路径竟然是一条笔直的线段，如图2． 请你选一张长方形纸片，画出他的对角线，然后卷成一个圆柱，的方法，动手测量一下这条线的长度． ? 知识点睛
蚂蚁爬最短路问题处理思路： （1）________________________； （2）找点，连线； （3）构造__________，利用__________进行计算． ?精讲精练 1.有这样一个有趣的问题：如图所示，圆柱的高等于8 cm，底面半径等于2 cm．在 圆柱的下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A相对的B点处的食物，则蚂蚁沿圆柱的侧面爬行的最短路程是__________．（π取整数3） 2.如图，一根藤蔓一晚上生长的长度是沿树干爬一圈后由点A上升到点B，已知 AB=5 cm，树干的直径为4 cm．你能计算出藤蔓一晚上生长的最短长度吗？（π取整数3） 3.如图所示，有一根高为2 m的木柱，它的底面周长为0.3 m，为了营造喜庆的气 氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正
勾股定理实际应用（讲义） 课前预习 1. 常用的6组勾股数：___________；__________；___________；___________；__________；___________．2. 请你画出圆柱的侧面展开图． 3.读一读，做一做 小聪郊游时发现了一个有趣的问题：有一只蚂蚁从易拉罐底部爬向易拉罐顶部的罐口处喝饮料，在侧面留下了其爬行的轨迹．小聪观察后发现，蚂蚁爬行的路径是一条曲线，小聪想知道蚂蚁具体爬行了多长，于是邀请小明一起来研究这个问题．经过一番讨论，小聪和小明分别准备尝试用两种方法来进行测量． 方案一：小聪准备用一根绳子沿着蚂蚁爬过的轨迹来进行测量，然后再借助绳子的长度来估计爬行的路程，如图1．方案二：小明准备将易拉罐侧面剪开，然后用尺子直接测量蚂蚁爬行的路程．小明剪开易拉罐侧面，将其展开后发现，蚂蚁爬行的路径竟然是一条笔直的线段，如图2． 请你选一张长方形纸片，画出他的对角线，然后卷成一个圆柱，并参照小聪和小明的方法，动手测量一下这条线的长度．图1 图2
知识点睛 蚂蚁爬最短路问题处理思路： （1）________________________； （2）找点，连线； （3）构造__________，利用__________进行计算． 精讲精练 1.有这样一个有趣的问题：如图所示，圆柱的高等于8cm，底 面半径等于2cm．在圆柱的下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A相对的B点处的食物，则蚂蚁沿圆柱的侧面爬行的最短路程是__________．（π取整数3） 2.如图，一根藤蔓一晚上生长的长度是沿树干爬一圈后由点A 上升到点B，已知AB=5cm，树干的直径为4cm．你能计算出藤蔓一晚上生长的最短长度吗？（π取整数3）
勾股定理实际应用（讲义） ? 课前预习 1. 常用的6组勾股数：___________；__________；___________；___________； __________；___________． 2. 下列各组数： ①6，6，8 ②65，8 5，2 ③13，14，15 ④0.6，0.8，1.0 ⑤10，24，26 ⑥7，12，13 其中能作为直角三角形三边长的是___________．（填写序号） 3. 请你画出圆柱的侧面展开图． 4. 读一读，做一做 小聪郊游时发现了一个有趣的问题：有一只蚂蚁从易拉罐底部爬向易拉罐顶部的罐口处喝饮料，在侧面留下了其爬行的轨迹．小聪观察后发现，蚂蚁爬行的路径是一条曲线，小聪想知道蚂蚁具体爬行了多长，于是邀请小明一起来研究这个问题．经过一番讨论，小聪和小明分别准备尝试用两种方法来进行测量． 的长度来估计爬行的路程，如图1． 方案二：小明准备将易拉罐侧面剪开，然后用尺子直接测量蚂蚁爬行的路程．小明剪开易拉罐侧面，将其展开后发现，蚂蚁爬行的路径竟然是一条笔直的线段，如图2． 请你选一张长方形纸片，画出他的对角线，然后卷成一个圆柱，的方法，动手测量一下这条线的长度． ? 知识点睛
蚂蚁爬最短路问题处理思路 （1）__________________________； （2）__________________________； （3）_______________，利用________________进行计算． ? 精讲精练 1. 有这样一个有趣的问题：如图所示，圆柱的高等于12cm ，底面半径等于3cm ．在 圆柱的下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 相对的B 点处的食物，则沿圆柱的侧面爬行的最短路程是__________．（π取整数3） 2. 如图，一根藤蔓一晚上生长的长度是沿树干爬一圈后由点A 上升 到点B ，已知AB =5cm ，树干的直径为4cm ．你能计算出藤蔓一晚上生长的最短长度吗？（π取整数3） 3. 如图所示，有一根高为2m 的木柱，它的底面周长为0.3m ，为了营造
勾股定理的应用（讲义） ?知识点睛 1.利用勾股定理解决实际问题的处理思路： （1）理解题意，把实际问题转化为数学问题； （2）找出相应的直角三角形，并找出其______、______； （3）根据已知及所求，利用___________进行计算． 2.“勾股定理”或“勾股定理逆定理”： 条件是直角三角形时，考虑______________________； 要证明三角形是直角三角形，考虑______________________． ?精讲精练 1.一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160 km，然后向正北方向航行了 120 km，这时它离出发点有________km． 2.我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾 驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m，10 s后，汽车与他相距500 m，则敌方汽车的速度为_________km/h． 3.如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在一竖直的墙AO上，这时梯子底端B与墙角O 的距离为0.7米．梯子滑动后停在CD位置上，测得BD=0.8米，求梯子顶端A沿墙下滑了多少米？
4.一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高 度是_________尺．（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺） 第4题图第5题图 5.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意 是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺． 如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度是_______尺，这根芦苇的长度是_______尺． 6.如图，公路上A，B两站相距5 km，在公路附近有C，D两所学校，DA⊥AB于点 A，CB⊥AB于点B，已知AD=2 km，BC=1 km，现要在公路边建一个青少年活动中心E，使C，D两所学校到E的距离相等，则青少年活动中心E应建在距离A多远处？ D E C B A
【课题名称】八上数学《勾股定理》 【考纲解读】 1.掌握勾股定理的含义； 2.理解勾股数，并且会熟练地运用勾股数； 3.能够根据勾股定理，解决实际问题。 【考点梳理】 考点1：勾股定理 （1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 （2）勾股定理的表示：如果直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么222a b c += （3）勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图法。图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。 考点2：勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。 考点3：勾股数 （1）能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数。 （2）记住常见的勾股数可以提高解题速度，比如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8，15，17等。 考点4：勾股定理的应用 （1）已知直角三角形的任意两边长，求第三边。在A B C ?中，90C ∠=?，则c ，b ，a ； （2）已知直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系； （3）可以运用勾股定理解决一些实际问题，比如圆柱和长方体的最短距离问题。 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
勾股定理在折叠问题中的应用 ? 课前预习 1. 观察图形，回顾轴对称的性质： （1）全等变换：对应边________，对应角_________； （2）对应点所连的线段被对称轴_____________． l A' B' C' C B A 2. 如图，乐乐将△ABC 沿DE ，EF 分别翻折，顶点A ，B 均落在点O 处，且EA 与 EB 重合于线段EO ，若∠DOF =139°，则∠C 的度数为（ ） A ．38° B ．39° C ．40° D ．41° O F E D C B 3. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6，BC =8，点D 在BC 边上，将直 角边AC 沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处．设DE 的长为x ，则CD =__________，BD =_________．（用含x 的代数式表示） D E A B C ? 知识点睛 1. 轴对称（折叠）的思考层次
（1）全等变换：对应边_______、对应角_______． （2）对称轴性质： ①对应点所连线段_____________________； ②对称轴上的点_______________________． （3）组合搭配：长方形背景下的折叠常出现______三角形． （4）作图：关注_______和________，有时需要依据不变特征分析转化，补全图形． ①当对称轴已知时，直接作点的对称点，找对应点； ②当对应点已知时，作对应点所连线段的垂直平分线，找对 称轴（折痕）； ③当对称轴过定点时，常作弧找对应点． ? 精讲精练 1. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6 cm ，BC =8 cm ，点D 在BC 边 上，将直角边AC 沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处，则线段CD 的长为__________． D E A B C N M F C B E D A 第1题图 第2题图 2. 如图，将边长为4 cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长为__________． 3. 如图，在长方形ABCD 中，AB =5 cm ，在DC 上存在一点E ，将△AED 沿直线AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处，若△ABF 的面积为30 cm 2，则EF 的长为_______． F E D C B A 4. 如图，在长方形ABCD 中，点E 在AB 边上，将长方形ABCD 沿直线DE 折叠， 点A 恰好落在BC 边上的点F 处．若AE =5，BF =3，则CF 的长为_______．
【考纲解读】 1.掌握勾股定理的含义； 2.理解勾股数，并且会熟练地运用勾股数； 3.能够根据勾股定理，解决实际问题。 【考点梳理】 考点1：勾股定理 （1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 （2）勾股定理的表示：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ， 斜边为c ，那么222a b c += （3）勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图法。图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。 考点2：勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。 考点3：勾股数 （1）能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数。 （2）记住常见的勾股数可以提高解题速度，比如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8，15，17等。 考点4：勾股定理的应用 （1）已知直角三角形的任意两边长，求第三边。在A B C ?中，90C ∠=?，则c ， b ，a ； （2）已知直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系； c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
（3）可以运用勾股定理解决一些实际问题，比如圆柱和长方体的最短距离问题。 【例题讲解】 例1：如图字母B所代表的正方形的面积是（） A．12 B．13 C．144 D．194 例2：下列由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（） A．a=3，b=4，c=5 B．a=2，b=3，c= C．a=12，b=10，c=20 D．a=5，b=13，c=12 例3：三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（） A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形 例4：如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高5米，两树相距12米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（） A．8米B．10米C．13米 D．14米 例5：如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（） A．9 B．10 C．D． 例6：如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的点C有个． 【课堂检测】 1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC=3，AB=5，则DE等于（） A．2 B．C．D． 2．在ABC中，∠C=90°，若AC=3，BC=4，则AB=（） A．B．5 C．D．7 3．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（） A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3 C．a2=c2﹣b2D．a：b：c=3：4：6
勾股定理 一、知识归纳 1．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 2．勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 3．勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=?，则c ，b =，a = ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 二、题型 题型一：直接考查勾股定理 例１. 在ABC ?中，90C ∠=? ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长 解： 题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ?中，90ACB ∠=?，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为
2 1 E D C B A A B C D E 例３.如图ABC ?中，90C ∠=?，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长 例4.如图Rt ABC ?，90C ∠=?3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积 题型三：实际问题中应用勾股定理 例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m 三、勾股定理的逆定理知识归纳 1. 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 ，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 2. 常用的平方数 112 ＝_______，122 ＝_______，132 ＝_______，142 ＝_______，152 ＝_______，162 ＝_______，172 ＝_______，182 ＝_______，192 ＝_______，202 ＝_______，252 ＝_______． 注意.如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中
勾股定理讲义 考点1、勾股定理的内容和证明 勾股定理： 例1：思考：以下图形中那些能用来证明勾股定理，怎么证？ 图1 图2 图3 图4 例2： 中，，若∠C=? 90，如下图1根据勾股定理可以得出：a2+b2=c2， 222
∠C =?90， ，则 例3：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ． (1)若a ∶b ＝3∶4，c ＝75cm ，求a 、b ； (2)若a ∶c ＝15∶17，b ＝24，求△ABC 的面积； (3)若c －a ＝4，b ＝16，求a 、c ； (4)若∠A ＝30°，c ＝24，求c 边上的高h c ； (5)若a 、b 、c 为连续整数，求a ＋b ＋c ． 1、△ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边． (1)若a ＝5，b ＝12，则c ＝______； (2)若c ＝41，a ＝40，则b ＝______； (3)若∠A ＝30°，a ＝1，则c ＝______，b ＝______； (4)若∠A ＝45°，a ＝1，则b ＝______，c ＝______． 2、如图是由边长为1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A →B →C 所走的路程为______． 3、等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______． 4、在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______． 5、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，AD ＝20，求BC 的长．
第一章 勾股定理 【知识点归纳】 123456?? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ??? ? ?? ?? ??? ?????????? ?? ?? ?? ????? ?? ?? ?? ???1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状 3、求最大、最小角的问题、面积问题、求长度问题、最短距离问题 勾股定理的应用、航海问题、网格问题、图形问题 考点一：勾股定理 （1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+ 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 （2）结论： ①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。 ③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 （3）勾股定理的验证 例题： 例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。 （1）在Rt △ABC 中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=___________；
②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________； ④若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=________。 （2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-，2n （n>1），那么它的斜边长是（ ） A 、2n B 、n+1 C 、n 2－1 D 、1n 2+ （3）在Rt △ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ） A.222a b c += B. 222a c b += C. 222c b a += D.以上都有可能 （4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。 （1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。 （2）已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、242c m B 、36 2c m C 、482c m D 、602c m （3）已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A 、5 B 、25 C 、7 D 、15 例3：探索勾股定理的证明 有四个斜边为c 、两直角边长为a,b 的全等三角形，拼成如图所示的五边形，利用这个图形证明勾股定理。 考点二：勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 有关系，222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 （2）常见的勾股数：（3n,4n,5n ）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n)…..（n 为正整数） （3）直角三角形的判定方法：
c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A 勾股定理知识点汇总 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以2 2 2 a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 222a b c += ３.勾股定理的适用范围 ，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=?，则c =，b =，a = ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 ① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角 形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形； ② 若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边 的三角形是锐角三角形； ③ 定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足 222 为斜边 ６.勾股数 满足a 2 + b 2= c 2 的三个正整数，称为勾股数。
c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A 【最新整理，下载后即可编辑】 勾股定理知识点汇总 a b c 222a b c +=２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的 面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2 S a b a b =+?+ 梯形，2112S 22 2 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证222a b c + = ３.勾股定理的适用范围 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=?，则c ，b ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 ① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，
八 年级 数学 学科教学案 件解决实际问题； 2、过程与方法：通过实际问题使学生学会应用勾股定理。 3、情感态度与价值观：在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值。 二、教学重点：实际问题转化成数学问题再转化为直角三角形中求边和角 三、教学难点：“转化”思想的应用 四、教学流程： 1、预习展示、检测： （1）勾股定理的内容是什么？ （2）已知：在Rt △ABC 中和Rt △A ′B ′C ′中，∠C=C ′=90，AB=A ′B ′，AC=A ′C ′ 求证：△ABC ≌△A ′B ′C ′ （3）x= 、y= 、z= ; 2、合作探究： （1）在数轴上你能画出长度为2，3，5、6、7的线段 3、重点点拨：已知等腰△ABC 的周长为26,AB=AC,且AB=BC+4,求: ⑴底边BC 上的高。⑵△ABC C
4、巩固练习（展示）：1. 如图，一个高18m，周长5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？ 5、总结反思： 六、当堂检测： 1、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为__________． 2、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）． A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 拓展: 如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm？ A · · B 3 2 20