武汉大学
2004年攻读硕士学位研究生入学考试试题
科目：高等代数 科目代码：804
一、设A 为3阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，1det 2
A =
，求11
det(()10*)3
A A --.（10分）
二、计算n 阶行列式12
121
21
2
00
n n
n n n a a a a a a a a D a a a a ++++=
++
，其中0,1,2,,j a j n ≠= .（10分）
三、设A 为m n ?矩阵，A 的秩()R A Y =，证明存在m Y ?矩阵B 和Y n ?矩阵C 且
()()R B R C Y
==，使A BC =.（10分）
四、已知322,22A E B A A E ==-+，证明B 可逆，并求出其逆.（15分） 五、A 为n 阶矩阵，*A 为其A 的伴随矩阵，证明：1det *(det )n A A -=.（20分） 六、设,A B 都是n 阶正定矩阵，证明：
（1） A B 的特征值全大于零；（10分）
（2） 若AB BA =，则A B 是正定矩阵.（5分）
七、求矩阵1111m n
A ???
?= ? ??
?
（即A 中的每个元素都为1）的最小多项式.（15分） 八、设V 是复数域上的n 维线性空间，,f g 是V 的线性变换，且fg gf =，证明：
（1）如果λ是f 的特征值，那么V λ（λ的特征子空间）是g 的不变子空间；（8分） （2）,f g 至少有一个公共的特征向量.（7分）
九、设A 为n 阶方阵，证明：如果()()R A R A E n +-=，则A 可对角化.（20分）
十、 设,A B 是数域K 上的m n ?矩阵，且()()R A R B =（()R A 是矩阵A 的秩）。设齐次线性方程组
0A X =和0B X =的解空间分别是,U V 。证明存在K 上的n
阶可逆矩阵T ，使得
()()f y T y y U =?∈是U 到V 的同构映射.（20分）
武汉大学2004年高等代数试题解答
以下如有不妥之处还请大家批评与指正！！Godyalin 于2006年2月14日星期二
一、解
11*1*11det(())|310||||310|3||
A A A A A A A ---=-=-
1
*1
2|310|2|310|||2|35|(2)
n AA
AA E A E E E -+=-=-=-=--
二、解
为此我们先证明这样一个事实： 设A 是可逆矩阵，则有
11
00
E A B A B
C A E C
D D C A B --??????
= ? ? ?-+??????
，两边取行列式有 1
||||(1)A B A D C A B C
D -=+-
1
100
A B E BD A BD C C
D E
C
D --????
-+??= ? ? ?--??????
，两边取行列式有 1
||||(2)A B D A BD C C
D
-=+-
由（1）（2）知11
||||||(*)||
D D CA B A BD C A --+=
+
回到本题的计算。将n D 改写为一列两个方阵之和的行列式，再凑成1
D CA B -+的形状
12
22,2n a a D M a -?? ?
-
?== ? ?-?
?
想办法再把M 的形式变成（*）中所需要的形式 11
21
2111111
0011n n a a M a a a a -?? ?????
?= ? ? ????? ???
1
111212
21
22
21
2
222n n
n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a -+++????
?
?
-+++
? ?=+ ? ?
?
?
-+++?
???
111
2
21
22121111100121n n n n a a a a D a a a a a --????
? ?
-????
? ?∴=+ ? ? ? ???
?? ? ?-?
???
，由（*）式得， 1
2
112122211111
01
012100
10
10
1
1n n n n a a a a a D a a a a ---?? ?
-?????? ?=
+
? ? ?
??????? ???
1121
1101(2)()0
12n
i i n
n n
i i n
a a a a a n ==?? ??? ?
=-+-
? ??? ?
??
∑∑ 1
121
2
2
2
121
1
1
1
1
111()2
2
(2)1()12
2111(2)[(1)](2)
()[(2)()()]
2
4
n
i i
n
n
n
i
i n
n
n
n
n
n
n n i i i i i i i i i
i
n a a a a n a n a a a a a n a a a ==-=====-
-
=--
-=--
-
=---∑
∑∑
∑
∑∑
∏
三、解
rankA Y = ，故存在可逆矩阵,P Q ，使得
()00000Y
Y Y E E A P Q P E Q ????==
? ?????
，其中Y E 是Y 阶单位矩阵
记(),0,0Y Y
E B P C E Q rankB rankC Y ??
==== ???
，此时有A B C =。
四、解
由已知222B A A E =-+，将32A E =代入得
2
3
2
2(2)()(2)B A A A A A A E A A E A E =-+=+-=-+（*）
下证（*）式可逆
（1） A 的可逆性由32A E =两边取行列式，可得||0A ≠，得证。
（2）A E -的可逆性由3
2A E =变形2
()()A E A A E E -++=两边取行列式，可得||0A E -≠，
得证。
（3）2A E +的可逆性由32A E =变形2(2)(24)10A E A A E E
+-+=两边取行列式，可得|2|0A E +≠，得证。
由（1）（2）（3）可得，|||||||2|0B A A E A E =-+≠，所以B 可逆。
1
11
1
(2)()
B
A E A E A
----∴=+-
分别由（1）（2）（3）可得1
2
1
2
1
2
1(2)(24)
10
()
12
A E A A E A E A A E
A
A
---+=
-+-=++=
1
2
1(4)10
B A A E -∴=
++
五、解
*
*
||,||||n
AA A E AA A =∴= ，又*
*
||||||AA A A =
故||0A ≠时，*
1
||
||||
||
n
n A A A A -=
=
||0A =时，若*
000rankA A A =?=?=
若*0,||0rankA AA A E >∴==
**
rankA rankA n rankA n ∴+≤?< *
*
1
||0||||
n A A A -∴=?=
综上所述，*1
||||n A A -=
六、解
我们先证明这样一个事实：
引理：给定两个正定矩阵C ，D ，则方程||0C D λ-=的根都大于0
由C 正定，则存在实可逆矩阵T ，使得T C T E '=，此时T C T '仍为正定矩阵，故存在正交矩阵P ，使得1
n d P T D TP d ??
?
''=
? ??
?
，此时P T C T P E ''=，令M=TP
故存在一个实可逆矩阵M ，使得C ，D 同时化为对角形，即
1n M C M E d M D M d '=?
?
??
?
?
?'=?
? ??
??
?
，1
||||||||0n
d M C D M M C M M D M d λλλλ-'''∴-=-==-
知0,1,2,,k d k n λ=>=
（1）A ，B 正定，1A -∴也正定，从而由1||0A B λ--=的根全大于0，即 ||0E A B λ-=的根全大于0，这说明AB 的特征根全大于0 （2）,()AB BA AB B A BA AB '''=∴=== ，A B ∴为正定矩阵 七、解
方法一、化E A λ-为对角形 1
1
1
11
11
1111
1
1()E A n λλ
λλλ
λλλ??---??
? ? ?---
? ?-=→→ ?---
? ? ?
---??
?-?
?
()()A g n λλλ∴=-
方法二、1
()||(),()|()n A A A f E A n g f λλλλλλ-=-=-，又当0λ=时有n-1个线性无关的特征向量，
从而A 可对角化，又()0A g λ=与()0A f λ=的根集相同，()()A g n λλλ∴=- 八、解
（1） 欲证 V λ是g 的不变子空间，即,V g V λλαα?∈∈即可，从而证()()f g g αλα= 任取V λα∈，则由α是f 的属于λ的特征向量有f αλα=
()()()()()()f g fg gf g f g g ααααλαλα===== g V λα∴∈
（2） 将g 限于到V λ上看，即|g V λ在其上任取一组基12,,,s εεε 知
（3） |g V λ在12,,,s εεε 下的矩阵为A ，则||0E A λ-=在复数域上必有根，
不妨设μ为其一根，则由()0E A X λ-=解出0X ，令120( ,,,)s X γεεε= 知
|()g V λγμγ=，同时V λγ∈有()f γλγ=从而,f g 至少有一个公共特征向量。
九、解
00
A E A A E E E E A
A E ??????= ? ?
?----??????
00
E A E A E E
E E A
A E E A
A E -??????
= ?
?
?----?????? 2
00E E A E E
A E A E E E A
A E A A --??????
=
?
? ?----?????? 2
2
0E A E E
E A E
A A E A A --??????= ? ? ?--?????? 2
00
A
E rank rank A E A A ????∴=
?
?--????
2
()()n rankA rank A E rankE rank A A ∴=+-=+- 2
2
2
()00rank A A A A A A ∴-=?-=?=
其详细证法，以及多种证法和其归纳见我论坛上的的文章矩阵的秩与矩阵相等
十、（暂未做出）
以下如有不妥之处还请大家批评与指正！！Godyalin 于2006年2月14日星期二
2015年线性代数 一、 ①证明?? ????-C B C A A 可逆的充要条件是AB 可逆 ②若??????-C B C A A 可逆，求出?? ????-C B C A A 的逆。 二、r b A r A r b ==≠),()(,0，b Ax =的所有解集合为S,证明： ①S 中包含1+-r n 个线性无关的向量121,...,+-r n ηηη。 ②ξ是S 中元素充要条件是存在)1...,2,1(,+-=r n i k i ， 111=∑+-=r n i i k ，使得 ∑+-==1 1r n i i i k ηξ 三、已知A 为实正交矩阵，det(A)=1,证明存在正交矩阵P ，使得 21cos ,cos sin 0sin cos 00 01 332211'-++=??????????-=a a a AP P θθθθθ 其中。 四、以下有关矩阵秩的命题在数域F 上判断正误，如正确请说明理由，如不正确请举例说明。 （1）、若)()(B r A r =，则()()* *B r A r = （2）、若())(B r AB r =，则)()(BC r ABC r = （3）、)()('AA r A r = （4）、若一个对称矩阵的秩为r ，则有一个非0 的r 阶主子式。 五、A 是n 阶实对称矩阵，其正负惯性指数分别是q p ,， AX X x f ')(=，记{} n f R x x f x N ∈==,0)(|，证明： （1）、包含于f N 的线性空间维数至多是),max(q p n - （2）、若w 是n R 的一个线性子空间，将二次型限定w 在中，得到的正负惯性指数分别是p1,q1，则有q q p p ≤≤11,。
武汉大学２０１４年线性代数真题解答 一．由12001 30000 20 010A ?? ? ?= ? ? -?? ，且1 1[()*]6122A BA AB E -=+，求B . 二．计算011121 211n n n n n n s s s s s s x D s s s x -+-= ，其中12k k k k n s x x x =++ .
三．有121,,,,s s αααα+ ，且1 ,1,,i i i s t i s βαα+=+= ， 证明如果12,,,s βββ 线性无关，则121,,,s ααα+ 必定线性无关.
四．线性空间V 定义的第(3),(4)条公理，即 (3)任意的V α∈，存在0V ∈，使00ααα+=+=； (4)任意的V α∈，存在V β∈，使0αββα+=+=. 证明他们的等价条件为：任意的,V αβ∈，存在x V ∈，使x αβ+=. 五．设()n sl F 是()M F 上,A B 矩阵满足AB BA -生成的子空间，证明
2dim(())1n sl F n =- . 六．设数域K 上的n 维线性V 到m 维线性上的所有线性映射组成空间(,')k Hom V V ，证明(1)(,')k Hom V V 是线性空间； (2)(,')k Hom V V 的维数为mn ． 七．已知013210 1010101n n n c c F c c c ----?? ?- ? ? = ?- ? ?- ? ?-? ? ， （１）求F 的的特征多项式()f x 与最小的项式()m x ； （２）求所有与F 可交换的矩阵．
武汉大学数学与统计学院 2005－2006学年第一学期《线性代数》A 卷（供工科54学时用） 学院 专业 学号 姓名 注 所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。 一、计算题（每题5分，6题共30分）： 1．设111111111-?? ?=-- ? ?--?? A ，当 1 n 是不小于的整数时，计算n A . 2．设二阶方阵A 满足方程O I A A =+-232 ，求A 所有可能的特征值. 3．求二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩. 4．已知阶矩阵 (2)n ≥，且非奇异，求** ()A . 5．设A 是三阶实对称矩阵，其对应的二次型的正负惯性指数均为1，且满足 0+==E A E A -， 计算A I 323+. 6. 设n 阶向量T x x )00(，，，， =α，矩阵T n I A αα-=,且T n x I A αα+=-1，求实数x . 二、解答题（3题共45分，每题15分） 1．设10102016A a ?? ? = ? ??? ，且()2R A =，满足 ，求a 和 . 2．已知2222 54245λλλ--?? ?=-- ? ?---??A ,121λ?? ? = ? ?--?? b ,就方程组=AX b 无解、有唯一解、有无穷多解诸情形，对λ值进行讨论，并在有无穷多解时，求出其通解. 3、设二次型222 123123122331(,,)222=++---f x x x x x x x x x x x x , (1).求出二次型f 的矩阵A 的全部特征值; (2).求可逆矩阵P ，使AP P 1 -成为对角阵; (3).计算m A (m 是正整数). 三、证明题和讨论题（2题共25分）： 1.（10分）设 是阶实方阵， (1).当为奇数且I AA T =及 时, 证明：0=-A I . (2).当 m 为给定任意正整数且O I A m =+)(时, 证明：A 可逆. 2.（15分）对线性空间3 R 中的向量组A ：123,,ααα和B ：123,,βββ,讨论下面的问题： (1).向量组B 是否能成为3 R 中的基？能否用A 线性表示B ？如果可以，试求出由123,,ααα到 123,,βββ的过渡矩阵P ,其中 1100α?? ?= ? ??? 2110α?? ?= ? ??? 3111α?? ?= ? ???；111β?? ?= ? ???a 2112β?? ?= ? ?-??a 3110β-?? ?= ? ??? ，且a 为实数. (2).若112321233123(22), (22), (22), βαααβαααβααα=+-=-+=--k k k k 是非零实数， （a ）给出向量组123,,βββ线性无关的一个充要条件，并证明之；
备用试题 武汉大学数学与统计学院2002-2003学年第2学期 《线性代数》试题 (工科54学时) 姓名 学号 班号 专业 成绩 说明：一共九道题目，第一至第四题每题10分，第五至第九题每题12分。 一、设四阶行列式D = 1 0370121 34031 2 2 1 －－－－ 1）、求D 的代数余子式A 12； 2）、求A 11－2A 12＋2A 13－A 14 。 二、求满足A 2＝A 的一切二阶矩阵。 三、设A ＝ 111212122212 ...................... n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ????? ???? ? ? ?????? ，（0 ,1,2,...,i j a b i j n ≠=，），求()R A 四、已知向量组1α，2α，3α线性无关，令1123βααα=-+，21232βααα=++， 312323βααα=-+，讨论向量组123, , βββ的线性相关性。 五、设线性方程组为 2 3112131 23 1222322 31323 3323 1 42434 x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ?++=? ++=?? ++=??++=? ， 1) 如果1234, , , a a a a 两两不相等，问所给方程组是否有解？ 2) 如果1324, (0)a a k a a k k ==-≠＝＝，且已知12ββ，是该方程组的两个特解，其中： T T 12(1, 1, 1)(1, 1, 1)ββ==-－，，试写出此方程组的通解。 六、设三阶方阵A 的三个特征值为1,0,1321-=λ=λ=λ，A 的属于321,,λλλ的特征向量依次为 ???? ? ??=????? ??=????? ??=520,210,002321ααα， 求方阵A 。 七、已知二次型123(, , )f x x x ＝22 2312132343448x x x x x x x x -+-+ 1) 写出二次型f 的矩阵A ； 2）用正交变换把二次型f 化为标准型。 八、证明三个平面123:, :, :x cy bz y az cx z bx ay πππ=+=+=+相交于一直线的充要条件为 2 2 2 21a b c abc +++= 九、给定3R 的基?????===.)1,1,1(,)0,1,2(,)1,0,1(3 21ξξξ 和 ??? ??--=-=-=). 1,1,2(,)1,2,2(,)1,2,1(321ηηη若定义线性变换)3,2,1(,)(==T i i i ηξ, 试求： 1）求由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵X ； 2）求T 关于基321,,ξξξ的变换矩阵A 。
备用试题 武汉大学数学与统计学院2003-2004学年第1学期 《线性代数》试题 (工科54学时) 姓名 学号 班号 专业 成绩 说明：一共九道题目，第一至第四题每题10分，第五至第九题每题12分。 一、计算n 阶行列式D = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 a a a a ????????????????????? ??? 的值 。 二、若矩阵A 和B 满足关系：2242A B A B A =+-。其中A ＝ 12 3012001?? ? ? ??? －－－，求矩阵B 。 三、给定矩阵A ＝ ?????? ? ??------11011111100222021110，求()R A 。 四、已知1(1 0 2 3)α=， ，，，2(1 1 3 5)α=，，，，3(1 1 2 1)a α=+，－，，，4(1 2 4 8)a α=+，，，， 且(1 1 +3 5)b β=，，，， 1） a b ， 为何值时，β不能表示成1α，2α，3α，4α的线性组合？ 2）、 a b ， 为何值时，β有1α，2α，3α，4α的唯一线性表达式？并写出该表达式。 五、若A ，B 是同阶可逆矩阵，请证明()AB B A ***=，其中A *是A 的伴随矩阵，()A B *和B *具同样意义。 六、求线性方程组?????=++=++=++43322 321 321321x x x x x x x x x 的通解。 七、已知1，1，－1是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，向量T 1(1, 1, 1)α＝，T 2(2, 2, 1)α＝是A 的 对应于121λλ＝＝的特征向量， 1) 能否求得A 的属于31λ＝－的特征向量？若能，请求出该特征向量，若不能，也请说明理由。 2) 能否由此求得实对称阵A ？若能则请求之，若不能则请说明理由。 八、设222 (,,)2422f x y z x y z axy yz =++++为正定二次型，试确定实数a 的最大取值范围。 九、给定3R 的基?????===.)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(321ξξξ 和 ?????--=-=-=).1,1,2(,)1,2,2(,)1,2,1(321ηηη若定义线性变换)3,2,1(,)(==T i i i ηξ, 试求： 1）求由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵X ； 2）求T 关于基321,,ηηη的变换矩阵A 。
武汉大学 2004年攻读硕士学位研究生入学考试试题 科目：高等代数 科目代码：804 一、设A 为3阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，1det 2 A = ，求11 det(()10*)3 A A --.（10分） 二、计算n 阶行列式12 121 21 2 00 n n n n n a a a a a a a a D a a a a ++++= ++ ，其中0,1,2,,j a j n ≠= .（10分） 三、设A 为m n ?矩阵，A 的秩()R A Y =，证明存在m Y ?矩阵B 和Y n ?矩阵C 且 ()()R B R C Y ==，使A BC =.（10分） 四、已知322,22A E B A A E ==-+，证明B 可逆，并求出其逆.（15分） 五、A 为n 阶矩阵，*A 为其A 的伴随矩阵，证明：1det *(det )n A A -=.（20分） 六、设,A B 都是n 阶正定矩阵，证明： （1） A B 的特征值全大于零；（10分） （2） 若AB BA =，则A B 是正定矩阵.（5分） 七、求矩阵1111m n A ??? ?= ? ?? ? （即A 中的每个元素都为1）的最小多项式.（15分） 八、设V 是复数域上的n 维线性空间，,f g 是V 的线性变换，且fg gf =，证明： （1）如果λ是f 的特征值，那么V λ（λ的特征子空间）是g 的不变子空间；（8分） （2）,f g 至少有一个公共的特征向量.（7分） 九、设A 为n 阶方阵，证明：如果()()R A R A E n +-=，则A 可对角化.（20分） 十、 设,A B 是数域K 上的m n ?矩阵，且()()R A R B =（()R A 是矩阵A 的秩）。设齐次线性方程组 0A X =和0B X =的解空间分别是,U V 。证明存在K 上的n 阶可逆矩阵T ，使得 ()()f y T y y U =?∈是U 到V 的同构映射.（20分）
备用试题 武汉大学数学与统计学院2004-2005学年第2学期 《线性代数》试题 (工科54学时) 姓名 学号 班号 专业 成绩 一、 是非题(本题满分12分,每小题4分.请在正确命题前的括号内填上“√”,否则填上“×”) ( ) 1）设A 是n m ?实矩阵,x 为1?n 实矩阵，则?=0Ax A T 0=Ax ; ( ) 2）设向量321,,βββ都可由向量21,αα线性表示,则321,,βββ线性相关； ( ) 3）设n 阶方阵A 满足022=--E A A ，则A 和E A 2+皆可逆; 二、填空题(本题满分12分,每空4分.将正确结果填入题中横线上的空白处). 1）排列7564132的逆序数为 ； 2）设A 是3阶矩阵，R(A) = 2，若矩阵B =???? ? ??201010101，则R(AB) = _______; 3）设B A ,为可逆方阵，则=???? ??-1O B A O . 三、（10分）求矩阵A ＝?????? ? ??------11011111100222021110的秩。 四、（10分）若向量αm 是向量 121, ,, m ααα- 的线性组合，但不是122, ,, m ααα- 的线 性组合，证明：αm -1是122, , , m ααα- , αm 的线性组合。 五、（10分）设1λ、2λ和3λ是三阶实对称矩阵A 的三个不同的特征值，其中 T 1) 3 1, 1, (ξ=、T 2) 5, 4, (ξa = 依次是A 的属于特征值1λ、2λ的特征向量，求实常数a 以及3λ所对应的特征向量。 六、（15分）就λ取值讨论?? ???=++++=+-+=+++λλλλλλλλλ3)3()1(32)1(2)3(321321321x x x x x x x x x 的解的情况，在有无穷多解时， 求出其通解。 七、（10分）设A 为三阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，则 1 ()2()0 ()1R A R A R A *=?=? =? ，试证明之。 八、(12分) 已知二次型为)0(2332),(3 21232221321>+++=a x x a x x x x x x f ，且通过正交变换可将f 化为标准形：2 3222152y y y f ++=。 1）求参数a; 2）写出该二次型的矩阵，并求它的秩； 3）写出该二次型的标准形所用正交变换P . 九、(12分)给定3R 的两个基?????===.)1,7,3(,)3,3,2(,)1,2,1(321ξξξ 和 ?????-===).6,1,1(,)1,2,5(,)4,1,3(3 21ηηη试求： 1）求由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵X ； 2）写出向量α在两基下的坐标变换公式。
武汉大学 线性代数(872) D 卷(学术型) 一、若A 、B 为同阶方阵，证明)()()(I B r I A r I AB r -+-≤-, 这里I 为单位方阵。 二、设n m R A ?∈，n m R B ?∈, 试证： )det()det(BA I AB I n m m n -=-λλλλ 三、设A 与B 均为实正交矩阵，并且 |A| +| B | = 0, 证明A + B 不可逆 四、设A 为n 阶幂零矩阵（有正整数k, 使得A k =0 ） (1) 求A 的所有特征值。 (2) 设r(A) = r, 则A r+1 = 0 (3) 求)det(A I + 五、设A 为 n m ?实矩阵，试证)()(A r A A r T = 六、求方程组 54324321=++-x x x x 765244321=++-x x x x 987364321=++-x x x x 1110944321=++-x x x x λ 依赖于参数λ的通解。 七、证明：对任n 阶复方阵A 都存在可逆阵P ，使得 GS AP P =-1, 其中G ， S 都是对称方阵，而且G 可逆。 八、在yz xz xy z y x z y x Q 222)(),,(222-++++=λ中，问： （1）λ取什么值时，Q 为正定的？ （2）λ取什么值时，Q 为负定的？ （3）当2=λ 和1-=λ时，Q 为什么类型？ 九、设A 为实对称正定方阵，则： nn a a a A ??≤2211)det( 等号当且仅当A 为对角阵时成立。 十、设????? ?? =00011001120110B ，证明B x =2无解，这里x 为三阶未知复方阵。
课程考核试题卷 ( A 卷) 试卷编号 （ 2011 至 2012学年 第__2_学期 ） 课程名称： 线性代数A 考试时间：110分钟 课程代码： 7100059 试卷总分： 100 分 考试形式： 闭卷 学生自带普通计算器: 否 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1、A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B -=-+，则必有（ ） A A E =； B B E =； C A B =. D AB BA =。 2、设A 是方阵，如有矩阵关系式AB=AC ，则必有（ ） A. A =0 B. B ≠C 时A=0 C. A ≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 3、设A 是s n ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是( ) A.A 的行向量组线性无关 B.A 的列向量组线性无关 C.A 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关 4、若1x 是方程=AX B 的解，2x 是方程=AX O 的解，则（）是方程=AX B 的解（c R ∈） A.12x cx + B. 12cx cx + C. 12cx cx - D. 12cx x + 5、设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ） A.所有r -1阶子式都不为0 B.所有r -1阶子式全为0 C.至少有一个r 阶子式不等于0 D.所有r 阶子式都不为0 二、填空题（每小题3分，共15分） 1、已知向量T )4,2,3,1(=α与T k k )2,3,1,(--=β正交，则=k _. 2、1 1101-?? ??? = . 3、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为 . 4、如果21,X X 都是方程O X A n n =?的解，且21X X ≠，则=?n n A ； 5、设向量组123100130121T T T (,,),(,,),(,,)==-=-ααα线性 （填相关或无关）
- 武汉大学数学与统计学院 2005－2006学年第一学期《线性代数A 》A 卷（72学时用） 学院 专业 学号 姓名 注 所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。 一、计算下列各题（每题6分，3题共18分）： (1).计算行列式 a a a +++1111 111 11 . (2).已知阶矩阵 (2)n ≥，且非奇异，求**()A . (3).设A 是三阶实对称矩阵，其对应的二次型的正负惯性指数均为1，且满足 0I A I A +==-，计算23I A +. 二、(12分)设10102 016A a ?? ? = ? ?? ?，且()2r A =，满足2AX I A X +=+，求a 和. 三、(15分)设22 22 54245λλλ--?? ?=-- ? ?---? ?A ,121λ?? ? = ? ?--?? b .讨论λ为何值时,方程组=AX b 无 解、有唯一解、有无穷多解? 并在有无穷多解时，求出其通解. 四、(15分)设二次型222 123123122331(,,)222=++---f x x x x x x x x x x x x , (1).求出二次型f 的矩阵A 的全部特征值； (2).求可逆矩阵P ，使1P AP -成为对角阵; (3).计算m A (m 是正整数). 五、(15分)设112212(,),(,) V L V L ααββ==, 其中1(2,1,3,1)α=-,2(0,2,0,1)α=； 1(1,3,1,0)β=,2(1,6,2,3)β=--. 求12V V +与12V V 的基与维数. 六、(15分)设σ是n 维线性空间V 上的线性变换,且满足1()n σαθ-≠,但()n σαθ=. (1).证明α,()σα,2()σα,…,1()n σα-是V 的一组基； (2).求线性变换σ在这组基下的矩阵A ； (3).讨论A 能否和对角阵相似. 七、(10分)设n 阶方阵A 有n 个互不相同的特征值.证明:AB BA =的充要条件是A 的特 征向量也是B 的特征向量.