最新版初二上册数学分式

第十六章 分式

一、知识总览

本章主要学习分式的概念，分式的基本性质，分式的约分、通分，分式的运算（包括乘除、乘方、加减运算），分式方程等内容，分式是两个整式相除的结果，且除式中含有字母，它类似于小学学过的分数，分式的内容在初中数学中占有重要地位，特别是利用分式方程解决实际问题，是重要的应用数学模型，在中考中，有关分式的内容所占比例较大，应重视本章知识的学习．

知识点一：分式的定义：一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。

知识点二： 与分式有关的条件：①分式有意义：分母不为0（0B ≠）②分式无意义：分母为0（0B =）③分式值为0：分子为0且分母不为0（?

?

?≠=00B A ） 经典例题 1、在

2x ，1()3x y +，3ππ-，5a x -，24

x y -中，分式的个数为（ ） A .1 B .2 C .3 D .4 2、当1a =-时，分式211a a +-（ ）A .等于0 B .等于1 C .等于－1 D .无意义 3、已知分式1-x 的值是零，那么x 的值是（ ）A ．-1 B ．0 C ．1 D ． 1±

5、下列命题中，正确的有（ ） ①A 、B 为两个整式，则式子

A B 叫分式； ②m 为任何实数时，分式13m m -+有意义 ③分式2116

x -有意义的条件是4x ≠； ④整式和分式统称为有理数. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个

知识点三：分式的基本性质

分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：C B C ??=A B A ，C

B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即B

B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意

C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。

知识点四：分式的约分

定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

知识点五：分式的通分

①分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 ③确定最简公分母的一般步骤：

Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；

Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；

Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

经典例题

1、把分式a a b

+的分子、分母都扩大2倍，那么分式的值（ ） A .不变 B .扩大2倍 C .缩小2倍 D .扩大4倍

2、下列各式与x y x y

-+相等的是（ ） （A ）()5()5x y x y -+++（B ）22x y x y

-+（C ）222()()x y x y x y -≠-（D ）2222x y x y -+ 3、下列化简结果正确的是（ ）

A .222222x y y x z z -=-+

B .220()()a b a b a b -=-+-

C .63233x y x x y

= D .231m m a a a +-= 4、约分：222________20ab a b =； 通分：222,,693x y z ab a bc abc

-

5、已知511=+b

a )(

b a ≠，求)()(b a a b b a b a ---的值.

知识点六分式的四则运算与分式的乘方

① 分式的加减法则： 同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：

c

b a

c b ±=±c a 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为:b

d bc ad d c ±=±b a 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

②分式的乘除法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：

d

b c a d c b a ??=? 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为c c ??=?=÷b d a d b a d c b a ③分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子n n n

b a b a =??

? ?? ④分式的混合运算: 先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）

经典例题 1、下列运算正确的是（ ） A .62x x x = B .0x y x y +=+ C .1x y x y -+=-- D .a x a b x b

+=+ 2、下列各式的计算结果错误的是（ ）

A .b n y bnx a m x amy ?÷=

B .b n y bmy a m x anx

?÷= C .b n y bmx a m x any ÷÷= D .()b n y bmx a m x any ÷?=

3、

知识点七整数指数幂

1、引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正整数幂的法则对负整数指数幂一样适用。即：其中m ，n 均为整数。

★n m n m a

a +=?a ★()mn n m a a = ★()n n n

b b a a = ★n m n m a a -=÷a （0≠a ） ★n n b a b a =??

? ??n ★n a 1=-n a （0≠a ） ★10=a （0≠a ）（任何不等于零的数的零次幂都等于1） 经典例题

计算：（1）3132)()(---?bc a

（2）2322123)5()3(z xy z y x ---?

已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值.

2、科学记数法

①若一个数x 是0

10a ?（10a 1<≤，即a 的整数部分只有一位，n 为整数）的形式，n 的确定：n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。

②若一个数x 是x>10的数则可以表示为n 10a ?（10a 1<≤，即a 的整数部分只有一位，n 为整数）的形式，n 的确定n=比整数部分的数位的个数少1。

知识点八分式方程。

1、 定义：含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的解的步骤

⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：

如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

注：产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

经典例题

1.解分式方程：

22322=--+x x x 2.交叉法解方程：23313222--=-+x x x x

3.比例法：解方程

x x a b a b b -+=-+≠110() 4.换元法： 解方程y y y y -+-+-=324830

5. 分离常数法：解方程

87329821+++++=+++++x x x x x x x x 6.解含有字母的方程)0(≠+=--d c d c x b a x

7.倒数法：

21323221174x x x x -+++-= 已知：x x x x +=+=1212122，求____________。

8.若关于x 分式方程

4

32212-=++-x x k x 有增根，求k 的值。

知识点八列分式方程

基本步骤

①审—仔细审题，找出等量关系。

②设—合理设未知数。

③列—根据等量关系列出方程（组）。

④解—解出方程（组）。注意检验

⑤答—答题。

经典例题

1.A城市每立方米水的水费是B城市的1.25倍，同样交水费20元，在B城市比在A城市可多用2立方米水，那么A、B两城市每立方米水的水费各是多少元？

2.某超级市场销售一种计算器，每个售价48元．后来，计算器的进价降低了4%，但售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了5%．这种计算器原来每个进价是多少元？

3.在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在30天内（含30天）完成．现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成．请问：

（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？

（2）已知甲工程队每天的施工费用为0．6万元，乙工程队每天的施工费用为0．35万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）？最低施工费用

新人教版八年级数学分式典型例题(供参考)

分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义： 例：下列式子中，y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、 y x +3、m a 1 +中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴275x x -+； ⑵ 123 x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹22 2xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？ 5a -； 234x +；3 y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145b -+. 2、分式有，无意义，总有意义： 例1：当x 时，分式 51 -x 有意义； 例2：分式x x -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。 例4：当x 时，分式1 2+x x 有意义 例5：x ，y 满足关系 时，分式 x y x y -+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 例7：使分式2 +x x 有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2

苏教版八年级数学下册教案--10.1 分式

10.1 分式 教学目标1、经历“列分式”的过程，理解分式的意义，会确定分式何时有意义； 2、能分析出一个简单分式有、无意义的条件； 3、经历“分式与分数的比较”过程，体验分式与分数的联系与区别，加深对分式的理解，了解类比的数学思想． 重点分式的有关概念．难点怎样确定分式何时有意义． 教法教具自主先学当堂检测交流展示检测反馈小结反思教具：多媒体等 教学过程 教学内容个案调整教师主导活动 学生主体活 动 一、情境引入 1、计算玻璃的长． 一块长方形玻璃的面积为2m2，如果长是3m，那么 宽是 2 3 m． 如果它的宽是a m，那么这块玻璃的长是 2 a m． 2、小丽买瓜子的情境． 小丽用n元人民币买了m袋相同包装的瓜子， 你能写出每袋瓜子的价格吗？ （是（n÷m）元，通常用 n m 元来表示．） 二、自主先学 1、自学内容：P98--99 2、自学指导： （1）分式的形式。 （2）分式有无意义的情况。 （3）分式的值为零的情况。 3、自学检测： 思考回顾。

教学（1）、下列各式哪些是分式，哪些是整式？ ① 3 8n m+ ＋m2②1＋x＋y2－ z 1 ③ π2 1 3- x ④ x 1 分式有，整式有。 （2）、当x= 时，分式 1 3 5 - + x x 无意义。 （3）、当x= 时，分式 1 2 3 - + x x 的值为零； 当分式 2 3 + - x x =0时，x= 。 （4）、当x 时，分式 1 2 1 + - x x 有意义。 三、交流展示 （一）展示一 分组展示自主先学中的问题，归纳所学知识。 讲清： 1、如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母， 那么代数式 A B 叫做分式（fraction），其中A是分式 的分子，B是分式的分母． 2、赋予a与b不同的含义， a b－1 可以表示不同的 意义． （二）展示二（例题） 例1.试解释分式 2 a b+ 所表示的实际意义. 例2.求分式 3 2 a a - + 的值： (1)1 a=-；(2)3 a=；(3) 2 3 a=. 例3.当x取什么值时，分式 24 1 x x + - (1)没有意义？ (2)有意义？ (3)值为零. 自学教材内 容 完成检测题 交流问难

人教版初二数学上册15.3分式方程(20210204030455)

15.3 分式方程 第1课时 【教学目标】 知识目标 1. 理解分式方程的意义. 2. 了解解分式方程的基本思路和解法. 3. 理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握分式方程的验根方法. 能力目标 经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识. 情感目标在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值. 【教学重难点】 重点:解分式方程的基本思路和解法. 难点:理解解分式方程时可能无解的原因. 【教学过程】 一、创设情境,导入新课 问题:一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h,它以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间, 与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析:设江水的流速为v km/h,则轮船顺流航行的速度为(30+v) km/h,逆流航行的速度为(30-v) km/h,顺流航行90 km所用的时间为小时，逆流航行60 km所用的时间为小时?可列方程=. 这个方程和我们以前所见过的方程不同,它的主要特点是:分母中含有未知数,这种方程就是 我们今天要研究的分式方程? 二、探究新知 1?教师提出下列问题让学生探究： (1) 方程=与以前所学的整式方程有何不同? (2) 什么叫分式方程? (3) 如何解分式方程=呢?怎样检验所求未知数的值是原方程的解? (4) 你能结合上述探究活动归纳出解分式方程的基本思路和做法吗? (学生思考、讨论后在全班交流) 2?根据学生探究结果进行归纳： (1) 分式方程的定义(板书): 分母里含有未知数的方程叫分式方程?以前学过的方程都是整式方程练 习:判断下列各式哪个是分式方程? (1)x+y=5; (2)=; (3); (4)=0 在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程,(3)是分式,(4)是分式方程? (2) 解分式方程=的基本思路是:将分式方程化为整式方程?具体做法是: “去分母”,即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般思路和做法. 3.仿照上面解分式方程的做法,尝试解分式方程=,并检验所得的解,你发现了什么?与你的同

初二数学分式的教案

《分式》的教案 班级：初二2班 科目：数学 任课教师：*** 教学时数：1节 上课日期：2011年10月17日 第七周 第一节 教学目的： 1、引导学生熟练掌握分式的概念及分式的性质等知识； 2、经历通过观察、归纳、类比、猜想，获得分式的基本性质，发展学生思维能力、分析问题、解决问题能力、实际操作能力、 语言表达能力、自学能力、合情推理能力与代数恒等能力等； 3、引导学生学习劳动人民的优良品德；尊重客观、尊重事实的良好品德；刻苦顽强品德等； 4、激发学生热爱劳动人民的情感；热爱科学、热爱生活的情感； 5、通过学习，能获得学习代数知识的常用方面，能感受代数学习的价值。 教学重点： 1、分式的概念 2、分式的性质 教学难点： 1、分式的有意义的条件 2、分子、分母是多项式的分式约分 教学方法：讲授法、谈话法、讨论法、练习法、读书指导法 教具：多媒体课件 ppt 教学过程： 一、复习旧课（时间5~10分钟） 同学们，我们一起来复习一下上一节课学习的内容： 提问 1：我们上节课学习的什么知识啊？ 生（一起回答）：学习了完全平方公式。 提问2：那什么叫做完全平方公式? 生（一起回答）：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方，这样的式子就叫做完全平方公式. 提问3：那有没有同学愿意上来，在黑板上默写完全平方公式的公式？ 好，第四组举手的那位同学上来默写一下公式。 生：()()b a b a b a _22+=- ()2 222b a b ab a +=++ ()2 222b a b ab a -=+- 二、学习新课（时间20~25分钟）（重点）

初二数学分式典型例题复习和考点总结

第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?= ,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如 A B (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义 2、当分子为零且分母不为零时，分式值为零。 【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）31+-x x （2）4 2||2--x x

人教版初中数学分式知识点训练附答案

人教版初中数学分式知识点训练附答案 一、选择题 1．0000005=5×10-7 故答案为:B. 【点睛】 本题考查的知识点是科学计数法，解题的关键是熟练的掌握科学计数法. 2．化简2442 x x x x ---得结果是（ ） A ．26x x -+ B ．2x x + C ．2x x -+ D ．2 x x - 【答案】C 【解析】 【分析】 先通分，再按照分式的减法法则化简出最简结果即可得答案． 【详解】 2442 x x x x --- =4(2)(2)(2)(2)(2) x x x x x x x +-+-+- =242(2)(2) x x x x x --+- =(2)(2)(2) x x x x --+- =2 x x - +． 故选：C ． 【点睛】 本题考查分式的减法，同分母分式相加减，只把分子相加减，分母不变；异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则运算． 3．雾霾天气是一种大气污染状态，造成这种天气的“元凶”是PM 2.5，PM 2.5是指直径小于或等于0.0000025米的可吸入肺的微小颗粒，将数据0.0000025科学记数法表示为( ) A ．2.5×106 B ．2.5×10﹣6 C ．0.25×10﹣6 D ．0.25×107 【答案】B 【解析】 【分析】 绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n ，与较大数的科学记数

法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】 4．计算(a 2)3＋a 2·a 3－a 2÷a －3的结果是( ) A ．2a 5－a B ．2a 5－1a C ．a 5 D ．a 6 【答案】D 【解析】 【分析】先分别进行幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法运算，然后再进行合并同类项即可. 【详解】原式=a 2×3+a 2+3-a 2-(-3) =a 6+a 5-a 5 =a 6， 故选D. 【点睛】本题考查了有关幂的运算，熟练掌握“幂的乘方，底数不变，指数相乘”、“同底数幂的乘法，底数不变，指数相加”、“同底数幂的除法，底数不变，指数相减”是解题的关键. 5．某微生物的直径为0.000 005 035m ，用科学记数法表示该数为（ ） A ．5.035×10﹣6 B ．50.35×10﹣5 C ．5.035×106 D ．5.035×10﹣5 【答案】A 【解析】 试题分析：0.000 005 035m ，用科学记数法表示该数为5.035×10﹣6，故选A ． 考点：科学记数法—表示较小的数． 6．生物学家发现了一种病毒的长度约为0.00000432毫米．数据0.00000432用科学记数法表示为（ ） A ．0.432×10-5 B ．4.32×10-6 C ．4.32×10-7 D ．43.2×10-7 【答案】B 【解析】 【分析】 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -?，这里1＜a ＜10，指数n 是由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】 解： 0.00000432=4.32×10-6， 故选B ． 【点睛】 本题考查科学记数法．

人教版初二数学上册分式方程的解法

教材版本：新人教版八年级数学上册15．3 分式方程 课题：15．3 分式方程 备课人：遵义市第十九中学江金财 教学目标： 知识与技能目标 1．了解分式方程的定义； 2．会解可化为一元一次方程的分式方程； 3．掌握解分式方程验根的方法，方法了解解分式方程产生增根的原因。过程与方法目标经历解分式方程中的过程，感受由分式方程转化为整式方程的过程，渗透转化、归纳的数学思想，发展学生分析问题和解决问题的能力。 情感与态度目标 1．通过背景材料引入，体会数学来源于生活，激发学生对生活的热爱；2．通过创设问题串，让学生仔细观察、对比、归纳，体会数学学习中的探索性和创造性，培养学生合作、交流以及数学的应用意识。 教学重点与难点 教学重点： 1．分式方程的解法。 2．转化、归纳思想在解分式方程（数学学习）中的重要运用。 教学难点： 理解解分式方程时可能无解的原因； 教学准备：粉笔、视频材料、PPT。 问题解决： 1．分式方程转化为整式方程的方法； 2．分式方程解的检验方法。 教学过程 课前背景展示： “我解决过的每一个问题都成为日后用以解决其他问题的法则．”——笛卡尔（著名数学家、物理学家、哲学家）。 播放视频：曹冲称象的故事。 一、问题导入 问题1 刚刚大家看了这个故事，大家知道吗？曹冲为何没有直接给大象称重？ 追问为何称得石头的重量，就能得到大象的重量？教师故事引入，以此说明“转化”思想在生活中的重要运用，过渡到

“转化”思想在数学学习中的重要运用 教师启头：今天就用转化的思想来学习解分式方程。 问题2认真观察，回答问题： x +1 x 3 2 1 4 1 3x 4; 2 2x=4; 3 ； 4 ； 5 厂二 3 2 x+1x x-2x-4 1. 哪些是方程? 2. 哪些是整式方程、哪些是分式方程？ 3. 在上述的方程之中，哪些方程的解为 x=2? 借助上述问题巩固分式方程、整式方程的定义、方程的解的定义。 二、问题探究 (1)复习巩固，建立新知 2 (x+1) =3x 去括号得：2x+2=3x 移项得：2x-3x=-2 合并同类项得：-x=-2 系数化为1得：x=2 问题 解一元一次方程的步骤是怎样的？ 师生总结：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化为 1。 问题你们都会解一元一次方程了，那么你们能解这样一个分式方程: 3 2 吗？ x 1 x 转化为分母不含字母的方程吗？ 解：方程两边同时乘以2x (x+3)，得 x+3=2? (2x ) 解这个整式方程，得x=1 检验：x=1 时，2x (x+3)工 0 所以，x=1是原分式方程的解。 追问 假如解得x=- 1，他是原方程的解吗? 解整式方程: X +1 = X 3 2 解：去分母(两边同时乘以 6）得: 追问 洙彳与宁.I 的分母区别是什么？你能不能将 3 =2 x 1 x

人教版八年级数学上册从分数到分式 优秀教学设计2

从分数到分式 教学目标 一、知识与技能目标 1．使学生了解分式的概念，明确分母不得为零是分式概念的组成部分． 2．使学生能够求出分式有意义的条件． 二、过程与方法目标 能用分式表示现实情境中的数量关系，体会分式是表示现实世界中一类量的数学模型，进一步发展符号感，通过类比分数研究分式的教学，引导学生运用类比转化的思想方法研究解决问题． 三、情感与价值目标 在土地沙化问题中，体会保护人类生存环境的重要性。培养学生严谨的思维能力． 教学重点和难点 准确理解分式的意义，明确分母不得为零既是本节的重点，又是本节的难点． 教学方法:分组讨论． 教学过程 1、 情境引入：面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成原计划任务，原计划每月固沙造林多少公顷？ （1）这一问题中有哪些等量关系？ （2）如果设原计划每月固沙造林x 公顷，那么原计划完成一期工程需要____________个月，实际完成一期工程用了____________个月；根据题意，可得方程 ； 2、解读探究： x 2400，302400+x ，430 24002400=+?x x 认真观察上面的式子，方程有什么特点？ 做一做1.正n 边形的每个内角为 度 2一箱苹果售价a 元，箱子与苹果的总质量为mkg ，箱子的质量为nkg ，则每千克苹果售价是多少元？ 上面问题中出现的代数式x 2400，302400+x ，n n 180)2(??；它们有什么共同特征？ (1)由学生分组讨论分式的定义，对于“两个整式相除叫做分式”等错误，由学生举反例一一加以纠正，得到结论： 的分母． (2)由学生举几个分式的例子． (3)学生小结分式的概念中应注意的问题． ①分母中含有字母．

人教版八年级数学分式单元测试题及答案

八年级数学（上）分式单元测试 一、选择题 1. 下列各式：()222 1451, , , 532x x y x x x π---其中分式共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2.下列计算正确的是（ ） A.m m m x x x 2=+ B.22=-n n x x C.3332x x x =? D.264x x x -÷= 3. 下列约分正确的是（ ） A ． 313m m m +=+ B ．2 12y x y x -=-+ C ． 1 23369+= +a b a b D ．()()y x a b y b a x =-- 4.若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） … A.y x 23 B.223y x C.y x 232 D. 2 3 23y x 5.计算 x x -+ +11 11的正确结果是（ ） B.212x x - C.212x - D.1 2 2 -x 6. 在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V 1千米，下坡时的速度为每小时V 2千米， 则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（ ） A ． 2 2 1v v +千米 B ．2121v v v v +千米 C ．21212v v v v +千米 D ．无法确定 7. 某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前 5天交货，设每天应多做x 件，则x 应满足的方程为（ ） A ．x +48720─548 720 = B ．x +=+48720548720 C ． 572048720=-x D ．-48720x +48720 ＝5 8. 若0≠-=y x xy ，则分式 =-x y 1 1（ ） A ． xy 1 B ．x y - C ．1 D ．－1 ! 9. 已知 xy x y +＝1，yz y z +＝2，zx z x +＝3，则x 的值是（ ）

八年级数学：分式的基本性质(教案)

初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 初中数学 / 八年级数学教案 编订：XX文讯教育机构

分式的基本性质(教案) 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 第一课时 （一）教学过程 【复习提问】 1．分式的定义？ 2．分数的基本性质？有什么用途？ 【新课】 1．类比分数的基本性质，由学生小结出： 分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即： ， （其中是不等于零的整式．） 2．加深对分式基本性质的理解： 例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？

（1）； 由学生口述分析，并反问：为什么？ 解：∵ ∴． （2）； 学生口答，教师设疑：为什么题目未给的条件？（引导学生学会分析题目中的隐含条件．）解：∵ ∴． （3） 学生口答． 解：∵， ∴． 例2 填空： （1）； （2）； （3）；

（4）． 把学生分为四人一组开展竞赛，看哪个组做得又快又准确，并能小结出填空的依据．例3 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）； 分析学生讨论：①怎样才能不改变公式的值？②怎样把分子分母中各项系数都化为整数？ 解：． （2）． 解：． 例4 判断取何值时，等式成立？ 学生分组讨论后得出结果： ∴． （二）随堂练习 1．当为何值时，与的值相等（） A．B．C．D． 2．若分式有意义，则，满足条件为（）

初中数学分式教案

第十六章 分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200，s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时，逆流航行60千米所用时间v -2060小时， 所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100，v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不 同点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．． 满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 1-m m 3 2 +-m m 11 2+-m m 45 22--x x x x 235 -+2 3 +x

南通市初中数学分式经典测试题

南通市初中数学分式经典测试题 一、选择题 1．化简22 a b b a +-的结果是（ ） A ．1a b - B ．1b a - C ．a ﹣b D ．b ﹣a 【答案】B 【解析】 【分析】 原式分子分母提取公因式变形后，约分即可得到结果． 【详解】 原式= a+b )()b a b a +-（= 1b a - 故答案选B. 【点睛】 本题考查的知识点是约分，解题的关键是熟练的掌握约分. 2．下列运算中，正确的是（ ） A ．2+= B ．632x x x ÷= C ．122-=- D ．325a a a ?= 【答案】D 【解析】 【分析】 根据实数的加法对A 进行判断；根据同底数幂的乘法对B 进行判断；根据负整数指数幂的意义对C 进行判断；根据同底数幂的除法对D 进行判断． 【详解】 解：A 、2不能合并，所以A 选项错误； B 、x 6÷x 3=x 3，所以B 选项错误； C 、2-1=12 ，所以C 选项错误； D 、a 3?a 2=a 5，所以D 选项正确． 故选：D ． 【点睛】 此题考查实数的运算，负整数指数幂，同底数幂的乘法与除法，解题关键在于掌握先算乘方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号． 3．关于分式 25x x -，下列说法不正确的是（ ） A ．当x=0时，分式没有意义

B ．当x ＞5时，分式的值为正数 C ．当x ＜5时，分式的值为负数 D ．当x=5时，分式的值为0 【答案】C 【解析】 【分析】 此题可化转化为分别求当分式等于0、大于0、小于0、无意义时的x 的取值范围，分别计算即可求得解． 【详解】 A ．当x=0时，分母为0，分式没有意义；正确，但不符合题意． B ．当x>5时，分式的值为正数；正确，但不符合题意 C ．当0＜x ＜5时，分式的值为负数；当x=0是分式没有意义，当x ＜0时，分式的值为负数，原说法错误，符合题意． D ．当x=5时，分式的值为0；正确，但不符合题意． 故选：C ． 【点睛】 本题主要考查分式的性质的运用，注意分式中分母不为0的隐性条件． 4．要使分式 81x -有意义，x 应满足的条件是（ ） A ．1x ≠- B ．0x ≠ C ．1x ≠ D ．2x ≠ 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用分式有意义的条件得出答案． 【详解】 要使分式81 x -有意义， 则x-1≠0， 解得：x≠1． 故选：C ． 【点睛】 此题考查分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 5．若分式 12x x +-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ．2x < C ．1x ≠- D ．2x ≠ 【答案】D 【解析】

最新人教版初二数学上册分式的计算试题

2014—2015学年八年级数学（上）周末辅导资料（16） 德尔教育培训中心 学生姓名： 得分： 一、复习巩固： 计算：（1）x x x x x x 39622-?+-- （2）4 222 2a b a a ab ab a b a --÷+- 二、知识点梳理： 1、乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。 2、除法：除以一个分式，把除式的分子和分母颠倒后与被除式相乘。 3、加减法： （1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． c b a c b c a ±=± （2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.b d bc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± 4、分式的乘方：把分式的分子和分母分别乘方。 例1：计算： （1）﹣ （2）1111322+-+--+a a a a 【课堂练习1】 计算：（1） m m -+-329122 （2）y x y xy y x 223 +++-

例2：计算： （1） （2）（x ﹣）÷ 例3：先化简，再求值： （1）（1﹣）÷，其中a=﹣1． （2）÷（x+1﹣），其中x=﹣2． 例4：已知：的值。 求y xy x y xy x y x 525232,511+++-=+

三、巩固练习： 1、（- 3a b ）÷6ab 的结果是（ ） A ．-8a 2 B ．-2a b C ．-218a b D ．-212b 2、已知2231x a b x x x x -=+++，其中a 、b 为常数，则a －b 的值为（ ） A 、－8 B 、8 C 、－1 D 、4 3、计算：333a a a a ??- ?-+??×29a a -＝（ ） A.a +12 B.2a －12 C. a －12 D.2a +12 4、（-2 b m ）2n+1的值是（ ） A ．2321n n b m ++ B ．-2321n n b m ++ C ．4221n n b m ++ D ．-42 21n n b m ++ 5、如果（3 2a b ）2÷（3a b ）2=3，那么a 8b 4等于（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．81 6、若4173222=++y y ，则1 6412-+y y 的值为（ ） A 、1 B 、－1 C 、71- D 、51 7、计算：（1）22121a a a -++÷21 a a a -+ （2）2 1x x - - x - 1． （3）1 11222+++-+-a a a a a a （4）

(完整版)人教版八年级数学上分式教案

15．1 分 式 第1课时 从分数到分式 教学目标 1．了解分式的概念，知道分式与整式的区别和联系． 2．了解分式有意义的含义，会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件． 3．理解分式的值为零、为正、为负时，分子分母应具备的条件． 教学重点 分式的意义． 教学难点 准确理解分式的意义，明确分母不得为零． 教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： ) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h ，它沿江以最大船速顺流航行100 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等．江水的流速是多少？ 提示：顺流速度＝水速＋静水中的速度；逆流速度＝静水中的速度－水速． ●自主学习 指向目标 1．自学教材第127至128页． 2．学习至此：请完成《学生用书》相应部分． 三、合作探究，达成目标 探究点一 分式的概念 活动一：阅读教材思考问题：式子S a ，V S 以及式子10020＋v 和6020－v 有什么共同特点？它们与分数有什么相同点和不同点？ 展示点评：如果A ，B 表示两个________(整式)，并且B 中含有________(字母)，那么式子A B 叫做分式． 小组讨论：如何判断一个式子是否为分式？分式与整式有什么区别？

反思小结：判断一个式子是否为分式，可根据：①具有分数的形式；②分子、分母都是整式；③分母中含有字母，分式与整式的区别在于：分式的分母中含有字母，而整式的分母中不含字母． 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点二 分式有意义的条件 活动二：(1)当x ≠0时，分式23x 有意义； (2)当x ≠1时，分式x x －1 有意义； (3)当b ≠53时，分式15－3b 有意义； (4)x ，y 满足__x≠y __时，分式x ＋y x －y 有意义． 展示点评：教师示范解答的一般步骤，强调分母不为零． 小组讨论：归纳分式有意义的条件． 反思小结：对于任何分式，分母均不能为零，即当分母不为零时，分式有意义；反之，分母为零时，分式无意义． 针对训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．知识小结——(1)学习了分式，知道了分式与分数的区别．(2)知道了分式有意义和值为零的条件． 2．思想方法小结——类比、转化等数学思想． 五、达标检测，反思目标 1．下列各式①2x ，②x ＋y 5，③12－a ，④x π－1 中，是分式的有( C ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 2．当x 为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是( C ) A.x －1x 2 B.x ＋1x 2－1 C.x －1x 2＋1 D.x －1x ＋2 3．某食堂有煤m t ，原计划每天烧煤a t ，现每天节约用煤b(b

初二数学上册分式方程100

2x＋6 5 ———＝——— x2＋x 3x＋3 1 1 3 —－———＝———4 4x＋1 8x＋2 6 ———＋a＝7 x＋5 m 2 —－———＝0 x x＋3 30 90 ———＝———40＋v 70－v 1 8 —＝—— x x＋6 1 7 ———＝———x＋6 x－6 2 9 ———＝— x＋1 x

x 6 ———＋7＝———————x－5 (x－5)(x－3) 3 7 —＝—— 6x x＋7 x 9 ———＝————－6 x－3 3x＋12 7 8 ———＝——— x＋3 x2－9 8 4 ———＝———x2－7x x2＋7x 1 1 1 —＋—＋——＝3 4 5 2x 70 70 ———＝———30＋v 70＋v 9 8 —＝—— x x－5

x 5 ———＝———－4 x＋2 3x＋6 4 2 ———＝————6x－1 36x2－1 6 9 ———－———＝4 x2＋9x x2－9x x x＋8 ———＝——— x＋2 x－1 x＋6 4 ———－4＝———x＋2 2＋x 3x－3 6 ———＝——— x2－x 4x－4 1 2 5 —－———＝———2 2x－3 4x－6 8 ———＋a＝2 x－7

m 8 —＋———＝0 x x＋9 60 30 ———＝———40－v 60－v 5 6 —＝—— x x＋9 5 9 ———＝———x＋3 x＋3 5 8 ———＝— x－4 x x 4 ———＋4＝———————x＋9 (x－9)(x－5) 4 6 —＝—— 6x x－4 x 9 ———＝————＋4 x＋3 3x－15

最新人教版八年级数学上册《分式》教案

第十五章 分式 15.1分式 15.1.1从分数到分式 一、教学目标 1．了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200，s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时，逆流航行60千米所用时间v -2060小时， 所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100，v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同 点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．． 满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 1-m m 3 2 +-m m 11 2+-m m 45 22--x x x x 235 -+2 3 +x x x 57+x x 3217-x x x --221

人教版八年级上册分式方程练习及解析

第八讲 分式方程 考点综述： 中考对于分式方程的主要要求包括分式方程的概念以及解法，会检验分式方程的根，分式方程的应用也是中考考查的重点和热点。 典型例题： 例1：解方程： （1）（2007连云港） 11322x x x -=--- （2）（2007德州）解方程：120112x x x x -+=+- （3）（2007宁波）解方程21124x x x -=-- 解：（1）方程两边同乘(2)x -，得1(1)3(2)x x =----． 解这个方程，得2x =． 检验：当2x =时，20x -=，所以2x =是增根，原方程无解 （2）两边同乘以(1)(12)x x +-， 得(1)(12)2(1)0x x x x --++=； 整理，得510x -=； 解得 15 x = ． 经检验，15x =是原方程的根． （3）方程两边同乘(x-2)(x+2)，得 x(x+2)-(x 2-4)=1， 化简，得2x=－3 x=－3/2， 经检验，x=－3/2是原方程的根． 例2：（2007沈阳）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队 单独完成此项工程所需天数的45 ，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？ 解：设甲施工队单独完成此项工程需x 天， 则乙施工队单独完成此项工程需45 x 天， 根据题意，得 10x ＋1245x ＝1

解这个方程，得x ＝25 经检验，x ＝25是所列方程的根 当x ＝25时，45 x ＝20 答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天． 实战演练： 1.（2008安徽）分式方程112 x x =+的解是（ ） A . x=1 B . x =－1 C . x=2 D . x =－2 2.（2008荆州）方程21011x x x -+=--的解是（ ） A .2 B .0 C .1 D .3 3.（2008西宁）“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？某原计划每天修x 米，所列方程正确的是（ ） A ．12012045x x -=+ B ． 12012045x x -=+ C ．12012045x x -=- D ．12012045x x -=- 4.（2008襄樊）当m = 时，关于x 的分式方程213 x m x +=--无解． 5.（2008大连）轮船顺水航行40千米所需的时间和逆水航行30千米所需的时间相同．已知水流速度为3千米/时，设轮船在静水中的速度为x 千米/时，可列方程为_________________________________． 6.（2008泰州）方程 22123=-+--x x x 的解是=x __________. 7.解方程： （1）（2008赤峰）2112323x x x -=-+ （2）（2008南京）22011 x x x -=+- 8.（2008咸宁） A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克，A 型机器人搬运1000千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？

八年级数学分式混合运算教学设计

八年级数学 分式混合运算教学设计（经典） 知识要点梳理 要点一：通分 通分的定义 根据分式的基本性质把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式． 通分的步骤 1．找最简公分母；2．通分． 通分实例 因为的最简公分母是， 所以， ． 要点二：同分母的分式加减法 法则 分母不变，把分子相加减． 要点三：异分母的分式加减法 法则 先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 实例

要点四：分式的混合运算 法则 先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的． 规律方法指导 1．进行分式运算，应认真分析式子结构，弄清运算顺序，设计解题步骤，使运算合理、简捷、正确． 2．分式的混合运算有比较繁琐的计算过程，往往费时颇多且容易出错，解这类题目必须严格按照规范进行，在相当的题目训练量的基础上，逐步提高熟练成的和准确程度． 经典例题透析 类型一：分式化简 1．化简： (1) (2) (3)(4) (5) 解析：(1) 原式 (2) 原式

(3) 原式 (4) 原式 (5) 原式 类型二：裂项相消法 2．计算： 解析：（法一）原式 （法二）原式

总结升华：利用解法二的裂项相消法可以使运算简便． 举一反三： 【变式】计算：． 【答案】提示： 原式＝ ＝ 类型三：化简求值 3．(1)，其中． (2)，其中． (3)，其中． (4)，其中 解析：(1)原式 当时，原式 (2)原式

∴当时，原式 (3)原式 当时，原式 (4)原式 ∴当时，原式 举一反三： 【变式１】已知，求代数式的值． 【答案】原式 当时，原式 【变式２】课堂上，李老师出来这样一道题：已知，求代数式