3.1 数系的扩充和复数的概念
1.已知m ∈R ，复数z ＝
(2)1
m m m +-＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z 为实数；(2)z 为虚数；(3)z 为纯虚数．
2.已知m ∈R ，复数z ＝lg m ＋(m 2－1)i ，当m 为何值时，
(1)z 为实数；(2)z 为虚数；(3)z 为纯虚数．
3.已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2
－1)＋(b ＋2)i}同时满足M ∩N M ，M ∩N
≠，求整数a ，b ．
4.已知复数z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )的实部为2，虚部为1，复数z 2＝(x －1)＋(2x －y )i(x ，y ∈R )．当z 1＝z 2时x ，y 的值分别为( )．
A ．x ＝3且y ＝5
B ．x ＝2且y ＝0
C ．x ＝3且y ＝0
D ．x ＝2且y ＝5 5．已知关于实数x ，y 的方程组(21)i (3)i (2)(4)i 98i x y y x ay x y b -+=--??+--+=-?
，①②有实数解，求实数a ，b 的值．
6
1
i 3，13
-＋2i ，0，－2i －1这几个数中，虚数的个数为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7
．以2i
22i +的实部为虚部的新复数是( )．
A ．2－2i
B ．2＋i C
． D
8．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )．
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．－1或1
9．(1)若a －2i ＝b i ＋1，则a 2＋b 2＝__________．(a ，b ∈R )
(2)若x －y ＋(y －1)i ＝2i ，则x ＝__________，y ＝__________．(x ，y ∈R )
10．复数z ＝m ＋(m 2－1)i 是负实数，则实数m 的值为__________．
3.1.2 复数的几何意义
1．在复平面内，点A ，B 对应的复数分别是－3＋2i,1－4i ，则线段AB 的中点对应的复数是( )．
A ．－2－2i
B ．4－6i
C ．－1－i
D ．2－3i
2．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点(1)
位于第四象限；(2)位于x 轴负半轴上；(3)在上半平面(含实轴)．
3．复数z ＝－2i －1，则复数z 在复平面内对应的点位于( )．
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．复数z ＝m －2－(4－m 2)i ，且复数z 在复平面内的点位于虚轴上，则m 的值为( )．
A ．0
B ．2
C ．－2
D ．±2
5.已知平面直角坐标系中，O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA 对应的复数是( )．
A．－5＋5i B．5－5i
C．5＋5i D．－5－5i
6.已知复数z＝a＋b i(a，b R)，复数z|z|＝2．若复数z在复平面内对应的点在第二象限，则复数z＝__________．
7.已知复数z＝a＋i(0＜a＜2)，则|z|的取值范围是__________．
．复平面内下列哪个点对应的复数是纯虚数( )．
A．(21,2) B．(－3,0)
C．(0,0) D．(0，－2)
8．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为( )．
A．一个圆 B．线段
C．两点 D．两个圆
9．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋的点在直线y＝x上，则实数m的值为__________．
10．已知复平面内，AB对应的复数为－1＋2i，AC对应的复数为－2－3i，则BC对应的复数为__________．
一、复数选择题 1．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1i z +=（ ） A ． 3155 i + B ． 1355i + C ．113 i + D ． 13 i + 2．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55??- ??? D ．43,55?? - ?? ? 3．复数()1z i i =?+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．若20212zi i =+，则z =（ ） A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i - D ．12i + 5．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．在复平面内复数Z=i （1﹣2i ）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7．若复数1z i =-，则1z z =-（ ） A B ．2 C ． D ．4 8．已知复数5 12z i =+，则z =（ ） A ．1 B C D ．5 9．设2i z i +=，则||z =（ ） A B C ．2 D ．5 10．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1 z z =+（ ） A ．1i -+ B ．1i + C ．1i -- D ．1i - 11．复数112z i =+，21z i =+（i 为虚数单位），则12z z ?虚部等于（ ）． A ．1- B ．3 C ．3i D ．i - 12．已知(),a bi a b R +∈是()()112i i +-的共轭复数，则a b +=（ ） A ．4 B ．2 C ．0 D ．1- 13．复数()()212z i i =-+，则z 的共轭复数z =（ ）
七、复数（课堂讲评） 广东历年高考 1、(07年)若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b =（ ） A ．-2 B ．12- C. 2 1 D ． 2 2、(08年)已知20< 2008年全国名校高考专题训练 13复数 一、选择题 1、(省执信中学、纪念中学、外国语学校三校期末联考)若复数 i i a 213++（a R ∈，i 为虚数 单位）是纯虚数,则实数a 的值为 （ ） A 、-6 B 、13 C.3 2 D.13 答案：A 2、(省皖南八校2008届高三第一次联考)定义运算 bc ad d c b a -=,,，则符合条件 01121=+-+i i i z ，，的复数_ z 对应的点在（ ） A ．第一象限； B ．第二象限； C ．第三象限； D ．第四象限； 答案：A 3、(省市2008届第一次调研考试)若复数()()22ai i --是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a =（ ） A.－4； B.4； C.－1； D.1； 答案：B 4、(省市2008届高三第一次模拟考试)复数 i i ?--2123=（ ） A ．－i B ．I C ． 22－i D ．－22+i 答案：B 5、(省市2008届高三第二次教学质量检测)计算 242(1)12i i i +---等于（ ） A.0 B.2 C.－4i D.4i 答案：D 6、(市东城区2008年高三综合练习一）若复数z ai z i z 且复数满足,1)1(+=-在复平面上 对应的点位于第二象限，则实数a 的取值围是（ ） A ．1>a B ．11<<-a C ．1-- 复数专项练习题 1.在复平面内，复数2(2)i -对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2已知z =(m +3)+(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） A.(－3,1) B.(－1,3) C.(1,+∞) D.(－∞, －3) 3.复数22i i -=+（ ） A.3455i - B.3455i + C. 415i - D. 315 i + 4.i 为虚数单位，则=+-2)11(i i （ ） A ．1- B. 1 C. i - D. i 5.已知a ，b R ∈，复数21i a bi i +=+，则a b +=（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．－2 6.已知复数z 满足：i z i -=+1)2(，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为（ ） A ．i 5351- B ．i 5351+ C ．i -31 D ．i +3 1 7.若复数i i a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A 、2 B 、2- C 、6 D 、6- 8. 已知复数51 i z i =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 9.设有下面四个命题 p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则12z z =； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R ．其中的真命题为（ ） A ．p 1 ，p 3 B ．p 1 ，p 4 C ． p 2 ，p 3 D ．p 2 ，p 4 10.若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ） A ．3,2==c b B ．3,2=-=c b C ．1,2-=-=c b D ．1,2-==c b 11. z 是z 的共轭复数. 若2=+z z ，（2)(=-i z z （i 为虚数单位），则=z （ ） A. i +1 B. i --1 C. i +-1 D. i -1 12.设z 是复数z 的共轭复数，且()125i z i -=，则z =（ ） A ．3 B ．5 C D 13.复数4)11(i +的值是（ ） A.－4 B.4 C.－4i D.4i 14. 设z =i i +-11+2i ，则|z |=( ) A.0 B. 21 C.1 D.2 15.设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1 2 B C D ．2 16.已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z =a +3i ，4=?z z ，则a =( ) 复数辅导教案 1已知某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为x，方差为s2，则()． A.x＝5，s2<2 B.x＝5，s2>2 C.x>5，s2<2 D.x>5，s2>2 2以下四个命题，其中正确的是()． ①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样； ②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1； ^＝0.2x＋12中，当解释变量x每增加一个单位时，预③在线性回归方程y ^平均增加0.2个单位； 报变量y ④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大． A．①④B．②④C．①③D．②③ 1．复数的有关概念 (1)复数的概念 (2)(2＋2i )3(4＋5i )(5－4i )(1－i ) ＝________. (3)已知复数z 满足i z ＋i ＝2－i ，则z ＝________. 规律方法 在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1·z 2＝|z 1|2＝|z 2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化． 1．23(1) i -等于（ ） A.32 i B.3 2i - C.i D.i - 2．复数z 满足()()25z i i --=，则z =（ ） A.22i -- B.22i -+ C.22i - D.22i + 3．若复数满足，则复数的虚部为（ ） A ． B ． C ． D ． 4．已知复数(1i)(12i)z =-+，其中i 为虚数单位，则z 的实部为（ ） A ．3- B ．1 C ．1- D ．3 5．在复平面内，复数2i i -对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 6．复数等于 A. B ． C. D. 7．复数z 满足()1i 2i Z +=，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．把复数z 的共轭复数记为z ,已知i z i 34)21(+=+,则z 等于( ) A ．i 21+ B ．i 21- C ．i -2 D ．i +2 z i z i +=-3)21(z 37-i 37-57i 5 7(1)i i -1i +1i -+1i --1i - 一、变化规则 1、一般情况下直接在词尾加s 例：book---books apple---apples orange---_________ tiger---_________ girl---__________ banana---_________ lemon---__________ pencil---_________ 2、以s,x,sh,ch结尾的单词，加es 例：bus---buses box---boxes fish---fishes beach---beaches class--- fox--- beach--- watch--- 3、以f或fe结尾的单词，把f或fe变成v加es 例：leaf---leaves knife--- (刀) wife--- （妻子） 4、以辅音字母加y结尾的单词，把y变i加es 例：fly---flies butterfly---_______ library---_______ baby---_____ puppy---______ 二、选择单词的适当形式填空，写在横线上。 1. It’s so hot. I want to eat an ________. Do you like ______?( ice-cream, ice creams) 2.There are many_________(animal,animals) in the zoo.I like ________.( giraffe,giraffes) 3. ---Can I help you? ---Three _______ (doll, dolls),please. 4. I like____________( strawberry, strawberries) because they are sweet and juicy. 5. I don’t like _______(fly, flys,flies) because they are ugly and dirty(脏的). 6. Look at the_______(baby,babys,babies). They are so cute. §7 复数的常用化简式 秒杀知识点 公式1：2(1i)2i +=，2(1i)2i -=-，2(1i)(1i)=+-． 公式2：1i i =-，1i i 1i +=-，1i i 1i -=-+． 这里只证明公式2中后两式． 【证明】：2 (1i) 1i 2i i 1i (1i)(1i)2++===--+； 2(1i) 1i 2i i 1i (1i)(1i)2 ---===-++-； 记忆方法：1i 1i +-中分子中间为正，即等于i +． 1i 1i -+中分子中间为正，即等于i - 秒杀思路分析 复数简单代数运算是高考重要考点之一，也是高考试卷中最基础题型．如能熟练掌握化简公式，即可避免出错，又能大大提高答卷速度，达到“秒杀”效果． 【示例1】（2016年天津卷文 9）i 是虚数单位，复数z 满足(1i)2z +=，则z 的实部为 ． 【示例2】（2017 年新课标全国卷Ⅰ文3）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A ．2i(1i)+ B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 【示例3】（2014 年新课标全国卷）22 (1i)(1i)+=-（ ） A ．1i + B ．2i (1i)- C ．2(1i)+ D ．i(1i)+ 方法对比 【例1】（2017年新课标全国卷Ⅱ理1）3i 1i +=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 【例2】（2017年山东卷文 2）已知i 是虚数单位，若复数z 满足i 1i z =+，则2z =（ ） A ．2i - B ．2i C ．2- D ．2 【例3】（2015 年湖南卷）已知2(1i)1i z -=+（i 为虚数单位） ，则复数z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 名词的单复数 课堂练习 一、判断下列名词是可数名词还是不可数名词，并写出他们的复数形式 1.air 2.baby 3.beach 4.beef 5.boat 6.book 7.box 8.boy 9.bread 10.child 11.class 12.day 13.deer 14.exercise 15.factory 16.fireman 17.foot 18.fox 19.goose 20.hand 21.horse 22.ink 23.key 24.knife 25.man https://www.doczj.com/doc/625711043.html,k 27.mouse 28.paper 29.party 30.photo 31.potato 32.rice 33.roof 34.ruler 35.sheep 36.thief 37.tiger 38.water 39.German 40.wolf 二、用所给单词的适当形式填空 1.China and Canada are big _____ (country) 2.Give me two _______ (glass) of milk. 3.He read some__________________about Zhou Enlai. (story) 4.How many _______(people) are there in your family? 5.Have you got any _________ (paper)? I want to write a letter. 6.How many _______(shelf) are there in the room? 7.I can see a ___________ standing near the door.(policeman) 8.Open your mouth. Show me your _______(tooth). 9.Those _______(pair) of gloves are for your mother. 10.Please give me some ________ (orange juice), please. 11.The ____________ (policemen) over there is my father. 12.Would you like some bottles of _________ (milk)? 13.My sister Linda is in _________ (class) Two, Grade One. 14.The room beside our classroom is ___________ (room) 301. 复数高考题 一、选择题 1.(文)下列n 的取值中，使i n=1(i 是虚数单位）的是（） A.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=5 2.（理 ）设 z 是复数， a(z) 表示满足 z n=1 的最小正整数 n ，则对虚数单位 i ，a(i) = （） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 3.（理）设z =1+i （i是虚数单位），则2+z2=( ) z A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 4.（文）设z =1+i （i是虚数单位），则2+z2=（） z A.1+i B.-1+i C.1-i D.-1-i 5.（理）在复平面内，复数z =i(1+ 2i) 对应的点位于（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 6.(理)复数3-i等于（） 1-i A. 1 +2i B.1- 2i C.2 +i D.2 -i 7.(文)复数3-i等于（） 1-i A. 1 +2i B.1- 2i C.2 +i D.2 -i 8.（理）已知Z =2+i,则复数z= （） 1＋i （A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 9.（理）i 是虚数单位，若1+ 7i =a +bi(a, b∈R) ，则乘积ab 的值是( ) 2 -i （A）－15 （B）－3 （C）3 （D）15 10.（文）i 是虚数单位，i(1+i)等于（） A．1+i B. -1-i C.1-i D. -1+i 11.（理）若复数z = (x2-1) + (x -1)i 为纯虚数，则实数x 的值为（） A．-1 B．0 C．1 D．-1或1 12.(理)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m 和n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概 一、复数选择题 1．复数2 1i =+（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i + 2．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则 1i z +=（ ） A ． 3155i + B ． 1355 i + C ．113 i + D ． 13 i + 3．若20212zi i =+，则z =（ ） A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i - D ．12i + 4．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ） A ．5 B C ．D ．5i 5．复数z 满足12i z i ?=-，z 是z 的共轭复数，则z z ?=（ ） A B C ．3 D ．5 6．已知i 为虚数单位，复数12i 1i z +=-，则复数z 在复平面上的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7．若复数z 满足()322i z i i -+=+，则复数z 的虚部为（ ） A ． 35 B ．35 i - C ． 35 D ．35 i 8．已知复数z 满足2021 22z i i i +=+-+，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3 π而得到.则21 arg()2z z -的值为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 43 π 10．若( )()3 24z i i =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．设复数z 满足41i z i = +，则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12．在复平面内，已知平行四边形OABC 顶点O ，A ，C 分别表示25-+i ，32i +，则 点B 对应的复数的共轭复数为（ ） 专训1.2 复 数 1．复数12i z i = +（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ?+=（ ） A ．2 B ．2 C ．10 D ．10 3．复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 思维导图 答题区 一．单选题（每题5分，8题，共40分） 限时：16min A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．复数 2i i -的实部与虚部之和为（ ） A ．35 B ．15 - C ． 15 D ． 35 5．已知,a b ∈R ，若2()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ） A ．2a >或1a <- B ．1a >或2a <- C ．12a -<< D ．21a -<< 6．已知i 是虚数单位，a 为实数，且3i 1i 2i a -=-+，则a ＝（ ） A ．2 B ．1 C ．-2 D ．-1 7．设a +∈R ，复数()() () 24 2 121i i z ai ++=-，若1z =，则a =（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 8．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,1)，则z i =（ ） A ．1i - B ．1i -- C ．1i -+ D ．1i + 9．已知复数202011i z i +=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ） A ．z 的实部为2 B ．z 的虚部为1 C ．2z i = - D ．|2|z = 10．若复数351i z i -= -，则（ ） A ．17z = B ．z 的实部与虚部之差为3 C ．4z i =+ D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 11．已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是（ ） 二．多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分，4题，共20分） 限时：10min 可数名词变复数的规则教案 教学目标： 1. 能够理解可数名词的含义。 2. 能够理解可数名词变复数的规则。 3. 能够准确运用可数名词变复数的规则。 教学重难点： 1. 能够理解可数名词变复数的规则。 2. 能够准确运用可数名词变复数的规则。学情分析：学生能够分辨出单词的词性是否属于名词，但对于可数名词和不可数名词的区分，概念上还是有些模糊。特别是对于可数名词复数形式的理解及运用还存在一定问题。 教学步骤： 一. 开课导入： 1. A guessing game:What ' s in the pencil case ? How many _________ in the pencil case? 2. 点题： 二.新授课：（通过PPT呈现） 1. 什么是名词？名词的分类有哪些？ 2. 什么是可数名词？它有哪两种形式？ 3. 自主学习微课-- 可数名词变复数的规则 4. 组内交流你所记得的可数名词变复数的规则，比比谁记的多？ 5. 对子间互相考一考：一人说单词，一人说出对应的复数形式，看谁说对的个数多？ 三．巩固操练：名词可数变复数专项练习名词可数变复数专项练习一．写出下列名词复数 leaf _____ box _______ knife _______ fox _____ bus _____ dish _________ ruler _________ glass _______ pencil _______ boy _________ zoo _______ man ________ sheep ______ key ______ story _______ bamboo _______ family _____ day _____ fish_____ goose _______ Chinese ______ deer ______ foot _____ child _______ tooth _____ hero _______ boss ___ monkey ______ 二．用所给的单词的复数的正确形式填空：1>I have two (pencil-box). 2>There are three _____ (chair) in the classroom. 3>These ______ (tomato) are red. 4> ____ (hero) are great. 5>My brother looks after two ____ (baby) 6>There are some _____ (deer) eating the grass. 7>My father likes to eat _____ (potato). 8>Chinese ____ (people)like to eat noodles. 9>I have a lot of _____ (toy) in my bedroom. 学科教师辅导讲义 年级：高二辅导科目：数学课时数： 课题复数的概念和复数的坐标表示 教学目的 1、理解复数集、复数的代数形式、实部与虚部的概念； 2、理解两个复数相等的概念； 3、理解复数与向量之间的关系，为用向量的方法处理复数的加减法打下基础； 4、掌握复数模的概念，理解复数的模与向量模的关系，复数模与实数绝度值的关系。 教学内容 【知识梳理】 1.虚数单位i: ()1它的平方等于1-，即21 i=-; ()2实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. 2.i与－1的关系:i就是1-的一个平方根，即方程21 x=-的一个根，方程21 x=-的另一个根是i-. 3.i的周期性：41n i i +=, 421 n i+=-, 43n i i +=-, 41 n i=. 4.复数的定义：形如(,) a bi a b R +∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示 5.复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即(,) z a bi a b R =+∈，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式. 6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,) a bi a b R +∈，当且仅当0 b=时，复数(,) a bi a b R +∈是实数a；当0 b≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0 a=且0 b≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0 a b ==时，z就是实数0 7.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 苘苘 8.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a，b，c，d R ∈，那么a bi c di +=+?a c=,b d = 复数专题训练（一） 班级________ 姓名__________ 记分___________ 一、选择： 1、设z0=1，z1=2＋i Z0顺时针旋转900Z2对 应的复数是（） (A)i (B)-1＋i (C)1-i (D)2-i 2、非零复数z1、z2为坐标原点)，若 ，则（） (A)O、Z1、Z2三点共线(B)ΔOZ1Z2是等边三角形 (C)ΔOZ1Z2是直角三角形(D)以上都不对 3、把复数2-i对应的向量，按顺时针方向旋转900，所得向量对应的复数是( ) (A)2+i (B)-2-i (C)-1-2i (D)1+2i 4、复数∈R，b≠0)所表示的图形是( ) (A)直线(B)圆(C)抛物线(D)双曲线 5、若z1、z2、z3是复数，则这三个复数相等是(z1-z2)2＋(z2-z3)2＝0的( ) (A)充分条件(B)必要条件 (C)不充分又不必要条件(D)充分且必要条件 6、实系数方程x2＋ax＋b=0有虚根x=1-i是等式a＋b2=2成立的( ) (A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 7、设-1 R. 其中假命题有( ) (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 9、复平面上有点A、B，其所对应的复数分别为-3＋i和-1-3i，O为原点， 那么ΔAOB是( ) (A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等腰直角三角形(D)等边三角形 10、设复数2-i和3-i的辐角主值分别为α、β则α+β等于( ) (A)135°(B)315°(C)675°(D)585° 11、在复平面上复数i, 1, 4+2i所对应的点分别是A、B、C,则平行四边形ABCD的对角线BD的长为（） (A)5 (B)13(C)15(D) 17 12、在复数集中,一个数的平方恰好为这个数的共轭复数,具有这种特性的数一共有（） (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 教学辅导教案 学生姓名年级高二学科数学 上课时间教师姓名 课题人教版选修第三章复数综合复习 1．若a，b，c为实数，且a 2．计算：()()()() 221323123129100 100+-++-++i i i i ． 3．||1 |(23)|z z i =-+已知，求的最值． 4．1z z z -若为纯虚数，求在复平面内对应点的轨迹． （一）数系的扩充和复数的概念 1．复数的代数形式：由实数的运算类似地得到新数i 可以同实数进行加、减、乘运算，于是得到：形如()a bi a b +∈R ，的数叫做复数，并且把()z a bi a b =+∈R ，的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中的a 叫做复数的实部，b 叫复数的虚部．注意复数 132 i -的虚部是3-，而不是3i -． 2．复数相等的充要条件 a bi c di a c +=+?=且() b d a b c d =∈R ，，， 复数专题训练（四） 班级 ________ 姓名__________ 记分___________ 28、（本小题满分12分）(续前) 复数z 1、z 2满足|z 1|=|z 2|=1，z 1、z 2在复平面内的对应点分别为Z 1、Z 2，O 为原点． （1） 若z 2-z 1=-1，求arg 12z z ； (2) 设argz 1=α，argz 2=β，若ΔOZ 1Z 2的重心对应复数31+15 1 i ，求tg(α+β)的值． 29、（本小题满分12分） 设z 为复数，D 为满足条件||z|-1|+|z|-1=0的点Z 所构成图形的边界． （1） 若复数ω= 21 z+1-2i(z ∈D)，求ω对应点的轨迹方程； （2） 若满足条件|z+21|=|z-2 3 i|所构成的图形D /与D 有两个公共点A 、B ，OA 、OB 的倾 斜角分别为α、β（O 为原点），求cos(α+β)的值． 30、（本小题满分14分） 设无穷数列{z n }满足z 1=-1+i ，z n 在复平面上的对应点为Z n (n=1，2，…)，将向量n OZ 沿逆时针方向旋转 4 π ，且使模扩大到原来的2倍就得到向量1n OZ +． (1). 求这个数列的通项公式； (2). 已知数列的第n 项为-32，求n ； (3) .将数列{z n }中的实数项的倒数按原顺序排成一个新数列{b n }，并设S n =b 1+b 2+…+b n ，求∞ →n lim S n ． 参考答案： DCCBA AADCC BDBDD 16、10, 0 17、{-2,0,2} 18、82， π4 19、(1)Z 为实数(2)0或1或- i 2 321± 20、 3 2π ; 21、2± ; 22、(1) –1; (2) 300o ; (3) -2 3 I; (4)__________ 23、以( －1 , 0 ) 为圆心, 2为半径的圆 . 24、解析：设Z 1=cos α＋isin α,Z 2=-4(cos β＋isin β) ∵Z 1－Z 2=1－2i 3,∴?? ?-=-=-) 2(32sin 4sin ) 1(1cos 4cos ΛΛΛβαβα 复数专题训练（五） 班级 ________ 姓名__________ 记分___________ 一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．请将唯一正确结论的代号 填入题后的括号内．） 1．方程2z+|z|=2+6i 的解的情况是 （ ） A ．没有解 B ．只有一解 C ．有两解 D ．多于两解 2．复数1-cosθ+isinθ（其中2π<θ<3π）的三角形式是 （ ） A ．2sin 2θ(sin 2θ +icos 2θ) B ．-2sin 2θ[cos(π+2θ)+isin(π+2θ) ] C ．2sin 2θ[cos(2π-θ)+isin(2π-θ) ] D ．-2sin 2θ[cos(23π-2θ)+isin(23π-2 θ ) ] 3．若复数z 的共轭复数是z ，且|z|=1，则|(z+1)(z-i)|的最大值是 （ ） A ．2+2 B ．2-2 C ．1+2 D ．3+2 4．在复平面内，若点A 对应的复数为z （z ≠0），点B 对应的复数为2(sin 4 3π-icos 4 3π)z ， 则∠OAB 等于 （ ） A ．300 B ．450 C ．600 D ．900 5．设θ∈（0，2π），且θ≠π，z 1=1+cosθ+isinθ，z 2=1-cosθ+isinθ，则argz 1+argz 2 的值为 （ ） A ． 2 π B ． 2 3π C ．2 π或2 3π D ．不同于A 、B 、C 的其它答案 6．当θ∈（π，2 3π）时，复数z=(1+i)2 (sin θ+icos θ)的辐角主值是 （ ） A ．π-θ B ．2 π+θ C ．3π-θ D ．2 3π-θ 7．设P={x 1，x 2，x 3}是方程x 3 =1在复数集C 中的解集，Q={x 1x 2，x 2x 3，x 3x 1}，则P 与Q 的关 系是 （ ） A ．P ?Q B ．P ?Q C ．P=Q D ．P ∩Q=Φ 8．z 为复数，A={z||z-1|≤1}，B={z|argz ≥6 π }，在复平面内A ∩B 所表示图形的面积为（ ） A ．65π B ．6 5π-43 C ．65π-41 D ．3π-43 9．使(3-i)m =(1+i)n 的最小的自然数n 、m 是 （ ） A ．n=3，m=6 B ．m=3，n=6 C ．m=n=3 D ．m=n=6 10．复数z 满足argz=4 3 π，则|z-3i|+|z-3-3i|的最小值为 （ ） A ．32 B ．35 C ．1+32 D ．1+35 复数的几何意义 [基础练] 一、选择题 1．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，则下列各式正确的是( ) A ．z 1＞z 2 B ．z 1＜z 2 C ．|z 1|＞|z 2| D ．|z 1|＜|z 2| 3．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝2＋i ，则z 2＝( ) A ．2＋I B ．－2＋i C ．2－i D ．－2－i 4．已知复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2，且a ≠1 C ．a ＝0 D ．a ＝2或a ＝0 5．在复平面内，O 为原点，向量O A →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为点B ，则向量O B → 对应的复数为( ) A ．－2－I B ．－2＋I C ．1＋2i D ．－1＋2i 二、填空题 6．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝______. 7．已知在△ABC 中，AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的复数为________． 8．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝________. 三、解答题 9．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围． 10．已知x ，y ∈R ，若x 2＋2x ＋(2y ＋x )i 和3x －(y ＋1)i 互为共轭复数，求复数z ＝x ＋y i 和z . 题型一：复数的概念 【例1】若复数() ()2321a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．1- 【例2】若复数2 (1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．1-或1 【例3】已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ） A ．()15， B ．()13， C ．(1 D ．(1 【例4】若复数(2)i bi ?+是纯虚数，则实数b = ． 【例5】设1z 是复数，211z z iz =-（其中1z 表示1z 的共轭复数），已知2z 的实部是1-，则2z 的虚部为 ． 【例6】复数3 2 1i + =（ ） A ．12i + B ．12i - C ．1- D ．3 【例7】计算：0! 1! 2! 100!i +i +i + +i = （i 表示虚数单位） 22典例分析 复数 C ．z 不是纯虚数 D ．z 是虚数 【例9】在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小； ②若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =±； ③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ； ④若a b ，是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数； ⑤z ∈R 的一个充要条件是z z =． ⑥1z =的充要条件是1 z z =． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 题型二：复数的几何意义 【例10】复数i i z -+=1)2(2 （i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例11】复数13i z =+，21i z =-，则复数 1 2 z z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例12】在复平面内，复数2009 2 1i (1i)+-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例13】在复平面内，复数sin2cos2z i =+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例14】在复平面内，复数 2 1i +对应的点与原点的距离是（ ） A ． 1 B ． C ．2 D ．全国名校高考专题训练-复数
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