不等式讲义
目录
一、不等式的基本性质 ....................................................................................................................................... - 1 -
二、重要不等式 ................................................................................................................................................... - 2 -
三、例题展示 ....................................................................................................................................................... - 4 -
3.1 比较法 .................................................................................................................................................... - 4 -
3.2 分析法 .................................................................................................................................................... - 5 -
1. 凑项 .................................................................................................................................................. - 5 -
2. 凑系数 .............................................................................................................................................. - 7 -
3. 凑完全平方式 .................................................................................................................................. - 8 -
4. 分离 .................................................................................................................................................. - 9 -
3.3 代换 ...................................................................................................................................................... - 10 -
1. 消元 ................................................................................................................................................ - 10 -
2. 整体代换（“1”的代换）............................................................................................................... - 11 -
3. 判别式法（万能K法）................................................................................................................ - 14 -
4. 局部代换（换元） ........................................................................................................................ - 18 -
5. 三角代换 ........................................................................................................................................ - 20 -
6. 均值代换、比值代换 .................................................................................................................... - 23 -
3.4 构造 ...................................................................................................................................................... - 27 -
1. 形式构造 ........................................................................................................................................ - 27 -
2. 对偶式构造 .................................................................................................................................... - 27 -
3. 函数构造 ........................................................................................................................................ - 29 -
4. 数形结合 ........................................................................................................................................ - 29 -
3.5 待定系数法 .......................................................................................................................................... - 31 -
1. 均值不等式添加参数 .................................................................................................................... - 31 -
2. 柯西不等式添加参数 .................................................................................................................... - 33 -
3.6 切割线放缩 .......................................................................................................................................... - 45 -
3.7 导数 ...................................................................................................................................................... - 51 -
四、综合练习 ..................................................................................................................................................... - 52 -
五、练习题 ......................................................................................................................................................... - 96 -
一、不等式的基本性质 （1）对称性：a >b ?b b ，b >c ?a >c ； （3）可加性：a >b ，c ∈R ?a +c >b +c ； （4）加法法则：a >b ，c >d ?a +c >b +d ；
（5）可乘性：a >b ，c >0?ac >bc ；a >b ，c <0?ac
（7）乘方法则：a >b >0?a n >b n （n ∈N ?，且n >1）； （8）开方法则：a >b >0?√a n
>√b n
（n ∈N ?，且n >1）； （9）倒数法则：110a b a b
>>?
<； （10）有关分数的性质：若 a >b >0，m >0，则
①真分数的性质：
b b m a a m +<+；b b m a a m ->-； ②假分数的性质：
a a m
b b m +>+；a a m b b m
-<-； （11）**不等式的对称性（了解）
设f(x 1,x 2,???,x n )是一个n 元函数. 若将x 1,x 2,???,x n 中任意的两个变元互相交换位置，得到的f 与原式是恒等的，则称 f (x 1,x 2,???,x n )是完全对称的. 如xy +yz +zx ，
a b c
b c c a a b
+++++等. 设f(x 1,x 2,???,x n )是一个n 元函数. 若作置换 x 1→x 2,x 2→x 3,???,x n?1→x n ,x n →x 1，得到的f 与原式是恒等的，则称f(x 1,x 2,???,x n )是轮换对称的. 如x 3y +y 3z +z 3x ，
a b c a b b c c a
+++++等. 显然，完全对称的一定是轮换对称的.
二、重要不等式
1.无理式化为有理式，分式化为整式
（1
2
()0()0
() ()0()()g x g x g x f x f x g x <≥??>???≥>??
或
2()0()()0()()g x g x f x f x g x >??
?≥??
()0
(0()0 ()0
g x f x g x f x >?≥?=?
≥?或 （2）
()()()
00()
f x f x
g x g x >??> ()()0()
0()0()f x g x f x g x g x ?≥?≥??
≠?
2.1. 含有绝对值的不等式
（1）()()()() ()()f x g x f x g x f x g x ≥?≥≤-或； （2）|()|()()()()f x g x g x f x g x ≤?-≤≤；
（3）对形如|x ?a|+|x ?b|≤(≥)c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解． （4）含有绝对值的不等式的性质
|a|?|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|.
取等条件：
不等式|a|?|b|≤|a +b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab ≥0，左侧“=”成立的条件是ab ≤0，且|a|≥|b|；
不等式|a|?|b|≤|a ?b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab ≤0，左侧“=”成立的条件是ab ≥0，且|a|≥|b|.
2.2. 一元二次不等式
ax 2+bx +c >0(a ≠0)的解 （设 Δ=b 2?4ac ）
对于a <0的情况，先移项将系数变为正然后求解. 2.3．基本不等式
（1）设a,b ∈R ，则a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立．
（2）若 a,b >0
，则
2
a b
+≥a =b 时，等号成立． （3）若 a,b >0
，则2
112a b a b
+≤≤≤+，当且仅当a =b 时，等号成立． 其中，2
11a b
+
称为几何平均数，2a b +
称为平方平均数
2.4. 柯西不等式
（1）柯西不等式简单形式：,,,a b x y R ∈，
()()2
2222()a
b x y ax by ++≥+，()()22222()ax by a b x y -≥--
证：
()()(
)2
2222
2
2
2
2
2
2
2
2
2222
22222()22()0a
b x y ax by a x b y a y b x a x axby b y
a y
b x axby ay bx ++-+=+++-++=+-=-≥
()()
()()2222222222222222222222()22()0
ax by a b x y a x axby b y a x a y b x b y a y b x axby ay bx ----=-+---+=+-=-≥ 得证. 当ay bx =时取等号.
（2）柯西不等式向量形式：|α??β?|≤|α?|?|β
?|
如图，设在平面直角坐标系xOy 中有向量α?=(a,b),β?=(c,d)，α?与β?之间的夹角为θ，0≤θ≤π. 根据向量数量积的定义，有α??β?=|α?|?|β?|cosθ，因为|cosθ|≤1，所以|α??β?|≤|α?|?|β?|. 当且仅当β?是零向量，或者α?//β
?时取等. （3）二维形式的三角不等式：√x 12+y 12+√x 22+y 22
≥√(x 1?x 2)2+(y 1?y 2)2
当且仅当P 1,P 2与原点O 在同一直线上，并且点P 1,P 2在原点O 两旁时，式中的等号成立.
三、例题展示 3.1 比较法
【例1】设a 、b
是非负实数，求证：)33
22.a b a b +≥
+
【证明】3322)a b a b a b +-+=+
55]=-
当a b ≥
≥
55≥
，得55]0-≥； 当a b <
<
55<
，得55]0-<；
所以)3
3
22.a b a b +≥
+
【例2】已知,a b R +
∈，证明：a b b a
a b a b ≥.
【证明】,a b R +
∈Q ，0b a
a b ∴>，a b
a b a b b a a b a b a a a b b b ---??
== ?
??
∴
当a b ≥时，1a b ≥，0a b -≥，于是1a b
a b -??
?
??
≥；
当a b <时，1a b
b a
a b b a --??
?? ?
????
=>?
.
所以a b
b a
a b a b ≥.
【例3】设1111333b a
????
<<< ? ?????
，则( )
A ．a
b
a
a a
b << B ．a
a
b a b a
<<
C ．b a a a a b <<
D ．b a a
a b a <<
【答案】C
【解析】∵1111333b a
????<<< ? ?????
，0 1.1a a a b
b b a a a b a
b a -∴<<<∴>=>，b a a a ∴< |,01,0,1a a
a a a a a a a
b b b b ????
=<<>∴< ? ?????
Q ，a a b a a a b a a b ∴<∴<<，
. 故答案为：C
3.2 分析法
1. 凑项
【例4】设a >1，则2
21
3
M a a =+-的最小值是 ▲ ． 【答案】5
【解析】
221
333
35M a a -+=-+≥= 当且仅当2
21
33
a a -=
- ，即2a =时取等号. 【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型. 【练习】设x,y 为正实数，且43112x y
+=++，则xy 的最小值为 ▲ ． 【答案】27 【解析】因为
43112x y +=++，所以3(3)1
y x y +=-，,0x y >Q ，1y ∴>
因此3(3)43(1)5352711y y xy y y y ????+=
=+-+≥=????--????
当且仅当y ?1=2,y =3时取等号，即xy 的最小值为27. 未知定值（没有形如“a +b =1”这样的定值式） 【例5】设x,y 为正实数，则433x y
M x y x
=++的最小值为 【答案】3
【解析一】配凑
434311333x y x x y x y x x y x ++=+-≥=++， 当且仅当
433x x y
x y x
+=+时，即x =3y 取等号.
【点评】配凑法是解决这类问题的常用方法，其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件，对于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题，要灵活依据条件或待求式合理构造定值式． 【解析二】比值换元 令y =kx ，k >0
则443(31)1131313M k k k k =
+=++-≥=++. 当且仅当
41313k k =++时，即1
3
k =时取等号. 【点评】由于分子，分母皆为x,y 的一次方式子，通过减量换元的方法可将两个未知量x,y 减少为一个未知量k ，再通过一元函数求值域的方法或者基本不等式求出最值. 【例6】已知,0x y >，
281
1x y
+=，则x y +的最小值为
. 22818122x x k k x y k y k k k x
y x y ??+++-=++++-≥= ???
取等条件：22822424
81
1
x x k x x k y y y k x
y ?==??=???
=?=????=??+=??
所求最小值为6k =
28186x x y x y y x
y x y ??+=++=++≥= ???
取等条件：482x x y y x y =?==??
=?
2. 凑系数
【例7】 当0 【分析】由0 【解析】[]2 11282(82)2(82)8222x x y x x x x --??=-=?-≤= ??? ，当2x =8?2x ，即x =2时取等号， ∴当x =2时，y =x(8?2x)的最大值为8． 【评注】本题也可通过二次函数求最值的方法求解，当无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值． 【练习】已知实数x ，y 满足x >y >0，且x +y =2，则31 22M x y x y = ++-的最小值是 ▲ ． 【分析】将x y +凑出λ(x +3y)+μ(x ?y)的形式（本质是换元法），即可使用均值不等式或者柯西不等式求出最小值： [ ]2 31(2)(2)2x y x y x y x y λμ??+++-≥ ?+-?? 【解析】31 (2)(2)(2)(2),55 x y x y x y x y λμλμλμλμ++-=++-=+?= = 即31 (2)(2)55 x y x y x y += ++-， 3131131191 38(2)(2)22222255255 55M x y x y x y x y x y x y ??????∴= +=+?++-≥++?= ? ???+-+-?????? 取等条件：3222212 x x y x y x y y ? = ?-=+?????+=??= ?? 或者直接换元：令x +2y =m ，2x ?y =n ，可得1221 ,5555 x m n y m n = +=-，即 122132155551010 m n x y m n m n +=++-=?+= 313139133811010101010105 m n m n M m n m n n m ????∴= +=++=+++≥+= ???????. 3. 凑完全平方式 凑完全平方式用于条件与问题皆为一次、二次式的情况. 【例8】已知4x 2+y 2+xy =5，求M =2x +y 的最大值. 解：取参数k ∈R ， M 2=(2x +y )2+k (4x 2+y 2+xy ?5) =(4+4k)x 2+(4+k)xy +(1+k)y 2?5k 当(4+4k)x 2+(4+k)xy +(1+k)y 2为完全平方式时， ( 4+k 2 )2=(4+4k )(1+k )时，即k =?8 5时，有 M 2=?35 (2x ?y)2+8≤8. 于是{2x ?y =04x 2+y 2+xy =5 ，{x =√ 2 2 y =√2 时， 2x +y 有最大值2√2. 【例9】若2 2 425x xy y -+=，则2 2 3M x y =+的取值范围是 . 取参数k R ∈，有 ()()()222222342534125M x y k x xy y k x kxy k y k =++-+-=+-++- 当()()2 2 341k x kxy k y +-++为完全平方式时，有最值. 于是令()()2 26341,235k k k x ??++=?=-- ??? 当23x =- 时，()2 2212125125253333333 M x xy y x y =+++ =++≥ 取等条件：0x y +=. 即66 66x x y y ??==-????? ???=-=???? 或 当65x =- 时，()2 22961130330305555 M x xy y x y =-+-+=--+≤ 取等条件：30x y -= ，即x y = = 于是所求的取值范围是25303??? ??? ， 【评析】将问题中223x y +变为 ()212533x y ++的形式，可得最小值；变为()2 13305 x y --+的形式可得最大值. 变形过程需要利用已知条件凑成完全平方，于是设出参数，列方程求解即可. 4. 分离 对于2ax bx c x d +++形式的分式函数，将分子降次，化为1m m +的形式运用不等式. 【例10】 求2710 (1)1 x x y x x ++=>-+的值域． 【分析】本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有x +1的项，再将其分离． 【解析】22710(1)5(1)44 (1)5111x x x x y x x x x ++++++===++++++，当x >?1，即x +1>0时， 59y ≥=（当且仅当x =1时取“＝”号）． 【练习】已知a ，b 都是负实数，则2a b a b a b +++的最小值是 . 【答案】2(√2?1) 【解析】 2()(2)(2)()2()222222a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b +-++-++++=+=+-≥++++++. 【例11】已知,,0a b R ab ∈>，求4441 a b M ab ++=的最小值. 【解析】4422411411 44a b a b M ab ab ab ab ab +++=≥==+≥. 取等条件：44 142144a a b ab b ab ??==???? ??? =??= ???? 【例12】已知0,0x y >>，且25x y +=的最小值为 【解析】 ===≥ 取等条件：6 25 3 1 x y x y += ? = ? ? ? ? = ? ? =?? 【练习】变形：已知0,0 x y >> 的最小值为. 【解析】 拆开运用基本不等式： ≥=≥ 或用柯西不等式：)2 (1)(21)1 x y ++≥， 2 1 ≥= +≥ 取等条件：1 21 1 2 x y x y = ?= ? ?? ? ?? = ??? ? =. 3.3 代换 对于一些结构比较复杂，变元较多而变化关系不太清楚的不等式，可适当引进一些新的变量或等式进行代换，以简化其结构. 主要目的：非标准问题标准化；复杂问题简单化；降次；化分式为整式；化无理式为有理式；化超越式为代数式. 1. 消元 【例13】已知实数,0 x y>，且 81 1 x y +=，求2 x y +的取值范围. 【解析】由已知条件得 8 x y x = - ，08 y x >?>， 22(8)1616 28101018 888 x x x y x x x x x x -+ +=+=+=-++≥= --- ， 取等条件168128x x x -= ?=-，38 x y x ==-. 2. 整体代换（“1”的代换） 多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错． 【例14】已知x >0,y >0，且1 x +9 y =1，求x +y 的最小值． 【错解】 x >0,y >0，且1x +9 y =1， x +y =(1x +9y )(x +y)≥2√9 xy 2√xy =12，故(x +y)min =12． 【错因】解法中两次连用基本不等式，在x +y ≥2√xy 等号成立条件是x =y ，在1 x +9 y ≥2√9 xy 等号成立条件是1 x =9 y ，即y =9x ，取等号的条件的不一致，产生错误．因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法． 【正解】 x >0,y >0,1 x +9 y =1∴x +y =(x +y)(1 x +9 y )=y x +9x y +10≥6+10=16 ，当且仅当y x = 9x y 时， 上式等号成立，又1 x +9y =1，可得x =4,y =12时，(x +y)min =16． 【练习】已知正实数x,y 满足111x y +=，则3411 x y x y +--的最小值为________． 【答案】7+4√3 【解析】正实数x ，y 满足1 x +1 y =1，则：x +y =xy ， 则： 3473443111 x y xy x y x y x y xy x y --+==+----+， 1143(43)4377x y x y x y y x ??∴++=+++≥+=+ ??? 故 3411 x y x y +--的最小值为7+4√3． 【例15】已知a ，b 为正实数，2b +ab +a ＝30，求y =1 ab 的最小值． 【分析】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行． 【解法一】由已知得a = 30?2b b+1 ,ab = 30?2b b+1 ?b = ?2b 2+30b b+1 ．∵a ＞0，∴0＜b ＜15． Q ∴ 令t ＝b +1，则1 ?2t 2+34t?31 t =?2(t + 16t )+34．∵t + 16t ≥2√t ? 16t =8，∴ab ≤18, ∴y ≥1 18， 当且仅当t ＝4，即a ＝6，b ＝3时，等号成立． 【解法二】由已知得：30?ab =a +2b ．∵a +2b ≥2√2ab ，∴30?ab ≥2√2ab ． 令u =√ab ，则u 2+2√2u ?30≤0，?5√2≤u ≤3√2，∴√ab ≤3√2，ab ≤18，∴y ≥1 18． 【点评】①本题考查不等式 a+b 2 ≥√ab(a >0,b >0)的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等 式ab =a +2b +30 (a >0,b >0)出发求得ab 的范围，关键是寻找到a +b 与ab 之间的关系，由此想到不等 式 0,0)2 a b a b +≥>>，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围． 【例16】已知,0x y >且2312x y +=，求xy 的最大值. 【解析】将2 4(06)3 y x x =- <<代入得， 2224433x x x y x x ? ?-=-+ ?? ?= 即可将二元变量问题转化为一元函数求值域问题，()()2 24,0,63 f x x x x =- +∈ ()()36 f x f ≤= 即3,2x y ==时，xy 有最大值6. 部分使用“1的代换” 若形如“已知1ma nb +=，求 1(,,,,0a m n a b k a kb +都是大于）的最小值”，只需部分使用“1的代换”，即 1a ma nb a a kb a kb ++=+ 【例17】设正实数b a , 满足b a a b a 81,2+=+则的最小值为 ． 【答案】1 【解析】0,0a b >>Q ， 111111828228222 a a b a b a a b a b a b +∴+=+=++≥+=+=． 当且仅当 28b a a b =即42 ,33 a b ==时取得等号． 【例18】设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1|| 2||a a b + 取得最小值. 【答案】2- 【解析】因为2a b +=，所以12 a b += 所以 1||||||12||4||4||4||4||4|| a a b a a b a a a a b a b a a b a a ++=+=++≥+=+ 当且仅当 || 4||b a a b + ，即2||b a =时取等号， 当0a >时，1||15112||4||44a a a b a +≥+=+=； 当0a <时， 1||13 112||4||44 a a a b a +≥+=-+=； 所以 1|| 2||a a b + 的最小值为34 ，此时2b a =- 又2a b +=，所以(2)2a a +-=，即2a =- 【例19】已知且，则的最小值是 . 【答案】32 【解析】 2 22222222141414(2)(44)a b a ab b a b a b a b ????+=++=+++ ? ????? 22 2241684b a b a a b a b ?? ??=++++ ? ????? 44b a a b +≥=，当且仅当4b a a b =，即2b a =时取等号； 222 2168b a a b +≥=，当且仅当222216b a a b +，即2b a =时取等号； 所以 22 14 844832a b +≥+?+=，当且仅当2b a =时取等号； 所以 22 14 a b +的最小值为32 【点评】在使用“1的代换”时，注意保持两和式是同次的.；在使用两次基本不等式时，注意两次等号成立 ,a b R + ∈21a b +=2 214 a b + 的条件是否一致. 3. 判别式法（万能K 法） 判别式法（万能K 法）并不万能，很容易出错，因此求出最值后，必须验证取等条件！！ 如果二次项系数不为0，此方程为关于x 的一元二次方程。其中，当0?≥时（?是含字母y 的式子），将这个范围内的y 值代入方程，都能够得到一个或两个与之对应的x 值；而当0?<时，方程无解，这说明在此范围内的y 值没有x 值与之对应，因此此范围内的值y 不属于值域. 如果二次项系数为0，此方程为关于x 的一次方程，将此时y 的取值代入解析式可得到一个与之对应的x 值，如果所得x 值在定义域内，则该y 值属于值域；如果所得x 值不在定义域内，或所得解析式根本没有意义，则该y 值不属于值域. 3.1 一类分式函数值域问题 【例20】求函数222231 x x y x x -+=-+的值域. 【解析】由已知条件可得：2 (2)(2)30y x y x y -+-+-=， 当2y ≠时，考虑关于x 的二次方程，2 10(2)4(2)(3)02.3 y y y y ?=----≥?<≤ 当2y =时，可得3y =，舍去. 综上，函数值域为102, 3?? ??? . 【练习】求证：2 3 11212 2≤+++≤x x x . 证明：设1 12+++=x x x y ，则01)1(2 =-++-y x x y ，定义域为R （1）1=y 时，0=x 是定义域中的一个值，∴1=y 是值域中的一个值。 （2）1≠y 时，由0)1(412 ≥--=?y ，得 )1(2 3 21≠≤≤y y 。 综上所述2 3 11212 2≤+++≤x x x 成立. 3.2 二元二次函数最值问题 【例21】设x ，y >0为实数，若2241x y xy ++=，则2x +y 的最大值为 【解析】令k =2x +y ，则y =k ?2x ，代入等式得：226310x kx k -+-= 即关于x 的方程有解，于是() 22(3)461055 k k t ?=-?-≥?- ≤≤ 当k 时，x y == 【例22】设x ，y >0为实数，若2x +y =1，则2 2 4x y xy ++的最小值为 【解析】令22 4x y xy k ++=，将y =1?2x 代入，508 k ?≥?≥ 若,0x y >， 23 1x y +=，求x y +的最小值. 【解析】已知等式可化为320x y xy +-=，令x y k +=，将y k x =-代入 22(1)20,01010x k x k k k +-+=?≥?-+≥ 解得5k ≥+5k ≤- 取等条件：23x y =+=+【例23】若x 和y 满足不等式2 2 43x xy y ++≤，求x +3y 的最大值. 【解析】令k =x +3y ，将x =k ?3y 代入， ()2210530y ky k -+-≤，关于y 的二次不等式只有在()22(5)41030k k ?=-?-≥时有解 k -≤≤2 x y == 时取等，所以x +3y 的最大值. 【例24】已知,0x y >，满足 24310x y x y +++=，求xy 的取值范围. 【解析】令k =xy,k >0，将k y x = 代入等式得，22 (4)10230k x kx k k +-++= ()22 12 2 121004(4)23010801432304t t t t t x x k t t t x x t ?=-++≥+=>??? ? ??? ?≤?? ≤++= >+ 【例25】对于c >0，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=且使2a b +最大时，345 a b c -+的最小值为. 【解析】设2a b k +=，将2 k b a -= 代入得，22630b kb k c -+-=， 215024c k k ≥?≤?=-即2a b + a b == 于是2 345522a b c c ?-+=-=-≥- 当且仅当315 ,,422 a b c = ==时取等. 【例26】已知实数x,y 满足22 45x y y +=，求22x y +的最大值. 【错解】令22,0k x y k =≥+，将22 x y k =-代入等式得 240y k y -+=，关于y 的方程有解，得11160016 k k ?=-≥?≤≤ . 取等条件：当14k = 时，有213,216 y x ==-，无实数解. 错解原因：未考虑x,y 的范围： 由于2 2 451005x y y y ≥?≤≤ =-，无法在1 2 y =处取值. 【正解】化已知等式为：()2 28010+11x y -= ，令[]cos ,101sin ,0,2y θθθπ=-=∈ ()2 2222 cos 1sin 1sin 8sin 98010400 x y θθθθ+??=+=-++ ? ??+ 令[] sin 0,1t θ=∈，函数()()2189400f t t t =-++，在1t =时取得最大值125，于是22 x y +最大值为1.25 取等条件为1t =，即= 2πθ，于是1 0,.5 x y == 错解原因就是在sin 4t θ==处取得的，显然取不到. 一般地，已知条件与问题皆为二元二次式用判别式可能会得错解，此时需用三角换元. 【例27】已知实数x,y 满足2 2 246x xy y ++=，求22 4x y +的取值范围. 【解一】设224,0x y k k +=>，令[],,0,2x y θθθπ= = ∈，代入等式得 22cos sin cos sin 6t t t θθθθ++=，得[]122sin 21,1k k θ-= ∈-，解得[]4,12k ∈. 【解二】对已知条件进行配方：2 2 ()36x y y ++= 令[],0,2x y y θθθπ+==∈ 于是[]22 44sin 284,126x y πθ?? +=-+ +∈ ?? ? 【解三】令2x y m xy n +=?? =?，已知条件可化为226m n -= 22 2 2 2446 122 m x y m m ∴+=-?-=- 将2x m y =-代入已知条件得2 2 4260y my m -+-=，关于y 的二次方程有解，得 ()2224160068m m m -?=-≥?≤≤ 于是[] 222 12424,1x y m +=-∈. 【解四】22 62442x yx y xy xy =++≥+， 对于不等式642xy xy ≥+，令t xy =，()2 2662642416123t t t t t t t ≥+?≥?≥?--≤≤- 解得31xy -≤≤，于是[] 22 4624,12.x y xy +=-∈ 若实数x,y 满足22321x xy y -+=，求22 2x y +的取值范围. 【解一】将已知条件化为2 231124x y y ??--= ?? ?，不是222a b r +=类型，考虑用平方差化为积式： ()(2)1x y x y --=，于是可令1 ,2,0x y k x y k k -=-=≠ 将11 2,x k y k k k =- =-代入得： 2 2 2 2 22113222668x y k k k k k k ??? ?+=-+-=+-≥ ? ???? ? 取等条件：2k = 4. 局部代换（换元） 将多元变量问题减元，变为一元函数问题，或者变为具有一元函数结构的形式. 即将(),f a b 的最值问题变为()f a 或()f ab 的形式. 求出“一元”函数的定义域，即可运用所学知识求出值域（最值）. 【例28】设正实数x,y 满足x +y =1，则x 2+y 2+√xy 的取值范围为 . 【答案】[1,9 8] 【解析】因为1=x +y ≥2√xy ，所以0 4 x 2+y 2+√xy =(x +y)2?2xy +√xy =1?2xy +√xy 设√xy =t ∈(0,1 2]，所以x 2+y 2+√xy =1?2t 2+t =?2t 2+t +1 (0 2) 当t =1 4时，上式取得最大值9 8；当t =1 2时，上式取得最小值1. 所以x 2+y 2+√xy 的取值范围为[1,9 8]. 【点评】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解． 【例29】已知实数a >b >0，且a +b =2，则22 323a b M a ab b -= +-的最小值为____. 【答案】 34 + 不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a> b <=> b 2、如果6/ >0,则不等式: \x\> a \x\>a <=> x >。或r < -a \ x\< a<=> -a < x 高中数学必修５基本不等式知识点总结 一．算术平均数与几何平均数 １．算术平均数 设a 、b 是两个正数，则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 ２．几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 １．基本不等式： 若0a >，0b >，则a b +≥，即 2 a b +≥２．基本不等式适用的条件 一正：两个数都是正数 二定：若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值 三相等：必须有等号成立的条件 注：当题目中没有明显的定值时，要会凑定值 ３．常用的基本不等式 （１）()22 2,a b ab a b R +≥∈ （２）()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ （３）()20,02a b ab a b +??≤>> ??? （４）()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? ． 三．跟踪训练 １．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C ．2 y = D ．1y x =+ ２．当02x π <<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。 Ａ. １ Ｂ． ２ Ｃ. ４ Ｄ. ３．x ＞０，当x 取什么值，x ＋1x 的值最小？最小值是多少？ ４．用２０ｃｍ长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应该怎样折？ ５．一段长为３０ｍ的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长１８ｍ，这个矩形的长，宽各为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ ６．设0,0x y >>且21x y +=，求11x y +的最小值是多少？ ７．设矩形ＡＢＣＤ（ＡＢ>ＡＤ）的周长是２４，把?ＡＢＣ沿ＡＣ向?ＡＤＣ折叠，ＡＢ折过去后交ＣＤ与点Ｐ,设ＡＢ=x ，求?ＡＤＰ的面积最大值及相应x 的值 高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 高中数学必修五-不等式知识点精炼总结 4.公式： 3.解不等式 (1)一元一次不等式 3.基 本不等式定理 ? ?? ? ? ??????? ? ?????????????????-≤+?<≥+?>≥+ ??? ????+≤+≥+?? ?? ???????? ?+≤??? ??+≤+≥+≥+2a 1a 0a 2a 1a 0a b ,a (2b a a b )b a (2b a ab 2 b a 2b a ab 2b a ab )b a (2 1b a ab 2b a 2 22222 2 222倒数形式同号）分式形式根式形式整式形 式11 22a b a b --+≤≤≤+???? ? <<>> ≠>)0a (a b x )0a (a b x )0a (b ax 2.不等式的性质：8条性质. (2)一元二次不等式： +bx+c x 1 x 2 x y O y x O x 1 y x O 一元二次不等式的求 解流程： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式： 高次不等式： (4)解含参数的不等式：（1） (x – 2)(ax – 2)>0 （2）x 2 – (a +a 2)x +a 3>0； （3）2x 2 +ax +2 > 0； 注:解形如ax 2+bx+c>0的不等式时分类讨 论的标准有： 1、讨论a 与0的大小； 2、讨论⊿与0的大小； 3、讨论两根的大小； 二、运用的数学思想： 1、分类讨论的思想； 2、数形结合的思想； 3、等与不等的化归思想 (4)含参不等式恒成立的问题： ??????????≠≤??≤>??>0)x (g 0)x (g )x (f 0) x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g ) x (f 0 )())((21>---n a x a x a x Λ 第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 知识结构梳理 几何法证明 正弦定理的证明 向量法证明 已知两角和任意一边 正弦定理正弦定理 正弦定理的两种应用 已知两边和其中一角的对角 解三角形 知识点1 正弦定理及其证明 1正弦定理： 2.正弦定理的证明： （1）向量法证明 （2）平面几何法证明 3.正弦定理的变形 知识点2 正弦定理的应用 1.利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他两边和另一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角。 2.应用正弦定理要注意以下三点： （1） （2） （3） 知识点3 解三角形 1.1.2余弦定理 知识点1 余弦定理 1. 余弦定理的概念 2. 余弦定理的推论 3. 余弦定理能解决的一些问题： 4. 理解应用余弦定理应注意以下四点： （1） （2） （3） （4） 知识点2 余弦定理的的证明 证法1： 证法2： 知识点3 余弦定理的简单应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角的问题： （1）已知三边求三角； （2）已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出其他角。 例1（山东高考）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，tanC=73. (1) 求C cos ； (2) 若 =2 5 ,且a+b=9，求c. 1.2应用举例 知识点1 有关名词、术语 （1）仰角和俯角： （2）方位角： 知识点2 解三角形应用题的一般思路 （1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关术语、名称，如仰角、俯角、视角、方位角等，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）合理选择正弦定理和余弦定理求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、结果要求近似等。 1.3实习作业 实习作业的方法步骤 （1）首先要准备皮尺、测角仪器，然后选定测量的现场（或模拟现场），再收集测量数据，最后解决问题，完成实习报告。要注意测量的数据应尽量做到准确，为此可多测量几次，取平均值。要有创新意识，创造性地设计实施方案，用不同的方法收集数据，整理信息。 （2）实习作业中的选取问题，一般有：○1距离问题，如从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离，或两个不可到达点之间的距离；②高度问题，如求有关底部不可到达的建筑物的高度问题。一般的解决方法就是运用正弦定理、余弦定理解三角形。 高中数学必修五基本不等式题型（精编） 变 2．下列结论正确的是 （ ） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，则22a b > C ．若a c b c +<+，0c <，则a b > D >a b > 3. 若m ＝(2a －1)(a ＋2)，n ＝(a ＋2)(a －3)，则m ，n 的大小关系正确的是 例2、解下列不等式 （1）2230x x --≥ （2）2280x x -++> （3） 405x x ->- （4）405 x x -≥- （5）112x ≥ （6）已知R a ∈，解关于x 的不等式()()01<--x x a . 变、若不等式02<--b ax x 的解集为{} 32< 例5、 1. 积为定值 （1）函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . （2）设2a >，12 p a a =+-的最大值是 . （3）函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . （4） 变、 （1 ）2y = 的最小值是 . （2） . 2. 和为定值 （1） ，y=x(4-x) 的最大值是 . （2）, 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=，则 y x 11+的最小值为______ 第三章 不等式 一、选择题 1．若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log πsin 5 2π ，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a 2．设a ，b 是非零实数，且a ＜b ，则下列不等式成立的是( )． A ．a 2＜b 2 B ．ab 2＜a 2b C ． 21ab ＜b a 21 D ． a b ＜b a 3．若对任意实数x ∈R ，不等式｜x ｜≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( )． A ．a ＜－1 B ．｜a ｜≤1 C ．｜a ｜＜1 D ．a ≥1 4．不等式x 3－x ≥0的解集为( )． A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[0，1)∪(1，＋∞) D ．[－1，0]∪[1，＋∞) 5．已知f (x )在R 上是减函数，则满足f (11 -x )＞f (1)的实数取值范围是( )． A ．(－∞，1) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(1，2) 6．已知不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x ｜－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为图中( )． A B C D 7．设变量x ，y 满足约束条件?? ? ??y x y x y x 2＋＋－ 则目标函数z ＝5x ＋y 的最大值是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．设变量x ，y 满足?? ? ??5 －－31＋－3－＋y x y x y x 设y ＝kx ，则k 的取值范围是( )． A ．[ 21，3 4 ] B ．[ 3 4 ，2] C ．[ 2 1 ，2] D ．[ 2 1 ，＋∞) ≥0 ≤1 ≥1 ≥0 ≥1 ≤ 1 (第6题) 期末测试题 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列3，7，11…中，第5项为( )． A ．15 B ．18 C ．19 D ．23 2．数列{}n a 中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列 D ．首项为1的等比数列 3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°， 则c 的值等于( )． A ．5 B ．13 C ．13 D ．37 5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 6．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝C c tan ，那么△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 7．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b a ，N ＝t b t a ++，那么( )． A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8．如果{a n }为递增数列，则{a n }的通项公式可以为( )． A ．a n ＝－2n ＋3 B ．a n ＝－n 2－3n ＋1 C ．a n ＝ n 21 D ．a n ＝1＋log 2n 必修五不等式综合 一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若 ,a b c d ><，则a c b d ->-） ，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除， 但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c >）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >> 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11 a b >。如 练习一、： （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 1 1,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c -> ->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 练习二;（1）设0,10>≠>t a a 且，比较21 log log 21+t t a a 和的大小 （2）设2a >，1 2 p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积 高中数学必修五知识点汇总 第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理: 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 步骤1. 证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA 得到b b a a s i n s i n = 同理，在△ABC 中， b b c c sin sin = 步骤2. 证明：2sin sin sin a b c R A B C === 如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以C R c D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C === 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； （4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ?中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算 解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理: 基本不等式 1．均值定理：如果a ， b +∈R （+R 表示正实数），那么 2 a b +，当且仅当a b =时，有等号成立． 此结论又称均值不等式或基本不等式． 2 2a b +2 a b +需要前提条件,a b +∈R ． 2 a b +叫做a ，b a ，b 3．可以认为基本元素为ab ，a b +，22a b +；其中任意一个为定值，都可以求其它两个的最值． 考点1：常规基本不等式问题 例1.（1）已知0x >，则1 82x x +的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【解答】解：0x >Q ，1842x x ∴+=… 当且仅当1 82x x =即14x =时取等号， 故选：C ． （2）已知3 05 x <<，则(35)x x -取最大值时x 的值为( ) A ． 310 B ．910 C ． 95 D ． 12 【解答】解：305 x << Q ， 则2115359 (35)5(35)()5 5220 x x x x x x +--=?-?= ?， 当且仅当535x x =-即3 10 x =时取最大值 故选：A ． （3）已知函数9 4(1)1 y x x x =-+>-+，当x a =时，y 取得最小值b ，则23a b +等于( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 【解答】解：1x >-Q ，10x ∴+>， 99 41511 y x x x x ∴=-+ =++-++ 5… 1=， 当且仅当9 11 x x += +，即2x =时取等号， y ∴取得最小值1b =，此时2x a ==， 237a b ∴+=． 故选：B ． （4）已知0a >，0b >，且22a b +=，则ab 的最大值为( ) A ． 12 B C ．1 D 【解答】解：0a >Q ，0b >，且22a b +=， 则21 121(2)()2 222 a b ab a b +=??=g ? ， 当且仅当2a b =且22a b +=即12a =，1b =时取得最大值1 2 ． 故选：A ． 考点2：基本不等式易错点 例2.（1）已知1x y +=，0y >，0x ≠，则1||2||1 x x y ++的最小值是( ) A ． 1 2 B ． 14 C ． 34 D ． 54 【解答】解：由1x y +=，0y >得10y x =->， 解得1x <且0x ≠， ①当01x <<时，1||12||121 x x x y x y +=+++， 122242x x x x x x x x +-=+=+ --， 12115()2442424 x x x x -= +++?=-…， 当且仅当 242x x x x -= -即23x =时取等号； ②当0x <时， 1||1()2||121 x x x y x y +=-+++， 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、， ac b 42-=?， 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 2 > = + + a c bx ax 有两相异实根 ) ( , 2 1 2 1 x x x x< 有两相等实根 a b x x 2 2 1 - = =无实根的解集 )0 ( 2 > > + + a c bx ax{} 2 1 x x x x x> <或 ? ? ? ? ? ? - ≠ a b x x 2 R 的解集 )0 ( 2 > < + + a c bx ax{} 2 1 x x x x< ?>≥?? ≠ ? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() min f x A >若不等式()B x f<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() max f x B < （三）线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x,)，把它的坐标（y x,)代入 描述：例题：高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 一、学习任务 1. 能从实际情景中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式组的集合意义，能用平面区 域表示二元一次不等式组． 2. 能从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 二、知识清单 平面区域的表示 线性规划 非线性规划 三、知识讲解 1.平面区域的表示 二元一次不等式表示的平面区域 已知直线 ：，它把坐标平面分为两部分，每个部分叫做开半平面，开半平面 与 的并集叫做闭半平面．以不等式解 为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的 区域或不等式的图象． 对于直线 ： 同一侧的所有点 ，代数式 的符号相同，所 以只需在直线某一侧任取一点 代入 ，由 符号即可判断 出 （或）表示的是直线哪一侧的点集．直线 叫做这 两个区域的边界（boundary）． 二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组所表示区域的确定方法：①直线定界②由几个不等式组成的不等式组所表示的 平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分． l Ax +By +C =0l (x ,y )l Ax +By +C =0(x ,y )Ax +By +C (,)x 0y 0Ax +By +C A +B +C x 0y 0A +B +C >0x 0y 0<0Ax +By +C =0画出下列二元一次不等式表示的平面区域． （1） ；（2）． 解：（1）① 画出直线 ，因为这条直线上的点不满足 ，所以画 成虚线． ② 取原点 ，代入 ，所以原点在不等式 所表示的平 面区域内，不等式表示的区域如图． 3x +2y +6>0y ?3x 3x +2y +6=03x +2y +6>0(0,0)3x +2y +6=6>03x +2y +6>0 第一课时 3.4基本不等式 2a b +≤（一） 教学要求：通推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 教学重点： 2 a b +≤的证明过程； 教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵 教学过程： 一、复习准备： 1. 回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。 2. 提问：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 二、讲授新课： 1. 教学：基本不等式 2a b +≤ ①探究：图形中的不等关系，将图中的“风车”抽象成如图，在 正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。（教师提问→学生思考→师生总结） ②思考：证明一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a ③基本不等式：如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥， (a>0,b>0)2a b +≤ 2 a b +≤ ： 用分析法证明：要证 2a b +≥， 只要证 a+b ≥ (2)， 要证（2），只要证 a+b- ≥0（3）要证（3）， 只要证（ - ）2（4）， 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。 ⑤练习：已知x 、y 都是正数，求证：(1)y x x y +≥2；(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８ x 3y 3. 加油吧，少年，拼一次，无怨无悔！ 高二数学必修五全套学案 §1.1.1 正弦定理 学习目标 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 学习过程 一、课前准备 试验：固定?ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动． 思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直 角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt?ABC中，设BC=a， AC=b，AB=c， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有 sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ， 同理可得sin sin c b C B = ， 从而sin sin a b A B = sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = 不等式 一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a bc d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-）， 但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若 0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则 a b c d >）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >> 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11 a b >。如 （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 11,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则 若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ （答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ （答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______ （答：12,2??-- ??? ） 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如 （1）设0,10>≠>t a a 且，比较 2 1log log 21+t t a a 和的大小 （答：当1a >时，11log log 22a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11 log log 22 a a t t +≥（1t =时取等号））； （2）设2a >，12 p a a =+-，2 422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 （答：p q >）； （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 （答：当01x <<或43x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当4 3 x =时，1+3 log x ＝2log 2x ） 三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如 课题: §1．1．1正弦定理 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义 ， 有 sin a A =， sin b B =，又s i n 1 c C == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B 必修五-不等式知识点 汇总 不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 0>? 0=? 0a ）的图象 ) )((212x x x x a c bx ax y --=++= ) )((212x x x x a c bx ax y --=++= c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ??????-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ? ? 注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 听课随笔 第14课时 基本不等式的应用(2) 学习要求 1．进一步会用基本不等式解决简单的最大（小）值的实际问题。 2.通过对实际问题的研究，进一步体会数学建模的思想。 3．进一步开拓视野，认识数学的科学价值和人文价值． 【课堂互动】 自学评价 1.设x>0时, y=3－3x －x 1的最大值为323- 2.已知a>b>c , n ∈N*, 且11n a b b c a c , 则n 的最大值为_____4_____ . 3.已知x>0且x 1, y>0且y 1 , 则log y x+log x y 的取值范围是),2[]2,(+∞--∞ 【精典范例】 例１．过点(1 , 2)的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点, 当△AOB 的面积最小时, 求直线l 的方程 【解】 见书（但设直线方程可有两种方法）． 例２．如图(见书P 93) , 一份印刷品的排版 面积(矩形)为A , 它的两边都留有宽为a 的空白, 顶部和底部都留有宽为b 的空白, 如何选择纸张的尺寸, 才能使纸的用量最小? 见书． 思维点拔： 先建立目标函数，然后创造条件利用基本不等式求解。 追踪训练 1.某汽车运输公司,购买一批豪华大客车投人客 运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y 万 元与营运年数n(n )N +∈的关系为 y=－n 2+12n －25,则每辆客车营运( Ｃ ) 年,使其营运年平均利润最大. A 3 B 4 C 5 D 6 2. 过第一象限内点P(a , b)的直线l 与x 轴 的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两 点, 当||||PB PA 取最小值时, 求直线l 的 方程. 解：设)0)((:<-=-k a x k b y l 则),0(),0,(b ak B k b a A +--． 所以||||PB PA ＝a k k b k ?+-+221||1 ＝ab k k ab 2)||1 |(|≥+ （等号当且仅当1-=k 时成立） 所以||||PB PA 取最小值2ab 时, 直线l 的 方程为：0=--+b a y x ． 3.汽车行驶中, 由于惯性作用, 刹车后还要 向前滑行一段距离才能停住, 我们把这段距 离叫做“刹车距离”, 在某公路上, “刹车距 离”S (米)与汽车车速v (米/秒)之间有经验 公式: S=2403 v +v 85 , 为保证安全行驶, 要 求在这条公路上行驶着的两车之间保持的 “安全距离”为“刹车距离”再加25米, 现 假设行驶在这条公路上的汽车在平均车身 长5米, 每辆车均以相同的速度v 行驶, 并 且每两辆之间的间隔均是“安全距离”.必修五-不等式知识点汇总.doc
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