摘要
倒立摆系统的控制研究长期以来被认为是控制理论及其应用领域里能引起人们极大兴趣的问题。它是检验各种新的控制理论和方法的有效性的著名实验装置。作为一个高阶、非线性不稳定系统，倒立摆的稳定控制相当困难，对该领域的学者来说是一个极具挑战性的难题。
首先，本文阐述倒立摆系统控制的研究发展过程，介绍了倒立摆系统的结构，并详细推导了一级倒立摆的数学模型，为更高层次的控制规律的研究提供了一个途径。其次，研究倒立摆系统的各种控制方法。其中包括有经典控制理论中的PID控制方法和最优控制理论中的极点配置法、LQR法。在MATLAB/SIMULINK的环境下，作了大量的系统仿真研究工作，比较了各种控制方法。最后，发现经过最优控制方法校正后的系统的性能优于经典控制方法校正后的系统的性能，而且最优控制较易实现。
关键词：倒立摆系统；经典控制理论；最优控制理论；系统仿真
Abstract
The control of inverted pendulum system has long been considered an intriguing problem for control theory and its applications. It is well known as a test bed for new control theory and techniques. As a highly nonlinear and unstable system, the stabilization control of inverted pendulum system is a primary challenge for researchers in this field because of the difficulty of the problem.
Firstly, after introducing the development and current situation of inverted pendulum system research, the mechanism of inverted pendulum are presented. Mathematical model of the higher one level inverted pendulum is particularly educed in this chapter. Secondly, the thesis discusses mainly the control methods of inverted pendulum system based on the PID of classic control theories, the Pole arrangement and the LQR of modern control theories. And many system simulation researches on the stability of inverted pendulum have been done in the environment of MATLAB /SIMLTLINK. Finally, we will find that the performance of system which was adjusted by optimal control theory is better than the performance of system which was adjusted by classic control theory, and the optimal control is easier success than classic control.
Keywords: Inverted pendulum system; Classic control theory; Optimal control theory;
System simulation
目录
引言 (2)
第一章绪论 (2)
1.1 问题的提出及研究意义 (2)
1.1.1 问题的提出 (2)
1.1.2 研究意义 (2)
1.2 本论文主要研究的内容 (2)
第二章单级倒立摆数学模型 (4)
2.1单级倒立摆数学模型的结构 (4)
2.2系统的数学模型推导 (5)
2.2.1 不考虑摩擦时的传递函数及状态方程 (5)
2.2.2 考虑摩擦时的传递函数及状态方程 (8)
第三章单级倒立摆PID控制器设计与仿真 (11)
3.1理论分析 (11)
3.2PID控制器的设计与仿真 (12)
第四章现代控制理论在控制倒立摆系统中的应用 (20)
4.1状态空间极点配置法 (20)
4.1.1 理论分析 (20)
4.1.2 状态空间极点配置法的设计及仿真 (20)
4.2基于LQR的倒立摆最优控制系统研究 (24)
4.2.1 理论分析 (24)
4.2.2 LQR控制器的设计与仿真 (25)
结论 (28)
参考文献 (30)
谢辞 (31)
引言
杂技顶杆表演之所以为人们熟悉，不仅是其技艺的精湛，更重要的是其物理与控制系统的稳定性密切相关。它深刻提示了自然界一种基本规律，即一个自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使之具有良好的稳定性。这一规律已成为当今航空航天器设计的基本思想。不难看出杂技演员顶杆的物理机制可简化为一个简单的倒立摆。
倒立摆是一个自然不稳定体，在控制过程中能有效地反映控制中的许多关键问题，如非线性问题、系统的鲁棒性问题、随动问题、镇定问题及跟踪问题等。倒立摆系统作为一个实验装置，形象直观，结构简单，构件组成参数和形状易于改变，成本低廉；作为一个被控对象，它又相当复杂，就其本身而言，是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性系统，只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定。倒立摆系统稳定效果非常明了，可以通过摆动角度，位移和稳定时间直接度量，控制好坏一目了然。
理论是工程的先导，倒立摆的研究具有重要的工程背景。机器人行走类似倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世以来已有三十多年的历史，但机器人的关键技术至今仍未很好解决。由于倒立摆系统的稳定与空间飞行器控制的稳定有很大相似性，也是日常生活中所见到的任何重心在上，支点在下的控制问题的抽象。因此，倒立摆机理的研究又具有重要的应用价值，成为控制理论中经久不衰的研究课题。
倒立摆系统最终的控制目标是使倒立摆这样一个不稳定的被控对象，通过引入适当的控制方法使之成为一个稳定的系统。对倒立摆系统建立数学模型是实现倒立摆控制的基础。常见的倒立摆的控制方法有以下几种:
1.经典控制理论中的PID控制。通过对倒立摆系统的机理分析，建立倒立摆的动力学模型，使用状态空间理论推导其非线性模型，并在平衡点处进行线性化得到倒立摆系统的状态方程和输出方程，从而设计出PID控制器实现其控制。
2.最优控制理论中的极点配置法以及LQR法。该系统是一个单输入多输出的系统，且可证明此系统是能控的，因此可以通过全状态反馈极点配置的方法以及LQR 方法使系统保持稳定。
第一章绪论
1.1问题的提出及研究意义
1.1.1问题的提出
作为控制领域的一个典型装置，倒立摆的最初研究开始于二十世纪五十年代，麻省理工大学电机工程系设计出了单级倒立摆这一实验设备，物理特性与控制系统的稳定性密切相关，可以说它揭示了自然界的一种基本规律，就是一个自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使其具有良好的稳定性。到目前为止，以单级平面倒立摆为雏形，倒立摆装置已经演绎出了许多种形式，包括悬挂式倒立摆、平行式倒立摆和球平衡式倒立摆。倒立摆的级数可以是一级、二级、三级、乃至多级。倒立摆的运动轨道也由最初的水平轨道扩展到了倾斜轨道，而控制电机可以是单电机，也可以是多电机控制。
1.1.2研究意义
课题的意义主要包括:
1．倒立摆系统作为实验平台，具有直观性和趣味性的特点。倒立摆系统结构简单，构件组成参数和形状易于改变，控制效果形象直观，一目了然。开发倒立摆系统实验装置对控制理论的深入了解具有重要意义。
2.倒立摆系统是从控制理论到实际应用的桥梁。通过对倒立摆系统的稳定控制进行设计，可以对控制理论和控制方法的正确性以及实用性加以物理验证，对各种方法进行快捷、有效、生动的比较，是一种有效的物理证明方法。从倒立摆实验中可以总结有效的控制经验，具有实践的意义。
3.倒立摆系统的研究，具有重要的工程背景。无论空间飞行器控制，机器人直立行走控制还是各类伺服系统的稳定控制，都可以应用对倒立摆系统的研究成果，具有实际应用的意义。
1.2本论文主要研究的内容
论文核心包括“倒立摆系统”和“控制”两个方面，围绕这一核心，将论文中控制方案的完成分成3个阶段：建模阶段、设计阶段和仿真阶段。
1.建模阶段：初步了解倒立摆的工作原理，建立倒立摆系统的近似线性模型。给定一套参数，建立系统的数学模型，包括传递函数模型和状态空间模型。
2.设计阶段：提出闭环系统的响应指标。根据实际系统的参数，完成3种控制器的设计：PID控制器、极点配置控制器和LQR控制器。
3.仿真阶段：此阶段在上一阶段研究的基础上，利用理论模型和理论参数对系统进行仿真测试，检验系统响应是否满足要求。
第二章 单级倒立摆数学模型
2.1 单级倒立摆数学模型的结构
倒立摆小车系统如图2.1所示。在忽略了空气流动，各种摩擦之后，一阶倒立摆系统可抽象成小车和匀质杆组成的系统，假设:M 为小车质量;m 为摆杆质量;b 为小车摩擦系数;l 为摆杆转动轴心到杆质心的长度;I 为摆杆惯量;F 为加在小车上的力;x 为小车位置; θ为摆杆与垂直向上方向的夹角。
假定各项参数为21,0.1,1,9.81,0.1M kg m kg l m g m s b =====。假定系统的期望性
能指标为s t s 5≤，%40≤δ。
图2.1 倒立摆系统受力分析图
2.2 系统的数学模型推导
2.2.1 不考虑摩擦时的传递函数及状态方程
在外力F 的作用下，小车及摆杆均产生加速运动，根据牛顿第二定律，在水平直线运动的惯性力应该与F 平衡，于是有：
F l x dt
d m dt x d M =++)sin (22
22θ 即：
F ml ml x
m M =-++θθθθsin cos )(2 为了推出系统的第二个运动方程，我们对倒立摆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面的方程：
2
2(cos )d P mg m l dt
θ-=
即：
2sin cos P mg ml ml θ
θθθ-=-- 力矩平衡方程如下：
sin cos Pl Nl I θθθ
-= 其中2
2(sin )d N m x l dt
θ==+
2sin sin N mx
ml ml θθθθ∴=+- 由sin cos Pl Nl I θθ
θ
-= 可知： 有cos sin I Nl P l θ
θθ
+=
(cos sin )sin I mx ml ml lcon l θθθθθθθ++-=
2222cos cos sin cos sin I mxl ml ml l θθθθθθθθ
++-=
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
代入θθθθ
cos sin 2 ml ml mg P --=-中可得： 0sin cos )(2=-++θθθmgl l x
m ml I 所以经过整理后的方程组为：
F ml ml x
m M =-++θθθθsin cos )(2
0sin cos )(2=-++θθθmgl l x
m ml I 考虑到摆杆在设定点0=θ附近做微小的振动，对上式进行局部线性化，即用
0sin ,1cos ≈≈θθ做近似处理后可得：
F x
ml x m M =++ )( 0)(2=-++θθmgl x ml ml I 由F ml x
m M =++θ )(可知： m
M ml F x +-=θ
0)(2
=-+-++∴θθθmgl m
M ml F ml ml I 0)(222
=-+-+++θθθmgl m
M l m m M mlF ml I
m
M mlF
mgl m M l m ml I +-=+-+θθ )(222
23
1
ml I =
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+-=∴m M ml ml m M mlF
m M ml ml mgl 2
222)(34)()(34θθ
ml
m M F
ml m M m M g 3)(433)(4)(3-+--++=
θ
l
m M F
l m M m M g )4(3)4()(3+-++=
θ
(2.8)
(2.9) (2.10)
(2.12)
(2.11) (2.13)
(2.14)
代入原式有：
m M l m M F l m M m M g ml F x
+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-
++-=)4(3)4()(3θ ))(4(343m M m M mF
m M mg m M F ++++-+=
θ
m
M F
m M mg +++-
=4443θ
系统的传递函数为：
由（2.9）式可知2
2
)()()()(s
m M s s ml s F s X +-=θ，代入（2.10）式中有： 0)()()()()(2
2
2
=-+-++s mgl m
M s s ml s F ml s s ml I θθθ
)()()()(222
2s s ml I m M s ml mgl s F m M ml θ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-++=+ 2
2222))(3
4
()()
()
(s m M ml s l m mgl m M ml
s F s +-++=
∴
θ
l
m M g m M s l m M mgl m M s Mml l m ml
)4()()4(3)()34
31(22222++-
+-=
++--=
代入假定的参数有：
6293
.27317
.0)
()
(2
--
=s s F s θ
(2.15)
(2.16)
(2.17)
模型的状态方程为：
l m M F l m M m M g m
M F m M mg x x x
)4(3)4()(34443+-++==++
+-==θθ
θ
θθ ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+++-=∴08878
.700100007171.000
00
100)4()(30
01000
0430
0001
0l
m M m M g m M mg A ⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+=7317.009756.00)4(30440l m M m M B 0
01000001=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=D C 2.2.2 考虑摩擦时的传递函数及状态方程
考虑小车与地面之间的摩擦时有如下的方程组：
22
2sin sin (cos )
sin cos Mx
N bx F N mx
ml ml d P mg m l dt
pl NI I θθθθθθθθ
++==+--=-=
推导过程同上，可得：
F x b ml ml x
m M =+-++ θθθθsin cos )(2
0sin cos )(2=-++θθθmgl l x
m ml I 经过局部线性化，近似处理之后有：
(2.18) (2.19)
0)()(2=-++=+++θθmgl x
ml ml I F x
ml x b x m M 由上式可得系统的传递函数为：
)()()()()(22s F s s ml s bX s s X m M =+++θ 0)()()()(222=-++s mgl s s mlX s s ml I θθ
由（2.22）可知bs
s m M s s ml s F s X ++-=2
2
)()()()(θ，代入（2.23）式中有： 0)()()()()()(2
2
2
=-++-++s mgl b
s m M s s ml s F mls s s ml I θθθ
)()()()()()(2222s s ml I b s m M s ml mgl s F b s m M ml θ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+++=++
[][]
b s m M s ml s l m mgl b s m M mls
s F s ++-+++=
∴
)(3
4)()
()
(22322θ
[][]
b s m M ls mls g b s m M s
++-+++=
)(3
4)(23
2
3333
4
3434)(bls mls Mls mls gb s m M g s
---+++=
2
323
4
3134)(bls mls Mls gb gs m M s
---++=
2
34)4()(333bls
ls m M gs m M gb s
++-++=
代入假定的参数有：
2
34.01.4373.32943.23)
()
(s
s s s
s F s +-+=
θ 7178
.08959.70976.07317.02
3----=
s s s s
(2.20) (2.21)
(2.22) (2.23)
(2.24)
(2.25)
状态方程为：
θθθθ
l g ml ml I mgl x 34)(2-=+-=
F ml x b l g m M =++-+∴θθθ )34)(( F x b ml l m M g m M =+++-+ θθθ)(3
4)( F g m M x b ml ml Ml ++--=+--θθ)()3
434( l m M F
l m M g m M l m M x b ml Ml F g m M x b )4(3)4()(3)4(33
434)(+-++++=--++--=∴θθθ
将上式代回到（2.26）式中有：
3
4)4(3)4()(334)4(334l l m M F l m M g m M l l m M x b l g x ++++-+-=θθ
m M F
m M g m M g m M x b ++
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++-++-=
444)(444θ ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡+++++-+-=∴08958.707317.00100007178
.00945.000010
0)4()(3)4(30
100004)(44400010
l m M g m M m M b m M g m M g m M b A ⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+=7317.0010)4(30
440l m M m M B 0
01000001=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=D C
(2.26)
(2.28)
第三章 单级倒立摆PID 控制器设计与仿真
3.1 理论分析
常规PID 控制是最早发展起来的一种控制方法，由于其算法简单、鲁棒性好、可
靠性高，因而至今仍广泛应用于工业过程控制中。该方法的主要思想是:根据给定值与系统的实际输出值构成控制偏差。然后将偏差的比例(P )、积分(I )和微分(D )三项通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称为PID 控制。
为了使研究更具一般性，分析倒立摆时以有摩擦的系统为主。我们已经得到了倒立摆系统的开环传递函数，输入为小车的推力。开环传递函数为：
7178
.08959.70976.07317.0)
()
(2
3----=
s s s s
s F s θ （3.1） 给系统施加脉冲扰动，输出量为摆杆的角度时，系统框图如图3.1所示:
图3.1 系统控制结构框图
考虑到输入r(s)=0,结构图可以很容易的变换成图3.2所示的结构：
图3.2 系统控制结构简图 该系统的输出为：
)()
()(1)
()(s F s G s KD s G s y +=
3.2 PID 控制器的设计与仿真
由式（3.1）可得推出系统的开环传递函数为：
)
0911.0)(7141.2)(9028.2(3)(++-=
s s s s
s G （3.2）
首先，为了观察系统开环传递函数的根轨迹，可以利用Matlab 对开环传递函数进行仿真，仿真程序如下：
>> K=3; >> n=[1 0 0];
>> d=conv(conv(conv([1 0],[1 -2.9028]),[1 2.7141]),[1 0.0911]); >> s=tf(K*n,d); >> margin(s)
经过仿真后，我们可以看到系统的Bode 图如图3.3所示:
图3.3 未校正系统的Bode 图
由图可知，幅频曲线并没有穿越0dB 轴，在0dB 轴以下，而且相频曲线也没有穿
越 180 ，可知闭环系统是不稳定的。
我们利用根轨迹法来设计控制器。该方法的目的是运用根轨迹方法给系统设计一个超前—滞后装置，即PID 控制器，以达到控制效果。
该设计生动地反映了根据根轨迹判定系统性能，零极点对系统性能的影响，渐近线的各种特性等等涉及到根轨迹的理论点。并且反映了如何设计系统的校正装置。
做出系统的开环传递函数的根轨迹: 仿真程序: >> clear >> K=3; >> n=[1 0 0];
>> d=conv(conv(conv([1 0],[1 -2.9028]),[1 2.7141]),[1 0.0911]); >> s=tf(K*n,d); >> rlocus(s)
根轨迹如图3.4所示：
图3.4 未校正系统的根轨迹图
可以看到闭环传递函数的一个极点位于右半平面，并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左直到位于原点的零点处，这意味着无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于右半平面，系统总是不稳定的。
为了解决这个问题，在原点处增加一个极点s=0,使得原点处的零极点对消掉，利用Matlab 进行仿真，仿真程序如下：
>> clear >> K=3; >> n=[1 0];
>> d=conv(conv(conv([1 0],[1 -2.9028]),[1 2.7141]),[1 0.0911]); >> s=tf(K*n,d); >> rlocus(s)
可以得到新的根轨迹如图3.5所示：
图3.5 加入s=0极点后系统的根轨迹图
系统新的传递函数为：
)
0911.0)(7141.2)(9028.2(3
)(++-=
's s s s G （3.3）
这时可以清楚地发现，系统有三根渐近线，一根在负实轴上，渐近线与实轴正方向的夹角可以根据公式(21)k n m
π
ϕ+=
-计算出另外两根与第一根的夹角为120度。这样
两根根轨迹永远不会达到左半平面，必须通过在控制器中增加一个零点2z 来把渐近线的数目减少到二，这时我们可以根据渐近线与实轴交点坐标公式1
1
n m
i
i
i i p z
n m
σ==-=-∑∑计算出渐近线与实轴交点为[]2
)9028.27141.20911.0(2z -+--，这意味着两根渐近线离
开实轴的位置是2
0488.02
z -
（02 图3.6 加入零点后系统的根轨迹图 解决这个问题的方法是在左半平面再增加一个远离其他零极点的极点，让渐近线与实轴交点更靠左，但是为了让渐近线保持在两条，且维持系统稳定，必须在左半平面再增加一个绝对值较小的零点。这样一组零极点可以利用修改Matlab 中的参数来 试探得到。 校正装置的零点选为3,321-=-=z z ，极点选为55,021==p p 。程序中使用了rlocfind 函数，可以用鼠标在该图的根轨迹上选择一对位于左半平面共轭复根和负实根，即用鼠标在根轨迹上选择一点，可求得系统的增益k 。 仿真程序如下： >> clear >> K=3; >> n=[1 6 9 0]; >> d=conv(conv(conv(conv([1 0],[1 -2.9028]),[1 2.7141]),[1 0.0911]),[1 55]); >> s=tf(K*n,d); >> rlocus(s) >> [k,poles]=rlocfind(s) Select a point in the graphics window selected_point = -8.9929 + 0.3882i k = 489.6894 poles = 0 -34.2172 -8.9573 + 0.3836i -8.9573 - 0.3836i -2.7705 仿真后的根轨迹图如图3.7所示： 图3.7 校正后系统的根轨迹图 由图可知，选取增益k 为500时，根轨迹都在左半平面，此时对应的系统是稳定的，可求出PID 函数为： 2 500(3)()(55) s KD s s s +=+ （3.4） 基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计 一、设计目的 倒立摆是一个非线性、不稳定系统,经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。设计一个倒立摆的控制系统，使倒立摆这样一个不稳定的被控对象通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。 二、设计要求 倒立摆的设计要求是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。实验参数自己选定，但要合理符合实际情况，控制方式为双PID控制，并利用MATLAB进行仿真，并用simulink对相应的模块进行仿真。 三、设计原理 倒立摆控制系统的工作原理是：由轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对垂直方向的角度，作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。计算机根据一定的控制算法，计算出空置量，并转化为相应的电压信号提供给驱动电路，以驱动直流力矩电机的运动，从而通过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平衡。 四、设计步骤 首先画出一阶倒立摆控制系统的原理方框图 一阶倒立摆控制系统示意图如图所示： 分析工作原理，可以得出一阶倒立摆系统原理方框图： 一阶倒立摆控制系统动态结构图 下面的工作是根据结构框图，分析和解决各个环节的传递函数！ 1.一阶倒立摆建模 在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中： M ：小车质量 m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置 θ：摆杆与垂直向上方向的夹角 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度 根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知： （1） 摆杆绕其重心的转动方程为 （2） 摆杆重心的运动方程为 得 sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=-2 22 2(sin ) (2) (cos ) (3) x y d F m x l d t d F mg m l d t θθ=+=- 摘要 倒立摆系统的控制研究长期以来被认为是控制理论及其应用领域里能引起人们极大兴趣的问题。它是检验各种新的控制理论和方法的有效性的著名实验装置。作为一个高阶、非线性不稳定系统，倒立摆的稳定控制相当困难，对该领域的学者来说是一个极具挑战性的难题。 首先，本文阐述倒立摆系统控制的研究发展过程，介绍了倒立摆系统的结构，并详细推导了一级倒立摆的数学模型，为更高层次的控制规律的研究提供了一个途径。其次，研究倒立摆系统的各种控制方法。其中包括有经典控制理论中的PID控制方法和最优控制理论中的极点配置法、LQR法。在MATLAB/SIMULINK的环境下，作了大量的系统仿真研究工作，比较了各种控制方法。最后，发现经过最优控制方法校正后的系统的性能优于经典控制方法校正后的系统的性能，而且最优控制较易实现。 关键词：倒立摆系统；经典控制理论；最优控制理论；系统仿真 Abstract The control of inverted pendulum system has long been considered an intriguing problem for control theory and its applications. It is well known as a test bed for new control theory and techniques. As a highly nonlinear and unstable system, the stabilization control of inverted pendulum system is a primary challenge for researchers in this field because of the difficulty of the problem. Firstly, after introducing the development and current situation of inverted pendulum system research, the mechanism of inverted pendulum are presented. Mathematical model of the higher one level inverted pendulum is particularly educed in this chapter. Secondly, the thesis discusses mainly the control methods of inverted pendulum system based on the PID of classic control theories, the Pole arrangement and the LQR of modern control theories. And many system simulation researches on the stability of inverted pendulum have been done in the environment of MATLAB /SIMLTLINK. Finally, we will find that the performance of system which was adjusted by optimal control theory is better than the performance of system which was adjusted by classic control theory, and the optimal control is easier success than classic control. Keywords: Inverted pendulum system; Classic control theory; Optimal control theory; System simulation 一阶倒立摆控制设计与实现 一阶倒立摆是一种常见的控制系统模型，它由一个垂直的支柱和一个质量为m 的物体组成，物体通过支柱与地面相连。在控制系统中，我们需要设计一个控制器来控制物体的位置和速度，使其保持在垂直位置上。本文将介绍一阶倒立摆控制设计与实现的相关内容。 一、一阶倒立摆模型 一阶倒立摆模型可以用以下方程描述： m*d^2y/dt^2 = -mg*sin(y) + u 其中，y是物体的位置，u是控制器的输出，m是物体的质量，g是重力加速度，t是时间。该方程可以通过拉普拉斯变换转换为传递函数： G(s) = Y(s)/U(s) = 1/(ms^2 + mg) 二、控制器设计 为了控制一阶倒立摆，我们需要设计一个控制器来产生控制信号u。常见的控制器包括比例控制器、积分控制器和微分控制器，它们可以组合成PID控制器。 在本文中，我们将使用比例控制器来控制一阶倒立摆。比例控制器的输出与误差成正比，误差越大，输出越大。比例控制器的传递函数为： Gc(s) = Kp 其中，Kp是比例增益。 三、闭环控制系统 将控制器和一阶倒立摆模型组合起来，得到闭环控制系统的传递函数： G(s) = Y(s)/R(s) = Kp/(ms^2 + mg + Kp) 其中，R(s)是参考信号，表示我们期望物体保持的位置。 四、控制系统实现 在实现控制系统之前，我们需要对一阶倒立摆进行建模和仿真。我们可以使用MATLAB等工具进行建模和仿真。 在MATLAB中，我们可以使用Simulink模块来建立一阶倒立摆模型和控制器 模型。在建立模型之后，我们可以进行仿真，观察系统的响应和稳定性。 在实现控制系统时，我们需要选择合适的硬件平台和控制器。常见的硬件平台包括Arduino和Raspberry Pi等，常见的控制器包括PID控制器和模糊控制器等。 在实现控制系统之后，我们需要进行调试和优化，以达到最佳控制效果。 五、总结 本文介绍了一阶倒立摆控制设计与实现的相关内容，包括一阶倒立摆模型、控制器设计、闭环控制系统和控制系统实现。通过本文的介绍，读者可以了解一阶倒立摆控制的基本原理和实现方法，为控制系统设计和实现提供参考。 PID控制的一阶倒立摆控制系统设计 一阶倒立摆控制系统是一种常见的控制系统，通过PID控制器对倒立 摆系统进行稳定控制，使其在一定的时间内达到平衡位置。本文将详细介 绍一阶倒立摆控制系统的设计流程和方法。 1.引言 一阶倒立摆控制系统是一类具有非线性动力学特性的控制系统。其基 本结构包含一个摆杆和一个摆杆在垂直方向上运动的小车。该控制系统的 目标是通过调节小车的运动，使摆杆能够在垂直方向上保持平衡。为了实 现这个目标，我们需要设计一个有效的控制方案，并使用PID控制器对系 统进行控制。 2.模型建立 首先，我们需要建立一阶倒立摆系统的数学模型。假设摆杆的长度为L，摆杆与水平线的夹角为θ，小车与水平线的位置为x，小车与水平线 的速度为v。根据牛顿运动定律和平衡条件，可以得到如下模型：m*x'=m*a=F(1) M*x'' = -F*l*sin(θ) - b*v (2) I*θ'' = F*l*cos(θ) - M*g*l*sin(θ) (3) 其中，m是小车的质量，M是摆杆的质量，l是摆杆的长度，b是摩擦 系数，g是重力加速度，I是摆杆的转动惯量。将式(3)对时间t求导得到：I*θ''' = -b*l*θ' - M*g*l*cos(θ) (4) 3.控制设计 为了设计PID控制器，我们需要首先将系统模型线性化。可以将非线 性的动力学模型近似为线性模型，并在静态平衡点附近进行线性化。静态 平衡点是系统的平衡位置，满足以下条件：x=0,v=0,θ=0,θ'=0。 我们可以对系统模型进行泰勒级数展开，保留一阶项，得到如下线性 化模型： m*x'=F(5) M*x''=-F*l*θ(6) I*θ''=F*l(7) 经过线性化，系统的动力学模型变为了一组线性微分方程。接下来， 我们使用PID控制器对系统进行控制。 4.PID控制器设计 PID控制器由比例项、积分项和微分项组成，用于校正系统输出与目 标值之间的差异。PID控制器的输出可以表示为U(s)=C(s)*E(s)，其中 U(s)是控制器的输出，C(s)是PID控制器的传递函数，E(s)是系统的误差。 比例项用于与误差的大小成比例地产生控制信号。积分项用于补偿系 统响应的偏差，可以消除稳态误差。微分项用于补偿系统响应的变化率， 可以提高系统的稳定性。 5.闭环控制 将PID控制器与系统模型相连，形成闭环控制系统。通过将控制器的 输出反馈到系统中，可以实现对系统的自动调整，以使系统达到期望状态。 一阶倒立摆控制系统设计 首先，设计一阶倒立摆控制系统需要明确系统的参数和模型。一阶倒 立摆通常由一个平衡杆和一个摆组成。平衡杆的长度、摆的质量和位置等 都是系统的参数。根据平衡杆的转动原理和摆的运动方程，可以得到一阶 倒立摆的数学模型。 接下来，根据系统的数学模型，进行系统的稳定性分析。稳定性分析 是判断一阶倒立摆控制系统是否能够保持平衡的重要步骤。常用的稳定性 分析方法有判据法和根轨迹法。判据法通过计算特征方程的根来判断系统 的稳定性，根轨迹法则通过特征方程的根随一些参数变化的路径来分析系 统的稳定性。 在进行稳定性分析的基础上，选择合适的控制策略。常见的控制策略 有比例控制、积分控制和微分控制等。比例控制通过将系统的输出与期望 值之间的差异放大一定倍数来控制系统；积分控制通过积分系统误差来进 行控制；微分控制通过对系统误差的微分来进行控制。在选择控制策略时，需要考虑系统的动态响应、稳态误差和鲁棒性等指标。 在选定控制策略后，进行控制器的设计和参数调节。控制器是实现控 制策略的核心部分。控制器可以是传统的PID控制器，也可以是现代控制 理论中的模糊控制器、神经网络控制器等。控制器的参数需要通过试探法、经验法或者系统辨识等方法进行调节，以使系统达到最佳的控制效果。 最后，进行实验验证和性能评估。在实验中，需要将控制器与倒立摆 系统进行连接，并输入一定的控制信号。通过测量系统的输出响应和误差，可以评估控制系统的性能，并进行调整和改进。 综上所述，一阶倒立摆控制系统设计的步骤包括系统参数和模型确定、稳定性分析、控制策略选择、控制器设计和参数调节、实验验证和性能评 估等。在设计过程中，需要综合考虑系统的稳定性、动态响应和鲁棒性等 因素，以实现一个稳定可靠、性能优良的一阶倒立摆控制系统。 一阶倒立摆控制系统设计matlab 一、控制系统简介 控制系统是指通过对某些物理系统或过程的改变以获取期望输出或行为的一种系统。 其中涉及到了对系统的建模、分析以及控制方法的选择和设计等多方面的问题。控制系统 可以通过标准的数学和物理模型来描述，并可以通过物理或者仿真实验进行验证。 本文将围绕一阶倒立摆控制系统设计和仿真展开。主要内容包括： 1.一阶倒立摆系统简介 2.系统建模 3.系统分析 4.设计控制器 5.仿真实验及结果分析 一阶倒立摆(controlled inverted pendulum)是一种比较常见的控制系统模型。它的 系统模型简单，有利于系统学习和掌握。 一般而言，一阶倒立摆系统是由一个竖直的支杆和一个质量为$m$的小球组成的。假 设球只能在竖直方向上运动，当球从垂直平衡位置偏离时，支杆会向相反的方向采取动作，使得小球可以回到平衡位置附近。 为了控制一阶倒立摆系统，我们首先需要对其进行建模。由于系统并不是非常复杂， 所以建模过程相对简单。 假设支杆长度为$l$，支杆底端到小球的距离为$h$，支杆与竖直方向的夹角为 $\theta$，小球的质量为$m$，地球重力为$g$，该系统的拉格朗日方程可以表示为： $L = \frac{1}{2}m\dot{h}^{2}+\frac{1}{2}ml^{2}\dot{\theta}^{2}-mgh\cos{\theta}-\fra c{1}{2}I\dot{\theta}^{2}$ $I$表示支杆的惯性矩，它可以通过支杆的质量、长度以及截面积等参数计算得出。 $h$和$\theta$分别表示小球和支杆的位置。 我们可以通过拉格朗日方程可以得出系统的动力学方程： 直线型一级倒立摆系统的控制器设计 引言 1. 设计目的 （1）熟悉直线型一级倒立摆系统 （2）掌握极点配置算法 （3）掌握MATLAB/simulink动态仿真技术 2. 设计要求 基于极点配置算法完成对于直线型一级倒立摆系统的控制器设计 3. 系统说明 倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。 4. 设计任务 （1）建立直线型一级倒立摆系统的状态空间表达式。 （2）对该系统的稳定性、能观性、能控性进行分析。 （3）应用极点配置法对该直线型一级倒立摆系统进行控制器设计。 （4）使用MATLAB/simulink软件验证设计结果 目录 设计目的........................................................................................... 2-4设计要求：. (4) 系统说明：....................................................................................... 4-5设计任务........................................................................................... 5-8运行结果......................................................................................... 8-11收获与体会.. (10) 参考文献 (12) 一级倒立摆控制系统设计 基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计 一、设计目的 倒立摆是一个非线性、不稳定系统,经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。设计一个倒立摆的控制系统，使倒立摆这样一个不稳定的被控对象通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。 二、设计要求 倒立摆的设计要求是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。实验参数自己选定，但要合理符合实际情况，控制方式为双PID控制，并利用MATLAB进行仿真，并用simulink对相应的模块进行仿真。 三、设计原理 倒立摆控制系统的工作原理是：由轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对垂直方向的角度，作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。计算机根据一定的控制算法，计算出空置量，并转化为相应的电压信号提供给驱动电路，以驱动直流力矩电机的运动，从而通过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平衡。 四、设计步骤 首先画出一阶倒立摆控制系统的原理方框图 一阶倒立摆控制系统示意图如图所示： 分析工作原理，可以得出一阶倒立摆系统原理方框图： （3）小车水平方向上的运动为 22 (4) x d x F F M d t -= 联列上述4个方程，可以得出 一阶倒立精确气模型： ()()()()()()()2222222222222222 sin .sin cos cos cos .sin cos .lg sin cos J ml F ml J ml m l g x J ml M m m l ml F m l M m m m l M m J ml θθθθθθθθθθθθ⎧+++-⎪=++-⎪⎨ +-+⎪=⎪-++⎩ 式中J 为摆杆的转动惯量：3 2 ml J = 若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（︒︒≤≤-1010θ）的细微变化，则可以近似认为： ⎪⎩⎪⎨⎧≈≈≈1 cos sin 02 θθθθ ⎪⎪⎩ ⎪ ⎪ ⎨⎧++-+=++-+=2.. 2222..)(lg )()()(Mml m M J mlF m m M Mml m M J g l m F ml J x θθθ 若取小车质量M=2kg,摆杆质量m=1kg,摆杆长度2 l =1m,重力加速度取g=2/10s m ,则可以得 一阶倒立摆简化模型： .. ..0.44 3.330.412x F F θθθ ⎧ =-⎪⎨⎪=-+⎩即 G 1(s)= ; G 2(s)= 一阶倒立摆环节问题解决！ 2.电动机驱动器 22 2() 0.4()12() 1.110() s F s s x s s s s θθ-⎧=⎪-⎪⎨-+⎪=⎪⎩ (此文档为word格式，下载后您可任意编辑修 改！) 毕业设计（论文） 题目单级倒立摆控制器 设计与实现 单级倒立摆控制器设计与实现 摘要 自然界中的许多系统都是非线性的，单级倒立摆系统（Single Level Inverted Pendulum System）就是一个典型多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。它的这些特性使得许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性等等，都可以通过单级倒立摆系统实验直观的表现出来。而作为实验装置，倒立摆又具有成本低廉、结构简单、便于模拟、形象直观的特点。因此，目前许多控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象，用于验证控制方法的正确性。 本设计首先建立倒立摆系统的数学模型，在熟悉线性系统的基本理论和非线性系统线性化的基本方法的基础上确定研究方案和实施的控制方法。通过MATLAB软件对倒立摆进行仿真实验，实现了倒立摆的平衡控制。并在此仿真实验的基础上使用硬件设备进行实际控制。 关键词：单级倒立摆；控制方法；MATLAB；仿真；硬件 Abstract Many of the natural world System are nonlinear, and Single level Inverted Pendulum System is a typical variable, stable and strong coupling nonlinear System. These properties make many abstract concepts of control theory such as stability, controllability and so on, can all intuitive expression comes out through the single inverted pendulum system experiment. And, as an experimental device, it structure, convenient in simulation, image intuitively. Therefore, now many the researchers of control theory are always take it as the typical research object, using to prove the correctness of the control method. In this paper, first of all to building the inverted pendulum mathematics model, on the basic of the familiar with the basic theory of linear system and the basic methods of nonlinear system linearization, determining the system program of the research and the implementation of the system control method, as the all state feedback control of single stage of the inverted pendulum. Through the programming software MATLAB simulation experiment, realize the balance control of the inverted pendulum. The experimental results verify the validity and feasibility of the control method in this paper. Key words:Single Inverted Pendulum System；control method；MATLAB；simulation；*n、n*p、n*q维实数矩阵。状态反馈系统的控制量u取为状态x的线性函数： = Kx u- v 其中，v为p维参考输入向量，K为p*n维实反馈增益矩阵。 加入状态反馈后系统的结构图如下： 沈阳航空航天大学 课程设计 （论文) 题目一级倒立摆的LQR控制器设计（一） 班级04070202 学号2010040702069 学生姓名杨贺 指导教师 目录 0。前言.。。.。。。.。。。.。.。。..。。。.。。。...。..。..。。.。。.。.。.。。..。...。.。。。。...。。。。.。.。。。。..。。。..。........。。。..。...。。.。。.。。.。.。。.。。。....。..。.....。。。.。。。。.。1 0。 1 倒立摆的背景及简介...。。.。。.。...。....。.。.。。.。..。。.。...。.。。。。.。。。.。。。...。.....。....。.。。。。.。。。.。..。。。。.。。。。.。....。。。.。.。.1 0.2 MATLAB简介及应用....。..。。。。。.。..。..。..。。..。.....。。..。..。。。。。.。。。.。.。。.。..。。。..。。。.。。.。..。..。。..。..。。。.。。。...。。。.。.。1 1。一级倒立摆模型和线性二次最优控制LQR基本理论.。...。.。。.。。。。.。.。..。。....。。。.。.。。。.。.。。..。....。。.。。。 (4) 1。 1 一级倒立摆模型基本理论。。..。...。。。。...。。..。。...。.。.。。.。。。。.。...。。。...。.。。。。.。....。..。。。..。。...。。..。。。。.。。。。...。.。。。4 1.2 线性二次最优控制LQR基本理论.。...。。。.。..。。。...。.。。。.。。..。。。.。。...。。。。.。。.。.。。...。。。。。。......。。。。。..。.。..。。7 2. 方案设计。.......。.。.。。。。。...。.。。.。....。。.。..。......。。....。。。。..。。.。。....。。。。。.。..。。。。。.。.。. ..。。.。.。.。..。。。.。。.。。.。。...。。。。。...。。.....。。。10 3。软件编程。。.。.。。。。。.。.。.。...。..。...。...。..。...。。。。.。.。.。..。。.。.。..。。。。。。。。.。。。.。..。。 一阶倒立摆PID控制系统毕 业设计方案 倒立摆是典型的快速、多变量、非线性、强耦合、自然不稳定系统。由于在实际中有很多这样的系统，因此对它的研究在理论上和方法论上均有深远的意义。本文具体研究的是一阶倒立摆PID控制系统，并对比了不同方法对一阶倒立摆控制的效果。由于 PID调节器结构简单, 各参数物理意义明确, 在工程上易于实现, 即使在控制理论日新月异发展的今天在工业过程控制中, 90 %以上的控制器仍然是 PID调节器[1]。对于一阶的倒立摆系统，PID控制器足够满足控制效果，达到期望的应用效果。 本文主要容分四章进行阐述。各章节主要容如下： 第一章简单的介绍了倒立摆系统的特点及其原理； 第二章阐述了不同的对倒立摆的控制方法及其原理、特点与相关研究情况，并确定采用PID控制方案； 第三章对一阶倒立摆进行了数学研究，建立起其数学模型，并求出其状态空间描述； 第四章根据一阶倒立摆的数学模型，对其进行PID控制器设计，采用MATLAB软件进行参数分析比较，得出PID控制参数； 第五章对一阶倒立摆PID控制仿真调试，总结了全文的研究工作，给出了存在的问题和进一步研究的方向。 2.倒立摆系统 2.1 倒立摆系统概述 概述 倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台[1]。倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自由连接（即无电动机或其他驱动设备）[1]。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等[1]。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等[1]。 2.1.1倒立摆系统组成与结构 以小车的位移和摆棍的倾斜位置作为倒立摆系统的输入，在每一个采样周期中，传感器采集小车的位置和摆棍的角度信息，与设定值进行对比，采用控制算法算出控制量，然后通过数电模电转换电机进行摆棍的立即控制。皮带由直流电机带动，小车在皮带上一起运动，以一点为轴心小车上安装摆棍，让摆棍能在竖直的平面上自在的摇摆，须要一个作用力给小车，让摆棍摇摆达到稳定的竖直向上。 目录 0. 前言 (2) 0.1倒立摆 (2) 0.2LQR (7) 0.3.最优控制（optimal control） (7) 0.3.1数学角度 (8) 0.3.2研究方法 (8) 1. 线性二次最优控制LQR基本理论 (8) 1.1一级倒立摆建模 (8) 1.2微分方程模型 (12) 1.3传递函数模型 (12) 1.4状态空间数学模型 (13) 1.5LQR控制器的二次最优控制原理 (14) 2. 方案设计 (15) 3. 软件编程 (16) 3.1求K值程序 (16) 3.2系统的开环阶跃响应程序 (17) 3.3小车的状态程序 (17) 4. 系统调试和结果分析 (18) 4.1得出K值 (18) 4.2系统的开环阶跃响应结果 (19) 4.3实际连接 (19) 一级倒立摆LQR控制器的设计 摘要：倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题。从理论和实践上对线性一级倒立摆作了深入的研究。首先,用拉格朗日方法建立了倒立摆的数学模型。在此基础上采用线性二次型最优控制方法设计了倒立摆的控制器。最后通过MATLAB仿真和实际系统实验，实现对倒立摆的稳定控制。通过试验验证了设计结果并给出了控制器的性能评价。建立模型，确定参数，进行控制算法设计、系统调试和分析等步骤实现。 关键词：倒立摆；建模，LQR控制器 0.前言 0.1倒立摆 倒立摆系统是理想的自动控制教学实验设备，使用它能全方位的满足自动控制教学的要求。许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观的表现出来。 倒立摆最初研究开始于20世纪50年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备，而后人们又参照双足机器人控制问题研制二级倒立摆控制设备，从而提高了检验控制理论或方法的能力，也拓宽了控制理论或方法的检验范围。 三级倒立摆是由一、二级倒立摆演绎而来，它的实物系统控制实现已经是公认的难题。北京航空航天大学张明廉教授领导的课题组应用“拟人智能控制理论”，于1994年8月成功地实现单电机控制的三级倒立摆。这一成功，证实了“拟人智能控制理论”的正确性，并表明了在没有精确数学模型和不需要推理机的前提下，对一类复杂被控对象是可以控制的。三级倒立摆控制的成功，对空间运动体的控制有直接参考价值。 北师大模糊系统与模糊信息研究中心暨复杂系统智能控制实验室采用李洪兴教授提出的“变论域自适应模糊控制”理论，成功地实现了四级倒立摆控制仿真实验，并于2002年8月11日实现了全球首例四级倒立摆实物系统控制。而由此项理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。 H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 课程设计说明书（论文） 课程名称：控制系统设计课程设计 设计题目：直线一级倒立摆控制器设计 院系： 班级： 设计者： 学号： 指导教师：罗晶周乃馨 设计时间：2013.9.2——2013.9.13 哈尔滨工业大学教务处 哈尔滨工业大学课程设计任务书 *注：此任务书由课程设计指导教师填写。 第一章 直线一级倒立摆数学模型的推导及建立 1.1直线一阶倒立摆数学模型的推导 系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。 对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。 在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统. 下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆水平和垂直方向的分量。 b p x 图1-1（a ）小车隔离受力图 （b ）摆杆隔离受力图 本系统相关参数定义如下： M : 小车质量 m ：摆杆质量 b ：小车摩擦系数 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度 I ：摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置 φ：摆杆与垂直向上方向的夹角 θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定,因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。 应用牛顿方法来建立系统的动力学方程过程如下： 分析小车水平方向受到的合力，可以得到下面等式： Mx F bx N =-- （1-1） 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： () 2 2sin d N m x l dt θ=+ （1-2） 2cos sin N mx ml ml θθθθ=+- （1-3） Hefei University 毕业论文（设计）BACH ELOR DISSERTATION 论文题目：基于一级倒立摆的复合控制器设计 学位类别：工学学士 学科专业：自动化 完成时间：2013年5月28日 基于一级倒立摆的复合控制器设计 中文摘要 倒立摆系统是非线性不稳定系统，是开展各种控制实验及进行控制理论教学的理想平台，因此受到各国及工程研究专家学者的关注。许多抽象的概念都可以通过倒立摆系统直观的表现出来，如控制系统的可控性、稳定性、系统的抗干扰能力和系统的收敛速度等。迄今，人们己经利用经典控制理论、现代控制理论以及各种智能控制方法实现了多种倒立摆系统的稳定控制。 倒立摆有许多控制方法，比较常见的有PID控制、LQR控制、模糊控制等。在使用单个控制时，总不能同时使倒立摆系统的鲁棒性和稳态误差同时达到一个满意的效果。本课题以固高公司的直线倒立摆为研究对象，采用LQR控制结合PID的复合控制，即根据LQR控制和PID控制的优缺点互补，使其系统具有结构简单、易于实现以及具有较强的适应性和鲁棒性，并且可以获得良好的动态性能和稳态性能。 关键词：倒立摆；PID控制；LQR控制；复合控制 Design of composite controller based on inverted pendulum ABSTRACT Inverted pendulum system is a nonlinear unable systems, control theory is to carry put a variety of teaching and an ideal platform for testing control, so by the countries and engineering studies concern the experts and scholars. Many abstract concepts such as stability control systems, controllability, speed of system convergence and systems such as anti-interference ability, to pass though the inverted pendulum system shown intuitive. So far, it has been the use of classical control theory ,modern control and a variety of intelligent control a variety of methods to achieve the stability of inverted pendulum control system. Inverted pendulum control methods there are many, there is the more common PID control, LQR control, fuzzy control. In the use of a single control, can not at the same time inverted pendulum system robustness and steady-state error at the same time to achieve a satisfactory effect, subject to the company’s line of high-solid inverted pendulum for the study, the combination of LQR control PID control compound control, that is based on LQR control and PID control of the complementary strengths and weaknesses. Their system with simple structure, easy to implement and has strong adaptability and robustness, and can get a good dynamic performance and steady-state performance. KEY WORDS: Inverted pendulum；PID control；LQR control；Composite control一级倒立摆【控制专区】系统设计
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