对数与对数函数专题
1.对数的概念
如果a x
＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log a
N
＝N ； ②log a a b
＝b (a >0，且a ≠1).
(2)对数的运算法则
如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么
①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N
＝log a M －log a N ； ③log a M n
＝n log a M (n ∈R)； ④log a m M n
＝n m
log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).
(3)换底公式：log b N ＝log a N
log a b (a ，b 均大于零且不等于1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质
a >1 0 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0) 当x >1时，y >0； 当0 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. 1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a ；(2)log a m b n ＝n m log a b . 其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R. 2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，? ?? ??1a ，－1，函数图象只在第一、 四象限. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2 ＝2log 2x .( ) (2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.( ) (3)函数y ＝ln 1＋x 1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( ) (4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a 【教材衍化】 2.(必修1P73T3改编)已知a ＝1 3 2-，b ＝log 213，c ＝log 121 3 ，则( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >b >a D.c >a >b 3.(必修1P74A7改编)函数y ＝log 23 (2x －1)的定义域是________. 4.计算log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A.0 B.2 C.4 D.6 5.(2019·上海静安区检测)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) A.a >1，c >1 B.a >1，0 C.01 D.0 6.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝log 2(x 2 ＋a ).若f (3)＝1，则a ＝________. 【考点聚焦】 考点一 对数的运算 【例1】 (1)计算：? ????lg 14－lg 25÷100－12＝________. (2)计算：（1－log 63）2 ＋log 62·log 618 log 64＝________. 【规律方法】 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.ab ＝N ?b ＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【训练1】 (1)若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于( ) A.1 B.0或18 C.18 D.log 23 (2)(2019·成都七中检测)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________. 考点二 对数函数的图象及应用 【例2】 (1)(2019·潍坊一模)若函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( ) (2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2 A.(0，1) B.(1，2) C.(1，2] D.? ?? ??0，12 【规律方法】 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【训练2】 (1)(2018·湛江模拟)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( ) A.0 <1 C.0 <1 (2)(2019·日照一中调研)已知函数f(x)＝? ????2x ，x<1， log2x ，x≥1，若方程f(x)－a ＝0恰有一个实根，则实数a 的 取值范围是________. 考点三 对数函数的性质及应用 多维探究 角度1 对数函数的性质 【例3－1】 已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减 C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称 D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称 角度2 比较大小或解简单的不等式 【例3－2】 (1)(一题多解)(2018·天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 121 3，则a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >a D.c >a >b (2)若log a (a 2 ＋1) A.(0，1) B.? ????0，12 C.? ?? ??12，1 D.(0，1)∪(1，＋∞) 角度3 对数型函数性质的综合应用 【例3－3】 已知函数f (x )＝log a (3－ax ). (1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围； (2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由. 【规律方法】 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误. 3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件. 【训练3】 (1)若a >b >0，0 A.log a c B.log c a C.a c D.c a >c b (2)若函数f (x )＝log a ? ????x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间? ?? ??12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为 ________. 【反思与感悟】 1.对数值取正、负值的规律 当a >1且b >1或00； 当a >1且01时，log a b <0. 2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决. 3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性. 4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定. 【易错防范】 1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分01两种情况讨论. 2.在运算性质log a M α ＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α ＝αlog a |M |(α∈N * ， 且α为偶数). 3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围. 【分层训练】 【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题 1.已知函数f (x )＝? ??? ?2x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为( ) A.24 B.16 C.12 D.8 2.(2018·天津卷)已知a ＝log 3 72，b ＝? ????141 3，c ＝log 13 15，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >a D.c >a >b 3.在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax ，g (x )＝log a (x ＋2)(a >0，且a ≠1)的图象大致为( ) 4.(2019·宁波二模)已知f (x )＝lg(10＋x )＋lg(10－x )，则( ) A.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是增函数 B.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是增函数 C.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是减函数 D.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是减函数 5.(2019·临汾三模)已知函数f (x )＝|ln x |，若f (m )＝f (n )(m >n >0)，则2m ＋1＋2 n ＋1 ＝( ) A.1 2 B.1 C.2 D.4 二、填空题 6.lg 52＋2lg 2－? ?? ??12－1 ＝________. 7.(2019·昆明诊断)设f (x )＝lg ? ?? ? ?21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________. 8.(2019·潍坊调研)已知函数f (x )＝?????－log 2（3－x ），x <2， 2x －2－1，x ≥2， 若f (2－a )＝1，则f (a )＝________. 三、解答题 9.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间???? ??0，32上的最大值. 10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12 x . (1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2 －1)>－2. 【能力提升题组】(建议用时：20分钟) 11.(2019·天津和平区二模)已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝log a (x ＋x 2 ＋b )在区间 (－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g (x )＝log a ||x |－b |的图象是( ) 12.设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A.2x <3y <5z B.5z <2x <3y C.3y <5z <2x D.3y <2x <5z 13.(2019·衡水中学检测)已知函数f (x )＝lg(mx 2 ＋2mx ＋1)，若f (x )的值域为R ，则实数m 的取值范围是________. 14.已知函数f (x )＝ln x ＋1 x －1 . (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)对于x ∈[2，6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m （x －1）（7－x ） 恒成立，求实数m 的取值范围. 答 案 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2 ＝2log 2x .( ) (2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.( ) (3)函数y ＝ln 1＋x 1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( ) (4)当x>1时，若log a x>log b x，则a 【答案】(1)×(2)×(3)√(4)× 【解析】(1)log2x2＝2log2|x|，故(1)错. (2)形如y＝log a x(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错. (4)当x＞1时，log a x＞log b x，但a与b的大小不确定，故(4)错. 【教材衍化】 2.(必修1P73T3改编)已知a＝ 1 3 2-，b＝log2 1 3 ，c＝log1 2 1 3 ，则( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 【答案】 D 【解析】∵0 2 1 3 ＝log23>1. ∴c>a>b. 3.(必修1P74A7改编)函数y＝log2 3 (2x－1)的定义域是________. 【答案】 ? ? ?? ? 1 2 ，1 【解析】由log2 3 (2x－1)≥0，得0<2x－1≤1.∴ 1 2 ∴函数y＝log2 3 (2x－1)的定义域是? ? ?? ? 1 2 ，1. 【真题体验】 4.(2019·杭州检测)计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝( ) A.0 B.2 C.4 D.6 【答案】 D 【解析】原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25) ＝4＋log525＝4＋2＝6. 5.(2019·上海静安区检测)已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) A.a >1，c >1 B.a >1，0 C.01 D.0 【答案】 D 【解析】 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以00，即log a c >0，所以0 6.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝log 2(x 2 ＋a ).若f (3)＝1，则a ＝________. 【答案】 －7 【解析】 由f (3)＝1得log 2(32 ＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－7. 【考点聚焦】 考点一 对数的运算 【例1】 (1)计算：? ????lg 14－lg 25÷100－12＝________. (2)计算：（1－log 63）2 ＋log 62·log 618 log 64＝________. 【答案】 (1)－20 (2)1 【解析】 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ? ????122×52×10＝lg 10－2 ×10＝－2×10＝－20. (2)原式＝1－2log 63＋(log 63)2 ＋log 6 63 ·log 6(6×3) log 64 ＝1－2log 63＋(log 63)2 ＋1－(log 63)2 log 64 ＝ 2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62 log 62 ＝1. 【规律方法】 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.ab ＝N ?b ＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【训练1】 (1)若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于( ) A.1 B.0或1 8 C.18 D.log 23 (2)(2019·成都七中检测)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________. 【答案】 (1)D (2)4 2 【解析】 (1)由题意知lg 2＋lg(2x ＋5)＝2lg(2x ＋1)， ∴2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，(2x )2－9＝0，2x ＝3，x ＝log 23. (2)设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝5 2， 所以t ＝2，则a ＝b 2 . 又a b ＝b a ，所以b 2b ＝bb 2 ， 即2b ＝b 2 ，又a >b >1，解得b ＝2，a ＝4. 考点二 对数函数的图象及应用 【例2】 (1)(2019·潍坊一模)若函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( ) (2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2 C.(1，2] D.? ?? ??0，12 【答案】 (1)D (2)C 【解析】 (1)由f (x )在R 上是减函数，知0 又y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞). ∴当x >1时，y ＝log a (x －1)的图象由y ＝log a x 向右平移一个单位得到.因此选项D 正确. (2)由题意，易知a >1. 在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2 ，x ∈(1，2)及y ＝log a x 的图象. 若y ＝log a x 过点(2，1)，得log a 2＝1，所以a ＝2. 根据题意，函数y ＝log a x ，x ∈(1，2)的图象恒在y ＝(x －1)2 ，x ∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2]. 【规律方法】 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交 点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【训练2】 (1)(2018·湛江模拟)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( ) A.0 <1 (2)(2019·日照一中调研)已知函数f(x)＝? ????2x ，x<1， log2x ，x≥1，若方程f(x)－a ＝0恰有一个实根，则实数a 的 取值范围是________. 【答案】 (1)A (2){0}∪[2，＋∞) 【解析】 (1)由函数图象可知，f (x )在R 上单调递增，又y ＝2x ＋b －1在R 上单调递增，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1 (2)作出函数y ＝f (x )的图象(如图所示). 方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 恰有一个公共点， 故a ＝0或a ≥2，即a 的取值范围是{0}∪[2，＋∞). 考点三 对数函数的性质及应用 多维探究 角度1 对数函数的性质 【例3－1】 已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减 C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称 D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称 【答案】 C 【解析】 由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2 ＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又 f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 角度2 比较大小或解简单的不等式 【例3－2】 (1)(一题多解)(2018·天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 12 1 3，则a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >a D.c >a >b (2)若log a (a 2 ＋1) B.? ?? ??0，12 C.? ?? ??12，1 D.(0，1)∪(1，＋∞) 【答案】 (1)D (2)C 【解析】 (1)法一 因为a ＝log 2e>1，b ＝ln 2∈(0，1)，c ＝log 121 3＝log 23>log 2e ＝a >1，所以c >a >b . 法二 log 121 3 ＝log 23，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝ln x 的图象，由图知c >a >b . (2)由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2 ＋1>2a ， 又log a (a 2 ＋1) (1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围； (2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】见解析 【解析】(1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数， x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <3 2 . 又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围是(0，1)∪? ?? ??1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数. ∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数， ∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴? ????3－2a >0， log a （3－a ）＝1，即?????a <32，a ＝32. 故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 【规律方法】 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误. 3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件. 【训练3】 (1)若a >b >0，0 D.c a >c b (2)若函数f (x )＝log a ? ????x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间? ?? ??12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为 ________. 【答案】 (1)B (2)(0，＋∞) 【解析】 (1)由y ＝x c 与y ＝c x 的单调性知，C ，D 不正确； ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a lg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0. 又a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负， ∴log a c 与log b c 的大小不能确定. (2)令M ＝x 2 ＋32x ，当x ∈? ????12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数， 又M ＝? ????x ＋342 －916，因此M 的单调递增区间为? ????－34，＋∞. 又x 2 ＋32x >0，所以x >0或x <－32 ， 所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞). 【反思与感悟】 1.对数值取正、负值的规律 当a >1且b >1或00； 当a >1且01时，log a b <0. 2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决. 3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性. 4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定. 【易错防范】 1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分01两种情况讨论. 2.在运算性质log a M α ＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α ＝αlog a |M |(α∈N * ，且α为偶数). 3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围. 【分层训练】 【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 1.已知函数f (x )＝? ????2x ，x ≥4， f (x ＋1)，x <4，则f (2＋lo g 23)的值为( ) A.24 B.16 C.12 D.8 【答案】 A 【解析】 因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝2 3＋log 2 3 ＝8×2 log 2 3＝24. 2.(2018·天津卷)已知a ＝log 3 72，b ＝? ????141 3，c ＝log 13 15，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >a D.c >a >b 【答案】 D 【解析】 log 13 15 ＝log 3－15－1 ＝log 35，因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数，所以log 35>log 3 72>log 33 ＝1，因为函数y ＝? ????14x 在(－∞，＋∞)上为减函数，所以? ????1413 ??140 ＝1，故c >a >b . 3.(2019·张家界三模)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax ，g (x )＝log a (x ＋2)(a >0，且a ≠1)的图象大致为( ) 【答案】 A 【解析】 由题意，知函数f (x )＝2－ax (a >0，且a ≠1)为单调递减函数，当0 a >2，且函数g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为单调递减函数，C ，D 均不满足；当a >1时， 函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a <2，且x ＝2 a >0，又g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上是增函数，排除B ，综 上只有A 满足. 4.(2019·宁波二模)已知f (x )＝lg(10＋x )＋lg(10－x )，则( ) A.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是增函数 B.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是增函数 C.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是减函数 D.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是减函数 【解析】 由? ????10＋x >0， 10－x >0，得x ∈(－10，10)， 且f (x )＝lg(100－x 2 ). ∴f (x )是偶函数， 又t ＝100－x 2 在(0，10)上单调递减，y ＝lg t 在(0，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在(0，10)上单调递减. 5.(2019·临汾三模)已知函数f (x )＝|ln x |，若f (m )＝f (n )(m >n >0)，则2m ＋1＋2 n ＋1 ＝( ) A.1 2 B.1 C.2 D.4 【答案】 C 【解析】 由f (m )＝f (n )，m >n >0，可知m >1>n >0， ∴ln m ＝－ln n ，则mn ＝1. 所以 2m ＋1＋2n ＋1＝2（m ＋n ）＋4mn ＋m ＋n ＋1＝2（m ＋n ＋2）m ＋n ＋2 ＝2. 二、填空题 6.lg 52＋2lg 2－? ????12－1 ＝________. 【答案】 －1 【解析】 lg 52＋2lg 2－? ?? ??12－1 ＝lg 52＋lg 22 －2 ＝lg ? ?? ??52×4－2＝1－2＝－1. 7.(2019·昆明诊断)设f (x )＝lg ? ?? ? ?21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________. 【答案】 (－1，0) 【解析】 由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg 1＋x 1－x ，定义域为(－1，1). 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x <1，∴－1 8.(2019·潍坊调研)已知函数f (x )＝? ????－log 2（3－x ），x <2， 2x －2－1，x ≥2，若f (2－a )＝1，则f (a )＝________. 【答案】 －2 【解析】 当2－a <2，即a >0时，f (2－a )＝－log 2(1＋a )＝1. 解得a ＝－1 2 ，不合题意. 当2－a ≥2，即a ≤0时，f (2－a )＝2－a －1＝1，即2－a ＝2，解得a ＝－1，所以f (a )＝f (－1)＝－log 24＝－2. 三、解答题 9.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间???? ??0，32上的最大值. 【答案】见解析 【解析】(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2. 由? ????1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3). (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x ) ＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2 ＋4]， ∴当x ∈[0，1]时，f (x )是增函数； 当x ∈? ?? ??1，32时，f (x )是减函数， 故函数f (x )在???? ??0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12 x . (1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2 －1)>－2. 【答案】见解析 【解析】(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12 (－x ). 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12 (－x )， 所以函数f (x )的解析式为 f (x )＝?????lo g 12x ，x >0， 0，x ＝0，log 12 （－x ），x <0. (2)因为f (4)＝log 12 4＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2 －1|)>f (4). 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2 －1|<4，解得－5 11.(2019·天津和平区二模)已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝log a (x ＋x 2 ＋b )在区间 (－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g (x )＝log a ||x |－b |的图象是( ) 【答案】 A 【解析】 ∵函数f (x )＝log a (x ＋x 2 ＋b )在区间(－∞，＋∞)上是奇函数，∴f (0)＝0，∴b ＝1，又函数 f (x )＝lo g a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，所以a >1. 所以g (x )＝log a ||x |－1|，当x >1时，g (x )＝log a (x －1)为增函数，排除B ，D ；当0 12.设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A.2x <3y <5z B.5z <2x <3y C.3y <5z <2x D.3y <2x <5z 【答案】 D 【解析】 令t ＝2x ＝3y ＝5z ， ∵x ，y ，z 为正数，∴t >1. 则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t lg 5. ∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t （2lg 3－3lg 2） lg 2×lg 3 ＝ lg t （lg 9－lg 8） lg 2×lg 3 >0， ∴2x >3y . 又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t （2lg 5－5lg 2） lg 2×lg 5 ＝ lg t （lg 25－lg 32） lg 2×lg 5 <0， ∴2x <5z ，∴3y <2x <5z . 13.(2019·衡水中学检测)已知函数f (x )＝lg(mx 2 ＋2mx ＋1)，若f (x )的值域为R ，则实数m 的取值范围是________. 【答案】 [1，＋∞) 【解析】 令g (x )＝mx 2 ＋2mx ＋1值域为A ，∵函数f (x )＝lg(mx 2 ＋2mx ＋1)的值域为R ，∴(0，＋∞)?A ， 当m ＝0时，g (x )＝1，f (x )的值域不是R ，不满足条件；当m ≠0时，? ????m >0， 4m 2－4m ≥0，解得m ≥1. 14.已知函数f (x )＝ln x ＋1 x －1 . (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)对于x ∈[2，6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m （x －1）（7－x ） 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】见解析 【解析】(1)由 x ＋1 x －1 >0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时， f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ? ????x ＋1x －1－1 ＝－ln x ＋1 x －1 ＝－f (x ). ∴f (x )＝ln x ＋1 x －1 是奇函数. (2)由于x ∈[2，6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m （x －1）（7－x ） 恒成立， ∴ x ＋1x －1>m （x －1）（7－x ） >0， 指数与对数函数 I 题型 一、利用指数和对数函数性质比较大小 1. （2010 3 52 2 53 2 52 ， ， c 的大小 安徽文）设 a （ ） , b （ ）， c （ ） ，则 5 5 5 a b 关系是（ ） A ．a ＞c ＞b B ．a ＞b ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a 2、下列大小关系正确的是（ ） A. 0.42 30.4 log 4 0.3 ； B. 0.42 log 4 0.3 30.4 ； C. log 4 0.3 0.42 30.4 ； D. log 4 0.3 30.4 0.42 3、比较下列比较下列各组数中两个值的大小： （ 1） log 6 7 ， log 7 6 ； （ 2） log 5 3 ， log 6 3， log 7 3 ． 4. 设 a 0 3 , b log 3, c 1，则 a,b, c 的大小关系是（ ） A. a b c B. a c b C. b a c D. b c a 二、指数与对数运算 1、若 m ＝ lg5 － lg2 ，则 10m 的值是（ ） 5 B 、 3 C 、 10 D 、 1 A 、 2 1 2、 若 log 4 [log 3 (log 2 x)] 0 ，则 x 2 等于（ ） A 、 1 2 B 、 1 2 C 、 8 D 、 4 4 2 3、化简计算： log 2 1 · log 3 1 · log 5 1 25 8 9 4. 化简： log 2 5+log 4 0.2 log 5 2+log 250.5 5、已知 3a 2 ，那么 log 3 8 2log 3 6 用 a 表示是（ ） A 、 a 2 B 、 5a 2 C 、 3a (1 a) 2 D 、 3a a 2 6、 2log a ( M 2N ) log a M log a N ，则 M 的值为（ ） A 、 1 N B 、4 C 、 1 D 、 4 或 1 4 1 高一数学 对数与对数函数 一、 知识要点 1、 对数的概念 （1）、对数的概念： 一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b =，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数 （2）、对数的运算性质： 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有： ) ()() (3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= （3）、重要的公式 ①、负数与零没有对数； ②、01log =a ，1log =a a ③、对数恒等式N a N a =log （4）、对数的换底公式及推论： I 、对数换底公式： a N N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) II 、两个常用的推论: ①、1log log =?a b b a ， 1log log log =??a c b c b a ② 、b m n b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1） 佛山学习前线教育培训中心 2、 对数函数 （1）、对数函数的定义 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数； 它是指数函数x a y = )10(≠>a a 且的反函数对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞ （2）、对数函数的图像与性质 log (01)a y x a a =>≠且的图象和性质 新教材高一数学寒假作业（13）对数与对数函数新人教B 版 1、已知28 29,log 3 x y ==,则2x y +的值为( ) A.6 B.8 C.4 D.4log 8 2、若0a >且1,0,0,N a x y n *≠>>∈且1n >.给出下列结论: ①2(log )2log a a x x =; ②log ()log log a a a x y x y +=+; ③log log log a a a x x y y =; ④ log log a a x n =. 其中正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3、若0,1,0,N a a x y n *>≠>>∈,则下列各式: ①(log )log n a a x n x =;②(log )log n n a a x x =;③1log log a a n x n x -=; ④ log log log a a a x x y y =; 1log a x n =; ⑥ log log a a x n =; ⑦log log n a a x n x =;⑧log log a a x y x y x y x y -+=-+-. 其中成立的有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 4、若(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+> B.b c a >> C.c a b >> D.c b a >> 第二章 函数 三 指数函数与对数函数 【考点阐述】指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数． 【考试要求】（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 【考题分类】 （一）选择题（共15题） 1.（安徽卷文7）设 232555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系 中的图像可能是 【答案】D 【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-11矛盾，选D 。 3.（辽宁卷文10）设525b m ==，且112a b +=，则m = （A （B ）10 （C ）20 （D ）100 【答案】 D 解析：选A.211 log 2log 5log 102,10, m m m m a b +=+==∴= 又0,m m >∴= 4.（全国Ⅰ卷理8文10）设a= 3 log 2,b=In2,c=1 2 5 - ,则 A. a 指数函数和对数函数 知能目标 1. 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图象和性质. 2. 理解对数的概念, 掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图象和性质. 3. 能够运用指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 综合脉络 1. 以指数函数、对数函数为中心的综合网络 2. 指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据): 0a (N log b N a a b >=?=且)1a ≠ 指数函数与对数函数互为反函数, 它们的图象关于直线x y =对称, 指数函数与对数函数 的性质见下表: 3. 指数函数,对数函数是高考重点之一 指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函 数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性 质并能进行一定的综合运用. (一) 典型例题讲解: 例1.设a ＞0, f (x)＝ x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f － 1 (x)的奇偶性与单调性. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 例3. 已知x 满足≤+6x 2a a 4x 2x a a +++)1a ,0a ( ≠>, 函数y ＝)ax (log x a 1 log 2 a 12 a ? 的值域为]0 ,8 1[-, 求a 的值. (二) 专题测试与练习: 指数函数与对数函数专项练习 例1.设a ＞0, f (x)＝x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x ) 的反函数f －1 (x)的奇偶性与单调性. 解：(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a 1 0)0(f >=?=-?=, (2) =-?∈++=--)x (f )R x (2 4x x ln )x (f 121 -=++-24x x ln 2=++2 4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1 -为单调增函数. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解：设x ax )x (u 2-=, 对称轴a 21 x =. (1) 当1a >时, 1a 0)2(u 2 a 21>??????>≤; (2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4 a 21 ≤≥. 综上所述: 1a > 1.（安徽卷文7）设 232 555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >， 2 ()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一 直角坐标系中的图像可能是【答案】D 《对数与对数函数》测试 12.21 一、选择题： 1．已知3a ＋5b = A ，且 a 1＋b 1 = 2，则A 的值是( )． (A)．15 (B)．15 (C)．±15 (D)．225 2．已知a ＞0，且10x = lg(10x)＋lg a 1 ，则x 的值是( )． (A)．－1 (B)．0 (C)．1 (D)．2 3．若x 1，x 2是方程lg 2x ＋(lg3＋lg2)＋lg3·lg2 = 0的两根，则x 1x 2的值 是( )． (A)．lg3·lg2 (B)．lg6 (C)．6 (D)． 6 1 4．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，那么a 的取值X 围是( )． (A)．(0，1) (B)．(0，21) (C)．(21 ，1) (D)．(1，＋∞) 5． 已知x = 31log 12 1 ＋ 31log 1 5 1 ，则x 的值属于区间( )． (A)．(－2，－1) (B)．(1，2) (C)．(－3，－2) (D)．(2，3) 6．已知lga ，lgb 是方程2x 2－4x ＋1 = 0的两个根，则(lg b a )2的值是( )． (A)．4 (B)．3 (C)．2 (D)．1 7．设a ，b ，c ∈R ，且3a = 4b = 6c ，则( )． (A)．c 1=a 1＋b 1 (B)．c 2=a 2＋b 1 (C)．c 1=a 2＋b 2 (D)．c 2=a 1＋b 2 8．已知函数y = log 5.0(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值X 围是( )． (A)．0≤a ≤1 (B)．0＜a ≤1 (C)．a ≥1 (D)．a ＞1 9．已知lg2≈0.3010，且a = 27×811×510的位数是M ，则M 为( )． 专题：对数函数知识点总结 1.对数函数的定义： 一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考：函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？ ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 | 一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域 （1）0.2log (4);y x =-； （2 ）log a y =(0,1).a a >≠； （3）2 (21)log (23)x y x x -=-++ （4 ）y = ？ (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数 的定义域是 5.函数y ＝log 2(32－4x )的定义域是 ，值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ { 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域： （1）2log (3)y x =+； （2）2 2log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 9.函数f （x ）=x 1 ln （432322+--++-x x x x ）定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为 指数函数与对数函数专项练习 1 设 232555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是[ ] （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 2 函数y=ax2+ bx 与y= || log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能 是[ ] 3.设525b m ==，且112a b +=，则m =[ ] （A ）10（B ）10 （C ）20 （D ）100 4.设a= 3log 2,b=In2,c=1 2 5- ,则[ ] A. a (A) (B) (C) (D) 8.设 5 54a log 4b log c log ===25，（3），，则[ ] (A)a 专题 ：指 数 和 对 数 第一部分：指数、对数运算 一，指数运算 1，运算法则（建议学生掌握语言叙述） = ==÷=?r s r s r s r ab a a a a a )()( 2，分数指数幂 =n m a 3，化简 ? ??=a a a n n Z k k n Z k k n ∈+=∈=,122， 例题练习： 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）51a = （2）34 a = （3）35 a - = （4）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3 4y x = （2）)0(2>=m m m （3）()3 23ab ab = （4）34a a ?= ； （5）a a a = ； 3、求下列各式的值 （1）2 38= ；（2）12 100- = ； （3）31()4-= ；（4）3 4 16()81 -= （5）1 2 2 [(2)]- -= （6）()12 2 13??-???? = （7）=3 264 4.化简 （1）=??12 74 33 1a a a （2）=÷?6 54323a a a （3） =÷-?a a a 9)(3432 3 （4）322 a a a ?= （5）3 1 63)278(--b a = 5.计算 （1）43512525÷- (2) 6 323 1.512?? （3）21 0319)4 1 ()2(4)21(----+-?- ()5 .02 1 2001.04122432-?? ? ???+??? ??- - （5）48 373271021.097203 225 .0+ -? ? ? ??++? ? ? ??- -π 二，对数运算 运算法则： ==== =N M a M M M M MN a n a n a a N a log 3log )(log )(log ,2,121log ， 倒数公式）换底公式）1 log (,6log ,5log (,4= = =b b b a n a a m 对数习题练习： 一、选择题 1、以下四式中正确的是（ ） A 、log 22=4 B 、log 21=1 C 、log 216=4 D 、log 221=4 1 2、下列各式值为0的是（ ） A 、10 B 、log 33 C 、（2－3）° D 、log 2∣－1∣ 3、2 5 1 log 2 的值是（ ） A 、－5 B 、5 C 、51 D 、－5 1 4、若m ＝lg5－lg2，则10m 的值是（ ） A 、2 5 B 、3 C 、10 D 、1 5、设N ＝ 3log 12＋3 log 1 5，则（ ） 对数与对数函数 【高考要求】 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a>0，a ≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型． 【知识梳理】 1.对数的概念 (1)对数的定义 如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作___ x ＝log a N ___，其中__ a __叫做对数的底数，__ N __叫做真数.真数N 为正数（负数和零无对数）． 说明：①实质上，上述对数表达式，不过是指数函数x a y =的另一种表达形式，例如：8134=与 81log 43= 这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式.log N x N a a x =?= ②“log ”同“+”“×” “ ”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这 种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面。 ③对数的底数和真数 从对数的实质看：如果a b ＝N (a >0且a ≠1)，那么b 叫做以a 为底N 的对数，即b ＝log a N .它是知道底数和幂求指数的过程.底数a 从定义中已知其大于0且不等于1；N 在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于0的. (2)几种常见对数 2．对数的性质与运算法则 （1）．对数基本性质：log 10a =，log 1a a =，log a N a N =---对数恒等式 （2）．对数运算性质：若0,1,0,0a a M N >≠>>且，则： ①log ()log log a a a MN M N =+ ②log log log a a a M M N N =- ③log log ()n a a M n M n R =∈ （3）．换底公式：log log (0,1;0,1;0)log c a c b b a a c c b a = >≠>≠> 推论：①log log (,,0)m n a a n M M m n R m m = ∈≠ ②1log log a b b a = 点评：（1）要熟练掌握公式的运用和逆用。 （2）在使用公式的过程中，要注意公式成立的条件。 例如：真数为两负数的积，).5(log ).3(log 22--不能写成).5(log ).3(log 22--=).5(log )3(log 22-+- 指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次 方根，其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 对数与对数函数同步练习 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、4 1 B 、4 C 、1 D 、4或1 3、已知221,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于 （ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2 m n - 4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=的两根是,αβ，则αβ的值是（ ） A 、lg5lg7 B 、lg35 C 、35 D 、35 1 5、已知732log [log (log )]0x =，那么12 x -等于（ ） A 、1 3 B 23 C 22 D 336、函数2lg 11y x ?? =- ?+?? 的图像关于（ ） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称 7、函数(21)log 32x y x -=- ） A 、()2,11,3??+∞ ? ?? B 、()1,11,2?? +∞ ? ?? C 、2,3??+∞ ??? D 、1,2??+∞ ??? 8、函数212 log (617)y x x =-+的值域是（ ） A 、R B 、[)8,+∞ C 、(),3-∞- D 、[)3,+∞ 例1.设a ＞0, f (x)＝x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f － 1 (x)的奇偶性与单调性. 解：(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a 1 0) 0(f >=?=-? =, (2) =-?∈++=--)x (f )R x (2 4 x x ln )x (f 121 -=++-24x x ln 2=++2 4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1 -为单调增函数. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解：设x ax ) x (u 2-=, 对称轴a 21x = . (1) 当1a >时, 1a 0 )2(u 2 a 21>??????>≤; (2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4 a 21 ≤≥. 综上所述: 1a > 1.（安徽卷文7）设 232 555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2 ()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可 能是【答案】D 【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-1 高中数学会考指数函数与对数函数专题训练 一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 143 的结果为 A 、5 B 、5 C 、－5 D 、－5 2、函数y=5x +1的反函数是 A 、y=log 5(x+1) B 、y=log x 5+1 C 、y=log 5(x －1) D 、y=log (x+1)5 3、函数f x x ()=-21，使f x ()≤0成立的x 的值的集合是 A 、{} x x <0 B 、{} x x <1 C 、{} x x =0 D 、{} x x =1 4、设5.1344.029.01)2 1 (,8,4-===y y y ，则 A 、y 3＞y 1＞y 2 B 、y 2＞y 1＞y 3 C 、y 1＞y 2＞y 3 D 、y 1＞y 3＞y 2 5、25532 lg 2lg lg 16981 -+等于 A 、lg2 B 、lg3 C 、lg4 D 、lg5 6、若3a =2,则log 38－2log 36用a 的代数式可表示为 A 、a －2 B 、3a －(1+a)2 C 、5a －2 D 、3a －a 2 7、某企业2002年的产值为125万元，计划从2003年起平均每年比上一年增长20%，问哪一年这个企业的产值可达到216万元 A 、2004年 B 、2005年 C 、2006年 D 、2007年 8、“等式log 3x 2=2成立”是“等式log 3x=1成立”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 9、若f(10x )=x ，则f(3)的值是 A 、log 310 B 、lg3 C 、103 D 、310 高一数学必修一对数及对数函数知识点总 结 数学是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。以下是查字典数学网为大家整理的高一数学必修一对数及 对数函数知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。 对数定义 如果a的x次方等于N(a>0，且a不等于1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。 注： 1.以10为底的对数叫做常用对数，并记为lg。 2.称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数，并记为ln。 3.零没有对数。 4.在实数范围内，负数无对数。在复数范围内，负数是有对数的。 对数公式 0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。/p p其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定， 同样适用于对数函数。/p p对数函数性质/p p align=" center="" img="" /> 定义域求解：对数函数y=logax的定义域是{x丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx(2x-1)的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为{x丨x>1/2且x≠1} 值域：实数集R，显然对数函数无界。 定点：函数图像恒过定点(1，0)。 单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数; 奇偶性：非奇非偶函数 周期性：不是周期函数 对称性：无 最值：无 零点：x=1 注意：负数和0没有对数。 两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。 要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01 且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 1 4 时，函数值不存在。 a =0 ，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1 时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ???=212 10，， 的图象的认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x >0； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1； （3）y y x x ==210，在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x =?? ? ? ?12的图象正好相反； （3）当a >1时，x a x a x x >><<<>?????0101， 则， 则 （4）y y x x ==210，的图象自左到右逐渐（4）当a >1时，y a x =是增函数， 指、对数函数典型题 1. 若f（x）=x2－x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1）. （1）求f（log2x）的最小值及对应的x值； （2）x取何值时，f（log2x）＞f（1）且log2［f（x）］＜f（1） 2 要使函数y=1+2x+4xa在x∈（－∞，1）上y＞0恒成立，求a的取值范围. 3. 求函数y=2lg（x－2）－lg（x－3）的最小值. 4. 已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（－2k，2）是函数y= f －1（x）图象上的点. （1）求实数k的值及函数f －1（x）的解析式； （2）将y= f －1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2 f －1（x+ －3）－g（x）≥1恒成立，试求实数m的取值范围. 5. 函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14，求a的值。 6. 设函数f(x)=loga(x-3a) (a>0 , a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x-2a,-y)是函数y=g(x)的图象上的点（1）写出函数y=g(x)的解析式 （2）若当x∈[a+2,a+3]时，恒有︱f(x)-g(x)︱≤1,试确定的取值范围。 7. 已知a>0 , a≠1， （1）当f(x)的定义域为（-1,1）时，解关于m的不等式f(1-m)+f(1-m2)<0; （2）若f(x)-4恰在(-∞,2)上取负值，求a的值 8. 已知函数 ， 求证：（1）函数 在 上为增函数；（2）方程 没有负数根． 9. 已知函数 （ 且 ）．求证：（1）函数 的图象在 轴的一侧； （2）函数 图象上任意两点连线的斜率都大于 ． 指数函数和对数函数的重点知识 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==，log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 1 4 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为 1，但y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210 ，，的图象的认识。 图象特征 函数性质 （1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x >0； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1； （3）y y x x ==210，在第一象限内的纵坐 标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x =?? ???12的图象正好相反； （3）当a >1时，x a x a x x >><<<>?????0101 ，则，则 （4）y y x x ==210，的图象自左到右逐渐上升，y x =?? ? ? ?12的图象逐渐下降。 （4）当a >1时，y a x =是增函数， 当01< 《2016艺体生文化课-百日突围系列》 专题四 指数函数与对数函数 幂的运算、对数运算 【背一背基础知识】 1.根式：一般地，如果n x a =，那么x 就叫做a 的n 次方根，其中1n >，且n N * ∈.式子n a 叫做根式，其 中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.其中,,n n a n a a n ?=?? 为正奇数 为正偶数； 2.分数指数幂：我们规定正数的正分数指数幂的意义是：()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>且；我们规定 正数的负分数指数幂的意义是： ()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a - * = = >∈>且；其中0的正分数指数幂为0， 0的负分数指数幂没有意义； 3.正数的有理数幂的运算法则如下：（1）()0,,r s r s a a a a r s Q +=>∈； （2）()()0,,s r rs a a a r s Q =>∈； （3）()()0,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈； 4.对数：一般地，如果()01x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数；其中把以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记作lg N ，把以e （无理数 2.71828 e =为底的底数叫做自然对数，并把log e N 记作ln N ；其中指数与对数的互化为：x a N = ()log 01a x N a a ?=>≠且. 5.对数恒等式：（1）()log 1001a a a =>≠且；（2）()log 101a a a a =>≠且；（3）()log 01a N a N a a =>≠且. 5.对数的运算性质：如果0a >且1a ≠，0M >，0N >，那么： （1）()log log log a a a M N M N ?=+； （2）log log log a a a M M N N =-；（3）()log log n a a M n M n R =∈. 6.对数的换底公式：()log log 01;01;0log c a c b b a a c c b a = >≠>≠>且且.(完整版)指数与对数函数综合复习题型.doc
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