1
高等数学竞赛试题1
一、填空:
1.若()??
???≤->-=,x ,a x ,x f x x
x
01e 0,arctan e 122sin 是()+∞∞-,上的连续函数,则a = -1 。
2.函数x x y 2sin +=在区间??
?
???ππ,2上的最大值为332+π 。 3.
()=+?--22
d e
x x x x
26e 2-- 。
4.由曲线?
??==+012
2322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点()
230,,处的指向外侧的单位法向
量为
{}
3205
1
,,
。
5.设函数()x,y z z =由方程2e =+----x
y z x x y z 所确定,则=
z d ()y x x x x
y z x
y z d d e 1e 1-1+++---- 。 二、选择题:
1. 设函数f (x )可导,并且()50='x f ,则当0→?x 时,该函数在点0x 处微分d y 是y ?的( A ) (A )等价无穷小; (B )同阶但不等价的无穷小; (C )高阶无穷小; (D )低阶无穷小。
2. 设函数f (x )在点x = a 处可导,则()x f 在点x = a 处不可导的充要条件是( C ) (A )f (a ) = 0,且()0='a f ; (B )f (a )≠0,但()0='a f ; (C )f (a ) = 0,且()0≠'a f ; (D )f (a )≠0,且()0≠'a f 。 3. 曲线12+-+
=x x x y ( B )
(A )没有渐近线; (B )有一条水平渐近线和一条斜渐近线; (C )有一条铅直渐近线; (D )有两条水平渐近线。
4.设()()x,y x,y f ?与均为可微函数,且()0≠'x,y y ?。已知()00,y x 是()x,y f 在约束条件()0=x,y ?下的一个极值点,下列选项中的正确者为( D )
(A )若()000=',y x f x ,则()000=',y x f y ; (B )若()000=',y x f x ,则()000≠',y x f y ; (C )若()000≠',y x f x ,则()000=',y x f y ; (D )若()000≠',y x f x ,则()000≠',y x f y 。
2
5.设曲面(){}
0Σ2
222≥=++=,z k z y x x,y,z 的上侧,则下述曲面积分不为零的是( B )
(A )??∑
z y x d d 2; (B )??∑
z y x d d ; (C )
??∑
x z z d d ; (D )??∑
y x y d d 。
三、设函数f (x )具有连续的二阶导数,且()0lim
=→x x f x ,()40=''f ,求()x
x x x f 1
01lim ??
????
+→。 解:由题设可推知f (0) = 0,()00='f ,于是有
()()()22lim 2lim lim
0020
=''='=→→→x f x x f x
x f x x x 。 故 ()()()
()
()()()220010e 1ln exp lim 1lim 1lim =??
???
???????????
+=??
?????
???
??????+=??????
+→→→x f x
x x x f x f x
x x
x x x f x x f x x f x x f 。
四、设函数()x y y =由参数方程()1d e 212ln 11
2>??
???=+=?+t ,u u y ,t x t u 所确定,求9d d 2
2
=x x y 。 解:由t t t t t y t 2ln 12e 22ln 1e d d 2ln 1+=?+=+,t t x 4d d =,得到()
t x y 2ln 12e d d +=,所以
()()()22
2222ln 14e 412ln 12e
2
412ln 12e d d d d 1d d d d d d t t t t t t t t t
x x y t x y +-=?+-=????
? ??+=???? ??=。 而当x = 9时,由2
21t x +=及t > 1,得t = 2,故
()()
222
222ln2116e
22ln 14e 9d d +-==+-==t t t x x y 。 五、设n 为自然数,计算积分()?
+=
20
d sin 12sin π
n x x
x
n I 。
解:注意到:对于每个固定的n ,总有
()12sin 12sin lim
0+=+→n x
x
n x ,
所以被积函数在x = 0点处有界(x = 0不是被积函数的奇点)。又
()()x nx x n x n sin 2cos212sin 12sin =--+,
于是有
3
()()00
sin21d cos22d sin 12sin 12sin 22020
1===--+=-??
-π
nx n x nx x x x n x n I I π
πn n ,
上面的等式对于一切大于1的自然数均成立,故有11I I I n n ===- 。所以
2
d cos 2d cos2d sin cos sin2sin cos2d sin sin32022020201π
π
πππ=+=+===????x x x x x x x x x x x x x I I n 。
六、设f (x )是除x = 0点外处处连续的奇函数,x = 0为其第一类跳跃间断点,证明()?x
t t f 0
d 是连续的
偶函数,但在x = 0点处不可导。
证明:因为x = 0是f (x )的第一类跳跃间断点,所以()x f x +
→0
lim 存在,设为A ,则A ≠0;又因f (x )为奇函数,所以()A x f x -=-
→0
lim 。 命:
()()()??
???<+=>-=.A,x x f ;x ,;
A,x x f x 0000?
则()x ?在x = 0点处连续,从而()x ?在()+∞∞-,上处处连续,且()x ?是奇函数:
当x > 0,则-x < 0,()()()()[]()x A x f A x f A x f x ??-=--=+-=+-=-; 当x < 0,则-x > 0,()()()()[]()x A x f A x f A x f x ??-=+-=--=--=-, 即()x ?是连续的奇函数,于是
()?x
t t 0
d ?是连续的偶函数,且在x = 0点处可导。又
()()x A t t f t t x
x -=??0
d d ?,
即
()()x A t t t t f x
x
+=??
d d ?,
所以
()?x
t t f 0
d 是连续的偶函数,但在x = 0点处不可导。
七、设f (u , v )有一阶连续偏导数,()()
xy ,y x f z cos 2
2-=,??sin cos r y ,r x ==,证明:
()xy v
z y u z x z r r z sin 2sin 1cos ??-??=??-?????。 解: 设:()xy v ,y x u cos 2
2
=-=,则
4
()()()????sin cos sin sin cos 2
x y xy v
z y x u z
y v v z y u u z r y x v v z x u u z r x r y y z r x x z r z +???--??=???? ???????+???????+??? ???????+???????=?????+?????=??
类似可得
()()()?????cos sin sin cos sin 2x y xy r v
z
y x u z r z -???++??-=??, 代入原式左边,得到
()()()()()()()xy v
z y u z x x y xy v z u
z
x y xy v z y x u z z r r z sin 2cos sin sin sin ycos xsin sin 2sin cos sin cos sin cos 2cos sin 1cos ??-??=-??-+???++????--???=??-????????????????
?
八、设函数f (u )连续,在点u = 0处可导,且f (0)= 0,()30-='f 求:
()
???
≤++→++2
222d d d 1lim
222
4
t z y x t z y x z y x
f
πt 。
解:记()()
???
≤++++=2
222d d d 1222
4
t z y x z y x z y x
f
πt t G ,应用球坐标,并同时注意到积分区域与被积函数
的对称性,有
()()()4
20
220
20
4
d 4d d sin d 8t r
r r f r r r f πt t G t
t
????
=
=
π
π
???
于是有
()()()()()()300lim 44lim d 4lim
lim 03
204
20
-='=-===→→→→?f t f t f t t t f t r
r r f t G t t t
t t 。 九、计算?+++-=
L y x x y
x x y I d d ,其中L 为1=++y x x 正向一周。
解:因为L 为1=++y x x ,故
()[]?????=--=
+-=D
D
L
y
x x y I σσd 2d 11d d 格林公式
其中D 为L 所围区域,故
??D
σd 为D 的面积。为此我们对L 加以讨论,用以搞清D 的面积。
当00≥+≥y x x 且时,0121=-+=-++y x y x x ;
5
当0且0≤+≥y x x 时,011=--=-++y y x x ; 当0且0≥+≤y x x 时,011=-=-++y y x x ; 当0且0≤+≤y x x 时,0121=---=-++y x y x x , 故D 的面积为2×1=2。从而4d d =+++-=
?L y x x y
x x y I 。
十、⑴ 证明:当x 充分小时,不等式4
2
2
tan 0x x x ≤-≤成立。
⑵ 设∑=+=
n
k n k
n x 1
2
1tan ,求n n x ∞
→lim 。
证明:⑴ 因为32
tan lim 3231sec lim 2tan lim tan lim tan lim
2202
200304220==-=+?-=-→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x , 又注意到当x 充分小时,x x ≥tan ,所以成立不等式4
22tan 0x x x ≤-≤。
⑵ 由⑴知,当n 充分大时有,
()
2
2
1
11tan 1
k n k n k
n k
n +++≤
+≤+,故 ()n k
n k n k n x k n n
k n k n k n n
k 1
1111112
11++≤+++≤≤+∑∑∑∑====, 而∑∑==+=+n k n
k n
k n k n 1
111
11,于是
ln2d 1111
1lim 1lim 1011=+=+=+?∑∑=∞→=∞→x x n
k n k n n k n n
k n ,
由夹逼定理知ln2lim =∞
→n n x 。
十一、设常数1ln2->k ,证明:当x > 0且x ≠ 1时,()()
01ln 2ln 12
>-+--x k x x x 。
证明:设函数()()01
ln 2ln 2>-+-=x x k x x x f ,
故要证()()
01ln 2ln 12
>-+--x k x x x ,
只需证:当()01
0<< 6 显然:()()k x x x x k x x x f 2ln 21 2ln 21+-=+- ='。 命:()k x x x 2ln 2+-=?,则()x x x x 2 21-=-='?。 当x = 2时,()0='x ?,x = 2为唯一驻点。又()2 2x x = ''?,()021 2>=''?,所以x = 2为()x ?的唯一极小值点,故()()()[]01ln222ln2122>--=+-=k k ?为()x ?的最小值(x > 0),即当x > 0时 ()0>'x f ,从而()x f 严格单调递增。 又因()01=f ,所以当()010<< 十二、设匀质半球壳的半径为R ,密度为μ,在球壳的对称轴上,有一条长为l 的均匀细棒,其密度 为ρ。若棒的近壳一端与球心的距离为a ,a > R ,求此半球壳对棒的引力。 解:设球心在坐标原点上,半球壳为上半球面,细棒位于正z 轴上,则由于对称性,所求引力在x 轴与y 轴上的投影x F 及y F 均为零。 设k 为引力常数,则半球壳对细棒引力在z 轴方向的分量为: () [] ()[ ]() [] ??? ??∑--+∑ ? ??? ??-++---++=-++-=ds d ds 2 122 2 2 122 2 1 2 32122 1 a z y x l a z y x k z z z y x z z k F l a a z ρμρμ 记l ρM ,μπR M ==22 12。在球坐标下计算z F ,得到 ()()[ ][] () ??? ? ????+-+++++=? ??? ??-+-+-++=?- - l a R l a R a R a R Rl M kM a a R l a R l a R R k F z 2 2 22210 2 12 2 2 12 22 d sin cos 2cos 22π ? ???ρμπ 若半球壳仍为上半球面,但细棒位于负z 轴上,则 ()??? ? ????+-+--++=l a R a R a R l a R Rl M M F z 222 221G 。 一、填空题(共6小题,每小题3分,共18分) 1. 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是 π 。 2. 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =,则2y dy dx x = - 。 3. 函数2 sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2 44 1()3 x x o x -+。 4. 1 1 dx =? 。 5. 函数x x y cos 2+=在区间?? ? ???20π,上的最大值为 6 π +。 6. 222222lim 12n n n n n n n n →∞?? +++ ?+++? ? = 4 π。 二、选择题(共7小题,每小题3分,共21分) 1. 设21cos sin ,0 ()1,0x x x f x x x x ? +=? ?+≥? ,则0x =是()f x 的 D 。 A .可去间断点 B .跳跃间断点 C .振荡间断点 D .连续点 2. 设()232x x f x =+-,则当0x →时,下列结论正确的是 B 。 A .是等价无穷小与x x f )( B .同阶但非等价无穷小与x x f )( C .高阶的无穷小是比x x f )( D .低阶的无穷小是比x x f )( 暨南大学《高等数学I 》试卷A 考生姓名: 学号: 3. 1 +∞=? C 。 A .不存在 B .0 C .2π D .π 4. 设()f x 具有二阶连续导数,且(0)0f '=,0 lim ()1x f x →''=-,则下列叙述正确的是 A 。 A .(0)f 是()f x 的极大值 B .(0)f 是()f x 的极小值 C .(0)f 不是()f x 的极值 D .(0)f 是()f x 的最小值 5.曲线2x y d t π-=?的全长为 D 。 A .1 B .2 C .3 D .4 6. 当,a b 为何值时,点( 1, 3 )为曲线3 2 y ax bx =+的拐点? A 。 A .32a =- ,92b = B. 32a =,9 2b =- C .32a =- ,92b =- D. 32a =,92 b = 7. 曲线2x y x -=?的凸区间为 D 。 A.2(,)ln 2-∞- B.2(,)ln 2-+∞ C.2(,)ln 2+∞ D.2(,)ln 2 -∞ 三、计算题(共7小题,其中第1~5题每小题6分, 第6~7题每小题8分,共46分) 1. 2 1lim cos x x x →∞?? ?? ? 解:()2 1 cos lim , 1 t t t x t →==原式令 )0 0( cos ln lim 2 0型t t t e →= (3分) t t t t e cos 2sin lim ?-→= 12 e - = (6分) 前三届高数竞赛预赛试题(非数学类) (参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看 一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。) 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15,其中区域D 由直线1=+y x 与 两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=, ? -=10 2 d 1u u u (*) 令u t -=1,则21t u -= dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-, 2.设)(x f 是连续函数,且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f ,则 =)(x f ____________. 解:令?=2 0d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f , A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4=A 。因此3 10 3)(2- =x x f 。 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是 __________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面 2 2 22-+=y x z 在 ) ,(00y x 处的法向量为 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平 行,因此,由 x z x =, y z y 2=知 《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的() A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的() A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有(). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是() A )、2ln 2x x x dx C =+? B )、sin cos tdt t C =-+? C )、 2arctan 1dx dx x x =+?D )、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是(). A )、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C )、()()x f dx x f dx d x a =???????D )、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?() A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7.设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(() 《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 ( ) A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的( ) A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有( ). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是( ) A )、2ln 2x x x dx C =+? B )、sin cos tdt t C =-+? C )、 2arctan 1dx dx x x =+? D )、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是( ). A )、()()x f dx x f dx d b a =??????? B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C )、()()x f dx x f dx d x a =??????? D )、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?( ) A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7. 设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(( ) A )、 C bx bx b x +-sin cos B ) 、C bx bx b x +-cos cos C )、C bx bx bx +-sin cos D )、C bx b bx bx +-cos sin 《 高等数学(一) 》复习资料 一、选择题 1. 若23lim 53 x x x k x →-+=-,则k =( ) A. 3- B.4- C.5- D.6- 2. 若21lim 21 x x k x →-=-,则k =( ) A. 1 B.2 C.3 D.4 3. 曲线3sin 1x y e x =-+在点(0,2)处的切线方程为( ) A.22y x =+ B.22y x =-+ C.23y x =+ D.23y x =-+ 4. 曲线3sin 1x y e x =-+在点(0,2)处的法线方程为( ) A.122y x =+ B.122y x =-+ C.132y x =+ D.1 32 y x =-+ 5. 211 lim sin x x x →-=( ) A.0 B.3 C.4 D.5 6.设函数0()(1)(2)x f x t t dt =+-?,则(3)f '=( ) A 1 B 2 C 3 D 4 7. 求函数43242y x x =-+的拐点有( )个。 A 1 B 2 C 4 D 0 8. 当x →∞时,下列函数中有极限的是( )。 A. sin x B. 1x e C. 21 1x x +- D. arctan x 9.已知'(3)=2f ,0(3)(3) lim 2h f h f h →--=( ) 。 A. 32 B. 3 2- C. 1 D. -1 10. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的( )。 A. 极小值 B. 极大值 C. 最小值 D. 最大值 11. 设函数()f x 在[1,2]上可导,且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( ) A.至少有两个零点 B. 有且只有一个零点 C. 没有零点 D. 零点个数不能确定 12. [()'()]f x xf x dx +=?( ). A.()f x C + B. '()f x C + C. ()xf x C + D. 2()f x C + 13. 已知2 2 (ln )y f x =,则y '=( C ) A.2222(ln )(ln )f x f x x ' B. 24(ln )f x x ' C. 224(ln )(ln ) f x f x x ' D. 222(ln )()f x f x x ' 14. ()d f x ? =( B) A.'()f x C + B.()f x C.()f x ' D.()f x C + 15. 2ln x dx x =?( D ) A.2ln x x C + B. ln x C x + C.2ln x C + D.()2ln x C + 16. 211 lim ln x x x →-=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 17. 设函数0()(1)(2)x f x t t dt =-+?,则(2)f '-=( ) A 1 B 0 C 2- D 2 18. 曲线3y x =的拐点坐标是( ) A.(0,0) B.( 1,1) C.(2,2) D.(3,3) 19. 已知(ln )y f x =,则y '=( A ) A. (ln )f x x ' B.(ln )f x ' C.(ln )f x D.(ln ) f x x 20. ()d df x =?( A) A.()df x B.()f x C.()df x ' D.()f x C + 四川理工学院试卷(2007至2008学年第一学期) 课程名称: 高等数学(上)(A 卷) 命题教师: 杨 勇 适用班级: 理工科本科 考试(考查): 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项: 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方,否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到,若出现遗漏,后果自负。 4、 如有答题纸,答案请全部写在答题纸上,否则不给分;考完请将试卷和答题卷 分别一同交回,否则不给分。 试 题 一、单选题(请将正确的答案填在对应括号内,每题3分,共15分) 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1; (B) 0; (C) 2; (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ,则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(; (B) c e F x +--)(; (C) c e F x +-)(; (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ; (B)dx x ? -111 ; (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1; (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数,则下列结论错误的是( B ) (A) )(x f 可导,则)(x f 一定连续; (B) )(x f 可微,则)(x f 不一定可导; (C) )(x f 可积(常义),则)(x f 一定有界; (D) 函数)(x f 连续,则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ,则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点; (B) 存在间断点1=x ; (C) 存在间断点0=x ; (D) 存在间断点1-=x 二、填空题(请将正确的结果填在横线上.每题3分,共18分) 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ,则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续,且22 ) (lim 2=-→x x f x ,则_____)2(='f 5.由实验知道,弹簧在拉伸过程中需要的力F (牛顿)与伸长量s 成正比,即ks F =(k 为比例系数),当把弹簧由原长拉伸6cm 时,所作的功为_________焦耳。 6.曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时,)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小,求常数c b a ,,的值(6分) 大连市高等数学竞赛试 题B答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 大连市第二十三届高等数学竞赛试卷 答案(B) 一、填空题(本大题共5小题,每小题2分, 计10分) 1. n ? ?∞→= e^2 . 2. 30tan sin lim x x x x →- = 1/2 . 3. 0 lim x x x + →= 1 . 4. 2 cos lim x x t dt x →?= 1 . 5. 若221lim 2,2 x x ax b x x →--=+-则(,)(4,5).a b =- 二、(本题10分)设?????=≠=),0(1),0(1sin )(3 x x x x x f 求)(x f '. 解 当0≠x 时,x x x f 1 sin )(3=为一初等函数,这时 ; 1 cos 1sin 311cos 1sin 3)(2232x x x x x x x x x x f -=? ?? ??-??? ?? +='(6分) 当0=x 时,由于 ),0(01 sin lim )(lim 300f x x x f x x ≠==→→(8分) 所以)(x f 在0=x 处不连续,由此可知)(x f 在0=x 处不可导。(10分) 解:0,1,1x x x ===-为间断点。(3分) 当0x =时, 由于00lim ()lim 1,1|| x x x f x x x ++→→==+ 而00lim ()lim 1,x x f x --→→==- 所以0x =是跳跃间断点。(5分) 当1x =时, 由于11lim ()lim 1,1|| x x x f x x x →→==+ 所以1x =是可去间断点。(7分) 当1x =-时, 而1 lim (),x f x →-=∞ 所以1x =-是无穷间断点。(8分) 考生注意: 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 四 页 第 1页 高等数学(下)模拟试卷一 一、填空题(每空3分,共15分) (1)函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 (2)已知函数 arctan y z x =,则z x ?= ? (3)交换积分次序, 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? = (4)已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段,则 ()L x y ds +=? (5)已知微分方程230y y y '''+-=,则其通解为 二、选择题(每空3分,共15分) (1)设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?,平面π为4220x y z -+-=,则() A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 (2)设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定,则在点(1,0,1)-处的dz =() dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -(3)已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域,将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为() 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? (4)已知幂级数,则其收敛半径() 2112 2(5)微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =() ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题(每题8分,共48分) 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L :21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =,求z x ??,z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤,利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人 高等数学试题及答案文件排版存档编号:[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 ( ) A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的( ) A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有( ). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是( ) A )、2ln 2x x x dx C =+? B )、sin cos tdt t C =-+? C )、2arctan 1dx dx x x =+? D )、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是( ). A )、()()x f dx x f dx d b a =??????? B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C )、()()x f dx x f dx d x a =??????? D )、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?( ) A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7. 设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(( ) A )、C bx bx x +-sin cos B )、C bx bx x +-cos cos 《高等数学》试题30 考试日期:2004年7月14日 星期三 考试时间:120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 ( ) A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的( ) A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有( ). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是( ) A )、2ln 2x x x dx C =+? B )、sin cos tdt t C =-+? C )、 2arctan 1dx dx x x =+? D )、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是( ). A )、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C )、()()x f dx x f dx d x a =??????? D )、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?( ) A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7. 设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(( ) A )、 C bx bx b x +-sin cos B ) 、C bx bx b x +-cos cos C )、C bx bx bx +-sin cos D )、C bx b bx bx +-cos sin 【最新整理,下载后即可编辑】 第二十届高等数学竞赛试卷 一、填空题(每小题5分,本题共50分): 1. 若0→x 时,1)1(4 1 2 --ax 与x x sin 是等价无穷小,则= a . 2. = +→) 1ln(1 2) (cos lim x x x . 3. 设函数2 301sin d ,0,(),0,x t t x f x x a x ?≠?=??=?? 在0x =处连续,则a = . 4. =??+??=y z y x z x x y xy z 则设,sin . 5. 的解为: 满足微分方程9 1 )1(ln 2-==+'y x x y y x . _______ )()( ,,)()(,.=-=???≤≤==>??D dxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面, 而其他若设01 006 7.. d tan )cos (222 22005= +? -x x x x π π 8. . sin 2sin sin 1lim = ??? ??+++∞→n n n n n n πππ 9. . ,1222= ≤++Ω???Ω dv e z y x z 计算 所界定由设空间区域 10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内,函数 (,)f x y 具有连续偏导 数,且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,则 .. ),(),(= -?dy y x f x x d y x f y L 二、计算题(每小题6分,本题共42分): . ,)()(cos .的解,并求满足化简微分方程:用变量代换2101010 2=' ==+'-''-<<===x x y y y y x y x t t x π 解题过程是: 期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+- ,2b i j k =-+ ,则a b ? = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞ =?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周2 2 2 a y x =+(0≥y ),则曲线积分22 1 L ds x y +?= a π 5.交换二重积分的积分次序:?? --01 2 1),(y dx y x f dy = dy y x dx ),(f 0 x -12 1 ? ? 6.级数∑ ∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 ( B ) A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 ( C ) A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:2 2 >≤+y y x D ,则32222 ln(1) 1 D x x y dxdy x y ++=++?? ( A ) A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ,则??=D dxdy ( A ) A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点(1,-2)处取得最大方向导数的方向是 ( A ) A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6 、 微 分 方 程 2 2 ()()0y y y ' ''+ - =的阶数为 ( B ) A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7.下列表达式中,微分方程430y y y ''-+=的通解为 高等数学测试试题 一、是非题( 3’× 6=18’) 1、 lim (1 x) x e. ( ) x 0 2、函数 f ( x) 在点 x x 0 处连续,则它在该点处必可导 . ( ) 3、函数的极大值一定是它的最大值. ( ) 4、设 G ' x f ( x), 则 G( x) 为 f ( x) 的一个原函数 . ( ) 1 0. ( ) 5、定积分 x cos xd x 1 6. 函数 y x 2 是微分方程 x d y 2 y 0 的解 . ( ) d x 二、选择题( 4’× 5=20’) 7、函数 f ( x) sin 1 是定义域内的( ) x A 、单调函数 B 、有界函数 C 、无界函数 D 、周期函数 8、设 y 1 2x ,则 d y ( ) A 、 2 x d x B 、 2 x ln 2 C 、 2x ln 2 d x D 、( 1+ 2x ln 2) d x 9、设在区间 [ a, b] 上 f ' (x) 0, f " ( x) 0, 则曲线 y f ( x) 在该区间上沿着 x 轴正向( ) A 、上升且为凹弧 B 、上升且为凸弧 C 、下降且为凹弧 D 、下降且为凸弧 10、下列等式正确的是( ) A 、 C 、 f '( x) d x f ( x) f '( x) d x f ( x) C B 、 D 、 f ( x) d x f '( x) f ( x) d x f '( x) C 2 2 2 11、 P cos 2 x d x, Qsin 3x d x, R sin 2 x d x, 则( ) 2 A 、 P Q R B 、 Q P R C 、 P R Q D 、 R Q P 三、选择题( 4’× 5=20’) 12.函数 f ( x) x 2 的间断点为( ) 3 x 3 A 、 3 B 、 4 C 、 5 D 、6 13、设函数 f ( x) 在点 x 0处可导,且 lim h 1 , 则 f ' (0) ( ) h 0 f ( h) f (0) 2 2000年江苏省第五届高等数学竞赛试题(本科一级) 一、填空(每题3分,共15分) 1.设( )f x = ,则()f f x =???? . 2. 1lim ln 1 x x x x x x →-=-+ . 3. () 14 4 5 1x dx x =+? . 4.通过直线122123:32;:312321x t x t L y t L y t z t z t =-=+???? =+=-????=-=+?? 的平面方程为 . 5.设(),z z x y =由方程,0y z F x x ?? = ??? 确定(F 为任意可微函数),则z z x y x y ??+=?? 二、选择题(每题3分,共15分) 1.对于函数11 2121 x x y -= +,点0x =是( ) A. 连续点; B. 第一类间断点; C. 第二类间断点;D 可去间断点 2.设()f x 可导,()()() 1sin F x f x x =+,若欲使()F x 在0x =可导,则必有( ) A. ()00f '=; B. ()00f =;C. ()()000f f '+=;D ()()000f f '-= 3. () 00 sin lim x y x y x y →→+=- ( ) A. 等于1; B. 等于0;C. 等于1-;D 不存在 4.若 ()()0000,,, x y x y f f x y ????都存在,则 (),f x y 在()00,x y ( ) A. 极限存在,但不一定连续; B. 极限存在且连续; C. 沿任意方向的方向导数存在; D 极限不一定存在,也不一定连续 5.设α 为常数,则级数 21sin n n n α∞ =? ? ∑ ( ) A. 绝对收敛 B. 条件收敛; C. 发散; D 收敛性与α取值有关 《高等数学-广东工业大学》 一.选择题 1. 当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 ( ) A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的( ) A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有( ). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是( ) A )、2l n 2x x x dx C =+? B )、s i n c o s t d t t C =-+ ? C )、 2a r c t a n 1dx dx x x =+? D )、211 ()dx C x x - =-+? 5. 下列等式不正确的是( ). A )、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=????? ?? C )、()()x f dx x f dx d x a =??????? D )、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?( ) A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7. 设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(( ) A )、 C bx bx b x +-sin cos B )、C bx bx b x +-cos cos C )、C bx bx bx +-sin cos D )、C bx b bx bx +-cos sin 大一高数试题及答案 一、填空题(每小题1分,共10分) ________ 1 1.函数y=arcsin√1-x2+────── 的定义域为 _________ √1-x2 _______________。 2.函数y=x+ex上点(0,1)处的切线方程是______________。 f(Xo+2h)-f(Xo-3h)3.设f(X)在Xo可导且f'(Xo)=A,则lim─────────────── h→o h = _____________。 4.设曲线过(0,1),且其上任意点(X,Y)的切线斜率为2X,则该曲线的方程是 ____________。 x 5.∫─────dx=_____________。 1-x4 1 6.limXsin───=___________。 x→∞ X 7.设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 _______ R √R2-x2 8.累次积分∫ dx∫ f(X2+Y2)dy化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0 d3y3d2y 9.微分方程─── +──(─── )2的阶数为____________。 dx3xdx2 ∞ ∞ 10.设级数∑ an发散,则级数∑ an _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的()内, 1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分) (一)每小题1分,共10分 1 1.设函数f(x)=── ,g(x)=1-x,则f[g(x)]=() x 111 ①1-── ②1+── ③ ──── ④x xx1-x 1 2.x→0 时,xsin──+1是() x ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量 3.下列说法正确的是() ①若f( X )在 X=Xo连续,则f( X )在X=Xo可导 ②若f( X )在 X=Xo不可导,则f( X )在X=Xo不连续 ③若f( X )在 X=Xo不可微,则f( X )在X=Xo极限不存在 ④若f( X )在 X=Xo不连续,则f( X )在X=Xo不可导 4.若在区间(a,b)内恒有f'(x)〈0,f"(x)〉0,则在(a,b) 内曲线弧y=f(x)为() ①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧 5.设F'(x) =G'(x),则() ① F(X)+G(X) 为常数 ② F(X)-G(X) 为常数 ③ F(X)-G(X) =0 dd ④ ──∫F(x)dx=──∫G(x)dx dxdx 1 6.∫ │x│dx=() -1 自考高等数学一试题及答案 10月高等教育自学考试全国统一命题考试 高等数学(一) 试卷 (课程代码 00020) 本试卷共3页,满分l00分,考试时间l50分钟。考生答题注意事项: 1.本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效,试卷空白处和背面均可作草稿纸。2.第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。3.第二部分为非选择题。必须注明大、小题号,使用0.5毫米黑色字迹签字笔作答。 4.合理安排答题空间。超出答题区域无效。 第一部分选择题 一、单项选择题(本大题共l0小题。每小题3分,共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其选出并将“答题卡” 的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。1.方程x2-3x+2=0的根为 3. 极限 A.-2 B.0 C.2 D. ∞ 4.函数的所有间断点是 A.x=0 B. x=-1 C. z=0,z=1 D.x=-1,z=1 6.曲线y=sinx在点(0,O)处的切线方程是 A,y=x B.y=-X C.y=1/2 x D.y=-1/2 x )=0,则f(x) 7.设函数f(x)可导,且f’(x 在x=x 处 A.一定有极大值 B.一 定有极小值 C.不~定有极值 D.一 定没有极值 8.曲线y=x3—3x2+2的拐点为 A.(0,1) B.(1,O) C.(0, 2) D.(2,O) 9.不定积分 A.see x+x B.sec x+x+C A. 23.求不定积分 24.计算二重积分,,其中D是由直线x=1、y=1及x轴、y轴所围成的平面区域. 一、填空题(共6小题,每小题3分,共18分) 1. 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是 π 。 2. 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =,则2y dy dx x = - 。 3. 函数2 sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2 44 1()3 x x o x -+。 4. 1 1 dx =? 。 5. 函数x x y cos 2+=在区间?? ? ???20π,上的最大值为 6 π +。 6. 222222lim 12n n n n n n n n →∞?? +++ ?+++? ? = 4 π。 二、选择题(共7小题,每小题3分,共21分) 1. 设21cos sin ,0 ()1,0x x x f x x x x ? +=? ?+≥? ,则0x =是()f x 的 D 。 A .可去间断点 B .跳跃间断点 C.振荡间断点 D .连续点 2. 设()232x x f x =+-,则当0x →时,下列结论正确的是 B 。 A .是等价无穷小与x x f )( B .同阶但非等价无穷小与x x f )( C.高阶的无穷小是比x x f )( D .低阶的无穷小是比x x f )( 3. 1 +∞=? C 。 A .不存在 B.0 C .2π D .π 4. 设()f x 具有二阶连续导数,且(0)0f '=,0 lim ()1x f x →''=-,则下列叙述正确的是 A 。 A.(0)f 是()f x 的极大值 B .(0)f 是()f x 的极小值 C.(0)f 不是()f x 的极值 D.(0)f 是()f x 的最小值 5.曲线2x y d t π-=?的全长为 D 。 A .1 B .2 C.3 D.4 6. 当,a b 为何值时,点( 1, 3 )为曲线32 y ax bx =+的拐点? A 。 A.32a =- ,92b = B. 32a =,92b =- C.32a =- ,92b =- D. 32a =,92 b = 7. 曲线2x y x -=?的凸区间为 D 。 A.2(,)ln 2-∞- B .2(,)ln 2-+∞ C.2(,)ln 2+∞ D.2(,)ln 2 -∞ 三、计算题(共7小题,其中第1~5题每小题6分, 第6~7题每小题8分,共46分) 1. 2 1lim cos x x x →∞?? ?? ? 解:()2 1 cos lim , 1 t t t x t →==原式令 )0 0( cos ln lim 2 型t t t e →= (3 分) t t t t e cos 2sin lim ?-→= 中国石油大学(华东) 第二十四届高等数学竞赛试题答案 一、填空题(每小题4分,本题共20分): 1、= ??-∞ →n n n n n n e e e e 12 1 lim e 。 2.设u xy y x =+ ,则??2 2 u y = 0 。 3.设L 为沿抛物线y =x 2 上从点(1,1)到点(2,4) 的一段曲线弧,则对坐标的曲线积分 可化成对弧长的曲线积分___________,其中P (x ,y )和 Q (x ,y )是在L 上的连续函数。 ? ++L ds x y x xQ y x p 2 41) ,(2),( 4.设z e y e y x x =+-sin cos ,则????2 2 2 2z x z y + = 0 。 5、= →2 1 ) (cos lim x x x 2 1- e 。 二、选择题(每小题4分,本题共20分): 1、 = +-= ?I x e e I x x 则设,d 1 1 ( C ) c e A x +-)1ln()( ;)1l n ()(c e B x ++ ;)1ln(2)(c x e C x +-+ c e x D x ++-)1l n (2)( 2、a x a x a f x f a x =-=--→则点设 ,1)() ()(lim 2(A) 的驻点 不是 但不是极值点 的驻点 是的极小值点是 的极大值点 是)()(,,)()()()()()(x f D x f C x f B x f A 3、方程0 10 cos 0 2 2 =+ +?? -x t x dt e dt t 的根的个数(B) (A)0 (B) 1 (C)2 (D) 3 4、若曲线x e t y e t z e t t t ===cos ,sin ,在对应于 t = π 4点处的切线与zx 平面交角的 正弦值是(A) (A) 2 3 (B) 1 3 (C) 0 (D) 1 5、设C 表示椭圆,其方向为逆时针方向, 则曲线积分 (B) (A) πab (B) 0 (C) a +b 2 (D) -πab 2 三、计算下列各题(每小题7分,本题共42分):高等数学1试卷(附答案)
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