第3章 线性代数方程组
3.1.1 矩阵秩的定义
定义1 矩阵A 的k 阶子式
在n m ?矩阵A 中任取k 行，k 列()()n m k ,m in 1≤≤，位于这k 行，k 列交叉点处的元素按原来次序组成的行列式，称为A 的一个k 阶子式。 定义2矩阵A 的秩
设在矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式D ，且所有的r ＋1阶子式（如果有的话）全等于零，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数r 称为矩阵A 的秩，记为)(A rank ，简记为()A r 。 定义3 满秩阵
设A 为n 阶方阵，若()A r ＝A ，则称A 为满秩阵。 3.1.2 矩阵秩的性质 （1）()();A r A
r T
=
（2）()(),A r A r =λ其中0≠λ； （3）()0=A r 等价于0=A ； (4)()()n m A r n m ,m in ≤?； （5）设A ，B 为同阶矩阵，则
()()()B r A r B A r +≤+
（1） 设A 为n m ?矩阵，B 为s n ?矩阵，则
()()()()
()()()n
B r A r AB r B r A r AB r -+≥≤,min
特别当AB ＝0时，()()n B r A r ≤+成立。
（7）()()()()()()B r A r B D A r B r A r B C A r B r A r B A r +≥??
????+≥??????+=??????0000
3.1.3 矩阵秩的有关结论
（1）初等变换不改变矩阵的秩，即 若A ∽B,则()()B r A r =
（2）矩阵乘上一个可逆阵不改变原矩阵的秩，即当A 可逆时，有
()()B r AB r =；()()B r BA r =
(3) 设A 为n 阶方阵，则其转置伴随阵的秩为
()
()()()??
?
??-≤-===2
011
*n A r n A r n A r n A r (4)设A 为方阵，则()n A r A =?≠0。
3.1.4 矩阵秩的求法
（1）用定义求矩阵的秩。
（2）用初等变换法求矩阵的秩。 （3）用性质求矩阵的秩。 （4）用有关结论求矩阵的秩。
（5）用齐次线性方称组的基础解系讨论矩阵的秩。 3.1.5 系数矩阵可逆的线性代数方程组的求解 问题：求b Ax =的解，其中0≠A 。 方法（1） 克莱娒法则
()n i A
D x i
i ,2,1==
，其中i D 为右端列b 取代A 的第i 列所构成的行列式。 方法（2）逆矩阵法
b A x
1
1
--=，其中A
A A *1
=-或用()()1-?→?A I I A 行求1
-A 。
方法（3） G 法
将增广矩阵()b A 经过行初等变换化为行梯形阵，回代求解。 方法（3）G －J 法
将增广矩阵()b A 经过行初等变换化为行标准形后得解。 3.1.6 齐次线性方程组 0=?x A n m （1）齐次线性方程组有解的条件 0=x 为0=Ax 的平凡解。 当()n A r =时，0=Ax 只有零解。
()n A r 时，0=Ax 有含()A r n -个参数的无穷多组解。
注0=Ax 有非零解()n A r ?。 （2）齐次线性方程组解的求法
将系数矩阵经过行初等变换化为行标准形矩阵后求解。 （3）解的性质
k ξξξ ,,21为0=Ax 的解，则k k t t t ξξξ+++ 2211仍为0=Ax 的解，其中
k t t t ,,21为任意常数。
(4)基础解系
设k ξξξ ,,21为0=Ax 的解，满足1）k ξξξ ,,21线性无关；2）任一0=Ax 的解
ξ均可由k ξξξ ,,21线性表出，则称k ξξξ ,,21为0=Ax 的一个基础解系。
注0=Ax 的基础解系不唯一，但基础解系中向量个数k 必为()A r n -。 （5）齐次方程的通解
若k ξξξ ,,21为0=Ax 的一个基础解系，则0=Ax 的通解为
R t t t t t t x k k k ∈+++= ,,,
212211ξξξ
3.1.7 非齐次线性方程组
非齐次线性方程组 ()0≠=?b x A n m （1） 非齐次线性方程组有解的条件
当()()n A r b A r == 时，方程组有唯一解。
当()n A r 时，方程组有含()A r n -个参数的无穷多组解。 当()()A r b A r ≠ 时，方程组无解。 （2） 非齐次线性方程组解的求法
将增广矩阵()b A 经过行初等变换化为行标准形矩阵后求解。 （3） 解的性质
若21,ξξ为b Ax =的解，则21ξξ-为其导出方程组0=Ax 的解。 注
2
2
1ξξ+为b Ax =的一个解，而21ξξ+不再是b Ax =的解。
（4）非齐次线性方程组的通解
若若k ξξξ ,,21为0=Ax 的一个基础解系，ξ为b Ax =的一个解，则b Ax =的通解为
R t t t t t t x k k k ∈++++= ,,,
212211ξξξξ
（5）解的结构
非齐次线性方程组的通解g x 等于对应的齐次线性方程组的通解h x ，加上非齐次线性方程
组的一个特解p x ，即
p h g x x x +=
3.2 典型例题分析 1）用定义求矩阵的秩
例1 求矩阵????
??????=706386424321A 的秩。 解 因为A 的第1、第2行对应成比例，故A 的任意三解子式必为零，即()2≤A r ，而子式
,057
341≠-=知()2≥A r ，综上所述()2=A r 。
例2 设?
????
????
???=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A 2
1
22
21
212111，求2A 的秩。
解 因为
[]n
n n n n n n n b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A ,,,21212
1
2221
212111 ?
????
?
??????=????????????=
知A 的任二行对应成比例，即所有2阶子式全为零，得()1≤A r ，当n a a a ,,,21 全为零或n b b b ,,,21 全为零时，()0=A r ，否则()1=A r 。而
[][]A b a b b b a a a b b b a a a A n
i i i n n n n ∑==?????
???????????????????=
1212121212)(,,,,,, 故
()
???
?
??
?
≠==∑∑==n
i i
i n
i i
i b
a b
a A r 1
120
100
2）用初等变换法求矩阵的秩
例3 求矩阵????
?
????
???-------=b a A 161117231461203
211的秩。 解 将A 化为行阶梯阵，即
????
?
???????++-----→????????????-----+------→?????????
???-------=2000000800122100321
14420126101221003211161117231461203211b a b a b a A 当();2,28=-=-=A r b a 且 当();3,28=-=-≠A r b a 且 当();3,28=-≠-=A r b a 且 当();4,28=-≠-≠A r b a 且 例1 讨论n 阶方阵A 的秩
????
?
????
???=a b b b a b b b a A 解 将A 化为行阶梯矩阵，即
()()()()?????
?
?????
?---+→???
??
???????---→?????????
???=b a b a b b b
n a a b b n b
b a b
n b
b b
b n a a b b b a b b b a A
1111
当();)1(n A r
b n a b a =-+≠＝时，且
当();10)1(-=-+≠n A r b n a b a 时，＝且 当();00===A r b a 时， 当()10=≠=A r b a 时，.
3)用性质求矩阵的秩
例5 设A 为n 阶方阵，且A A =2，试证()()n A r I A r ≤+-。 证 已知A A =2即()0=-I A A ，由性质知
()()()()()n A r I A r A r A I r A A I r n ≤+-=+-≤+-=
所以成立
()()n A r I A r =+-
例2 设A 为n m ?阵，Ｂ为m n ?阵，则 （1） 如果n m >时，证明0=AB ； （2） 如果n m <且I AB =，试证()m B r =。
证 （1）由秩的性质知()()()()()(),,m in ,,m in n n m A r B r A r AB r ≤≤=而
()()n n m B r ≤≤,m in ，则()m n AB r ≤，故AB 不满秩，即0=AB 。
（2）由秩的性质知
()()()()()m B r A r AB r I r m ≤≤==,m in
故
()m B r =
例3 设*
A 为A 的转置伴随阵，试证
()
()()()??
?
??-≤-===2
011
*n A r n A r n A r n A r 证 （1）当()n A r =时，则0≠A ，由I A AA =*
知，两边取行列式得
n
A A A =*，即01
*≠=-n A
A ，所以()n A r =*。
（3） 当()1-=n A r 时，由定义知A 有1-n 阶子式非零，这时()0*
≠=T
Aij A ，即
()1*≥A r ，而0*==I A AA ，由性质知()()
n A r A r ≤+*，推得()
1*≤A r ，综
上可得()1*
=A
r 。
（4） 综上所述
()
()()()??
?
??-≤-===2
011
*n A r n A r n A r n A r 4）用有关结论求矩阵的秩
例8 设)2(>n 阶非零实方阵()
ij a A =满足()n j i A a ij ij ,2,1,==，求()A r 。 解 解法1 因为0≠=A A a ij ij 且，不妨设0≠kl a ，由行列式的定义知
012
2211>=+++=∑=n
i ki kn kn k k k k a A a A a A a A
所以
()n A r =
解法2 由ij ij A a =知T A A =*，再由()
()A r A r T
=及
()
()()()??
?
??-≤-===2
011
*n A r n A r n A r n A r 知2>n 时，要使()()
*
A r A r =，且0≠A ，只能()n A r =。
例9 已知A 为34?阶矩阵，且()2=A r ，??????????-=301020201B 求()AB r 的值。 解 因为????
?
?????-=301020201B 为可逆阵，由结论知AB 不改变A 的秩，故 ()()2==A r AB r
5）用齐次方程的基础解系求矩阵的秩。
例10 设A 为n m ?实矩阵，证明()
()A r A A r T
=。
证 分析 只要证明线性方程组0=Ax 与0=Ax A T
同解即可。这时基础解系的向量个数必相等，即()()
A A r n A r n T
-=-，得()
()A r A A r T
=。
设有x 满足0=Ax ，左乘T
A 得0=Ax A T ，即x 也是0=Ax A T
的解。
设有x 满足0=Ax A T
，左乘T
x 得0=Ax A x T
T
，即()
(),0=Ax Ax T
得0=Ax ，
即x 也是0=Ax 的解。
综上所述0=Ax 与0=Ax A T
同解，故()()
A A r A r T
=成立。
6）齐次线性方程组的求法
例11 求齐次线性方程组???
??=+--=-+-=+--0
320304321
43214321x x x x x x x x x x x x 的通解。
解 解法1 系数矩阵经过行初等变换得
??
??
?
?????---→??????????----→??????????----→??????????------=000021001011210021001111210042001111321131111111A 由()4,2==n A r 知方程组有无穷多组解，得同解方程组
??
?=-=--0
20
43421x x x x x 移项后得
??
?=+=43
4
212x x x x x 令2412,t x t x ==得
R t t t t x ∈????
?
?
??????+????????????=2121,,12010011
其中????
?
???????????????????1201,0011为齐次方程的一个基础解系。
解法2 由解法1可知()2=A r 。
令??????=????
??0142x x ，得??????=??????0131x x ；令???
???=??????1142x x ，得??
????=??????2231x x 齐次方程的通解为
R t t t t x ∈????
?
???????+????????????=2121,,12120011
其中????
?
?
??????????????????1212,0011为齐次方程的一个基础解系。
注 两种方法求出的基础解系不唯一，但基础解系中包含的向量个数一定。
例12 设齐次线性方程组???
??=++=++=++0
003213213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵为A ，且存在三阶方阵
0,0=≠AB B 使，求
（1）λ的值；
（2）B 的行列式。
解 （1）由题意0,0=≠AB B 可知0=Ax 有非零解，故0=A ，即
()011
1
1100
101
1
1112
2=-=---=λλ
λλλλλ
λλ
得1=λ，这时()1=A r 。
（2）已知,0=AB 有秩的性质知()()3≤+B r A r ，而()1=A r ，则()2≤B r ，所以B 不满秩，即0=B 。
注 （2）也可用反证法，设0≠B ，则B 可逆，由知01
==-A ABB
与0≠A 矛盾，故
0=B 。
例13 设n 解方阵A 的各行元素之和都为零，且()1-=n A r ，求方程0=Ax 的通解，并证明()n j i A A j i ,,2,1,11 ==。
解 由于n 阶方阵A 的各行元素之和都为零，故成立
[]01,,1,1=T
A ，即[]T
1,,1,1 为0=Ax 的解。而()1-=n A r ，可知0=Ax 含有
()11=--n n 个参数此无穷多组解，则通解[]R t t x T
∈=,1,,1,1 。
由于()1-=n A r ，故0=A ，这时0*==I A AA ，则*A 的每一列都是0=Ax 的解，即
[][]t A A A T T n 1,,1,1,,,11211 =，可证得()n j i A A j i ,,2,1,11 ==。
例14 已知四元齐次方程组（Ⅰ）???=-=+00
42
21x x x x 及另一个四元齐次方程组（Ⅱ）的通解为
[][]R t t t t T T ∈-+2121,,1,2,2,10,1,1,0，问方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零的公共解？若
有，求出其公共解。
解 将方程组（Ⅱ）的通解代入方程组（Ⅰ）得
??
?=-+=++-020
2221
212t t t t t t 解得21t t -=，故方程组（Ⅰ）和方程组（Ⅱ）有非零的公共解为
[][][]0,1,1,1,11,2,2,10,1,1,01111≠---=--t t t t T T T
7）非齐次方程组求解
例15 问b a ,为何值时，方程组
???
??=++=++=++4
234321
321321x bx x x bx x x x ax 有唯一解，无解，有无穷多组解，并在有无穷多组解时求出通解。
解 解法1 初等变换法
()()????
??????+----→??????????--→????
?
?????→??????????→??????????→??????????=ab b a b a a b a a b a b a b b a b
b
a b A 241100241102101
10024110210
110041121011002101411100311411
4121311411
当()01≠-b a 即1≠a 且0≠b 时，方程组有唯一解； 当0=b ，方程组无解；
当1=a 时()??
??
??????-=b b A 21000201021
01 这时
当2
1
≠b 时，方程组无解；
当21
=b 时，方程组有无穷多组解，这时???=-=222
31x x x ，令t x =3，得
R t t x ∈??
??
?
?????+??????????-=,022101
解法2 克莱娒法则解法
()a b b b a b b
a A -===10
011111
2111
11
当0≠A 即1≠a 且0≠b 时，方程组有唯一解； 当0=b ，第2、第3个方程矛盾，方程组无解； 当1=a 时，这时
()()????
??????-→??????????+----→??????????--→????
?
?????→??????????→??????????→??????????=b ab b a b a a b
a a
b a b a b b a b
b
a b A 2100020102101
241100241102101
10024110210
1100
4112101
1002101411100311411
4121311411
当2
1
≠b 时，方程组无解； 当21
=
b 时，这时???=-=222
31x x x ，令t x =3，得
R t t x ∈??
??
?
?????+??????????-=,022101
综上所述
1≠a 且0≠b 时，方程组有唯一解； 当0=b ，方程组无解；
1=a 且21
≠
b 时，方程组无解； 1=a 且2
1
=b 时，方程组有无穷多组解；
R t t x ∈??
??
?
?????+??????????-=,022101。
注 解法2秩适用于n 个变量n 个方程的情形。
例16 已知下列非齐次线性方程组
（Ⅰ）???
??=--=----=-+3
31462321
4321421x x x x x x x x x x
（Ⅱ）??
?
??-=--=---=--+11275
434324321p x x x x nx x x mx x （1） 求（Ⅰ）的通解，并用其导出方程组的基础解系表示；
（2） m,n,p 为何值时，（Ⅰ）和（Ⅱ）同解。 解 （1）方程组（Ⅰ）用初等变换法，得
()??
??
??????------→??????????-----→????
?
?????------→??????????------→????
??????------→??????????-------=52100410102100152100410102100193110410102100130113620112100130113210016201
130113111
146201
1b A 这时???
??-=--=--=-5
242434241x x x x x x 令t x =4，得
R t t x ∈????
?
?
??????---+????????????=,05421211
（3） 将（Ⅰ）的通解t x t x t x t x =-=-=-=4321,52,4,2代入（Ⅱ）得
??
?
?
?-=---=-----=----+-11)52(7)52()4(5)52()4(2p t t t t t n t t t m t 得6,3,2===p n m ，而这时方程组（Ⅱ）的增广矩阵为
????
???
???------→??????????------→????
?
?????------→??????????--------521004*********
521004101010302152100123030103021521007113051121
这与（Ⅰ）增广矩阵对应的行标准行相同，故（Ⅰ）和（Ⅱ）同解。
例17 试证非齐次线性方程组
??????
?=+++=+++=+++n
n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112
222212********* 对任何n b b b ,,,21 都有解的充分必要条件是系数行列式
021
22221
11211≠nn
n n n
n
a a a a a a a a a
证 必要性
方程组简记为b Ax =，因为b Ax =对任何b 都有，故取b 分别为n e e e ,,21，即得
n n e A e A e A ===βββ,,,2211
拼成 [][]I e e e A n n ==,,,,,,2121 βββ 两边取行列式得
01,,,21≠=n A βββ ，即0≠A 。
充分性
因为0≠A ，由克莱娒法则知线性方程组b Ax =有唯一解，即不论n b b b ,,,21 取何值，
b Ax =都有解。
1） 逆矩阵法求线性方程组的解 例18 设()
3
3?=ij
A A 为正交阵，且1,33-==a A a ij ij ，求[]T
Ax 1,0,0=的解。
解 有已知条件值A 为正交阵，故I AA T
=，故两边取行列式得1±=A ，而ij ij A a =知
1=A ，这时03231==a a 。
有ij ij A a =知T
A A =*，这时
??????????=100Ax ，得??
????
????-=??????????=??????????=??????????=??????????=-100100100100333231*
1a a a A A A A x T
2） 利用解的结构求非齐次方程组的通解
例19 已知四元非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵的知为2，且4321,,,αααα为齐次方程组的解，[][][]T
T
T
2,2,4,3,1,1,3,2,0,1,2,14321=+-==αααα，求b Ax =的通
解。
解 因为()()2,4,2=-==A r n n A r 故，显然
[][]T T 2,0,0,12,1,2,1,114321=-+---=-ααααα
为对应齐次线性方程组的基础解系，故齐次线性方程组的通解为
R t t t t x ∈????
?
?
??????+????????????---=2121,,20011211
非齐次线性方程组的通解为
R t t t t x ∈????
?
???????+????????????+????????????---=2121,,012120011211
例20 已知三元非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵的秩为2，且它的三个解为
321,,ααα，满足??
??
?
?????-=+??????????-=+202,1133121αααα，求b Ax =的通解。
解 因为(),3,2==n A r 所以()1=-A r n ，而显然()()[]T
1,1,13121=+-+αααα为
0=Ax 的基础解系，
2
3
1αα+为b Ax =的一个解，故非齐次线性方程组的通解为
R t t x ∈??
??
?
?????-+??????????=,101111 例21 设线性方程组
???????=++=++=++=++3
4324241
3
332323132
32222131321211a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x （1） 证明 当4321,,,a a a a 两两不等时，线性方程组无解；
（2） 设()0,4231≠-====k k a a k a a ，且已知21,ββ是该方程组的两个解，其中
[][]T T 1,1,1,1,1,121-=-=ββ，试写出该方程组的通解。
证 （1）增广矩阵试一个方阵，其行列式()b A 为范德蒙行列式，由4321,,,a a a a 量量不等，知
()()()()()()()0342414231312≠------=a a a a a a a a a a a a b A
这时()()34=≠=A r b A r ，故方程组无解。
解 （2）当()0,4231≠-====k k a a k a a 时，代入得方程组
?????-=+-=++3
32213
3221k
x k kx x k
x k kx x 其系数矩阵的秩
20122=??
?
?
??-k k k k r 而()1,3=-=A r n n ，易知21ββ-为0=Ax 的基础解系，则b Ax =的通解为
R t t t x ∈??
??
?
?????-+??????????-=+-=,111202)(121βββ
习题3 3-1．求下列齐次线性方程组的通解： （1）?? ? ??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??-----?→?????? ??-----=144072021 1873153211A )(000720211阶梯形矩阵B =???? ? ??-?→? ??? ?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =????? ? ???→? ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??? ?=+=+02702 11 z y z x ， 即 ??? ??? ?-=-=z y z x 272 11（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系 T )1,2 7,211(-- =ξ, 所以，方程组的通解为
,)1,2 7,211(T k k -- =ξk 为任意常数． （2）??? ??=+++=+++=++++0 86530543207224321 432154321x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A )(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→? ???? ? ??-?→?70000141010211201 )(100000101001201行最简形矩阵C =???? ? ???→?， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??==+=++00 025 42431x x x x x x ， 即 ??? ??=-=--=025 4 2431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T ，得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ， 所以，方程组的通解为
n维向量部分 这部分逻辑性非常强，考生必须要相当熟悉教材中的重要定理。从历年考试情况来看，线性相（无）关、线性表出、极大无关组、向量组的秩及等价、向量空间（数一）等内容是考试经常会涉及到的内容。常出现在选择题中。 回顾： n维向量的运算 1．定义：设 ，，k为数域Ｐ中的数，定义 ,称为向量与的和； ,称为向量与数k的数量乘积． 2．向量运算的基本性质 1） 2） 3） 4） 5） 6） 7） 8），9），， 10）若，则即，若，则或 1 向量组的秩、极大无关组的相关题型 知识点 极大线性无关组定义：设为中的一个向量组，它的一个部分组若满足 i) 线性无关 ii) 对任意的，可经线性表出 则称为向量组的一个极大线性无关组（简称极大无关组）． 向量组的秩 定义：向量组的极大无关组所含向量个数称为这个向量组的秩．性质： 1）一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量个数相同． 一个向量组线性相关的充要条件是它的秩＜它所含向量个数．2）等价向量组必有相同的秩．（注意：反之不然．） 3）若向量组可经向量组线性表出，则 秩秩． 例1 设向量组 （1）求此向量组的秩； （2）求此向量组的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组表示。
例2 选择题 若向量组的秩为 r,则（） （A）必定r 1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T ααα=--=-- 求1223αα+ 解: ∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=----- 1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4 T T =-----=- ∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]T T T αα+=-+-= 2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T αα== 3123[4,1,1,1],3()2()5()0T ααααααα=--++-+=并且 求 α 解: ∵ 1236325αααα=+- [6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24], T T T T =+--= ∴ [1,2,3,4].T α= 3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ====L 时， 11220m m k k k ααα+++=L 成立， 则向量组12,,m αααK 线性相关 解：不正确.如：[][]121,2,3,4T T αα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。 (2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k L 使 11220,m m k k k ααα+++≠L 则向量组12,,,m αααL 线性无关。 解： 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,T T k αα====存在k 使 121220,,.αααα+≠但显然线性相关 (3) 如果向量组12,,,m αααL 线性无关,则其中任何一个向量都 不能由其余向量线性表出. 解： 正确。（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m αααL 线性相关，与题没矛盾。 (4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。 解：不正确。例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,T T T ααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。 (5) 如果向量β可由向量123,,ααα线性表示，即： 112233,k k k βααα=++则表示系数 123,,k k k 不全为零。 解：不正确。例如：[][][]120,0,0,1,0,0,0,1,0,T T T βαα=== []31230,0,1,000T αβααα==++，表示系数全为0。 (6) 若向量12,αα线性相关，12,ββ线性无关，则1212,,,ααββ线性相关. 习题 3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆(2)求1 AB-. 习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)11121212221 2n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????01,2,,i i a b i n ≠????=?? 2.设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =. 3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()()1 d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111 a a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2 A A =,试证: ()()R A R A E n +-= 习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆 (2)求1 AB-. 习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ?? ??=--?? ??-?? (2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ?? ?? ??=???? ?? L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠? ? ??=?? L 2.设12312323k A k k -?? ??=--?? ??-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3) ()3R A =. 3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()() 1.d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证: ()()R A R A E n +-= 第3章 线性代数方程组 3.1.1 矩阵秩的定义 定义1 矩阵A 的k 阶子式 在n m ?矩阵A 中任取k 行，k 列()()n m k ,m in 1≤≤，位于这k 行，k 列交叉点处的元素按原来次序组成的行列式，称为A 的一个k 阶子式。 定义2矩阵A 的秩 设在矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式D ，且所有的r ＋1阶子式（如果有的话）全等于零，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数r 称为矩阵A 的秩，记为)(A rank ，简记为()A r 。 定义3 满秩阵 设A 为n 阶方阵，若()A r ＝A ，则称A 为满秩阵。 3.1.2 矩阵秩的性质 （1）()();A r A r T = （2）()(),A r A r =λ其中0≠λ； （3）()0=A r 等价于0=A ； (4)()()n m A r n m ,m in ≤?； （5）设A ，B 为同阶矩阵，则 ()()()B r A r B A r +≤+ （1） 设A 为n m ?矩阵，B 为s n ?矩阵，则 ()()()() ()()()n B r A r AB r B r A r AB r -+≥≤,min 特别当AB ＝0时，()()n B r A r ≤+成立。 （7）()()()()()()B r A r B D A r B r A r B C A r B r A r B A r +≥?? ????+≥??????+=??????0000 3.1.3 矩阵秩的有关结论 （1）初等变换不改变矩阵的秩，即 若A ∽B,则()()B r A r = （2）矩阵乘上一个可逆阵不改变原矩阵的秩，即当A 可逆时，有 ()()B r AB r =；()()B r BA r = (3) 设A 为n 阶方阵，则其转置伴随阵的秩为 () ()()()?? ? ??-≤-===2 011 *n A r n A r n A r n A r (4)设A 为方阵，则()n A r A =?≠0。 3.1.4 矩阵秩的求法 （1）用定义求矩阵的秩。 （2）用初等变换法求矩阵的秩。 （3）用性质求矩阵的秩。 （4）用有关结论求矩阵的秩。 （5）用齐次线性方称组的基础解系讨论矩阵的秩。 3.1.5 系数矩阵可逆的线性代数方程组的求解 问题：求b Ax =的解，其中0≠A 。 方法（1） 克莱娒法则 ()n i A D x i i ,2,1== ，其中i D 为右端列b 取代A 的第i 列所构成的行列式。 方法（2）逆矩阵法 b A x 1 1 --=，其中A A A *1 =-或用()()1-?→?A I I A 行求1 -A 。 方法（3） G 法 将增广矩阵()b A 经过行初等变换化为行梯形阵，回代求解。 方法（3）G －J 法 将增广矩阵()b A 经过行初等变换化为行标准形后得解。 3.1.6 齐次线性方程组 0=?x A n m （1）齐次线性方程组有解的条件 0=x 为0=Ax 的平凡解。 当()n A r =时，0=Ax 只有零解。 ()n A r 时，0=Ax 有含()A r n -个参数的无穷多组解。 注0=Ax 有非零解()n A r ?。 （2）齐次线性方程组解的求法 第三章 习题与答案 习题 A 1.求向量123(4,1,3,2),(1,2,3,2),(16,9,1 ,3)T T T =--=-=-ααα的线性组合12335.+-ααα 解 12341161293535331223?????? ? ? ? ? ? ?+-=+- ? ? ?-- ? ? ?-??????ααα1251613109491512561037???????? ? ? ? ? ? ? ? ?=+-= ? ? ? ?--- ? ? ? ?--???????? . 2.从以下方程中求向量α 1233()2()5()-++=+αααααα， 其中123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1 ,1,1).T T T ===-ααα 解 由方程得1233322550-++--=αααααα， 1232104651112 632532515118310124???????? ? ? ? ? ? ? ? ?=+-=+-= ? ? ? ?- ? ? ? ?????????αααα 故12 34?? ? ?= ? ??? α,即(1,2,3,4)T =α. 3.求证:向量组12i s α,α,,α,α 中的任一向量i α可以由这个向量组线性表出. 证 120010(1,2,,)i i s i s =+++++= ααααα 4.证明: 包含零向量的向量组线性相关. 证 设向量组为1211α,α,,α,0,α,,αi i s -+ ,则有 12110α0αα00α0α0,0i i s k k -++++++++=≠ 而0,0,,0,,0,,0k 不全为0,故向量组线性相关. 5.设有m 个向量12α,α,,αm ,证明: 若αα()i j i j =≠,则向量组12α,α,,αm 线性相关. 证 显然有1210α0αα0α()α0α0,0i i j m k k k +++++++-++=≠ , 而0,,0,,0,,0,,0,,0k k - 不全为0.故向量组线性相关. 6.判断下列向量组的线性相关性 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 一、填空题 1、 设???? ?? ? ??=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A 2 1 2221 212111，其中),,2,1(,0,0n i b a i i =≠≠，则=)(A R ____ 2、 设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且=)(A R n －1，则线性方程组AX ＝0 的通解为________ 3、 设四阶方阵的秩为2，其伴随矩阵的秩为_______ 4、 设?????? ? ??=---112 11 22 221 21n n n n n n a a a a a a a a a A ，??????? ??=n x x x X 21，???? ??? ??=111 B ，其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i =≠≠，则线性方程组B AX =的解是________ 5、 已知????? ? ?=10 0210 002 P ，??? ? ? ? ?=20 0020 001A ，则=-1001)(AP P ________ 6、 设A ，B 均为n 阶矩阵AB ＝0，且A +B=E,则=+)()(B R A R _________ 7、 设矩阵n m A ?的秩为r ，P 为m 阶可逆矩阵，则)(PA R ＝________ 8、 矩阵??? ?? ??--34031302 1201 的行最简形矩阵为___________ 9、 矩阵??? ? ? ? ?----17 4 03430 1320的行最简形矩阵为__________ 10、 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，则)(______)(B R A R 从矩阵A 中增加一行得到矩阵B ，则)(______)(B R A R 线性代数第三章习题解 1. 计算下列行列式: 1) 4 321; 2) 2 2b b a a ; 3) 7 04 0- 解: 1) 26432414 321-=-=?-?=; 2) )(222 2a b ab b a ab b b a a -=-=; 3) 0)4(0707 40=-?-?=-. 2. 计算下列三阶行列式: 1) 241130 4 21--; 2) 320001753-; 3) b a c a c b c b a 解: 1) 将行列式按第一列展开 2) 将行列式按第二行展开 3) 3. 计算下列行列式: 1) 0 00 0000005 5 4433 2222211111b a b a b a e d c b a e d c b a ; 2) x y y x y x y x D n 0 0000 000 00 =; 3) f e d c b a 00000000 解: 1) 将行列式按第一列展开后, 得到的各子式再按第二列展开, 这样展开后的后三列构成的任何三阶子式都至少包括一行0, 因此后三列任何三阶子式均为0, 整个行列式的值D =0. 2) 将行列式按第一列展开得 3) 先对第一列展开, 然后对第二列展开, 得 4. 利用行列式的性质计算下列行列式 1) 2 60 5 232112131412 -; 2) ef cf bf de cd bd ae ac ab ---; 3) 2 2 2 2 2222 2 2222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 解: 下面都将所求行列式的值设为D . 1) 因为第1行加到第2行以后, 第2行将和第4行相等, 因此行列式的值D =0; 2) 首先从第1,2,3行分别提取公因子a ,d ,f , 再从第1,2,3列提取公因子b ,c ,e , 得 3) 将第2,3,4列都展开, 并统统减去第1列, 得 再将第3列减去2倍的第2列, 第4列减去3倍的第2列, 得 5. 把下列行列式化为上三角形行列式, 并计算其值 1) 1 5 2 3 21353140422 -----; 2) 2 1 6 4 72954 1732152----- 解: 1) 2) 6. 计算下列n 阶行列式 1) 12125 4 3 1432321-n n n 2) a b b b a b a 解: 1) 设此行列式的值为D , 将第2,3,…,n 列均加于第一列, 则第一列的所有元素均为 )1(2 1 321+= ++++n n n , 将此公因式提出, 因此有 再令第n 行减去第n -1行, 第n -1行减去第n -2行, …, 第2行减去第1行, 可得 2) 此题和第3题的2)一样, 因此有n n n b a D 1 )1(+-+= 7. 证明下列行列式 1) ))()((1 11 a c c b b a ab ca bc c b a ---= （1）设n 阶方阵A 的秩r 第三章 课后习题及解答 将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合： 1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T 4T 3T 21T --=--=--===αααααT 2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα 解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得 解得.4 1,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+= . 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得 02321=++k k k ，04321=+++k k k k ， 0342=-k k ，1421=-+k k k . 解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=. 判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T 3T 2T 1===ααα 4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T 3T 2T 1==-=βββ， 解： 3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即 ?????=++=++=+0650320321 32131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关. 4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即 ???????=++=++=+-=+0 14240720303321321 2131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件. 解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性 无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是 0=α. 6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法， 假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关， 则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾， 所以该命题成立. 7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关. 证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ， 1 习 题 1-1 用Gauss 消元法解下列线性方程组： 1.???? ? ??-=++-=++-=+-=-+-. 337,13,3,44324324214324321x x x x x x x x x x x x x ． 2. ??? ??=+-+-=+---=+++. 122,422,5424321 43214321x x x x x x x x x x x x ． 2 3.???????=+-=+=-=--. 2223,52,223,123213121321x x x x x x x x x x ． 4．设线性方程组：??? ??=+-+=+-+=++-. 1147,242,124321 43214321λx x x x x x x x x x x x 问λ取何值时，这个方程组 有解，并解之. 3 习 题 1-2 1． 设矩阵：??? ? ? ??=321212113A ,????? ??--=101012111B ,求BA AB AB -,. 2．计算： （1）2 210013112???? ? ??； （2）n ??? ? ??-?? ?? cos sin sin cos ； 4 （3）??????????---111)1,3,2(； (4))1,3,2(111-???? ? ?????--. 3．设???? ??????=101020101A ,2≥n ,求1 2--n n A A . 5 4．如果BA AB =，就说矩阵B 与矩阵A 可交换，设??? ? ??=1011A ,求所有 与A 可交换的矩阵. 5．设0=k A ，证明：121)(--++++=-k A A A E A E . 6．设1)(2+-=λλλf ，矩阵???? ??????-=011213112 A ，求)(A f . 线性代数————第3章：线性方程组 一、例题解析： 1．单项选择题 （1）向量组[][][][] αααα1234110100111001====,,,,,,,,,,,的极大线性无关组是（ ）。 A. αα12, B. αα24, C. ααα134,, D. ααα123,, 解：因为向量组ααα123,,线性无关，而向量组ααα134,,线性相关，所以原向量组的极大线性无关组是ααα123,,。 正确答案：D （2）设线性方程组的增广矩阵为? ? ????? ?? ???--000 0103006211041231，则此线性方程组的一般解中自 由元的个数为（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解：因为方程组中未知量个数是4，增广矩阵的秩)(B A r =3，所以 一般解的自由元个数 = 方程组中未知量个数 - )(B A r = 4-3=1 所以，线性方程组的一般解中自由元的个数为1。 正确答案：A （3）n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充分必要条件是（ ）。 A. n A r =)( B. n A r >)( C. n A r <)( D. )(A r 与n 无关 解：n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充分必要条件是n A r >)( 正确答案：C （4）设线性方程组B AX =的两个解21,X X )(21X X ≠，则下列向量中（ ）一定是B AX =的解。 A. 21X X + B. 21X X - C. 212X X - D. 122X X - 解：因为B B B AX AX X X A =-=-=-22)2(1212， 所以122X X -是线性方程组B AX =的解。 正确答案：D 2． 填空题 （1）一个向量组中如有零向量，则此向量组一定线性 。 解：设0, m αα,,1 为一组n 维向量，取00≠k ，01===m k k ，则 0k 0 +m m k k α++α 11= 0 由定义可知，向量组0, m αα,,1 线性相关。 正确答案：相关 （2）线性方程组B AX =中的一般解的自由元的个数是2，其中A 是54?矩阵，则方程组增广矩阵)(B A r = 。 解：因为一般解的自由元个数 = 方程组中未知量个数 - )(B A r 第二次作业参考答案 2-1设21 1122103 10,103,0161211132A B C ?????? ? ? ? ==-=- ? ? ? ? ? ?---?????? ,试求()32A B C -,并验证()()AB C A BC =。 解: 63339 301836A ?? ?= ? ?-? ?,2442206222B ?? ?=- ? ?-??,4113211361614A B --?? ?-=- ? ?-?? ()411107 132113601291516143249A B C ---?????? ??? ? -=--=- ??? ? ??? ?--?????? 21112223831010326961211191011AB ?????? ??? ?=-= ??? ? ??? ?--??????,()23810221326901251291011322412AB C -?????? ??? ?=-=- ??? ? ??? ?--?????? 1221052103011061113223BC -?????? ??? ?=--=- ??? ? ??? ?---??????,()2115222133101062512612232412A BC --?????? ??? ?=-=- ??? ? ??? ?---?????? ()()AB C A BC ∴= 2-2计算下列乘积： （1）()312321?? ? ? ??? （2）()21123?? ? - ? ??? （3）()11 121311 2 321 2223231 32 333a a a x x x x a a a x a a a x ???? ??? ??? ??????? （7）0110n ?? ?-?? （n 为正整数） 解：(1) ()()()3123234310101?? ? =++== ? ??? (2) ()22411212336-???? ? ?-=- ? ? ? ?-???? (3) ()()111213111232122232111122133121222233 131232333231323333a a a x x x x x a a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x a a a x x ???? ?? ??? ? =++++++ ??? ? ??? ????? ?? 222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++ （7）令0110n n A ?? = ?-?? 当n=1时，111cos sin 012 2 1011sin cos 2 2A π ππ π?? ? ??== ? ?-?? ?- ??? ；当n=2时，210cos sin 01sin cos A ππππ-???? == ? ?--???? ； 线性代数： 线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。 线性代数第三版： 《线性代数第三版》是中国人民大学出版社2004年12月出版的图书，作者是赵树源。 内容提要： 一本新颖的《线性代数》,用全新的方法讲解线性代数的基本定理,揭开数学中的黑洞,让你感受富有哲理的论述,轻松学会线性代数方法。本书以基本定理为纲,建立了一个新的线性相关的理论体系,增加了一些新定理,改进了一些定理的证明;用发现法引入了行列式的概念,给出了克拉默法则的一个标准的表述及其一个新的证明,指出了克拉默法则是一个根本法则及其在理论上的重大意义,论述富有哲理,例如讲了数的哲学及对称美。 图书目录： 第一章行列式 1.1 二阶、三阶行列式 1.2 n阶行列式 1.3 行列式的性质 1.4 行列式按行（列）展开1.5 克莱姆法则 习题一 第二章矩阵 2.1 矩阵的概念 2.2 矩阵的运算 2.3 几种特殊的矩阵 2.4 分块矩阵 2.5 逆矩阵 2.6 矩阵的初等变换 2.7 矩阵的秩 习题二 第三章线性方程组 3.1 线性方程组的消元解法3.2 n维向量空间 3.3 向量间的线性关系 3.4 线性方程组解的结构3.5 投入产出数学模型 习题三 第四章矩阵的特征值 4.1 矩阵的特征值与特征向量 线性代数知识点总结（第3章） （一）向量的概念及运算 1、向量的内积：（α，β）=αTβ=βTα 2、长度定义：||α||= 3、正交定义：（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+a n b n=0 4、正交矩阵的定义：A为n阶矩阵，AA T=E ←→ A-1=A T←→ A T A=E → |A|=±1 （二）线性组合和线性表示 5、线性表示的充要条件： 非零列向量β可由α1，α2，…，αs线性表示 (1)←→非齐次线性方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，x s）T=β有解。 ★(2)←→r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验） 6、线性表示的充分条件：（了解即可） 若α1，α2，…，αs线性无关，α1，α2，…，αs，β线性相关，则β可由α1，α2，…，αs线性表示。 7、线性表示的求法：（大题第二步） 设α1，α2，…，αs线性无关，β可由其线性表示。 （α1，α2，…，αs|β）→初等行变换→（行最简形|系数） 行最简形：每行第一个非0的数为1，其余元素均为0 （三）线性相关和线性无关 8、线性相关注意事项： （1）α线性相关←→α=0 （2）α1，α2线性相关←→α1，α2成比例 9、线性相关的充要条件： 向量组α1，α2，…，αs线性相关 （1）←→有个向量可由其余向量线性表示； （2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，x s）T=0有非零解； ★（3）←→r（α1，α2，…，αs）＜s 即秩小于个数 特别地，n个n维列向量α1，α2，…，αn线性相关 第三章 多维随机变量及其分布 一、单项选择题 单选：1、C ；2、B ；3、C ；4、B ；5、C 二、填空题 1． 2． 81 16；3.3.0；4. 4，是。 三、判断题（正确的打√，错 ?） 1、×； 2、×； 3、√； 4、√； 5、√ 四、设随机变量()Y X ,的概率密度函数为：???<<<<=else y x y x f , 01 0,10,1),(， 求：()Y X ,的分布函数),(y x F . 解：当0≤x 或0≤y 时，0),(=y x F ， 当10< 故????? ????≥≥><<><<<<<<≤≤=. 111 ,110,110,1010,000),(y x x y y y x x y x xy y x y x F 且且且且或 五、设随机变量1X 与2X 独立同分布于),(p n B ，证明),2(~21p n B X X Y +=. 证明：因为),(~,21p n B X X ，所以21X X Y +=的取值为.2,2,1,0n ==+==)()(21k X X P k X P ),0(21k X X P ==)1,1(21-==+k X X P )0,(21==++X k X P i k n i k i k n i n i i n k i p p C p p C +----=--= ∑ ) 1() 1(0 k n k k n p p C --=22) 1(，所以),2(~2p n B Y 六、设X 与Y 相互独立，分别服从参数为λ和μ的指数分布，求Y X Z -=的. 解：因为X 与Y 相互独立，所以X 与Y 联合概率密度为 ? ? ?>>=--其它 且0, 00),(y x e y x f y x μλλμ )()()(z Y X P z Z P z F ≤-=≤= 当0≤z 时，? ? +∞ +∞ -+= = ),()(z x z e dy y x f dx z F μμ λλ 当0>z 时，? ? +∞ =z dy y x f dx z F 0 ),()(? ? +∞ +∞ -+ z z x dy y x f dx ),( z e λμ λμ-+- =1。 本章结构 0 m n m n A x b A x ????→?=? →???→?=? →→??6444444444447444444444448矩阵表示消元法 非齐次向量表示向量与向量组的线性组合 线性方程组 矩阵表示消元法 齐次向量表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组、秩 齐次线性方程组 非齐次线性方程组 解的性质、基础解系、全部解 解的性质、全部解 常用方法：1????→????????→??????→初等行变换 初等行变换 初等行变换 非零首元上面元素消成零非零首元消成“”相应矩阵阶梯形简化阶梯行最简阶梯 1、矩阵A 化等价标准形 A ????→初等行变换 阶梯形，求出矩阵A 的秩r ，则标准形 r I O D O O ??= ? ?? 2、求矩阵A 的逆 ()()1A I I A -→M M 3、消元法求线性方程组Ax b =的解 增广矩阵()A b M →行最简阶梯 4、求矩阵A 的秩 A →阶梯形 5、判断向量β能否由向量组12,,,s αααL 线性表示 以12,,,,s αααβL 为列向量的矩阵→行最简阶梯 6、求向量组12,,,s αααL 的秩和一个极大无关组，并将其它向量用该极大无关组线性表示 以12,,,s αααL 为列向量的矩阵→行最简阶梯 7、用基础解系表示(非)齐次线性方程组的全部解 增广矩阵()A b M →行最简阶梯 一、用消元法求解非齐次线性方程组m n A x b ?= 1、() A b M u u u u u u u u u u u u u u u r 初等行变换阶梯形矩阵，进而求出()r A 和(,)r A b 2、观察()r A 和(,)r A b 的关系：(1) ()(,)r A r A b ≠，方程组无解；(2) ()=(,)r A r A b ，方程组有解： ①、()=(,)r A r A b n =，方程组有唯一解； ②、()=(,)r A r A b n <，方程组有无穷多个解. 习题 三 1. 略.见教材习题参考答案. 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 略.见教材习题参考答案. 5.112223334441,,,=+=+=+=+βααβααβααβαα，证明向量组1234,,,ββββ线性相关. 【证明】因为 1234123412341312342() 2()0 +++=+++?+++=+?-+-=ββββααααββββββββββ 所以向量组1234,,,ββββ线性相关. 6. 设向量组12,,,r L ααα线性无关，证明向量组12,,,r L βββ也线性无关，这里 12.i i +++L β=ααα 【证明】 设向量组12,,,r L βββ线性相关，则存在不全为零的数12,,,,r k k k L 使得 1122.r r k k k +++=L 0βββ 把12i i +++L β=ααα代入上式，得 121232()()r r r r k k k k k k k +++++++++=0L L L ααα. 又已知12,,,r L ααα线性无关，故 1220,0, 0.r r r k k k k k k +++=??++=?? ??=? L L L L L 该方程组只有惟一零解120r k k k ====L ，这与题设矛盾，故向量组12,,,r L βββ线性无关. 7. 略.见教材习题参考答案. 8. 12(,,,),1,2,,i i i in i n ααα==L L α.证明：如果0ij a ≠，那么12,,,n L ααα线性无关. 【证明】已知0ij a =≠A ,故R (A )=n ,而A 是由n 个n 维向量12(,,,),i i i in ααα=L α秩（向量组II） （C）秩（向量组I）<秩（向量组II） （D）不能确定秩（向量组I）与秩（向量组II）的大小关系 2 向量组的线性相关性的判定或根据向量相关性求参数 知识点：1对向量组，设 若如果存在不全为零的数，使上式成立，则向量组线性相关。 若当且仅当上式才成立，则线性无关。 2 设向量组I：可由向量组II：线性表现，若 r>s , 则向量组I线性相关。（注意它的逆否定理） 3 利用矩阵的秩或行列式 设有 s个n维列向量组，设A=()， 则当秩A=s时，线性无关；当秩A线性代数第3章习题解答(rr)
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线性代数 第三章 测验
S 时，向量组（Ⅱ）必线性相关； （C ）当rS 时，向量组（Ⅰ）必线性相关； 7. 已知一个向量组为???? ? ???????--=????????????-=????????????=????????????=????????????=1311,4152,2312,1021,120154321ααααα，求该向量组的秩及该向量组的一个最大线性无关组, 并把其余列向量用该最大无关组线性表示.. 8. 当λ取何值时，非齐次线性方程组12312321231x x x x x x x x x λλλλλ?++=?++=??++=? (1) 有唯一解;(2)无解;(3)有无 穷多解，并求通解.居余马线性代数第三章课后习题
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