概率论与数理统计复习题（1）
一．填空.
1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。若A 与B 独立，则=-)(B A P ；若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0，则=-)(B A P 。 2．)()(B A p AB p =且
2.0)(=A P ，则=)(B P 。
3．设),(~2
σμN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥= =>}0{X P 。 4．1)()(==X D X E 。若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。 5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P 6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。 7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独立，则=-<-<-}12{Y X P （用Φ表示），=XY ρ 。 8．已知X 的期望为5，而均方差为2，估计≥<<}82{X P 。 9．设1?θ和2 ?θ均是未知参数θ的无偏估计量，且)?()?(2221θθE E >，则其中的统计量 更有效。 10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。 二．假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求： （1）该时期内这个地区遭受水灾的概率； （2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。 三．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。（1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概率。 四．X 的概率密度为?? ?<<=其它 ,0,0 ,)(c x kx x f 且E(X)=32 。（1）求常数k 和c ；(2) 求X 的分布函数F(x)； 五．（X,Y ）的概率密度 ?? ?<<<<+=otherwise ,02 0,42 ),2(),(y x y kx y x f 。求 （1）常数k ； （2）X 与Y 是否独立；（3）XY ρ； 六．.设X ，Y 独立，下表列出了二维随机向量（X ，Y ）的分布，边缘分布的部分概率，试将 其余概率值填入表中空白处. 七．. 某人寿保险公司每年有10000人投保，每人每年付12元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付1000元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为0.006。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于60000元的概率. 概率与数理统计复习题（1） 一、填空 1.P(A-B)=0.28 P(A-B)=0.3 ??? ??????? P(A)=0.4分析: P(B)=0.3 P(AB)=0.28 A,B 独立 P(AB)=P(A)*P(B)=0.12 P(AB)+P(AB)=P(A) ()0.1()0.3()0.4P AB P AB P A =?? ??=??=? ?P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A+B)=0.6 P(A)=0.4 P(B)=0.3 2.()0.8P B = [] )1()1()()()1()()0()0.8 ()0.2P A B P A P B P AB P A P B P B P A =-+=-+-? --=? ?=?=? 分析: P(AB)=P(AB)=P(A+B {}23.0.8μ== P ｘ>0 {}{}{}{}{}{}{}{}{}:2202221x 01(0)1142222240.3(4)(2)0.30.30x 2x 21x 22x 2120.5(2)0.50.50P P P F P x F F P P P P P F μμσσσσσσσμσ-=--=-≤=-=-Φ=-Φ=Φ--<<=?-=?Φ-Φ=?Φ==≥?<=- ?? ?????? ? ? ??????? ?????? ? ? ? ??????分析 x>0ｘ<2 ｘ<2{}00.8 .8P x >=? ?? ????? {}{}4.1 010P P x x e ≠=-≠ =1 {}{}{}{}{}k 11x k e P x=k e k!x , k!x 01x 0x x 111 x 01e P P P E D P λ λλ--?? === ?? ?? ????≠=-===?=?? ≠=- 分析: a. 服从泊松分布则 {}{}{}x x 0x 01x 01P P =?≠=-==ｂ.服从均匀分布,属连续分布,则P =0 {}65.x n 0.4P == {}n n n-n n n :x ~b(n,p)x np n 6p x np(1-p)x~b(n,p)P x=n p q p E(x)=2.4 D(x)=1.44 E D C ?=? ?=??? =????==???? 分析 =0.4 {}6x n 0.4P == 6.(x 2y 1)6D -+= :(x 2y 1)(x 2y)x (2y)cov(x,2y)x 4y 2cov(x,y)x 4y-2(Exy-ExEy)(x 2y 1)6 E(x)=E(y)=0 Dx=Dy=2 Exy=1D D D D D D D D D -+=-=++-=+-=+??-+=?? 分析 {}1 7.2x y 1()0.5xy 05 P P -<-<-=Φ-= {}2 x ~(0,9) x y~N(-1,5)(x y)x y 011:y ~(1,16)(x y)x y 91625x y (1)(2)x,y N E E E N D D D F F ??-=-=-=-???? ??? ????-=+=+==---??? ??? - 分析P -2<-<-1相互独立{ }x y x y cov(x,y)=0xy ρρΦΦΦΦΦ??? ???? -1-(-1)-2-(-1)11 P -2<-<-1=( )-()=(0)-(-)=()-0.55555 ,相互独立 =0 {}x ≥7 8.P 2<<8 9 {}{}{}{}2 2x x x 127x x x 53x 53139x 2D P P D εε?<≥- ??? ?=- ?? =? ?? P -E 分析:由切比雪夫不等式 E =5 P 2<<8^ 29.θ ^^^^ 1222^ ^ ^ ^ ^ ^ 2 2 2 2^^^111111122^ ^ ^ ^ ^ ^ 2 2 2 222222^ ^ 12()()()()()()()(): ()()()()()()()()()() E E E D E E E D E D D D E E E D E E E θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ??==? ?=-?=+? ?>???=-?=+??>? 与均是未知参数的无偏估计分析更有效 10.,,高小变大 12:()0.10.20.030.27()0.030.3P B P A A ?? ???????=+-=?? ?=?? ????=????? 121212*********二.解:A 甲河流泛滥 A :乙河流泛滥 B:某地区受灾 P(B)=P(A +A )=P(A )+P(A )-P(A A ) P(A )=0.1(1)P(A )=0.2A P(A A ) P()=0.3A P(A ) 120.03(2)( )0.150.2 A P A ===122P(A A )P(A ) i 123 3 3 i i 3i i 3i 1i 1 i i 22 2 .:( )0.2,()0.6,()1()()*()*(0.3)(0.7)*()0.2286()*( )( )0.496 () A B B B B P P P A A A B B P B P A P C P A A B P A P A A P B P B -============∑∑三解设敌机中了弹 敌机被击落 四、解：由密度函数的性质及数学期望的定义，有 ① ?????==?c c x f x f x 00 1)(32 )( 即 ?????==c c kxdx dx kx 00 21 32 }?{ 1 2 ==c k ②由①知x 的密度函数为{ 1020)(<<= x x x f 其他 当x 时0≤ ()0=x F ； 当10< 2x tdt dt t f x F x x == =? ? ∞ - 当1≥x 时 ()()? ? == = ∞ -1 12xdx dt t f x F x () 11010 2≥<<∞≤?? ? ??=∴x x x x x F 五、由（x 、y ）联合密度的性质有： ①． ()??+∞∞-+∞ ∞-=1,dxdy y x 即()36 1 124 22 0= ?=+??k dxdy y kx ②． 由①可求出（x ，y ）的联合密度：()()其他2 0,,4202361,<<< ???+=y x y x y x f ()()()x dy y x dy y x f x f X 6 1 2361,20=+==?? ()20< ∞-26 1 2361,4 2 ()42< ()?????∴061 x x f X 其他2 0< ???+= 026 1y y f Y 其他4 2< ③． 由②知()y x ,相互独立。 0=∴xy ρ 六、略 七、解：令x 为一年内死亡人数，题中10000人投标，每人每年死亡率0.006且每人每年死亡相互独立，故x~ N （10000*0.006，10000*0.006*0.994）即x~ N （60，59.64） 设A ：保险公司一年内的利润不少于60000元。即A ：10000*12-1000x ≥6000060≤?x ()()()5.0064.59606060}60{000=Φ=??? ? ??-Φ=Φ=≤=x P A P 5.060000元的概率为不少于该保险公司一年的利润∴ 概率论与数理统计复习题（2） 一.选择题（18分，每题3分） 1．设B A ,为随机事件，且1)|(=A B P ，则必有 )(A A 是必然事件；)(B 0)|(=A B P ；)(C B A ?； )(D B A ?. 2．口袋中有6只红球，4只白球，任取1球，记住颜色后再放入口袋。共进 行4次，记X 为红球出现的次数，则X 的数学期望=)(X E ) (A 1016； )(B 1024； )(C 10 4 ； )(D 10642?. 3．设随机变量X 的分布密度函数和分布函数为)(x f 和)(x F , 且)(x f 为偶函数, 则对任意实数a ,有 )(A ?-= -a dx x f a F 0 )(21 )( )(B ?-=-a dx x f a F 0)(1)( )(C )()(a F a F =- )(D 1)(2)(-=-a F a F 4．设随机变量X 和Y 相互独立, 且都服从)1,0(区间上的均匀分布, 则仍服从 均匀分布的随机变量是 )(A Y X Z += )(B Y X Z -= )(C ),(Y X )(D ),(2Y X 5．已知随机变量X 和Y 都服从正态分布:)3,(~,)4,(~2 2 μμN Y N X , 设 )4(1+≥=μX p ,)3(2-≤=μY P p , 则 )(A 只对μ的某些值,有21p p = )(B 对任意实数μ,有21p p < )(C 对任意实数μ,有21p p > )(D 对任意实数μ,有21p p = 6．设2 2 ,),(~σσμN X 未知，则μ的置信度为%95的置信区间为 )(A )(025.0t n X σ ± )(B )(025.0t n S X ± )(C )(05.0t n X σ ± )(D )(05.0t n S X ± 二. 填空题（21分，每题3分） 1． 已知随机事件A ，B 有概率7.0)(=A P ，8.0)(=B P ，条件概率6.0)|(=A B P ，则 =?)(B A P ． 2. 已知随机变量),(Y X 的联合分布密度函数如下, 则常数=K =),(y x f ? ? ?≤≤≤≤-其它。,0; 0,10),1(x y x x y K 3 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75. 则射击次数的数 学期望与方差分别为)(X E = ,)(X D 4. 已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，试用),(y x F 表示概率 =>>),(b Y a X P . 5. 设321,,X X X 是取自N (,)μ1的样本，3211)22(3?X k X kX -++=μ 是μ的无偏 估计量则常数=k 6．设（621,,,X X X ）是来自正态分布)1,0(N 的样本， 26 4 2 31 )()(∑∑==+=i i i i X X Y 当c ＝ 时， cY 服从2χ分布，)(2 χE ＝ . 7．设离散型随机变量),(Y X 的联合分布律为 ),(Y X )0,1( )1,1( )0,2( )1,2( P 4.0 2.0 a b 若8.0)(=XY E ，则=),cov(Y X . 三. 计算题 （54分，每题9分） 1．某种产品分正品和次品，次品不许出厂。出厂的产品n 件装一箱，并以箱为单位出售。由于疏忽，有一批产品未经检验就直接装箱出厂，某客户打开其中的一箱，从中任意取出一件，求： （1）取出的是件正品的概率； （2）这一箱里没有次品的概率 2．设二维随机变量（X,Y ）在区域 }||,10|),({x y x y x G ≤≤≤= 上服从 均匀分布。求：边缘密度函数(),()X Y f x f y . 3．已知随机变量）；，；，091.045.0(~),(N Y X ，Y X Z -=2， 试求：方差)(Z D ，协方差)(Z X COV ，，相关系数Z X ρ 4．学校某课程的考试，成绩分优秀，合格，不合格三种，优秀者得3分，合格者得2分，不合格者得1分。根据以往的统计，每批参加考试的学生中考得优秀、合格、不合格的，各占20％、70％、10％。现有100位学生参加考试，试用中心极限定理估计100位学生考试的总分在180至200分之间的概率。 （9680.0)856.1(=Φ） 5．设12,, ,n X X X 是取自总体X 的一个样本，总体 ~X ???? ??∈=-) 1,0(, 0)1,0(,),(1 x x x x f θθθ ，)0(>θ。 试求：(1) 未知参数θ的矩估计量θ ；(2) 未知参数θ的极大似然估计量L θ ； (3) )(2 X E 的极大似然估计量. 6．某种产品的一项质量指标)(~2 σμ， N X ，在5次独立的测试中，测得数 据（单位：cm ） 1.23 1.22 1.20 1.26 1.23试检验（0.05α=） （1） 可否认为该指标的数学期望μ=1.23cm ？ （2） 若指标的标准差015.0≤σ，是否可认为这次测试的标准差显著偏大？ 附 分布数值表 99.0)33.2(,9032.0)30.1(,9474.0)62.1(,926.0)45.1(=Φ=Φ=Φ=Φ 0150 .2)5(,1318.2)4(,5706.2)5(,7764.2)4(05.005.0025.0025.0====t t t t 711.0)4(,488.9)4(,484.0)4(,143.11)4(295.0205.02975.02025.0====χχχχ 概率论与数理统计复习题（2）答案 一. 选择题（18分，每题3分） c b a c d b 二. 填空题（21分，每题3分） 1． 62.0； 2． 24； 3． 4/3 9/4 4． ),(),(),(1b F a F b a F +∞-∞+-+； 5． 4 ； 6． 1/3 2； 7． 0,1 三. 计算题（54分，每题9分） 1． 解：令 A={取出为正品}， t B ={箱子中有t 个正品}，n t ,,2,1,0 = . 由已知条件，11)(+= n B P t ，n t B A P t =)(,n t ,,2,1,0 =， （1）由全概率公式，∑∑===+==n t t t n t t n n B A P B P A P 00 21 111)()()(, （2）由Bayes 公式，) 1(21 ) () ()()(+= = n A P B A P B P A B P n n n . 2. 解： ?? ?<<=其他 102)(x x x f X ?? ? ??<<-<<-+=其他 01010 11)(y y y y y f Y 3．解：9.0)(=Z E 25)(=Z D 8),cov(=Z X 5 4 = XZ ρ 4．解：设i X 为第I 位学生的得分)100,2,1( =i ，则总得分∑== 100 1 i i X X 9.1)(=i X E 29.0)(=i X D 199.1100)(=?=X E 29.0100)(?=X D )29 190180()29190 200( )200180(-Φ--Φ=< 936.01)856.1(2=-Φ= 5．解：（1） 矩估计量 2 1??? ? ? ?-=X X θ （2） 极大似然估计量 2 12 ln ?? ? ??= ∑-n i i L X n θ （3） )(2 X E 的极大似然估计量 ∑=+=+=n i i L L X n n X E 12 22 2)ln (22 )(?θθ 7. 解：（1）假设 01: 1.23;: 1.23H H μμ=≠. 当0H 为真，检验统计量 )1(~/0--= n t n S X T μ 0.0252 (1)(4) 2.7764t n t α-== ， 拒绝域 (, 2.7764][2.7764,)W =-∞-?+∞ 221.246,0.0288x s ==， [ 22 1.23,0.0224x s == ] 0 1.242T W =?，接受0H . [ W T ∈=571.30，拒绝0H ] （2）假设 2222 01:0.015;:0.015H H σσ=>. 当0H 为真，检验统计量 )1(~)1(220 2 2 --= n S n χσχ 220.05(1)(4)9.488n αχχ-==， 拒绝域 [9.488,)W =+∞. 2014.86W χ=∈，拒绝0H . 概率论与数理统计复习题（3） 一．判断题（10分，每题2分） 1. 在古典概型的随机试验中，0)(=A P 当且仅当A 是不可能事件 ( ) 2．连续型随机变量的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 相互唯一确定 ( ) 3．若随机变量X 与Y 独立，且都服从1.0=p 的 (0，1) 分布，则Y X = ( ) 4．设X 为离散型随机变量, 且存在正数k 使得0)(=>k X P ，则X 的数学期望 )(X E 未必存在( ) 5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第 二类错误的概率不能同时减少 ( ) 二．选择题（15分，每题3分） 1. 设每次试验成功的概率为)10(< 得)1(n r r ≤≤ 次成功的概率为 . (a) r n r r n p p C ----)1(1 1； (b) r n r r n p p C --) 1(； (c) 111 1)1(+-----r n r r n p p C ； (d) r n r p p --)1(. 2. 离散型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则==)(k x X P . (ａ) )(1k k x X x P ≤≤-； (ｂ) )()(11-+-k k x F x F ； (ｃ) )(11+-< 3. 设随机变量X 服从指数分布，则随机变量)2003,(max X Y =的分布函 数 . (ａ) 是连续函数； (ｂ) 恰好有一个间断点； (ｃ) 是阶梯函数； (ｄ) 至少有两个间断点. 4. 设随机变量),(Y X 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则 方差=-)23(Y X D . (ａ) 40； (ｂ) 34； (ｃ) 25.6； (ｄ) 17.6 5. 设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2 N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正 确的是 . (ａ) )(~/21 n t n X -； (ｂ) )1,(~)1(4112n F X n i i ∑=-； (ｃ) )1,0(~/21 N n X -； (ｄ) )(~)1(41212n X n i i χ∑=-. 二. 填空题（28分，每题4分） 1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取 一个, 则第二次才取到正品的概率为 2. 设连续随机变量的密度函数为)(x f ，则随机变量X e Y 3=的概率密度函数 为=)(y f Y 3. 设X 为总体)4,3(~N X 中抽取的样本(4321,,,X X X X )的均值, 则 )51(<<-X P ＝ . 4. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ? ??<<<=他其,0; 10,,1),(x x y y x f 则条件密度函数为,当 时 ,=)(x y f X Y 5. 设)(~m t X ,则随机变量2 X Y =服从的分布为 ( 需写出自由度 ) 6. 设某种保险丝熔化时间),(~2 σμN X （单位：秒），取16=n 的样本，得 样本均值和方差分别为36.0,152==S X ，则μ的置信度为95%的单侧 置信区间上限为 7. 设X 的分布律为 X 1 2 3 P 2θ )1(2θθ- 2)1(θ- 已知一个样本值)1,2,1(),,(321=x x x ，则参数的极大似然估计值 为 三. 计算题（40分，每题8分） 1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的 概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认 为是合格品的产品确实是合格品的概率 2．设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 分别服从参数为)(,μλμλ≠的指数 分布，试求Y X Z 23+=的密度函数)(z f Z . 3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为1=λ 的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率. 4. 总体),(~2 σμN X ，),,,(21n X X X 为总体X 的一个样本. 求常数 k , 使∑ =-n i i X X k 1 为σ 的无偏估计量. 5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力),(~2 σμN X （单位：kg ）. 已知8=σ kg ， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中 随机抽取10个样品，测得样本均值2.575=x kg . 问这批特种金属丝的 平均折断力可否认为是570 kg ？ （%5=α） （2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布)048.0,(2 μN . 某日抽取 5个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . 问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用%10=α作假设检验. 四. 证明题（7分） 设随机变量Z Y X ,,相互独立且服从同一贝努利分布),1(p B . 试证明随机变量 Y X +与Z 相互独立. 附表： 标准正态分布数值表 2 χ分布数值表 t 分布数值表 6103.0)28.0(=Φ 488.9)4(2 05.0=χ 1315.2)15(025.0=t 975.0)96.1(=Φ 711.0)4(295.0=χ 7531.1)15(05.0=t 9772.0)0.2(=Φ 071.11)5(205.0=χ 1199.2)16(025.0=t 9938.0)5.2(=Φ 145.1)5(295.0=χ 7459.1)16(05.0=t 概率论与数理统计复习题（3）参考答案 一. 判断题（10分，每题2分） 是 非 非 非 是 . 二. 选择题（15分，每题3分） （ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）. 三. 填空题（28分，每题4分） 1.1/22 ； 2. ? ? ?≤>=0 00)])3/[ln()(1y y y f y f y Y ； 3.0.9772 ； 4. 当10< 其0 ) 2/(1)(x y x x x y f X Y ； 5. ),1(m F 6. 上限为 15.263 . 7. 5 / 6 . 四. 计算题（40分，每题8分） 1. A 被查后认为是合格品的事件，B 抽查的产品为合格品的事件. (2分) 9428.005.004.098.096.0)()()()()(=?+?=+=B A P B P B A P B P A P ， (4分) .998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P (2分) 2. ?? ?>=-其他0 )(x e x f x X λλ ???>=-其他 0)(y e y f y Y μμ (1 分) 0≤z 时，0)(=z F Z ，从而 0)(=z f Z ； (1分) 0≤z 时， ? ∞+-∞-= dx x z f x f z f Y X Z ]2/)3[()()(2 1 (2分) )(232/3/3/0 ]2/)[(2 1z z z x z x e e dx e μλμλλ μλμ λμ-------= = ? (2分) 所以 ??? ??≤>--=--0, 00),(23)(2/3/z z e e z f z z Z μλλ μλμ [ ??? ??≤>--=--0 , 00),(32)(3/2/z z e e z f z z Z μλλ μλμ ] (2分) 3. 设 i X 为第i 周的销售量, 52,,2,1 =i i X )1(~P (1分) 则一年的销售量为 ∑== 52 1 i i X Y ，52)(=Y E , 52)(=Y D . (2分) 由独立同分布的中心极限定理，所求概率为 1522521852185252522)7050(-? ?? ? ??Φ+???? ??Φ≈???? ??<-<-=< 4. 注意到 5. (1) 要检验的假设为 570:,570:10≠=μμH H (1分) 检验用的统计量 )1,0(~/0 N n X U σμ-= ， 拒绝域为 96.1)1(025.02 ==-≥z n z U α. (2分) 96.106.21065.010 /85702.5750>==-= U ，落在拒绝域内， 故拒绝原假设0H ，即不能认为平均折断力为570 kg . [ 96.1632.0102.010 /92.5695710<==-= U , 落在拒绝域外， ()n i i X X n X X n X X ---+--= - )1(1 21) 2(1)(,0)(2 分σ n n X X D X X E i i -=-=-) 1(1,0~2分??? ??--σn n N X X i dz e n n z X X E n n z i 2 2 12121|||)(|σσ π--∞+∞ -?-=-dz e n n z n n z 22 120 121 2σσ π-- ∞ +? -=) 3(122分σ πn n -=? ? ? ??-=??? ??-∑ ∑==n i i n i i X X E k X X k E 1 1||||σπ n n kn 122-=σ 令=） 分（2) 1(2-= n n k π 故接受原假设0H ，即可以认为平均折断力为571 kg . ] (1分) (2) 要检验的假设为 2 21220048.0:,048.0:≠=σσH H (1分) [2 2122079.0:,79.0:≠=σσH H ] 检验用的统计量 )1(~)(220 2 5 1 2--= ∑=n X X i i χσχ， 拒绝域为 488.9)4()1(2 05.022==->χχχαn 或 711.0)4()1(2 95.0212 2 ==-< -χχχαn (2分) 41.1=x [49.1=x ] 488.9739.150023.0/0362.02 0>==χ, 落在拒绝域内， [711.0086.06241.0/0538.02 0<==χ,落在拒绝域内，] 故拒绝原假设0H ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1分) 五、证明题 (7分) 由题设知 X 0 1 Y X + 0 1 2 P p q P 2q pq 2 2p (2分) )0()0()0,0(3==+====+Z P Y X P q Z Y X P ； )1()0()1,0(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ； )0()1(2)0,1(2 ==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ； )1()1(2)1,1(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ； )0()2()0,2(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ； )1()2()1,2(3==+====+Z P Y X P p Z Y X P . 所以 Y X +与Z 相互独立. (5分) 概率论与数理统计复习题（4）及参考答案 1： 6,,另44,1人.___________种. 个毕业生两个留校人分配到个不同单位每单位则分配方法有 答.360)3456(=??? 2： 3： 4： 5： 6： 7： 8： 9 ： 10： . _______,,,那么只有和为了同时减少的概率为犯第二类取伪错误设假设检验中犯第一类弃真错误的概率为βαβα 答：增大样本容量 二： 11： 12： 13： 14： 全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布， 一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3．下列命题 不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立 ； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数 为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥= 第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜 色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ 《概率论与数理统计》实验报告 学生姓名李樟取 学生班级计算机122 学生学号201205070621 指导教师吴志松 学年学期2013-2014学年第1学期 实验报告一 成绩 日期 年 月 日 实验名称 单个正态总体参数的区间估计 实验性质 综合性 实验目的及要求 1．了解【活动表】的编制方法； 2．掌握【单个正态总体均值Z 估计活动表】的使用方法； 3．掌握【单个正态总体均值t 估计活动表】的使用方法； 4．掌握【单个正态总体方差卡方估计活动表】的使用方法； 5．掌握单个正态总体参数的区间估计方法． 实验原理 利用【Excel 】中提供的统计函数【NORMISINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值Z 估计活动表】，在【单个正态总体均值Z 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【总体标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 1设总体2~(,)X N μσ，其中2σ已知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为 样本的观测值 于是得到μ的置信水平为1-α 的置信区间为 利用【Excel 】中提供的统计函数【TINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值t 估计活动表】，在【单个正态总体均值t 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【样本标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 2.设总体2~(,)X N μσ，其中2 σ未知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为样本的观测值 整理得 /2/21X z X z n n P αασαμσ? ?=-??? ?-<<+/2||1/X U z P n ασμα????==-??????- 第1章随机事件及其概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的 华东师范大学期末试卷 概率论与数理统计 一． 选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿 命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、 A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X , 概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1 概率论与数理统计 实验报告 概率论部分实验二 《正态分布综合实验》 实验名称：正态分布综合实验 实验目的：通过本次实验，了解Matlab在概率与数理统计领域的应用，学会用matlab做概率密度曲线，概率分布曲线，直方图，累计百分比曲线等简单应用；同时加深对正态分布的认识，以更好得应用之。 实验内容： 实验分析： 本次实验主要需要运用一些matlab函数，如正态分布随机数发生器normrnd函数、绘制直方图函数hist函数、正态分布密度函数图形绘制函数normpdf函数、正态分布分步函数图形绘制函数normcdf等；同时，考虑到本次实验重复性明显，如，分别生成100,1000,10000个服从正态分布的随机数，进行相同的实验操作，故通过数组和循环可以简化整个实验的操作流程，因此，本次实验程序中要设置数组和循环变量。 实验过程： 1.直方图与累计百分比曲线 1）实验程序 m=[100,1000,10000]; 产生随机数的个数 n=[2,1,0.5]; 组距 for j=1:3 for k=1:3 x=normrnd(6,1,m(j),1); 生成期望为6，方差为1的m(j)个 正态分布随机数 a=min(x); a为生成随机数的最小值 b=max(x); b为生成随机数的最大值 c=(b-a)/n(k); c为按n(k)组距应该分成的组数 subplot(1,2,1); 图形窗口分两份 hist(x,c);xlabel('频数分布图'); 在第一份里绘制频数直方图 yy=hist(x,c)/1000; yy为各个分组的频率 s=[]; s(1)=yy(1); for i=2:length(yy) s(i)=s(i-1)+yy(i); end s[]数组存储累计百分比 x=linspace(a,b,c); subplot(1,2,2); 在第二个图形位置绘制累计百分 比曲线 plot(x,s,x,s);xlabel('累积百分比曲线'); grid on; 加网格 figure; 另行开辟图形窗口，为下一个循 环做准备 end end 2）实验结论及过程截图 实验结果以图像形式展示，以下分别为产生100,1000,10000个正态分布随机数，组距分别为2,1,0.5的频数分布直方图和累积百分比曲线，从实验结果看来，随着产生随机数的数目增多，组距减小，累计直方图逐渐逼近正态分布密度函数图像，累计百分比逐渐逼近正态分布分布函数图像。 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． 《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量 probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律 概率论与数理统计实验报告 一、实验目的 1.学会用matlab求密度函数与分布函数 2.熟悉matlab中用于描述性统计的基本操作与命令 3.学会matlab进行参数估计与假设检验的基本命令与操作 二、实验步骤与结果 概率论部分： 实验名称：各种分布的密度函数与分布函数 实验内容： 1.选择三种常见随机变量的分布，计算它们的方差与期望<参数自己设 定）。 2.向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5,。记正面向上的次数 为x， （1）计算x=45和x<45的概率， （2）给出随机数x的概率累积分布图像和概率密度图像。 3.比较t(10>分布和标准正态分布的图像<要求写出程序并作图）。 程序： 1.计算三种随机变量分布的方差与期望 [m0,v0]=binostat(10,0.3> %二项分布，取n=10,p=0.3 [m1,v1]=poisstat(5> %泊松分布，取lambda=5 [m2,v2]=normstat(1,0.12> %正态分布，取u=1,sigma=0.12 计算结果： m0 =3 v0 =2.1000 m1 =5 v1 =5 m2 =1 v2 =0.0144 2.计算x=45和x<45的概率，并绘图 Px=binopdf(45,100,0.5> %x=45的概率 Fx=binocdf(45,100,0.5> %x<45的概率 x=1:100。 p1=binopdf(x,100,0.5>。 p2=binocdf(x,100,0.5>。 subplot(2,1,1> plot(x,p1> title('概率密度图像'> subplot(2,1,2> plot(x,p2> title('概率累积分布图像'> 结果： Px =0.0485 Fx =0.1841 3.t(10>分布与标准正态分布的图像 subplot(2,1,1> ezplot('1/sqrt(2*pi>*exp(-1/2*x^2>',[-6,6]> title('标准正态分布概率密度曲线图'> subplot(2,1,2> ezplot('gamma((10+1>/2>/(sqrt(10*pi>*gamma(10/2>>*(1+x^2/10>^(-(10+1>/2>',[-6,6]>。b5E2RGbCAP title('t(10>分布概率密度曲线图'> 结果： 《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件： （1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式： 设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率） 乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式： （全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 （贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性： 两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数: 概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9） 6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P 一、《概率论与数理统计（经管类）》考试题型分析： 题型大致包括以下五种题型，各题型及所占分值如下： 由各题型分值分布我们可以看出，单项选择题、填空题占试卷的50%，考查的是基本的知识点，难度不大，考生要把该记忆的概念、性质和公式记到位。计算题和综合题主要是对前四章基本理论与基本方法的考查，要求考生不仅要牢记重要的公式，而且要能够灵活运用。应用题主要是对第七、八章内容的考查，要求考生记住解题程序和公式。结合历年真题来练习，就会很容易的掌握解题思路。总之，只要抓住考查的重点，记住解题的方法步骤，勤加练习，就能够百分百达到过关的要求。二、《概率论与数理统计（经管类）》考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识点。第一章随机事件与概率 1．随机事件的关系与计算 P3-5 （一级重点）填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念 2．古典概型中概率的计算 P9 （二级重点）选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式 3. 利用概率的性质计算概率 P11-12 （一级重点）选择、填空 ,（考得多）等，要能灵活运用。 4. 条件概率的定义 P14 （一级重点）选择、填空记住条件概率的定义和公式： 5. 全概率公式与贝叶斯公式 P15-16 （二级重点）计算记住全概率公式和贝叶斯公式，并能够运用它们。一般说来，如果若干因素（也就是事件）对某个事件的发生产生了影响，求这个事件发生的概率时要用到全概率公式；如果这个事件发生了，要去追究原因，即求另一个事件发生的概率时，要用到贝叶斯公式，这个公式也叫逆概公式。 6. 事件的独立性（概念与性质） P18-20（一级重点）选择、填空定义：若，则称A与B 相互独立。结论：若A与B相互独立，则A与，与B 与都相互独立。 7. n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率公式 P21（一级重点）选择、填空在重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为（），则事件A恰好发生。第二章随机变量及其概率分布 8．离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 P29，P31（一级重点）选择、填空、计算、综合。记住分布律中，所有概率加起来为1，求概率时，先找到符合条件的随机点，让后把对应的概率相加。求分布律就需要找到随机变量所有可能取的值，和每个值对应的概率。 9. 常见几种离散型分布函数及其分布律 P32-P33（一级重点）选择题、填空题以二项分布和泊松分布为主，记住分布律是关键。本考点基本上每次考试都考。 10. 随机变量的分布函数 P35-P37（一级重点）选择、填空、计算题记住分布函数的定义和性质是关键。要能判别什么样的函数能充当分布函数，记住利用分布函数计算概率的公式：①；②其中；③。 11. 连续型随机变量及其概率密度 P39（一级重点）选择、填空重点记忆它的性质与相关的计算，如①；；反之，满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度。③；④ 设为的 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = , P(B) = , P(B|A ) = , 则P(A|B ) = P( A ∪B) = 2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为1 9 ，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ； 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：,0 ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??为未知参数，12,, ,n X X X 为其样本，1 1n i i X X n ==∑为样本均值， 则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置 信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 第五章 数理统计的基本概念 一. 填空题 1. 设X 1, X 2, …, X n 为来自总体N(0, σ2 ), 且随机变量)1(~) (22 1 χ∑==n i i X C Y , 则常数 C=___. 解. ∑=n i i X 1 ~ N(0, n σ2 ), )1,0(~1 N n X n i i σ ∑= 所以 2 1,1σ σ n c n c = = . 2. 设X 1, X 2, X 3, X 4来自正态总体N(0, 22)的样本, 且2 43221)43()2(X X b X X a Y -+-=, 则a = ______, b = ______时, Y 服从χ2分布, 自由度为______. 解. X 1－2X 2～N(0, 20), 3X 3－4X 4～N(0, 100) )1,0(~2022 1N X X -, )1,0(~1004343N X X - 20 1 ,20 1 = = a a ; 100 1,100 1 = = b b . Y 为自由度2的χ2分布. 3. 设X 1, X 2, …, X n 来自总体χ2(n)的分布, 则._____)(______,)(==X D X E 解. 因为X 1, X 2, …, X n 来自总体χ2(n), 所以 E(X i ) = n, D(X i ) = 2n (i = 1, 2, …, n) ,)(n X E = 22) ()(2 2 1=?= =∑=n n n n X D X D n i i 二. 单项选择题 1. 设X 1, X 2, …, X n 为来自总体N(0, σ2 )的样本, 则样本二阶原点矩∑==n i i X n A 1 2 21的方差为 (A) σ2 (B) n 2 σ (C) n 42σ (D) n 4 σ 解. X 1, X 2, …, X n 来自总体N(0, σ2), 所以 概率论与数理统计数学实验 目录 实验一几个重要的概率分布的MATLAB实现 p2-3 实验二数据的统计描述和分析 p4-8 实验三参数估计 p9-11 实验四假设检验 p12-14 实验五方差分析 p15-17 实验六回归分析 p18-27 实验一 几个重要的概率分布的MATLAB 实现 实验目的 (1) 学习MATLAB 软件与概率有关的各种计算方法 (2) 会用MATLAB 软件生成几种常见分布的随机数 (3) 通过实验加深对概率密度，分布函数和分位数的理解 Matlab 统计工具箱中提供了约20种概率分布，对每一种分布提供了5种运算功能，下表给出了常见8种分布对应的Matlab 命令字符，表2给出了每一种运算功能所对应的Matlab 命令字符。当需要某一分布的某类运算功能时，将分布字符与功能字符连接起来，就得到所要的命令。 例1 求正态分布()2,1-N ，在x=1.2处的概率密度。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： normpdf(1.2,-1,2) 结果为： 0.1089 例2 求泊松分布()3P ，在k=5，6，7处的概率。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： poisspdf([5 6 7],3) 结果为： 0.1008 0.0504 0.0216 例3 设X 服从均匀分布()3,1U ，计算{}225P X .-<<。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： unifcdf(2.5,1,3)-unifcdf(-2,1,3) 结果为： 0.75000 例4 求概率995.0=α的正态分布()2,1N 的分位数αX 。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： norminv(0.995,1,2) 结果为： 6.1517 例5 求t 分布()10t 的期望和方差。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： [m,v]=tstat(10) m = 0 v = 1.2500 例6 生成一个2*3阶正态分布的随机矩阵。其中，第一行3个数分别服从均值为1，2，3；第二行3个数分别服从均值为4，5，6，且标准差均为0.1的正态分布。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： A=normrnd([1 2 3;4 5 6],0.1,2,3) A = 1.1189 2.0327 2.9813 3.9962 5.0175 6.0726 例7 生成一个2*3阶服从均匀分布()3,1U 的随机矩阵。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： B=unifrnd(1,3,2,3) B = 1.8205 1.1158 2.6263 2.7873 1.7057 1.0197 注：对于标准正态分布，可用命令randn(m,n);对于均匀分布()1,0U ,可用命令rand(m,n)。全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案
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