2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc
第二章 分离变量法
分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换
法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论.
§2?1 特征值问题
2．1.1 矩阵特征值问题
在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵，A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程：
,n Ax x x R λ=∈， （1.1）
的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（1.1）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为Jordan 标准型.
若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得
1T AT D -=， （1.2） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（1.2）可写为如下形式
1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =， 或
, 1.i i i A T T i n λ=≤≤ （1.3）
上式说明，正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量，并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出.
定理1.1 设A 为一n 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题
,n Ax x x R λ=∈，
则A 的所有特征值为实数，且存在n 个特征向量,1i T i n ≤≤，它们是相互正交的（正交性orthogonality ），可做为n R 的一组基（完备性completeness ）.
特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之.
为简单起见，在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵，故A 的所有特征值非零，并且假设A 有n 个线性无关的特征向量,i T 相应的特征值为, 1i i n λ≤≤.
例1.1 设n b R ∈，求解线性方程组 Ax b =.
解 由于向量组{1}i T i n ≤≤线性无关，故可做为n R 的一组基. 将,x b 按此
组基分别展开为1
1 ,n
n
i i i i i i x x T b bT ====∑∑，则Ax b =等价于
1
1
n
n
i
i
i i
i i x AT bT ===∑∑，
或
1
1
n n
i i i
i i
i i x T bT λ===∑∑，
比较上式两边i T 的系数可得
1, 1i i i x b i n λ-=≤≤，
12( ... )n x x x x T =便是原问题的解.
例 1.2 设0n x R ∈,12()((),(),...,()), 0n n f t x t x t x t R t T =∈>. 求解非齐次常微分方程组
0(), (0)dx
Ax f t x x dt
=+=，
（1.4）
其中
'''
12((),(),...,()),0n dx x t x t x t t dt
T =>. 解 类似于上例，将0,,()x x f t 按基{1}i T i n ≤≤分别展开为
01
1
1
, , ()()n n n
i i i i
i i i i i x x T x x T f t f t T ======∑∑∑.
则（1.4）等价于
0111()
() +(), (0), 1n
n n
i i i i i i i i i i i dx t T x t AT f t T x x i n dt =====≤≤∑∑∑， 或
011
()
(()()), (0),1n
n
i i i i i i i i i i dx t T x t f t T x x i n dt λ===+=≤≤∑∑， 比较上式两边i T 的系数可得
0()
()(), (0), 1i i i i i i dx t x t f t x x i n dt
λ=+=≤≤.
（1.5） （1.5）是n 个一阶线性方程的初始值问题，很容易求出其解.请同学们给出解(),1i x t i n ≤≤的具体表达式.
2.1.2 一个二阶线性微分算子的特征值问题
在这一小节，我们讨论在本章常用的一些特征值问题. 代替上节的有限维线性空间n R 和n 阶实对称矩阵A ，在这儿要用到线性空间[0,]C l 的某个子空间
H 和该子空间上的二阶线性微分算子A . 一般地取
2{()[0,]()H X x C l X x =∈在0,x l =满足齐次边界条件}.
（1.6）
下面我们讨论二阶线性微分算子2
2d A dx
=-的特征值问题. 先取边界条件为
(0)0,()0X X l ==，设()X x H ∈是A 的特征函数，即()0X x ≠且满足
()()AX x X x λ=.
此问题等价于()X x 是下面问题的非零解
"()()0, 0
(0)()0 .
X x X x x l X X l λ?+=<
==? （1.7） （1.7）便是二阶线性微分算子2
2d A dx
=-的特征值问题，即要找出所有使得
该问题有非零解的λ. 下面求解特征值问题（1.7）.
首先证明要使（1.7）具有非零解，λ必须非负.
设)(x X 是相应于λ的一个非零解，用)(x X 乘（1.7）中的方程，并在[]l ,0上积分得
0)()()()("=+x X x X x X x X λ，
0)()()( 0 2 0
"=+??
dx x X dx x X x X l
l
λ，
0)())(()()( 0
2 0
2'0'=+-??dx x X dx x X x X x X l
l
l λ.
由于0)()0(==l X X ，故有
2'2 0
()(())l
l
X x dx X x dx λ=??，
'22 0
(())()0l
l
X x dx
X x dx λ=≥??
. （1.8）
当0λ=时，方程0)()("=+x X x X λ的通解为12()X x c c x =+. 利用边界条件
0)()0(==l X X 可得120c c ==，即()0X x =. 因此，0λ=不是特征值.
当0λ>时，方程0)()("=+x X x X λ的通解为
x C x C x X λλsin cos )(21+=. （1.9） 利用边界条件0)()0(==l X X 确定常数21,C C 如下
10C =, l C l C λλsin cos 021+=,
或
0sin 2=l C λ.
由于要求（1.7）中齐次微分方程的非零解，故2C 不能为零. 故有
0sin =l λ.
0l λ>，从而有
πλn l = ， 1n ≥,
2
)(
l
n n πλ=，1n ≥ . 将n C C λ,,21代入到（1.8）中，并略去任意非零常数2C 得
x l
n x X n π
sin
)(= ， 1n ≥ . 故特征值问题（1.7）的解为
2)(l n n πλ= ， x l
n x X n π
sin )(= ，1n ≥ （1.10）
注1 特征值问题是分离变量法的理论基础. 上面已求出特征值问题（1.7）
的解为{ sin 1 }n x n l
π
≥. 在高等数学中知道，
在一定条件下区间[0 , ]l 的任一函数可按特征函数系{ sin 1 }n x n l
π
≥展开为Fourier 级数. 换言之，特征函数系
{ sin 1 }n x n l
π≥是区间[0 , ]l 上满足一定条件的函数所成无穷维空间的一组基，
而且还是该空间上的一组正交基，即有0
sin
sin 0 , l
n m x xdx n m l l
ππ=≠?. 特征函数系{ sin
1 }n x n l
π
≥的这两个根本性质：正交性和完备性（基）
，和定理1.1有限维空间n R 中相应结论很相似，只是现在的特征值和特征函数是无穷个. 另外，若改变（1.7）中的边界条件，其相应的特征值和特征函数也会有所变化. 如将边界条件变为(0)0,'()0X X l ==，则特征值和特征函数分别为
2(21)(21)(
),()sin ,022n n n n X x x n l l
ππ
λ++==≥. 该特征函数系(21){ sin
1 }2n x n l π+≥也具有和特征函数系{ sin 1 }n x n l
π
≥类似的性质，既正交性和完备性.此类问题的一般结果便是著名的Sturm —Liouville
定理，有兴趣的同学可参阅参考文献[1][4]-.
将以上的结果以定理的形式给出.
定理1.2 [1],[4] 考虑二阶线性微分算子2
2d A dx
=-的特征值问题
"()()
()()0 , 0 ,
(0)0,()0 .
k m X x X x x l X X l λ?+=<
120......n λλλ≤<<<<→∞.
相应的特征函数系1{()}n n X x ≥在[0,]l 上是相互正交的. 且对于任一在区间[0,]l 上分段光滑的函数()f x ，可按特征函数系1{()}n n X x ≥展开为如下的Fourier 级数 1()()n n n f x f X x ∞
==∑，
其中Fourier 系数为
2
()(), 1()l
n
n l n f x X
x dx
f n X x dx
=
≥??.
为后面需要，下面再求解二阶线性微分算子2
2d A dx
=-带有周期边界条件的
特征值问题. 在偏微分方程教材中，习惯上用()θΦ表示周期函数，即考虑下面
二阶线性微分算子2
2d A dx
=-的周期边值问题
"()()0, () (2), .
θλθθθπθθ?Φ+Φ=-∞<<+∞?
Φ=Φ+-∞<<+∞?
（1.12）
可证（1.12）和以下问题等价
"''()()0, 02(0) (2), (0) (2).
θλθθπππ?Φ+Φ=≤≤??Φ=ΦΦ=Φ??
（1.13）
和（1.8）的证明相似易得（1.13）中的特征值0≥λ. 当0λ=时，
12()c c θθΦ=+, 由周期边界条件可得20c =. 所以0()1θΦ=为特征函数.
当0λ>时，方程通解为
θλθλθsin cos )(21c c +=Φ,
求导得
'()c c θλλθλλθΦ=-+.
由周期边界条件可得
112cos(2)sin(2)
)).
c c c c c c λλλλλλπλ?=+??
=-+?? 或
1212[1cos(2sin(2)0
sin(2)[1cos(2)]0.
c c c c λπλπλλ?--=??
+-=?? （1.14）
由于要求非零解，故12,c c 不能同时为零. 因此，齐次方程组（1.14）的系数矩阵行列式必为零，即 1cos(2)0λ-=. 解之可得
2n n =λ，()cos sin .n n n c n d n θθθΦ=+
此时对每个正特征值2n n =λ，特征函数有二个，既θn cos ，θn sin . 总结所得结果为如下定理.
定理 1.3 考虑二阶线性微分算子2
2d A d θ
=-带有周期边界条件的特征值问
题
"''()()0, 02(0) (2), (0) (2).
θλθθπππ?Φ+Φ=≤≤??Φ=ΦΦ=Φ??
则该问题的特征值和特征函数分别为
00,λ=0()1;θΦ=2n n =λ，(){cos ,sin }, 1n n n n θθθΦ=≥.
§2?2 分离变量法
本节结合具体定解问题的求解来介绍分离变量法（method of separation of
variables ）. 所举例子仅限于一维弦振动方程，一维热传导方程混合问题以及平面上一些特殊区域上的位势方程边值问题. 对高维问题的处理放在其它章节中介绍.
以下多数例子均假定定解问题带有齐次边界条件. 否则,可利用边界条件齐次化方法转化之. 我们以弦振动方程的一个定解问题为例介绍分离变量法.
2．2.1 弦振动方程定解问题
例2.1求解两端固定弦振动方程的混合问题
2(,), 0, 0 (2.1)(0,)0, (,)0, 0 (2.2)(,0)(), (,0)(),0. tt xx t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ?ψ-=<<>==≥==≤≤ (2.3)
??
???
解 分四步求解.
第一步 导出并求解特征值问题. 即由齐次方程和齐次边界条件，利用变量分离法导出该定解问题的特征值问题并求解.
令)()(),(t T x X t x u =，并代入到齐次方程中得
0)()()()(''2''=-t T x X a x X t T ,
或
''''2()()
()()
X x T t X x a T t = . 上式左端是x 的函数而右端是t 的函数，要二者相等，只能等于同一常数.令此常数为-λ，则有
λ-=)()("x X x X ， "2()
()
T t a T t λ=- ， 上面的第一个方程为
0)()("=+x X x X λ .
利用齐次边界条件（2.2），并结合0)(≠t T 得
0)()0(==l X X .
由此便得该定解问题的特征值问题为
"()()0, 0
(0)()0.
X x X x x l X X l λ?+=<
其解为
特征值：2(
) , 1 ;n n n l πλ=≥特征函数： ()sin , 1 .n n X x x n l
π
=≥
第二步 正交分解过程. 即将初值和自由项按特征函数系{}1()n n X x ≥展成Fourier 级数，并将),(t x u 也用特征函数{}1()n n X x ≥表出.
1
1
()()sin
n n n n n n x X x x l
π
???∞∞
====∑∑ , （2.4）
1
1
()()sin
n n n n n n x X x x l
π
ψψψ∞∞
====∑∑, （2.5） 1
1
(,)()()()sin
n n n n n n f x t f t X x f t x l
π
∞
∞
====∑∑, （2.6） 1
1
(,)()()()sin
n n n n n n u x t T t X x T t x l
π
∞∞
====∑∑ （2.7） 这里n ?，n ψ和)(t f n 分别为)(x ?，)(x ψ和),(t x f 的Fourier 系数，具体表示如下
02()sin l n n d l l π
??ααα=
?, 02()sin l n n d l l π
ψψααα=?,
02()(,)sin l n n f t f t d l l
π
ααα=?,
而)(t T n 为待定函数.
第三步 待定系数法. 即先将),(t x f 和),(t x u 的Fourier 级数代入到（2.1）中，导出关于)(t T n 满足的常微分方程. 再利用初值条件（2.3）得出)(t T n 满足的初始条件.
假设(2.7)中的级数可逐项求导，并将（2.6）和（2.7）代入到（2.1）中得
"2
"111
()()()()()()n n
n n
n n n n n T t X
x a
T t X
x f t X x ∞
∞
∞
===-=∑∑∑,
"2
11
1
()()()(())()()n n
n
n
n
n n n n n T t X
x a
T t X
x f t X x λ∞
∞
∞
===--=∑∑∑,
"2
1
1
(()())()()()n
n n n n n n n T t a T t X x f t X x λ∞
∞
==+=∑∑. （2.8）
由于Fourier 展式是唯一的，比较（2.8）两端)(x X n 系数得
"2
()()(), 1.
n
n n
n
T t a T t f t n λ+=≥ （2.9）
在（2.7）中令0=t 并结合（2.4）得
()(0)()()n n n n n n x T X x X x ??∞
∞
====∑∑ （2.10）
比较（2.10）两端)(x X n 系数得
(0), 1.n n T n ?=≥ （2.11）
类似地可得
'(0), 1.n n T n ψ=≥ （2.12） 结合（2.9），（2.11）和（2.12）便得出关于)(t T n (1)n ≥满足的二阶常系数非齐次方程初始值问题
"2
'
()()(), 0
(0), (0).
n n n n n n n n T t a T t f t t T T λ?ψ?+=>??==?? （2.13） 第四步 求解关于)(t T n 的定解问题（2.13），并将其结果代入到（2.7）中即可.
为简单起见，我们设()0,1n f t n =≥. 将n λ代入到（2.13）中可得方程的通解为
t l
a
n d t l a n c t T n n n ππsin cos
)(+= ， 利用初始条件确定常数,n n c d 如下
'(0), (0)n n n n n
n a
T c T d l
π?ψ====. 故有
()cos
sin n n n l n a n a T t t t l n a l
ψππ?π=+ . 最后将上式代入到（2.7）中便得定解问题（2.1）—（2.3）的解为
1
2(,)()sin cos sin l n n n a n u x t d t x l l
l l
πππ
?ααα∞
==∑? 012()sin sin sin l n n n a n d t x n a
l l l πππ
ψαααπ∞
=+∑?
(2.14)
注1 利用分离变量法求解（2.1）—（2.3），需要假设在（2.7）中可通过无穷求和号∑逐项求导. 而通过∑号求导要对无穷级数加某些条件，在这里就不做专门讨论了. 今后遇到此类问题，我们均假设一切运算是可行的，即对求解过程只作形式上的推导而不考虑对问题应加什么条件. 通常称这样得出的解为形式解. 验证形式解是否为真解的问题，属于偏微分方程正则性理论的范围. 一般地讲，偏微分方程定解问题的解大多数是以无穷级数或含参变量积分形式给出的. 对这两类函数可微性的研究需要较深的数学知识，也有一定的难度，
有兴趣的同学可查阅参考文献[1]和[2]. 我们约定：本书只求定解问题的形式解.
注2 当(,)0f x t =时，由（2.14）可以看出：两端固定弦振动的解是许多简单振动(,)()sin
n n n u x t T t x l π=的叠加，当(11)k kl
x x k n n
==≤≤-时，对任意的时刻t ，(,)0n k u x t =，即(,)n u x t 在振动的过程中有(1)n +个点永远保持不动，所以称这样的振动为驻波,而k x 称为该驻波的节点.显然当21
(11)2k x l k n n
+=
≤≤-时sin 1x =，在这些点上振幅最大，称这些点为驻波的腹点. 因此，求特征函数实际上就是求由偏微分方程及边界条件所构定的系统所固有的一切驻波. 利用由系统本身所确定的简单振动来表示一些复杂的振动，便是分类变量法求解波动问题的物理解释.
注3 例2.1的求解方法也叫特征函数法（eigenfunction method ），现已成为固定模式，也具有普适性. 初学者似乎会感到有些繁琐，但随着进一步的学习，同学们就会熟练掌握这一方法. 特征函数法的关键之处是求解偏微分方程定解问题相应的特征值问题，而基本思想就是笛卡尔（Descartes ）坐标系的
思想.如在三维空间3
R 中，每个向量可由基{,,}i j k r r r 的线性组合表出，两个向量
111222 , a i b j c k a i b j c k αβ=++=++r r r r r r r
r
相等当且仅当在基{,,}i j k r
r r 下两个向量的坐标相等. 既121212 , , a a b b c c ===.
与此相类似，在例2.1求解中也是比较方程或初始条件两边()n X x 的系数而得到（2.13）. 与三维空间3R 相比较，例2.1中特征函数系{ sin
1 }n x n l
π
≥相当于3R
中的基{,,}i j k r
r r ，而{ T () 1 }n t n ≥也就相当于上面的111{,,}a b c ，即定解问题的解
关于基函数{ sin
1 }n x n l
π
≥的坐标. 因此，在具有可数基的无穷维空间中，特征函数法也称为待定系数法. 例2.2 设有一均匀细弦，其线密度为ρ. 若0x =端为自由端，x l =端固定.初始速度和初始位移分别为零，并受到垂直于弦线的外力作用，其单位长度所受外力为sin t ω. 求此弦的振动. 解 所求定解问题为
21 sin , 0, 0 (0,)0, (,)0, 0
(,0)0, (,0)0, 0.
tt xx x t u a u t x l t u t u l t t u x u x x l ρω-?-=<<>?
==≥??==≤≤? （2.15）
利用特征函数法求解该问题.
情形1 非共振问题，即22, 0n a n ωλ≠≥. 该定解问题的特征值问题为
"'
()()0, 0 (0)0, ()0.
X x X x x l X X l λ?+=<
?==?? (2.16) 其解为
2(21)(
)2n n l πλ+= ， (21)()cos 2n n X x x l
π
+= ，0n ≥ 将1sin t ρω-按特征函数{}0)(≥n n x X 展开成Fourier 级数得
11
sin ()()n n n t f t X x ωρ
∞
==∑ , （2.17)
021214()sin sin sin sin 2(21)l n n n f t t d t f t l l n ωπααωωρπρ
+=
==+?. 令
0(,)()()n n n u x t T t X x ∞
==∑ （2.18）
完全类似例2.1的求解过程可得，对于任意0, ()n n T t ≥满足下面问题
"2'
()()sin , 0
(0)0, (0)0.
n n n n n n T t a T t f t t T T λω?+=>??==?? （2.19） 初值问题(2.19)中齐次方程的通解为
12()cos sin n n n T t c a t c a t λλ=+，
而非齐次方程的一个特解为
22
()sin n
n n f T t t a ωλω=
-.
因此，（2.19）的通解为
1222
()cos sin sin n
n n n n f T t c a t c a t t a λλωλω=++
-. （2.20）
由初始条件可确定出
1222
0, ()
n
n n c c a a λωλ==
-最后将所得到的()n T t 代入到（2.18）中便得（2.15）的解.
情形2 共振问题，即存在某个0,n ≥ 使得22n a ωλ=.
不妨假设220a ωλ=. 此时，在情形1中求解所得到的{ T () 1 }n t n ≥不变. 当
0n =时，要求解以下问题
"2
000'
00()()sin , 0
(0)0, (0)0.
T t T t f t t T T ωω?+=>??==?? （2.21） （2.21）中齐次方程通解为
012()cos sin T t c t c t ωω=+.
为求得非齐次方程的一个特解，要将（2.21）中方程的自由項换为0i t f e ω，而求以下问题的一个特解
"2000()(). i t T t T t f e ωω+=
令()i t T t Ate ω=并代入到上面非齐次方程中可得 02f i
A ω
=-
，故有 00()sin cos 22f t f t
T t t i t ωωωω
=
-， 取其虚部便得（2.21）中方程的一个特解为
00()Im(())cos 2f t
T t T t t ωω
==-.
结合以上所得结果便可得到（2.21）中方程的通解为
0012()cos sin cos 2f t
T t c t c t t ωωωω
=+-，
由初始条件确定出 01220, 2f
c c ω==，由此可得
0002()sin cos 22f f t
T t t t ωωωω
=-.
将()n T t 代入到（2.18）中便得在共振条件下（2.15）的解为
001
021
12(,)()()
()()()()
(sin cos )cos ()()
222 (,)(,) .
n n n n n n n n n u x t T t X x T t X x T t X x f f t t t x T t X x l u x t u x t π
ωωωω∞
=∞
=∞
===+=-+=+∑∑∑
可以证明: 2(,)u x t 是有界的. 而在1(,)u x t 的表达式中取 2k k t π
ω
=
，则
1(,)u x t 中的基本波函数cos
2x l
π
的振幅0()k T t 当k 逐渐变大时将趋于无穷大，
最终要导致弦线在某一时刻断裂，这种现象在物理上称为共振. 注意到在上面求解过程中我们取周期外力的频率ω等于系统的第一固有频率0a λ函数分量上发生共振. 一般地讲，当周期外力的频率ω很接近或等于系统的某个固有频率n a λ时间的增大而不断变大，导致弦线在某一时刻断裂.
2．2.2 热传导方程定解问题
例2.3 求解下面热方程定解问题
20, 0, 0 (0,), (,)sin , 0(,0)0, 0.t xx x u a u x l t u t u u l t t t u x x l ω?=<<>?
==≥??=≤≤?
（2.22）
解 利用特征函数法求解(2.22).
首先将边界条件齐次化,取0(,)sin w x t u x t ω=+，并令w u v -=，则（2.22）转化为
20cos , 0, 0
(0,)0, (,)0, 0(,0), 0.
t xx x v a v x t x l t v t v l t t v x u x l ωω?-=-<<>?
==≥??=-≤≤?
（2.23）
利用分离变量法可得（2.23）的特征值问题为
"()()0, 0
(0)0, '()0.
X x X x x l X X l λ?+=<
==? 特征值和特征函数分别为
2
(21)(
)2n n l
πλ+= 0≥n , (21)()sin 2n n X x x l
π
+= 0≥n .
将(,)cos f x t x t ωω=-，0)(u x -=?按特征函数{}0)(≥n n x X 展成Fourier 级数得
0cos ()()n n n x t f t X x ωω∞
=-=∑ ， (2.24)
02(21)()(1)cos sin cos 2l n n n f t t d f t l l
π
ωαωααω+=
-=?, 其中
1
22
8(1)(12)n n l f n ωπ
+-=+. 00
n n n u X ?∞
=-=∑， (2.25)
其中
00042(21)()sin 2(12)l n u n u d l l n π
?ααπ
-+=-=
+? . 令
0(,)()(), n n n v x t T x X x ∞
==∑ (2.26)
并将（2.26）代入到（2.23）中的方程得
'2
"00
()()()()cos ()n n
n n
n n n n n T t X
x a
T t X
x f tX x ω∞
∞
∞
===-=∑∑∑ ,
'20
(()())()cos ()n
n n
n
n n n n T t a T t X
x f tX x λω∞
∞
==+=∑∑.
在（2.26）中令0=t 并结合（2.25）得
()(0)()()n n n n n n x T X x X x ??∞
∞
====∑∑.
比较上面两式中特征函数()n X x 的系数便得
'2()()cos , 0(0).
n n n n n n T t a T t f t t T λω??+=>??=??
（2.27）
（2.27）是一阶常系数常微分方程初值问题.齐次方程通解为
t a n n Ce t T λ2
)(-=.
令()cos sin n T t A t B t ωω=+，并利用待定系数法求特解可得
2242242
()cos sin n n n
n n n a f f T t t t a a λωωωωλωλ=+++,
故有
22242242
()cos sin n a t
n n n
n n n
a f f T t Ce t t a a λλωωωωλωλ-=++++ （2.28） 在上式中代0t =得
2242n n
n n a f C a λ?ωλ=++,
22
42
n n
n n
a f C a λ?ωλ=-+ . 最后将(2.28)代入到(2.26)中便得(2.23)的解为
0(21)(,)()sin
2n n n v x t T t x l
π
∞
=+=∑ . 故（2.21）的解为
),(),(),(t x w t x v t x u +=
0 (,)sin v x t u x t
ω=++
其中)(t T n 由（2.28）给出.
2．2.3 平面上位势方程边值问题 考虑矩形域上Poisson 方程边值问题
1212(,), , (,)(), (,)(), (,)(), (,)(), .
xx yy u u f x y a x b c y d u a y g y u b y g y c y d u x c f x u x d f x a x b +=<<<
==≤≤??==≤≤? （2.29）
我们假设0)()(21==x f x f 或0)()(21==y g y g . 否则，利用边界条件齐次化方法化非齐次边界条件为齐次边界条件. 当然，也可以利用叠加原理将（2.29）分解为二个问题，其中一个关于x 具有齐次边界条件，而另一个关于y 具有齐次边界条件.
例2.4 求解Dirichlet 问题
0, 02, 0 1 (0,)0, (2,)0, 01(,0)1, (,1)(1), 0 2.xx yy u u x y u y u y y u x u x x x x +=<<<
==≤≤??==-≤≤?
（2.30）
解 令)()(),(y Y x X y x u =并将其代入到（2.29）中齐次方程得
0)()()()(""=+y Y x X y Y x X ,
λ-=-=)
()
()()(""y Y y Y x X x X , "()()0, 0 2
(0)0, (2)0.
X x X x x X X λ?+=<
0)()("=-y Y y Y λ
（2.32）
（2.31）便是（2.30）的特征值问题，其解为
2)2(πλn n =， x n x X n 2sin )(π
=， 1≥n .
将n λ代入到（2.32）中得
0)()("=-y Y y Y n λ ， （2.33） 该方程有两个线性无关解y n e
2
π，y n e
2
π-
. 由于2n sh
y π，2
n ch y π也是（2.33）的解且线性无关，故（2.33）通解为
y n ch d y n sh
c y Y n n n 2
2)(π
π+=. 令
1
1
(,)()()()sin 222
n n n n n n n n n u x y X x Y y c sh
y d ch y x πππ
∞
∞
====+∑∑ (2.34) 则),(y x u 满足（2.30）中方程和关于x 的齐次边界条件. 利用关于y 的边界条件可如下确定n c ，n d ，
∑∞
==12
sin
1n n x n d π
,
))1(1(2
2sin 12220n n n d n d --=?=?π
ααπ. （2.35）
x n n ch d n sh
c x x n n n ∑∞
=+=-1
2
sin )22()1(πππ,
2
2)
)1(1(22)1(416)1(16332
2
ππ
ππππn sh n ch
n n sh n n c n n
n
n -------= .
（2.36）
故（2.30）解为
1(,)()sin ,222
n n n n n n u x y c sh
y d ch y x πππ∞
==+∑ （2.37） 其中n c ，n d 由（2.36）和（2.35）确定.
对于圆域，扇形域和圆环域上的Poisson 方程边值问题，求解方法和矩形域
上的定解问题无本质区别，只是在此时要利用极坐标.
同学们自己可验证：令θρcos =x ，θρsin =y 作自变量变换，则有
θθρρρρρu u u u u yy xx 2
11+
+
=+.
令)()(),(θρθρΦ=R u ，将其代入到极坐标下的Laplace 方程中得
"'"2
1
1
()()()()()()0R R R ρθρθρθρρ
Φ+
Φ+
Φ=,
"'"2
1
1(()())()()()0R R R ρρθρθρ
ρ
+
Φ+
Φ=,
"'"
2
1
()()
()
1
()
()
R R R ρρθρ
λθρρ+
Φ=-=-Φ,
故有
0)()("=Φ+Φθλθ, （2.38） 0)()()('"2=-+ρλρρρρR R R . （2.39）
方程（2.38）结合一定的边界条件便得相应定解问题的特征值问题,而 （2.39）是欧拉（Euler ）方程. 对（2.39）作自变量变换s e =ρ可得
22233
0216(1)164(1)(1)sin ,
2222n n
n n n n n n c sh d ch d n ππππααααπ----+=-=?
s e =ρ ， ρln =s ,
'1
s dR dR ds R d ds d ρρρ
==, 2222'''22222
11()ss s d R d R ds dR d s R R d ds d ds d ρρρρρ=+=-. 将以上各式代入到（2.39）得
''0ss R R λ-= . （2.40） 例2.5 求下面扇形域上Dirichlet 问题
22220, 0, 0, 4(,0)0, 0 2
(0,)0, 0 2 (,), 4. xx yy u u x y x y u x x u y y u x y xy x y ?+=>>+
=≤≤??=≤≤??=+=? （2.41）
的有界解.
解 令θρcos =x ，θρsin =y 作自变量变换，（2.41）转化为
2110, 0, 0 2 2
(,0)0, (,)0, 022(2,)2sin 2, 0.2u u u u u u ρρρθθ
πθρρρπρρρπθθθ?
++=<<<
?
==≤≤??
?
=≤≤??
（2.42）
令)()(),(θρθρΦ=R u 代入到（2.42）中的方程，并结合边界条件可得
"()()0, 0<
(0)0, (/2)0.
θλθθππ?Φ+Φ=?
Φ=Φ=?
（2.43）
0)()()('"2=-+ρλρρρρR R R . （2.44） （2.43）便是（2.42）的特征值问题.
求解特征值问题（2.43）可得
22
4)2/(n n n ==ππλ ， θθn n 2sin )(=Φ ， 1≥n .
将n λ代入到（2.44）中，并令s e =ρ作自变量变换可得
"240ss R n R -=,
2222()ns ns n n n n n n n R c e d e c d ρρρ--=+=+.
由于是求（2.42）的有界解，故有∞<)0(R ，即0=n d . 从而有
n n n c R 2)(ρρ=.
上面求出的(,)()()n n n u R ρθρθ=Φ对每个1n ≥都满足（2.42）中的方程和齐次边界条件，由叠加原理得
∑∑∞
=∞
==Φ=1
21
2sin )()(),(n n n n n n n c R u θρθρθρ, （2.45）
也满足（2.42）中的方程和齐次边界条件.为使（2.42）中的非齐次边界条件
(2,)2sin u θθ=得以满足，在（2.45）中令2ρ=得
21
2sin 22sin 2n n n c n θθ∞
==∑， （2.46）
比较上式两边特征函数θθn n 2sin )(=Φ的系数得 11
2
c =
， 1)( 0≠=n c n . 将1c ，1)(≠n c n 代入到（2.45）中便得（2.42）的解为
θρθρ2sin 2
1),(2
=
u . 例2.6 求解圆域上Dirichlet 问题 2110, 0, 02 (,)(), 02.u u u a u a ρρ
ρθθρθπρρθ?θθπ?++=<<≤
（2.47） 解 圆域上的函数(,)u ρθ相当于关于变量θ具有周期2π. 令
)()(),(θρθρΦ=R u 并代入到（2.46）中的方程可得
"()()0 () (2).
θλθθπθ?Φ+Φ=?
Φ=Φ+?
（2.48）
0)()()('"2=-+ρλρρρρR R R . （2.49） （2.48）是定解问题（2.47）的特征值问题. 由定理 1.3知（2.48）的解为
2, ()cos sin , 0n n n n n c n d n n λθθθ=Φ=+≥.
<<电磁场与电磁波>>读书报告 姓 名： 学 院： 学 号： 专 业： 题 目:分离变量法在求静态场的解的应用 成 绩： 二〇一四年四月 Xxx 工程学院 电子工程类
一．引言 分离变量法是在数学物理方法中应用最广泛的一种方法。在求解电磁场与电磁波的分布型问题和边值型问题有很重要的应用。分布型问题是指已知场源（电荷分布、电流分布）直接计算空间各点和位函数。而边值型问题是指已知空间某给定区域的场源分布和该区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场内位函数的分布。求解这两类问题可以归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。这类问题的解法，例如镜像法，分离变量法，复变函数法，格林函数法和有限差分法，都是很常用的解法。这里仅对在直角坐标系情况下的分离变量法作简单介绍。 二．内容 1.分离变量法的特点： 分离变量法是指把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法，属于解析法的一种。它要求要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合.在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。我们仅讨论直角坐标系中的分离变量法. 2.推导过程: 直角坐标系中的拉普拉斯方程： 222 222 0 x y z ??? ??? ++=??? 我们假设是三个函数的乘积,即
(,,)()()()x y z X x Y y Z z ?= 其中X 只是x 的函数,同时Y 是y 的函数Z 是z 的函数，将上式带入拉普拉斯方程，得 然后上式同时除以XYZ ，得 0X Y Z X Y Z '''''' ++= 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程： 即 α,β,γ为分离常数，都是待定常数，与边值有关但不能全为实数或全为虚数 。 由上式得2220αβγ++=，下面以X ”/X =α2式为例，说明X 的形式与α的关系 当α2=0时，则 当α2 <0时，令α=jk x (k x 为正实数)，则 或 当α2 >0时，令α=k x ，则 或 a ，b ，c ，d 为积分常数，由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和X(x)类似。 3解题步骤 1,2λα =±00 ()X x a x b =+12()x x jk x jk x X x b e b e -=+12()sin cos x x X x a k x a k x =+12()x x k x k x X x d e d e -=+12() s x x X x c hk x c chk x =+
第三章行波法与积分变换法 」 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 J 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 」 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 作如下代换; X at, X at 利用复合函数求导法则可得 同理可得 2 a 2(￡ 代入(1)可得 =0o u(x,t) F( ) G( ) F(X at) G(X at) 这里F,G 为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 F(X ) G(X ) (X ), aF (X ) aG (X ) (X ). X 2 u -2 )(」 2 2」 2 u ~2 先对求积分，再对 求积分，可得u(X,t)d 的一般形式 § 3.1 一维波动方程的达朗贝尔 (D 'alembert )公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题: 2 u 下 u 2 2 u a 2 ， X (X), u 0, (1) (X ),- (2) 2 ■4), (3)
由(3)第二式积分可得 1 X F(x) G(x) - 0 (t)dt C , a 0 利用(3)第一式可得 所以，我们有 1 1 x at u(x,t) [ (x at) (x at)] (t)dt 2 2a x at 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、 特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 AU xx 2BU xy CU yy DU x EU y Fu 0 称下常微分方程为其特征方程 A(dy)2 2Bdxdy C(dx)2 0。 由前面讨论知道，直线x at 常数为波动方程对应特征方程的积分曲线， 称为特征线。已知，左行波F(x at)在特征线x at G 上取值为常数值F(CJ ， 右行波G(x at)在特征线x at C 2上取值为常数值G(C 2)，且这两个值随着特 征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换( 2)为特征 变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、 公式的物理意义 由 U(x,t) F (x at) G(x at) 其中F(x at)表示一个沿x 轴负方向传播的行波，G(x at)表示一个沿x 轴正方 向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。 四、 依赖区间、决定区域、影响区域 F(x) 1 2(X ) 2a (t)dt G(x) (x) 1 x 2a o (t)dt (4)
第三章 分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析 例1 解下列定解问题： ???? ?????=??-==??=><
其中A ，B 为积分常数，（7）代入（6）中边界条件，得 00 A B Ae +=???-+=?? （8） 由（8）得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故不可能有0λ<。 (2) 当0λ=时，（6）式中方程的通解是 ()X x Ax B =+ 由边界条件得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故也不可能有0λ=。 （3）当 02 >=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为 x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件（6）中边界条件，得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ，故 0cos =l β，即 ),2,1,0(212Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程（3）的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是，所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得 0=n D
第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><
2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc
第二章 分离变量法 分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换 法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论. §2?1 特征值问题 2．1.1 矩阵特征值问题 在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵，A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程： ,n Ax x x R λ=∈， （1.1） 的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（1.1）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为Jordan 标准型. 若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得 1T AT D -=， （1.2） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（1.2）可写为如下形式 1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =， 或 , 1.i i i A T T i n λ=≤≤ （1.3） 上式说明，正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量，并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出. 定理1.1 设A 为一n 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题 ,n Ax x x R λ=∈， 则A 的所有特征值为实数，且存在n 个特征向量,1i T i n ≤≤，它们是相互正交的（正交性orthogonality ），可做为n R 的一组基（完备性completeness ）. 特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之. 为简单起见，在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵，故A 的所有特征值非零，并且假设A 有n 个线性无关的特征向量,i T 相应的特征值为, 1i i n λ≤≤. 例1.1 设n b R ∈，求解线性方程组 Ax b =. 解 由于向量组{1}i T i n ≤≤线性无关，故可做为n R 的一组基. 将,x b 按此
§2.2 有限杆上的热传导 定解问题：一均匀细杆，长为l ，两端坐标为l x x == ,0。杆的侧面绝热，且在端点0=x 处温度为零，而在l x = 处杆的热量自由发散到周围温度为0的介质中。初始温度为)(x ?，求杆上的温度变化情况，即考虑下定解问题： .0 ),(u 0, ,0hu ,0u 0, l,0 ,0002 2 2l x x t x u t x x u a t u t l x x ≤≤=>=+??=><<=??-??===? 仍用分离变量法求解。此定解问题的边界条件为第三类边界条件。类似§2.1中步骤，设)()(),(t T x X t x u =，代入上面的方程可得 ?????=+=+?-==. 0)()(,0)()() ()()()( 2 ' '22'2 2'''x X x X t T a t T x T a x T x X x X βββ 从而可得通解 x B x A x X ββsin cos )(+= 由边界条件知 .0)()(,0)0('=+=l hX l X X 从而 ?? ???-=?=+=.tan 0sin cos , 0h l l h l A βββββ 令 αγ γαβγ=?- ==tan 1 ,hl l 上方程的解可以看作曲线γtan 1=y ，αγ=2y 交点的横坐标，显然他们有无穷多个，于是方程有无穷多个根。用下符号表示其无穷多个正根 ,,21n γγγ 于是得到特征值问题的无穷个特征值
1,2,3...) (n ,2 2 2== l n n γβ 及相应的特征函数 x B x X n n n βsin )(= 再由方程0)()(22'=+t T a t T β， 可得 t a n n n e A t T 2 2)(β-=， 从而我们得到满足边界条件的一组特解 x e C t x u n t a n n n ββsin ),(2 2-= 由于方程和边界条件是齐次的，所以 ∑∞ =-=1 sin ),(2 2n n t a n x e C t x u n ββ 仍满足此方程和边界条件。 下面研究一下其是否满足初始条件。 )(sin 1 x x C n n n ?β=∑∞ = 可以证明}{sin x n β在区域[0,l]上具有正交性，即 ?≠=l m n xdx x 0 n m ,0sin sin ββ 证明： ) )((sin cos cos sin ))((2)sin()()sin()( ) (2)sin()(2)sin( ))cos()(cos(2 1sin sin 00=+--- =+-+---+=++- --=--+- =??m n m n m n n m n m m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n l m n m n l m n l l l l l l l l dx x x xdx x ββββββββββββββββββββββββββββββββββββ 完成。 令 ?=l n n n xdx x L 0 ,sin sin ββ 于是， ?= l n n n xdx x L C 0 sin )(1β ?
分离变量法 分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知. 解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围： 定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立?[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式 ()()f x g a ≤恒成立?[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）. 定理2 不等式()()f x g a ≥存在解?[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式 ()()f x g a ≤存在解?[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）. 定理3 方程()()f x g a =有解?()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 再现性题组： 1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。 2、若f(x)=2 33x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。 3、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2 ()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。 4、若方程42210x x a -+=有解，请求a 的取值范围 5、已知32 11132 y x ax x = -++是(0,)+∞上的单调递增函数，则a 的取值范围是（ ） .0A a <.22B a -≤≤.2C a <.2D a ≤ 6、求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 再现性题组答案： 1、解：原不等式4sin cos 25x x a ?+<-+当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立max a+5>(4sinx+cos2x)?-，设f(x)=4sinx+cos2x 则 22f(x)= 4sinx+cos2x=2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 --- ∴a+5>3a<2-∴
七、分离变量法 分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知. 解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围： 定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立?[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a ≤恒成立?[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）. 定理2 不等式()()f x g a ≥存在解?[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a ≤存在解?[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）. 定理3 方程()()f x g a =有解?()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 再现性题组： 1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。 2、若f(x)=2 33x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。 3、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2 ()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。 4、若方程42210x x a -+= 有解，请求a 的取值范围 5、已知32 11132 y x ax x = -++是(0,)+∞上的单调递增函数，则a 的取值范围是（ ） .0A a < .22B a -≤≤ .2C a < .2D a ≤ 6、求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 再现性题组答案： 1、解：原不等式4sin cos 25x x a ?+<-+当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立max a+5>(4sinx+cos2x)?-，设f(x)=4sinx+cos2x 则 22f(x)= 4sinx+cos2x=2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 --- ∴a+5>3a<2-∴
第五讲补充常微分方程求解相关知识。
第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 （第六讲） §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><
第三章 分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析 例1 解下列定解问题： ???? ?????=??-==??=><=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为
x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件（6）中边界条件，得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ，故 0cos =l β，即 ),2,1,0(21 2Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程（3）的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是，所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得 0=n D 3 32 02)12(322)12(sin )2(2ππ+- =+-=?n l xdx l n lx x l C l n 故所求的解为 x l n t l a n n l t x u n 2)12(sin 2)12(cos )12(132),(0 3 3 2 π ππ++?+- =∑∞ = 例2 演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手任其自由振动。设弦 长为l ，被拨开的点在弦长的0 1 n (0n 为正整数)处，拨开距离为h ，试求解弦的振动，即求解定解问题
第二章 分离变量法 分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换 法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论. §2?1 特征值问题 2． 矩阵特征值问题 在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵， A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程： ,n Ax x x R λ=∈， （） 的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为 Jordan 标准型. 若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得 1T AT D -=， （） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（）可写为如下形式 1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =， 或
第二章 分离变量法 §2.1 有界弦的自由振动 为了了解什么是分离变量法以及使用分离变量法应该具备什么条件，我们选取两端固定的弦的自由振动问题为例，通过具体地求解逐步回答这些问题。 讨论两端固定的弦的自由振动，归结求解下列定解问题： 22222000,0,0 (2.1)0,0,0 (2.2)(),(),0 (2.3)x x l t t u u a x l t t x u u t u u x x x l t ?ψ====???=<<>?????==>????==≤≤??? 这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。求解这样的问题，可以运用叠加原理。我们知道，在求解常系数线性齐次常微分方程的初值问题时，是先求出足够多个特解（它们能构成通解），再利用叠加原理作这些特解的线性组合，使满足初始条件。这就启发我们，要解问题（2.1～2.3），先寻求齐次方程（2.1）的满足齐次边界条件（2.2）的足够多个具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们作线性组合使满足初始条件（2.3）。 这种思想方法，还可以从物理模型得到启示。从物理学知道乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音，每种单音，振动时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间t ，即每个单音可以表示成
(,)()sin u x t A t x ω= 的形式，这种形式的特点是：u (x ,t )中的变量x 与t 被分离出来。 根据上面的分析，现在我们就试求方程（2.1）的分离变量形式 (,)()()u x t X x T t = 的非零解，并要求它满足齐次边界条件（2.2），式中X (x )，T （t ）分别表示仅与x 有关及仅与t 有关的待定函数。 由(,)()()u x t X x T t =得 2222()(),()()u u X x T t X x T t x t ??''''==?? 代入方程（2.1）得 2()()()()X x T t a X x T t ''''= 或 2()()()() X x T t X x a T t ''''= 这个式子左端仅是x 的函数，右端仅是t 的函数，只有它们均为常数时才能相等。令此常数为-λ，则有 2()()()() X x T t X x a T t λ''''==- 这样我们得到两个常微分方程： 2()()0T t a T t λ''+= （2.4） ()()0X x X x λ''+= （2.5） 再利用边界条件（2.2），由于u (x ,t )＝X (x ) T （t ），故有 (0)()0,()()0X T t X l T t == 但T （t ）不恒等于零，因为如果T （t ）≡0，则u (x ,t )＝0，这种解称
第三章 贝塞尔函数 对两个自变量的情形，在第二章中比较系统地介绍了分离变量法的基本思想 以及求解偏微分方程定解问题的主要步骤. 本章讨论多于两个自变量的情形，其求解过程和两个自变量情形基本相同，区别仅在于特征值问题的求解要用到一类特殊函数—贝塞尔（Bessel ）函数. 本章前两节围绕一类特征值问题的求解，比较系统地介绍二阶常微分方程的幂级数解法，以及Bessel 函数的一些基本性质. 第三节介绍多于两个自变量情形的分离变量法. §3?1 二阶线性常微分方程的幂级数解法 3.1.1 常系数线性方程的基解组 在高等数学中，同学们已学过常微分方程的一些求解方法. 对于常系数线性常微分方程，只要求出特征方程的根，就很容易写出齐次方程的基解组，由此可得齐次方程通解表达式. 例1.1 求解下列齐次微分方程 (1) '''320y y y -+=. (2) '''4130y y y ++=. (3) '''440y y y ++=. 解 (1) 特征方程为 2320λλ-+=， 特征根为121,2,λλ== 故基解组为 2{, }x x e e . （2）特征方程为 24130λλ++=， 特征根为1223, 23i i λλ=-+=--，是一对共轭复数，基解组为(23)(23){, }i x i x e e -+--， 这两个解为复值函数. 为得到实值函数的基解组，利用齐次微分方程解的线性性质得 2(23)(23)1 cos3 (+ )2x i x i x e x e e --+--=， 2(23)(23)1 sin 3 ( )2x i x i x e x e e i --+--=-， 这两个实值函数22cos3, sin3x x e x e x --也是方程（2）的解,由此得方程（2）的基解组为 22{cos3, sin3}x x e x e x --. （3）特征方程为 2440λλ++=，
分离变量法例题 例：两块半无限大接地平行于xz 平面的导体板，一块位于y = 0，另一块位于y = d ；平行板的有限端x = 0处被与之绝缘并保持常电势φ0的导体板封闭，如图所示。求导体板间的电势。 解：对于本问题，求解区域是x > 0的两平行板之间，区域内无电荷分布，因此电势满足拉普拉斯方程。区域的边界在y = 0、y = d 、x = 0、及x → ∞处。本问题实际是一个二维问题，即静电势与z 无关。因此，本定解问题： 20??= ( x > 0，0 < y < d ) (1) 0x ?→∞= (2) 00y ? == (x > 0) (3) 0y d ?== (x > 0) (4) 00x ??== (0 < y < d ) (5) (2)的条件是我们通常的选择。实际上(2)、(3)、(4)、(5)为边界条件。 因本问题为二维问题，(),x y ??=。(1)在直角坐标系中可写成： 2222 0x y ????+=?? 分离变量法的核心是将多维函数分解为多个一维函数的乘积。令 (,)()()x y X x Y y ?= 将其带入上式得： 2222d d 0d d X Y Y X x y += 将x 变量项和y 变量项整理为： 22221d 1d d d X Y X Y x y =- 上式坐标仅是x 的函数，而右边仅是y 的函数。这样，我们就将变量分离了。在上面的方程中，两半无限大接地平行导体板 y = d
对任意x 和y 成立，方程两边必等于常数。即： 222221d 1d d d X Y k X Y x y ==- (3-3-3) 式中k 为实数常数，称为分离常数。为什么我们将常数写为k 2而不是-k 2，后面我们将清楚这一点。上式可分为两个微分方程： 2221d d X k X x = 2221d d Y k Y y =- 我们知道上面的微分方程k 为非零时的解为： kx kx X Ae Be -=+ sin()cos()Y C ky D ky =+ 若k = 0，根据边界条件只能得出零解，因此，k 为非零值。式中A 、B 、C 、D 为积分常数，由边界条件确定。这样，我们得到： [][sin()cos()]kx kx Ae Be C ky D ky ?-=++ 由边界条件(2)，我们得到A = 0及k > 0。这就是为什么我们将常数写为k 2而不是-k 2的原因。它可使电势φ在x 方向单调地增加或单调地减少而不是振荡。由边界条件(3)，我们得到D = 0。而边界条件(4)给出： sin()0kd = 由此式及条件k > 0，我们得到： ,1,2,3,n k n d π==? 我们不取n = 0的原因是因为它给出的是零解。因此，我们得到对应n 值的电势解： (,)sin(),1,2,3,n x d n n n x y B e y n d ππ?-==? 其中C 已并入B n 。因拉普拉斯方程是线性方程，任何解的线性叠加也是方程的解。因此，我们将所有n 值的解叠加起来得到了更为一般的解： 1(,)sin()n x d n n n x y B e y d ππ?∞-==∑ 式中B n 为常数。此解满足边界条件(2)、(3)、(4)。由边界条件(5)， 我们有 01sin( )n n n B y d π?∞==∑ 上式是一在[0，d ]区间展开的正弦傅里叶级数，其系数B n 为：